Tangent- Detta ?r en rak linje som passerar genom kurvan och sammanfaller med den vid denna tidpunkt med en noggrannhet till den f?rsta ordningen (Fig. 1).

En annan definition: Detta ?r den begr?nsande positionen f?r Secant med D x->0.

F?rklaring: Ta en rak linje som korsar kurvan p? tv? punkter: En Och B.(Se Gyssunok). Detta ?r sekant. Vi kommer att v?nda den medurs tills hon bara hittar en gemensam punkt med en kurva. S? vi f?r en tangent.

Strikt definition av tangenten:

Tangent till funktionens grafik f differentierad vid punkten xO- Detta ?r en rak linje som passerar genom en punkt ( xO; f(xO)) och har en vinkelkoefficient f?( xO).

H?rnkoefficienten har en rak typ y =Kx +B.. Koefficient K. Och det ?r h?rnkoefficient den h?r raka linjen.

H?rnkoefficienten ?r lika med tangens i den akuta vinkeln som bildas av denna raka linje med Abscissas axel:

H?r ?r vinkeln a vinkeln mellan linjen y =Kx +B. Och en positiv (det vill s?ga moturs) riktningen f?r abscissa -axeln. Det kallas Lutningsvinkeln ?r rak(Fig. 1 och 2).

Om lutningsvinkeln ?r rak y =Kx +B. Akut, d? ?r vinkelkoefficienten ett positivt tal. Schemat ?kar (fig. 1).

Om lutningsvinkeln ?r rak y =Kx +B. Dum, d? ?r h?rnkoefficienten ett negativt tal. Schemat minskar (fig. 2).

Om den raka linjen ?r parallell med Abscissa -axeln, ?r lutningsvinkeln noll. I detta fall ?r linjens vinkelkoefficient ocks? noll (eftersom tangenten noll ?r noll). Linjekvationen kommer att ha formen y = b (fig. 3).

Om lutningsvinkeln rakt ?r 90? (p/2), det vill s?ga den ?r vinkelr?tt mot abscissa -axeln, ?r linjen inst?lld av j?mlikhet x =C., Var C.- n?got faktiskt nummer (fig. 4).

Ekvationen tangent till funktionsgrafikeny = f(x) vid punkten xO:

Exempel: Hitta tangentens ekvation till funktionsgrafiken f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 vid punkten med Abscissa 2.

L?sning.

Vi f?ljer algoritmen.

1) ber?ringspunkten xO lika med 2. Ber?kna f(xO):

f(xO) = f(2) = 2 3 – 2 ? 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) hitta f?( x). F?r att g?ra detta anv?nder vi differentieringsformler som anges i f?reg?ende avsnitt. Enligt dessa formler, X 2 = 2X En X 3 = 3X 2. Medel:

f?( x) = 3X 2 – 2 ? 2X = 3X 2 – 4X.

Nu anv?nder du det resulterande v?rdet f?( x), ber?kna f?( xO):

f?( xO) = f? (2) = 3 ? 2 2 - 4 ? 2 = 12 - 8 = 4.

3) S? vi har alla n?dv?ndiga uppgifter: xO = 2, f(xO) = 1, f ?( xO) = 4. Vi ers?tter dessa siffror i tangentekvationen och hittar den slutliga l?sningen:

y = f(xO) + f?( xO) (x - x om) = 1 + 4 ? (x - 2) = 1 + 4x - 8 = –7 + 4x = 4x - 7.

Svar: y = 4x - 7.

Exempel 1. Funktionen ges f(x) = 3x 2 + 4x- 5. Vi skriver ekvationstangenten till funktionsgrafiken f(x) vid schemat med Abscissa x 0 = 1.

L?sning. Derivatfunktion f(x) finns f?r alla x R . Hitta henne:

= (3x 2 + 4x- 5) ? = 6 x + 4.

Sedan f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Tangentens ekvation har formen:

y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Svar. y = 10x – 8.

Exempel 2. Funktionen ges f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Skriv ekvationen tangent till funktionsgrafiken f(x), parallellt med den raka linjen y = 2x – 11.

L?sning. Derivatfunktion f(x) finns f?r alla x R . Hitta henne:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5) ? = 3 x 2 – 6x + 2.

Sedan tangenten till funktionsgrafiken f(x) vid tidpunkten med abscissen x 0 parallellen ?r rak y = 2x- 11, d? ?r dess vinkelkoefficient 2, dvs (( x 0) = 2. Hitta denna abscissa fr?n villkoret att 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Denna j?mlikhet g?ller endast med x 0 = 0 och vid x 0 = 2. Sedan i b?da fallen f(x 0) = 5, sedan rak y = 2x + B. Det g?ller funktionen f?r funktionen eller vid punkten (0; 5) eller vid punkten (2; 5).

I det f?rsta fallet ?r den numeriska j?mlikheten sant 5 = 2 x 0 + B., var B.= 5, och i det andra fallet ?r den numeriska j?mlikheten 5 = 2 x 2 + sant B., var B. = 1.

S? det finns tv? tangent y = 2x+ 5 och y = 2x+ 1 f?r att fungera grafik f(x), parallellt med den raka linjen y = 2x – 11.

Svar. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

Exempel 3. Funktionen ges f(x) = x 2 – 6x+ 7. Vi skriver ekvationstangenten till funktionsgrafiken f(x) passerar genom punkten En (2; –5).

L?sning. D?rf?r att f(2) –5, sedan punkt En tillh?r inte ett funktionsschema f(x). L?ta x 0 - Abscissa av ber?ringspunkten.

Derivatfunktion f(x) finns f?r alla x R . Hitta henne:

= (x 2 – 6x+ 1) ? = 2 x – 6.

Sedan f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. Tangentens ekvation har formen:

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Sedan punkten En tillh?r en tangens, d? ganska numerisk j?mlikhet

–5 = (2x 0 - 6) x 2– x+ 7,

d?r x 0 = 0 eller x 0 = 4. Detta betyder att genom punkten En Du kan dra tv? tangent till funktionsgrafiken f(x).

Om x 0 = 0, d? har tangentens ekvation formen y = –6x+ 7. Om x 0 = 4, d? har tangentens ekvation formen y = 2x – 9.

Svar. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

Exempel 4. Funktioner ges f(x) = x 2 – 2x+ 2 och G(x) = –x 2 - 3. Vi skriver ekvationen f?r den gemensamma tangenten till grafiken f?r dessa funktioner.

L?sning. L?ta x 1 - Abscissa av ber?ringspunkten f?r den ?nskade linjen med funktionsschemat f(x), A x 2 - Abscissa av ber?ringspunkten f?r samma linje med funktionsschemat G(x).

Derivatfunktion f(x) finns f?r alla x R . Hitta henne:

= (x 2 – 2x+ 2) ? = 2 x – 2.

Sedan f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2. Tangentens ekvation har formen:

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Hitta ett derivat av funktioner G(x):

= (–x 2 - 3) ? = –2 x.

T?nk p? f?ljande ritning:

Den visar n?gon funktion y = f (x), som ?r differentierad vid punkt a. Punkten M noterades med koordinaterna (a; f (a)). Genom den godtyckliga punkten p (a + ?x; f (a + ?x)) grafiken f?r en sekant MR.

Om nu punkten P skiftas enligt schemat till punkt M, kommer den direkta MR att rotera runt punkten M. Dessutom kommer ?x att str?va efter noll. H?rifr?n kan du formulera definitionen av tangenten till funktionsgrafiken.

Tangent till funktionens grafik

Tangenten till funktionen av funktionen ?r den begr?nsande positionen f?r Secant med ?nskan att ?ka argumentet till noll. Det b?r f?rst?s att f?rekomsten av ett derivat av funktion f vid punkt X0 inneb?r att vid denna punkt av schemat finns det tangent Till honom.

I detta fall kommer tangentens vinkelkoefficient att vara lika med derivatet av denna funktion vid denna punkt f '(x0). Detta ?r den geometriska betydelsen av derivatet. Tangenten till funktionen F -grafik F -differentierad vid punkt X0 ?r en rak linje som passerar genom punkten (x0; f (x0)) och med den vinkelkoefficienten f '(x0).

Tangentekvation

Vi kommer att f?rs?ka f? ekvationen till tangenten till grafiken f?r en viss funktion f vid punkt A (x0; f (x0)). Linjekvationen med vinkelkoefficienten K har f?ljande vy:

Eftersom v?r vinkelkoefficient ?r lika med derivatet F '(x0), d? kommer ekvationen att ta p? sig f?ljande vy: y = F '(x0)*x + b.

Nu ber?knar vi v?rdet b. F?r att g?ra detta anv?nder vi det faktum att funktionen passerar genom punkt A.

f (x0) = f '(x0)*x0 + b, h?rifr?n uttrycker vi b och f?r b = f (x0) - f' (x0)*x0.

Vi ers?tter det resulterande v?rdet i tangentekvationen:

y = f '(x0)*x + b = f' (x0)*x + f (x0) - f '(x0)*x0 = f (x0) + f' (x0)*(x - x0).

y = f (x0) + f '(x0)*(x - x0).

T?nk p? f?ljande exempel: Hitta ekvationen med tangenten till funktionen f?r funktionen f (x) = x 3 - 2*x 2 + 1 vid punkten x = 2.

2. F (x0) = f (2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. F '(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. F '(x0) = f' (2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Vi ers?tter de erh?llna v?rdena i tangentformeln, vi f?r: y = 1 + 4*(x - 2). Efter att ha ?ppnat konsolerna och tagit s?dana komponenter f?r vi: y = 4*x - 7.

Svar: y = 4*x - 7.

Allm?nt schema f?r sammanst?llning av en ekvationekvation Till schemat f?r funktionen y = f (x):

1. Best?m x0.

2. Ber?kna f (x0).

3. Ber?kna f '(x)

L?t funktionen f ges, som vid n?gon tidpunkt x 0 har ett slutligt derivat F (x 0). Sedan kallas den raka linjen som passerar genom punkten (x 0; f (x 0), som har en vinkelkoefficient f '(x 0), tangent.

Och vad kommer att h?nda om derivatet vid punkt x 0 inte finns? Tv? alternativ ?r m?jliga:

1. Tangenten till grafiken finns inte heller. Ett klassiskt exempel ?r funktionen y = | vid punkt (0; 0).
2. Tangenten blir vertikal. Detta g?ller till exempel f?r funktionen y = arcsin x vid punkten (1; p /2).

Tangentekvation

Varje icke -v?rderbar rak linje st?lls in av ekvationen f?r typen y = kx + b, d?r k ?r h?rnkoefficienten. Tangent ?r inget undantag, och f?r att g?ra sin ekvation vid n?gon tidpunkt x 0 r?cker det att veta v?rdet p? funktionen och derivatet vid denna tidpunkt.

S? l?t funktionen y = f (x), som har ett derivat y = f '(x) p? segmentet, ges. Sedan, n?r som helst x 0 ? (a; b), kan en tangent utf?ras till grafiken f?r denna funktion, som st?lls in av ekvationen:

y = f '(x 0) · (x - x 0) + f (x 0)

H?r ?r f '(x 0) v?rdet p? derivatet vid punkt x 0 och f (x 0) - v?rdet p? sj?lva funktionen.

Uppgift. Funktionen y = x 3 ges. G?r en ekvation tangent till grafiken f?r denna funktion vid punkt x 0 = 2.

Tangentekvation: y = f '(x 0) · (x - x 0) + f (x 0). Punkt x 0 = 2 ges till oss, men v?rdena f (x 0) och f '(x 0) m?ste ber?knas.

Till att b?rja med hittar vi v?rdet p? funktionen. Allt ?r enkelt h?r: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Nu hittar vi derivatet: f '(x) = (x 3)' = 3x 2;
Vi ers?tter i derivatet x 0 = 2: f '(x 0) = f' (2) = 3 · 2 2 = 12;
Totalt vi f?r: y = 12 · (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Detta ?r tangentekvationen.

Uppgift. G?r en ekvation tangent till funktionen av funktionen f (x) = 2sin x + 5 vid punkten x 0 = p /2.

Den h?r g?ngen m?lar vi inte varje ?tg?rd i detalj - vi indikerar bara viktiga steg. Vi har:

f (x 0) = f (p /2) = 2sin (p /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
F '(x 0) = f' (p /2) = 2cos (p /2) = 0;

Tangentekvation:

y = 0 · (x - p /2) + 7 => y = 7

I det senare fallet visade sig linjen vara horisontell, f?r Dess h?rnkoefficient k = 0. Det ?r inget fel med det - vi snubblat bara ?ver en extremumpunkt.

I det nuvarande skedet av utvecklingen av utbildning som en av dess huvuduppgifter ?r bildandet av en kreativt t?nkande personlighet. F?rm?gan att arbeta hos studenter kan endast utvecklas om de systematiskt ?r involverade i grunderna i forskningen. Grunden f?r studenter att anv?nda sina kreativa krafter, f?rm?gor och talanger bildas fulla kunskap och f?rdigheter. I detta avseende ?r problemet med att bilda ett system med grundl?ggande kunskaper och f?rdigheter i varje ?mne i skolf?rloppet f?r matematik inte av liten betydelse. Samtidigt b?r fullst?ndiga f?rdigheter vara det didaktiska syftet med inte enskilda uppgifter, utan ett noggrant genomt?nkt system. I den bredaste bem?rkelsen h?nvisar systemet till helheten av sammankopplade interagerande element, som har integritet och stabil struktur.

T?nk p? metodiken f?r att l?ra eleverna att sammanst?lla en ekvation av tangenten till funktionen. I huvudsak reduceras alla uppgifter f?r att hitta tangentekvationen till behovet av att v?lja mellan upps?ttningen (bunt, familj) f?r att rikta de som uppfyller ett visst krav - ?r tangent till grafiken f?r n?gon funktion. Samtidigt riktar m?nga fr?n vilket urvalet kan st?llas in p? tv? s?tt:

a) en punkt som ligger p? planet Xoy (centrala bunt med raka linjer);
b) en vinkelkoefficient (parallell bunt med raka linjer).

I detta avseende, n?r vi studerar ?mnet "tangent till funktionen f?r funktionen", f?r att isolera systemets element, identifierade vi tv? typer av uppgifter:

1) uppgifterna p? tangenten, med tanke p? den punkt genom vilken den passerar;
2) Uppgifterna f?r den tangent som st?lls in av dess vinkelkoefficient.

Tangentproblemen genomf?rdes med hj?lp av en algoritm som f?reslogs av A.G. Mordkovich. Dess grundl?ggande skillnad fr?n den redan k?nda ?r att abscissen av ber?ringspunkten indikeras av bokstaven A (ist?llet f?r x0), i samband med vilken tangentekvationen f?rv?rvar en form

y = f (a) + f "(a) (x - a)

(J?mf?r med y = f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Denna metodologiska teknik, enligt v?r mening, g?r det m?jligt f?r eleverna att vara snabbare och l?ttare att inse var koordinaterna f?r den aktuella punkten registreras i tangentens allm?nna ekvation, och var punkterna i ber?ring.

Algoritmen f?r att sammanst?lla en ekvation till tangenten till funktionen y = f (x) grafik

1. Rikta bokstaven A till ber?ringspunktens absciss.
2. Hitta f (a).
3. Hitta f "(x) och f" (a).
4. Foll de hittade numren a, f (a), f "(a) in i den allm?nna ekvationen f?r tangenten y = f (a) = f" (a) (x - a).

Denna algoritm kan komponeras p? grundval av studenternas oberoende operationer och sekvens f?r deras implementering.

Praxis har visat att den konsekventa l?sningen f?r var och en av de viktigaste uppgifterna med algoritmen g?r att du kan bilda f?rm?gan att skriva ekvationen till schemat f?r funktionen i steg, och stegen i algoritmen fungerar som st?dpunkter. Detta tillv?gag?ngss?tt motsvarar teorin om fasad bildning av mentala handlingar utvecklade av P.YA. Halperin och N.F. Talyzina.

I den f?rsta typen av uppgifter markerades tv? viktiga uppgifter:

• Tangenten passerar genom punkten som ligger p? kurvan (uppgift 1);
• Tangenten passerar genom en punkt som inte ligger p? en kurva (uppgift 2).

Uppgift 1. G?r en ekvation tangent till funktionsgrafiken vid punkt M (3; - 2).

L?sning. Punkt M (3; - 2) ?r en ber?ringspunkt, sedan

1. A = 3 - Abscissa av ber?ringspunkten.
2. F (3) = - 2.
3. f "(x) = x 2 - 4, f" (3) = 5.
y = - 2 + 5 (x - 3), y = 5x - 17 - ekvationen.

Uppgift 2. Skriv ekvationerna f?r alla tangent till grafen f?r funktionen y = - x 2 - 4x + 2, passerar genom punkten m ( - 3; 6).

L?sning. Punkten M ( - 3; 6) ?r inte en ber?ringspunkt, eftersom F ( - 3) 6 (fig. 2).

2. F (a) = - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) = - 2x - 4, f" (a) = - 2a - 4.
4. y = - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - tangentens ekvation.

Tangenten passerar genom punkt M ( - 3; 6), d?rf?r tillfredsst?ller dess koordinater tangentens ekvation.

6 = - A 2 - 4A + 2 - 2 (A + 2) ( - 3 - A),
A 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Om a = - 4, har tangentens ekvation formen y = 4x + 18.

Om a = - 2, har tangentens ekvation formen y = 6.

I den andra typen kommer de viktigaste uppgifterna att vara f?ljande:

• Tangenten ?r parallell med n?gon rak linje (uppgift 3);
• Tangenten passerar i viss vinkel till denna raka linje (uppgift 4).

Uppgift 3. Skriv ekvationerna f?r alla tangent till den grafiska grafen f?r funktionen y = x 3 - 3x 2 + 3, parallellt med den raka linjen y = 9x + 1.

1. A - Abscissa of the Touch Point.
2. F (a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. F "(x) = 3x 2 - 6x, f" (a) = 3a 2 - 6a.

Men ? andra sidan f "(a) = 9 (parallellitetstillst?nd). S? det ?r n?dv?ndigt att l?sa ekvation 3a 2 - 6a = 9. Dess r?tter a = - 1, a = 3 (fig. 3).

4. 1) a = - 1;
2) f ( - 1) = - 1;
3) f "( - 1) = 9;
4) y = - 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 - tangentens ekvation;

1) a = 3;
2) f (3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x - 24 - Tangentens ekvation.

Problem 4. Skriv ekvationen till tangenten till diagrammet f?r funktionen y = 0,5x 2 - 3x + 1, som passerar i en vinkel p? 45 ° till en rak linje y = 0 (fig. 4).

L?sning. Fr?n tillst?ndet f "(a) = tg 45 ° hittar vi a: a - 3 = 1 ^ a = 4.

1. A = 4 - Abscissa av ber?ringspunkten.
2. F (4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. F "(4) = 4 - 3 = 1.
4. y = - 3 + 1 (x - 4).

y = x - 7 - tangentens ekvation.

Det ?r l?tt att visa att l?sningen p? alla andra problem handlar om att l?sa ett eller flera viktiga problem. Betrakta f?ljande tv? uppgifter som ett exempel.

1. Skriv ekvationerna f?r tangenten till parabolen y = 2x 2 - 5x - 2 Om tangenterna korsar varandra i r?t vinklar och en av dem ber?r parabolen vid punkten med abscissa 3 (fig. 5).

L?sning. Eftersom abscissen f?r ber?ringspunkten ges, reduceras den f?rsta delen av l?sningen till nyckelproblemet 1.

1. A = 3 - Abscissa av ber?ringspunkten f?r en av sidorna p? r?tt vinkel.
2. F (3) = 1.
3. F "(x) = 4x - 5, f" (3) = 7.
4. Y = 1 + 7 (x - 3), y = 7x - 20 - Ekvation av den f?rsta tangenten.

L?t A - Vinkeln f?r lutning av den f?rsta tangenten. Eftersom tangenter ?r vinkelr?ta, lutningsvinkeln. Fr?n ekvationen y = 7x - 20 av den f?rsta tangenten har vi tg a = 7. Vi finner

Detta inneb?r att den vinkelkoefficienten f?r den andra tangenten ?r lika.

Den ytterligare l?sningen reduceras till nyckelproblemet 3.

L?t B (C; F (C)) ?r po?ngen med att r?ra vid den andra raden, d?

1. - Abscissa av den andra ber?ringspunkten.
2.
3.
4.
- Ekvationen f?r den andra tangenten.

Notera. Tangentens vinkelkoefficient kan hittas enklare om eleverna k?nner till f?rh?llandet mellan koefficienterna f?r vinkelr?ta linjer k 1 k 2 = - 1.

2. Skriv ekvationerna f?r alla vanliga funktioner f?r grafer

L?sning. Uppgiften ?r att hitta abscissen f?r punkterna att ber?ra den gemensamma tangenten, det vill s?ga att l?sa ett viktigt problem 1 i allm?n form, sammanst?lla ett system med ekvationer och dess efterf?ljande l?sning (fig. 6).

1. L?t A - Abscissa f?r ber?ringspunkten som ligger p? grafen f?r funktionen y = x 2 + x + 1.
2. F (a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. Y = A 2 + A + 1 + (2a + 1) (x - a) = (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. L?t c - abscissa av ber?ringspunkten som ligger p? funktionen av funktionen
2.
3. f "(c) = c.
4.

Eftersom tangent ?r vanliga, d?

S? y = x + 1 och y = - 3x - 3 - Allm?n tangent.

Det huvudsakliga m?let f?r de uppgifter som beaktas ?r att f?rbereda eleverna f?r oberoende erk?nnande av typen av nyckeluppgift f?r att l?sa mer komplexa uppgifter som kr?ver vissa forskningsf?rdigheter (f?rm?gan att analysera, j?mf?ra, generalisera, l?gga fram en hypotes etc.). Dessa uppgifter inneh?ller alla uppgifter som nyckeluppgiften inneh?ller som en komponent. L?t oss som ett exempel betrakta uppgiften (omv?nd uppgift 1) f?r att hitta funktionen f?r familjen till dess tangent.

3. Vid vilken b och c ?r de raka l = x och y = - 2x ?r tangent f?r funktionen y = x 2 + bx + c?

L?t t - abscissen f?r ber?ringspunkten rak y = x med parabolet y = x 2 + bx + c; P - Abscissa av ber?ringspunkten f?r den raka linjen y = - 2x med parabola y = x 2 + bx + c. D? kommer ekvationen f?r tangenten y = x att acceptera formen y = (2t + b) x + c - t 2, och ekvationen f?r tangenten y = - 2x kommer att ta formen y = (2p + b) x + c - p 2.

Vi kommer att komponera och l?sa ekvationssystemet

Svar: