(10.2) lygtis nustato ry?? tarp elektrostatinio lauko potencialo ir ?io lauko stiprumo. I? ?ios lygties galima nustatyti ry?? tarp potencialo ir kr?vio tankio. Nor?dami tai padaryti, turite sudaryti abiej? ?ios lygties dali? skirtumus ir tada naudoti formul? (6.5):

Pagal vektorin?s analiz?s taisykles [?r. lygtis (40]

tod?l lygt? (11.1) galima para?yti taip:

?i diferencialin? lygtis vadinama Puasono lygtimi. Tose lauko vietose, kur n?ra elektros kr?vi?

?i lygtis virsta taip:

?i konkreti Puasono lygties forma vadinama Laplaso lygtimi.

Puasono lygtis leid?ia nustatyti erdv?s kr?vi? lauko potencial?, jei ?inoma ?i? kr?vi? vieta. ?ios diferencialin?s lygties sprendimas (integralas) (esant tam tikroms ribin?ms s?lygoms) akivaizd?iai tur?t? sutapti su anks?iau gauta formule (8.8):

Toliau tai ?rodysime tiesioginiu skai?iavimu. Kol kas pastebime, kad sprend?iant kai kuriuos u?davinius patogiau vadovautis ne integralu (8.8), o tiesiai i? diferencialin?s lygties (11.3).

Pavyzdys. Nustatykite termin?s srov?s tank? tarp dviej? begalini? plok??i? elektrod? vakuume. ?is Puasono lygties taikymo pavyzdys paimtas ne i? elektrostatikos, o i? srov?s teorijos ir turi didel? reik?m? katodini? (stiprinan?i?) lemp? teorijai.

Yra ?inoma, kad ?kait? metalai i? savo pavir?iaus ? aplinkin? erdv? i?skiria laisv?j? elektron? sraut?. Jei dviem metaliniams elektrodams taikomas tam tikras potencial? skirtumas, o neigiamas elektrodas (katodas) yra ?kaitintas, tada kar?tojo katodo nuolat skleid?iami elektronai bus pritraukti prie teigiamo elektrodo (anodo) pavir?iaus. Elektron? srautas, judantis nuo katodo iki anodo, prilygsta elektros srovei. ?i srov? vadinama termone.

Dekarto koordina?i? a?is parenkame taip, kad j? prad?ia b?t? prie katodo, o x a?is b?t? statmena elektrod? plok?tumai ir nukreipta ? anod?. Katodo potencial? imame lyg? nuliui, o anodo potencial? – lyg? I? simetrijos svarstym? ai?ku, kad ekvipotencial? pavir?iai yra lygiagret?s elektrodams, tod?l Puasono lygtis erdv?je tarp elektrod? ?gauna form?

Jeigu ?ym?sime elektron? skai?iumi t?rio vienete erdv?je tarp elektrod? atstumu x nuo katodo ir absoliu?ia elektron? kr?vio verte, tai kr?vio tankis per

?is atstumas bus:

Paprastumo d?lei darykime prielaid?, kad katodo skleid?iami elektronai, palikdami jo pavir?i?, neturi pradinio grei?io. Pakeliui nuo katodo iki anodo elektrinio lauko j?gos dirbs su kr?vio elektronais – tai akivaizd?iai pavirs elektron? jud?jimo kinetine energija. Pa?ym?dami elektrono greit?, esant? x atstumu nuo katodo, ir per potencial?, esant? tokiu pat atstumu, gauname

kur 771 yra elektrono mas?. Galiausiai elektros srov?s tankis, ty kr?vis, tekantis per laiko vienet? per plot?, statmen? srovei (t. y. plotas, statmenas a?iai in, yra akivaizd?iai lygus:

nes yra elektron?, praeinan?i? per laiko vienet? per ?i? srit?, skai?ius. Prie?ingai nei srov?s tankis, tai pastovi reik?m?, kuri nepriklauso nuo x, nes pasiekus stacionari? b?sen?, akivaizdu, kad per bet kuri? elektrodams lygiagre?i? plok?tum? praeina tiek pat elektron?.

I? (11.5) lygties i?skirkime visas ne?inomas funkcijas x, i?skyrus Vis? pirma

Ta?iau i? (11.6) i?plaukia, kad

tai yra,

Pristatome ?ym?jim? A – gauname

Lengva patikrinti pakeitimu i? ?ios diferencialin?s lygties sprendini?, kuri, atsi?velgiant ? problemos s?lyg?, i?nyksta prie katodo ir, be to, tenkina s?lyg?

Jei ?ymime atstum? nuo anodo iki katodo per I, tada potencialas tur?t? virsti Tod?l

Taigi termojonin?s srov?s tankis nepakl?sta Omo d?sniui, o auga proporcingai 3/2 elektrodams taikomos ?tampos galiai ir atvirk??iai – atstumo tarp j? kvadratui. ?is skirtumas tarp termin?s srov?s d?sni? ir srov?s d?sni? metaluose yra d?l dviej? prie?as?i?. Pirma, metaluose esantys elektronai susiduria su teigiamais jonais, kurie sudaro tvirt? metalo karkas? ir d?l to patiria pasiprie?inim? j? jud?jimui, kurio n?ra judant vakuume 1). Antra, esant terminei srovei erdv?je tarp elektrod? yra tik laisvieji elektronai, kuri? kr?vio nekompensuoja teigiam? jon? kr?vis, kaip b?na metaluose, d?l ko ?io so. vadinamas „erdviniu kr?viu“, i?kreipia elektrod? lauk?.

Atkreipkite d?mes?, kad formul? (11.9) nustoja galioti esant dideliam srov?s tankiui 2). Padid?jus anodo potencialui, ateina momentas, kai visi katodo i?laisvinti elektronai i? karto pritraukiami prie anodo. Tolesnis anodo potencialo padid?jimas akivaizd?iai negali padidinti srov?s tankio, kuris taip pasiekia pastovi? vert? (sotinimo srov?).

10 u?davinys. Tegul yra duoto erdv?s ta?ko atstumas nuo kurio nors savavali?kai pasirinkto prad?ios ta?ko Parodykite, kad skaliarinis

tenkina Laplaso lygt?

Esm? nenagrin?jama.

11 u?davinys. Begalin? plok??ia 2a storio plok?tel? tolygiai ?kraunama t?rio tankio elektra, x a?is statmena plok?tei, koordina?i? prad?ia yra vidurin?je plok?tumoje, vienodu atstumu nuo abiej? plok?t?s pavir?i?. Parodykite, kad lauko potencialas plok?t?s viduje ir i?or?je yra atitinkamai lygus:

o vektorius yra nukreiptas i?ilgai x a?ies nuo vidurin?s plok?tumos ir yra skaitiniu po?i?riu lygus:

Palyginkite ?? atvej? su ribiniu begalinio kr?vio plok?tumos atveju (§ 4).

12 u?davinys. Raskite rutulio, vienodai ?krauto per jo t?r?, lauko potencial? [formul? (8.12)], remiantis Puasono lygtimi sferin?mis koordinat?mis.

Yra daug atvej?, kai patogiausias lauko stiprumo nustatymo b?das yra potencialo diferencialin?s lygties sprendimas. Gav? j?, kaip pagrind? taikome Ostrogradskio-Gausso teorem? diferencine forma:

?ia r yra kr?vio pasiskirstymo tankis, e 0 yra elektrin? konstanta, d i v E -> = ? -> E -> = ? E x ? x + ? E y ? y + ? E z ? z yra stiprumo vektoriaus ir i?rai?ka, susijusi su lauko stiprumu ir potencialu.

Pakeiskime (2) ? (1):

Atsi?velgiant ? tai, kad d i v g r a d f = ? 2 f = ? 2 f ? x 2 + ? 2 f ? y 2 + ? 2 f ? z 2 , kur ? = ?, 2 yra La: (vieta)

I?rai?ka (4) vadinama vakuumo Puasono lygtimi. Be mokes?i?, jis bus para?ytas kaip Laplaso lygtis:

Rad? potencial? pereiname prie intensyvumo skai?iavimo naudojant (2) . Puasono lygties sprendimai turi atitikti ?iuos reikalavimus:

• potencialo vert? kaip nuolatin? funkcija;
• potencialas turi b?ti baigtin? funkcija;
• potencialo, kaip koordina?i? funkcijos, i?vestin?s turi b?ti baigtin?s.

Esant koncentruotiems kr?viams V t?ryje, (4) lygties sprendimas bus i?reik?tas formos potencialui:

1 apibr??imas

Bendroji elektrostatikos problema yra suma?inta iki diferencialin?s lygties, tai yra Puasono lygties, atitinkan?ios auk??iau nurodytus reikalavimus, sprendimo. Teoriniai skai?iavimai ?inomi nedaugeliui ypating? atvej?. Jei ?manoma pasirinkti s?lygas f tenkinan?i? funkcij?, tai yra vienintelis sprendimas.

Tokiose problemose ne visada b?tina nurodyti kr?vius ar potencialus visoje erdv?je. Norint rasti elektrin? lauk? ertm?je, apsuptoje laidaus apvalkalo, pakanka apskai?iuoti joje esan?i? k?n? lauk?.

Bet kuris apribotos srities Puasono lygties sprendinys gali b?ti nustatytas ribin?mis s?lygomis, kurios yra nustatytos sprendinio elgsenai. Per?jimo i? vienos aplinkos ? kit? ribos turi b?ti ?vykdytos:

E 2 n - E 1 n = 4 p s arba ? f 1 ? n - ? f 2 ? n = 0 .

E 1 t = E 2 t .

kur s – laisv?j? kr?vi? pavir?iaus ertm?, n – s?sajos normal?s vienetinis vektorius, nubr??tas nuo 1 iki 2, t – s?sajos liestin?.

?ios lygtys i?rei?kia ?prast? stiprumo vektoriaus komponent? ?uol? ir elektrinio lauko stiprumo vektoriaus liestin?s t?stinum?, kai jis praeina per bet kur? ?kraut? pavir?i?, neatsi?velgiant ? jo form? ir kr?vi? buvim? ar nebuvim? u? jo rib?.

Puasono lygtis sferin?mis, polin?mis ir cilindrin?mis koordinat?mis

Lygt? galima para?yti naudojant Dekarto koordinates, taip pat sferines, cilindrines, polines.

Esant sferiniams r, th, y, Puasono lygtis bus para?yta taip:

1 r 2 ? ? r r 2 ? f ? r + 1 r 2 sin th ? th sin th ? f ? th + ? 2 f r 2 sin 2 th ? f 2 = - 01 r .

Poliariniame r, th:

1 r ? ? r r ? f ? r + ? 2 f r 2 ? th 2 = - 1 e 0 r .

Cilindrin?s formos r, y, z:

1 r ? ? r r ? f ? r + ? 2 f ? z 2 + ? 2 f r 2 ? y 2 = - 1 e 0 r .

1 pavyzdys

Raskite lauk? tarp bendraa?i? cilindr?, kuri? spinduliai r 1 ir r 2 ir kuri? potencial? skirtumas ? U = f 1 - f 2 .

Paveiksl?lis 1

Sprendimas

Laplaso lygt? b?tina u?fiksuoti cilindrin?mis koordinat?mis, atsi?velgiant ? a?in? simetrij?:

1 r ? ? r r ? f ? r = 0 .

Sprendimas turi form? f = - A ln (r) + B . Nor?dami tai padaryti, pasirinkite norimo cilindro nulin? potencial?, tada:

f (r 2) \u003d 0 \u003d - A ln r 2 + B, tod?l

f (r 1) = ? U = - A ln r 1 + B , gauname:

A = ? U ln r 2 r 1 .

Po konvertavimo:

f (r) = - ? U ln r 2 r 1 ln (r) + ? U ln r 2 r 1 ln r 2 .

Atsakymas: lauk? su dviem bendraa?iais cilindrais galima pateikti funkcija f (r) = - ? U ln r 2 r 1 ln (r) + ? U ln r 2 r 1 ln r 2 .

2 pavyzdys

Raskite lauko, kuris sukuria be galo apval? cilindr?, kurio spindulys R ir t?rio kr?vio tankis r, potencial?. Naudokite Puasono lygt?.

Sprendimas

B?tina nukreipti Z a?? i?ilgai cilindro a?ies. Matyti, kad cilindrinis kr?vio pasiskirstymas yra a?ies simetri?kas, potencialas turi toki? pa?i? simetrij?, kitaip tariant, jis laikomas f (r) funkcija, kur r yra atstumas nuo cilindro a?ies. Sprendime naudojama cilindrin? koordina?i? sistema. Jame esanti Puasono lygtis bus para?yta taip:

f 2 = C 2 ln r + C " 2 .

C 1 , C " 1 , C 2 , C " 2 yra integravimo konstantos. Turime, kad potencialas visuose ta?kuose turi b?ti baigtinis, o l i m r -> 0 ln r = ? . I? to i?plaukia, kad C 1 = 0 . Toliau reikia normalizuoti potencial? naudojant s?lyg? f 1 (0) = 0 . Gauname C " 1 = 0 .

Pavir?iaus kr?vi? n?ra, tod?l elektrinio lauko stipris rutulio pavir?iuje yra nuolatinis. Tod?l potencialo i?vestin? taip pat yra i?tisin?, kai r = R, kaip ir pats potencialas. Atsi?velgiant ? s?lygas, galite rasti C 2, C " 2:

C 2 ln R + C " 2 = - 1 4 r e 0 R 2 .

C 2 R = - 1 2 r e 0 R .

Taigi gautos i?rai?kos ra?omos taip:

Atsakymas: lauko potencialas yra:

Jei tekste pasteb?jote klaid?, pa?ym?kite j? ir paspauskite Ctrl+Enter

Gauso teorema taikoma tik paprastos konfig?racijos k?nams. Puasono – Laplaso lygtis leid?ia i?spr?sti daug sud?tingesnes problemas, ?ios lygtys naudojamos visuose stacionariuose laukuose, tiek elektriniuose, tiek magnetiniuose.

I?imkime skirtumo ?enklo ?enkl? „-“:

.

Pakeiskime div ir grad ant :

.

yra Puasono lygtis;

– Laplaso lygtis;

- Laplasas.

Dekarto koordina?i? sistemoje:

– Laplaso lygtis;

yra Puasono lygtis.

Jeigu priklauso tik nuo 1-os koordinat?s, tada u?davinys sprend?iamas 2 kartus integruojant per ?i? koordinat?, turint 2 ir daugiau koordina?i?, yra special?s lygties sprendimo b?dai: tinklelio metodas, skaitinis skai?iavimo metodas.

Sprendimo unikalumo teorema

Elektrin? lauk? apib?dinanti Puasono-Laplaso lygtis yra dalin? diferencialin? lygtis. Tod?l yra daug vienas nuo kito nepriklausom? sprendim?.

Sprendimui yra unikalumo teorema:

I? viso funkcij? rinkinio, atitinkan?io Puasono-Laplaso lygt?, yra tik viena, kuri tenkina ribines s?lygas.

I? to i?plaukia dvi pasekm?s:

Laukas tam tikroje erdv?s dalyje nepasikeis, jei mokes?iai bus perskirstomi kitoje s?sajos pus?je tarp dviej? laikmen?, kad ribin?s s?lygos nepasikeist?

Ekvipotencial? pavir?i? galima pakeisti metaliniu, pastarajam suteikiant tam tikr? potencial?.

Veidrodinio vaizdo metodas

Jei elektros kr?viai yra ?alia dviej? skirting? terpi? ribos, tai lauko vektorius gali b?ti nustatytas taikant dirbtin? skai?iavimo metod?, kuris vadinamas veidrodinio vaizdo metodu.

Metodo id?ja yra ta, kad vietoj nehomogeni?kos terp?s atsi?velgiama ? vienalyt? terp?, o ? nehomogeni?kumo ?tak? atsi?velgiama ?vedant fiktyvius mokes?ius, u?ra?omos pagrindin?s problemos ribin?s s?lygos ir jas naudojant randami reikiami lauko vektoriai. ?is metodas yra patogiausias dviej? taisyklingos formos laikmen? s?sajai apskai?iuoti.

Skai?iavimas dviej? laikmen? s?sajoje

?krautos a?ies laukas, esantis ?alia laid?iosios plok?tumos

(Dielektrikas – laidininkas)

?krauta a?is yra dielektrike lygiagre?iai laid?ios terp?s pavir?iui. B?tina nustatyti lauko pob?d? vir?utin?je pusplok?tumoje (dielektrikas).

D?l elektrostatin?s indukcijos laidaus k?no pavir?iuje atsiranda kr?viai. J? tankis kinta kei?iantis koordinat?ms x. ?ie mokes?iai veikia lauk? ir ? j? ?tak? reikia atsi?velgti. Labai sunku atsi?velgti ? kr?vi?, atsiradusi? ant laid?iojo k?no pavir?iaus d?l elektrostatin?s indukcijos, ?tak?, nes b?tina ?inoti j? pasiskirstymo laid?iojo k?no pavir?iuje d?sn?. ?i? problem? galima nesunkiai i?spr?sti naudojant veidrodinio vaizdo metod?. Pagal metod?, ? kr?vi?, esan?i? laid?iojo k?no pavir?iuje, ?tak? atsi?velgiama ?vedant fiktyv? koncentruot? kr?v?, esant? veidrodiniame vaizde ribos at?vilgiu, tuo tarpu daroma prielaida, kad visa erdv? u?pildyta dielektriku. . I?galvotas kr?vis absoliu?ia reik?me yra lygus tikrajam ir turi prie?ing? ?enkl?.

?rodykime tai. Lauko stiprumas i? dviej? ?krovim?
ir
bet kuriame lauko ta?ke turi tik komponent?, normal? ribai (ribin? s?lyg?
). Kiekvienos a?ies potencialas atitinka Laplaso lygt?
(s?skaitos i?vedimas. Bessonov TOE p. 42 (?krautos a?ies potencialo formul? pakei?iama Laplaso lygtimi cilindrin?je koordina?i? sistemoje)). Remiantis sprendinio unikalumo teorema, gautas sprendimas yra teisingas.

?krauta a?is yra dielektrike lygiagre?iai laid?ios terp?s pavir?iui. B?tina nustatyti elektrostatinio lauko stiprum? ir potencial? ta?ke A.

Taikome veidrodini? vaizd? metod?. O lauko stiprum? ir potencial? ta?ke A rasime superpozicijos metodu

;

;

;
.

u? ta?k?
:
.

Nustatykite laido pritraukimo j?g? prie laid?io pavir?iaus:

.

?krautos a?ies laukas, esantis ?alia plok??ios s?sajos tarp dviej? skirting? pralaidum? turin?i? dielektrik?

(Dielektrikas – dielektrikas)

?iuo atveju s?sajoje indukuoti nekompensuoti suri?tieji kr?viai paveikia lauk? abiejose sferose; jiems atsiskaityti ?vedami du fiktyv?s kr?viai. ?ioje u?duotyje turi b?ti ?vykdytos dvi ribin?s s?lygos.

a) Jei tikrasis laidas ir tiriamas ta?kas yra toje pa?ioje terp?je, tada laukas apskai?iuojamas i? dviej? kr?vi?: realus , visa erdv? u?pildyta dielektriku, kuriame yra tiriamas ta?kas.

b) Jei tikrasis laidas ir tiriamas ta?kas yra skirtingose terp?se, tada laukas bet kuriame apatin?s pus?s erdv?s ta?ke apibr??iamas kaip laukas nuo papildomo kr?vio. . Visa erdv? u?pildyta terp?s, kurioje yra tiriamas ta?kas, dielektriku.

I? lauko stiprumo tangentini? komponent? lygyb?s s?lygos:

.

I? elektrinio poslinkio vektoriaus normali?j? komponent? lygyb?s s?lygos:

.

.

Spr?sdami kartu, gauname:

;

;
.

Pasira?yti der?s su jeigu
.

Pasira?yti visada bus kaip .

?krauta a?is yra dielektrike lygiagre?iai kito dielektriko pavir?iui. Reikia nustatyti elektrostatinio lauko stiprum? ir potencial? ta?kuose A ir B. Leiskite
.

Apsvarstykite ta?k? A. Jis yra toje pa?ioje terp?je su ?krauta a?imi. Mes naudojame veidrodini? atspind?i? metod?. Visk? u?pildome terpe, kurios dielektrin? konstanta . Laukas apskai?iuojamas i? dviej? mokes?i?: realus ir veidrodinis fiktyvus mokestis . Taikome veidrodini? vaizd? metod?. Lauko stiprum? ir potencial? ta?ke A nustatome superpozicijos metodu:

;

;

;
.

Paimkime ta?k? su nuliniu potencialu s?sajoje po vienu i? laid?

.

Apsvarstykite ta?k? B. Jis yra skirtingose terp?se su ?krauta a?imi. Mes naudojame veidrodini? atspind?i? metod?. Visk? u?pildome terpe, kurios dielektrin? konstanta . Laukas skai?iuojamas i? fiktyvaus mokes?io , esantis tame pa?iame ta?ke, kur buvo tikrasis kr?vis .

;

.

Pastaba: jei tiriamas ta?kas yra ant laido pavir?iaus, tada atstumas nuo laido iki tiriamo ta?ko yra lygus laido spinduliui.

Ta?kinis mokestis netoli ribos

Dielektrikas – laidininkas ir dielektrikas – dielektrikas

Jei laukas sukuriamas ne ?krauta a?imi, o ta?kiniu kr?viu, tada i?saugoma visa skai?iavimo proced?ra.

Ta?kinis kr?vis yra ?alia dielektriko ir laidininko s?sajos. Raskite lauko stiprum? ir potencial? ta?ke A.

?vietimo tikslais nor??iau pakalb?ti apie lygtis, kurios buvo naudojamos i?vedant Debye-H?ckel lygt?. Tai yra Puasono lygtis ir Boltzmann skirstinys.

Puasono lygtis

Mes nustat?me, kad pusiausvyros b?senoje plazma yra beveik neutrali ir kad veikiant elektriniam laukui i? judan?i? kr?vi?, ?krautos dalel?s pasislenka pagal Debye ilg? ir laukas per ?? ilg? nyksta. Elektrostatikoje ?kraut? daleli? s?veika apib?dinama Kulono lygtimi:

Kur yra s?veikaujan?i? ta?kini? kr?vi? reik?m?s, yra atstumo tarp kr?vi? kvadratas. Koeficientas k yra konstanta. Jei sistem? naudosime CGS elektrostatiniais vienetais, ?ymimais CGSEq, tada k = 1. Jei naudojama SI sistema, tai , kur yra terp?s, kurioje yra kr?viai, dielektrin? konstanta, yra elektrin? konstanta, lygi 8,86 ? .

Fizikoje j?ga n?ra tiesiogiai naudojama, ta?iau ?vedama paskirstyt? kr?vi? elektrostatinio lauko s?voka ir laukas matuojamas pagal dyd? elektrinio lauko stiprumas. Nor?dami tai padaryti, kiekviename lauko ta?ke mintyse dedamas vienas bandomasis kr?vis ir i?matuojama j?ga, kuria kr?vi? laukas veikia bandom?j? kr?v?:

Taigi, jei ? ?i? lygt? pakeisime Kulono j?g?, gausime:
Ta?iau fizikai taip pat neapsiriboja tuo, nor?dami visi?kai apib?dinti elektrin? lauk?. Apsvarstykite vienetin? kr?v?, esant? elektrostatiniame lauke. Laukas atlieka ?? kr?v? perkeldamas elementariu atstumu ds nuo ta?ko P1 ? ta?k? P2:
Reik?m? vadinama potencial? skirtumu arba ?tampa. ?tampa matuojama voltais. Minuso ?enklas rodo, kad pats laukas atlieka teigiamo kr?vio vienet?. J?gos, judan?ios kr?vius, yra konservatyvios, nes darbas, atliktas u?darame kelyje, visada yra lygus nuliui, nesvarbu, kuriuo keliu kr?vis juda.

I? to i?plaukia gili potencial? skirtumo prasm?. Jei fiksuosime ta?k? P1 ir perkelsime kr?v? ? kintam?j? ta?k? P2, tai darbas priklauso tik nuo antrojo ta?ko P2 pad?ties. Taigi galime pristatyti potencialo s?vok?. Potencialas yra j?gos funkcija, parodanti, kiek darbo reikia atlikti laukui, kad kr?vis b?t? perkeltas i? begalyb?s ? tam tikr? ta?k? P2, kur potencialas begalyb?je s?lyginai laikomas nuliu.

Nor?dami suprasti Puasono lygt?, turite suprasti „ypating?j?“ vektorin? matematik?. Trumpai pakalb?siu apie tokias s?vokas kaip lauko gradientas ir divergencija (manoma, kad skaitytojas yra susipa?in?s su matematine analize)
Tegul f(x,y,z) yra kokia nors nuolatin? diferencijuojamoji koordina?i? funkcija. ?inodami jo dalines i?vestines kiekviename erdv?s ta?ke, galite sukurti vektori?, kurio komponentai x, y, z yra lyg?s atitinkamoms dalin?ms i?vestin?ms:

kur yra atitinkam? a?i? x, y, z vienetiniai vektoriai. Piktograma skaitoma „nabla“ ir yra diferencialo operatorius
?? operatori? ? matematik? ?ved? Hamiltonas. Naudodami nabla galite atlikti ?prastas matematines operacijas, pvz., bendr? sandaug?, ta?kin? sandaug?, kry?min? sandaug? ir pan.

Dabar gr??kime prie elektrostatinio lauko E. Viena vertus, potencialo pokytis judant i? vieno ta?ko ? kit? turi toki? form?:

Kita vertus, pagal formul? (*)
Taikant k? tik ?vest? gradiento s?vok?, ?i formul? transformuojama ?:
Dabar panagrin?kime toki? s?vok? kaip lauko divergencija. Apsvarstykite savavali?kos formos baigtin? u?dar? t?r? V (?r. paveiksl?l? ?emiau). Pa?ymime ?io pavir?iaus plot? S. Visas vektoriaus F srautas, i?einantis i? ?io t?rio, pagal apibr??im? yra lygus
, kur da yra be galo ma?as vektorius, kurio dydis lygus ma?o pavir?iaus S elemento plotui, o kryptis sutampa su ?io elemento normalia ? i?or?.
Paimkime ?? vektoriaus F sraut? ir padalinkime j? i? t?rio ir raskime rib?, nes ji linkusi ? nul?, t.y. sutrauksime t?r? iki be galo ma?o ta?ko.

Mes pri?jome prie divergencijos sampratos. Skirtumas ?ymimas simboliu div ir yra vektoriaus F srauto ir t?rio V santykis, kai V linksta ? nul?.

Prie? parodant, kaip gaunama Puasono lygtis, svarbu ?inoti Gauso d?sn? ir Gauso teorem?. ?sivaizduokite sfer?, kurios viduje yra kr?vis q. Kr?vis sukuria aplink save elektrin? lauk?, kurio intensyvumas E. Paimkite vektoriaus E sraut?

kur S yra m?s? sferos plotas, lygus . Vadinasi
Tai Gauso d?snis, kuris teigia, kad elektrinio lauko E srautas per bet kur? u?dar? pavir?i? yra lygus viso pavir?iaus padengto kr?vio sandaugai:
kur yra erdv?s kr?vio tankis, t.y. elektros kr?vio vert? t?rio vienetui ir yra elementarus t?ris, paskirstytas m?s? u?daro t?rio viduje.

Gauso teorema (pilnas pavadinimas yra Gauso-Ostrogradskio teorema) yra grynai matematin? divergencijos teorema. Perra?ykime vis? vektoriaus F sraut? taip:

Riboje, kai N -> ?, ->0, skliausteliuose esanti reik?m? tampa skirtumu, o suma patenka ? t?rio integral?:
Tai yra Gauso teorema ir tikrai svarbiausia lauko teorijos formul?. Taikykime ?i? teorem? elektrostatiniam laukui. Viena vertus, pagal Gauso d?sn?
Ir, kita vertus, pagal Gauso teorem? (tik nepainiokite teoremos su Gauso d?sniu):
Sujung? paskutines dvi lygtis, gauname:
Prisiminkite formul? (**) ir vietoj E ?ia pakeiskite lauko potencial?
Gradiento divergencija yra naujas operatorius, kuris matematikoje vadinamas Laplaso operatoriumi arba sutrumpintai Laplaso operatoriumi. Laplasietis ?ymimas nabla piktograma taip ir yra lygus
Perra?ykime ankstesn? formul? Laplaso forma:
Galiausiai turime Puasono lygt?. Pirmajame straipsnyje ?i lygtis buvo ?iek tiek kitokia, atsi?velgiant ? terp?s dielektrin? konstant?. Prisiminkite Kulono j?g? SI sistemoje, yra konstanta. Atitinkamai, Gauso ?statyme bus ne, o koeficientas. Taigi gauname Puasono lygt? tokia forma, kokia pateikta ankstesniame straipsnyje
Taigi i? esm?s Puasono lygtis yra Kulono d?snis (tiksliau Gauso d?snis), perra?ytas kita forma, vektorin?s diferencialin?s analiz?s ?ym?jime.

I?nagrin?sime svarb? matematin?s statistikos skirstin? – Boltzmanno skirstin?.

?ymos:

• fizika
• elektrostatika

Prid?ti ?ymes

Puasono ir Laplaso lygtys yra pagrindin?s elektrostatikos lygtys. Jie i?plaukia i? Gauso teoremos diferencine forma. Tiesa, tai ?inoma E = - grad j. Tuo pa?iu metu pagal Gauso teorem?

Pakeisti ? (11.22) E nuo (11.7). Gauk

.

I? divergencijos ?enklo i?imkime minus?

.

U?uot ra??s gradj, ra?ome jo atitikmen? ?j. Vietoj div para?ykime ?. Tada

Lygtis (11.27) vadinama Puasono lygtimi. Tam tikra Puasono lygties forma, kai r svb =0, vadinama Laplaso lygtimi. Laplaso lygtis para?yta taip:

Operatorius vadinamas Laplaso operatoriumi arba Laplaso operatoriumi ir kartais taip pat ?ymimas simboliu D. Tod?l kartais galite rasti toki? Puasono lygties ra?ymo form?:

Atidarykime j? Dekarto koordina?i? sistemoje. ?iuo tikslu ra?ome dviej? faktori? sandaug? ? ir i?pl?stine forma

Atliekame termin? daugyb? ir gauname

.

Taigi Puasono lygtis Dekarto koordina?i? sistemoje bus para?yta taip:

. (11.29)

Laplaso lygtis Dekarto koordinat?mis

. (11.30)

Pateikiame be i?vedimo i?rai?k? ? 2 j cilindrin?je koordina?i? sistemoje

, (11.31)

sferin?mis koordinat?mis (11.32)

Puasono lygtis pateikia ry?? tarp antros eil?s dalini? i?vestini? j bet kuriame lauko ta?ke ir laisv?j? kr?vi? t?rinis tankis ?iame lauko ta?ke. Tuo pa?iu potencialas j bet kuriame lauko ta?ke, ?inoma, priklauso nuo vis? lauk? sukurian?i? kr?vi?, o ne tik nuo laisvo kr?vio, esan?io tam tikrame ta?ke, dyd?io.

Laplaso lygtis (1780) i? prad?i? buvo taikoma potencialiems laukams dangaus mechanikoje apib?dinti, o v?liau – elektriniams laukams apib?dinti. Potenciali? lauk? (elektrini? ir magnetini?) tyrimui Puasono lygtis taikoma nuo 1820 m.

Apsvarstykite klausim?, kaip Puasono lygties sprendimas gali b?ti para?ytas bendra forma. ?leiskite t?r? V yra t?riniai (r), pavir?iniai (-iai) ir linijiniai (t) kr?viai. ?iuos mokes?ius pristatome kaip ta?kini? mokes?i? rinkinius rdv, sds, tdl; dV- t?rio elementas, ds- ?krautas pavir?iaus elementas, dl- ?krautos a?ies ilgio elementas. Potencialus komponentas dj tam tikrame erdv?s ta?ke toli nuo rdV per atstum? R, pagal formul? (11.20) yra lygus

Pavir?iaus ir linijini? kr?vi? potencialo komponentai, laikydami juos ta?kiniais, apibr??iame pana?iai:

Pilna vert? j apibr??iamas kaip potencialo komponent? suma (integralas) i? vis? lauko kr?vi?:

. (11.33)

Formul?je (11.33) r,s ir t yra spindulio funkcijos R. Praktikoje formul? (11.33) naudojama retai, nes skirstinys s ant pavir?iaus t ilgio ir r t?ris sud?tingai priklauso nuo elektrod? konfig?racijos ir, kaip taisykl?, prie? skai?iavim? ne?inomas. Kitaip tariant, ne?inoma, kaip r, s ir t priklauso nuo spindulio R.

Pasienio s?lygos

Kra?tin?s s?lygos yra s?lygos, kurioms laukas pakl?sta skirting? elektrini? savybi? terpi? s?sajose. Nagrin?jant skyri? „Pereinamieji procesai“ i?skirtinai didel? reik?m? tur?jo pradini? s?lyg? ir komutacijos d?sni? klausimas. Pradin?s s?lygos ir perjungimo d?sniai leido nustatyti integravimo konstantas sprend?iant u?davinius klasikiniu metodu. Klasikiniame metode jie buvo naudojami ai?kiai, operatoriaus – pasl?pta forma. Nenaudojant j? ne?manoma i?spr?sti jokios trumpalaiki? proces? u?duoties.

Galima br??ti paralel? tarp kra?tini? s?lyg? vaidmens elektriniame (ir bet kuriame kitame) lauke ir pradini? s?lyg? bei perjungimo d?sni? vaidmens pereinamuose procesuose. Integruojant Laplaso (arba Puasono) lygt?, integravimo konstantos pateks ? sprendim?. Jie nustatomi pagal ribines s?lygas. Prie? prad?dami i?samiai aptarti ribines s?lygas, panagrin?kime lauko laid?iojo k?no viduje elektrostatin?mis s?lygomis klausim?.