Om f?r varje naturligt tal n matcha ett verkligt tal en , d? s?ger de att det ?r givet nummerf?ljd :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , en , . . . .

S?, talsekvensen ?r en funktion av det naturliga argumentet.

siffra a 1 kallad f?rsta termen i sekvensen , siffra a 2 — andra termen i sekvensen , siffra a 3 — tredje och s? vidare. siffra en kallad n:e medlemmen av sekvensen , och ett naturligt tal n — hans nummer .

Fr?n tv? intilliggande medlemmar en Och en +1 sekvensmedlem en +1 kallad senare (mot en ), A en — tidigare (mot en +1 ).

F?r att definiera en sekvens m?ste du ange en metod som g?r att du kan hitta en medlem av sekvensen med valfritt nummer.

Ofta anges sekvensen med hj?lp av formler f?r n:e termen , det vill s?ga en formel som l?ter dig best?mma en medlem av en sekvens genom dess nummer.

Till exempel,

en f?ljd av positiva udda tal kan ges av formeln

en= 2n- 1,

och sekvensen av alternerande 1 Och -1 - formel

b n = (-1)n +1 . ?

Sekvensen kan best?mmas ?terkommande formel, det vill s?ga en formel som uttrycker vilken medlem som helst i sekvensen, som b?rjar med n?gra, genom de f?reg?ende (en eller flera) medlemmarna.

Till exempel,

Om a 1 = 1 , A en +1 = en + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Om en 1= 1, en 2 = 1, en +2 = en + en +1 , sedan uppr?ttas de f?rsta sju termerna i den numeriska sekvensen enligt f?ljande:

en 1 = 1,

en 2 = 1,

en 3 = en 1 + en 2 = 1 + 1 = 2,

en 4 = en 2 + en 3 = 1 + 2 = 3,

en 5 = en 3 + en 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ?

Sekvenser kan vara slutlig Och ?ndl?s .

Sekvensen kallas slutlig , om den har ett begr?nsat antal medlemmar. Sekvensen kallas ?ndl?s , om den har o?ndligt m?nga medlemmar.

Till exempel,

sekvens av tv?siffriga naturliga tal:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

slutlig.

Sekvens av primtal:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

?ndl?s. ?

Sekvensen kallas ?kande , om var och en av dess medlemmar, med b?rjan fr?n den andra, ?r st?rre ?n den f?reg?ende.

Sekvensen kallas minskar , om var och en av dess medlemmar, med b?rjan fr?n den andra, ?r mindre ?n den f?reg?ende.

Till exempel,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — ?kande sekvens;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — avtagande sekvens. ?

En sekvens vars element inte minskar n?r antalet ?kar, eller omv?nt inte ?kar, kallas monoton sekvens .

Monotona sekvenser ?r i synnerhet ?kande sekvenser och minskande sekvenser.

Aritmetisk progression

Aritmetisk progression ?r en sekvens d?r varje medlem, med b?rjan fr?n den andra, ?r lika med den f?reg?ende, till vilken samma nummer l?ggs till.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , en, . . .

?r en aritmetisk progression om f?r n?got naturligt tal n villkoret ?r uppfyllt:

en +1 = en + d,

Var d - ett visst antal.

S?ledes ?r skillnaden mellan de efterf?ljande och f?reg?ende termerna f?r en given aritmetisk progression alltid konstant:

en 2 - a 1 = en 3 - a 2 = . . . = en +1 - en = d.

siffra d kallad skillnad i aritmetisk progression.

F?r att definiera en aritmetisk progression r?cker det att ange dess f?rsta term och skillnad.

Till exempel,

Om a 1 = 3, d = 4 , sedan hittar vi de f?rsta fem termerna i sekvensen enligt f?ljande:

en 1 =3,

en 2 = en 1 + d = 3 + 4 = 7,

en 3 = en 2 + d= 7 + 4 = 11,

en 4 = en 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ?

F?r en aritmetisk progression med den f?rsta termen a 1 och skillnaden d henne n

en = en 1 + (n- 1)d.

Till exempel,

hitta den trettionde termen i den aritmetiska progressionen

1, 4, 7, 10, . . .

en 1 =1, d = 3,

en 30 = en 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ?

en n-1 = en 1 + (n- 2)d,

en= en 1 + (n- 1)d,

en +1 = a 1 + nd,

d? uppenbarligen

en=	a n-1 + a n+1
	2

Varje medlem av en aritmetisk progression, med b?rjan fr?n den andra, ?r lika med det aritmetiska medelv?rdet av f?reg?ende och efterf?ljande medlemmar.

talen a, b och c ?r p? varandra f?ljande termer av n?gon aritmetisk progression om och endast om en av dem ?r lika med det aritmetiska medelv?rdet av de andra tv?.

Till exempel,

en = 2n- 7 , ?r en aritmetisk progression.

L?t oss anv?nda uttalandet ovan. Vi har:

en = 2n- 7,

en n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

D?rav,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = en,
2		2

?

Anteckna det n Den th termen av en aritmetisk progression kan hittas inte bara genom a 1 , men ocks? alla tidigare ett k

en = ett k + (n- k)d.

Till exempel,

F?r a 5 kan skrivas ner

en 5 = en 1 + 4d,

en 5 = en 2 + 3d,

en 5 = en 3 + 2d,

en 5 = en 4 + d. ?

en = en n-k + kd,

en = a n+k - kd,

d? uppenbarligen

en=	a n-k + a n+k
	2

varje medlem av en aritmetisk progression, med b?rjan fr?n den andra, ?r lika med halva summan av de lika f?rdelade medlemmarna av denna aritmetiska progression.

Dessutom g?ller f?ljande likhet f?r varje aritmetisk progression:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Till exempel,

i aritmetisk progression

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = en 10:a = en 3 + 7d= 7 + 73 = 7 + 21 = 28;

3) en 10:a= 28 = (19 + 37)/2 = (en 7 + en 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, d?rf?r att

en 2 + en 12= 4 + 34 = 38,

en 5 + en 9 = 13 + 25 = 38. ?

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ en,

f?rst n termer av en aritmetisk progression ?r lika med produkten av halva summan av extremtermerna och antalet termer:

H?rifr?n, i synnerhet, f?ljer att om du beh?ver summera villkoren

ett k, ett k +1 , . . . , en,

d? beh?ller den f?reg?ende formeln sin struktur:

Till exempel,

i aritmetisk progression 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ?

Om en aritmetisk progression ges, d? kvantiteterna a 1 , en, d, n OchS n sammankopplade med tv? formler:

D?rf?r, om v?rdena f?r tre av dessa kvantiteter anges, best?ms motsvarande v?rden f?r de andra tv? kvantiteterna fr?n dessa formler, kombinerade till ett system med tv? ekvationer med tv? ok?nda.

En aritmetisk progression ?r en monoton sekvens. Vart i:

• Om d > 0 , d? ?kar det;
• Om d < 0 , d? minskar det;
• Om d = 0 , d? blir sekvensen station?r.

Geometrisk progression

Geometrisk progression ?r en sekvens d?r varje medlem, med b?rjan fr?n den andra, ?r lika med den f?reg?ende multiplicerad med samma tal.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

?r en geometrisk progression om f?r n?got naturligt tal n villkoret ?r uppfyllt:

b n +1 = b n · q,

Var q ? 0 - ett visst antal.

S?ledes ?r f?rh?llandet mellan den efterf?ljande termen f?r en given geometrisk progression och den f?reg?ende ett konstant tal:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

siffra q kallad n?mnare f?r geometrisk progression.

F?r att definiera en geometrisk progression r?cker det att ange dess f?rsta term och n?mnare.

Till exempel,

Om b 1 = 1, q = -3 , sedan hittar vi de f?rsta fem termerna i sekvensen enligt f?ljande:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ?

b 1 och n?mnare q henne n Termen kan hittas med formeln:

b n = b 1 · qn -1 .

Till exempel,

hitta den sjunde termen i den geometriska progressionen 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ?

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

d? uppenbarligen

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

varje del av den geometriska progressionen, med b?rjan fr?n den andra, ?r lika med det geometriska medelv?rdet (proportionell) av f?reg?ende och efterf?ljande delar.

Eftersom det omv?nda ocks? ?r sant, g?ller f?ljande uttalande:

talen a, b och c ?r p? varandra f?ljande termer av n?gon geometrisk progression om och endast om kvadraten p? en av dem ?r lika med produkten av de andra tv?, det vill s?ga ett av talen ?r det geometriska medelv?rdet av de andra tv?.

Till exempel,

L?t oss bevisa att sekvensen ges av formeln b n= -3 2 n , ?r en geometrisk progression. L?t oss anv?nda uttalandet ovan. Vi har:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

D?rav,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

vilket bevisar det ?nskade uttalandet. ?

Anteckna det n Den th termen av en geometrisk progression kan hittas inte bara genom b 1 , men ?ven n?gon tidigare medlem b k , f?r vilket det r?cker att anv?nda formeln

b n = b k · qn - k.

Till exempel,

F?r b 5 kan skrivas ner

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ?

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

d? uppenbarligen

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadraten p? en term i en geometrisk progression, med b?rjan fr?n den andra, ?r lika med produkten av termerna f?r denna progression p? samma avst?nd fr?n den.

Dessutom, f?r varje geometrisk progression ?r likheten sann:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Till exempel,

i geometrisk progression

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , d?rf?r att

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ?

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

f?rst n medlemmar av en geometrisk progression med n?mnare q ? 0 ber?knas med formeln:

Och n?r q = 1 - enligt formeln

S n= anm 1

Observera att om du beh?ver summera villkoren

b k, b k +1 , . . . , b n,

d? anv?nds formeln:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Till exempel,

i geometrisk progression 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ?

Om en geometrisk progression ges, d? m?ngderna b 1 , b n, q, n Och S n sammankopplade med tv? formler:

D?rf?r, om v?rdena f?r n?gon av tre av dessa kvantiteter anges, best?ms motsvarande v?rden f?r de andra tv? kvantiteterna fr?n dessa formler, kombinerade till ett system med tv? ekvationer med tv? ok?nda.

F?r en geometrisk progression med den f?rsta termen b 1 och n?mnare q f?ljande ske egenskaper hos monotoni :

• progressionen ?kar om n?got av f?ljande villkor ?r uppfyllt:

b 1 > 0 Och q> 1;

b 1 < 0 Och 0 < q< 1;

• F?rloppet minskar om n?got av f?ljande villkor ?r uppfyllt:

b 1 > 0 Och 0 < q< 1;

b 1 < 0 Och q> 1.

Om q< 0 , d? ?r den geometriska utvecklingen alternerande: dess termer med udda tal har samma tecken som dess f?rsta term, och termer med j?mna tal har motsatt tecken. Det ?r tydligt att en alternerande geometrisk progression inte ?r monoton.

Produkten av den f?rsta n termer f?r en geometrisk progression kan ber?knas med formeln:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Till exempel,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.?

O?ndligt minskande geometrisk progression

O?ndligt minskande geometrisk progression kallas en o?ndlig geometrisk progression vars n?mnarmodul ?r mindre 1 , det ?r

|q| < 1 .

Observera att en o?ndligt minskande geometrisk progression kanske inte ?r en minskande sekvens. Det passar tillf?llet

1 < q< 0 .

Med en s?dan n?mnare ?r sekvensen alternerande. Till exempel,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Summan av en o?ndligt minskande geometrisk progression n?mn det tal som summan av de f?rsta n?rmar sig utan gr?ns n medlemmar i en progression med en obegr?nsad ?kning av antalet n . Detta tal ?r alltid ?ndligt och uttrycks med formeln

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Till exempel,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ?

Samband mellan aritmetiska och geometriska progressioner

Aritmetiska och geometriska progressioner ?r n?ra besl?ktade. L?t oss bara titta p? tv? exempel.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Den d?r

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Till exempel,

1, 3, 5, . . . - aritmetisk progression med skillnad 2 Och

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrisk progression med n?mnare 7 2 . ?

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrisk progression med n?mnare q , Den d?r

logga a b 1, logga a b 2, logga a b 3, . . . - aritmetisk progression med skillnad logga aq .

Till exempel,

2, 12, 72, . . . - geometrisk progression med n?mnare 6 Och

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetisk progression med skillnad lg 6 . ?

F?rsta niv?n

Aritmetisk progression. Detaljerad teori med exempel (2019)

Nummerf?ljd

S? l?t oss s?tta oss ner och b?rja skriva n?gra siffror. Till exempel:
Du kan skriva vilka siffror som helst, och det kan finnas hur m?nga som helst (i v?rt fall finns det dem). Oavsett hur m?nga siffror vi skriver kan vi alltid s?ga vilket som ?r f?rst, vilket som ?r tv?a, och s? vidare tills det sista, det vill s?ga vi kan numrera dem. Detta ?r ett exempel p? en nummersekvens:

Nummerf?ljd
Till exempel f?r v?r sekvens:

Det tilldelade numret ?r specifikt f?r endast ett nummer i sekvensen. Det finns med andra ord inga tresekundersnummer i sekvensen. Den andra siffran (som det th siffran) ?r alltid densamma.
Talet med nummer kallas sekvensens:e term.

Vi brukar kalla hela sekvensen med n?gon bokstav (till exempel), och varje medlem i denna sekvens ?r samma bokstav med ett index som ?r lika med numret p? denna medlem: .

I v?rat fall:

L?t oss s?ga att vi har en talf?ljd d?r skillnaden mellan intilliggande tal ?r densamma och lika.
Till exempel:

etc.
Denna talsekvens kallas en aritmetisk progression.
Termen "progression" introducerades av den romerske f?rfattaren Boethius redan p? 600-talet och uppfattades i en vidare mening som en o?ndlig numerisk sekvens. Namnet "aritmetik" ?verf?rdes fr?n teorin om kontinuerliga proportioner, som studerades av de gamla grekerna.

Detta ?r en nummersekvens d?r varje medlem ?r lika med den f?reg?ende som l?ggs till samma nummer. Detta tal kallas skillnaden f?r en aritmetisk progression och betecknas.

F?rs?k att avg?ra vilka talsekvenser som ?r en aritmetisk progression och vilka som inte ?r det:

a)
b)
c)
d)

Jag fattar? L?t oss j?mf?ra v?ra svar:
?r aritmetisk progression - b, c.
?r inte aritmetisk progression - a, d.

L?t oss ?terg? till den givna progressionen () och f?rs?ka hitta v?rdet av dess :e term. Existerar tv? s?tt att hitta det.

1. Metod

Vi kan l?gga till progressionsnumret till det f?reg?ende v?rdet tills vi n?r progressionens tredje term. Det ?r bra att vi inte har s? mycket att sammanfatta - bara tre v?rden:

S?, den e termen i den beskrivna aritmetiska progressionen ?r lika med.

2. Metod

T?nk om vi beh?vde hitta v?rdet av progressionens tredje term? Summeringen skulle ta oss mer ?n en timme, och det ?r inte ett faktum att vi inte skulle g?ra misstag n?r vi l?gger till siffror.
Naturligtvis har matematiker kommit p? ett s?tt d?r det inte ?r n?dv?ndigt att l?gga till skillnaden mellan en aritmetisk progression till det tidigare v?rdet. Titta n?rmare p? den ritade bilden... Du har s?kert redan lagt m?rke till ett visst m?nster, n?mligen:

L?t oss till exempel se vad v?rdet av den e termen i denna aritmetiska progression best?r av:


Med andra ord:

F?rs?k sj?lv hitta v?rdet av en medlem av en given aritmetisk progression p? detta s?tt.

Har du r?knat? J?mf?r dina anteckningar med svaret:

Observera att du fick exakt samma nummer som i den f?reg?ende metoden, n?r vi sekventiellt lade till termerna f?r den aritmetiska progressionen till det f?reg?ende v?rdet.
L?t oss f?rs?ka "avpersonifiera" denna formel - l?t oss s?tta den i allm?n form och f?:

Aritmetisk progressionsekvation.

Aritmetiska progressioner kan vara ?kande eller minskande.

?kande- progressioner d?r varje efterf?ljande v?rde av termerna ?r st?rre ?n det f?reg?ende.
Till exempel:

Ned?tg?ende- f?rlopp d?r varje efterf?ljande v?rde av termerna ?r mindre ?n det f?reg?ende.
Till exempel:

Den h?rledda formeln anv?nds vid ber?kning av termer i b?de ?kande och minskande termer av en aritmetisk progression.
L?t oss kontrollera detta i praktiken.
Vi f?r en aritmetisk progression som best?r av f?ljande siffror: L?t oss kontrollera vad det e talet i denna aritmetiska progression kommer att bli om vi anv?nder v?r formel f?r att ber?kna det:

Sedan dess:

S?ledes ?r vi ?vertygade om att formeln fungerar i b?de minskande och ?kande aritmetisk progression.
F?rs?k sj?lv hitta de e och e termerna f?r denna aritmetiska progression.

L?t oss j?mf?ra resultaten:

Aritmetisk progressionsegenskap

L?t oss komplicera problemet - vi kommer att h?rleda egenskapen f?r aritmetisk progression.
L?t oss s?ga att vi f?r f?ljande villkor:
- aritmetisk progression, hitta v?rdet.
L?tt, s?ger du och b?rjar r?kna enligt formeln du redan k?nner till:

L?t, ah, d?:

Fullst?ndigt r?tt. Det visar sig att vi f?rst hittar, sedan l?gger vi till det f?rsta numret och f?r det vi letar efter. Om progressionen representeras av sm? v?rden, s? ?r det inget komplicerat med det, men vad h?nder om vi f?r siffror i tillst?ndet? H?ller med, det finns en m?jlighet att g?ra fel i ber?kningarna.
Fundera nu p? om det ?r m?jligt att l?sa detta problem i ett steg med n?gon formel? Naturligtvis ja, och det ?r vad vi ska f?rs?ka f? fram nu.

L?t oss beteckna den n?dv?ndiga termen f?r den aritmetiska progressionen som formeln f?r att hitta den ?r k?nd f?r oss - detta ?r samma formel som vi h?rledde i b?rjan:
, Sedan:

• f?reg?ende termin av progressionen ?r:
• n?sta termin av progressionen ?r:

L?t oss summera de f?reg?ende och efterf?ljande termerna f?r progressionen:

Det visar sig att summan av f?reg?ende och efterf?ljande termer av progressionen ?r det dubbla v?rdet av progressionstermen som ligger mellan dem. Med andra ord, f?r att hitta v?rdet p? progressionstermen med k?nda tidigare och efterf?ljande v?rden m?ste du l?gga till dem och dividera med.

Det st?mmer, vi fick samma nummer. L?t oss s?kra materialet. Ber?kna v?rdet f?r utvecklingen sj?lv, det ?r inte alls sv?rt.

Bra gjort! Du vet n?stan allt om progression! Det ?terst?r att ta reda p? bara en formel, som enligt legenden l?tt h?rleddes f?r sig sj?lv av en av de st?rsta matematikerna genom tiderna, "matematikernas kung" - Karl Gauss ...

N?r Carl Gauss var 9 ?r gammal fr?gade en l?rare, upptagen med att kontrollera elevernas arbete i andra klasser, f?ljande uppgift i klassen: "Ber?kna summan av alla naturliga tal fr?n till (enligt andra k?llor till) inklusive." F?rest?ll dig l?rarens f?rv?ning n?r en av hans elever (det h?r var Karl Gauss) en minut senare gav r?tt svar p? uppgiften, medan de flesta av v?ghalsens klasskamrater, efter l?nga ber?kningar, fick fel resultat...

Unge Carl Gauss m?rkte ett visst m?nster som du ocks? l?tt kan l?gga m?rke till.
L?t oss s?ga att vi har en aritmetisk progression som best?r av -th termer: Vi m?ste hitta summan av dessa termer av den aritmetiska progressionen. Naturligtvis kan vi manuellt summera alla v?rden, men t?nk om uppgiften kr?ver att man hittar summan av dess termer, som Gauss letade efter?

L?t oss skildra den utveckling som vi f?tt. Ta en n?rmare titt p? de markerade siffrorna och f?rs?k utf?ra olika matematiska operationer med dem.


Har du provat det? Vad m?rkte du? H?ger! Deras summor ?r lika

S?g mig nu, hur m?nga s?dana par finns det totalt i den progression som vi f?tt? Naturligtvis exakt h?lften av alla siffror, allts?.
Baserat p? det faktum att summan av tv? termer i en aritmetisk progression ?r lika, och liknande par ?r lika, f?r vi att den totala summan ?r lika med:
.
S?ledes kommer formeln f?r summan av de f?rsta termerna i varje aritmetisk progression att vara:

I vissa problem k?nner vi inte till den e termen, men vi vet skillnaden i progressionen. F?rs?k att ers?tta formeln f?r den e termen i summaformeln.
Vad fick du?

Bra gjort! L?t oss nu ?terg? till problemet som st?lldes till Carl Gauss: ber?kna p? egen hand vad summan av talen som b?rjar fr?n th ?r lika med och summan av siffror som b?rjar fr?n th.

Hur mycket fick du?
Gauss fann att summan av termerna ?r lika, och summan av termerna. Var det det du best?mde dig f?r?

Faktum ?r att formeln f?r summan av termer f?r en aritmetisk progression bevisades av den antika grekiska vetenskapsmannen Diophantus redan p? 300-talet, och under hela denna tid utnyttjade kvicka m?nniskor till fullo egenskaperna hos en aritmetisk progression.
F?rest?ll dig till exempel det antika Egypten och d?tidens st?rsta byggprojekt - byggandet av en pyramid... Bilden visar en sida av den.

Var ?r utvecklingen h?r s?ger du? Titta noga och hitta ett m?nster i antalet sandblock i varje rad av pyramidv?ggen.


Varf?r inte en aritmetisk progression? Ber?kna hur m?nga block som beh?vs f?r att bygga en v?gg om blockstenar placeras vid basen. Jag hoppas att du inte r?knar n?r du flyttar fingret ?ver monitorn, kommer du ih?g den senaste formeln och allt vi sa om aritmetisk progression?

I det h?r fallet ser utvecklingen ut s? h?r: .
Aritmetisk progressionsskillnad.
Antalet termer i en aritmetisk progression.
L?t oss ers?tta v?ra data med de sista formlerna (ber?kna antalet block p? 2 s?tt).

Metod 1.

Metod 2.

Och nu kan du ber?kna p? monitorn: j?mf?r de erh?llna v?rdena med antalet block som finns i v?r pyramid. Jag fattar? Bra gjort, du har bem?strat summan av de n:te termerna i en aritmetisk progression.
Naturligtvis kan du inte bygga en pyramid fr?n block vid basen, men fr?n? F?rs?k att ber?kna hur m?nga sandtegel som beh?vs f?r att bygga en v?gg med detta tillst?nd.
Klarade du dig?
R?tt svar ?r block:

Tr?ning

Uppgifter:

1. Masha kommer i form inf?r sommaren. Varje dag ?kar hon antalet kn?b?j med. Hur m?nga g?nger kommer Masha att k?ra kn?b?j p? en vecka om hon k?rde kn?b?j vid f?rsta tr?ningspasset?
2. Vad ?r summan av alla udda tal som finns i.
3. Vid lagring av stockar staplar loggare dem p? ett s?dant s?tt att varje ?versta lager inneh?ller en stock mindre ?n den f?reg?ende. Hur m?nga stockar ?r det i ett murverk, om murverkets grund ?r stockar?

Svar:

1. L?t oss definiera parametrarna f?r den aritmetiska progressionen. I detta fall
   (veckor = dagar).

   Svar: Om tv? veckor ska Masha g?ra kn?b?j en g?ng om dagen.

2. F?rsta udda nummer, sista nummer.
   Aritmetisk progressionsskillnad.
   Antalet udda tal i ?r h?lften, men l?t oss kontrollera detta faktum med hj?lp av formeln f?r att hitta den tredje termen i en aritmetisk progression:

   Siffror inneh?ller udda tal.
   L?t oss ers?tta den tillg?ngliga informationen i formeln:

   Svar: Summan av alla udda tal som finns i ?r lika.

3. L?t oss komma ih?g problemet med pyramider. F?r v?rt fall, en , eftersom varje ?versta lager reduceras med en stock, s? finns det totalt ett g?ng lager, det vill s?ga.
   L?t oss ers?tta data i formeln:

   Svar: Det finns stockar i murverket.

L?t oss sammanfatta det

1. - en talf?ljd d?r skillnaden mellan angr?nsande tal ?r densamma och lika. Det kan vara ?kande eller minskande.
2. Hitta formel Den e termen i en aritmetisk progression skrivs av formeln - , d?r ?r antalet tal i progressionen.
3. Egenskapen f?r medlemmar i en aritmetisk progression- - var ?r antalet siffror p? g?ng.
4. Summan av termerna f?r en aritmetisk progression kan hittas p? tv? s?tt:
   
   , var ?r antalet v?rden.

ARITMETISK PROGRESSION. GENOMSNITTLIG NIV?

Nummerf?ljd

L?t oss s?tta oss ner och b?rja skriva n?gra siffror. Till exempel:

Du kan skriva vilka siffror som helst, och det kan finnas hur m?nga som helst. Men vi kan alltid s?ga vilken som ?r f?rst, vilken som ?r tv?a och s? vidare, det vill s?ga vi kan numrera dem. Detta ?r ett exempel p? en nummersekvens.

Nummerf?ljd?r en upps?ttning nummer som vart och ett kan tilldelas ett unikt nummer.

Med andra ord kan varje nummer associeras med ett visst naturligt tal, och ett unikt. Och vi kommer inte att tilldela detta nummer till n?got annat nummer fr?n denna upps?ttning.

Numret med nummer kallas den:e medlemmen i sekvensen.

Vi brukar kalla hela sekvensen med n?gon bokstav (till exempel), och varje medlem i denna sekvens ?r samma bokstav med ett index som ?r lika med numret p? denna medlem: .

Det ?r mycket bekv?mt om den :e termen i sekvensen kan specificeras med n?gon formel. Till exempel formeln

st?ller in sekvensen:

Och formeln ?r f?ljande sekvens:

Till exempel ?r en aritmetisk progression en sekvens (den f?rsta termen h?r ?r lika, och skillnaden ?r det). Eller (, skillnad).

formel f?r n:e termen

Vi kallar en formel ?terkommande d?r du, f?r att ta reda p? den e termen, beh?ver k?nna till de f?reg?ende eller flera tidigare:

F?r att till exempel hitta den:e termen i progressionen med denna formel m?ste vi ber?kna de f?reg?ende nio. Till exempel, l?t det. Sedan:

N?v?l, ?r det klart nu vad formeln ?r?

I varje rad l?gger vi till, multiplicerat med n?got tal. Vilken? Mycket enkelt: detta ?r numret p? den nuvarande medlemmen minus:

Mycket bekv?mare nu, eller hur? Vi kontrollerar:

Best?m sj?lv:

I en aritmetisk progression, hitta formeln f?r den n:e termen och hitta den hundrade termen.

L?sning:

Den f?rsta termen ?r lika. Vad ?r skillnaden? H?r ?r vad:

(Det ?r d?rf?r det kallas skillnad eftersom det ?r lika med skillnaden mellan successiva termer av progressionen).

S? formeln:

D? ?r den hundrade termen lika med:

Vad ?r summan av alla naturliga tal fr?n till?

Enligt legenden ber?knade den store matematikern Carl Gauss, som en 9-?rig pojke, denna m?ngd p? n?gra minuter. Han m?rkte att summan av de f?rsta och sista siffrorna ?r lika, summan av den andra och den n?st sista ?r densamma, summan av den tredje och 3:e fr?n slutet ?r densamma, och s? vidare. Hur m?nga s?dana par finns det totalt? Det st?mmer, exakt h?lften av alla siffror, allts?. S?,

Den allm?nna formeln f?r summan av de f?rsta termerna i varje aritmetisk progression kommer att vara:

Exempel:
Hitta summan av alla tv?siffriga multiplar.

L?sning:

Det f?rsta s?dana numret ?r detta. Varje efterf?ljande nummer erh?lls genom att l?gga till f?reg?ende nummer. S?ledes bildar talen vi ?r intresserade av en aritmetisk progression med den f?rsta termen och skillnaden.

Formel f?r den e termen f?r denna progression:

Hur m?nga termer finns det i progressionen om alla m?ste vara tv?siffriga?

V?ldigt l?tt: .

Den sista terminen av progressionen kommer att vara lika. Sedan summan:

Svar: .

Best?m nu sj?lv:

1. Varje dag springer idrottaren fler meter ?n f?reg?ende dag. Hur m?nga kilometer totalt kommer han att springa p? en vecka om han sprang km m den f?rsta dagen?
2. En cyklist f?rdas fler kilometer varje dag ?n f?reg?ende dag. F?rsta dagen reste han km. Hur m?nga dagar beh?ver han resa f?r att klara en kilometer? Hur m?nga kilometer kommer han att resa under den sista dagen av sin resa?
3. Priset p? ett kylsk?p i butik minskar lika mycket varje ?r. Best?m hur mycket priset p? ett kylsk?p minskade varje ?r om det, s?ljs f?r rubel, sex ?r senare s?ldes f?r rubel.

Svar:

1. Det viktigaste h?r ?r att k?nna igen den aritmetiska progressionen och best?mma dess parametrar. I det h?r fallet (veckor = dagar). Du m?ste best?mma summan av de f?rsta termerna i denna progression:
   .
   Svar:
2. H?r anges: , m?ste hittas.
   Sj?lvklart m?ste du anv?nda samma summaformel som i f?reg?ende problem:
   .
   Byt ut v?rdena:

   Roten passar uppenbarligen inte, s? svaret ?r.
   L?t oss ber?kna v?gen tillryggalagd den senaste dagen med hj?lp av formeln f?r den e termen:
   (km).
   Svar:

3. Givet: . Hitta: .
   Det kan inte vara enklare:
   (gnugga).
   Svar:

ARITMETISK PROGRESSION. KORT OM DE VIKTIGASTE SAKERNA

Detta ?r en nummersekvens d?r skillnaden mellan intilliggande tal ?r densamma och lika.

Aritmetisk progression kan vara ?kande () och minskande ().

Till exempel:

Formel f?r att hitta den n:e termen i en aritmetisk progression

skrivs av formeln, d?r ?r antalet siffror p? g?ng.

Egenskapen f?r medlemmar i en aritmetisk progression

Det l?ter dig enkelt hitta en term f?r en progression om dess n?rliggande termer ?r k?nda - var ?r antalet siffror i progressionen.

Summan av termer f?r en aritmetisk progression

Det finns tv? s?tt att hitta beloppet:

Var ?r antalet v?rden.

Var ?r antalet v?rden.

Konceptet med en talsekvens inneb?r att varje naturligt tal motsvarar n?got verkligt v?rde. En s?dan nummerserie kan antingen vara godtycklig eller ha vissa egenskaper - en progression. I det senare fallet kan varje efterf?ljande element (medlem) i sekvensen ber?knas med den f?reg?ende.

En aritmetisk progression ?r en sekvens av numeriska v?rden d?r dess n?rliggande medlemmar skiljer sig fr?n varandra med samma nummer (alla element i serien, fr?n och med den andra, har en liknande egenskap). Detta tal - skillnaden mellan f?reg?ende och efterf?ljande termer - ?r konstant och kallas progressionsskillnaden.

Progressionsskillnad: definition

Betrakta en sekvens som best?r av j-v?rden A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j tillh?r m?ngden naturliga tal N. En aritmetik progression, enligt dess definition, ?r en sekvens , d?r a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. V?rdet d ?r den ?nskade skillnaden f?r denna utveckling.

d = a(j) - a(j-1).

Markera:

• En ?kande progression, i vilket fall d > 0. Exempel: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Minskande progression, sedan d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Skillnadsprogression och dess godtyckliga element

Om 2 godtyckliga termer av progressionen ?r k?nda (i-th, k-th), kan skillnaden f?r en given sekvens best?mmas baserat p? f?rh?llandet:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, vilket betyder d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Skillnad i progression och dess f?rsta termin

Detta uttryck hj?lper till att best?mma ett ok?nt v?rde endast i fall d?r numret p? sekvenselementet ?r k?nt.

Progressionsskillnad och dess summa

Summan av en progression ?r summan av dess termer. F?r att ber?kna det totala v?rdet av dess f?rsta j-element, anv?nd l?mplig formel:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, men sedan a(j) = a(1) + d(j – 1), sedan S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Kalkylator online.
L?sa en aritmetisk progression.
Givet: a n , d, n
Hitta: en 1

Detta matematiska program hittar \(a_1\) av en aritmetisk progression baserat p? anv?ndarspecificerade siffror \(a_n, d\) och \(n\).
Talen \(a_n\) och \(d\) kan anges inte bara som heltal utan ocks? som br?k. Dessutom kan br?ktalet anges i form av ett decimaltal (\(2,5\)) och i form av ett vanligt br?ktal (\(-5\frac(2)(7)\)).

Programmet ger inte bara svaret p? problemet, utan visar ocks? processen f?r att hitta en l?sning.

Denna online-kalkylator kan vara anv?ndbar f?r gymnasieelever i gymnasieskolor n?r de f?rbereder sig f?r prov och tentor, n?r de testar kunskaper inf?r Unified State Exam och f?r f?r?ldrar att kontrollera l?sningen av m?nga problem i matematik och algebra.

Eller kanske det ?r f?r dyrt f?r dig att anlita en handledare eller k?pa nya l?rob?cker? Eller vill du bara f? dina matte- eller algebral?xor gjorda s? snabbt som m?jligt? I det h?r fallet kan du ?ven anv?nda v?ra program med detaljerade l?sningar.

P? s? s?tt kan du bedriva egen tr?ning och/eller tr?ning av dina yngre br?der eller systrar samtidigt som utbildningsniv?n inom probleml?sningsomr?det ?kar.

Om du inte ?r bekant med reglerna f?r inmatning av siffror rekommenderar vi att du bekantar dig med dem.

Talen \(a_n\) och \(d\) kan anges inte bara som heltal utan ocks? som br?k.
Talet \(n\) kan bara vara ett positivt heltal.

Regler f?r inmatning av decimalbr?k.
Heltals- och br?kdelarna i decimalbr?k kan separeras med antingen punkt eller kommatecken.
Du kan till exempel ange decimalbr?k som 2,5 eller 2,5

Regler f?r inmatning av vanliga br?k.
Endast ett heltal kan fungera som t?ljare, n?mnare och heltalsdel av ett br?k.

N?mnaren kan inte vara negativ.

N?r du anger ett numeriskt br?k, skiljs t?ljaren fr?n n?mnaren med ett divisionstecken: /
Inmatning:
Resultat: \(-\frac(2)(3)\)

Hela delen separeras fr?n br?ket med et-tecken: &
Inmatning:
Resultat: \(-1\frac(2)(3)\)

Ange siffrorna a n , d, n

Hitta en 1

Det uppt?cktes att vissa skript som beh?vs f?r att l?sa detta problem inte laddades och programmet kanske inte fungerar.
Du kan ha AdBlock aktiverat.
I det h?r fallet inaktiverar du den och uppdaterar sidan.

JavaScript ?r inaktiverat i din webbl?sare.
F?r att l?sningen ska visas m?ste du aktivera JavaScript.
H?r ?r instruktioner om hur du aktiverar JavaScript i din webbl?sare.

D?rf?r att Det finns m?nga m?nniskor som ?r villiga att l?sa problemet, din f?rfr?gan har st?llts i k?.
Om n?gra sekunder kommer l?sningen att dyka upp nedan.
V?nta sek...

Om du uppt?ckte ett fel i l?sningen, d? kan du skriva om detta i Feedbackformul?ret.
Gl?m inte ange vilken uppgift du best?mmer vad ange i f?lten.

V?ra spel, pussel, emulatorer:

Lite teori.

Nummerf?ljd

I den dagliga praktiken anv?nds ofta numrering av olika f?rem?l f?r att ange i vilken ordning de ?r ordnade. Till exempel ?r husen p? varje gata numrerade. I biblioteket numreras l?sarnas prenumerationer och ordnas sedan i ordning med tilldelade nummer i s?rskilda kortfiler.

I en sparbank, med hj?lp av ins?ttarens personliga kontonummer, kan du enkelt hitta detta konto och se vilken ins?ttning som finns p? det. L?t konto nr 1 inneh?lla en ins?ttning p? a1 rubel, konto nr 2 inneh?lla en ins?ttning p? a2 rubel etc. Det visar sig nummerf?ljd
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
d?r N ?r antalet av alla konton. H?r ?r varje naturligt tal n fr?n 1 till N associerat med ett tal a n.

Har ?ven studerat matematik o?ndliga talsekvenser:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Siffran a 1 kallas f?rsta termen i sekvensen, nummer a 2 - andra termen i sekvensen, nummer a 3 - tredje termen i sekvensen etc.
Talet a n kallas n:te (n:te) medlemmen av sekvensen, och det naturliga talet n ?r dess siffra.

Till exempel, i sekvensen av kvadrater av naturliga tal 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... och 1 = 1 ?r den f?rsta termen i sekvensen; och n = n2 ?r den n:te termen i sekvensen; a n+1 = (n + 1) 2 ?r den (n + 1):e (n plus f?rsta) termen i sekvensen. Ofta kan en sekvens specificeras med formeln f?r dess n:e term. Till exempel, formeln \(a_n=\frac(1)(n), \; n \i \mathbb(N) \) definierar sekvensen \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Aritmetisk progression

?rets l?ngd ?r cirka 365 dagar. Ett mer exakt v?rde ?r \(365\frac(1)(4)\) dagar, s? vart fj?rde ?r ackumuleras ett fel p? en dag.

F?r att f?rklara detta fel l?ggs en dag till vart fj?rde ?r och det ut?kade ?ret kallas skott?r.

Till exempel, under det tredje millenniet ?r skott?r ?ren 2004, 2008, 2012, 2016, ....

I denna sekvens ?r varje medlem, fr?n den andra, lika med den f?reg?ende, l?ggs till samma nummer 4. S?dana sekvenser kallas aritmetiska progressioner.

Definition.
Talf?ljden a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... kallas aritmetisk progression, om f?r alla naturliga n j?mlikheten
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
d?r d ?r n?got tal.

Av denna formel f?ljer att a n+1 - a n = d. Talet d kallas skillnaden aritmetisk progression.

Per definition av en aritmetisk progression har vi:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
var
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), d?r \(n>1 \)

S?ledes ?r varje term i en aritmetisk progression, med b?rjan fr?n den andra, lika med det aritmetiska medelv?rdet av dess tv? angr?nsande termer. Detta f?rklarar namnet "arithmetic" progression.

Observera att om a 1 och d ges, s? kan de ?terst?ende termerna av den aritmetiska progressionen ber?knas med den ?terkommande formeln a n+1 = a n + d. P? s? s?tt ?r det inte sv?rt att ber?kna de f?rsta termerna av progressionen, men till exempel kommer en 100:a redan att kr?va en hel del ber?kningar. Vanligtvis anv?nds den n:e termformeln f?r detta. Per definition av aritmetisk progression
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
etc.
Alls,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
eftersom den n:e termen i en aritmetisk progression erh?lls fr?n den f?rsta termen genom att addera (n-1) g?nger talet d.
Denna formel kallas formel f?r den n:e termen i en aritmetisk progression.

Summan av de f?rsta n termerna av en aritmetisk progression

Hitta summan av alla naturliga tal fr?n 1 till 100.
L?t oss skriva detta belopp p? tv? s?tt:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
L?t oss l?gga till dessa j?mlikheter term f?r term:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Denna summa har 100 villkor
D?rf?r ?r 2S = 101 * 100, d?rav S = 101 * 50 = 5050.

L?t oss nu betrakta en godtycklig aritmetisk progression
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
L?t S n vara summan av de f?rsta n termerna i denna progression:
Sn = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Sedan summan av de f?rsta n termerna i en aritmetisk progression ?r lika med
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Eftersom \(a_n=a_1+(n-1)d\), d? vi ers?tter ett n i denna formel f?r vi en annan formel f?r att hitta summan av de f?rsta n termerna i en aritmetisk progression:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

B?cker (l?rob?cker) Sammandrag av Unified State Examination och Unified State Examination tester online Spel, pussel Rita grafer ?ver funktioner Stavningsordbok f?r det ryska spr?ket Ordbok f?r ungdomsslang Katalog ?ver ryska skolor Katalog ?ver gymnasieskolor i Ryssland Katalog ?ver ryska universitet Lista av uppgifter

Eller aritmetik ?r en typ av ordnad numerisk sekvens, vars egenskaper studeras i en skolalgebrakurs. Den h?r artikeln diskuterar i detalj fr?gan om hur man hittar summan av en aritmetisk progression.

Vad ?r detta f?r progression?

Innan vi g?r vidare till fr?gan (hur man hittar summan av en aritmetisk progression) ?r det v?rt att f?rst? vad vi pratar om.

Varje sekvens av reella tal som erh?lls genom att addera (subtrahera) n?got v?rde fr?n varje f?reg?ende tal kallas en algebraisk (aritmetisk) progression. Denna definition, n?r den ?vers?tts till matematiskt spr?k, tar formen:

H?r ?r i serienumret f?r elementet i raden a i. Genom att bara veta ett startnummer kan du enkelt ?terst?lla hela serien. Parametern d i formeln kallas progressionsskillnaden.

Det kan l?tt visas att f?r den serie av siffror som ?r under ?verv?gande g?ller f?ljande likhet:

a n = ai + d* (n - 1).

Det vill s?ga, f?r att hitta v?rdet p? det n:e elementet i ordning, b?r du l?gga till skillnaden d till det f?rsta elementet a 1 n-1 g?nger.

Vad ?r summan av en aritmetisk progression: formel

Innan du ger formeln f?r det angivna beloppet ?r det v?rt att ?verv?ga ett enkelt specialfall. Givet en progression av naturliga tal fr?n 1 till 10 m?ste du hitta deras summa. Eftersom det finns f? termer i progressionen (10) ?r det m?jligt att l?sa problemet direkt, det vill s?ga summera alla element i ordning.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Det ?r v?rt att ?verv?ga en intressant sak: eftersom varje term skiljer sig fr?n n?sta med samma v?rde d = 1, kommer den parvisa summeringen av den f?rsta med den tionde, den andra med den nionde och s? vidare att ge samma resultat. Verkligen:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Som du kan se finns det bara 5 av dessa summor, det vill s?ga exakt tv? g?nger mindre ?n antalet element i serien. Om du sedan multiplicerar antalet summor (5) med resultatet av varje summa (11), kommer du fram till resultatet i det f?rsta exemplet.

Om vi generaliserar dessa argument kan vi skriva f?ljande uttryck:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Detta uttryck visar att det inte alls ?r n?dv?ndigt att summera alla element i en rad, det r?cker med att k?nna till v?rdet av den f?rsta a 1 och den sista a n, liksom det totala antalet termer n.

Man tror att Gauss f?rst t?nkte p? denna j?mlikhet n?r han letade efter en l?sning p? ett problem som gavs av sin skoll?rare: summera de f?rsta 100 heltalen.

Summan av element fr?n m till n: formel

Formeln i f?reg?ende stycke svarar p? fr?gan om hur man hittar summan av en aritmetisk progression (de f?rsta elementen), men ofta i problem ?r det n?dv?ndigt att summera en serie tal i mitten av progressionen. Hur man g?r det?

Det enklaste s?ttet att besvara denna fr?ga ?r genom att ?verv?ga f?ljande exempel: l?t det vara n?dv?ndigt att hitta summan av termer fr?n m?nad till n:e. F?r att l?sa problemet b?r du presentera det givna segmentet fr?n m till n av progressionen i form av en ny nummerserie. I denna representation kommer den m:te termen a m att vara den f?rsta, och a n kommer att numreras n-(m-1). I det h?r fallet kommer f?ljande uttryck att erh?llas genom att till?mpa standardformeln f?r summan:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Exempel p? anv?ndning av formler

N?r du vet hur man hittar summan av en aritmetisk progression ?r det v?rt att ?verv?ga ett enkelt exempel p? att anv?nda formlerna ovan.

Nedan ?r en numerisk sekvens, du b?r hitta summan av dess termer, fr?n den 5:e och slutar med den 12:e:

De givna siffrorna indikerar att skillnaden d ?r lika med 3. Med hj?lp av uttrycket f?r det n:e elementet kan du hitta v?rdena f?r den 5:e och 12:e termen av progressionen. Det visar sig:

a5 = ai + d*4 = -4 + 3*4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Genom att k?nna till v?rdena f?r siffrorna i ?ndarna av den algebraiska progressionen som ?verv?gs, och ?ven veta vilka tal i serien de upptar, kan du anv?nda formeln f?r summan som erh?lls i f?reg?ende stycke. Det kommer att visa sig:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Det ?r v?rt att notera att detta v?rde kan erh?llas annorlunda: hitta f?rst summan av de f?rsta 12 elementen med standardformeln, ber?kna sedan summan av de f?rsta 4 elementen med samma formel, subtrahera sedan den andra fr?n den f?rsta summan.