Tangent?r en r?t linje som g?r genom en punkt i kurvan och sammanfaller med den vid denna punkt upp till f?rsta ordningen (fig. 1).

Annan definition: detta ?r gr?nsl?get f?r sekanten vid D x->0.

F?rklaring: Ta en linje som sk?r kurvan i tv? punkter: MEN och b(se bild). Det h?r ?r en sekant. Vi kommer att rotera den medurs tills den bara har en gemensam punkt med kurvan. S? vi f?r en tangent.

Strikt definition av en tangent:

Tangent till funktionsgraf f, differentierbar vid en punkt xhandla om, ?r en linje som g?r genom punkten ( xhandla om; f(xhandla om)) och har en lutning f?( xhandla om).

Lutningen har en rak linje y=kx +b. Koefficient k och ?r lutning faktor denna raka linje.

Vinkelkoefficienten ?r lika med tangenten f?r den spetsiga vinkeln som bildas av denna r?ta linje med x-axeln:

H?r ?r vinkeln a vinkeln mellan linjen y=kx +b och den positiva (d.v.s. moturs) riktningen av x-axeln. Det kallas lutningsvinkel rak(Fig. 1 och 2).

Om lutningsvinkeln ?r rak y=kx +b akut, d? ?r lutningen ett positivt tal. Grafen ?kar (fig. 1).

Om lutningsvinkeln ?r rak y=kx +b trubbig, d? ?r lutningen ett negativt tal. Grafen minskar (fig. 2).

Om linjen ?r parallell med x-axeln ?r linjens lutning noll. I det h?r fallet ?r linjens lutning ocks? noll (eftersom tangenten till noll ?r noll). Den raka linjeekvationen kommer att se ut som y = b (Fig. 3).

Om lutningsvinkeln f?r en r?t linje ?r 90? (p/2), det vill s?ga den ?r vinkelr?t mot x-axeln, s? ges den r?ta linjen av likheten x=c, var c- n?got reellt tal (fig. 4).

Ekvationen f?r tangenten till grafen f?r funktioneny = f(x) vid punkten xhandla om:

Exempel : L?t oss hitta ekvationen f?r tangenten till grafen f?r funktionen f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 vid punkten med abskissan 2.

L?sning.

Vi f?ljer algoritmen.

1) Ber?ringspunkt xhandla om?r lika med 2. Ber?kna f(xhandla om):

f(xhandla om) = f(2) = 2 3 – 2 ? 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Hitta f?( x). F?r att g?ra detta anv?nder vi differentieringsformlerna som beskrivs i f?reg?ende avsnitt. Enligt dessa formler, X 2 = 2X, a X 3 = 3X 2. Betyder att:

f?( x) = 3X 2 – 2 ? 2X = 3X 2 – 4X.

Anv?nd nu det resulterande v?rdet f?( x), Ber?kna f?( xhandla om):

f?( xhandla om) = f?(2) = 3 ? 2 2 – 4 ? 2 = 12 – 8 = 4.

3) S? vi har all n?dv?ndig information: xhandla om = 2, f(xhandla om) = 1, f ?( xhandla om) = 4. Vi s?tter in dessa tal i tangentekvationen och hittar den slutliga l?sningen:

y= f(xhandla om) + f?( xhandla om) (x – x o) \u003d 1 + 4 ? (x - 2) \u003d 1 + 4x - 8 \u003d -7 + 4x \u003d 4x - 7.

Svar: y \u003d 4x - 7.

Exempel 1 Givet en funktion f(x) = 3x 2 + 4x– 5. L?t oss skriva tangentens ekvation till grafen f?r funktionen f(x) vid punkten av grafen med abskissan x 0 = 1.

L?sning. Funktionsderivata f(x) finns f?r alla x R . L?t oss hitta det:

= (3x 2 + 4x– 5)? = 6 x + 4.

Sedan f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Tangentekvationen har formen:

y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Svar. y = 10x – 8.

Exempel 2 Givet en funktion f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. L?t oss skriva tangentens ekvation till grafen f?r funktionen f(x), parallellt med linjen y = 2x – 11.

L?sning. Funktionsderivata f(x) finns f?r alla x R . L?t oss hitta det:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)? = 3 x 2 – 6x + 2.

Eftersom tangenten till grafen f?r funktionen f(x) vid punkten med abskissan x 0 ?r parallell med linjen y = 2x– 11, d? ?r dess lutning 2, dvs ( x 0) = 2. Hitta denna abskissa fr?n villkoret att 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Denna likhet g?ller endast f?r x 0 = 0 och x 0 = 2. Eftersom i b?da fallen f(x 0) = 5, sedan den r?ta linjen y = 2x + b vidr?r grafen f?r funktionen antingen vid punkten (0; 5) eller vid punkten (2; 5).

I det f?rsta fallet ?r den numeriska likheten sann 5 = 2x0 + b, var b= 5, och i det andra fallet ?r den numeriska likheten sann 5 = 2 x 2 + b, var b = 1.

S? det finns tv? tangenter y = 2x+ 5 och y = 2x+ 1 till grafen f?r funktionen f(x) parallellt med linjen y = 2x – 11.

Svar. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

Exempel 3 Givet en funktion f(x) = x 2 – 6x+ 7. L?t oss skriva tangentens ekvation till grafen f?r funktionen f(x) passerar genom punkten A (2; –5).

L?sning. D?rf?r att f(2) –5, sedan punkten A h?r inte till funktionens graf f(x). L?ta x 0 - abskissan av ber?ringspunkten.

Funktionsderivata f(x) finns f?r alla x R . L?t oss hitta det:

= (x 2 – 6x+ 1)? = 2 x – 6.

Sedan f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. Tangentekvationen har formen:

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Sedan po?ngen A h?r till tangenten, d? ?r den numeriska likheten sann

–5 = (2x 0 – 6)x2– x+ 7,

var x 0 = 0 eller x 0 = 4. Detta betyder att genom punkten A det ?r m?jligt att rita tv? tangenter till grafen f?r funktionen f(x).

Om en x 0 = 0, d? har tangentekvationen formen y = –6x+ 7. Om x 0 = 4, d? har tangentekvationen formen y = 2x – 9.

Svar. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

Exempel 4 Givna funktioner f(x) = x 2 – 2x+ 2 och g(x) = –x 2 - 3. L?t oss skriva ekvationen f?r den gemensamma tangenten till graferna f?r dessa funktioner.

L?sning. L?ta x 1 - abskissan f?r kontaktpunkten f?r den ?nskade linjen med grafen f?r funktionen f(x), a x 2 - abskissan f?r kontaktpunkten f?r samma linje med grafen f?r funktionen g(x).

Funktionsderivata f(x) finns f?r alla x R . L?t oss hitta det:

= (x 2 – 2x+ 2)? = 2 x – 2.

Sedan f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2. Tangentekvationen har formen:

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

L?t oss hitta derivatan av funktionen g(x):

= (–x 2 – 3)? = –2 x.

T?nk p? f?ljande figur:

Den visar n?gon funktion y = f(x) som ?r differentierbar i punkten a. Markerad punkt M med koordinater (a; f(a)). Genom en godtycklig punkt P(a + ?x; f(a + ?x)) i grafen ritas en sekant MP.

Om nu punkten P flyttas l?ngs grafen till punkten M, s? kommer den r?ta linjen MP att rotera runt punkten M. I detta fall kommer ?x att tendera mot noll. H?rifr?n kan vi formulera definitionen av en tangent till grafen f?r en funktion.

Tangent till funktionsgraf

Tangenten till funktionens graf ?r begr?nsningspositionen f?r sekanten n?r ?kningen av argumentet tenderar till noll. Det b?r f?rst?s att f?rekomsten av derivatan av funktionen f vid punkten x0 betyder att det vid denna punkt i grafen finns tangent till honom.

I detta fall kommer tangentens lutning att vara lika med derivatan av denna funktion vid denna punkt f’(x0). Detta ?r den geometriska betydelsen av derivatan. Tangenten till grafen f?r funktionen f differentierbar i punkten x0 ?r n?gon r?t linje som g?r genom punkten (x0;f(x0)) och har en lutning f’(x0).

Tangentekvation

L?t oss f?rs?ka f? ekvationen f?r tangenten till grafen f?r n?gon funktion f i punkten A(x0; f(x0)). Ekvationen f?r en r?t linje med en lutning k har f?ljande form:

Eftersom v?r lutning ?r lika med derivatan f'(x0), d? kommer ekvationen att ha f?ljande form: y = f'(x0)*x + b.

L?t oss nu ber?kna v?rdet av b. F?r att g?ra detta anv?nder vi det faktum att funktionen passerar genom punkt A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, h?rifr?n uttrycker vi b och f?r b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Vi ers?tter det resulterande v?rdet i tangentekvationen:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

T?nk p? f?ljande exempel: hitta ekvationen f?r tangenten till grafen f?r funktionen f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 vid punkten x \u003d 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Ers?tt de erh?llna v?rdena i tangentformeln, vi f?r: y = 1 + 4*(x - 2). Genom att ?ppna parenteserna och ta med liknande termer f?r vi: y = 4*x - 7.

Svar: y = 4*x - 7.

Allm?nt schema f?r att kompilera tangentekvationen till grafen f?r funktionen y = f(x):

1. Best?m x0.

2. Ber?kna f(x0).

3. Ber?kna f'(x)

L?t en funktion f ges, som n?gon g?ng x 0 har en finit derivata f (x 0). D? kallas linjen som g?r genom punkten (x 0; f (x 0)), som har en lutning f '(x 0), en tangent.

Men vad h?nder om derivatan i punkten x 0 inte existerar? Det finns tv? alternativ:

1. Tangenten till grafen finns inte heller. Det klassiska exemplet ?r funktionen y = |x | vid punkten (0; 0).
2. Tangenten blir vertikal. Detta g?ller till exempel f?r funktionen y = arcsin x i punkten (1; p /2).

Tangentekvation

Varje icke-vertikal r?t linje ges av en ekvation av formen y = kx + b, d?r k ?r lutningen. Tangenten ?r inget undantag, och f?r att komponera dess ekvation vid n?gon punkt x 0 r?cker det att veta v?rdet p? funktionen och derivatan vid denna punkt.

S? l?t en funktion ges y \u003d f (x), som har en derivata y \u003d f '(x) p? segmentet. Sedan kan en tangent vid vilken punkt som helst x 0 ? (a; b) dras till grafen f?r denna funktion, som ges av ekvationen:

y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

H?r ?r f ’(x 0) v?rdet p? derivatan vid punkten x 0, och f (x 0) ?r v?rdet p? sj?lva funktionen.

En uppgift. Givet en funktion y = x 3 . Skriv en ekvation f?r tangenten till grafen f?r denna funktion i punkten x 0 = 2.

Tangentekvation: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Punkten x 0 = 2 ges till oss, men v?rdena f (x 0) och f '(x 0) m?ste ber?knas.

L?t oss f?rst hitta v?rdet p? funktionen. Allt ?r enkelt h?r: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
L?t oss nu hitta derivatan: f '(x) \u003d (x 3) ' \u003d 3x 2;
Ers?tt i derivatan x 0 = 2: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
S? vi f?r: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Detta ?r tangentekvationen.

En uppgift. Komponera ekvationen f?r tangenten till grafen f?r funktionen f (x) \u003d 2sin x + 5 vid punkten x 0 \u003d p / 2.

Den h?r g?ngen kommer vi inte att beskriva i detalj varje ?tg?rd - vi kommer bara att ange nyckelstegen. Vi har:

f (x 0) \u003d f (p / 2) \u003d 2sin (p / 2) + 5 \u003d 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(p / 2) \u003d 2cos (p / 2) \u003d 0;

Tangentekvation:

y = 0 (x - p /2) + 7 => y = 7

I det senare fallet visade sig linjen vara horisontell, eftersom dess lutning k = 0. Det ?r inget fel med det - vi snubblade precis ?ver en extrempunkt.

I det nuvarande utvecklingsstadiet av utbildning ?r en av dess huvuduppgifter bildandet av en kreativt t?nkande personlighet. F?rm?gan till kreativitet hos eleverna kan utvecklas endast om de systematiskt ?r involverade i forskningsverksamhetens grunder. Grunden f?r att eleverna ska anv?nda sina kreativa krafter, f?rm?gor och talanger ?r bildade fullfj?drade kunskaper och f?rdigheter. I detta avseende ?r problemet med att bilda ett system med grundl?ggande kunskaper och f?rdigheter f?r varje ?mne i skolans matematikkurs av ingen liten betydelse. Samtidigt b?r fullv?rdiga f?rdigheter vara det didaktiska m?let inte f?r enskilda uppgifter, utan f?r deras noggrant genomt?nkta system. I vidaste bem?rkelsen f?rst?s ett system som en upps?ttning sammanh?ngande interagerande element som har integritet och en stabil struktur.

Fundera p? en metod f?r att l?ra eleverna hur man ritar en ekvation f?r en tangent till en funktionsgraf. I huvudsak reduceras alla uppgifter f?r att hitta tangentekvationen till behovet av att v?lja fr?n upps?ttningen (skarv, familj) av linjer de av dem som uppfyller ett visst krav - de tangerar grafen f?r en viss funktion. I det h?r fallet kan upps?ttningen rader fr?n vilka valet utf?rs specificeras p? tv? s?tt:

a) en punkt som ligger p? xOy-planet (central penna av linjer);
b) vinkelkoefficient (parallell bunt av linjer).

I detta avseende, n?r vi studerade ?mnet "Tangent till grafen f?r en funktion" f?r att isolera elementen i systemet, identifierade vi tv? typer av uppgifter:

1) uppgifter p? en tangent som ges av en punkt genom vilken den passerar;
2) uppgifter p? en tangent som ges av dess lutning.

Att l?ra sig att l?sa problem p? en tangent utf?rdes med hj?lp av den algoritm som A.G. Mordkovich. Dess grundl?ggande skillnad fr?n de redan k?nda ?r att tangentpunktens abskiss betecknas med bokstaven a (i st?llet f?r x0), i samband med vilken tangentekvationen tar formen

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(j?mf?r med y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Denna metodologiska teknik, enligt v?r ?sikt, till?ter eleverna att snabbt och enkelt inse var koordinaterna f?r den aktuella punkten ?r skrivna i den allm?nna tangentekvationen, och var finns kontaktpunkterna.

Algoritm f?r att kompilera ekvationen f?r tangenten till grafen f?r funktionen y = f(x)

1. Beteckna med bokstaven a kontaktpunktens abskiss.
2. Hitta f(a).
3. Hitta f "(x) och f "(a).
4. Ers?tt de hittade talen a, f (a), f "(a) i den allm?nna ekvationen f?r tangenten y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a).

Denna algoritm kan sammanst?llas p? basis av elevernas oberoende urval av operationer och sekvensen av deras utf?rande.

?vning har visat att den konsekventa l?sningen av var och en av nyckeluppgifterna med hj?lp av algoritmen l?ter dig skapa f?rm?gan att skriva ekvationen f?r tangenten till grafen f?r funktionen i etapper, och stegen i algoritmen fungerar som starka punkter f?r ?tg?rder . Detta tillv?gag?ngss?tt motsvarar teorin om gradvis bildande av mentala handlingar som utvecklats av P.Ya. Galperin och N.F. Talyzina.

I den f?rsta typen av uppgifter identifierades tv? nyckeluppgifter:

• tangenten passerar genom en punkt som ligger p? kurvan (problem 1);
• tangenten passerar genom en punkt som inte ligger p? kurvan (Problem 2).

Uppgift 1. J?mf?r tangenten till funktionens graf vid punkten M(3; – 2).

L?sning. Punkten M(3; – 2) ?r kontaktpunkten, eftersom

1. a = 3 - abskissan av ber?ringspunkten.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 ?r tangentekvationen.

Uppgift 2. Skriv ekvationerna f?r alla tangenter till grafen f?r funktionen y = - x 2 - 4x + 2, passerande genom punkten M(- 3; 6).

L?sning. Punkten M(– 3; 6) ?r inte en tangentpunkt, eftersom f(– 3) 6 (Fig. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - tangentekvation.

Tangenten passerar genom punkten M(– 3; 6), d?rf?r uppfyller dess koordinater tangentekvationen.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Om a = – 4 ?r tangentekvationen y = 4x + 18.

Om a \u003d - 2, har tangentekvationen formen y \u003d 6.

I den andra typen kommer nyckeluppgifterna att vara f?ljande:

• tangenten ?r parallell med n?gon r?t linje (problem 3);
• tangenten passerar i n?gon vinkel till den givna linjen (uppgift 4).

Uppgift 3. Skriv ekvationerna f?r alla tangenter till grafen f?r funktionen y \u003d x 3 - 3x 2 + 3, parallellt med linjen y \u003d 9x + 1.

1. a - abskissan av ber?ringspunkten.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.

Men ? andra sidan, f "(a) \u003d 9 (parallellismvillkor). S? vi m?ste l?sa ekvationen 3a 2 - 6a \u003d 9. Dess r?tter a \u003d - 1, a \u003d 3 (Fig. 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 ?r tangentekvationen;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f"(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x – 24 ?r tangentekvationen.

Uppgift 4. Skriv ekvationen f?r tangenten till grafen f?r funktionen y = 0,5x 2 - 3x + 1, passerande i en vinkel p? 45° mot den r?ta linjen y = 0 (Fig. 4).

L?sning. Fr?n villkoret f "(a) \u003d tg 45 ° finner vi a: a - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4.

1. a = 4 - abskissan f?r ber?ringspunkten.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - ekvationen f?r tangenten.

Det ?r l?tt att visa att l?sningen av alla andra problem reduceras till l?sningen av ett eller flera nyckelproblem. Betrakta f?ljande tv? problem som ett exempel.

1. Skriv ekvationerna f?r tangenterna till parabeln y = 2x 2 - 5x - 2, om tangenterna sk?r varandra i r?t vinkel och en av dem vidr?r parabeln i punkten med abskissan 3 (fig. 5).

L?sning. Eftersom ber?ringspunktens abskiss ?r given reduceras den f?rsta delen av l?sningen till nyckelproblemet 1.

1. a \u003d 3 - abskissan f?r kontaktpunkten f?r en av sidorna av den r?ta vinkeln.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - ekvationen f?r den f?rsta tangenten.

L?t a vara lutningen f?r den f?rsta tangenten. Eftersom tangenterna ?r vinkelr?ta, ?r lutningsvinkeln f?r den andra tangenten. Fr?n ekvationen y = 7x – 20 f?r den f?rsta tangenten har vi tg a = 7. Hitta

Det betyder att den andra tangentens lutning ?r .

Den ytterligare l?sningen reduceras till nyckeluppgift 3.

L?t B(c; f(c)) vara tangentpunkten f?r den andra linjen

1. - abskissan f?r den andra kontaktpunkten.
2.
3.
4.
?r ekvationen f?r den andra tangenten.

Notera. Tangens vinkelkoefficient kan hittas l?ttare om eleverna k?nner till f?rh?llandet mellan koefficienterna f?r vinkelr?ta linjer k 1 k 2 = - 1.

2. Skriv ekvationerna f?r alla vanliga tangenter till funktionsgrafer

L?sning. Uppgiften reduceras till att hitta abskissorna f?r ber?ringspunkterna f?r vanliga tangenter, det vill s?ga att l?sa nyckelproblemet 1 i allm?nna termer, sammanst?lla ett ekvationssystem och sedan l?sa det (fig. 6).

1. L?t a vara abskissan f?r ber?ringspunkten som ligger p? grafen f?r funktionen y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. L?t c vara abskissan f?r tangentpunkten som ligger p? grafen f?r funktionen
2.
3. f "(c) = c.
4.

Eftersom tangenterna ?r vanliga, allts?

S? y = x + 1 och y = - 3x - 3 ?r vanliga tangenter.

Huvudm?let med de uppgifter som beaktas ?r att f?rbereda eleverna f?r sj?lvigenk?nnande av typen av nyckeluppgift n?r de l?ser mer komplexa uppgifter som kr?ver vissa forskningsf?rdigheter (f?rm?ga att analysera, j?mf?ra, generalisera, l?gga fram en hypotes, etc.). S?dana uppgifter inkluderar alla uppgifter d?r nyckeluppgiften ing?r som en komponent. L?t oss som ett exempel betrakta problemet (inverst till problem 1) att hitta en funktion fr?n familjen av dess tangenter.

3. F?r vilka b och c ?r linjerna y \u003d x och y \u003d - 2x tangent till grafen f?r funktionen y \u003d x 2 + bx + c?

L?t t vara abskissan f?r kontaktpunkten f?r linjen y = x med parabeln y = x 2 + bx + c; p ?r abskissan f?r kontaktpunkten f?r linjen y = - 2x med parabeln y = x 2 + bx + c. D? kommer tangentekvationen y = x att ha formen y = (2t + b)x + c - t 2 , och tangentekvationen y = - 2x kommer att ha formen y = (2p + b)x + c - p 2 .

Komponera och l?s ett ekvationssystem

Svar: