En b?j ?r en typ av deformation d?r balkens l?ngdaxel ?r b?jd. Raka balkar som arbetar med b?jning kallas balkar. En rak b?j ?r en b?j d?r de yttre krafterna som verkar p? balken ligger i samma plan (kraftplan) som passerar genom balkens l?ngdaxel och tv?rsnittets huvudtr?ghetsaxel.

B?jen kallas ren, om endast ett b?jmoment intr?ffar i n?got tv?rsnitt av balken.

B?jning, d?r ett b?jmoment och en tv?rkraft samtidigt verkar i balkens tv?rsnitt, kallas tv?rg?ende. Sk?rningslinjen mellan kraftplanet och tv?rsnittsplanet kallas kraftlinje.

Interna kraftfaktorer vid balkb?jning.

Vid en platt tv?rb?jning i balksektionerna uppst?r tv? inre kraftfaktorer: tv?rkraften Q och b?jmomentet M. Sektionsmetoden anv?nds f?r att best?mma dem (se f?rel?sning 1). Tv?rkraften Q i balksektionen ?r lika med den algebraiska summan av projektionerna p? sektionsplanet av alla yttre krafter som verkar p? ena sidan av den aktuella sektionen.

Teckenregel f?r skjuvkrafter Q:

B?jmomentet M i balksektionen ?r lika med den algebraiska summan av momenten kring tyngdpunkten f?r denna sektion av alla yttre krafter som verkar p? ena sidan av sektionen i fr?ga.

Teckenregel f?r b?jmoment M:

Zhuravskys differentiella beroenden.

Mellan intensiteten q f?r den f?rdelade lasten, uttrycken f?r tv?rkraften Q och b?jmomentet M, fastst?lls differentiella beroenden:

Baserat p? dessa beroenden kan f?ljande allm?nna m?nster av diagram av tv?rkrafter Q och b?jmoment M urskiljas:

Egenskaper hos diagram ?ver inre kraftfaktorer vid b?jning.

1. P? den sektion av balken d?r det inte finns n?gon f?rdelad belastning presenteras plotten Q rak linje , parallellt med diagrammets bas, och diagrammet M ?r en lutande r?t linje (fig. a).

2. I avsnittet d?r den koncentrerade kraften appliceras, p? Q-diagrammet ska det finnas hoppa , lika med v?rdet av denna kraft, och p? diagrammet M - brytpunkt (Fig. a).

3. I avsnittet d?r ett koncentrerat moment appliceras ?ndras inte v?rdet p? Q, och diagrammet M har hoppa , lika med v?rdet av detta moment, (fig. 26, b).

4. I sektionen av str?len med en f?rdelad intensitetsbelastning q ?ndras diagrammet Q enligt en linj?r lag, och diagrammet M - enligt en parabolisk, och parabelns konvexitet ?r riktad mot den f?rdelade lastens riktning (Fig. c, d).

5. Om Q inom diagrammets karakteristiska sektion sk?r diagrammets bas, s? har b?jmomentet i sektionen d?r Q = 0 ett extremv?rde M max eller M min (fig. d).

Normala b?jsp?nningar.

Best?ms av formeln:

Momentet f?r motst?ndet f?r sektionen mot b?jning ?r v?rdet:

Farligt avsnitt vid b?jning kallas tv?rsnittet av balken, i vilken den maximala normala sp?nningen uppst?r.

Tangentialsp?nningar vid direkt b?jning.

Best?mt av Zhuravskys formel f?r skjuvsp?nningar vid direkt balkb?jning:

d?r S ots - statiskt moment f?r det tv?rg?ende omr?det av det avskurna lagret av l?ngsg?ende fibrer i f?rh?llande till den neutrala linjen.

B?jh?llfasthetsber?kningar.

1. P? verifieringsber?kning den maximala konstruktionssp?nningen best?ms, vilken j?mf?rs med den till?tna sp?nningen:

2. P? designber?kning valet av balksektionen g?rs fr?n villkoret:

3. Vid best?mning av den till?tna belastningen best?ms det till?tna b?jningsmomentet fr?n tillst?ndet:

B?jningsr?relser.

Under verkan av en b?jningsbelastning b?js balkens axel. I det h?r fallet finns det en str?ckning av fibrerna p? den konvexa och kompression - p? de konkava delarna av balken. Dessutom finns det en vertikal r?relse av tv?rsnittens tyngdpunkter och deras rotation i f?rh?llande till den neutrala axeln. F?r att karakterisera deformationen under b?jning anv?nds f?ljande begrepp:

Str?lavb?jning Y- f?rskjutning av tyngdpunkten f?r balkens tv?rsnitt i riktning vinkelr?t mot dess axel.

Avb?jningen anses vara positiv om tyngdpunkten r?r sig upp?t. M?ngden avb?jning varierar l?ngs balkens l?ngd, dvs. y=y(z)

Sektionens rotationsvinkel- vinkeln th med vilken varje sektion roteras i f?rh?llande till dess ursprungliga position. Rotationsvinkeln anses vara positiv n?r sektionen roteras moturs. V?rdet p? rotationsvinkeln varierar l?ngs str?lens l?ngd och ?r en funktion av th = th (z).

Det vanligaste s?ttet att best?mma f?rskjutningar ?r metoden mora och Vereshchagins regel.

Mohr-metoden.

F?rfarandet f?r att best?mma f?rskjutningar enligt Mohr-metoden:

1. Ett "hj?lpsystem" byggs och belastas med en enda last vid den punkt d?r f?rskjutningen ska best?mmas. Om en linj?r f?rskjutning best?ms, appliceras en enhetskraft i dess riktning, vid best?mning av vinkelf?rskjutningar appliceras ett enhetsmoment.

2. F?r varje sektion av systemet registreras uttrycken av b?jmomenten Mf fr?n den applicerade lasten och M 1 - fr?n en enda last.

3. Mohr-integraler ber?knas och summeras ?ver alla sektioner av systemet, vilket resulterar i den ?nskade f?rskjutningen:

4. Om den ber?knade f?rskjutningen har ett positivt tecken betyder det att dess riktning sammanfaller med enhetskraftens riktning. Det negativa tecknet indikerar att den faktiska f?rskjutningen ?r motsatt riktningen f?r enhetskraften.

Vereshchagins regel.

F?r fallet n?r diagrammet ?ver b?jmoment fr?n en given last har en godtycklig, och fr?n en enda last - en r?tlinjig kontur, ?r det bekv?mt att anv?nda den grafisk-analytiska metoden, eller Vereshchagins regel.

d?r A f ?r arean av diagrammet f?r b?jmomentet Mf fr?n en given last; y c ?r ordinatan f?r diagrammet fr?n en enda last under tyngdpunkten f?r diagrammet M f ; EI x - balksektionens styvhet. Ber?kningar enligt denna formel g?rs i sektioner, p? var och en av vilka r?tlinjediagrammet m?ste vara utan sprickor. V?rdet (A f *y c) anses positivt om b?da diagrammen ?r placerade p? samma sida av balken, negativt om de ?r placerade p? motsatta sidor. Ett positivt resultat av multiplikationen av diagram betyder att r?relseriktningen sammanfaller med riktningen f?r en enhetskraft (eller moment). Ett komplext diagram M f m?ste delas upp i enkla figurer (den s? kallade "rena skiktningen" anv?nds), f?r var och en av dem ?r det l?tt att best?mma ordinatan f?r tyngdpunkten. I det h?r fallet multipliceras omr?det med strandfiguren med ordinatan under dess tyngdpunkt.

Uppgift 1

I en viss sektion av en balk med rektangul?r sektion 20 x 30 cm M=28 kNm, F= 19 kN.

N?dv?ndig:

a) best?m normal- och skjuvsp?nningarna vid en given punkt TILL, skild fr?n den neutrala axeln p? ett avst?nd av 11 cm,

b) kontrollera styrkan p? tr?balken, om [s]=10 MPa, [t]=3 MPa.

L?sning

a) F?r att best?mma s ( Till) , t ( Till) och maxs, maxt du kommer att beh?va k?nna till v?rdena f?r det axiella tr?ghetsmomentet f?r hela sektionen I N.O., axiellt motst?ndsmoment W N.O., det statiska momentet f?r avsk?rningsdelen och det statiska momentet f?r halvsektionen Smax:

b) Styrketest:

— beroende p? styrkan f?r normala sp?nningar:

— beroende p? tillst?ndet f?r skjuvsp?nningsh?llfastheten:

Uppgift 2

I n?gon del av balken M=10kNm, F=40kN. Tv?rsnittet ?r triangul?rt. Hitta normal- och skjuvsp?nningarna vid en punkt 15 cm fr?n den neutrala axeln.

var

Sedan

Uppgift 3

V?lj ett tv?rsnitt av en tr?balk i tv? versioner: rund och rektangul?r (med h/b=2) om [s]=10 MPa, [t]=3 MPa, och j?mf?r dem med materialf?rbrukning.

MEN och P? och skriv statikens ekvationer:

(1) ?M(P?) = F·?tta - M– MEN 6+ ( q 6) 3 =0,

(2) ?M(MEN) = F 2 - M+ P? 6 - ( q 6) 3 =0,

Iplot

?M(FR?N) = M(z 1) +F· z 1 =0,

MM(z 1) = -F· z 1 = - 30 z 1 —

- ekvationen hetero.

P? z 1 = 0: M = 0,

z 1 = 2: M =- 60 kNm.

?p?= — F — F(z 1) = 0,

F(z 1) = — F= -30 kN ?r en konstant funktion.

II avsnitt

var

- ekvationen paraboler.

P? z 2 =0: M= 0,

z 2 =3m: M\u003d 30 3 - 5 3 2 \u003d 90 - 45 \u003d 45kNm,

z 2 =6m: M\u003d 30 6 - 5 6 2 \u003d 180 - 180 \u003d 0.

?p?= F(z 2) — q· z 2 + B= 0,

F(z 2) = q· z 2 — B= 10 z 2 - 30 - ekvation hetero,

p? z 2 = 0: F= -30,

z 2 = 6m: F= 10 6 - 30 = 30.

Best?mning av det analytiska maximala b?jmomentet f?r den andra sektionen:

fr?n tillst?ndet finner vi:

Och d?

Observera att hoppet i ep. M bel?gen d?r det koncentrerade momentet appliceras M= 60kNm och ?r lika med detta moment, och hoppet i ep. F- under koncentrerad kraft MEN= 60 kN.

Valet av sektionen av balkarna g?rs fr?n h?llfasthetsf?rh?llandet f?r normala sp?nningar, d?r det st?rsta absoluta v?rdet av b?jmomentet fr?n diagrammet b?r ers?ttas M.

I detta fall ?r det maximala momentet modulo M = 60kNm

var: :

a) cirkul?r sektion d=?

b) rektangul?r sektion med h/b = 2:

sedan

Tv?rsnittsdimensionerna best?mda fr?n det normala sp?nningsh?llfasthetsvillkoret m?ste ocks? uppfylla skjuvsp?nningsh?llfasthetsvillkoret:

F?r enkla sektionsformer ?r kompakta uttryck f?r den st?rsta skjuvsp?nningen k?nda:

— f?r rund sektion

— f?r rektangul?r sektion

L?t oss anv?nda dessa formler. Sedan

- f?r en rund balk med :

- f?r en balk med rektangul?rt tv?rsnitt

F?r att ta reda p? vilken sektion som kr?ver mindre material?tg?ng r?cker det med att j?mf?ra v?rdena f?r tv?rsnittsareorna:

MEN rektangul?r \u003d 865,3 cm 2< MEN rund \u003d 1218,6 cm 2, d?rf?r, en rektangul?r balk i denna mening ?r mer l?nsam ?n en rund.

Uppgift 4

V?lj en I-sektion av en st?lbalk om [s]=160MPa, [t]=80MPa.

Vi anger riktningarna f?r st?dreaktioner MEN och P? och komponera tv? statiska ekvationer f?r att best?mma dem:

(1) ?M(MEN) = – M 1 –F 2 - ( q 8) 4+ M 2 + P? 6 =0,

(2) ?M(P?) = – M 1 – MEN 6+ F 4+ ( q 8) 2+ M 2 =0,

Unders?kning:

?p? = MEN – F – q 8+ P?\u003d 104 - 80 - 20 8 + 136 \u003d 240 - 240 ? 0.

?M(FR?N) = M(z 1) -M 1 =0,

M(z 1) \u003d M 1 \u003d 40 kNm - en konstant funktion.

?p?= — F(z 1) = 0,

F(z 1) = 0.

II avsnitt

— parabel.

P? z 2 =0: M= 40 kNm,

z 2 =1m: M= 40 + 104 – 10=134kNm,

z 2 =2m: M\u003d 40+ 104 2 - 10 2 2 \u003d 208 kNm.

?p?=MEN— q· z 2 — F(z 2) = 0,

F(z 2) =MEN— q· z 2 \u003d 104 - 20 z 2 - ekvation hetero,

p? z 2 = 0: F= 104kN,

z 2 = 6m: F= 104 - 40 = 64 kN.

III avsnitt

- parabel.

P? z 3 =0: M= 24+40=-16 kNm,

z 3=2m: M\u003d 24 + 136 2 - 10 (2 + 2) 2 \u003d 24 + 272 - 160 \u003d 136 kNm,

z 3=4m: M\u003d 24 + 136 4 - 10 (2 + 4) 2 \u003d 24 + 544 - 360 \u003d 208 kNm.

?p?=P?— q(2+z 3) + F(z 3) = 0,

F(z 3) =- P?+ q(2+z 3) = -136 + 20 (2+z 3) - ekvation hetero,

p? z 3 = 0: F= -136 + 40 = - 94kN,

z 3 = 4m: F= - 136 + 20 (2+4) = - 136 + 120 = - 16kN.

IV avsnitt

-parabel.

z 4 =0: M= 0kNm,

z 4 =1m: M= - 10kNm,

z 4 =2m: M= -40kNm.

?p?=- q· z 4 + F(z 4) = 0,

F(z 4) =q· z 4 = 20 z 4 - ekvation hetero.

P? z 4 = 0: F= 0,

z 4 = 2m: F= 40kN.

Kontrollera hopp i diagram:

a) I diagrammet M hoppet p? h?ger st?d p? 24kNm (fr?n 16 till 40) ?r lika med det koncentrerade momentet M 2 =24 bifogade p? denna plats.

b) I diagrammet F tre hopp:

den f?rsta av dem p? det v?nstra st?det motsvarar den koncentrerade reaktionen MEN=104kN,

den andra ?r under makt F=80kN och lika med det (64+16=80kN),

den tredje ?r p? r?tt st?d och motsvarar r?tt st?dreaktion 136kN (94+40=136kN)

Slutligen designar vi en I-sektion.

Valet av dess dimensioner g?rs fr?n tillst?ndet f?r styrka f?r normala p?k?nningar:

?M(FR?N) = M(z 1) +F· z 1 =0,

M(z 1) = -F· z 1 = -20 z 1 .

P? z 1 =0: M= 0,

z 1=2m: M= - 40kNm,

?p?= - F— F(z 1) = 0,

F(z 1) = - 20 kN.

II avsnitt

z 2 =0: M= - 20 - 40 = -60 kNm,

z 2 =4m: M= 200 - 20 - 120 = 200 - 140 = 60 kNm.

?p?=- F+MEN— F(z 2) = 0,

F =- F+A=-20+50=30kN.

III avsnitt

-parabel.

P? z 3 =0: M= - 20 4 = - 80 kNm,

z 3=2m: M\u003d 210 2 - 20 (2 + 2) 2 \u003d 420 - 320 \u003d 100 kNm,

z 3=4m: M\u003d 210 4 - 20 (2 + 4) 2 \u003d 840 - 720 \u003d 120 kNm.

?p?= F(z 3) + P?— q(2+ z 3) = 0,

F(z 3) = — P?+ q(2+ z 3) = - 210 + 40 (2+ z 3) - ekvation hetero.

P? z 3 = 0: F= -130kN,

z 3 = 4m: F= 30kN.

F(z 0) = - 210 + 40 (2+ z 0) = 0,

— 210 + 80 + 40 z 0 = 0,

40 z 0 = 130,

z 0 =3,25 m,

IV avsnitt

parabel.

P? z 4 =0: M= 0 kNm,

z 4 =1m: M= - 20kNm,

z 4 =2m: M= -80kNm.

?p?=- q· z 4 + F(z 4) = 0,

F(z 4) =q· z 4 = 40 z 4 - ekvation hetero,

z 4 = 0: F= 0,

z 4 = 2m: F= 80kN.

3. Val av sektioner (farlig sektion i s: | maxM|=131,25 kNm,

farlig sektion l?ngs t: | maxF|=130kN).

Alternativ 1. Rektangul?r tr? ([s]=15MPa, [t]=3MPa)

Vi accepterar: B=0,24m,

H=0,48m.

S?ker efter t:

Alternativ 2. Tr?runda

Balken ?r huvudelementet i strukturens b?rande struktur. Under byggandet ?r det viktigt att ber?kna balkens avb?jning. I verklig konstruktion p?verkas detta element av vindkraft, belastning och vibrationer. Men n?r man utf?r ber?kningar ?r det vanligt att endast ta h?nsyn till den tv?rg?ende belastningen eller den genomf?rda belastningen, vilket ?r ekvivalent med den tv?rg?ende.

Balkar i huset

I ber?kningen uppfattas balken som en styvt fixerad st?ng, som ?r installerad p? tv? st?d. Om den ?r installerad p? tre eller flera st?d, ?r ber?kningen av dess avb?jning mer komplicerad, och det ?r n?stan om?jligt att utf?ra det p? egen hand. Huvudbelastningen ber?knas som summan av krafterna som verkar i riktning mot den vinkelr?ta sektionen av strukturen. Ber?kningsschemat kr?vs f?r att best?mma den maximala deformationen, som inte b?r vara h?gre ?n gr?nsv?rdena. Detta kommer att best?mma det optimala materialet av den ?nskade storleken, sektionen, flexibiliteten och andra indikatorer.

F?r konstruktion av olika strukturer anv?nds balkar gjorda av starka och h?llbara material. S?dana strukturer kan skilja sig ?t i l?ngd, form och tv?rsnitt. De mest anv?nda tr?- och metallkonstruktionerna. F?r ber?kningsschemat f?r avb?jningen ?r elementets material av stor betydelse. Det speciella med att ber?kna str?lens avb?jning i detta fall kommer att bero p? homogeniteten och strukturen hos dess material.

Tr?

F?r konstruktion av privata hus, stugor och annan individuell konstruktion anv?nds oftast tr?bj?lkar. Tr?konstruktioner som arbetar i bockning kan anv?ndas f?r tak och golvtak.

Tr?golv

F?r att ber?kna den maximala avb?jningen, ?verv?g:

1. Material. Olika tr?slag har olika indikatorer p? styrka, h?rdhet och flexibilitet.
2. Tv?rsnittsform och andra geometriska egenskaper.
3. Olika typer av belastning p? materialet.

Den till?tna str?lavb?jningen tar h?nsyn till den maximala faktiska avb?jningen, samt eventuella ytterligare driftsbelastningar.

Barrtr?strukturer

St?l

Metallbalkar k?nnetecknas av en komplex eller till och med sammansatt sektion och ?r oftast gjorda av flera typer av metall. Vid ber?kning av s?dana strukturer ?r det n?dv?ndigt att ta h?nsyn till inte bara deras styvhet, utan ocks? styrkan hos lederna.

St?lgolv

Metallstrukturer tillverkas genom att ansluta flera typer av valsad metall med f?ljande typer av anslutningar:

• elektrisk svetsning;
• nitar;
• bultar, skruvar och andra typer av g?ngade anslutningar.

St?lbalkar anv?nds oftast f?r h?ghus och andra typer av konstruktioner d?r h?g strukturell h?llfasthet kr?vs. I detta fall, vid anv?ndning av h?gkvalitativa anslutningar, garanteras en j?mnt f?rdelad belastning p? balken.

F?r att ber?kna str?len f?r avb?jning kan en video hj?lpa till:

Balkens styrka och styvhet

F?r att s?kerst?lla strukturens styrka, h?llbarhet och s?kerhet ?r det n?dv?ndigt att ber?kna balkarnas avb?jning vid konstruktionsstadiet av strukturen. D?rf?r ?r det extremt viktigt att k?nna till den maximala avb?jningen av str?len, vars formel hj?lper till att dra en slutsats om sannolikheten f?r att anv?nda en viss byggnadsstruktur.

Genom att anv?nda ber?kningsschemat f?r styvhet kan du best?mma de maximala f?r?ndringarna i delens geometri. Ber?kning av strukturen enligt experimentformler ?r inte alltid effektiv. Det rekommenderas att anv?nda ytterligare koefficienter f?r att l?gga till den n?dv?ndiga s?kerhetsmarginalen. Att inte l?mna en extra s?kerhetsmarginal ?r ett av de st?rsta konstruktionsfelen, vilket leder till om?jligheten av byggnadsdrift eller till och med allvarliga konsekvenser.

Det finns tv? huvudmetoder f?r att ber?kna styrka och styvhet:

1. Enkel. N?r du anv?nder denna metod till?mpas en f?rstoringsfaktor.
2. Exakt. Denna metod inkluderar inte bara anv?ndningen av koefficienter f?r s?kerhetsfaktorn, utan ocks? ytterligare ber?kningar av gr?nstillst?ndet.

Den senare metoden ?r den mest exakta och p?litliga, eftersom det ?r han som hj?lper till att best?mma vilken typ av belastning balken t?l.

Ber?kning av balkar f?r avb?jning

Styvhetsber?kning

F?r att ber?kna b?jh?llfastheten f?r en balk anv?nds formeln:

M ?r det maximala moment som uppst?r i str?len;

W n,min - sektionsmodul, som ?r ett tabellv?rde eller best?ms separat f?r varje typ av profil.

R y ?r st?lets b?jningsmotst?nd. Beror p? typ av st?l.

g c ?r drifttillst?ndskoefficienten, som ?r ett tabellv?rde.

Ber?kningen av en balks styvhet eller avb?jning ?r ganska enkel, s? ?ven en oerfaren byggare kan utf?ra ber?kningar. Men f?r att exakt best?mma den maximala avb?jningen m?ste f?ljande steg vidtas:

1. Rita upp designschemat f?r objektet.
2. Ber?kning av balkens dimensioner och dess sektion.
3. Ber?kning av den maximala belastningen som verkar p? balken.
4. Best?mning av anbringningspunkten f?r den maximala belastningen.
5. Dessutom kan balken kontrolleras f?r styrka genom det maximala b?jmomentet.
6. Ber?kning av styvhetsv?rdet eller den maximala avb?jningen av balken.

F?r att uppr?tta ett ber?kningsschema beh?ver du f?ljande data:

• dimensioner p? balken, l?ngden p? konsolerna och sp?nnvidden mellan dem;
• storlek och form p? tv?rsnittet;
• egenskaper hos belastningen p? strukturen och exakt dess till?mpning;
• material och dess egenskaper.

Om en tv?st?dsbalk ber?knas anses ett st?d vara styvt och det andra ?r g?ngj?rn.

Ber?kning av tr?ghetsmoment och sektionsmotst?nd

F?r att utf?ra styvhetsber?kningar beh?ver du v?rdet p? sektionens tr?ghetsmoment (J) och motst?ndsmomentet (W). F?r att ber?kna sektionsmodulen ?r det b?st att anv?nda formeln:

En viktig egenskap f?r att best?mma tr?ghetsmomentet och motst?ndet f?r en sektion ?r sektionens orientering i snittets plan. N?r tr?ghetsmomentet ?kar ?kar ocks? styvhetsindexet.

Best?mning av maximal belastning och nedb?jning

F?r att exakt best?mma avb?jningen av en str?le ?r det b?st att anv?nda denna formel:

q ?r en j?mnt f?rdelad last;

E ?r elasticitetsmodulen, vilket ?r ett tabellv?rde;

l ?r l?ngden;

I ?r sektionens tr?ghetsmoment.

F?r att ber?kna den maximala belastningen m?ste statiska och periodiska belastningar beaktas. Till exempel, om vi pratar om en tv?v?ningsstruktur, kommer en belastning fr?n dess vikt, utrustning och m?nniskor st?ndigt att agera p? en tr?balk.

Funktioner i ber?kningen f?r avb?jning

Nedb?jningsber?kning ?r obligatorisk f?r alla golv. Det ?r extremt viktigt att noggrant ber?kna denna indikator under betydande externa belastningar. Komplexa formler i det h?r fallet ?r valfria. Om du anv?nder l?mpliga koefficienter kan ber?kningarna reduceras till enkla scheman:

1. En st?ng som vilar p? ett styvt och ett g?ngj?rnsst?d och tar en koncentrerad belastning.
2. En st?ng som b?rs upp av ett styvt och ledat st?d och uts?tts f?r en f?rdelad belastning.
3. Laddningsm?jligheter f?r en frib?rande st?ng, som ?r styvt fixerad.
4. ?tg?rd p? strukturen av en komplex last.

Genom att anv?nda denna metod f?r avb?jningsber?kning kan du ignorera materialet. D?rf?r p?verkas inte ber?kningarna av v?rdena f?r dess huvudegenskaper.

Nedb?jningsber?kningsexempel

F?r att f?rst? processen f?r att ber?kna en balks styvhet och dess maximala avb?jning kan du anv?nda ett enkelt r?kneexempel. Denna ber?kning utf?rs f?r en balk med f?ljande egenskaper:

• produktionsmaterial - tr?;
• densiteten ?r 600 kg/m3;
• l?ngden ?r 4 m;
• materialets tv?rsnitt ?r 150 * 200 mm;
• vikten av de ?verlappande elementen ?r 60 kg/m?;
• den maximala belastningen av strukturen ?r 249 kg/m;
• materialets elasticitet ?r 100 000 kgf / m?;
• J ?r lika med 10 kg*m?.

F?r att ber?kna den maximala till?tna belastningen beaktas vikten av balken, golven och st?den. Det rekommenderas ocks? att ta h?nsyn till vikten av m?bler, apparater, ytbehandlingar, m?nniskor och andra tunga saker, vilket ocks? kommer att p?verka designen. F?ljande information kr?vs f?r ber?kningen:

• vikt av en meter av en balk;
• vikt m2 av ?verlappning;
• avst?ndet som ?r kvar mellan balkarna;

F?r att f?renkla ber?kningen av det h?r exemplet kan vi ta golvets massa som 60 kg/m?, belastningen p? varje v?ning som 250 kg/m?, belastningen p? skiljev?ggarna 75 kg/m? och balkm?tarens vikt ?r 18 kg. Med ett avst?nd mellan balkarna p? 60 cm blir koefficienten k lika med 0,6.

Om vi ers?tter alla dessa v?rden i formeln f?r vi:

q \u003d (60 + 250 + 75) * 0,6 + 18 \u003d 249 kg / m.

F?r att ber?kna b?jmomentet, anv?nd formeln f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] ? [¦].

Genom att ers?tta data i den f?r vi f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] = (5 / 384) * [(249 * 44) / (100 000 * 10)] = 0 ,13020833 * [(249 * 256) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * (6 3744 / 10 000 000) = 0,13020833 * 0,00000630 0,0000 0630 3,8 cm = 8 cm.

Detta ?r just indikatorn p? avb?jning n?r den uts?tts f?r den maximala belastningen p? balken. Dessa ber?kningar visar att n?r den maximala belastningen appliceras p? den kommer den att b?jas med 0,83 cm. Om denna indikator ?r mindre ?n 1, ?r dess anv?ndning under de angivna belastningarna till?ten.

Anv?ndningen av s?dana ber?kningar ?r ett universellt s?tt att ber?kna strukturens styvhet och m?ngden av deras avb?jning. Det ?r ganska enkelt att ber?kna dessa v?rden p? egen hand. Det r?cker att k?nna till de n?dv?ndiga formlerna, samt att ber?kna v?rdena. Vissa uppgifter m?ste tas i tabellen. N?r du g?r ber?kningar ?r det extremt viktigt att vara uppm?rksam p? m?ttenheter. Om v?rdet i formeln ?r i meter, m?ste det konverteras till denna form. S?dana enkla fel kan g?ra ber?kningar v?rdel?sa. F?r att ber?kna str?lens styvhet och maximala avb?jning r?cker det att k?nna till materialets huvudegenskaper och dimensioner. Dessa data b?r ers?ttas med n?gra enkla formler.

Ber?kningen av en str?le f?r att b?ja "manuellt", p? ett gammaldags s?tt, l?ter dig l?ra dig en av de viktigaste, vackra, tydligt matematiskt verifierade algoritmerna f?r vetenskapen om materialstyrkan. Anv?ndningen av m?nga program som "ange in de ursprungliga uppgifterna ...

...– f? ett svar” l?ter den moderna ingenj?ren idag arbeta mycket snabbare ?n sina f?reg?ngare f?r hundra, femtio och till och med tjugo ?r sedan. Men med ett s?dant modernt tillv?gag?ngss?tt tvingas ingenj?ren att fullt ut lita p? f?rfattarna till programmet och slutar s? sm?ningom att "k?nna den fysiska inneb?rden" av ber?kningarna. Men f?rfattarna till programmet ?r m?nniskor, och m?nniskor g?r misstag. Om det inte vore s? skulle det inte finnas m?nga patchar, releaser, "patchar" f?r n?stan vilken programvara som helst. D?rf?r f?refaller det mig som om vilken ingenj?r som helst ibland borde kunna "manuellt" kontrollera resultatet av ber?kningar.

Hj?lp (fuskblad, memo) f?r ber?kning av balkar f?r b?jning visas nedan i figuren.

L?t oss anv?nda ett enkelt vardagsexempel f?r att f?rs?ka anv?nda det. L?t oss s?ga att jag best?mde mig f?r att g?ra en horisontell st?ng i l?genheten. En plats har best?mts - en korridor p? en meter tjugo centimeter bred. P? motsatta v?ggar i den erforderliga h?jden mitt emot varandra f?ster jag s?kert f?stena som balkbalken kommer att f?stas p? - en st?ng av St3-st?l med en ytterdiameter p? trettiotv? millimeter. Kommer den h?r str?len att st?dja min vikt plus ytterligare dynamiska belastningar som kommer att uppst? under tr?ning?

Vi ritar ett diagram f?r att ber?kna str?len f?r b?jning. Uppenbarligen kommer det farligaste schemat att applicera en extern belastning att vara n?r jag b?rjar dra mig upp och klamrar mig fast vid mitten av ribban med en hand.

Initial data:

F1 \u003d 900 n - kraften som verkar p? balken (min vikt) utan att ta h?nsyn till dynamiken

d \u003d 32 mm - den yttre diametern p? st?ngen fr?n vilken balken ?r gjord

E = 206000 n/mm^2 ?r elasticitetsmodulen f?r St3 st?lbalkmaterialet

[si] = 250 n/mm^2 - till?tna b?jsp?nningar (str?ckgr?ns) f?r materialet i St3 st?lbalken

Gr?nsf?rh?llanden:

Мx (0) = 0 n*m – moment vid punkten z = 0 m (f?rsta st?det)

Мx (1,2) = 0 n*m – moment vid punkt z = 1,2 m (andra st?det)

V (0) = 0 mm - avb?jning vid punkten z = 0 m (f?rsta st?det)

V (1,2) = 0 mm - avb?jning vid punkten z = 1,2 m (andra st?det)

Ber?kning:

1. F?rst ber?knar vi tr?ghetsmomentet Ix och motst?ndsmomentet Wx f?r str?lsektionen. De kommer att vara anv?ndbara f?r oss i ytterligare ber?kningar. F?r en cirkul?r sektion (som ?r sektionen av stapeln):

Ix = (p*d^4)/64 = (3,14*(32/10)^4)/64 = 5,147 cm^4

Bx = (p*d^3)/32 = ((3,14*(32/10)^3)/32) = 3,217 cm^3

2. Vi sammanst?ller j?mviktsekvationer f?r att ber?kna reaktionerna f?r st?den R1 och R2:

Qy = -R1+F1-R2 = 0

Mx (0) = F1*(0-b2) -R2*(0-b3) = 0

Fr?n den andra ekvationen: R2 = F1*b2/b3 = 900*0,6/1,2 = 450 n

Fr?n den f?rsta ekvationen: R1 = F1-R2 = 900-450 = 450 n

3. L?t oss hitta str?lens rotationsvinkel i det f?rsta st?det vid z = 0 fr?n avb?jningsekvationen f?r den andra sektionen:

V (1,2) = V (0)+U (0)*1,2+(-R1*((1,2-b1)^3)/6+F1*((1,2-b2)^3)/6)/

U (0) = (R1*((1,2-b1)^3)/6 -F1*((1,2-b2)^3)/6)/(E*Ix)/1,2 =

= (450*((1.2-0)^3)/6 -900*((1.2-0.6)^3)/6)/

/(206000*5,147/100)/1,2 = 0,00764 rad = 0,44?

4. Vi komponerar ekvationer f?r att konstruera diagram f?r den f?rsta sektionen (0

Skjuvkraft: Qy (z) = -R1

B?jmoment: Mx (z) = -R1*(z-b1)

Rotationsvinkel: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2)/(E*Ix)

Nedb?jning: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6)/(E*Ix)

z = 0 m:

Qy (0) = -Rl = -450 n

Ux(0) = U(0) = 0,00764 rad

Vy(0)=V(0)=0 mm

z = 0,6 m:

Qy (0,6) = -Rl = -450 n

Mx (0,6) \u003d -R1 * (0,6-b1) \u003d -450 * (0,6-0) \u003d -270 n * m

Ux (0,6) = U (0)+(-R1*((0,6-b1)^2)/2)/(E*Ix) =

0,00764+(-450*((0,6-0)^2)/2)/(206000*5,147/100) = 0 rad

Vy (0,6) = V (0)+U (0)*0,6+(-R1*((0,6-b1)^3)/6)/(E*Ix) =

0+0,00764*0,6+(-450*((0,6-0)^3)/6)/ (206000*5,147/100) = 0,003 m

Balken kommer att sjunka i mitten med 3 mm under tyngden av min kropp. Jag tycker att detta ?r en acceptabel avvikelse.

5. Vi skriver diagramekvationerna f?r den andra sektionen (b2

Skjuvkraft: Qy (z) = -R1+F1

B?jmoment: Mx (z) = -R1*(z-b1)+F1*(z-b2)

Rotationsvinkel: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2+F1*((z-b2)^2)/2)/(E*Ix)

Nedb?jning: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6+F1*((z-b2)^3)/6)/( E*Ix)

z = 1,2 m:

Qy (1,2) = -R1+F1 = -450+900 = 450 n

Мx (1,2) = 0 n*m

Ux (1,2) = U (0)+(-R1*((1,2-b1)^2)/2+F1*((1,2-b2)^2)/2)/(E* ix) =

0,00764+(-450*((1,2-0)^2)/2+900*((1,2-0,6)^2)/2)/

/(206000*5,147/100) = -0,00764 rad

Vy (1,2) = V (1,2) = 0 m

6. Vi bygger diagram med hj?lp av data som erh?llits ovan.

7. Vi ber?knar b?jsp?nningarna i den mest belastade sektionen - i mitten av balken och j?mf?r med de till?tna sp?nningarna:

si \u003d Mx max / Bx \u003d (270 * 1000) / (3,217 * 1000) \u003d 84 n / mm ^ 2

si = 84 n/mm^2< [sи] = 250 н/мм^2

N?r det g?ller b?jh?llfasthet visade ber?kningen en trefaldig s?kerhetsmarginal - den horisontella st?ngen kan s?kert tillverkas av en befintlig st?ng med en diameter p? trettiotv? millimeter och en l?ngd p? tusen tv?hundra millimeter.

S?ledes kan du nu enkelt ber?kna str?len f?r b?jning "manuellt" och j?mf?ra med resultaten som erh?lls i ber?kningen med hj?lp av n?got av de m?nga programmen som presenteras p? webben.

Jag ber dem som RESPEKTERAR f?rfattarens arbete att PRENUMERERA p? tillk?nnagivanden av artiklar.

Relaterade artiklar

Recensioner

88 kommentarer om "Ber?kning av en balk f?r b?jning - "manuellt"!"

1. Alexander Vorobyov 19 juni 2013 22:32
2. Alexey 18 sep 2013 17:50
3. Alexander Vorobyov 18 sep 2013 20:47
4. mikhaml 2 dec 2013 17:15
5. Alexander Vorobyov 2 dec 2013 20:27
6. Dmitry 10 dec 2013 21:44
7. Alexander Vorobyov 10 december 2013 23:18
8. Dmitry 11 december 2013 15:28
9. Igor 5 januari 2014 04:10
10. Alexander Vorobyov 5 jan 2014 11:26
11. Andrey 27 januari 2014 21:38
12. Alexander Vorobyov 27 januari 2014 23:21
13. Alexander 27 feb 2014 18:20
14. Alexander Vorobyov 28 februari 2014 11:57
15. Andrey 12 mars 2014 22:27
16. Alexander Vorobyov 13 mars 2014 09:20
17. Denis 11 april 2014 02:40
18. Alexander Vorobyov 13 april 2014 17:58
19. Denis 13 april 2014 21:26
20. Denis 13 april 2014 21:46
21. Alexander 14 april 2014 08:28
22. Alexander 17 april 2014 12:08
23. Alexander Vorobyov 17 april 2014 13:44
24. Alexander 18 april 2014 01:15
25. Alexander Vorobyov 18 april 2014 08:57
26. David 3 juni 2014 18:12
27. Alexander Vorobyov 5 juni 2014 18:51
28. David 11 juli 2014 18:05
29. Alimzhan 12 sep 2014 13:57
30. Alexander Vorobyov 13 september 2014 13:12
31. Alexander 14 okt 2014 22:54
32. Alexander Vorobyov 14 okt 2014 23:11
33. Alexander 15 oktober 2014 01:23
34. Alexander Vorobyov 15 okt 2014 19:43
35. Alexander 16 oktober 2014 02:13
36. Alexander Vorobyov 16 okt 2014 21:05
37. Alexander 16 okt 2014 22:40
38. Alexander 12 nov 2015 18:24
39. Alexander Vorobyov 12 nov 2015 20:40
40. Alexander 13 nov 2015 05:22
41. Rafik 13 dec 2015 22:20
42. Alexander Vorobyov 14 december 2015 11:06
43. Shchur Dmitry Dmitrievich 15 december 2015 13:27
44. Alexander Vorobyov 15 december 2015 17:35
45. Rinat 09 jan 2016 15:38
46. Alexander Vorobyov 9 jan 2016 19:26
47. Shchur Dmitry Dmitrievich 4 mars 2016 13:29
48. Alexander Vorobyov 5 mars 2016 16:14
49. Glory 28 mars 2016 11:57
50. Alexander Vorobyov 28 mars 2016 13:04
51. Glory 28 mars 2016 15:03
52. Alexander Vorobyov 28 mars 2016 19:14
53. ruslan 1 apr 2016 19:29
54. Alexander Vorobyov 2 april 2016 12:45
55. Alexander 22 april 2016 18:55
56. Alexander Vorobyov 23 april 2016 12:14
57. Alexander 25 april 2016 10:45
58. Oleg 9 maj 2016 17:39
59. Alexander Vorobyov 9 maj 2016 18:08
60. Michael 16 maj 2016 09:35
61. Alexander Vorobyov 16 maj 2016 16:06
62. Michael 9 juni 2016 22:12
63. Alexander Vorobyov 9 juni 2016 23:14
64. Michael 16 juni 2016 11:25
65. Alexander Vorobyov 17 juni 2016 10:43
66. Dmitry 5 juli 2016 20:45
67. Alexander Vorobyov 6 juli 2016 09:39
68. Dmitry 6 juli 2016 13:09
69. Vitaliy 16 jan 2017 19:51
70. Alexander Vorobyov 16 jan 2017 20:40
71. Vitaliy 17 jan 2017 15:32
72. Alexander Vorobyov 17 januari 2017 19:39
73. Vitaliy 17 januari 2017 20:40
74. Alexey 15 februari 2017 02:09
75. Alexander Vorobyov 15 feb 2017 19:08
76. Alexey 16 februari 2017 03:50
77. Dmitry 9 juni 2017 12:05
78. Alexander Vorobyov 9 juni 2017 13:32
79. Dmitry 9 juni 2017 14:52
80. Alexander Vorobyov 9 juni 2017 20:14
81. Sergey 9 mars 2018 21:54
82. Alexander Vorobyov 10 mars 2018 09:11
83. Evgeny Aleksandrovich 6 maj 2018 20:19
84. Alexander Vorobyov 6 maj 2018 21:16
85. Vitaly 29 juni 2018 19:11
86. Alexander Vorobyov 29 juni 2018 23:41
87. Albert 12 oktober 2019 13:59
88. Alexander Vorobyov 12 oktober 2019 22:49

b?jningsdeformation best?r i kr?kningen av den raka st?ngens axel eller i att ?ndra den raka st?ngens initiala kr?kning (fig. 6.1). L?t oss bekanta oss med de grundl?ggande begreppen som anv?nds n?r vi ?verv?ger b?jningsdeformation.

B?jstavar kallas str?lar.

rena kallas b?jning, d?r b?jmomentet ?r den enda inre kraftfaktor som uppst?r i balkens tv?rsnitt.

Oftare, i tv?rsnittet av st?ngen, tillsammans med b?jmomentet, uppst?r ocks? en tv?rkraft. En s?dan b?j kallas tv?rg?ende.

platt (rak) kallas en b?j n?r b?jmomentets verkningsplan i tv?rsnittet passerar genom en av tv?rsnittets huvudaxlar.

P? sned b?j b?jmomentets aktionsplan sk?r balkens tv?rsnitt l?ngs en linje som inte sammanfaller med n?gon av tv?rsnittets huvudaxlar.

Vi b?rjar studiet av b?jningsdeformation med fallet med ren plan b?jning.

Normala sp?nningar och t?jningar vid ren b?jning.

Som redan n?mnts, med en ren platt b?j i tv?rsnittet, av de sex inre kraftfaktorerna, ?r endast b?jmomentet icke-noll (fig. 6.1, c):

Experiment utf?rda p? elastiska modeller visar att om ett rutn?t av linjer appliceras p? modellens yta (Fig. 6.1, a), s? deformeras det med ren b?jning enligt f?ljande (Fig. 6.1, b):

a) l?ngsg?ende linjer ?r kr?kta l?ngs omkretsen;

b) konturerna av tv?rsnitten f?rblir plana;

c) linjerna f?r sektionernas konturer sk?r ?verallt de l?ngsg?ende fibrerna i r?t vinkel.

Utifr?n detta kan man anta att vid ren b?jning f?rblir balkens tv?rsnitt plana och roterar s? att de f?rblir vinkelr?ta mot balkens b?jda axel (flatsektionshypotes vid b?jning).

Ris. 6.1

Genom att m?ta l?ngden p? de l?ngsg?ende linjerna (fig. 6.1, b) kan man konstatera att de ?vre fibrerna f?rl?ngs under b?jningsdeformationen av balken och de nedre f?rkortas. Uppenbarligen ?r det m?jligt att hitta s?dana fibrer, vars l?ngd f?rblir of?r?ndrad. Upps?ttningen fibrer som inte ?ndrar sin l?ngd n?r balken b?js kallas neutralt lager (n.s.). Det neutrala lagret sk?r str?lens tv?rsnitt i en r?t linje som kallas neutral linje (n. l.) sektion.

F?r att h?rleda en formel som best?mmer storleken p? de normala sp?nningar som uppst?r i tv?rsnittet, ?verv?g sektionen av balken i deformerat och icke-deformerat tillst?nd (Fig. 6.2).

Ris. 6.2

Med tv? o?ndliga tv?rsnitt v?ljer vi ett l?ngdelement
. Innan deformeras, sektionen som avgr?nsar elementet
, var parallella med varandra (fig. 6.2, a), och efter deformation lutade de n?got och bildade en vinkel
. L?ngden p? fibrerna som ligger i det neutrala lagret ?ndras inte under b?jning
. L?t oss beteckna kr?kningsradien f?r sp?ret av det neutrala lagret p? ritningens plan med bokstaven . L?t oss best?mma den linj?ra deformationen av en godtycklig fiber
, p? ett avst?nd fr?n det neutrala lagret.

L?ngden p? denna fiber efter deformation (b?gl?ngd
) ?r lika med
. Med tanke p? att f?re deformation hade alla fibrer samma l?ngd
, erh?ller vi den absoluta f?rl?ngningen av den betraktade fibern

Dess relativa deformation

Det ?r uppenbart
eftersom l?ngden p? fibern som ligger i det neutrala skiktet inte har f?r?ndrats. Sedan efter byte
vi f?r

(6.2)

D?rf?r ?r den relativa longitudinella t?jningen proportionell mot fiberns avst?nd fr?n den neutrala axeln.

Vi introducerar antagandet att de l?ngsg?ende fibrerna inte pressar varandra under b?jning. Under detta antagande deformeras varje fiber isolerat och upplever en enkel sp?nning eller kompression, d?r
. Med h?nsyn till (6.2)

, (6.3)

d.v.s. normala sp?nningar ?r direkt proportionella mot avst?nden mellan de betraktade punkterna i sektionen fr?n den neutrala axeln.

Vi ers?tter beroende (6.3) i uttrycket f?r b?jmomentet
i tv?rsnitt (6.1)

.

Kom ih?g att integralen
representerar tr?ghetsmomentet f?r sektionen kring axeln

.

(6.4)

Beroende (6.4) ?r Hookes lag vid b?jning, eftersom det relaterar deformationen (kr?kningen av det neutrala lagret
) med momentet som agerar i avsnittet. Arbete
kallas sektionens styvhet vid b?jning, N m 2.

Ers?tt (6.4) i (6.3)

(6.5)

Detta ?r den ?nskade formeln f?r att best?mma de normala sp?nningarna vid ren b?jning av balken vid vilken punkt som helst i dess sektion.

F?r att fastst?lla var den neutrala linjen ligger i tv?rsnittet, ers?tter vi v?rdet av normalsp?nningar i uttrycket med den l?ngsg?ende kraften
och b?jmoment

Eftersom det
,

;

(6.6)

(6.7)

Likhet (6.6) anger att axeln - sektionens neutrala axel - passerar genom tv?rsnittets tyngdpunkt.

J?mst?lldhet (6,7) visar det och - sektionens centrala axlar.

Enligt (6.5) uppn?s de st?rsta sp?nningarna i fibrerna l?ngst bort fr?n neutrallinjen

Attityd representerar den axiella sektionsmodulen om dess centrala axel , betyder att

Menande f?r de enklaste tv?rsnitten f?ljande:

F?r rektangul?rt tv?rsnitt

, (6.8)

var - sektionssidan vinkelr?t mot axeln ;

- sektionssidan parallell med axeln ;

F?r runt tv?rsnitt

, (6.9)

var ?r diametern p? det cirkul?ra tv?rsnittet.

H?llfasthetsvillkoret f?r normala sp?nningar vid b?jning kan skrivas som

(6.10)

Alla erh?llna formler erh?lls f?r fallet med ren b?jning av en rak st?ng. Tv?rkraftens verkan leder till att hypoteserna som ligger till grund f?r slutsatserna tappar sin styrka. Ut?vandet av ber?kningar visar emellertid att vid tv?rg?ende b?jning av balkar och ramar, n?r i sektionen, ut?ver b?jmomentet
det finns ocks? en l?ngsg?ende kraft
och skjuvkraft , kan du anv?nda formlerna som ges f?r ren b?jning. I det h?r fallet visar sig felet vara obetydligt.