De sista videorna i en l?ng serie lektioner om att l?sa logaritmiska ekvationer. Den h?r g?ngen kommer vi att arbeta fr?mst med logaritmens ODZ - det ?r just p? grund av felaktig h?nsyn (eller till och med ignorering) av definitionsdom?nen som de flesta fel uppst?r n?r man l?ser s?dana problem.

I den h?r korta videolektionen kommer vi att titta p? anv?ndningen av formler f?r att addera och subtrahera logaritmer, och ?ven behandla rationella br?kekvationer som m?nga elever ocks? har problem med.

Vad ska vi prata om? Huvudformeln jag skulle vilja f?rst? ser ut s? h?r:

log a (f g ) = log a f + log a g

Detta ?r en standard?verg?ng fr?n produkten till summan av logaritmer och tillbaka. Du k?nner f?rmodligen till den h?r formeln fr?n b?rjan av att studera logaritmer. Det finns dock ett hak.

S? l?nge variablerna a, f och g ?r vanliga tal uppst?r inga problem. Denna formel fungerar utm?rkt.

Men s? snart funktioner dyker upp ist?llet f?r f och g, uppst?r problemet med att ut?ka eller begr?nsa definitionsdom?nen beroende p? vilken riktning som ska transformeras. Bed?m sj?lv: i logaritmen skriven till v?nster ?r definitionsdom?nen f?ljande:

fg > 0

Men i m?ngden skrivet till h?ger ?r definitionsdom?nen redan n?got annorlunda:

f > 0

g > 0

Denna upps?ttning krav ?r str?ngare ?n den ursprungliga. I det f?rsta fallet kommer vi att vara n?jda med alternativ f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 exekveras).

S? n?r man flyttar fr?n den v?nstra konstruktionen till den h?gra uppst?r en avsmalning av definitionsdom?nen. Om vi f?rst hade en summa, och vi skriver om den i form av en produkt, s? expanderar definitionsdom?nen.

Med andra ord, i det f?rsta fallet kan vi tappa r?tter, och i det andra kan vi f? extra. Detta m?ste beaktas n?r man l?ser reella logaritmiska ekvationer.

S?, den f?rsta uppgiften:

[Bildtext till bilden]

Till v?nster ser vi summan av logaritmer som anv?nder samma bas. D?rf?r kan dessa logaritmer l?ggas till:

[Bildtext till bilden]

Som du kan se ersatte vi nollan till h?ger med formeln:

a = log b b a

L?t oss ordna om v?r ekvation lite mer:

log 4 (x - 5) 2 = log 4 1

F?re oss ?r den kanoniska formen av den logaritmiska ekvationen vi kan stryka ut logtecknet och likst?lla argumenten:

(x - 5) 2 = 1

|x - 5| = 1

Observera: var kom modulen ifr?n? L?t mig p?minna dig om att roten till en exakt kvadrat ?r lika med modulen:

[Bildtext till bilden]

Sedan l?ser vi den klassiska ekvationen med modul:

|f | = g (g > 0) =>f = ±g

x - 5 = ±1 =>x 1 = 5 - 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

H?r ?r tv? kandidatsvar. ?r de en l?sning p? den ursprungliga logaritmiska ekvationen? Nej, under inga omst?ndigheter!

Vi har ingen r?tt att l?mna allt bara s? och skriva ner svaret. Ta en titt p? steget d?r vi ers?tter summan av logaritmer med en logaritm av produkten av argumenten. Problemet ?r att i de ursprungliga uttrycken har vi funktioner. D?rf?r b?r du kr?va:

x(x - 5) > 0; (x - 5)/x > 0.

N?r vi transformerade produkten och fick en exakt kvadrat ?ndrades kraven:

(x - 5) 2 > 0

N?r ?r detta krav uppfyllt? Ja, n?stan alltid! F?rutom fallet n?r x - 5 = 0. Dvs oj?mlikheten kommer att reduceras till en punkterad punkt:

x - 5 ? 0 => x ? 5

Som du kan se har definitionsomr?det ut?kats, vilket ?r vad vi pratade om i b?rjan av lektionen. F?ljaktligen kan extra r?tter dyka upp.

Hur kan du f?rhindra att dessa extra r?tter dyker upp? Det ?r v?ldigt enkelt: vi tittar p? v?ra erh?llna r?tter och j?mf?r dem med definitionsdom?nen f?r den ursprungliga ekvationen. L?t oss r?kna:

x (x - 5) > 0

Vi l?ser med intervallmetoden:

x (x - 5) = 0 => x = 0; x = 5

Vi markerar de resulterande siffrorna p? raden. Alla po?ng saknas eftersom oj?mlikheten ?r strikt. Ta valfritt tal st?rre ?n 5 och ers?tt:

[Bildtext till bilden]

Vi ?r intresserade av intervallen (-?; 0) ? (5; ?). Om vi markerar v?ra r?tter p? segmentet ser vi att x = 4 inte passar oss, eftersom denna rot ligger utanf?r definitionsdom?nen f?r den ursprungliga logaritmiska ekvationen.

Vi ?terg?r till helheten, stryker ut roten x = 4 och skriver ner svaret: x = 6. Detta ?r det slutliga svaret p? den ursprungliga logaritmiska ekvationen. Det var allt, problemet l?st.

L?t oss g? vidare till den andra logaritmiska ekvationen:

[Bildtext till bilden]

L?t oss l?sa det. Observera att den f?rsta termen ?r en br?kdel och den andra ?r samma br?kdel, men inverterad. Var inte r?dd f?r uttrycket lgx - det ?r bara en decimallogaritm, vi kan skriva det:

lgx = log 10 x

Eftersom vi har tv? inverterade br?k, f?resl?r jag att man inf?r en ny variabel:

[Bildtext till bilden]

D?rf?r kan v?r ekvation skrivas om enligt f?ljande:

t + 1/t = 2;

t + 1/t - 2 = 0;

(t2 - 2t + 1)/t = 0;

(t - 1) 2 /t = 0.

Som du kan se ?r t?ljaren f?r br?ket en exakt kvadrat. Ett br?k ?r lika med noll n?r dess t?ljare ?r noll och dess n?mnare ?r icke-noll:

(t - 1) 2 = 0; t ? 0

L?t oss l?sa den f?rsta ekvationen:

t - 1 = 0;

t = 1.

Detta v?rde uppfyller det andra kravet. D?rf?r kan vi s?ga att vi har l?st v?r ekvation helt, men bara med avseende p? variabeln t. L?t oss nu komma ih?g vad t ?r:

[Bildtext till bilden]

Vi fick proportionen:

lgx = 2 lgx + 1

2 logx - logx = -1

logx = -1

Vi tar denna ekvation till sin kanoniska form:

logx = log 10 -1

x = 10 -1 = 0,1

Som ett resultat fick vi en enda rot, som i teorin ?r l?sningen p? den ursprungliga ekvationen. Men l?t oss fortfarande spela det s?kert och skriva ut definitionsdom?nen f?r den ursprungliga ekvationen:

[Bildtext till bilden]

D?rf?r uppfyller v?r rot alla krav. Vi har hittat en l?sning p? den ursprungliga logaritmiska ekvationen. Svar: x = 0,1. Problemet ?r l?st.

Det finns bara en nyckelpunkt i dagens lektion: n?r du anv?nder formeln f?r att g? fr?n en produkt till en summa och tillbaka, var noga med att ta h?nsyn till att definitionens omfattning kan begr?nsas eller utvidgas beroende p? vilken riktning ?verg?ngen g?rs.

Hur f?rst?r man vad som h?nder: sammandragning eller expansion? V?ldigt enkelt. Om funktionerna tidigare var tillsammans, men nu ?r de separata, s? har definitionsomr?det minskat (eftersom det finns fler krav). Om funktionerna f?rst stod separat, och nu ?r de tillsammans, expanderar definitionsdom?nen (f?rre krav st?lls p? produkten ?n p? enskilda faktorer).

Med h?nsyn till denna anm?rkning skulle jag vilja notera att den andra logaritmiska ekvationen inte kr?ver dessa transformationer alls, det vill s?ga att vi inte adderar eller multiplicerar argumenten n?gonstans. Men h?r skulle jag vilja uppm?rksamma dig p? en annan underbar teknik som g?r att du kan f?renkla l?sningen avsev?rt. Det handlar om att ers?tta en variabel.

Kom dock ih?g att inga ers?ttningar frig?r oss fr?n definitionens r?ckvidd. Det ?r d?rf?r vi inte var lata efter att alla r?tter hittats och ?terv?nde till den ursprungliga ekvationen f?r att hitta dess ODZ.

Ofta, n?r man ers?tter en variabel, uppst?r ett irriterande fel n?r eleverna hittar v?rdet p? t och tror att l?sningen ?r komplett. Nej, under inga omst?ndigheter!

N?r du har hittat v?rdet p? t m?ste du g? tillbaka till den ursprungliga ekvationen och se exakt vad vi menade med denna bokstav. Som ett resultat m?ste vi l?sa ytterligare en ekvation, som dock kommer att vara mycket enklare ?n den ursprungliga.

Det ?r just detta som ?r meningen med att inf?ra en ny variabel. Vi delar upp den ursprungliga ekvationen i tv? mellanliggande ekvationer, som var och en har en mycket enklare l?sning.

Hur man l?ser "kapslade" logaritmiska ekvationer

Idag forts?tter vi att studera logaritmiska ekvationer och kommer att analysera konstruktioner n?r en logaritm st?r under en annan logaritms tecken. Vi kommer att l?sa b?da ekvationerna med den kanoniska formen.

Idag forts?tter vi att studera logaritmiska ekvationer och kommer att analysera konstruktioner n?r en logaritm st?r under en annans tecken. Vi kommer att l?sa b?da ekvationerna med den kanoniska formen. L?t mig p?minna dig om att om vi har en enkel logaritmisk ekvation av formen log a f (x) = b, s? utf?r vi f?ljande steg f?r att l?sa en s?dan ekvation. F?rst och fr?mst m?ste vi ers?tta siffran b:

b = log a a b

Observera att a b ?r ett argument. P? liknande s?tt, i den ursprungliga ekvationen, ?r argumentet funktionen f(x). Sedan skriver vi om ekvationen och f?r denna konstruktion:

log a f (x) = log a a b

Sedan kan vi utf?ra det tredje steget - bli av med logaritmtecknet och helt enkelt skriva:

f (x) = a b

Som ett resultat f?r vi en ny ekvation. I detta fall l?ggs inga begr?nsningar p? funktionen f (x). Till exempel kan en logaritmisk funktion ocks? ta dess plats. Och d? f?r vi ?terigen en logaritmisk ekvation, som vi ?terigen kommer att reducera till sin enklaste form och l?sa genom den kanoniska formen.

Dock nog med texterna. L?t oss l?sa det verkliga problemet. S?, uppgift nummer 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2

Som du kan se har vi framf?r oss den enklaste logaritmiska ekvationen. Rollen f?r f (x) ?r konstruktionen 1 + 3 log 2 x, och rollen f?r talet b ?r talet 2 (rollen av a spelas ocks? av tv?). L?t oss skriva om dessa tv? s? h?r:

Det ?r viktigt att f?rst? att de tv? f?rsta tv? kom till oss fr?n basen av logaritmen, d.v.s. om det fanns 5 i den ursprungliga ekvationen, d? skulle vi f? att 2 = log 5 5 2. I allm?nhet beror basen enbart p? logaritmen som ursprungligen gavs i problemet. Och i v?rt fall ?r detta nummer 2.

S? l?t oss skriva om v?r logaritmiska ekvation med h?nsyn till det faktum att de tv? till h?ger faktiskt ocks? ?r en logaritm. Vi f?r:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

L?t oss g? vidare till det sista steget i v?rt schema - att bli av med den kanoniska formen. Man kan s?ga att vi helt enkelt stryker ?ver tecknen p? stock. Men ur en matematisk synvinkel ?r det om?jligt att "korsa ut logg" - det skulle vara mer korrekt att s?ga att vi helt enkelt likst?ller argumenten:

1 + 3 log 2 x = 4

H?rifr?n kan vi enkelt hitta 3 log 2 x:

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Vi har ?terigen erh?llit den enklaste logaritmiska ekvationen, l?t oss ta tillbaka den till den kanoniska formen. F?r att g?ra detta m?ste vi g?ra f?ljande ?ndringar:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Varf?r ?r det en tv?a vid basen? F?r i v?r kanoniska ekvation till v?nster finns en logaritm just till bas 2. Vi skriver om problemet med h?nsyn till detta faktum:

log 2 x = log 2 2

?terigen blir vi av med logaritmtecknet, det vill s?ga att vi helt enkelt s?tter likhetstecken mellan argumenten. Vi har r?tt att g?ra detta eftersom baserna ?r desamma och inga fler ytterligare ?tg?rder utf?rdes varken till h?ger eller till v?nster:

Det ?r det! Problemet ?r l?st. Vi har hittat en l?sning p? den logaritmiska ekvationen.

Var uppm?rksam! ?ven om variabeln x f?rekommer i argumentet (dvs. det finns krav p? definitionsdom?nen), kommer vi inte att st?lla n?gra ytterligare krav.

Som jag sa ovan ?r denna kontroll ?verfl?dig om variabeln f?rekommer i endast ett argument av endast en logaritm. I v?rt fall f?rekommer x egentligen bara i argumentet och endast under ett loggtecken. D?rf?r kr?vs inga ytterligare kontroller.

Men om du inte litar p? den h?r metoden kan du enkelt verifiera att x = 2 verkligen ?r en rot. Det r?cker att ers?tta detta tal i den ursprungliga ekvationen.

L?t oss g? vidare till den andra ekvationen, den ?r lite mer intressant:

log 2 (log 1/2 (2x - 1) + log 2 4) = 1

Om vi betecknar uttrycket inuti den stora logaritmen med funktionen f (x) f?r vi den enklaste logaritmiska ekvationen som vi startade dagens videolektion med. D?rf?r kan du anv?nda den kanoniska formen, f?r vilken du m?ste representera enheten i formen log 2 2 1 = log 2 2.

L?t oss skriva om v?r stora ekvation:

log 2 (log 1/2 (2x - 1) + log 2 4) = log 2 2

L?t oss komma bort fr?n logaritmens tecken och likst?lla argumenten. Vi har r?tt att g?ra detta, f?r b?de till v?nster och till h?ger ?r baserna desamma. Observera dessutom att log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x - 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x - 1) = 0

F?re oss ?terigen ?r den enklaste logaritmiska ekvationen av formen log a f (x) = b. L?t oss g? vidare till den kanoniska formen, det vill s?ga vi representerar noll i formen log 1/2 (1/2) 0 = log 1/2 1.

Vi skriver om v?r ekvation och g?r oss av med logtecknet och likst?ller argumenten:

log 1/2 (2x - 1) = log 1/2 1

2x - 1 = 1

?terigen fick vi svar direkt. Inga ytterligare kontroller kr?vs eftersom i den ursprungliga ekvationen endast en logaritm inneh?ller funktionen som ett argument.

D?rf?r kr?vs inga ytterligare kontroller. Vi kan s?kert s?ga att x = 1 ?r den enda roten till denna ekvation.

Men om det i den andra logaritmen fanns n?gon funktion av x ist?llet f?r fyra (eller 2x fanns inte i argumentet, utan i basen) - d? skulle det vara n?dv?ndigt att kontrollera definitionsdom?nen. Annars ?r chansen stor att du st?ter p? extra r?tter.

Var kommer dessa extra r?tter ifr?n? Denna punkt m?ste f?rst?s mycket tydligt. Ta en titt p? de ursprungliga ekvationerna: ?verallt st?r funktionen x under logaritmetecknet. F?ljaktligen, eftersom vi skrev ner logg 2 x, st?ller vi automatiskt kravet x > 0. Annars ?r denna post helt enkelt inte vettig.

Men n?r vi l?ser den logaritmiska ekvationen blir vi av med alla logtecken och f?r enkla konstruktioner. Det finns inga begr?nsningar h?r, eftersom den linj?ra funktionen ?r definierad f?r alla v?rden p? x.

Det ?r detta problem, n?r den slutliga funktionen ?r definierad ?verallt och alltid, men den ursprungliga inte definieras ?verallt och inte alltid, som ?r anledningen till att extra r?tter v?ldigt ofta uppst?r vid l?sning av logaritmiska ekvationer.

Men jag upprepar ?nnu en g?ng: detta h?nder bara i en situation d?r funktionen antingen finns i flera logaritmer eller i basen av en av dem. I de problem som vi behandlar idag finns det i princip inga problem med att utvidga definitionsdom?nen.

Fall av olika grund

Den h?r lektionen ?gnas ?t mer komplexa konstruktioner. Logaritmer i dagens ekvationer kommer inte l?ngre att l?sas direkt - vissa transformationer m?ste g?ras f?rst.

Vi b?rjar l?sa logaritmiska ekvationer med helt olika baser, som inte ?r exakta potenser av varandra. L?t inte s?dana problem skr?mma dig - de ?r inte sv?rare att l?sa ?n de enklaste designerna som vi diskuterade ovan.

Men innan jag g?r direkt till problemen, l?t mig p?minna dig om formeln f?r att l?sa de enklaste logaritmiska ekvationerna med den kanoniska formen. T?nk p? ett problem som detta:

log a f (x) = b

Det ?r viktigt att funktionen f (x) bara ?r en funktion, och rollen f?r talen a och b ska vara siffror (utan n?gra variabler x). Naturligtvis kommer vi bokstavligen om en minut att titta p? s?dana fall n?r det i st?llet f?r variablerna a och b finns funktioner, men det handlar inte om det nu.

Som vi minns m?ste talet b ers?ttas av en logaritm till samma bas a, som ?r till v?nster. Detta g?rs v?ldigt enkelt:

b = log a a b

Naturligtvis betyder orden "valfritt antal b" och "valfritt antal a" v?rden som uppfyller definitionens omfattning. I synnerhet talar vi i denna ekvation bara om basen a > 0 och a ? 1.

Detta krav uppfylls dock automatiskt, eftersom det ursprungliga problemet redan inneh?ller en logaritm f?r att basera a - den kommer s?kerligen att vara st?rre ?n 0 och inte lika med 1. D?rf?r forts?tter vi att l?sa den logaritmiska ekvationen:

log a f (x) = log a a b

En s?dan notation kallas kanonisk form. Dess bekv?mlighet ligger i det faktum att vi omedelbart kan bli av med loggtecknet genom att likst?lla argumenten:

f (x) = a b

Det ?r denna teknik som vi nu ska anv?nda f?r att l?sa logaritmiska ekvationer med en variabel bas. S?, l?t oss g?!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Vad h?nder h?rn?st? N?gon kommer nu att s?ga att du m?ste ber?kna r?tt logaritm, eller reducera dem till samma bas, eller n?got annat. Och faktiskt, nu m?ste vi f? b?da baserna till samma form - antingen 2 eller 0,5. Men l?t oss l?ra oss f?ljande regel en g?ng f?r alla:

Om det finns decimaler i en logaritmisk ekvation, se till att konvertera dessa br?k fr?n decimal till vanlig notation. Denna omvandling kan avsev?rt f?renkla l?sningen.

En s?dan ?verg?ng m?ste utf?ras omedelbart, ?ven innan n?gra ?tg?rder eller transformationer utf?rs. L?t oss se:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 /2 1/8

Vad ger en s?dan skiva oss? Vi kan representera 1/2 och 1/8 som potenser med en negativ exponent:

[Bildtext till bilden]

Framf?r oss ?r den kanoniska formen. Vi s?tter likhetstecken mellan argumenten och f?r den klassiska andragradsekvationen:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Vi har framf?r oss f?ljande andragradsekvation, som enkelt kan l?sas med hj?lp av Vietas formler. P? gymnasiet b?r du se liknande visningar bokstavligen muntligt:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Det ?r det! Den ursprungliga logaritmiska ekvationen har l?sts. Vi har tv? r?tter.

L?t mig p?minna dig om att det i det h?r fallet inte ?r n?dv?ndigt att best?mma definitionsdom?nen, eftersom funktionen med variabeln x bara finns i ett argument. D?rf?r utf?rs definitionsomf?nget automatiskt.

S? den f?rsta ekvationen ?r l?st. L?t oss g? vidare till den andra:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 -1

Notera nu att argumentet f?r den f?rsta logaritmen ocks? kan skrivas som en potens med en negativ exponent: 1/2 = 2 -1. Sedan kan du ta ut potenserna p? b?da sidor av ekvationen och dividera allt med -1:

[Bildtext till bilden]

Och nu har vi slutf?rt ett mycket viktigt steg f?r att l?sa den logaritmiska ekvationen. N?gon kanske inte m?rkte n?got, s? l?t mig f?rklara.

Titta p? v?r ekvation: b?de till v?nster och till h?ger finns ett logaritm, men till v?nster finns en logaritm till bas 2, och till h?ger finns en logaritm till bas 3. Tre ?r inte en heltalspotens av tv? och omv?nt kan du inte skriva att 2 ?r 3 i ett heltal grader.

F?ljaktligen ?r dessa logaritmer med olika baser som inte kan reduceras till varandra genom att helt enkelt addera potenser. Det enda s?ttet att l?sa s?dana problem ?r att bli av med n?gon av dessa logaritmer. I det h?r fallet, eftersom vi fortfarande ?verv?ger ganska enkla problem, ber?knades logaritmen till h?ger helt enkelt, och vi fick den enklaste ekvationen - exakt den vi pratade om i b?rjan av dagens lektion.

L?t oss representera talet 2, som ?r till h?ger, som log 2 2 2 = log 2 4. Och d? blir vi av med logaritmetecknet, varefter vi helt enkelt st?r kvar med en andragradsekvation:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x - 2 = 0

Vi har framf?r oss en vanlig andragradsekvation, men den reduceras inte eftersom koefficienten f?r x 2 skiljer sig fr?n enhet. D?rf?r kommer vi att l?sa det med en diskriminant:

D = 81 - 4 5 (-2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (-9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (-9 - 11)/10 = -2

Det ?r det! Vi har hittat b?da r?tterna, vilket betyder att vi har f?tt en l?sning p? den ursprungliga logaritmiska ekvationen. Faktum ?r att i det ursprungliga problemet finns funktionen med variabel x endast i ett argument. F?ljaktligen kr?vs inga ytterligare kontroller av definitionsdom?nen - b?da r?tter som vi fann uppfyller s?kert alla m?jliga begr?nsningar.

Detta kan vara slutet p? dagens videolektion, men avslutningsvis skulle jag vilja s?ga igen: se till att konvertera alla decimalbr?k till vanliga br?ktal n?r du l?ser logaritmiska ekvationer. I de flesta fall f?renklar detta avsev?rt deras l?sning.

S?llan, mycket s?llan, st?ter du p? problem d?r att bli av med decimalbr?k bara komplicerar ber?kningarna. Men i s?dana ekvationer ?r det som regel initialt klart att det inte finns n?got behov av att bli av med decimalbr?k.

I de flesta andra fall (s?rskilt om du precis har b?rjat tr?na p? att l?sa logaritmiska ekvationer) ska du g?rna g?ra dig av med decimalerna och omvandla dem till vanliga. Eftersom praktiken visar att du p? detta s?tt kommer att avsev?rt f?renkla den efterf?ljande l?sningen och ber?kningarna.

Finesser och tricks av l?sningen

Idag g?r vi vidare till mer komplexa problem och kommer att l?sa en logaritmisk ekvation, som inte ?r baserad p? ett tal, utan p? en funktion.

Och ?ven om denna funktion ?r linj?r m?ste sm? f?r?ndringar g?ras i l?sningsschemat, vars inneb?rd kokar ner till ytterligare krav som st?lls p? logaritmens definitionsdom?n.

Komplexa uppgifter

Denna handledning kommer att vara ganska l?ng. I den kommer vi att analysera tv? ganska allvarliga logaritmiska ekvationer, n?r vi l?ser vilka m?nga elever g?r misstag. Under min praktik som matematikl?rare st?tte jag st?ndigt p? tv? typer av fel:

1. Uppkomsten av extra r?tter p? grund av expansionen av definitionsdom?nen f?r logaritmer. F?r att undvika s?dana st?tande misstag, ?vervaka bara varje transformation noggrant;
2. F?rlust av r?tter p? grund av det faktum att studenten gl?mde att ?verv?ga n?gra "subtila" fall - det ?r de situationer vi kommer att fokusera p? idag.

Detta ?r den sista lektionen om logaritmiska ekvationer. Det kommer att bli l?ngt, vi kommer att analysera komplexa logaritmiska ekvationer. G?r dig bekv?m, g?r dig lite te och l?t oss b?rja.

Den f?rsta ekvationen ser ganska standard ut:

log x + 1 (x - 0,5) = log x - 0,5 (x + 1)

L?t oss omedelbart notera att b?da logaritmerna ?r inverterade kopior av varandra. L?t oss komma ih?g den underbara formeln:

log a b = 1/log b a

Denna formel har dock ett antal begr?nsningar som uppst?r om det ist?llet f?r siffrorna a och b finns funktioner av variabeln x:

b > 0

1 ? a > 0

Dessa krav g?ller basen f?r logaritmen. ? andra sidan, i ett br?k m?ste vi ha 1 ? a > 0, eftersom inte bara variabeln a ?r i logaritmens argument (d?rav a > 0), utan sj?lva logaritmen ?r i br?kets n?mnare . Men log b 1 = 0, och n?mnaren m?ste vara icke-noll, s? a ? 1.

S?, restriktionerna f?r variabeln a kvarst?r. Men vad h?nder med variabeln b? ? ena sidan inneb?r basen b > 0, ? andra sidan variabeln b ? 1, eftersom basen f?r logaritmen m?ste skilja sig fr?n 1. Totalt, fr?n formelns h?gra sida f?ljer att 1 ? b > 0.

Men h?r ?r problemet: det andra kravet (b ? 1) saknas i den f?rsta olikheten, som handlar om den v?nstra logaritmen. Med andra ord, n?r vi utf?r denna transformation m?ste vi kontrollera separat, att argumentet b skiljer sig fr?n ett!

S? l?t oss kolla upp det. L?t oss till?mpa v?r formel:

[Bildtext till bilden]

1 ? x - 0,5 > 0; 1 ? x + 1 > 0

S? vi fick att redan fr?n den ursprungliga logaritmiska ekvationen f?ljer att b?de a och b m?ste vara st?rre ?n 0 och inte lika med 1. Det betyder att vi enkelt kan invertera den logaritmiska ekvationen:

Jag f?resl?r att du inf?r en ny variabel:

log x + 1 (x - 0,5) = t

I det h?r fallet kommer v?r konstruktion att skrivas om enligt f?ljande:

(t 2 - 1)/t = 0

Observera att i t?ljaren har vi skillnaden av kvadrater. Vi avsl?jar skillnaden mellan kvadrater med hj?lp av den f?rkortade multiplikationsformeln:

(t - 1)(t + 1)/t = 0

Ett br?k ?r lika med noll n?r dess t?ljare ?r noll och dess n?mnare ?r icke-noll. Men t?ljaren inneh?ller en produkt, s? vi likst?ller varje faktor med noll:

ti = 1;

t2 = -1;

t ? 0.

Som vi kan se passar b?da v?rdena av variabeln t oss. Men l?sningen slutar inte d?r, eftersom vi beh?ver hitta inte t, utan v?rdet p? x. Vi ?terg?r till logaritmen och f?r:

log x + 1 (x - 0,5) = 1;

log x + 1 (x - 0,5) = -1.

L?t oss s?tta var och en av dessa ekvationer i kanonisk form:

log x + 1 (x - 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x - 0,5) = log x + 1 (x + 1) -1

Vi g?r oss av med logaritmtecknet i det f?rsta fallet och likst?ller argumenten:

x - 0,5 = x + 1;

x - x = 1 + 0,5;

En s?dan ekvation har inga r?tter, d?rf?r har den f?rsta logaritmiska ekvationen heller inga r?tter. Men med den andra ekvationen ?r allt mycket mer intressant:

(x - 0,5)/1 = 1/(x + 1)

N?r vi l?ser proportionen f?r vi:

(x - 0,5)(x + 1) = 1

L?t mig p?minna dig om att n?r du l?ser logaritmiska ekvationer ?r det mycket bekv?mare att anv?nda alla decimalbr?k som vanliga, s? l?t oss skriva om v?r ekvation enligt f?ljande:

(x - 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;

x 2 + 1/2x - 3/2 = 0.

Vi har framf?r oss andragradsekvationen nedan, den kan enkelt l?sas med hj?lp av Vietas formler:

(x + 3/2) (x - 1) = 0;

x 1 = -1,5;

x 2 = 1.

Vi har tv? r?tter - de ?r kandidater f?r att l?sa den ursprungliga logaritmiska ekvationen. F?r att f?rst? vilka r?tter som faktiskt kommer att g? in i svaret, l?t oss ?terg? till det ursprungliga problemet. Nu kommer vi att kontrollera var och en av v?ra r?tter f?r att se om de passar inom definitionsdom?nen:

1,5 ? x > 0,5; 0 ? x > -1.

Dessa krav ?r liktydiga med dubbel oj?mlikhet:

1 ? x > 0,5

H?rifr?n ser vi direkt att roten x = -1,5 inte passar oss, men x = 1 passar oss ganska bra. D?rf?r ?r x = 1 den slutliga l?sningen till den logaritmiska ekvationen.

L?t oss g? vidare till den andra uppgiften:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

Vid f?rsta anblicken kan det tyckas att alla logaritmer har olika grunder och olika argument. Vad ska man g?ra med s?dana strukturer? F?rst och fr?mst, notera att siffrorna 25, 5 och 625 ?r potenser av 5:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

L?t oss nu dra nytta av den underbara egenskapen hos logaritmen. Po?ngen ?r att du kan extrahera krafter fr?n ett argument i form av faktorer:

log a b n = n ? log a b

Denna omvandling ?r ocks? f?rem?l f?r restriktioner i det fall b ers?tts med en funktion. Men f?r oss ?r b bara en siffra och inga ytterligare begr?nsningar uppst?r. L?t oss skriva om v?r ekvation:

2 ? log x 5 + log 125 x 5 = 4 ? log 25 x 5

Vi har f?tt en ekvation med tre termer som inneh?ller logtecknet. Dessutom ?r argumenten f?r alla tre logaritmerna lika.

Det ?r dags att v?nda logaritmerna f?r att f? dem till samma bas - 5. Eftersom variabeln b ?r en konstant sker inga f?r?ndringar i definitionsdom?nen. Vi skriver bara om:

[Bildtext till bilden]

Som v?ntat d?k samma logaritmer upp i n?mnaren. Jag f?resl?r att du byter ut variabeln:

log 5 x = t

I det h?r fallet kommer v?r ekvation att skrivas om enligt f?ljande:

L?t oss skriva ut t?ljaren och ?ppna parenteserna:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = -t 2 + 12

L?t oss ?terg? till v?r del. T?ljaren m?ste vara noll:

[Bildtext till bilden]

Och n?mnaren skiljer sig fr?n noll:

t ? 0; t ? -3; t ? -2

De sista kraven uppfylls automatiskt, eftersom de alla ?r "bundna" till heltal, och alla svar ?r irrationella.

S? den rationella br?kekvationen har l?sts, v?rdena f?r variabeln t har hittats. L?t oss ?terg? till att l?sa den logaritmiska ekvationen och komma ih?g vad t ?r:

[Bildtext till bilden]

Vi reducerar denna ekvation till kanonisk form och f?r ett tal med en irrationell grad. L?t inte detta f?rvirra dig - ?ven s?dana argument kan likst?llas:

[Bildtext till bilden]

Vi har tv? r?tter. Mer exakt, tv? kandidatsvar - l?t oss kontrollera att de ?verensst?mmer med definitionsdom?nen. Eftersom basen f?r logaritmen ?r variabeln x, kr?ver vi f?ljande:

1 ? x > 0;

Med samma framg?ng h?vdar vi att x ? 1/125, annars kommer basen f?r den andra logaritmen att bli enhet. Slutligen, x ? 1/25 f?r den tredje logaritmen.

Totalt fick vi fyra restriktioner:

1 ? x > 0; x ? 1/125; x ? 1/25

Nu ?r fr?gan: uppfyller v?ra r?tter dessa krav? Klart de tillfredsst?ller! Eftersom 5 till valfri effekt kommer att vara st?rre ?n noll, och kravet x > 0 uppfylls automatiskt.

? andra sidan, 1 = 5 0, 1/25 = 5 -2, 1/125 = 5 -3, vilket betyder att dessa begr?nsningar f?r v?ra r?tter (som, l?t mig p?minna dig, har ett irrationellt tal i exponenten) ?r ocks? n?jda, och b?da svaren ?r l?sningar p? problemet.

S? vi har det slutgiltiga svaret. Det finns tv? nyckelpunkter i denna uppgift:

1. Var f?rsiktig n?r du v?nder en logaritm n?r argumentet och basen byts. S?dana omvandlingar medf?r on?diga begr?nsningar av definitionens omfattning.
2. Var inte r?dd f?r att omvandla logaritmer: de kan inte bara v?ndas, utan ocks? ut?kas med summaformeln och i allm?nhet ?ndras med hj?lp av alla formler som du studerade n?r du l?ste logaritmiska uttryck. Kom dock alltid ih?g: vissa omvandlingar ut?kar definitionens omf?ng och andra begr?nsar dem.

Logaritmiska uttryck, l?sningsexempel. I den h?r artikeln kommer vi att titta p? problem relaterade till att l?sa logaritmer. Uppgifterna st?ller fr?gan om att hitta meningen med ett uttryck. Det b?r noteras att begreppet logaritm anv?nds i m?nga uppgifter och att f?rst? dess inneb?rd ?r extremt viktigt. N?r det g?ller Unified State Exam anv?nds logaritmen vid l?sning av ekvationer, i till?mpade problem och ?ven i uppgifter relaterade till studier av funktioner.

L?t oss ge exempel f?r att f?rst? sj?lva inneb?rden av logaritmen:

Grundl?ggande logaritmisk identitet:

Egenskaper f?r logaritmer som alltid m?ste komma ih?g:

*Produktens logaritm ?r lika med summan av logaritmerna f?r faktorerna.

* * *

*Logaritmen f?r en kvot (br?k) ?r lika med skillnaden mellan logaritmerna f?r faktorerna.

* * *

*Logaritmen f?r en exponent ?r lika med produkten av exponenten och logaritmen av dess bas.

* * *

*?verg?ng till ny stiftelse

* * *

Fler egenskaper:

* * *

Ber?kningen av logaritmer ?r n?ra relaterad till anv?ndningen av egenskaper hos exponenter.

L?t oss lista n?gra av dem:

K?rnan i denna egenskap ?r att n?r t?ljaren ?verf?rs till n?mnaren och vice versa, ?ndras exponentens tecken till det motsatta. Till exempel:

En f?ljd av denna egenskap:

* * *

N?r man h?jer en potens till en potens f?rblir basen densamma, men exponenterna multipliceras.

* * *

Som du har sett ?r sj?lva konceptet med en logaritm enkelt. Huvudsaken ?r att du beh?ver god ?vning, vilket ger dig en viss skicklighet. Naturligtvis kr?vs kunskap om formler. Om f?rdigheten att konvertera element?ra logaritmer inte har utvecklats, kan du l?tt g?ra ett misstag n?r du l?ser enkla uppgifter.

?va, l?s f?rst de enklaste exemplen fr?n matematikkursen, g? sedan vidare till mer komplexa. I framtiden kommer jag definitivt att visa hur "fula" logaritmer l?ses inte p? Unified State Examination, men de ?r av intresse, missa dem inte!

Det var allt! Lycka till!

Med v?nlig h?lsning, Alexander Krutitskikh

P.S: Jag skulle vara tacksam om du ber?ttar om webbplatsen p? sociala n?tverk.

Logaritm av talet b (b > 0) till bas a (a > 0, a ? 1)– exponent till vilken talet a m?ste h?jas f?r att f? b.

Basen 10-logaritmen f?r b kan skrivas som log(b), och logaritmen till basen e (naturlig logaritm) ?r ln(b).

Anv?nds ofta n?r man l?ser problem med logaritmer:

Egenskaper f?r logaritmer

Det finns fyra huvudsakliga egenskaper hos logaritmer.

L?t a > 0, a ? 1, x > 0 och y > 0.

Egenskap 1. Logaritm f?r produkten

Logaritm f?r produkten lika med summan av logaritmer:

log a (x ? y) = log a x + log a y

Egenskap 2. Logaritm f?r kvoten

Logaritm av kvoten lika med skillnaden mellan logaritmer:

log a (x / y) = log a x – log a y

Egenskap 3. Magas logaritm

Logaritm av grad lika med produkten av potensen och logaritmen:

Om basen f?r logaritmen ?r i potensen, g?ller en annan formel:

Egenskap 4. Logaritm f?r roten

Denna egenskap kan erh?llas fr?n egenskapen f?r en potenss logaritm, eftersom den n:te roten av potensen ?r lika med potensen 1/n:

Formel f?r omvandling fr?n en logaritm i en bas till en logaritm i en annan bas

Denna formel anv?nds ocks? ofta n?r man l?ser olika uppgifter p? logaritmer:

Specialfall:

J?mf?ra logaritmer (olikheter)

L?t oss ha 2 funktioner f(x) och g(x) under logaritmer med samma baser och mellan dem finns ett olikhetstecken:

F?r att j?mf?ra dem m?ste du f?rst titta p? basen av logaritmerna a:

• Om a > 0, d? f(x) > g(x) > 0
• Om 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Hur man l?ser problem med logaritmer: exempel

Problem med logaritmer ing?r i Unified State Examination i matematik f?r ?rskurs 11 i uppgift 5 och uppgift 7 kan du hitta uppgifter med l?sningar p? v?r hemsida i l?mpliga avsnitt. ?ven uppgifter med logaritmer finns i matematikuppgiftsbanken. Du hittar alla exempel genom att s?ka p? sajten.

Vad ?r en logaritm

Logaritmer har alltid ansetts vara ett sv?rt ?mne i skolans matematikkurser. Det finns m?nga olika definitioner av logaritm, men av n?gon anledning anv?nder de flesta l?rob?cker den mest komplexa och misslyckade av dem.

Vi kommer att definiera logaritmen enkelt och tydligt. F?r att g?ra detta, l?t oss skapa en tabell:

S? vi har tv? makter.

Logaritmer - egenskaper, formler, hur man l?ser

Om du tar numret fr?n den nedersta raden kan du enkelt hitta kraften till vilken du m?ste h?ja tv? f?r att f? detta nummer. Till exempel, f?r att f? 16, m?ste du h?ja tv? till den fj?rde potensen. Och f?r att f? 64 m?ste du h?ja tv? till den sj?tte potensen. Detta kan ses fr?n tabellen.

Och nu - faktiskt, definitionen av logaritmen:

basen a f?r argumentet x ?r den potens till vilken talet a m?ste h?jas f?r att f? talet x.

Beteckning: log a x = b, d?r a ?r basen, x ?r argumentet, b ?r vad logaritmen faktiskt ?r lika med.

Till exempel, 2 3 = 8 =>log 2 8 = 3 (bas 2-logaritmen av 8 ?r tre eftersom 2 3 = 8). Med samma framg?ng log 2 64 = 6, eftersom 2 6 = 64.

Operationen att hitta logaritmen f?r ett tal till en given bas kallas. S? l?t oss l?gga till en ny rad i v?r tabell:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Tyv?rr ber?knas inte alla logaritmer s? l?tt. F?rs?k till exempel att hitta log 2 5. Siffran 5 finns inte i tabellen, men logiken s?ger att logaritmen kommer att ligga n?gonstans p? intervallet. Eftersom 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

S?dana tal kallas irrationella: talen efter decimalkomma kan skrivas i o?ndlighet, och de upprepas aldrig. Om logaritmen visar sig vara irrationell ?r det b?ttre att l?mna det s?: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Det ?r viktigt att f?rst? att en logaritm ?r ett uttryck med tv? variabler (basen och argumentet). Till en b?rjan blandar m?nga ihop var grunden finns och var argumentationen finns. F?r att undvika irriterande missf?rst?nd, titta bara p? bilden:

F?re oss ligger inget annat ?n definitionen av en logaritm. Komma ih?g: logaritm ?r en potens, i vilken basen m?ste byggas in f?r att f? fram ett argument. Det ?r basen som h?js till en kraft - den ?r r?dmarkerad p? bilden. Det visar sig att basen alltid ?r i botten! Jag ber?ttar f?r mina elever denna underbara regel redan vid f?rsta lektionen – och ingen f?rvirring uppst?r.

Hur man r?knar logaritmer

Vi har listat ut definitionen – allt som ?terst?r ?r att l?ra sig hur man r?knar logaritmer, d.v.s. bli av med "logg"-tecknet. Till att b?rja med noterar vi att tv? viktiga fakta f?ljer av definitionen:

1. Argumentet och basen m?ste alltid vara st?rre ?n noll. Detta f?ljer av definitionen av en grad av en rationell exponent, till vilken definitionen av en logaritm reduceras.
2. Basen m?ste vara annorlunda ?n en, eftersom en i n?gon grad fortfarande f?rblir en. P? grund av detta ?r fr?gan "till vilken makt m?ste man h?jas f?r att f? tv?" meningsl?s. Det finns ingen s?dan examen!

S?dana begr?nsningar kallas intervall av acceptabla v?rden(ODZ). Det visar sig att ODZ f?r logaritmen ser ut s? h?r: log a x = b =>x > 0, a > 0, a ? 1.

Observera att det inte finns n?gra begr?nsningar f?r talet b (v?rdet p? logaritmen). Till exempel kan logaritmen mycket v?l vara negativ: log 2 0,5 = -1, eftersom 0,5 = 2 -1.

Men nu ?verv?ger vi endast numeriska uttryck d?r det inte kr?vs att k?nna till VA f?r logaritmen. Alla begr?nsningar har redan tagits i beaktande av f?rfattarna till problemen. Men n?r logaritmiska ekvationer och oj?mlikheter kommer in i bilden blir DL-kraven obligatoriska. Grunden och argumentationen kan trots allt inneh?lla mycket starka konstruktioner som inte n?dv?ndigtvis motsvarar ovanst?ende restriktioner.

L?t oss nu titta p? det allm?nna schemat f?r ber?kning av logaritmer. Den best?r av tre steg:

1. Uttryck basen a och argumentet x som en potens med minsta m?jliga bas st?rre ?n ett. L?ngs v?gen ?r det b?ttre att bli av med decimaler;
2. L?s ekvationen f?r variabel b: x = a b ;
3. Det resulterande talet b kommer att vara svaret.

Det ?r det! Om logaritmen visar sig vara irrationell kommer detta att synas redan i f?rsta steget. Kravet p? att basen ska vara st?rre ?n ett ?r mycket viktigt: detta minskar sannolikheten f?r fel och f?renklar ber?kningarna avsev?rt. Det ?r samma sak med decimalbr?k: om du omedelbart omvandlar dem till vanliga, blir det m?nga f?rre fel.

L?t oss se hur detta schema fungerar med hj?lp av specifika exempel:

Uppgift. Ber?kna logaritmen: log 5 25

1. L?t oss f?rest?lla oss basen och argumentet som en potens av fem: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

L?t oss skapa och l?sa ekvationen:
log 5 25 = b =>(5 1) b = 5 2 =>5 b = 5 2 => b = 2;

2. Vi fick svaret: 2.

Uppgift. Ber?kna logaritmen:

Uppgift. Ber?kna logaritmen: log 4 64

1. L?t oss f?rest?lla oss basen och argumentet som en potens av tv?: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. L?t oss skapa och l?sa ekvationen:
   log 4 64 = b =>(2 2) b = 2 6 =>2 2b = 2 6 =>2b = 6 => b = 3;
3. Vi fick svaret: 3.

Uppgift. Ber?kna logaritmen: log 16 1

1. L?t oss f?rest?lla oss basen och argumentet som en potens av tv?: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. L?t oss skapa och l?sa ekvationen:
   log 16 1 = b =>(2 4) b = 2 0 =>2 4b = 2 0 =>4b = 0 => b = 0;
3. Vi fick svaret: 0.

Uppgift. Ber?kna logaritmen: log 7 14

1. L?t oss f?rest?lla oss basen och argumentet som en sjupotens: 7 = 7 1 ; 14 kan inte representeras som en sjupotens, eftersom 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Av f?reg?ende stycke f?ljer att logaritmen inte r?knas;
3. Svaret ?r ingen f?r?ndring: log 7 14.

En liten notering om det sista exemplet. Hur kan du vara s?ker p? att ett tal inte ?r en exakt potens av ett annat tal? Det ?r v?ldigt enkelt - bara inkludera det i prim?ra faktorer. Om expansionen har minst tv? olika faktorer ?r siffran inte en exakt potens.

Uppgift. Ta reda p? om siffrorna ?r exakta potenser: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - exakt grad, eftersom det finns bara en multiplikator;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ?r inte en exakt potens, eftersom det finns tv? faktorer: 3 och 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - exakt grad;
35 = 7 · 5 - ?terigen inte en exakt potens;
14 = 7 · 2 - ?terigen inte en exakt grad;

Observera ocks? att sj?lva primtalen alltid ?r exakta potenser f?r sig sj?lva.

Decimallogaritm

Vissa logaritmer ?r s? vanliga att de har ett speciellt namn och symbol.

av argumentet x ?r logaritmen till basen 10, dvs. Potensen till vilken talet 10 m?ste h?jas f?r att f? talet x. Beteckning: lg x.

Till exempel log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - osv.

Fr?n och med nu, n?r en fras som "Hitta lg 0.01" dyker upp i en l?robok, vet du: detta ?r inte ett stavfel. Detta ?r en decimallogaritm. Men om du inte ?r bekant med den h?r notationen kan du alltid skriva om den:
log x = log 10 x

Allt som ?r sant f?r vanliga logaritmer ?r ocks? sant f?r decimallogaritmer.

Naturlig logaritm

Det finns en annan logaritm som har sin egen beteckning. P? vissa s?tt ?r det ?nnu viktigare ?n decimal. Vi talar om den naturliga logaritmen.

av argumentet x ?r logaritmen till basen e, dvs. den potens till vilken talet e m?ste h?jas f?r att f? talet x. Beteckning: ln x.

M?nga m?nniskor kommer att fr?ga: vad ?r siffran e? Detta ?r ett irrationellt tal; dess exakta v?rde kan inte hittas och skrivas ner. Jag kommer bara att ge de f?rsta siffrorna:
e = 2,718281828459...

Vi kommer inte att g? in i detalj om vad detta nummer ?r och varf?r det beh?vs. Kom bara ih?g att e ?r basen f?r den naturliga logaritmen:
ln x = log e x

S?ledes ln e = 1; ln e2 = 2; ln e 16 = 16 - osv. ? andra sidan ?r ln 2 ett irrationellt tal. I allm?nhet ?r den naturliga logaritmen f?r alla rationella tal irrationell. F?rutom, naturligtvis, f?r enhet: ln 1 = 0.

F?r naturliga logaritmer ?r alla regler som ?r sanna f?r vanliga logaritmer giltiga.

Se ?ven:

Logaritm. Egenskaper f?r logaritmen (logaritmens potens).

Hur representerar man ett tal som en logaritm?

Vi anv?nder definitionen av logaritm.

En logaritm ?r en exponent till vilken basen m?ste h?jas f?r att f? talet under logaritmetecknet.

F?r att representera ett visst tal c som en logaritm till basen a m?ste du allts? s?tta en potens med samma bas som logaritmens bas under logaritmens tecken och skriva detta tal c som exponent:

Absolut alla tal kan representeras som en logaritm - positivt, negativt, heltal, br?ktal, rationellt, irrationellt:

F?r att inte blanda ihop a och c under stressiga f?rh?llanden under ett test eller examen, kan du anv?nda f?ljande memoreringsregel:

det som ?r under g?r ner, det som ?r ovan g?r upp.

Till exempel m?ste du representera talet 2 som en logaritm till bas 3.

Vi har tv? tal - 2 och 3. Dessa tal ?r basen och exponenten, som vi kommer att skriva under logaritmens tecken. Det ?terst?r att best?mma vilka av dessa tal som ska skrivas ner, till basen av potensen, och vilka – upp till exponenten.

Basen 3 i notationen av en logaritm ?r l?ngst ner, vilket betyder att n?r vi representerar tv? som en logaritm till basen 3, kommer vi ocks? att skriva ner 3 till basen.

2 ?r h?gre ?n tre. Och i notation av grad tv? skriver vi ovanf?r de tre, det vill s?ga som en exponent:

Logaritmer. Ing?ngsniv?.

Logaritmer

Logaritm positivt tal b baserat p? a, Var a > 0, a ? 1, kallas exponenten till vilken talet m?ste h?jas a att f? b.

Definition av logaritm kan kort skrivas s? h?r:

Denna j?mlikhet g?ller f?r b > 0, a > 0, a ? 1. Det brukar kallas logaritmisk identitet.
?tg?rden att hitta logaritmen f?r ett tal kallas med logaritm.

Egenskaper f?r logaritmer:

Logaritm f?r produkten:

Logaritm f?r kvoten:

Ers?tter logaritmbasen:

Gradens logaritm:

Logaritm f?r roten:

Logaritm med potensbas:

Decimala och naturliga logaritmer.

Decimallogaritm siffror kallar logaritmen f?r detta tal till bas 10 och skriver   lg b
Naturlig logaritm tal kallas logaritmen f?r det talet till basen e, Var e- ett irrationellt tal ungef?r lika med 2,7. Samtidigt skriver de ln b.

Andra anteckningar om algebra och geometri

Grundl?ggande egenskaper hos logaritmer

Grundl?ggande egenskaper hos logaritmer

Logaritmer, som alla tal, kan l?ggas till, subtraheras och transformeras p? alla s?tt. Men eftersom logaritmer inte ?r exakt vanliga tal finns det regler h?r som kallas huvudsakliga egenskaper.

Du beh?ver definitivt k?nna till dessa regler - inte ett enda allvarligt logaritmiskt problem kan l?sas utan dem. Dessutom ?r det v?ldigt f? av dem – du kan l?ra dig allt p? en dag. S? l?t oss b?rja.

Addera och subtrahera logaritmer

Betrakta tv? logaritmer med samma baser: logga a x och logga a y. Sedan kan de adderas och subtraheras, och:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

S? summan av logaritmer ?r lika med produktens logaritm, och skillnaden ?r lika med logaritmen f?r kvoten. Observera: nyckelpunkten h?r ?r identiska grunder. Om orsakerna ?r olika fungerar inte dessa regler!

Dessa formler hj?lper dig att ber?kna ett logaritmiskt uttryck ?ven n?r dess enskilda delar inte beaktas (se lektionen "Vad ?r en logaritm"). Ta en titt p? exemplen och se:

Logg 6 4 + log 6 9.

Eftersom logaritmer har samma baser anv?nder vi summaformeln:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Uppgift. Hitta v?rdet p? uttrycket: log 2 48 - log 2 3.

Baserna ?r desamma, vi anv?nder skillnadsformeln:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Uppgift. Hitta v?rdet p? uttrycket: log 3 135 - log 3 5.

?terigen ?r grunderna desamma, s? vi har:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Som du kan se ?r de ursprungliga uttrycken uppbyggda av "d?liga" logaritmer, som inte ber?knas separat. Men efter omvandlingarna erh?lls helt normala tal. M?nga tester ?r baserade p? detta faktum. Ja, testliknande uttryck erbjuds p? fullt allvar (ibland med praktiskt taget inga ?ndringar) p? Unified State Examination.

Extrahera exponenten fr?n logaritmen

L?t oss nu komplicera uppgiften lite. Vad h?nder om basen eller argumentet f?r en logaritm ?r en potens? Sedan kan exponenten f?r denna grad tas ut ur logaritmens tecken enligt f?ljande regler:

Det ?r l?tt att se att den sista regeln f?ljer de tv? f?rsta. Men det ?r b?ttre att komma ih?g det ?nd? - i vissa fall kommer det att minska m?ngden ber?kningar avsev?rt.

Naturligtvis ?r alla dessa regler meningsfulla om ODZ f?r logaritmen observeras: a > 0, a ? 1, x > 0. Och en sak till: l?r dig att till?mpa alla formler inte bara fr?n v?nster till h?ger, utan ocks? vice versa , dvs. Du kan ange siffrorna f?re logaritmetecknet i sj?lva logaritmen.

Hur man l?ser logaritmer

Detta ?r vad som oftast kr?vs.

Uppgift. Hitta v?rdet p? uttrycket: log 7 49 6 .

L?t oss bli av med graden i argumentet med den f?rsta formeln:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Uppgift. Hitta betydelsen av uttrycket:

Observera att n?mnaren inneh?ller en logaritm, vars bas och argument ?r exakta potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Vi har:

Jag tror att det sista exemplet kr?ver ett f?rtydligande. Var har logaritmerna tagit v?gen? Fram till sista stund arbetar vi bara med n?mnaren. Vi presenterade basen och argumentet f?r logaritmen som stod d?r i form av potenser och tog ut exponenterna - vi fick en "tre v?ningar" br?kdel.

L?t oss nu titta p? huvudfraktionen. T?ljaren och n?mnaren inneh?ller samma nummer: log 2 7. Eftersom log 2 7 ? 0 kan vi minska br?ket - 2/4 kommer att finnas kvar i n?mnaren. Enligt aritmetikens regler kan de fyra ?verf?ras till t?ljaren, vilket ?r vad som gjordes. Resultatet blev svaret: 2.

?verg?ng till ny stiftelse

P? tal om reglerna f?r att addera och subtrahera logaritmer, betonade jag specifikt att de bara fungerar med samma baser. Vad h?nder om orsakerna ?r olika? Vad h?nder om de inte ?r exakta potenser av samma tal?

Formler f?r ?verg?ng till en ny stiftelse kommer till unds?ttning. L?t oss formulera dem i form av ett teorem:

L?t logaritmen log a x ges. Sedan f?r vilket tal c som helst s? att c > 0 och c ? 1, ?r likheten sann:

I synnerhet, om vi s?tter c = x, f?r vi:

Av den andra formeln f?ljer att basen och argumentet f?r logaritmen kan bytas, men i det h?r fallet "v?nds hela uttrycket om", dvs. logaritmen visas i n?mnaren.

Dessa formler finns s?llan i vanliga numeriska uttryck. Det ?r m?jligt att utv?rdera hur bekv?ma de ?r endast n?r man l?ser logaritmiska ekvationer och oj?mlikheter.

Det finns dock problem som inte alls g?r att l?sa f?rutom genom att flytta till en ny stiftelse. L?t oss titta p? ett par av dessa:

Uppgift. Hitta v?rdet p? uttrycket: log 5 16 log 2 25.

Observera att argumenten f?r b?da logaritmerna inneh?ller exakta potenser. L?t oss ta ut indikatorerna: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

L?t oss nu "v?nda om" den andra logaritmen:

Eftersom produkten inte f?r?ndras vid omarrangering av faktorer multiplicerade vi lugnt fyra och tv? och tog sedan tag i logaritmer.

Uppgift. Hitta v?rdet p? uttrycket: log 9 100 lg 3.

Basen och argumentet f?r den f?rsta logaritmen ?r exakta potenser. L?t oss skriva ner detta och bli av med indikatorerna:

L?t oss nu bli av med decimallogaritmen genom att flytta till en ny bas:

Grundl?ggande logaritmisk identitet

Ofta i l?sningsprocessen ?r det n?dv?ndigt att representera ett tal som en logaritm till en given bas.

I det h?r fallet kommer f?ljande formler att hj?lpa oss:

I det f?rsta fallet blir talet n exponenten i argumentet. Talet n kan vara absolut vad som helst, eftersom det bara ?r ett logaritmv?rde.

Den andra formeln ?r faktiskt en omskriven definition. Det ?r vad det heter: .

Vad h?nder egentligen om talet b h?js till en s?dan potens att talet b till denna potens ger talet a? Det st?mmer: resultatet ?r samma nummer a. L?s det h?r stycket noggrant igen - m?nga fastnar f?r det.

Liksom formler f?r att flytta till en ny bas ?r den grundl?ggande logaritmiska identiteten ibland den enda m?jliga l?sningen.

Uppgift. Hitta betydelsen av uttrycket:

Observera att log 25 64 = log 5 8 - vi tog helt enkelt kvadraten fr?n basen och argumentet f?r logaritmen. Med h?nsyn till reglerna f?r att multiplicera potenser med samma bas f?r vi:

Om n?gon inte vet s? var detta en riktig uppgift fr?n Unified State Exam :)

Logaritmisk enhet och logaritmisk noll

Avslutningsvis kommer jag att ge tv? identiteter som knappast kan kallas egenskaper – snarare ?r de konsekvenser av definitionen av logaritmen. De dyker st?ndigt upp i problem och skapar ?verraskande problem ?ven f?r "avancerade" elever.

1. log a a = 1 ?r. Kom ih?g en g?ng f?r alla: logaritmen till valfri bas a av sj?lva basen ?r lika med ett.
2. log a 1 = 0 ?r. Basen a kan vara vad som helst, men om argumentet inneh?ller en ?r logaritmen lika med noll! Eftersom en 0 = 1 ?r en direkt f?ljd av definitionen.

Det ?r alla egenskaper. Se till att tr?na p? att oms?tta dem i praktiken! Ladda ner fuskbladet i b?rjan av lektionen, skriv ut det och l?s problemen.

Logaritmisk ekvation?r en ekvation d?r det ok?nda (x) och uttryck med det st?r under logaritmfunktionens tecken. Att l?sa logaritmiska ekvationer f?ruts?tter att du redan ?r bekant med och .
Hur l?ser man logaritmiska ekvationer?

Den enklaste ekvationen ?r log a x = b, d?r a och b ?r n?gra tal, ?r x ett ok?nt.
L?sa en logaritmisk ekvation?r x = a b f?rutsatt: a > 0, a 1.

Det b?r noteras att om x ?r n?gonstans utanf?r logaritmen, till exempel log 2 x = x-2, s? kallas en s?dan ekvation redan blandad och en speciell metod beh?vs f?r att l?sa den.

Det ideala fallet ?r n?r man st?ter p? en ekvation d?r endast siffror st?r under logaritmetecknet, till exempel x+2 = log 2 2. H?r r?cker det med att k?nna till logaritmernas egenskaper f?r att l?sa det. Men s?dan tur h?nder inte ofta, s? g?r dig redo f?r sv?rare saker.

Men f?rst, l?t oss b?rja med enkla ekvationer. F?r att l?sa dem ?r det tillr?dligt att ha en mycket allm?n f?rst?else f?r logaritmen.

L?sa enkla logaritmiska ekvationer

Dessa inkluderar ekvationer av typen log 2 x = log 2 16. Det blotta ?gat kan se att vi genom att utel?mna logaritmens tecken f?r x = 16.

F?r att l?sa en mer komplex logaritmisk ekvation reduceras den vanligtvis till att l?sa en vanlig algebraisk ekvation eller till att l?sa en enkel logaritmisk ekvation log a x = b. I de enklaste ekvationerna sker detta i en r?relse, varf?r de kallas enklast.

Ovanst?ende metod att sl?ppa logaritmer ?r ett av de viktigaste s?tten att l?sa logaritmiska ekvationer och olikheter. Inom matematiken kallas denna operation potentiering. Det finns vissa regler eller begr?nsningar f?r denna typ av operation:

• logaritmer har samma numeriska baser
• Logaritmerna p? b?da sidor av ekvationen ?r fria, d.v.s. utan n?gra koefficienter eller andra olika slags uttryck.

L?t oss s?ga att i ekvationen log 2 x = 2log 2 (1 - x) potentiering inte ?r till?mplig - koefficienten 2 till h?ger till?ter det inte. I f?ljande exempel uppfyller inte heller log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) n?gon av begr?nsningarna - det finns tv? logaritmer till v?nster. Om det bara fanns en s? vore det en helt annan sak!

I allm?nhet kan du bara ta bort logaritmer om ekvationen har formen:

log a (...) = log a (...)

Absolut alla uttryck kan placeras inom parentes, detta har absolut ingen effekt p? potentieringsoperationen. Och efter att ha eliminerat logaritmerna kommer en enklare ekvation att finnas kvar - linj?r, kvadratisk, exponentiell, etc., som jag hoppas att du redan vet hur man l?ser.

L?t oss ta ett annat exempel:

stock 3 (2x-5) = stock 3 x

Vi till?mpar potentiering, vi f?r:

log 3 (2x-1) = 2

Utifr?n definitionen av en logaritm, n?mligen att en logaritm ?r ett tal som basen m?ste h?jas till f?r att f? ett uttryck som st?r under logaritmetecknet, d.v.s. (4x-1), vi f?r:

?terigen fick vi ett vackert svar. H?r gjorde vi utan att eliminera logaritmer, men potentiering ?r ocks? till?mplig h?r, eftersom en logaritm kan g?ras fr?n vilket tal som helst, och exakt det vi beh?ver. Denna metod ?r till stor hj?lp f?r att l?sa logaritmiska ekvationer och s?rskilt oj?mlikheter.

L?t oss l?sa v?r logaritmiska ekvation log 3 (2x-1) = 2 med potentiering:

L?t oss f?rest?lla oss talet 2 som en logaritm, till exempel denna log 3 9, eftersom 3 2 =9.

D? log 3 (2x-1) = log 3 9 och ?terigen f?r vi samma ekvation 2x-1 = 9. Jag hoppas att allt ?r klart.

S? vi tittade p? hur man l?ser de enklaste logaritmiska ekvationerna, som faktiskt ?r v?ldigt viktiga, eftersom l?sa logaritmiska ekvationer, ?ven de mest fruktansv?rda och vridna, kommer i slut?ndan alltid till att l?sa de enklaste ekvationerna.

I allt vi gjorde ovan tappade vi en mycket viktig punkt ur sikte, som kommer att spela en avg?rande roll i framtiden. Faktum ?r att l?sningen p? alla logaritmiska ekvationer, ?ven den mest element?ra, best?r av tv? lika delar. Den f?rsta ?r l?sningen av sj?lva ekvationen, den andra arbetar med intervallet f?r till?tna v?rden (APV). Detta ?r precis den f?rsta delen som vi har bem?strat. I exemplen ovan p?verkar ODZ inte svaret p? n?got s?tt, s? vi ?verv?gde det inte.

L?t oss ta ett annat exempel:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Ut?t skiljer sig denna ekvation inte fr?n en element?r, som kan l?sas mycket framg?ngsrikt. Men detta ?r inte helt sant. Nej, sj?lvklart l?ser vi det, men med st?rsta sannolikhet felaktigt, eftersom det inneh?ller ett litet bakh?ll som b?de C-elever och utm?rkta elever omedelbart hamnar i. L?t oss ta en n?rmare titt.

L?t oss s?ga att du m?ste hitta roten till ekvationen eller summan av r?tterna, om det finns flera av dem:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Vi anv?nder potentiering, det ?r acceptabelt h?r. Som ett resultat f?r vi en vanlig andragradsekvation.

Hitta r?tterna till ekvationen:

Det visade sig tv? r?tter.

Svar: 3 och -1

Vid f?rsta anblicken ?r allt korrekt. Men l?t oss kontrollera resultatet och ers?tta det med den ursprungliga ekvationen.

L?t oss b?rja med x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Kontrollen lyckades, nu ?r k?n x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Okej, sluta! P? utsidan ?r allt perfekt. En sak - det finns inga logaritmer fr?n negativa tal! Det betyder att roten x = -1 inte ?r l?mplig f?r att l?sa v?r ekvation. Och d?rf?r blir det korrekta svaret 3, inte 2, som vi skrev.

Det var h?r ODZ spelade sin ?desdigra roll, som vi hade gl?mt bort.

L?t mig p?minna dig om att intervallet av acceptabla v?rden inkluderar de v?rden p? x som ?r till?tna eller vettiga f?r det ursprungliga exemplet.

Utan ODZ f?rvandlas vilken l?sning som helst, ?ven en helt korrekt, av vilken ekvation som helst till ett lotteri - 50/50.

Hur kunde vi fastna f?r att l?sa ett till synes element?rt exempel? Men just i potentierings?gonblicket. Logaritmer f?rsvann, och med dem alla restriktioner.

Vad ska man g?ra i det h?r fallet? V?gra att eliminera logaritmer? Och helt v?gra att l?sa denna ekvation?

Nej, vi kommer bara, som riktiga hj?ltar fr?n en k?nd l?t, att ta en omv?g!

Innan vi b?rjar l?sa n?gon logaritmisk ekvation kommer vi att skriva ner ODZ. Men efter det kan du g?ra vad ditt hj?rta vill med v?r ekvation. Efter att ha f?tt svaret kastar vi helt enkelt ut de r?tter som inte ing?r i v?r ODZ och skriver ner den slutliga versionen.

L?t oss nu best?mma hur vi ska spela in ODZ. F?r att g?ra detta unders?ker vi noggrant den ursprungliga ekvationen och letar efter misst?nkta platser i den, som division med x, j?mn rot, etc. F?rr?n vi har l?st ekvationen vet vi inte vad x ?r lika med, men vi vet med s?kerhet att de x som, n?r de substitueras, ger division med 0 eller kvadratroten ur ett negativt tal, uppenbarligen inte ?r l?mpliga som svar . D?rf?r ?r s?dana x oacceptabla, medan resten kommer att utg?ra ODZ.

L?t oss anv?nda samma ekvation igen:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Som du kan se finns det ingen division med 0, det finns heller inga kvadratr?tter, utan det finns uttryck med x i logaritmen. L?t oss genast komma ih?g att uttrycket i logaritmen alltid m?ste vara >0. Vi skriver detta villkor i form av ODZ:

Dessa. Vi har inte l?st n?got ?nnu, men vi har redan skrivit ner ett obligatoriskt villkor f?r hela det sublogaritmiska uttrycket. Den lockiga tandst?llningen inneb?r att dessa villkor m?ste vara sanna samtidigt.

ODZ ?r nedskrivet, men det ?r ocks? n?dv?ndigt att l?sa det resulterande systemet av oj?mlikheter, vilket ?r vad vi kommer att g?ra. Vi f?r svaret x > v3. Nu vet vi s?kert vilket x som inte passar oss. Och sedan b?rjar vi l?sa sj?lva logaritmiska ekvationen, vilket ?r vad vi gjorde ovan.

Efter att ha f?tt svaren x 1 = 3 och x 2 = -1 ?r det l?tt att se att endast x1 = 3 passar oss, och vi skriver ner det som slutsvar.

F?r framtiden ?r det mycket viktigt att komma ih?g f?ljande: vi l?ser alla logaritmiska ekvationer i 2 steg. Den f?rsta ?r att l?sa sj?lva ekvationen, den andra ?r att l?sa ODZ-villkoret. B?da stegen utf?rs oberoende av varandra och j?mf?rs f?rst vid skrivning av svaret, d.v.s. sl?ng allt on?digt och skriv ner r?tt svar.

F?r att f?rst?rka materialet rekommenderar vi starkt att du tittar p? videon:

Videon visar andra exempel p? att l?sa loggar. ekvationer och att ?va p? intervallmetoden i praktiken.

Till denna fr?ga, hur man l?ser logaritmiska ekvationer Det var allt f?r nu. Om n?got avg?rs av loggen. ekvationer f?rblir oklara eller obegripliga, skriv dina fr?gor i kommentarerna.

Notera: Academy of Social Education (ASE) ?r redo att ta emot nya studenter.

Att uppr?tth?lla din integritet ?r viktigt f?r oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi anv?nder och lagrar din information. L?s igenom v?r sekretesspraxis och l?t oss veta om du har n?gra fr?gor.

Insamling och anv?ndning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan anv?ndas f?r att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att l?mna din personliga information n?r som helst n?r du kontaktar oss.

Nedan finns n?gra exempel p? de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan anv?nda s?dan information.

Vilken personlig information samlar vi in:

• N?r du skickar in en ans?kan p? webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.

Hur vi anv?nder din personliga information:

• De personuppgifter vi samlar in g?r att vi kan kontakta dig med unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Fr?n tid till annan kan vi anv?nda din personliga information f?r att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer.
• Vi kan ocks? komma att anv?nda personuppgifter f?r interna ?ndam?l, s?som att genomf?ra revisioner, dataanalyser och olika unders?kningar f?r att f?rb?ttra de tj?nster vi tillhandah?ller och ge dig rekommendationer ang?ende v?ra tj?nster.
• Om du deltar i en prisdragning, t?vling eller liknande kampanj kan vi anv?nda informationen du tillhandah?ller f?r att administrera s?dana program.

Utl?mnande av information till tredje part

Vi l?mnar inte ut informationen fr?n dig till tredje part.

Undantag:

• Om n?dv?ndigt - i enlighet med lagen, r?ttsliga f?rfaranden, i r?ttsliga f?rfaranden och/eller p? grundval av offentliga f?rfr?gningar eller f?rfr?gningar fr?n statliga myndigheter p? Ryska federationens territorium - att avsl?ja din personliga information. Vi kan ocks? komma att avsl?ja information om dig om vi fastst?ller att ett s?dant avsl?jande ?r n?dv?ndigt eller l?mpligt f?r s?kerhets-, brottsbek?mpande eller andra offentliga ?ndam?l.
• I h?ndelse av en omorganisation, sammanslagning eller f?rs?ljning kan vi komma att ?verf?ra den personliga information vi samlar in till till?mplig eftertr?dande tredje part.

Skydd av personlig information

Vi vidtar f?rsiktighets?tg?rder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - f?r att skydda din personliga information fr?n f?rlust, st?ld och missbruk, s?v?l som obeh?rig ?tkomst, avsl?jande, ?ndring och f?rst?relse.

Respektera din integritet p? f?retagsniv?

F?r att s?kerst?lla att din personliga information ?r s?ker kommunicerar vi sekretess- och s?kerhetsstandarder till v?ra anst?llda och till?mpar strikt sekretesspraxis.