Bland alla trianglar finns det tv? specialtyper: r?tvinkliga trianglar och likbenta trianglar. Varf?r ?r dessa typer av trianglar s? speciella? Tja, f?r det f?rsta visar sig s?dana trianglar extremt ofta vara huvudpersonerna i problemen med Unified State Exam i den f?rsta delen. Och f?r det andra ?r problem om r?ta och likbenta trianglar mycket l?ttare att l?sa ?n andra geometriproblem. Du beh?ver bara k?nna till n?gra regler och egenskaper. Alla de mest intressanta sakerna om r?ta trianglar diskuteras i, men l?t oss nu titta p? likbenta trianglar. Och f?rst av allt, vad ?r en likbent triangel? Eller, som matematiker s?ger, vad ?r definitionen av en likbent triangel?

Se hur det ser ut:

Liksom en r?tvinklig triangel har en likbent triangel speciella namn f?r sina sidor. Tv? lika sidor kallas sidor, och tredje part - grund.

Och ?terigen uppm?rksamma bilden:

Det kan naturligtvis vara s? h?r:

S? var f?rsiktig: lateral sida - en av tv? lika sidor i en likbent triangel, och grunden ?r en tredje part.

Varf?r ?r en likbent triangel s? bra? F?r att f?rst? detta, l?t oss rita h?jden till basen. Kommer du ih?g vad h?jden ?r?

Vad h?nde? Fr?n en likbent triangel f?r vi tv? rektangul?ra.

Detta ?r redan bra, men detta kommer att h?nda i vilken som helst, ?ven den mest "sned" triangeln.

Hur skiljer sig bilden f?r en likbent triangel? Titta igen:

Jo, f?r det f?rsta r?cker det f?rst?s inte f?r dessa konstiga matematiker att bara se – de m?ste s?kert bevisa. Annars ?r pl?tsligt dessa trianglar n?got annorlunda, men vi kommer att betrakta dem p? samma s?tt.

Men oroa dig inte: i det h?r fallet ?r bevisningen n?stan lika l?tt som att se.

Ska vi b?rja? Titta noga, vi har:

Och det betyder! Varf?r? Ja, vi kommer helt enkelt att hitta och, och fr?n Pythagoras sats (kom ih?g samtidigt att)

?r du s?ker? N?v?l, nu har vi det

Och p? tre sidor - det enklaste (tredje) tecknet p? trianglars likhet.

Jo, v?r likbenta triangel har delat sig i tv? identiska rektangul?ra.

Ser du hur intressant det ?r? Det visade sig att:

Hur brukar matematiker prata om detta? L?t oss g? i ordning:

(Kom ih?g att medianen ?r en linje som dras fr?n en vertex som delar sidan p? mitten, och bisektrisen ?r vinkeln.)

Tja, h?r diskuterade vi vilka bra saker som kan ses om de ges en likbent triangel. Vi drog slutsatsen att i en likbent triangel ?r vinklarna vid basen lika, och h?jden, bisekturen och medianen som dras till basen sammanfaller.

Och nu uppst?r en annan fr?ga: hur man k?nner igen en likbent triangel? Det ?r, som matematiker s?ger, vad ?r tecken p? en likbent triangel?

Och det visar sig att du bara beh?ver "v?nda" alla p?st?enden ?t andra h?llet. Detta h?nder naturligtvis inte alltid, men en likbent triangel ?r fortfarande en stor sak! Vad h?nder efter "oms?ttningen"?

Tja, titta:
Om h?jden och medianen sammanfaller, d?:

Om h?jden och bisektrisen sammanfaller, d?:


Om bisektrisen och medianen sammanfaller, d?:

Tja, gl?m inte och anv?nd:

• Om du f?r en likbent triangul?r triangel, rita g?rna h?jden, skaffa tv? r?ta trianglar och l?s problemet om en r?tvinklig triangel.
• Om man f?r det tv? vinklar ?r lika, sedan en triangel exakt likbent och du kan rita h?jden och...(The House That Jack Built...).
• Om det visar sig att h?jden ?r delad p? mitten, ?r triangeln likbent med alla efterf?ljande bonusar.
• Om det visar sig att h?jden delar vinkeln mellan v?ningarna - ?r den ocks? likbent!
• Om en bisektur delar en sida p? mitten eller en median delar en vinkel, s? h?nder detta ocks? endast i en likbent triangel

L?t oss se hur det ser ut i uppgifter.

Problem 1(det enklaste)

I en triangel ?r sidorna och lika, a. Hitta.

Vi best?mmer:

F?rst ritningen.

Vad ?r grunden h?r? Visst, .

L?t oss komma ih?g vad om, d? och.

Uppdaterad ritning:

L?t oss beteckna med. Vad ?r summan av vinklarna i en triangel? ?

Vi anv?nder:

Det ?r svar: .

Inte sv?rt, eller hur? Jag beh?vde inte ens justera h?jden.

Problem 2(Inte heller s?rskilt knepigt, men vi m?ste upprepa ?mnet)

I en triangel, . Hitta.

Vi best?mmer:

Triangeln ?r likbent! Vi ritar h?jden (detta ?r tricket med vilket allt kommer att avg?ras nu).

L?t oss nu "g? ?ver fr?n livet", l?t oss bara titta p? det.

S? vi har:

L?t oss komma ih?g tabellv?rdena f?r cosinus (tja, eller titta p? fuskbladet...)

Allt som ?terst?r ?r att hitta: .

Svar: .

Observera att vi h?r Mycket erforderliga kunskaper om r?ta trianglar och "tabellformiga" sinus och cosinus. Mycket ofta h?nder detta: ?mnena , "Isosceles triangel" och problem g?r ihop, men ?r inte s?rskilt v?nliga med andra ?mnen.

Likbent triangel. Genomsnittlig niv?.

Dessa tv? lika sidor kallas sidor, A den tredje sidan ?r basen av en likbent triangel.

Titta p? bilden: och - sidorna, - basen av den likbenta triangeln.

L?t oss anv?nda en bild f?r att f?rst? varf?r detta h?nder. L?t oss rita en h?jd fr?n en punkt.

Detta betyder att alla motsvarande element ?r lika.

Allt! I ett slag (h?jd) bevisade de alla p?st?enden p? en g?ng.

Och kom ih?g: f?r att l?sa ett problem om en likbent triangel ?r det ofta mycket anv?ndbart att s?nka h?jden till basen av den likbenta triangeln och dela upp den i tv? lika r?ta trianglar.

Tecken p? en likbent triangel

De omv?nda p?st?endena ?r ocks? sanna:

N?stan alla dessa p?st?enden kan ?terigen bevisas "i ett svep".

1. S?, l?t in visade sig vara lika och.

L?t oss kolla h?jden. Sedan

2. a) Sl?pp nu in n?gon triangel h?jd och bisektris sammanfaller.

2. b) Och om h?jden och medianen sammanfaller? Allt ?r n?stan sig likt, inte mer komplicerat!

- p? tv? sidor

2. c) Men om det inte finns n?gon h?jd, som s?nks till basen av en likbent triangel, d? finns det inga initialt r?tvinkliga trianglar. D?ligt!

Men det finns en v?g ut - l?s den p? n?sta niv? av teorin, eftersom beviset h?r ?r mer komplicerat, men kom bara ih?g att om medianen och bisekturen sammanfaller, kommer triangeln ocks? att visa sig vara likbent, och h?jden kommer fortfarande att sammanfalla med denna bisektrik och median.

L?t oss sammanfatta:

1. Om triangeln ?r likbent, s? ?r vinklarna vid basen lika, och h?jden, bisektrisen och medianen som dras till basen sammanfaller.
2. Om det i n?gon triangel finns tv? lika vinklar, eller om tv? av de tre linjerna (halvled, median, h?jd) sammanfaller, s? ?r en s?dan triangel likbent.

Likbent triangel. Kort beskrivning och grundl?ggande formler

En likbent triangel ?r en triangel som har tv? lika sidor.

Tecken p? en likbent triangel:

1. Om tv? vinklar i en viss triangel ?r lika, s? ?r den likbent.
2. Om de sammanfaller i n?gon triangel:
   A) h?jd och bisekt eller
   b) h?jd och median eller
   V) median och bisektor,
   dras ?t ena sidan, d? ?r en s?dan triangel likbent.

V?r civilisations f?rsta historiker - de gamla grekerna - n?mner Egypten som geometrins f?delseplats. Det ?r sv?rt att inte h?lla med dem, att veta med vilken fantastisk precision faraonernas j?ttegravar restes. Det relativa arrangemanget av pyramidernas plan, deras proportioner, orientering mot kardinalpunkterna - det skulle vara ot?nkbart att uppn? s?dan perfektion utan att k?nna till grunderna i geometri.

Sj?lva ordet "geometri" kan ?vers?ttas som "m?tning av jorden". Dessutom visas ordet "jord" inte som en planet - en del av solsystemet, utan som ett plan. Att markera ut omr?den f?r jordbruk ?r med st?rsta sannolikhet sj?lva den ursprungliga grunden f?r vetenskapen om geometriska former, deras typer och egenskaper.

En triangel ?r den enklaste rumsliga figuren av planimetri, som bara inneh?ller tre punkter - h?rn (det finns inte f?rre). Grunden f?r grunderna, kanske ?r det d?rf?r n?got mystiskt och ur?ldrigt verkar finnas i honom. Det allseende ?gat inuti en triangel ?r ett av de tidigaste k?nda ockulta tecknen, och geografin f?r dess utbredning och tidsram ?r helt enkelt fantastisk. Fr?n forntida egyptiska, sumeriska, aztekiska och andra civilisationer till mer moderna samh?llen av ockulta ?lskare utspridda ?ver hela v?rlden.

Vad ?r trianglar?

En vanlig skalentriangel ?r en sluten geometrisk figur som best?r av tre segment av olika l?ngd och tre vinklar, varav ingen ?r r?tt. Ut?ver detta finns det flera specialtyper.

En spetsig triangel har alla vinklar mindre ?n 90 grader. Med andra ord ?r alla vinklar i en s?dan triangel spetsiga.

En r?tvinklig triangel, ?ver vilken skolbarn alltid har gr?tit p? grund av ?verfl?d av satser, har en vinkel p? 90 grader eller, som det ocks? kallas, en r?t linje.

En trubbig triangel k?nnetecknas av det faktum att en av dess vinklar ?r trubbig, det vill s?ga dess storlek ?r mer ?n 90 grader.

En liksidig triangel har tre lika l?nga sidor. I en s?dan figur ?r ocks? alla vinklar lika.

Och slutligen, en likbent triangel har tre sidor, tv? lika med varandra.

S?rskiljande egenskaper

Egenskaperna hos en likbent triangel best?mmer ocks? dess huvudsakliga, huvudsakliga skillnad - likheten mellan dess tv? sidor. Dessa lika sidor kallas vanligtvis h?fterna (eller, oftare, sidorna), och den tredje sidan kallas "basen".

I den betraktade figuren ?r a = b.

Det andra kriteriet f?r en likbent triangel f?ljer av sinussatsen. Eftersom sidorna a och b ?r lika, ?r sinusen f?r deras motsatta vinklar lika:

a/sin g = b/sin a, d?rav har vi: sin g = sin a.

Av sinuslikheten f?ljer vinkellikheten: g = a.

S?, det andra tecknet p? en likbent triangel ?r likheten mellan tv? vinklar intill basen.

Tredje tecknet. I en triangel finns s?dana element som h?jd, bisektris och median.

Om det i processen att l?sa problemet visar sig att i triangeln i fr?ga sammanfaller tv? av dessa element: h?jden med bisektrisen; bisektris med median; median med h?jd - vi kan definitivt dra slutsatsen att triangeln ?r likbent.

Geometriska egenskaper hos en figur

1. Egenskaper f?r en likbent triangel. En av figurens utm?rkande egenskaper ?r likheten mellan vinklarna intill basen:

<ВАС = <ВСА.

2. En annan egenskap diskuterades ovan: medianen, halveringslinjen och h?jden i en likbent triangel sammanfaller om de ?r byggda fr?n dess spets till dess bas.

3. Likhet mellan bisektrar dragna fr?n h?rnen vid basen:

Om AE ?r bisektrisen av vinkeln BAC och CD ?r halveringslinjen f?r vinkeln BCA, d?: AE = DC.

4. Egenskaperna f?r en likbent triangel ger ocks? likheten mellan h?jderna som dras fr?n h?rnen vid basen.

Om vi konstruerar h?jderna f?r triangeln ABC (d?r AB = BC) fr?n h?rnen A och C, s? blir de resulterande segmenten CD och AE lika.

5. Medianerna som dras fr?n h?rnen vid basen kommer ocks? att vara lika.

S?, om AE och DC ?r medianer, det vill s?ga AD = DB, och BE = EC, d? AE = DC.

H?jd p? en likbent triangel

Likheten mellan sidorna och vinklarna med dem introducerar vissa funktioner i ber?kningen av l?ngderna p? elementen i figuren i fr?ga.

H?jden i en likbent triangel delar figuren i 2 symmetriska r?tvinkliga trianglar, vars hypotenuser ?r p? sidorna. H?jden i detta fall best?ms enligt Pythagoras sats som ett ben.

En triangel kan ha alla tre sidor lika, d? kommer den att kallas liksidig. H?jden i en liksidig triangel best?ms p? liknande s?tt, bara f?r ber?kningar r?cker det att bara veta ett v?rde - l?ngden p? sidan av denna triangel.

Du kan best?mma h?jden p? annat s?tt, till exempel genom att k?nna till basen och vinkeln intill den.

Medianen f?r en likbent triangel

Den typ av triangel som ?verv?gs, p? grund av dess geometriska egenskaper, kan helt enkelt l?sas med en minimal upps?ttning initiala data. Eftersom medianen i en likbent triangel ?r lika med b?de dess h?jd och dess bisektor, skiljer sig algoritmen f?r att best?mma den inte fr?n proceduren f?r att ber?kna dessa element.

Till exempel kan du best?mma l?ngden p? medianen av den k?nda sidan och v?rdet p? spetsvinkeln.

Hur man best?mmer omkretsen

Eftersom de tv? sidorna av den planimetriska figuren som betraktas alltid ?r lika, r?cker det f?r att best?mma omkretsen att k?nna till l?ngden p? basen och l?ngden p? en av sidorna.

L?t oss ?verv?ga ett exempel n?r du beh?ver best?mma omkretsen av en triangel med hj?lp av en k?nd bas och h?jd.

Omkretsen ?r lika med summan av basen och tv? g?nger l?ngden p? sidan. Den laterala sidan definieras i sin tur med Pythagoras sats som hypotenusan i en r?tvinklig triangel. Dess l?ngd ?r lika med kvadratroten av summan av kvadraten av h?jden och kvadraten av halva basen.

Arean av en likbent triangel

Som regel orsakar ber?kningen av arean av en likbent triangel inga sv?righeter. Den universella regeln f?r att best?mma arean av en triangel som halva produkten av basen och dess h?jd ?r naturligtvis till?mplig i v?rt fall. Men egenskaperna hos en likbent triangel g?r ?terigen uppgiften l?ttare.

L?t oss anta att h?jden och vinkeln intill basen ?r k?nda. Det ?r n?dv?ndigt att best?mma figurens yta. Detta kan g?ras p? detta s?tt.

Eftersom summan av vinklarna i en triangel ?r 180° ?r det inte sv?rt att best?mma storleken p? vinkeln. D?refter, med hj?lp av proportionen sammanst?lld enligt sinussatsen, best?ms l?ngden p? triangelns bas. Allt, bas och h?jd - tillr?ckligt med data f?r att best?mma omr?det - finns tillg?ngligt.

Andra egenskaper hos en likbent triangel

Placeringen av mitten av en cirkel omskriven runt en likbent triangel beror p? storleken p? vertexvinkeln. S?, om en likbent triangel ?r spetsig, ligger cirkelns mitt inuti figuren.

Mitten av en cirkel omskriven runt en trubbig likbent triangel ligger utanf?r den. Och slutligen, om vinkeln vid spetsen ?r 90°, ligger mitten exakt i mitten av basen, och cirkelns diameter passerar genom sj?lva basen.

F?r att best?mma radien f?r en cirkel omskriven kring en likbent triangel r?cker det att dividera sidans l?ngd med tv? g?nger cosinus f?r halva vertexvinkeln.

Den h?r lektionen kommer att t?cka ?mnet "?benbent triangel och dess egenskaper." Du f?r l?ra dig hur likbenta och liksidiga trianglar ser ut och hur de karakt?riseras. Bevisa satsen om vinklarnas likhet vid basen av en likbent triangel. Betrakta ocks? satsen om bisektrisen (median och h?jd) som dras till basen av en likbent triangel. I slutet av lektionen kommer du att l?sa tv? problem med hj?lp av definitionen och egenskaperna f?r en likbent triangel.

Definition:Likbent kallas en triangel vars tv? sidor ?r lika.

Ris. 1. Likbent triangel

AB = AC - sidor. BC - stiftelse.

Arean av en likbent triangel ?r lika med h?lften av produkten av dess bas och h?jd.

Definition:Liksidig kallas en triangel d?r alla tre sidor ?r lika.

Ris. 2. Liksidig triangel

AB = BC = SA.

Sats 1: I en likbent triangel ?r basvinklarna lika.

Given: AB = AC.

Bevisa:?B =?C.

Ris. 3. Ritning f?r satsen

Bevis: triangel ABC = triangel ACB enligt det f?rsta tecknet (tv? lika sidor och vinkeln mellan dem). Av trianglarnas likhet f?ljer att alla motsvarande element ?r lika. Det betyder ?B = ?C, vilket ?r det som beh?vde bevisas.

Sats 2: I en likbent triangel bisektris dras till basen ?r median Och h?jd.

Given: AB = AC, ?1 = ?2.

Bevisa:ВD = DC, AD vinkelr?tt mot BC.

Ris. 4. Ritning f?r sats 2

Bevis: triangel ADB = triangel ADC enligt f?rsta tecknet (AD - allm?nt, AB = AC efter villkor, ?BAD = ?DAC). Av trianglarnas likhet f?ljer att alla motsvarande element ?r lika. BD = DC eftersom de ligger mitt emot lika vinklar. S? AD ?r medianen. ?ven ?3 = ?4, eftersom de ligger mitt emot lika sidor. Men dessutom ?r de lika totalt sett. D?rf?r ?r ?3 = ?4 = . Det betyder att AD ?r h?jden p? triangeln, vilket ?r vad vi beh?vde bevisa.

I det enda fallet a = b = . I detta fall kallas linjerna AC och BD vinkelr?ta.

Eftersom bisektris, h?jd och median ?r samma segment, ?r f?ljande p?st?enden ocks? sanna:

H?jden f?r en likbent triangel som dras till basen ?r medianen och bisektrisen.

Medianen f?r en likbent triangel som dras till basen ?r h?jden och bisektrisen.

Exempel 1: I en likbent triangel ?r basen h?lften s? stor som sidan, och omkretsen ?r 50 cm Hitta triangelns sidor.

Given: AB = AC, BC = AC. P = 50 cm.

Hitta: BC, AC, AB.

L?sning:

Ris. 5. Ritning till exempel 1

L?t oss beteckna basen BC som a, d? AB = AC = 2a.

2a + 2a + a = 50.

5a = 50, a = 10.

Svar: BC = 10 cm, AC = AB = 20 cm.

Exempel 2: Bevisa att i en liksidig triangel ?r alla vinklar lika.

Given: AB = BC = SA.

Bevisa:?A = ?B = ?C.

Bevis:

Ris. 6. Ritning till exempel

?B = ?C, eftersom AB = AC, och ?A = ?B, eftersom AC = BC.

D?rf?r ?r ?A = ?B = ?C, vilket ?r det som beh?vde bevisas.

Svar: Bevisad.

I dagens lektion tittade vi p? en likbent triangel och studerade dess grundl?ggande egenskaper. I n?sta lektion kommer vi att l?sa problem om ?mnet likbenta trianglar, om att ber?kna arean av en likbent och liksidig triangel.

1. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. och andra Geometri 7. - M.: Utbildning.
2. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. och andra Geometry 7. 5:e uppl. - M.: Upplysning.
3. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometri 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, red. Sadovnichego V.A. - M.: Utbildning, 2010.

1. Ordb?cker och uppslagsverk om Academician ().
2. Festival av pedagogiska id?er "?ppen lektion" ().
3. Kaknauchit.ru ().

1. Nr 29. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometri 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, red. Sadovnichego V.A. - M.: Utbildning, 2010.

2. Omkretsen av en likbent triangel ?r 35 cm, och basen ?r tre g?nger mindre ?n sidan. Hitta sidorna i triangeln.

3. Givet: AB = BC. Bevisa att ?1 = ?2.

4. Omkretsen av en likbent triangel ?r 20 cm, en av dess sidor ?r dubbelt s? stor som den andra. Hitta sidorna i triangeln. Hur m?nga l?sningar har problemet?

Kollar l?xor

№ 111.

Given: CD = BD , 1 = 2

Bevisa: A B C - likbent

№ 107.

sida A C ?r 2 g?nger mindre ?n AB

P = 50 cm,

P = 50 cm

x + 2x + 2x = 50

x = 10

2 X

2 X

AC = 10 cm,

AB = BC = 20 cm

Vilka trianglar ?r likbenta? F?r likbenta trianglar, namnge basen och sidorna.

Givet: AD - bisekt ? BAC, BAC = 74 0. Hitta: BA D. (Fig. 1)

Givet: KL - h?jd ? KMN. Hitta: KLN. (Fig.2)

Givet: QS - median ? PQR, PS = 5,3 cm. Hitta: PR. (Fig.3)

• Givet: ? ABC ?r likbent med basen AC, VC ?r en bisektrik, AC = 46 cm. Hitta: AK. (Fig.4)
• Givet: ? ABC ?r likbent med bas AC, VC h?jd, ABC = 46 0. Hitta: AVK. (Fig.5)
• Givet: ? C BD likbent med bas B C, DA median, BDC = 120 0. Hitta: ADB. (Fig. 6)

7 grader

Egenskaper f?r en likbent triangel

Tre v?gar leder till kunskap:

Reflektionens v?g ?r den ?dlaste v?gen,

Imitationens v?g ?r den enklaste v?gen,

Och erfarenhetens v?g ?r den bittraste v?gen.

Konfucius.

I en likbent triangel ?r basvinklarna lika.

Givet: ABC likbent

Bevisa:

Bevis:

1. L?t oss rita bisektrisen BD f?r vinkeln B.

2. T?nk p? ? AB D och ? CBD:

AB = BC (efter villkor),

I D – gemensam sida,

? A BD = ? C BD

? АВD = ?CBD (baserat p? 1 tecken p? likhet i trianglar)

3. I lika trianglar ?r motsvarande vinklar ? A= ? C.

I en likbent triangel ?r bisektrisen som dras till basen medianen och h?jden.

Given: ABC likbent,

A D – bisektris .

Bevisa: A D - h?jd,

A D – median.

Bevis:

1) T?nk ocks? p?:

? BAD = ?CAD (baserat p? 1 kriterium f?r trianglars likhet).

2) I lika trianglar ?r motsvarande sidor och vinklar lika

1 = 2 = 90° (intilliggande vinklar).

D?rf?r ?r AD medianen och h?jden ? ABC.

Probleml?sning.

Savrasova S.M., Yastrebinetsky G.A. "Planimetri?vningar p? f?rdiga ritningar"

110

70

70

Probleml?sning.

Givet: AB = B C, 1=130 0.

L. S. Atanasyan. "Geometri 7-9" nr 112.

Probleml?sning.

Hitta: AB D.

Triangel

ABC - likbent

I D – median

Detta betyder att B D ?r en bisektor

40 0

40 0

CENTIMETER. Savrasova, G.A. Yastrebinetsky "?vningar p? f?rdiga ritningar"

L?xa:

• paragraf 19 (s. 35 – 36), nr 109, 112, 118.

Egenskaperna f?r en likbent triangel uttrycks av f?ljande satser.

Sats 1. I en likbent triangel ?r vinklarna vid basen lika stora.

Sats 2. I en likbent triangel ?r bisektrisen som dras till basen medianen och h?jden.

Sats 3. I en likbent triangel ?r medianen som dras till basen bisektrisen och h?jden.

Sats 4. I en likbent triangel ?r h?jden som dras till basen bisektrisen och medianen.

L?t oss bevisa en av dem, till exempel sats 2.5.

Bevis. L?t oss betrakta en likbent triangel ABC med basen BC och bevisa att ? B = ? C. L?t AD vara bisektrisen av triangeln ABC (Fig. 1). Trianglar ABD och ACD ?r lika enligt trianglarnas f?rsta likhetstecknet (AB = AC per villkor, AD ?r en gemensam sida, ? 1 = ? 2, eftersom AD ?r en bisektrik). Av dessa trianglars likhet f?ljer att ? B = ? C. Satsen ?r bevisad.

Med hj?lp av sats 1 uppr?ttas f?ljande sats.

Sats 5. Det tredje kriteriet f?r trianglars likhet. Om tre sidor i en triangel ?r lika med tre sidor i en annan triangel, s? ?r s?dana trianglar kongruenta (fig. 2).

Kommentar. De meningar som fastst?lls i exempel 1 och 2 uttrycker egenskaperna hos den vinkelr?ta bisektrisen i ett segment. Av dessa f?rslag f?ljer att vinkelr?ta bisektrar till sidorna av en triangel sk?r varandra i en punkt.

Exempel 1. Bevisa att en punkt i planet p? samma avst?nd fr?n ?ndarna av ett segment ligger p? den vinkelr?ta bisektrisen till detta segment.

L?sning. L?t punkten M vara lika l?ngt fr?n ?ndarna av segment AB (fig. 3), dvs AM = BM.

D? ?r D AMV likbent. L?t oss dra en r?t linje p genom punkten M och mittpunkten O i segmentet AB. Genom konstruktion ?r segmentet MO medianen f?r den likbenta triangeln AMB, och d?rf?r (sats 3), och h?jden, dvs den r?ta linjen MO, ?r den vinkelr?ta bisektaren till segmentet AB.

Exempel 2. Bevisa att varje punkt i den vinkelr?ta halveringslinjen till ett segment ?r lika l?ngt fr?n dess ?ndar.

L?sning. L?t p vara den vinkelr?ta bisektrisen till segment AB och punkt O vara mittpunkten av segment AB (se fig. 3).

Betrakta en godtycklig punkt M som ligger p? den r?ta linjen p. L?t oss rita segment AM och BM. Trianglar AOM och BOM ?r lika, eftersom deras vinklar vid vertex O ?r r?ta, ben OM ?r vanligt och ben OA ?r lika med ben OB av villkor. Av likheten mellan trianglarna AOM och BOM f?ljer att AM = BM.

Exempel 3. I triangel ABC (se fig. 4) AB = 10 cm, BC = 9 cm, AC = 7 cm; i triangel DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.

J?mf?r trianglar ABC och DEF. Hitta motsvarande lika vinklar.

L?sning. Dessa trianglar ?r lika enligt det tredje kriteriet. P? motsvarande s?tt ?r lika vinklar: A och E (ligger mitt emot lika sidor BC och FD), B och F (ligger mitt emot lika sidor AC och DE), C och D (ligger mitt emot lika sidor AB och EF).

Exempel 4. I figur 5 ?r AB = DC, BC = AD, ?B = 100°.

Hitta vinkel D.

L?sning. T?nk p? trianglarna ABC och ADC. De ?r lika enligt det tredje kriteriet (AB = DC, BC = AD efter villkor och sidan AC ?r gemensam). Av dessa trianglars likhet f?ljer att ? B = ? D, men vinkel B ?r lika med 100°, vilket betyder att vinkel D ?r lika med 100°.

Exempel 5. I en likbent triangel ABC med basen AC ?r den yttre vinkeln vid spets C 123°. Hitta storleken p? vinkeln ABC. Ge ditt svar i grader.

Videol?sning.