ladybe.ru
Sidoytorna p? en vanlig pyramid ?r. Pyramid. Formler och egenskaper hos pyramiden
- apotem- h?jden p? sidoytan p? en vanlig pyramid, som dras fr?n dess topp (dessutom ?r apotem l?ngden p? vinkelr?t, som s?nks fr?n mitten av en vanlig polygon till 1 av dess sidor);
- sidoytor (ASB, BSC, CSD, DSA) - trianglar som konvergerar i toppen;
- sido revben ( SOM , BS , CS , D.S. ) - gemensamma sidor av sidoytorna;
- toppen av pyramiden (v. S) - en punkt som f?rbinder sidokanterna och som inte ligger i basens plan;
- h?jd ( S? ) - ett segment av vinkelr?t, som dras genom toppen av pyramiden till planet f?r dess bas (?ndarna p? ett s?dant segment kommer att vara toppen av pyramiden och basen av vinkelr?t);
- diagonal sektion av en pyramid- sektion av pyramiden, som passerar genom toppen och diagonalen av basen;
- bas (ABCD) ?r en polygon som toppen av pyramiden inte tillh?r.
pyramidegenskaper.
1. N?r alla sidokanter har samma storlek, d?:
- n?ra basen av pyramiden ?r det l?tt att beskriva en cirkel, medan toppen av pyramiden kommer att projiceras in i mitten av denna cirkel;
- sidoribbor bildar lika vinklar med basplanet;
- dessutom ?r det omv?nda ocks? sant, d.v.s. n?r sidokanterna bildar lika vinklar med basplanet, eller n?r en cirkel kan beskrivas n?ra pyramidens bas och toppen av pyramiden kommer att projiceras in i mitten av denna cirkel, d? har alla sidokanter p? pyramiden samma storlek.
2. N?r sidoytorna har en lutningsvinkel mot basplanet med samma v?rde, d?:
- n?ra basen av pyramiden ?r det l?tt att beskriva en cirkel, medan toppen av pyramiden kommer att projiceras in i mitten av denna cirkel;
- h?jderna p? sidoytorna ?r lika l?nga;
- arean p? sidoytan ?r 1/2 produkten av basens omkrets och h?jden p? sidoytan.
3. En sf?r kan beskrivas n?ra pyramiden om pyramidens bas ?r en polygon runt vilken en cirkel kan beskrivas (ett n?dv?ndigt och tillr?ckligt villkor). Sf?rens centrum kommer att vara sk?rningspunkten f?r planen som passerar genom mittpunkterna p? pyramidens kanter vinkelr?tt mot dem. Av detta teorem drar vi slutsatsen att en sf?r kan beskrivas b?de runt vilken triangul?r som helst och runt vilken vanlig pyramid som helst.
4. En sf?r kan inskrivas i en pyramid om halvledarplanen f?r pyramidens inre dihedrala vinklar sk?r varandra i 1:a punkten (ett n?dv?ndigt och tillr?ckligt villkor). Denna punkt kommer att bli sf?rens centrum.
Den enklaste pyramiden.
Beroende p? antalet h?rn av pyramidens bas ?r de uppdelade i triangul?ra, fyrkantiga och s? vidare.
Pyramiden kommer triangul?r, fyrkantig, och s? vidare, n?r basen av pyramiden ?r en triangel, en fyrh?rning och s? vidare. En triangul?r pyramid ?r en tetraeder - en tetraeder. Fyrkantig - pentaeder och s? vidare.
Definition. Sidoansikte- detta ?r en triangel d?r en vinkel ligger p? toppen av pyramiden, och den motsatta sidan av den sammanfaller med sidan av basen (polygon).
Definition. Sidor revben?r de gemensamma sidorna av sidoytorna. En pyramid har lika m?nga kanter som det finns h?rn i en polygon.
Definition. pyramidh?jd?r en vinkelr?t fall fr?n toppen till basen av pyramiden.
Definition. Apotem- detta ?r vinkelr?t p? pyramidens sidoyta, s?nkt fr?n toppen av pyramiden till sidan av basen.
Definition. Diagonal sektion- detta ?r en del av pyramiden av ett plan som passerar genom toppen av pyramiden och diagonalen p? basen.
Definition. R?tt pyramid- Det h?r ?r en pyramid d?r basen ?r en vanlig polygon, och h?jden sjunker till mitten av basen.
Volym och yta av pyramiden
Formel. pyramidvolym genom basarea och h?jd:
pyramidegenskaper
Om alla sidokanter ?r lika, kan en cirkel omskrivas runt pyramidens bas, och basens mitt sammanfaller med cirkelns mitt. Dessutom passerar den vinkelr?ta som tappas fr?n toppen genom mitten av basen (cirkeln).
Om alla sidoribbor ?r lika, lutar de mot basplanet i samma vinklar.
De laterala ribborna ?r lika n?r de bildar lika vinklar med basplanet, eller om en cirkel kan beskrivas runt pyramidens bas.
Om sidoytorna lutar mot basens plan i en vinkel, kan en cirkel inskrivas i pyramidens bas, och toppen av pyramiden projiceras in i dess mitt.
Om sidoytorna lutar mot basplanet i en vinkel, ?r sidoytornas apotemer lika.
Egenskaper hos en vanlig pyramid
1. Pyramidens topp ?r lika l?ngt fr?n alla h?rn av basen.
2. Alla sidokanter ?r lika.
3. Alla sidoribbor lutar i samma vinklar mot basen.
4. Apotemer p? alla sidoytor ?r lika.
5. Ytorna p? alla sidoytor ?r lika.
6. Alla ytor har samma dihedrala (platta) vinklar.
7. En sf?r kan beskrivas runt pyramiden. Mitten av den beskrivna sf?ren kommer att vara sk?rningspunkten f?r perpendikul?ra som passerar genom mitten av kanterna.
8. En sf?r kan vara inskriven i en pyramid. Mitten av den inskrivna sf?ren kommer att vara sk?rningspunkten f?r bisektrarna som utg?r fr?n vinkeln mellan kanten och basen.
9. Om centrum av den inskrivna sf?ren sammanfaller med mitten av den omskrivna sf?ren, s? ?r summan av de platta vinklarna vid spetsen lika med p eller vice versa, en vinkel ?r lika med p / n, d?r n ?r talet av vinklar vid basen av pyramiden.
Pyramidens f?rbindelse med sf?ren
En sf?r kan beskrivas runt pyramiden n?r vid basen av pyramiden ligger en polyeder runt vilken en cirkel kan beskrivas (ett n?dv?ndigt och tillr?ckligt villkor). Sf?rens centrum kommer att vara sk?rningspunkten f?r plan som passerar vinkelr?tt genom mittpunkterna p? pyramidens sidokanter.
En sf?r kan alltid beskrivas runt vilken triangul?r eller vanlig pyramid som helst.
En sf?r kan inskrivas i en pyramid om halvledarplanen f?r pyramidens inre dihedrala vinklar sk?r varandra vid en punkt (ett n?dv?ndigt och tillr?ckligt villkor). Denna punkt kommer att vara mitten av sf?ren.
Anslutningen av pyramiden med konen
En kon kallas inskriven i en pyramid om deras h?rn sammanfaller och konens bas ?r inskriven i pyramidens bas.
En kon kan inskrivas i en pyramid om pyramidens apotemer ?r lika.
En kon s?gs vara omskriven runt en pyramid om deras h?rn sammanfaller och konens bas ?r omskriven runt pyramidens bas.
En kon kan beskrivas runt en pyramid om alla sidokanter p? pyramiden ?r lika med varandra.
Anslutning av en pyramid med en cylinder
En pyramid s?gs vara inskriven i en cylinder om toppen av pyramiden ligger p? en bas av cylindern, och basen av pyramiden ?r inskriven i en annan bas av cylindern.
En cylinder kan omskrivas runt en pyramid om en cirkel kan omskrivas runt pyramidens bas.
En tetraeder har fyra ytor och fyra h?rn och sex kanter, d?r tv? kanter inte har n?gra gemensamma h?rn men inte r?r vid varandra.
Varje vertex best?r av tre ytor och kanter som bildas triedrisk vinkel.
Segmentet som f?rbinder tetraederns vertex med mitten av den motsatta sidan kallas median f?r tetraedern(GM).
Bimedian kallas ett segment som f?rbinder mittpunkterna p? motsatta kanter som inte ber?r (KL).
Alla bimedianer och medianer i en tetraeder sk?r varandra vid en punkt (S). I det h?r fallet delas bimedianerna i h?lften och medianerna i f?rh?llandet 3: 1 fr?n toppen.
Definition. Akut vinklad pyramid?r en pyramid d?r apotem ?r mer ?n halva l?ngden av sidan av basen.
Definition. trubbig pyramid?r en pyramid d?r apotem ?r mindre ?n halva l?ngden av sidan av basen.
Definition. vanlig tetraeder En tetraeder vars fyra ytor ?r liksidiga trianglar. Det ?r en av fem vanliga polygoner. I en vanlig tetraeder ?r alla dihedriska vinklar (mellan ytor) och trihedriska vinklar (vid en vertex) lika.
Definition. Rektangul?r tetraeder en tetraeder kallas som har en r?t vinkel mellan tre kanter vid spetsen (kanterna ?r vinkelr?ta). Tre ansikten bildas rektangul?r trihedrisk vinkel och ytorna ?r r?tvinkliga trianglar, och basen ?r en godtycklig triangel. Apotemet f?r varje ansikte ?r lika med halva sidan av basen som apotemet faller p?.
Definition. Isoedrisk tetraeder En tetraeder kallas d?r sidoytorna ?r lika med varandra, och basen ?r en regelbunden triangel. Ytorna p? en s?dan tetraeder ?r likbenta trianglar.
Definition. Ortocentrisk tetraeder en tetraeder kallas d?r alla h?jder (perpendicularer) som ?r s?nkta fr?n toppen till den motsatta sidan sk?r varandra i en punkt.
Definition. stj?rnpyramiden En polyeder vars bas ?r en stj?rna kallas.
Introduktion
N?r vi b?rjade studera stereometriska figurer ber?rde vi ?mnet "Pyramid". Vi gillade detta tema eftersom pyramiden anv?nds v?ldigt ofta i arkitektur. Och eftersom v?rt framtida yrke som arkitekt, inspirerat av denna figur, tror vi att hon kommer att kunna driva oss till stora projekt.
Styrkan hos arkitektoniska strukturer, deras viktigaste kvalitet. Att associera styrka, f?r det f?rsta, med materialen fr?n vilka de ?r skapade, och f?r det andra med funktionerna i designl?sningar, visar det sig att styrkan hos en struktur ?r direkt relaterad till den geometriska formen som ?r grundl?ggande f?r den.
Med andra ord talar vi om den geometriska figuren som kan betraktas som en modell av motsvarande arkitektoniska form. Det visar sig att den geometriska formen ocks? best?mmer styrkan hos den arkitektoniska strukturen.
De egyptiska pyramiderna har l?nge ansetts vara den mest h?llbara arkitektoniska strukturen. Som ni vet har de formen av vanliga fyrkantiga pyramider.
Det ?r denna geometriska form som ger st?rst stabilitet tack vare den stora basytan. ? andra sidan ser pyramidens form till att massan minskar n?r h?jden ?ver marken ?kar. Det ?r dessa tv? egenskaper som g?r pyramiden stabil, och d?rf?r stark i gravitationsf?rh?llandena.
M?let med projektet: l?r dig n?got nytt om pyramiderna, f?rdjupa kunskapen och hitta praktiska till?mpningar.
F?r att uppn? detta m?l var det n?dv?ndigt att l?sa f?ljande uppgifter:
L?r dig historisk information om pyramiden
Betrakta pyramiden som en geometrisk figur
Hitta till?mpningar i livet och arkitekturen
Hitta likheter och skillnader mellan pyramider som finns i olika delar av v?rlden
Teoretisk del
Historisk information
B?rjan av pyramidens geometri lades i det gamla Egypten och Babylon, men den utvecklades aktivt i antikens Grekland. Den f?rsta att fastst?lla vad volymen p? pyramiden ?r lika med var Demokrit, och Eudoxus fr?n Cnidus bevisade det. Den antika grekiske matematikern Euklid systematiserade kunskap om pyramiden i volymen XII av sin "Begynnelser", och tog ocks? fram den f?rsta definitionen av pyramiden: en kroppslig figur avgr?nsad av plan som konvergerar fr?n ett plan vid en punkt.
De egyptiska faraonernas gravar. Den st?rsta av dem - pyramiderna i Cheops, Khafre och Mikerin i El Giza i antiken ans?gs vara ett av v?rldens sju underverk. Uppf?randet av pyramiden, d?r grekerna och romarna redan s?g ett monument ?ver kungars o?vertr?ffade stolthet och grymhet, som d?mde hela Egyptens folk till meningsl?st byggande, var den viktigaste kulthandlingen och var t?nkt att uttrycka, uppenbarligen, landets och dess h?rskares mystiska identitet. Befolkningen i landet arbetade med att bygga graven under den del av ?ret som var fri fr?n jordbruksarbete. Ett antal texter vittnar om den uppm?rksamhet och omsorg som kungarna sj?lva (om ?n av en senare tid) ?gnade byggandet av sin grav och dess byggare. Det ?r ocks? k?nt om de speciella kultheder som visade sig vara sj?lva pyramiden.
Grundl?ggande koncept
Pyramid En polyeder kallas, vars bas ?r en polygon, och de ?terst?ende ytorna ?r trianglar med en gemensam vertex.
Apotem- h?jden p? sidoytan p? en vanlig pyramid, ritad fr?n dess topp;
Sidoytor- trianglar som konvergerar i toppen;
Sidor revben- gemensamma sidor av sidoytorna;
toppen av pyramiden- en punkt som f?rbinder sidokanterna och inte ligger i basens plan;
H?jd- ett segment av en vinkelr?t ritad genom toppen av pyramiden till planet f?r dess bas (?ndarna av detta segment ?r toppen av pyramiden och basen av vinkelr?t);
Diagonal sektion av en pyramid- sektion av pyramiden som g?r genom toppen och diagonalen p? basen;
Bas- en polygon som inte tillh?r toppen av pyramiden.
Huvudegenskaperna f?r den korrekta pyramiden
Sidokanter, sidoytor och apotemer ?r lika.
De tv?sidiga vinklarna vid basen ?r lika.
De dihedriska vinklarna vid sidokanterna ?r lika.
Varje h?jdpunkt ?r lika l?ngt fr?n alla bash?rn.
Varje h?jdpunkt ?r lika l?ngt fr?n alla sidoytor.
Grundl?ggande pyramidformler
Omr?det f?r den laterala och hela ytan av pyramiden.
Arean av pyramidens laterala yta (full och trunkerad) ?r summan av ytorna p? alla dess sidoytor, den totala ytan ?r summan av ytorna p? alla dess ytor.
Teorem: Arean av den laterala ytan av en vanlig pyramid ?r lika med h?lften av produkten av basens omkrets och pyramidens apotem.
sid- basens omkrets;
h- apotem.
Omr?det f?r de laterala och hela ytorna av en stympad pyramid.
p1, sid 2 - basperimetrar;
h- apotem.
R- total yta av en vanlig stympad pyramid;
S sida- omr?det av den laterala ytan av en vanlig stympad pyramid;
S1 + S2- basarea
Pyramidvolym
Form Volymskalan anv?nds f?r pyramider av alla slag.
H?r h?jden p? pyramiden.
Pyramidens vinklar
Vinklarna som bildas av sidoytan och pyramidens bas kallas dihedriska vinklar vid pyramidens bas.
En dihedrisk vinkel bildas av tv? perpendikuler.
F?r att best?mma denna vinkel beh?ver du ofta anv?nda tre vinkelr?ta satsen.
Vinklarna som bildas av en sidokant och dess projektion p? basens plan kallas vinklar mellan sidokanten och basens plan.
Vinkeln som bildas av tv? sidoytor kallas dihedrisk vinkel vid pyramidens sidokant.
Vinkeln, som bildas av tv? sidokanter av en sida av pyramiden, kallas h?rnet i toppen av pyramiden.
Delar av pyramiden
Ytan p? en pyramid ?r ytan p? en polyeder. Var och en av dess ytor ?r ett plan, s? sektionen av pyramiden som ges av sekantplanet ?r en streckad linje som best?r av separata r?ta linjer.
Diagonal sektion
Sektionen av en pyramid av ett plan som g?r genom tv? sidokanter som inte ligger p? samma yta kallas diagonal sektion pyramider.
Parallella sektioner
Sats:
Om pyramiden korsas av ett plan parallellt med basen, delas pyramidens sidokanter och h?jder av detta plan i proportionella delar;
Sektionen av detta plan ?r en polygon som liknar basen;
Sektionens och basens ytor ?r relaterade till varandra som kvadraterna p? deras avst?nd fr?n toppen.
Typer av pyramid
R?tt pyramid- en pyramid, vars bas ?r en vanlig polygon, och toppen av pyramiden projiceras in i mitten av basen.
Vid r?tt pyramid:
1. sidoribben ?r lika
2. sidoytorna ?r lika
3. apotemer ?r lika
4. dihedriska vinklar vid basen ?r lika
5. dihedriska vinklar vid sidokanterna ?r lika
6. Varje h?jdpunkt ?r lika l?ngt fr?n alla baspunkten
7. Varje h?jdpunkt ?r lika l?ngt fr?n alla sidoytor
Stympad pyramid- den del av pyramiden som ?r innesluten mellan dess bas och ett sk?rplan parallellt med basen.
Basen och motsvarande sektion av en trunkerad pyramid kallas baserna i en stympad pyramid.
En vinkelr?t ritad fr?n vilken punkt som helst p? en bas till en annans plan kallas h?jden p? den stympade pyramiden.
Uppgifter
Nr 1. I en vanlig fyrkantig pyramid ?r punkt O mitten av basen, SO=8 cm, BD=30 cm Hitta sidokanten SA.
Probleml?sning
Nr 1. I en vanlig pyramid ?r alla ytor och kanter lika.
L?t oss ?verv?ga OSB: OSB-rektangul?r rektangel, eftersom.
SB 2 \u003d SO 2 + OB 2
SB2=64+225=289
Pyramid i arkitektur
Pyramid - en monumental struktur i form av en vanlig vanlig geometrisk pyramid, d?r sidorna konvergerar vid en punkt. Enligt det funktionella syftet var pyramiderna i gamla tider en plats f?r begravning eller tillbedjan. Basen av en pyramid kan vara triangul?r, fyrkantig eller polygonal med ett godtyckligt antal h?rn, men den vanligaste versionen ?r den fyrkantiga basen.
Ett stort antal pyramider ?r k?nda, byggda av olika kulturer i den antika v?rlden, fr?mst som tempel eller monument. De st?rsta pyramiderna ?r de egyptiska pyramiderna.
?ver hela jorden kan du se arkitektoniska strukturer i form av pyramider. Pyramidbyggnader p?minner om antiken och ser v?ldigt vackra ut.
De egyptiska pyramiderna ?r de st?rsta arkitektoniska monumenten i det antika Egypten, bland vilka ett av "v?rldens sju underverk" ?r Cheops-pyramiden. Fr?n foten till toppen n?r den 137,3 m, och innan den tappade toppen var dess h?jd 146,7 m.
Radiostationens byggnad i Slovakiens huvudstad, som liknar en omv?nd pyramid, byggdes 1983. F?rutom kontor och servicelokaler finns det en ganska rymlig konsertsal inuti volymen, som har en av de st?rsta orglarna i Slovakien .
Louvren, som "?r lika tyst och majest?tisk som en pyramid" har genomg?tt m?nga f?r?ndringar under ?rhundradena innan det blev det st?rsta museet i v?rlden. Det f?ddes som en f?stning, uppf?rd av Philip Augustus 1190, som snart f?rvandlades till en kunglig bostad. 1793 blev palatset ett museum. Samlingar berikas genom testamenten eller k?p.
Pyramid koncept
Definition 1
En geometrisk figur som bildas av en polygon och en punkt som inte ligger i planet som inneh?ller denna polygon, kopplad till polygonens alla h?rn, kallas en pyramid (fig. 1).
Polygonen som pyramiden best?r av kallas pyramidens bas, trianglarna som erh?lls genom att f?rbinda med punkten ?r pyramidens sidoytor, trianglarnas sidor ?r pyramidens sidor och punkten gemensam f?r alla trianglar ?r toppen av pyramiden.
Typer av pyramider
Beroende p? antalet h?rn vid basen av pyramiden kan den kallas triangul?r, fyrkantig och s? vidare (fig. 2).
Figur 2.
En annan typ av pyramid ?r en vanlig pyramid.
L?t oss introducera och bevisa egenskapen hos en vanlig pyramid.
Sats 1
Alla sidoytor p? en vanlig pyramid ?r likbenta trianglar som ?r lika med varandra.
Bevis.
T?nk p? en vanlig $n-$gonal pyramid med spets $S$ p? h?jden $h=SO$. L?t oss beskriva en cirkel runt basen (Fig. 4).
Figur 4
T?nk p? triangel $SOA$. Av Pythagoras sats f?r vi
Uppenbarligen kommer vilken sidokant som helst att definieras p? detta s?tt. D?rf?r ?r alla sidokanter lika med varandra, det vill s?ga alla sidoytor ?r likbenta trianglar. L?t oss bevisa att de ?r lika med varandra. Eftersom basen ?r en vanlig polygon, ?r baserna p? alla sidoytor lika med varandra. F?ljaktligen ?r alla sidoytor lika enligt III-tecknet f?r trianglars likhet.
Teoremet har bevisats.
Vi introducerar nu f?ljande definition relaterad till begreppet en vanlig pyramid.
Definition 3
Apotemet f?r en vanlig pyramid ?r h?jden p? dess sidoyta.
Uppenbarligen, enligt sats 1, ?r alla apotemer lika.
Sats 2
Den laterala ytan av en vanlig pyramid definieras som produkten av basens halvomkrets och apotem.
Bevis.
L?t oss beteckna sidan av $n-$kolpyramidens bas som $a$ och apotem som $d$. D?rf?r ?r omr?det p? sidoytan lika med
Eftersom, enligt sats 1, alla sidor ?r lika, allts?
Teoremet har bevisats.
En annan typ av pyramid ?r den trunkerade pyramiden.
Definition 4
Om ett plan parallellt med dess bas dras genom en vanlig pyramid, s? kallas figuren som bildas mellan detta plan och basens plan en stympad pyramid (fig. 5).
Figur 5. Stympad pyramid
Den stympade pyramidens sidoytor ?r trapetser.
Sats 3
Arean av den laterala ytan av en vanlig stympad pyramid definieras som produkten av summan av halvperimetrarna f?r baserna och apotem.
Bevis.
L?t oss beteckna sidorna av $n-$kolpyramidens baser med $a\ respektive\b$, och apotemet med $d$. D?rf?r ?r omr?det p? sidoytan lika med
Eftersom alla sidor ?r lika, allts?
Teoremet har bevisats.
Uppgiftsexempel
Exempel 1
Hitta arean av den laterala ytan av en stympad triangul?r pyramid om den erh?lls fr?n en vanlig pyramid med bassida 4 och apotem 5 genom att sk?ra av med ett plan som g?r genom mittlinjen p? sidoytorna.
L?sning.
Enligt medianlinjesatsen f?r vi att den ?vre basen av den trunkerade pyramiden ?r lika med $4\cdot \frac(1)(2)=2$, och apotem ?r lika med $5\cdot \frac(1)( 2)=2,5 $.
Sedan, genom sats 3, f?r vi
Hypotes: vi tror att perfektionen av pyramidens form beror p? de matematiska lagarna som ?r inb?ddade i dess form.
M?l: efter att ha studerat pyramiden som en geometrisk kropp, f?r att f?rklara perfektionen av dess form.
Uppgifter:
1. Ge en matematisk definition av en pyramid.
2. Studera pyramiden som en geometrisk kropp.
3. F?rst? vilken matematisk kunskap egyptierna lade i sina pyramider.
Privata fr?gor:
1. Vad ?r en pyramid som en geometrisk kropp?
2. Hur kan pyramidens unika form f?rklaras matematiskt?
3. Vad f?rklarar pyramidens geometriska under?
4. Vad f?rklarar perfektionen av pyramidens form?
Definition av en pyramid.
PYRAMID (fr?n grekiska pyramis, sl?ktet n. pyramidos) - en polyeder, vars bas ?r en polygon, och de ?terst?ende ytorna ?r trianglar med en gemensam vertex (figur). Beroende p? antalet h?rn p? basen ?r pyramiderna triangul?ra, fyrkantiga, etc.
PYRAMID - en monumental struktur som har den geometriska formen av en pyramid (ibland ?ven stegvis eller tornformad). J?ttegravar av de forntida egyptiska faraonerna under det 3:e-2:a ?rtusendet f.Kr. kallas pyramider. e., liksom gamla amerikanska piedestaler av tempel (i Mexiko, Guatemala, Honduras, Peru) f?rknippade med kosmologiska kulter.
Det ?r m?jligt att det grekiska ordet "pyramid" kommer fr?n det egyptiska uttrycket per-em-us, det vill s?ga fr?n en term som betydde h?jden p? pyramiden. Den framst?ende ryske egyptologen V. Struve trodde att det grekiska "puram...j" kommer fr?n det fornegyptiska "p"-mr".
Fr?n historien. Efter att ha studerat materialet i l?roboken "Geometry" av f?rfattarna till Atanasyan. Butuzova och andra, vi l?rde oss att: En polyeder som best?r av n-gon A1A2A3 ... En och n trianglar RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 kallas en pyramid. Polygonen A1A2A3 ... An ?r pyramidens bas, och trianglarna RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 ?r pyramidens sidoytor, P ?r pyramidens topp, segmenten RA1, RA2, .. ., RAn ?r sidokanterna.
En s?dan definition av pyramiden fanns dock inte alltid. Till exempel, den antika grekiske matematikern, f?rfattaren till teoretiska avhandlingar om matematik som har kommit ner till oss, Euklid, definierar en pyramid som en solid figur avgr?nsad av plan som konvergerar fr?n ett plan till en punkt.
Men denna definition har kritiserats redan under antiken. S? Heron f?reslog f?ljande definition av en pyramid: "Detta ?r en figur som begr?nsas av trianglar som konvergerar vid en punkt och vars bas ?r en polygon."
V?r grupp, som j?mf?rde dessa definitioner, kom till slutsatsen att de inte har en tydlig formulering av begreppet "grund".
Vi studerade dessa definitioner och hittade definitionen av Adrien Marie Legendre, som 1794 i sitt arbete "Elements of Geometry" definierar pyramiden p? f?ljande s?tt: "Pyramid ?r en kroppslig figur som bildas av trianglar som konvergerar vid en punkt och slutar p? olika sidor av en platt bas.”
Det verkar f?r oss som den sista definitionen ger en tydlig uppfattning om pyramiden, eftersom den h?nvisar till det faktum att basen ?r platt. En annan definition av en pyramid f?rekom i en l?robok fr?n 1800-talet: "en pyramid ?r en solid vinkel som sk?rs av ett plan."
Pyramid som en geometrisk kropp.
Den d?r. En pyramid ?r en polyeder, vars ena ytor (basen) ?r en polygon, de andra ytorna (sidorna) ?r trianglar som har en gemensam vertex (pyramidens ?verkant).
Den vinkelr?ta som dras fr?n toppen av pyramiden till basens plan kallas l?ngh pyramider.
F?rutom en godtycklig pyramid finns det h?ger pyramid, vid basen av vilken ?r en vanlig polygon och stympad pyramid.
I figuren - pyramiden PABCD, ABCD - dess bas, PO - h?jd.
Full yta En pyramid kallas summan av ytorna av alla dess ytor.
Full = Sside + Sbase, var Sidan?r summan av ytorna p? sidoytorna.
pyramidvolym hittas enligt formeln:
V=1/3Sbas h, d?r Sosn. - basarea h- h?jd.
 |
|
Apotem ST - h?jden p? sidoytan p? en vanlig pyramid.
Arean av sidoytan p? en vanlig pyramid uttrycks som f?ljer: Sside. =1/2P h, d?r P ?r omkretsen av basen, h- h?jden p? sidoytan (apotem av en vanlig pyramid). Om pyramiden korsas av plan A'B'C'D' parallellt med basen, d?:
1) sidokanter och h?jd ?r uppdelade av detta plan i proportionella delar;
2) i sektionen erh?lls en polygon A'B'C'D', liknande basen;
https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">
Baserna i den stympade pyramiden?r liknande polygoner ABCD och A`B`C`D`, sidoytorna ?r trapetser.
H?jd stympad pyramid - avst?ndet mellan baserna.
Trunkerad volym pyramid hittas av formeln:
V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Den laterala ytan av en vanlig stympad pyramid uttrycks enligt f?ljande: Sside = 1/2 (P+P') h, d?r P och P' ?r omkretsen av baserna, h- h?jden p? sidoytan (apotem av en vanlig stympad av fester
Delar av pyramiden.
Delar av pyramiden av plan som passerar genom dess topp ?r trianglar.
Sektionen som g?r genom tv? icke-intilliggande laterala kanter av pyramiden kallas diagonal sektion.
Om sektionen passerar genom en punkt p? sidokanten och sidan av basen, kommer denna sida att vara dess sp?r p? planet f?r pyramidens bas.
En sektion som g?r genom en punkt som ligger p? pyramidens framsida och ett givet sp?r av sektionen p? basens plan, d? ska konstruktionen utf?ras enligt f?ljande:
hitta sk?rningspunkten f?r planet f?r det givna ansiktet och sp?ret av pyramidsektionen och beteckna det;
bygga en r?t linje som g?r genom en given punkt och den resulterande sk?rningspunkten;
· Upprepa dessa steg f?r n?sta ansikten.
, vilket motsvarar f?rh?llandet mellan benen i en r?tvinklig triangel 4:3. Detta f?rh?llande mellan benen motsvarar den v?lk?nda r?ta triangeln med sidorna 3:4:5, som kallas den "perfekta", "heliga" eller "egyptiska" triangeln. Enligt historiker fick den "egyptiska" triangeln en magisk betydelse. Plutarch skrev att egyptierna j?mf?rde universums natur med en "helig" triangel; de liknade symboliskt det vertikala benet med mannen, basen med hustrun och hypotenusan med det som ?r f?dd av b?da.
F?r en triangel 3:4:5 ?r likheten sann: 32 + 42 = 52, vilket uttrycker Pythagoras sats. ?r det inte denna sats som de egyptiska pr?sterna ville vidmakth?lla genom att resa en pyramid p? basis av triangeln 3:4:5? Det ?r sv?rt att hitta ett b?ttre exempel f?r att illustrera Pythagoras sats, som var k?nd f?r egyptierna l?ngt innan Pythagoras uppt?ckte den.
S?ledes f?rs?kte de geniala skaparna av de egyptiska pyramiderna att imponera p? avl?gsna ?ttlingar med djupet av sina kunskaper, och de uppn?dde detta genom att v?lja den "geometriska huvudid?n" f?r Keopspyramiden - den "gyllene" r?tvinkliga triangeln, och f?r Khafre-pyramiden - den "heliga" eller "egyptiska" triangeln.
Mycket ofta, i sin forskning, anv?nder forskare egenskaperna hos pyramiderna med proportionerna av det gyllene snittet.
I den matematiska encyklopediska ordboken ges f?ljande definition av det gyllene snittet - detta ?r en ?vertonsdelning, uppdelning i extrem- och medelkvoten - uppdelning av segmentet AB i tv? delar p? ett s?dant s?tt att det mesta av dess AC ?r medelv?rdet proportionell mellan hela segmentet AB och dess mindre del CB.
Algebraiskt fynd av det gyllene snittet av ett segment AB = a reducerar till att l?sa ekvationen a: x = x: (a - x), varav x ?r ungef?r lika med 0,62a. X-f?rh?llandet kan uttryckas som br?k 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, d?r 2, 3, 5, 8, 13, 21 ?r Fibonacci-tal.
Den geometriska konstruktionen av det gyllene snittet av segmentet AB utf?rs enligt f?ljande: vid punkt B ?terst?lls vinkelr?t till AB, segmentet BE \u003d 1/2 AB l?ggs p? det, A och E ?r anslutna, DE \ u003d BE skjuts upp, och slutligen AC \u003d AD, d? ?r j?mst?lldheten AB uppfylld: CB = 2: 3.
Det gyllene snittet anv?nds ofta i konstverk, arkitektur och finns i naturen. Livliga exempel ?r skulpturen av Apollo Belvedere, Parthenon. Under byggandet av Parthenon anv?ndes f?rh?llandet mellan byggnadens h?jd och dess l?ngd och detta f?rh?llande ?r 0,618. F?rem?l runt omkring oss ger ocks? exempel p? det gyllene snittet, till exempel har bindningarna i m?nga b?cker ett f?rh?llande mellan bredd och l?ngd n?ra 0,618. Med tanke p? arrangemanget av l?v p? en gemensam v?xtstam kan man m?rka att mellan vartannat bladpar ?r det tredje placerat p? platsen f?r det gyllene snittet (slider). Var och en av oss "b?r" det gyllene snittet med oss "i v?ra h?nder" - detta ?r f?rh?llandet mellan fingrarnas falanger.
Tack vare uppt?ckten av flera matematiska papyrus har egyptologer l?rt sig n?got om de forntida egyptiska systemen f?r kalkyl och m?tt. Uppgifterna i dem l?stes av skriftl?rare. En av de mest k?nda ?r Rhindens matematiska papyrus. Genom att studera dessa pussel l?rde sig egyptologer hur de forntida egyptierna hanterade de olika kvantiteterna som uppstod vid ber?kning av m?tt p? vikt, l?ngd och volym, som ofta anv?nde br?k, samt hur de hanterade vinklar.
De gamla egyptierna anv?nde en metod f?r att ber?kna vinklar baserat p? f?rh?llandet mellan h?jden och basen av en r?tvinklig triangel. De uttryckte vilken vinkel som helst i gradientens spr?k. Lutningsgradienten uttrycktes som ett f?rh?llande mellan ett heltal, kallat "seked". I Mathematics in the Time of the Pharaohs f?rklarar Richard Pillins: "Seked av en vanlig pyramid ?r lutningen av n?gon av de fyra triangul?ra ytorna mot basens plan, m?tt som ett n:te antal horisontella enheter per vertikal h?jdenhet . S?ledes ?r denna m?ttenhet ekvivalent med v?r moderna cotangens av lutningsvinkeln. D?rf?r ?r det egyptiska ordet "seked" relaterat till v?rt moderna ord "gradient".
Den numeriska nyckeln till pyramiderna ligger i f?rh?llandet mellan deras h?jd och basen. Rent praktiskt ?r detta det enklaste s?ttet att g?ra mallar som beh?vs f?r att hela tiden kontrollera den korrekta lutningsvinkeln under hela pyramidens konstruktion.
Egyptologer skulle g?rna ?vertyga oss om att varje farao var ivrig att uttrycka sin individualitet, d?rav skillnaderna i lutningsvinklarna f?r varje pyramid. Men det kan finnas en annan anledning. Kanske ville de alla f?rkroppsliga olika symboliska associationer g?mda i olika proportioner. Vinkeln p? Khafres pyramid (baserad p? triangeln (3:4:5) visas dock i de tre problem som presenteras av pyramiderna i Rhind Mathematical Papyrus). S? denna inst?llning var v?lk?nd f?r de gamla egyptierna.
F?r att vara r?ttvis mot egyptologer som h?vdar att de forntida egyptierna inte k?nde till triangeln 3:4:5, l?t oss s?ga att l?ngden p? hypotenusan 5 aldrig n?mndes. Men matematiska problem som r?r pyramiderna l?ses alltid utifr?n den secerade vinkeln - f?rh?llandet mellan h?jden och basen. Eftersom l?ngden p? hypotenusan aldrig n?mndes drogs slutsatsen att egyptierna aldrig ber?knade l?ngden p? den tredje sidan.
De h?jd-till-basf?rh?llanden som anv?ndes i pyramiderna i Giza var utan tvekan k?nda f?r de gamla egyptierna. Det ?r m?jligt att dessa f?rh?llanden f?r varje pyramid valdes godtyckligt. Detta mots?ger dock vikten av numerisk symbolik i alla typer av egyptisk konst. Det ?r mycket troligt att s?dana relationer var av stor betydelse, eftersom de uttryckte specifika religi?sa id?er. Med andra ord, hela komplexet i Giza var f?rem?l f?r en sammanh?ngande design, designad f?r att spegla n?got slags gudomligt tema. Detta skulle f?rklara varf?r formgivarna valde olika vinklar f?r de tre pyramiderna.
I Orions hemlighet presenterade Bauval och Gilbert ?vertygande bevis p? sambandet mellan pyramiderna i Giza och stj?rnbilden Orion, i synnerhet med stj?rnorna i Orions b?lte. Samma stj?rnbild finns i myten om Isis och Osiris, och d?r ?r anledning att betrakta varje pyramid som en bild av en av de tre huvudgudarna - Osiris, Isis och Horus.
MIRAKEL "GEOMETRISKA".
Bland de storslagna pyramiderna i Egypten upptas en speciell plats av Farao Cheops stora pyramid (Khufu). Innan vi g?r vidare till analysen av formen och storleken p? Cheops-pyramiden b?r vi komma ih?g vilket m?ttsystem egyptierna anv?nde. Egyptierna hade tre l?ngdenheter: "cubit" (466 mm), lika med sju "palmer" (66,5 mm), vilket i sin tur var lika med fyra "fingrar" (16,6 mm).
L?t oss analysera storleken p? Cheops-pyramiden (Fig. 2), efter resonemang som ges i den ukrainska vetenskapsmannen Nikolai Vasyutinskiy underbara bok "Golden Proportion" (1990).
De flesta forskare ?r ?verens om att l?ngden p? sidan av pyramidens bas, till exempel, GF?r lika med L\u003d 233,16 m. Detta v?rde motsvarar n?stan exakt 500 "alnar". Full ?verensst?mmelse med 500 "alnar" kommer att vara om l?ngden p? "alnar" anses vara lika med 0,4663 m.
Pyramidh?jd ( H) uppskattas av forskare annorlunda fr?n 146,6 till 148,2 m. Och beroende p? pyramidens accepterade h?jd ?ndras alla f?rh?llanden mellan dess geometriska element. Vad ?r anledningen till skillnaderna i uppskattningen av h?jden p? pyramiden? Faktum ?r att Cheops-pyramiden str?ngt taget ?r stympad. Dess ?vre plattform har idag en storlek p? cirka 10 ? 10 m, och f?r ett sekel sedan var den 6 ? 6 m. Det ?r uppenbart att toppen av pyramiden demonterades, och den motsvarar inte den ursprungliga.
Att uppskatta h?jden p? pyramiden ?r det n?dv?ndigt att ta h?nsyn till en s?dan fysisk faktor som strukturens "utkast". Under l?ng tid, under p?verkan av kolossalt tryck (n?dde 500 ton per 1 m2 av den nedre ytan), minskade h?jden p? pyramiden j?mf?rt med dess ursprungliga h?jd.
Vilken var pyramidens ursprungliga h?jd? Denna h?jd kan ?terskapas om du hittar den grundl?ggande "geometriska id?n" av pyramiden.
Figur 2.
?r 1837 m?tte den engelske ?versten G. Wise lutningsvinkeln p? pyramidens ytor: den visade sig vara lika med a= 51°51". Detta v?rde ?r fortfarande k?nt av de flesta forskare idag. Det angivna v?rdet p? vinkeln motsvarar tangenten (tg) a), lika med 1,27306. Detta v?rde motsvarar f?rh?llandet mellan h?jden p? pyramiden AC till h?lften av sin bas CB(Fig. 2), dvs. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.
Och h?r fick forskarna en stor ?verraskning!.png" width="25" height="24">= 1.272. Att j?mf?ra detta v?rde med tg-v?rdet a= 1,27306 ser vi att dessa v?rden ligger mycket n?ra varandra. Om vi tar vinkeln a\u003d 51 ° 50", det vill s?ga f?r att minska det med bara en b?gminut, sedan v?rdet a blir lika med 1,272, det vill s?ga det kommer att sammanfalla med v?rdet p? . Det b?r noteras att G. Wise 1840 upprepade sina m?tningar och klargjorde att vinkelns v?rde a=51°50".
Dessa m?tningar ledde forskare till f?ljande mycket intressanta hypotes: triangeln ASV i Keopspyramiden var baserad p? relationen AC / CB = = 1,272!
Betrakta nu en r?tvinklig triangel ABC, d?r f?rh?llandet mellan ben AC / CB= (Fig. 2). Om nu l?ngderna p? rektangelns sidor ABC beteckna med x, y, z, och ?ven ta h?nsyn till att f?rh?llandet y/x= , sedan, i enlighet med Pythagoras sats, l?ngden z kan ber?knas med formeln:
Om acceptera x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">
Figur 3"Gyllene" r?t triangel.
En r?tvinklig triangel d?r sidorna ?r relaterade som t:golden" r?t triangel.
Sedan, om vi tar hypotesen som grund att den huvudsakliga "geometriska id?n" f?r Cheopspyramiden ?r den "gyllene" r?tvinkliga triangeln, s? ?r det h?rifr?n l?tt att ber?kna Cheopspyramidens "designade" h?jd. Det ?r lika med:
H \u003d (L / 2) ? \u003d 148,28 m.
L?t oss nu h?rleda n?gra andra relationer f?r Keopspyramiden, som f?ljer av den "gyllene" hypotesen. I synnerhet hittar vi f?rh?llandet mellan pyramidens yttre omr?de och omr?det f?r dess bas. F?r att g?ra detta tar vi l?ngden p? benet CB per enhet, det vill s?ga: CB= 1. Men d? l?ngden p? sidan av pyramidens bas GF= 2, och arean av basen EFGH kommer att vara lika med SEFGH = 4.
L?t oss nu ber?kna arean av Cheopspyramidens sidoyta SD. Eftersom h?jden AB triangel AEF?r lika med t, d? blir arean p? sidoytan lika med SD = t. D? blir den totala arean av alla fyra sidoytorna p? pyramiden lika med 4 t, och f?rh?llandet mellan pyramidens totala yttre yta och basytan kommer att vara lika med det gyllene snittet! Det ?r vad det ?r - Cheopspyramidens huvudgeometriska hemlighet!
Gruppen av "geometriska underverk" i Cheops-pyramiden inkluderar de verkliga och konstruerade egenskaperna hos f?rh?llandet mellan de olika dimensionerna i pyramiden.
Som regel erh?lls de p? jakt efter n?gon "konstant", i synnerhet talet "pi" (Ludolftal), lika med 3,14159...; baser av naturliga logaritmer "e" (Napiers tal) lika med 2,71828...; siffran "F", numret p? det "gyllene snittet", lika med till exempel 0,618 ... osv.
Du kan till exempel namnge: 1) Herodotus egendom: (H?jd) 2 \u003d 0,5 st. huvud x Apotem; 2) Fastighet av V. Pris: H?jd: 0,5 st. osn \u003d kvadratroten av "Ф"; 3) Egenskap f?r M. Eist: Basens omkrets: 2 H?jd = "Pi"; i en annan tolkning - 2 msk. huvud : H?jd = "Pi"; 4) G. Rebers egendom: Radie av den inskrivna cirkeln: 0,5 st. huvud = "F"; 5) K. Kleppishs egendom: (St. main.) 2: 2 (st. main. x Apothem) \u003d (st. main. W. Apothem) \u003d 2 (st. main. x Apothem) : (( 2 st. huvud X Apothem) + (st. huvud) 2). Etc. Du kan komma p? m?nga s?dana egenskaper, s?rskilt om du kopplar ihop tv? angr?nsande pyramider. Till exempel, som "A. Arefievs egenskaper" kan det n?mnas att skillnaden mellan volymerna av Cheops-pyramiden och Khafre-pyramiden ?r lika med tv? g?nger volymen av pyramiden i Menkaure...
M?nga intressanta best?mmelser, s?rskilt om konstruktionen av pyramider enligt det "gyllene snittet" anges i b?ckerna av D. Hambidge "Dynamic Symmetry in Architecture" och M. Geek "Aesthetics of Proportion in Nature and Art". Kom ih?g att det "gyllene snittet" ?r uppdelningen av segmentet i ett s?dant f?rh?llande, n?r del A ?r s? m?nga g?nger st?rre ?n del B, hur m?nga g?nger A ?r mindre ?n hela segmentet A + B. F?rh?llandet A/B ?r lika med siffran "Ф" == 1,618. .. Anv?ndningen av det "gyllene snittet" anges inte bara i enskilda pyramider, utan i hela pyramidkomplexet i Giza.
Det mest m?rkliga ?r dock att en och samma pyramid av Cheops helt enkelt "inte kan" inneh?lla s? m?nga underbara egenskaper. Om du tar en viss egenskap en efter en kan du "justera" den, men p? en g?ng passar de inte - de sammanfaller inte, de mots?ger varandra. D?rf?r, om, till exempel, n?r man kontrollerar alla egenskaper, en och samma sida av pyramidens bas (233 m) initialt tas, s? kommer h?jderna p? pyramider med olika egenskaper ocks? att vara olika. Det finns med andra ord en viss "familj" av pyramider, till det yttre liknar Cheops, men som motsvarar olika egenskaper. Observera att det inte finns n?got s?rskilt mirakul?st i de "geometriska" egenskaperna - mycket uppst?r rent automatiskt, fr?n egenskaperna hos sj?lva figuren. Ett "mirakel" b?r endast betraktas som n?got som ?r uppenbart om?jligt f?r de gamla egyptierna. Detta inkluderar i synnerhet "kosmiska" mirakel, d?r m?tningarna av Keops-pyramiden eller pyramidkomplexet i Giza j?mf?rs med vissa astronomiska m?tningar och "j?mna" tal anges: en miljon g?nger, en miljard g?nger mindre, och s? vidare. L?t oss ?verv?ga n?gra "kosmiska" relationer.
Ett av p?st?endena ?r detta: "om vi delar sidan av pyramidens bas med den exakta l?ngden p? ?ret f?r vi exakt 10 miljondelar av jordens axel." R?kna: dividera 233 med 365, vi f?r 0,638. Jordens radie ?r 6378 km.
Ett annat p?st?ende ?r faktiskt motsatsen till det f?reg?ende. F. Noetling p?pekade att om du anv?nder den "egyptiska armb?gen" som han uppfann, s? kommer sidan av pyramiden att motsvara "sol?rets mest exakta varaktighet, uttryckt till n?rmaste miljarddel av en dag" - 365.540.903.777 .
P. Smiths uttalande: "Pyramidens h?jd ?r exakt en miljarddel av avst?ndet fr?n jorden till solen." ?ven om h?jden p? 146,6 m vanligtvis tas, tog Smith den som 148,2 m. Enligt moderna radarm?tningar ?r den halvstora axeln i jordens omloppsbana 149.597.870 + 1,6 km. Detta ?r det genomsnittliga avst?ndet fr?n jorden till solen, men vid perihel ?r det 5 000 000 kilometer mindre ?n vid aphelium.
Sista nyfikna uttalandet:
"Hur ska man f?rklara att massorna av pyramiderna i Cheops, Khafre och Menkaure ?r relaterade till varandra, som massorna av planeterna Jorden, Venus, Mars?" L?t oss r?kna. Massorna av de tre pyramiderna ?r relaterade till: Khafre - 0,835; Cheops - 1 000; Mikerin - 0,0915. F?rh?llandena mellan massorna av de tre planeterna: Venus - 0,815; Land - 1 000; Mars - 0,108.
S?, trots skepsisen, l?t oss notera den v?lk?nda harmonin i konstruktionen av uttalanden: 1) h?jden p? pyramiden, som en linje "som g?r ut i rymden" - motsvarar avst?ndet fr?n jorden till solen; 2) den sida av pyramidens bas som ?r n?rmast "substratet", det vill s?ga jorden, ?r ansvarig f?r jordens radie och jordens cirkulation; 3) pyramidens volymer (l?s - massor) motsvarar f?rh?llandet mellan massorna av planeterna n?rmast jorden. Ett liknande "chiffer" kan sp?ras till exempel p? bispr?k, analyserat av Karl von Frisch. Vi avst?r dock fr?n att kommentera detta tills vidare.
PYRAMIDernas FORM
Den ber?mda tetraedriska formen p? pyramiderna d?k inte upp omedelbart. Skyterna gjorde begravningar i form av jordkullar - h?gar. Egyptierna byggde "kullar" av sten - pyramider. Detta h?nde f?r f?rsta g?ngen efter enandet av ?vre och Nedre Egypten, p? 2700-talet f.Kr., n?r grundaren av III-dynastin, farao Djoser (Zoser), stod inf?r uppgiften att st?rka landets enhet.
Och h?r spelade, enligt historiker, tsarens "nya koncept av gudomligg?rande" en viktig roll f?r att st?rka centralmakten. ?ven om de kungliga begravningarna k?nnetecknades av st?rre prakt, skilde de sig inte i princip fr?n hovadels gravar, de var samma strukturer - mastabas. Ovanf?r kammaren med sarkofagen som inneh?ll mumien h?lldes en rektangul?r kulle av sm? stenar, d?r en liten byggnad av stora stenblock sedan placerades - "mastaba" (p? arabiska - "b?nk"). P? platsen f?r sin f?reg?ngare, Sanakhts mastaba, reste farao Djoser den f?rsta pyramiden. Den var stegad och var ett synligt ?verg?ngsskede fr?n en arkitektonisk form till en annan, fr?n en mastaba till en pyramid.
P? s? s?tt "uppfostrades" faraon av vismannen och arkitekten Imhotep, som senare ans?gs vara en magiker och av grekerna identifierades med guden Asclepius. Det var som om sex mastabas restes i rad. Dessutom ockuperade den f?rsta pyramiden ett omr?de p? 1125 x 115 meter, med en uppskattad h?jd p? 66 meter (enligt egyptiska m?tt - 1000 "palmer"). F?rst planerade arkitekten att bygga en mastaba, men inte avl?ng, utan kvadratisk i plan. Senare byggdes den ut men eftersom tillbyggnaden gjordes l?gre bildades s? att s?ga tv? trappsteg.
Denna situation tillfredsst?llde inte arkitekten, och p? den ?versta plattformen av en enorm platt mastaba placerade Imhotep tre till, gradvis minskande mot toppen. Graven l?g under pyramiden.
Flera fler stegade pyramider ?r k?nda, men senare gick byggarna ?ver till att bygga mer v?lbekanta tetraedriska pyramider. Men varf?r inte triangul?r eller, s?g, ?ttakantig? Ett indirekt svar ges av det faktum att n?stan alla pyramiderna ?r perfekt orienterade mot de fyra kardinalpunkterna och d?rf?r har fyra sidor. Dessutom var pyramiden ett "hus", ett skal av en fyrkantig gravkammare.
Men vad orsakade lutningsvinkeln p? ansiktena? I boken "Proportionernas princip" ?gnas ett helt kapitel ?t detta: "Vad skulle kunna best?mma pyramidernas vinklar." I synnerhet anges att "bilden till vilken de stora pyramiderna i Gamla kungariket dras ?r en triangel med en r?t vinkel i toppen.
I rymden ?r det en halvoktaeder: en pyramid d?r basens kanter och sidor ?r lika, ytorna ?r liksidiga trianglar. Vissa ?verv?ganden ges om detta ?mne i b?ckerna Hambidge, Geek och andra.
Vad ?r f?rdelen med halvoktaederns vinkel? Enligt beskrivningar av arkeologer och historiker kollapsade vissa pyramider under sin egen tyngd. Det som beh?vdes var en "h?llbarhetsvinkel", en vinkel som var den mest energim?ssigt p?litliga. Rent empiriskt kan denna vinkel tas fr?n vertexvinkeln i en h?g med s?nderfallande torr sand. Men f?r att f? korrekta data m?ste du anv?nda modellen. Genom att ta fyra ordentligt fixerade bollar m?ste du s?tta den femte p? dem och m?ta lutningsvinklarna. Men h?r kan du g?ra ett misstag, d?rf?r hj?lper en teoretisk ber?kning: du b?r koppla ihop bollarnas mitt med linjer (mentalt). Vid basen f?r du en kvadrat med en sida lika med tv? g?nger radien. Fyrkanten kommer att vara bara basen av pyramiden, vars l?ngd kanter ocks? kommer att vara lika med tv? g?nger radien.
En t?t packning av kulor av typen 1:4 kommer allts? att ge oss en vanlig halvoktaeder.
Men varf?r beh?ller m?nga pyramider, som dras mot en liknande form, ?nd? inte den? F?rmodligen h?ller pyramiderna p? att bli gamla. Tv?rtemot det ber?mda tales?ttet:
"Allt i v?rlden ?r r?dd f?r tid, och tiden ?r r?dd f?r pyramiderna", pyramidernas byggnader m?ste ?ldras, de kan och b?r ske inte bara processerna f?r yttre vittring, utan ocks? processerna f?r inre "krympning" , varifr?n pyramiderna kan bli l?gre. Krympning ?r ocks? m?jlig eftersom, som uppt?cktes av D. Davidovits verk, anv?nde de forntida egyptierna tekniken att g?ra block fr?n kalkflis, med andra ord fr?n "betong". Det ?r dessa processer som kan f?rklara orsaken till f?rst?relsen av Medum-pyramiden, som ligger 50 km s?der om Kairo. Den ?r 4600 ?r gammal, basens m?tt ?r 146 x 146 m, h?jden ?r 118 m. ”Varf?r ?r den s? stympad?” fr?gar V. Zamarovsky. ”De vanliga referenserna till tidens destruktiva effekter och ”anv?ndningen av sten f?r andra byggnader” passar inte h?r.
N?r allt kommer omkring ?r de flesta av dess block och motst?ende plattor fortfarande kvar p? plats, i ruinerna vid dess fot. "Som vi kommer att se f?r ett antal best?mmelser en att tro att den ber?mda Cheops-pyramiden ocks?" krympt ". I alla fall , p? alla gamla bilder ?r pyramiderna spetsiga ...
Formen p? pyramiderna kan ocks? genereras genom imitation: vissa naturliga m?nster, "mirakul?s perfektion", s?g, n?gra kristaller i form av en oktaeder.
S?dana kristaller kan vara diamant- och guldkristaller. Ett stort antal "korsande" tecken f?r s?dana begrepp som farao, sol, guld, diamant ?r karakteristiskt. ?verallt - ?del, briljant (briljant), stor, felfri och s? vidare. Likheterna ?r inte tillf?lliga.
Solkulten var som ni vet en viktig del av religionen i det antika Egypten. "Oavsett hur vi ?vers?tter namnet p? den st?rsta av pyramiderna", s?ger en av de moderna l?rob?ckerna, "Sky Khufu" eller "Sky Khufu", betydde det att kungen ?r solen. Om Khufu, i glansen av sin kraft, f?rest?llde sig att han var en andra sol, d? blev hans son Jedef-Ra den f?rsta av de egyptiska kungarna som b?rjade kalla sig "Ras son", det vill s?ga sonen till Sol. Solen symboliserades av n?stan alla folk som "solmetall", guld. "Den stora skivan av ljust guld" - s? kallade egyptierna v?rt dagsljus. Egyptierna k?nde guld mycket v?l, de k?nde till dess inhemska former, d?r guldkristaller kan upptr?da i form av oktaedrar.
Som ett "prov p? former" ?r "solstenen" - en diamant - ocks? intressant h?r. Diamantens namn kom bara fr?n arabv?rlden, "almas" - den h?rdaste, h?rdaste, of?rst?rbara. De gamla egyptierna k?nde till diamanten och dess egenskaper ?r ganska bra. Enligt vissa f?rfattare anv?nde de till och med bronsr?r med diamantsk?rare f?r att borra.
Sydafrika ?r nu huvudleverant?ren av diamanter, men V?stafrika ?r ocks? rikt p? diamanter. Republiken Malis territorium kallas till och med "Diamond Land" d?r. Under tiden ?r det p? Malis territorium som Dogon bor, med vilka anh?ngarna av paleovisithypotesen st?ller m?nga f?rhoppningar (se nedan). Diamanter kunde inte vara orsaken till de gamla egyptiernas kontakter med denna region. Men p? ett eller annat s?tt ?r det m?jligt att det var just genom att kopiera oktaedrarna av diamant- och guldkristaller som de forntida egyptierna gudade faraonerna, "of?rst?rbara" som diamant och "briljanta" som guld, solens s?ner, j?mf?rbara. bara med naturens mest underbara skapelser.
Slutsats:
Efter att ha studerat pyramiden som en geometrisk kropp, bekantat oss med dess element och egenskaper, var vi ?vertygade om giltigheten av ?sikten om sk?nheten i pyramidens form.
Som ett resultat av v?r forskning kom vi till slutsatsen att egyptierna, efter att ha samlat den mest v?rdefulla matematiska kunskapen, f?rkroppsligade den i en pyramid. D?rf?r ?r pyramiden verkligen den mest perfekta skapelsen av naturen och m?nniskan.
BIBLIOGRAFI
"Geometri: Proc. f?r 7-9 celler. Allm?n utbildning institutioner \, etc. - 9:e uppl. - M .: Education, 1999
Matematikens historia i skolan, M: "Upplysning", 1982
Geometri ?rskurs 10-11, M: "Upplysning", 2000
Peter Tompkins "Secrets of the Great Pyramid of Cheops", M: "Centropoligraph", 2005
Internetresurser
http://veka-i-mig. *****/
http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm
http://www. *****/enc/54373.html
