?mne, elevernas ?lder: geometri, ?rskurs 9

Syftet med lektionen: studiet av typer av polygoner.

Inl?rningsuppgift: att uppdatera, ut?ka och generalisera elevernas kunskaper om polygoner; bilda en uppfattning om "komponenterna" i en polygon; genomf?ra en studie av antalet ing?ende element i regelbundna polygoner (fr?n en triangel till n-gon);

Utvecklande uppgift: att utveckla f?rm?gan att analysera, j?mf?ra, dra slutsatser, utveckla ber?kningsf?rm?ga, muntligt och skriftligt matematiskt tal, minne, samt sj?lvst?ndighet i t?nkande och l?randeaktiviteter, f?rm?ga att arbeta i par och grupp; utveckla forsknings- och utbildningsverksamhet;

Pedagogisk uppgift: att utbilda oberoende, aktivitet, ansvar f?r den tilldelade uppgiften, uth?llighet i att uppn? m?let.

Under lektionerna: ett citat ?r skrivet p? tavlan

"Naturen talar matematikens spr?k, bokst?verna i detta spr?k ... matematiska figurer." G. Gallilei

I b?rjan av lektionen delas klassen in i arbetsgrupper (i v?rt fall ?r uppdelningen i grupper om 4 personer vardera - antalet gruppmedlemmar ?r lika med antalet fr?gegrupper).

1. Ring scenen-

M?l:

a) uppdatera elevernas kunskaper om ?mnet;

b) att v?cka intresse f?r ?mnet som studeras, varje elevs motivation f?r l?randeaktiviteter.

Mottagning: Spelet "Tror du att ...", organisering av arbetet med text.

Arbetsformer: frontal, grupp.

"Tror du det…."

1. ... ordet "polygon" indikerar att alla figurer i denna familj har "m?nga h?rn"?

2. … en triangel tillh?r en stor familj av polygoner, som skiljer sig fr?n m?nga olika geometriska former p? planet?

3. …?r en kvadrat en vanlig oktagon (fyra sidor + fyra h?rn)?

Idag i lektionen kommer vi att prata om polygoner. Vi l?r oss att denna figur begr?nsas av en sluten streckad linje, som i sin tur kan vara enkel, st?ngd. L?t oss prata om det faktum att polygoner ?r platta, regelbundna, konvexa. En av de platta polygonerna ?r en triangel som du har varit bekant med l?nge (du kan visa elevernas affischer som f?rest?ller polygoner, en streckad linje, visa deras olika typer, du kan ocks? anv?nda TCO).

2. Stadium av f?rst?else

Syfte: f? ny information, dess f?rst?else, urval.

Reception: sicksack.

Arbetsformer: individ->par->grupp.

Varje grupp f?r en text om lektionens ?mne, och texten ?r utformad p? ett s?dant s?tt att den inneh?ller b?de information som redan ?r k?nd f?r eleverna och helt ny information. Tillsammans med texten f?r eleverna fr?gor som svaren p? ska finnas i denna text.

Polygoner. Typer av polygoner.

Vem har inte h?rt talas om den mystiska Bermudatriangeln, d?r skepp och flygplan f?rsvinner sp?rl?st? Men triangeln som ?r bekant f?r oss fr?n barndomen ?r fylld med m?nga intressanta och mystiska saker.

F?rutom de typer av trianglar som vi redan k?nner till, dividerade med sidor (skala, likbent, liksidig) och vinklar (spetsvinklad, trubbvinklad, r?tvinklig), tillh?r triangeln en stor familj av polygoner som skiljer sig fr?n m?nga olika geometriska former p? planet.

Ordet "polygon" indikerar att alla figurer i denna familj har "m?nga h?rn". Men detta r?cker inte f?r att karakterisera figuren.

En streckad linje A 1 A 2 ... A n ?r en figur som best?r av punkterna A 1, A 2, ... A n och segment A 1 A 2, A 2 A 3, ... som f?rbinder dem. Punkterna kallas f?r polylinjens h?rn, och segmenten kallas polylinjens l?nkar. (figur 1)

En streckad linje kallas enkel om den inte har sj?lvkorsningar (Fig. 2,3).

En streckad linje kallas st?ngd om dess ?ndar sammanfaller. L?ngden p? en streckad linje ?r summan av l?ngderna p? dess l?nkar (fig. 4).

En enkel st?ngd streckad linje kallas en polygon om dess angr?nsande l?nkar inte ligger p? samma r?ta linje (fig. 5).

Ers?tt i ordet "polygon" ist?llet f?r "m?nga" ett specifikt tal, till exempel 3. Du f?r en triangel. Eller 5. Sedan - en femh?rning. Observera att det finns lika m?nga vinklar som det finns sidor, s? dessa figurer kan mycket v?l kallas multilaterala.

Polygonens h?rn kallas polygonens h?rn, och polylinjens l?nkar kallas polygonens sidor.

Polygonen delar planet i tv? regioner: inre och yttre (fig. 6).

En plan polygon eller polygonal region ?r en ?ndlig del av ett plan som begr?nsas av en polygon.

Tv? h?rn av en polygon som ?r ?ndar p? samma sida kallas grannar. Vertices som inte ?r ?ndar p? ena sidan ?r icke-angr?nsande.

En polygon med n h?rn och d?rf?r n sidor kallas en n-gon.

?ven om det minsta antalet sidor i en polygon ?r 3. Men trianglar, som f?rbinds med varandra, kan bilda andra former, som i sin tur ocks? ?r polygoner.

Segment som f?rbinder icke-angr?nsande h?rn av en polygon kallas diagonaler.

En polygon kallas konvex om den ligger i ett halvplan i f?rh?llande till n?gon linje som inneh?ller dess sida. I detta fall anses den r?ta linjen i sig tillh?ra halvplanet.

Vinkeln f?r en konvex polygon vid en given vertex ?r vinkeln som bildas av dess sidor som konvergerar vid den vertexen.

L?t oss bevisa satsen (om summan av vinklarna f?r en konvex n-gon): Summan av vinklarna f?r en konvex n-gon ?r lika med 180 0 *(n - 2).

Bevis. I fallet n=3 ?r satsen sann. L?t А 1 А 2 …А n vara en given konvex polygon och n>3. L?t oss rita diagonaler i den (fr?n en vertex). Eftersom polygonen ?r konvex delar dessa diagonaler upp den i n - 2 trianglar. Summan av polygonens vinklar ?r densamma som summan av vinklarna f?r alla dessa trianglar. Summan av vinklarna f?r varje triangel ?r 180 0, och antalet av dessa trianglar ?r n - 2. D?rf?r ?r summan av vinklarna f?r en konvex n - vinkel A 1 A 2 ... A n 180 0 * ( n - 2). Teoremet har bevisats.

Den yttre vinkeln f?r en konvex polygon vid en given vertex ?r vinkeln intill polygonens inre vinkel vid denna vertex.

En konvex polygon kallas regelbunden om alla sidor ?r lika och alla vinklar ?r lika.

S? kvadraten kan kallas annorlunda - en vanlig fyrh?rning. Liksidiga trianglar ?r ocks? regelbundna. S?dana figurer har l?nge varit intressanta f?r m?starna som dekorerade byggnaderna. De gjorde vackra m?nster p? till exempel parketten. Men alla vanliga polygoner kunde inte anv?ndas f?r att bilda parkett. Parkett kan inte formas av vanliga oktagoner. Faktum ?r att de har varje vinkel lika med 135 0. Och om n?gon punkt ?r spetsen p? tv? s?dana oktagoner, kommer de att ha 270 0, och det finns ingenstans f?r den tredje oktagonen att passa: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Men tillr?ckligt f?r en ruta. D?rf?r ?r det m?jligt att vika parketten fr?n vanliga oktagoner och rutor.

Stj?rnorna st?mmer. V?r femuddiga stj?rna ?r en vanlig femkantig stj?rna. Och om du roterar kvadraten runt mitten med 45 0 f?r du en vanlig ?ttakantig stj?rna.

1 grupp

Vad ?r en bruten linje? F?rklara vad h?rn och l?nkar av en polylinje ?r.

Vilken streckad linje kallas enkel?

Vilken streckad linje kallas st?ngd?

Vad ?r en polygon? Vad kallas h?rnen p? en polygon? Vilka ?r sidorna av en polygon?

2 grupp

Vad ?r en platt polygon? Ge exempel p? polygoner.

Vad ?r n-gon?

F?rklara vilka h?rn av polygonen som ligger intill och vilka som inte ?r det.

Vad ?r diagonalen f?r en polygon?

3 grupp

Vad ?r en konvex polygon?

F?rklara vilka h?rn av polygonen som ?r externa och vilka ?r inre?

Vad ?r en vanlig polygon? Ge exempel p? vanliga polygoner.

4 grupp

Vad ?r summan av vinklarna f?r en konvex n-gon? Bevisa det.

Eleverna arbetar med texten, letar efter svar p? de st?llda fr?gorna, varefter expertgrupper bildas, d?r man arbetar med samma fr?gor: eleverna lyfter fram det viktigaste, g?r en st?djande sammanfattning, presenterar information i en av de grafiska former. I slutet av arbetet g?r eleverna tillbaka till sina arbetsgrupper.

3. Reflektionsstadium -

a) bed?mning av sina kunskaper, utmaning till n?sta kunskapssteg;

b) f?rst?else och till?gnelse av den mottagna informationen.

Mottagning: forskningsarbete.

Arbetsformer: individ->par->grupp.

Arbetsgrupperna ?r experter p? svaren p? var och en av avsnitten i de f?reslagna fr?gorna.

N?r han ?terv?nder till arbetsgruppen presenterar experten de andra medlemmarna i gruppen med svaren p? deras fr?gor. I gruppen sker ett informationsutbyte av alla medlemmar i arbetsgruppen. S?lunda, i varje arbetsgrupp, tack vare experternas arbete, bildas en allm?n id? om ?mnet som studeras.

Forskningsarbete av studenter - fylla i tabellen.

L?sa intressanta problem p? lektionens ?mne.

• I fyrh?rningen ritar du en linje s? att den delar den i tre trianglar.
• Hur m?nga sidor har en vanlig polygon, vars inre vinklar ?r lika med 135 0 ?
• I en viss polygon ?r alla inre vinklar lika med varandra. Kan summan av de inre vinklarna f?r denna polygon vara: 360 0 , 380 0 ?

Sammanfattning av lektionen. Spela in l?xor.

?mne: "Polygoner. Typer av polygoner"

?rskurs 9

SL №20

L?rare: Kharitonovich T.I. Syftet med lektionen: studiet av typer av polygoner.

Inl?rningsuppgift: uppdatera, ut?ka och generalisera elevernas kunskaper om polygoner; bilda en uppfattning om "komponenterna" i en polygon; genomf?ra en studie av antalet ing?ende element i regelbundna polygoner (fr?n en triangel till n-gon);

Utvecklingsuppgift: utveckla f?rm?gan att analysera, j?mf?ra, dra slutsatser, utveckla ber?kningsf?rm?ga, muntligt och skriftligt matematiskt tal, minne, samt sj?lvst?ndighet i t?nkande och l?randeaktiviteter, f?rm?ga att arbeta i par och grupp; utveckla forsknings- och utbildningsverksamhet;

Pedagogisk uppgift: att odla sj?lvst?ndighet, aktivitet, ansvar f?r uppdraget, uth?llighet i att n? m?let.

Utrustning: interaktiv whiteboard (presentation)

Under lektionerna

Visa presentation: "Polygoner"

"Naturen talar matematikens spr?k, bokst?verna i detta spr?k ... matematiska figurer." G. Gallilei

I b?rjan av lektionen ?r klassen indelad i arbetsgrupper (i v?rt fall, indelning i 3 grupper)

1. Ring scenen-

a) uppdatera elevernas kunskaper om ?mnet;

b) att v?cka intresse f?r ?mnet som studeras, varje elevs motivation f?r l?randeaktiviteter.

Mottagning: Spelet "Tror du att ...", organisering av arbetet med text.

Arbetsformer: frontal, grupp.

"Tror du det…."

1. ... ordet "polygon" indikerar att alla figurer i denna familj har "m?nga h?rn"?

2. … tillh?r en triangel en stor familj av polygoner som skiljer sig fr?n en m?ngd olika geometriska former p? ett plan?

3. …?r en kvadrat en vanlig oktagon (fyra sidor + fyra h?rn)?

Idag i lektionen kommer vi att prata om polygoner. Vi l?r oss att denna figur begr?nsas av en sluten streckad linje, som i sin tur kan vara enkel, st?ngd. L?t oss prata om det faktum att polygoner ?r platta, regelbundna, konvexa. En av de platta polygonerna ?r en triangel som du varit bekant med l?nge (du kan visa elevernas affischer som f?rest?ller polygoner, en streckad linje, visa deras olika typer, du kan ocks? anv?nda TCO).

2. Stadium av f?rst?else

Syfte: f? ny information, dess f?rst?else, urval.

Reception: sicksack.

Arbetsformer: individ->par->grupp.

Varje grupp f?r en text om lektionens ?mne, och texten ?r utformad p? ett s?dant s?tt att den inneh?ller b?de information som redan ?r k?nd f?r eleverna och helt ny information. Tillsammans med texten f?r eleverna fr?gor som svaren p? ska finnas i denna text.

Polygoner. Typer av polygoner.

Vem har inte h?rt talas om den mystiska Bermudatriangeln, d?r skepp och flygplan f?rsvinner sp?rl?st? Men triangeln som ?r bekant f?r oss fr?n barndomen ?r fylld med m?nga intressanta och mystiska saker.

F?rutom de typer av trianglar som vi redan k?nner till, dividerade med sidor (skala, likbent, liksidig) och vinklar (spetsvinklad, trubbvinklad, r?tvinklig), tillh?r triangeln en stor familj av polygoner som skiljer sig fr?n m?nga olika geometriska former p? planet.

Ordet "polygon" indikerar att alla figurer i denna familj har "m?nga h?rn". Men detta r?cker inte f?r att karakterisera figuren.

En streckad linje A1A2...An ?r en figur som best?r av punkterna A1,A2,...An och segmenten A1A2, A2A3,... som f?rbinder dem. Punkterna kallas f?r polylinjens h?rn, och segmenten kallas polylinjens l?nkar. (FIGUR 1)

En streckad linje kallas enkel om den inte har sj?lvkorsningar (Fig. 2,3).

En streckad linje kallas st?ngd om dess ?ndar sammanfaller. L?ngden p? en streckad linje ?r summan av l?ngderna p? dess l?nkar (fig. 4)

En enkel st?ngd streckad linje kallas en polygon om dess angr?nsande l?nkar inte ligger p? samma r?ta linje (fig. 5).

Ers?tt i ordet "polygon" ist?llet f?r "m?nga" ett specifikt tal, till exempel 3. Du f?r en triangel. Eller 5. Sedan - en femh?rning. Observera att det finns lika m?nga vinklar som det finns sidor, s? dessa figurer kan mycket v?l kallas multilaterala.

Polygonens h?rn kallas polygonens h?rn, och polylinjens l?nkar kallas polygonens sidor.

Polygonen delar planet i tv? regioner: inre och yttre (fig. 6).

En plan polygon eller polygonal region ?r en ?ndlig del av ett plan som begr?nsas av en polygon.

Tv? h?rn av en polygon som ?r ?ndar p? samma sida kallas grannar. Vertices som inte ?r ?ndar p? ena sidan ?r icke-angr?nsande.

En polygon med n h?rn och d?rf?r n sidor kallas en n-gon.

?ven om det minsta antalet sidor i en polygon ?r 3. Men trianglar, som f?rbinds med varandra, kan bilda andra former, som i sin tur ocks? ?r polygoner.

Segment som f?rbinder icke-angr?nsande h?rn av en polygon kallas diagonaler.

En polygon kallas konvex om den ligger i ett halvplan i f?rh?llande till n?gon linje som inneh?ller dess sida. I detta fall anses sj?lva linjen tillh?ra HALVPLANET

Vinkeln f?r en konvex polygon vid en given vertex ?r vinkeln som bildas av dess sidor som konvergerar vid den vertexen.

L?t oss bevisa satsen (om summan av vinklarna f?r en konvex n-gon): Summan av vinklarna f?r en konvex n-gon ?r lika med 1800*(n - 2).

Bevis. I fallet n=3 ?r satsen sann. L?t А1А2…А n vara en given konvex polygon och n>3. L?t oss rita diagonaler i den (fr?n en vertex). Eftersom polygonen ?r konvex delar dessa diagonaler upp den i n - 2 trianglar. Summan av polygonens vinklar ?r densamma som summan av vinklarna f?r alla dessa trianglar. Summan av vinklarna f?r varje triangel ?r 1800, och antalet av dessa trianglar ?r n - 2. D?rf?r ?r summan av vinklarna f?r en konvex n - vinkel A1A2 ... A n 1800 * (n - 2). Teoremet har bevisats.

Den yttre vinkeln f?r en konvex polygon vid en given vertex ?r vinkeln intill polygonens inre vinkel vid denna vertex.

En konvex polygon kallas regelbunden om alla sidor ?r lika och alla vinklar ?r lika.

S? kvadraten kan kallas annorlunda - en vanlig fyrh?rning. Liksidiga trianglar ?r ocks? regelbundna. S?dana figurer har l?nge varit intressanta f?r m?starna som dekorerade byggnaderna. De gjorde vackra m?nster p? till exempel parketten. Men alla vanliga polygoner kunde inte anv?ndas f?r att bilda parkett. Parkett kan inte formas av vanliga oktagoner. Faktum ?r att de har varje vinkel lika med 1350. Och om n?gon punkt ?r spetsen p? tv? s?dana oktagoner, kommer de att ha 2700, och det finns ingenstans f?r den tredje oktagonen att passa: 3600 - 2700 \u003d 900. Men detta r?cker till en kvadrat. D?rf?r ?r det m?jligt att vika parketten fr?n vanliga oktagoner och rutor.

Stj?rnorna st?mmer. V?r femuddiga stj?rna ?r en vanlig femkantig stj?rna. Och om du vrider kvadraten runt mitten med 450 f?r du en vanlig ?ttakantig stj?rna.

Vad ?r en bruten linje? F?rklara vad h?rn och l?nkar av en polylinje ?r.

Vilken streckad linje kallas enkel?

Vilken streckad linje kallas st?ngd?

Vad ?r en polygon? Vad kallas h?rnen p? en polygon? Vilka ?r sidorna av en polygon?

Vad ?r en platt polygon? Ge exempel p? polygoner.

Vad ?r n-gon?

F?rklara vilka h?rn av polygonen som ligger intill och vilka som inte ?r det.

Vad ?r diagonalen f?r en polygon?

Vad ?r en konvex polygon?

F?rklara vilka h?rn av polygonen som ?r externa och vilka ?r inre?

Vad ?r en vanlig polygon? Ge exempel p? vanliga polygoner.

Vad ?r summan av vinklarna f?r en konvex n-gon? Bevisa det.

Eleverna arbetar med texten, letar efter svar p? de st?llda fr?gorna, varefter expertgrupper bildas, d?r man arbetar med samma fr?gor: eleverna lyfter fram det viktigaste, g?r en st?djande sammanfattning, presenterar information i en av de grafiska former. I slutet av arbetet g?r eleverna tillbaka till sina arbetsgrupper.

3. Reflektionsstadium -

a) bed?mning av sina kunskaper, utmaning till n?sta kunskapssteg;

b) f?rst?else och till?gnelse av den mottagna informationen.

Mottagning: forskningsarbete.

Arbetsformer: individ->par->grupp.

Arbetsgrupperna ?r experter p? svaren p? var och en av avsnitten i de f?reslagna fr?gorna.

N?r han ?terv?nder till arbetsgruppen presenterar experten de andra medlemmarna i gruppen med svaren p? deras fr?gor. I gruppen sker ett informationsutbyte av alla medlemmar i arbetsgruppen. S?lunda, i varje arbetsgrupp, tack vare experternas arbete, bildas en allm?n id? om ?mnet som studeras.

Forskningsarbete av studenter- fylla i tabellen.

Regulj?ra polygoner Ritning Antal sidor Antal h?rn Summan av alla inre vinklar Gradm?tt p? inre. vinkel Gradm?tt f?r yttre vinkel Antal diagonaler

A) en triangel

B) fyrh?rning

B) femh?l

D) hexagon

E) n-gon

L?sa intressanta problem p? lektionens ?mne.

1) Hur m?nga sidor har en vanlig polygon, vars inre vinklar ?r lika med 1350?

2) I en viss polygon ?r alla inre vinklar lika med varandra. Kan summan av de inre vinklarna f?r denna polygon vara: 3600, 3800?

3) ?r det m?jligt att bygga en femh?rning med vinklar p? 100,103,110,110,116 grader?

Sammanfattning av lektionen.

Spela in l?xor: STR66-72 nr 15,17 OCH PROBLEM: i en FYRANGEL, RITA EN DIREKT S? HON DELAR DEN I TRE TREANGLAR.

Reflektion i form av tester (p? en interaktiv whiteboard)

Ordbok ?ver medicinska termer

F?rklarande ordbok f?r det ryska spr?ket. D.N. Ushakov

polygon

polygon, m. (mat.). En platt figur avgr?nsad av tre, fyra, etc. raka linjer.

F?rklarande ordbok f?r det ryska spr?ket. S.I. Ozhegov, N.Yu. Shvedova.

polygon

A, m. I matematik: en geometrisk figur som begr?nsas av en sluten streckad linje.

Ny f?rklarande och avledningsordbok f?r det ryska spr?ket, T. F. Efremova.

polygon

m. En geometrisk figur avgr?nsad av en sluten streckad linje, vars l?nkar bildar mer ?n fyra h?rn.

Encyclopedic Dictionary, 1998

polygon

POLYGON (p? planet) en geometrisk figur som begr?nsas av en sluten streckad linje, vars l?nkar kallas polygonens sidor och deras ?ndar ?r polygonens h?rn. Genom antalet h?rn s?rskiljs trianglar, fyrkanter etc. En polygon kallas konvex om den ligger helt p? ena sidan av den r?ta linjen som b?r n?gon av dess sidor, och icke-konvex annars. En polygon kallas regelbunden om alla dess sidor och vinklar ?r lika.

Polygon

st?ngd bruten linje. Mer detaljerat, M. ? linjen som erh?lls om vi tar n n?gra punkter A1, A2, ..., An och kopplar var och en av dem med n?sta med ett rakt linjesegment, och den sista ? med den f?rsta (se fig. ris. ett, a). Punkterna A1, A2, ..., An kallas h?rn p? M., och segmenten A1A2, A2A3, ..., An-1An, AnA1 ? dess sidor. I det f?ljande betraktas endast platt M. (d.v.s. det antas att M. ligger i ett plan). M. kan korsa sig (se. ris. ett, b), och sj?lvsk?rningspunkterna kanske inte ?r dess h?rn.

Det finns andra synpunkter p? vad man ska t?nka p? M. En polygon kan kallas en sammankopplad del av planet, vars hela gr?ns best?r av ett ?ndligt antal raka linjesegment, kallade sidor av polygonen. En massa i denna mening kan ocks? vara en flerfaldigt sammankopplad del av planet (se fig. ris. ett, d), d.v.s. en s?dan M. kan ha "polygonala h?l". Vi betraktar ocks? o?ndliga M. ? delar av planet som begr?nsas av ett ?ndligt antal r?tlinjiga segment och ett ?ndligt antal halvlinjer.

Den fortsatta framst?llningen bygger p? den f?rsta definitionen av M som ges ovan. Om M. inte sk?r sig sj?lv (se t.ex. ris. ett, a och b), d? delar den upp m?ngden av alla punkter p? planet som inte ligger p? det i tv? delar ? finita (intern) och o?ndlig (extern) i den meningen att om tv? punkter tillh?r en av dessa delar, d? kan de f?rbindas med varandra en bruten linje som inte sk?r M., och om olika delar, d? ?r det om?jligt. Trots de perfekta bevisen f?r denna omst?ndighet ?r dess rigor?sa h?rledning fr?n geometrins axiom ganska sv?rt (den s? kallade Jordansatsen f?r matematik). Den inre delen av planet med avseende p? M. har en viss area. Om en massa sk?r sig sj?lv, s? sk?r den planet i ett visst antal bitar, varav en ?r o?ndlig (kallas extern med avseende p? massan), och resten ?r ?ndliga, helt enkelt sammankopplade (kallas inre), och gr?nsen f?r var och en av dem ?r n?gon sj?lv-icke-korsande massa, vars sidor det finns hela sidor eller delar av sidor, och h?rnen ?r h?rn eller sk?rningspunkter f?r det givna M. Om vi tilldelar en riktning till varje sida av M., d.v.s. anger vilken av de tv? h?rn som definierar den vi kommer att betrakta som b?rjan, och vilken ? slutet, och dessutom p? ett s?dant s?tt att b?rjan av varje sida ?r slutet av f?reg?ende ett, d? erh?lls en sluten polygonal bana, eller orienterad M. kvarst?r till v?nster om den som f?ljer denna bana, och negativ ? annars. L?t M. vara sj?lvkorsande och orienterad; om fr?n en punkt som ligger i den yttre delen av planet med avseende p? det, rita ett rakt linjesegment till en punkt som ligger inuti en av dess inre delar, och M. sk?r detta segment p g?nger fr?n v?nster till h?ger och q g?nger fr?n h?ger till v?nster, d? beror talet p ? q (heltal positivt, negativt eller noll) inte p? valet av den yttre punkten och kallas koefficienten f?r denna bit. Summan av de vanliga omr?dena f?r dessa bitar, multiplicerat med deras koefficienter, anses vara "arean" f?r den st?ngda banan som ?verv?gs (orienterad M.). "Omr?det f?r en sluten v?g" som definieras p? detta s?tt spelar en viktig roll i teorin om matematiska instrument (planimeter, etc.); den erh?lls d?r vanligtvis i form av en integral ? (i pol?ra koordinater r, w) eller ? (i kartesiska koordinater x, y), d?r slutet av radievektorn r eller ordinatan y g?r runt denna v?g en g?ng.

Summan av de inre vinklarna f?r varje sj?lv-icke-korsande M. med n sidor ?r lika med (n ? 2)180?. M. kallas konvex (se. ris. ett, a) om ingen sida av M., som ?r f?rl?ngd p? obest?md tid, sk?r M. i tv? delar. En konvex M. kan ocks? k?nnetecknas av f?ljande egenskap: ett r?t linjesegment som f?rbinder tv? punkter i planet som ligger innanf?r M. sk?r inte M. Varje konvex M. ?r sj?lvuppl?sande, men inte vice versa. Till exempel p? ris. ett, b visar en sj?lv-icke-korsande M., som inte ?r konvex, eftersom segmentet PQ, som f?rbinder n?gra av dess inre punkter, sk?r M.

Den viktigaste M.: trianglar, i synnerhet rektangul?ra, likbenta, liksidiga (regelbundna); fyrh?rningar, s?rskilt trapetser, parallellogram, romber, rektanglar, kvadrater. En konvex M. kallas regelbunden om alla dess sidor ?r lika och alla inre vinklar ?r lika. I gamla tider visste de hur man bygger korrekt M. p? sidan eller radien av den omskrivna cirkeln med hj?lp av en kompass och linjal endast om antalet M. sidor ?r m = 3 ? 2n, 4 ? 2n, 5 ? 2n , 3 ? 5 ? 2n, d?r n ? valfritt positivt tal eller noll. ?r 1801 visade den tyske matematikern K. Gauss att det ?r m?jligt att konstruera en korrekt M. med hj?lp av en kompass och en r?tlinje n?r antalet sidor ?r: m = 2n ? p1 ? p2 ? ... ? pk, d?r p1 , p2, ... pk ? olika primtal av formen ?(s ? positivt heltal). Hittills ?r endast fem s?dana p k?nda: 3, 5, 17, 257, 65537. Det f?ljer av Galois-teorin (se Galois-teorin) att inga andra regulj?ra m?tare, f?rutom de som Gauss indikerar, kan konstrueras med hj?lp av en kompass och r?ta. S?ledes ?r konstruktion m?jlig med m = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15 16, 17, 20, 24, 32, 34, ... och om?jlig med m = 7, 9, 11, 13 , 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, ...

Tabellen nedan visar radien f?r den omskrivna cirkeln, radien f?r den inskrivna cirkeln och arean av en vanlig n-gon (f?r n = 3, 4, 5, 6, 8, 10) vars sida ?r lika med k.

Radie av den omskrivna cirkeln

Inskriven cirkelradie

Fr?n och med en femh?rning finns det ocks? icke-konvexa (sj?lvkorsande eller stj?rnformade) regelbundna M., dvs de d?r alla sidor ?r lika och varje n?sta sida ?r v?nd i samma riktning och i samma vinkel med respekt f?r den f?reg?ende. Alla h?rn av ett s?dant M. ligger ocks? p? samma cirkel. S?dan ?r till exempel den femuddiga stj?rnan. P? ris. 2 alla regelbundna (b?de konvexa och icke-konvexa) matriser ?r givna, fr?n en triangel till en heptagon.

Belyst. se vid Art. Polyeder.

Wikipedia

Polygon

Polygon?r en geometrisk figur, vanligtvis definierad som en sluten streckad linje.

Det finns tre olika alternativ f?r att definiera en polygon:

• En platt st?ngd streckad linje ?r det mest allm?nna fallet;
• En platt sluten polygonal linje utan sj?lvsk?rningar, vars tv? angr?nsande l?nkar inte ligger p? samma r?ta linje;
• En del av planet som begr?nsas av en sluten polylinje utan sj?lvkorsningar - platt polygon

I alla fall kallas polylinjens h?rn toppar polygon och dess segment - partier polygon.

Polygon (disambiguation)

• Polygon i geometri
• Stenpolygon i permafrost

Exempel p? anv?ndningen av ordet polygon i litteraturen.

Gilman var till och med glad ?ver att kasta sig ner i den dystra avgrunden med sitt vanliga dova d?n, ?ven om ?ven d?r den ih?rdiga jakten p? tv? varelser som s?g ut som en klunga av iriserande bubblor och en liten polygon med sidor som ?ndrades som i ett kalejdoskop, orsakade en s?rskilt akut k?nsla av hot och ovanligt irriterande.

Dystra d?nande avgrunder -- gr?n klippig sluttning -- terrass som skimrar av regnb?gens alla f?rger -- attraktion av ok?nda planeter -- svart spiral av eter -- svart man -- smutsig gr?nd och knarrande trappor -- gammal trollkvinna och liten lurvig varelse med l?nga huggt?nder -- bl?siga och sm? polygon— en m?rklig solbr?nna — s?r p? armen — n?got litet och forml?st i gummans h?nder — f?tter t?ckta av lera — sagor och r?dslor f?r vidskepliga fr?mlingar — vad betydde allt detta till sist?

Kan jag g?ra en rektangul?r textram polygon i form av en stj?rna?

En polyeder vars bas ?r polygon, och de ?terst?ende ytorna ?r trianglar med en gemensam vertex.

F?ljaktligen var det n?dv?ndigt att beskriva var och exakt hur man skulle distribuera reserver i v?stlig riktning, och de oregelbundet formade polygon Kalinin front.

Framf?r dig - fel, som gick skarpt mot norr polygon kallas Manchuriet.

Om den grafiska ramen ?r oval eller polygon

Om textramen ?r oval eller polygon, d? blir det h?r alternativet otillg?ngligt.

Tre eller flera f?rem?l med samma massa tas, placerade vid h?rnen p? en liksidig polygon och accelerera till samma vinkelhastighet i f?rh?llande till mitten av deras totala massa.

N?stan mot sin vilja sv?vade han ?ver skymningsavgrunden, efter ett kluster av iriserande bubblor och en liten polygon n?r han m?rkte att kanterna p? de j?ttelika prismorna som var borta fr?n honom bildade f?rv?nansv?rt regelbundna ?terkommande vinklar.

Sl?t, jungfrulig, vit, p? vissa st?llen f?rvr?ngd av r?relser, liknande otaliga polygoner kantad med svarta r?nder av ?ppet vatten.

?h, att se med ett Argus-?ga polygoner koraller och fibrer inv?vda i fasetterna, och det inre av fibrerna.

Dessa ?r vindpolerade lertakyrer, kn?ckta i otaliga polygoner, sl?t som en skridskobana, h?rd som betong.

H?r ?r en font?n av fallisk form, som s?gs antingen under b?gen eller under portiken, med Neptunus st?ende p? en delfin, en port med pelare som liknar assyriska, och ?terigen en b?ge av obest?md form, n?got som liknar en h?g av trianglar och polygoner, och toppen av var och en av dem kr?ntes med en figur av ett djur - en ?lg, en apa, ett lejon.

Bilder kan placeras inte bara i rektangul?ra grafiska ramar, utan ocks? i modifierade polygoner och ovaler.

Under geometrin studerar vi egenskaperna hos geo-met-ri-che-sky-figurer och har redan tittat p? de enklaste av dem: triangul?r-ni-ki och omgivningar. Samtidigt diskuterar vi om och specifika speciella fall av dessa figurer, s?som rektangul?r, lika-fattig-ren och r?t triangel-no-ki. Nu ?r det dags att prata om mer allm?n och komplex fi-gu-rah - m?nga-kol-nej-kah.

Med ett privat fodral m?nga-kol-ni-kov vi vet redan - det h?r ?r en triangel (se fig. 1).

Ris. 1. Triangel-nick

I sj?lva namnet ?r det redan under-cher-ki-va-et-sya att det ?r fi-gu-ra, n?gon har tre h?rn. Bredvid-va-tel-men, in mycket kol det kan vara m?nga av dem, d.v.s. fler ?n tre. Till exempel en bild av en femkolsnick (se fig. 2), d.v.s. fi-gu-ru med fem vinklar-la-mi.

Ris. 2. Fem-kol-nick. Du-far-ly-multi-coal-smeknamn

Definition.Polygon- fi-gu-ra, best?ende av flera punkter (mer ?n tv?) och som motsvarar svaret p? th kov, n?gon-r?g dem efter-till-va-tel-men kombinera-ed-nya-yut. Dessa punkter ?r on-zy-va-yut-sya top-shi-on-mi mycket kol-no-ka, men fr?n-styckning - hundra-ro-on-mi. Samtidigt ligger inga tv? intilliggande sidor p? samma r?ta linje och inga tv? icke-intilliggande sidor inte re-se-ka-yut-sya .

Definition.H?gerfram multi-kol-smeknamn- detta ?r ett konvext poly-coal-nick, f?r n?gon-ro-go ?r alla sidor och vinklar lika.

N?gra polygon de-la-etera planet i tv? regioner: internt och externt. Det inre-ren-ny omr?det ?r ocks? fr?n-men-syat till mycket kol.

Med andra ord, n?r man till exempel talar om fem-kol-ni-ke, menar man b?de hela dess inre region och gr?ns-tsu. Och till den inre-ren-it av regionen fr?n-no-syat-sya och alla punkter, n?gon-r?g ligger inne i en massa-kol-no-ka, d.v.s. punkten ?r ocks? fr?n-men-sit-Xia till fem-kol-no-ku (se fig. 2).

En hel del-kol-no-ki kallas fortfarande ibland n-coal-no-ka-mi, f?r att understryka att det ?r vanligt fall-av-te p?-av-n?got-av-ett-ok?nt-av- -antal h?rn (n stycken).

Definition. Pe-ri-meter m?nga-kol-no-ka- summan av l?ngderna p? sidorna av en multi-coal-no-ka.

Nu beh?ver du veta-att-veta med synpunkter fr?n m?nga-kol-no-kov. De de-lyat-xia p? du-bulkig och icke skrymmande. Till exempel, en poly-kol-nick, avbildad i fig. 2, is-la-et-sya you-bump-ly, och i fig. 3 icke-g?ng-lym.

Ris. 3. Icke-konvex poly-kol-nick

2. Konvexa och icke-konvexa polygoner

Definiera les 1. Polygon na-zy-va-et-sya du fiser, om n?r pro-ve-de-nii ?r direkt genom n?gon av dess sidor, hela polygon ligger bara hundra-ro-brunn fr?n denna raka linje. Nevy-puk-ly-mi yav-la-yut-sya resten mycket kol.

Det ?r l?tt att f?rest?lla sig att n?r man f?rl?nger n?gon sida av fem-kol-no-ka i fig. 2 han ?r all ok-zhet-sya hundra-ro-well fr?n denna raka gruva, d.v.s. han buktar. Men n?r pro-ve-de-nii ?r rakt igenom i four-you-rech-coal-no-ke i fig. 3 ser vi redan att hon delar upp den i tv? delar, dvs. han ?r inte skrymmande.

Men det finns en annan def-de-le-nie du-pumpar-lo-sti en massa-kol-no-ka.

Opr?-de-les-nie 2. Polygon na-zy-va-et-sya du fiser, om n?r du v?ljer vilka tv? av dess interna punkter och n?r du kopplar dem fr?n en cut, ?r alla punkter fr?n en cut ocks? interna -no-mi point-ka-mi much-coal-no-ka.

En demonstration av anv?ndningen av denna definition av de-le-tion kan ses i exemplet med att bygga fr?n sk?rningar i fig. 2 och 3.

Definition. Dia-go-na-lew m?nga-kol-no-ka-za-va-et-sya n?gon fr?n-re-zok, f?rbinder tv? som inte f?rbinder dess toppar.

3. Sats om summan av inre vinklar f?r en konvex n-gon

F?r att beskriva egenskaperna hos polygoner finns det tv? viktiga teorier om deras vinklar: theo-re-ma om summan av de inre vinklarna f?r dig-bunt-lo-go-m?nga-kol-no-ka och theo-re-ma om summan av yttre vinklar. L?t oss titta p? dem.

Sats. P? summan av de inre vinklarna f?r you-beam-lo-go-many-coal-no-ka (n-kol-no-ka).

Var ?r antalet h?rn (sidor).

G?r-f?r-tel-stvo 1. Bild-ra-vinter i fig. 4 konvexa n-vinkel-smeknamn.

Ris. 4. Du-bump-ly n-angle-nick

Fr?n toppen pro-vi-demr vi alla m?jliga dia-go-on-whate. De delar upp n-vinkel-nicket i en tri-angle-no-ka, eftersom var och en av sidorna ?r multi-coal-no-ka-ra-zu-et triangle-nick, f?rutom sidorna som gr?nsar till toppen av d?cket. Det ?r l?tt att se fr?n ri-sun-ku att summan av vinklarna f?r alla dessa trianglar kommer att vara exakt lika med summan av de inre vinklarna f?r n-vinkeln-ni-ka. Eftersom summan av vinklarna f?r varje triangul?r-no-ka -, d? summan av de inre vinklarna f?r n-vinkeln-no-ka:

Do-ka-for-tel-stvo 2. Det ?r m?jligt och en annan do-ka-for-tel-stvo av denna theo-re-we. Bild av en analog n-vinkel i fig. 5 och anslut n?gon av dess inre punkter med alla h?rn.

Vi-be-chi-om raz-bi-e-ne n-angle-no-ka p? n tri-angle-ni-kov (hur m?nga sidor, s? m?nga trianglar-ni-kov ). Summan av alla deras vinklar ?r lika med summan av de inre vinklarna f?r multi-kol-ingen och summan av vinklarna vid den inre punkten, och detta ?r vinkeln. Vi har:

Q.E.D.

F?re-f?r-men.

Enligt do-ka-zan-noy theo-re-me ?r det tydligt att summan av vinklarna n-coal-no-ka beror p? antalet sidor (fr?n n). Till exempel i en triangel-ne-ke, och summan av vinklarna. I fyra-du-reh-kol-ni-ke, och summan av vinklarna - etc.

4. Sats om summan av de yttre vinklarna f?r en konvex n-gon

Sats. Om summan av de yttre vinklarna f?r you-beam-lo-go-many-coal-no-ka (n-kol-no-ka).

Var ?r antalet vinklar (sidor) och ... ?r de yttre vinklarna.

Bevis. Bild-ra-zim konvex n-vinkel-nick i fig. 6 och beteckna dess inre och yttre vinklar.

Ris. 6. Du ?r en konvex n-kol-nick med beteckningen externa-ni-h?rn-la-mi

D?rf?r att det yttre h?rnet ?r f?rbundet med det inre h?rnet som angr?nsande, d? ?r det analogt f?r resten av de yttre h?rnen. Sedan:

Under pre-ob-ra-zo-va-niy anv?nde vi-zo-va-lied redan till-ka-zan-my theo-re-mine om summan av inre vinklar n-angle-no-ka .

F?re-f?r-men.

Fr?n pre-ka-zan-noy theo-re-vi f?ljer in-te-res-ny faktum att summan av de yttre vinklarna f?r den konvexa-lo-th n-vinkeln-no-ka ?r lika med fr?n ko -li-che-av dess h?rn (sidor). F?rresten, beroende p? summan av de inre vinklarna.

Vidare kommer vi att arbeta mer fraktionerat med ett s?rskilt fall av mycket kol-no-kov - che-you-rekh-coal-no-ka-mi. I n?sta lektion kommer vi att l?ra k?nna en s?dan fi-gu-sv?rm som par-ral-le-lo-gram, och diskutera dess egenskaper.

K?LLA

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2

http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-class

https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144