Did?iausias bendras daliklis ir ma?iausias bendras kartotinis yra pagrindin?s aritmetin?s s?vokos, leid?ian?ios lengvai operuoti su paprastosiomis trupmenomis. LCM ir da?niausiai naudojami keli? trupmen? bendram vardikliui rasti.

Pagrindin?s s?vokos

Sveikojo skai?iaus X daliklis yra kitas sveikas skai?ius Y, i? kurio X dalijasi be liekanos. Pavyzd?iui, 4 daliklis yra 2, o 36 yra 4, 6, 9. Sveikojo skai?iaus X kartotinis yra skai?ius Y, kuris dalijasi i? X be liekanos. Pavyzd?iui, 3 yra 15 kartotinis, o 6 yra 12 kartotinis.

Bet kuriai skai?i? porai galime rasti bendrus j? daliklius ir kartotinius. Pavyzd?iui, 6 ir 9 bendras kartotinis yra 18, o bendras daliklis yra 3. Akivaizdu, kad poros gali tur?ti kelis daliklius ir kartotinius, tod?l skai?iavimuose naudojamas did?iausias GCD daliklis ir ma?iausias LCM kartotinis. .

Ma?iausias daliklis neturi prasm?s, nes bet kuriam skai?iui jis visada yra vienas. Did?iausias kartotinis taip pat neturi prasm?s, nes kartotini? seka linkusi ? begalyb?.

GCD radimas

Yra daug b?d?, kaip rasti did?iausi? bendr? dalikl?, i? kuri? ?inomiausi yra ?ie:

• nuoseklus dalikli? sura?ymas, poros bendr?j? parinkimas ir did?iausio i? j? paie?ka;
• skai?i? skaidymas ? nedalomus veiksnius;
• Euklido algoritmas;
• dvejetainis algoritmas.

?iandien ?vietimo ?staigose populiariausi skaidymo ? pirminius veiksnius metodai ir euklido algoritmas. Pastaroji, savo ruo?tu, naudojama sprend?iant diofantines lygtis: norint patikrinti lygt?, ar ?manoma j? i?spr?sti sveikaisiais skai?iais, reikia ie?koti GCD.

NOC radimas

Ma?iausias bendras kartotinis taip pat tiksliai nustatomas kartotiniu i?vardinimu arba faktorinizavimu ? nedalomus veiksnius. Be to, nesunku rasti LCM, jei did?iausias daliklis jau nustatytas. Skai?iams X ir Y LCM ir GCD yra susij? tokiu ry?iu:

LCM(X,Y) = X x Y / GCM(X,Y).

Pavyzd?iui, jei gcd(15,18) = 3, tada LCM(15,18) = 15 x 18 / 3 = 90. Akivaizd?iausias LCM panaudojimas yra rasti bendr? vardikl?, kuris yra ma?iausias bendras kartotinis duotosios trupmenos.

Kopirminiai skai?iai

Jei skai?i? pora neturi bendr? dalikli?, tada tokia pora vadinama koprime. Toki? por? GCM visada yra lygus vienetui, o remiantis dalikli? ir kartotini? jungtimi, koprime GCM yra lygus j? sandaugai. Pavyzd?iui, skai?iai 25 ir 28 yra pirminiai, nes neturi bendr? dalikli?, o LCM(25, 28) = 700, o tai atitinka j? sandaug?. Bet kurie du nedalomi skai?iai visada bus pirminiai.

Bendras daliklis ir keli? skai?iuokl?

Naudodami m?s? skai?iuotuv? galite apskai?iuoti GCD ir LCM bet kokiam skai?i? pasirinkimui. Bendr?j? dalikli? ir kartotini? skai?iavimo u?duotys yra 5 ir 6 klasi? aritmetikoje, ta?iau GCD ir LCM yra pagrindin?s matematikos s?vokos ir naudojamos skai?i? teorijoje, planimetrijoje ir komunikacin?je algebroje.

Realaus gyvenimo pavyzd?iai

Bendras trupmen? vardiklis

Ma?iausias bendras kartotinis naudojamas ie?kant keli? trupmen? bendr?j? vardikl?. Tarkime, kad aritmetiniame u?davinyje reikia susumuoti 5 trupmenas:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Norint prid?ti trupmenas, i?rai?ka turi b?ti suma?inta iki bendro vardiklio, o tai suma?ina iki LCM radimo problemos. Nor?dami tai padaryti, skai?iuokl?je pasirinkite 5 skai?ius ir atitinkamuose langeliuose ?veskite vardiklio reik?mes. Programa apskai?iuos LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Dabar kiekvienai trupmenai reikia apskai?iuoti papildomus koeficientus, kurie apibr??iami kaip LCM ir vardiklio santykis. Taigi papildomi daugikliai atrodyt? taip:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Po to visas trupmenas padauginame i? atitinkamo papildomo koeficiento ir gauname:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Mes galime lengvai prid?ti tokias trupmenas ir gauti rezultat? 159/360. Suma?iname trupmen? 3 ir matome galutin? atsakym? – 53/120.

Tiesini? diofantini? lyg?i? sprendimas

Tiesin?s diofantin?s lygtys yra ax + by = d formos i?rai?kos. Jei santykis d / gcd(a, b) yra sveikasis skai?ius, tai lygtis gali b?ti i?spr?sta sveikaisiais skai?iais. Patikrinkime kelet? lyg?i?, kad b?t? galima rasti sveikojo skai?iaus sprendim?. Pirmiausia patikrinkite lygt? 150x + 8y = 37. Naudodami skai?iuotuv? randame gcd (150.8) = 2. Padalinkite 37/2 = 18.5. Skai?ius n?ra sveikasis skai?ius, tod?l lygtis neturi sveik?j? skai?i? ?akn?.

Patikrinkime lygt? 1320x + 1760y = 10120. Skai?iuotuvu suraskite gcd(1320, 1760) = 440. Padalinkite 10120/440 = 23. Rezultate gauname sveik?j? skai?i?, tod?l i?sprend?iamoji Diofantin? koeficientas .

I?vada

GCD ir LCM vaidina svarb? vaidmen? skai?i? teorijoje, o pa?ios s?vokos yra pla?iai naudojamos ?vairiose matematikos srityse. Naudokite m?s? skai?iuotuv?, kad apskai?iuotum?te did?iausius bet kokio skai?i? daliklius ir ma?iausius kartotinius.

Nor?dami suprasti, kaip apskai?iuoti LCM, pirmiausia tur?tum?te nustatyti termino „daugelis“ reik?m?.

A kartotinis yra nat?ralusis skai?ius, kuris dalijasi i? A be liekanos. Taigi 15, 20, 25 ir tt gali b?ti laikomi 5 kartotiniais.

Tam tikro skai?iaus dalikli? skai?ius gali b?ti ribotas, ta?iau kartotini? yra begalinis skai?ius.

Bendrasis nat?rali?j? skai?i? kartotinis yra skai?ius, kuris dalijasi i? j? be liekanos.

Kaip rasti ma?iausi? bendr? skai?i? kartotin?

Ma?iausias skai?i? kartotinis (LCM) (du, trys ar daugiau) yra ma?iausias nat?ralusis skai?ius, kuris tolygiai dalijasi i? vis? ?i? skai?i?.

Nor?dami rasti NOC, galite naudoti kelis metodus.

Ma?iems skai?iams patogu ? eilut? ?ra?yti visus ?i? skai?i? kartotinius, kol tarp j? bus rastas bendras. Keletai ?ra?e ?ymimi did?i?ja K raide.

Pavyzd?iui, 4 kartotiniai gali b?ti para?yti taip:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Taigi, matote, kad ma?iausias bendras skai?i? 4 ir 6 kartotinis yra skai?ius 24. ?is ?ra?as atliekamas taip:

LCM(4, 6) = 24

Jei skai?iai dideli, suraskite bendr? trij? ar daugiau skai?i? kartotin?, tada LCM apskai?iavimui geriau naudoti kit? b?d?.

Norint atlikti u?duot?, reikia i?skaidyti si?lomus skai?ius ? pirminius veiksnius.

Pirmiausia turite u?ra?yti did?iausio i? eilut?s skai?i? i?pl?tim?, o po juo - likusius.

I?ple?iant kiekvien? skai?i? gali b?ti skirting? veiksni?.

Pavyzd?iui, suskai?iuokime skai?ius 50 ir 20 ? pirminius koeficientus.

I?ple?iant ma?esn? skai?i?, reik?t? pabr??ti veiksnius, kuri? tr?ksta pirmojo did?iausio skai?iaus i?pl?timui, ir tada juos prid?ti prie jo. Pateiktame pavyzdyje tr?ksta deuce.

Dabar galime apskai?iuoti ma?iausi? bendr?j? 20 ir 50 kartotin?.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Taigi didesnio skai?iaus pirmini? ir antrojo skai?iaus veiksni? sandauga, ne?traukta ? didesniojo skai?iaus skaidym?, bus ma?iausias bendras kartotinis.

Norint rasti trij? ar daugiau skai?i? LCM, visi jie tur?t? b?ti i?skaidyti ? pirminius veiksnius, kaip ir ankstesniu atveju.

Pavyzd?iui, galite rasti ma?iausi? bendr? skai?i? 16, 24, 36 kartotin?.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Taigi ? didesnio skai?iaus faktorizacij? nebuvo ?traukti tik du dvejetai i? ?e?iolikos i?skaidymo (vienas yra dvide?imt keturi? i?skaidymas).

Taigi, juos reikia prid?ti prie didesnio skai?iaus skaidymo.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Yra ypatingi ma?iausiojo bendro kartotinio nustatymo atvejai. Taigi, jei vien? i? skai?i? be liku?io galima padalyti i? kito, tai didesnis i? ?i? skai?i? bus ma?iausias bendras kartotinis.

Pavyzd?iui, dvylikos ir dvide?imt keturi? NOC b?t? dvide?imt keturi.

Jei reikia rasti ma?iausi? bendr? kartotin? kopirmini? skai?i?, kurie neturi t? pa?i? dalikli?, tada j? LCM bus lygus j? sandaugai.

Pavyzd?iui, LCM(10, 11) = 110.

Ma?iausias bendras dviej? skai?i? kartotinis yra tiesiogiai susij?s su did?iausiu bendruoju t? skai?i? dalikliu. Tai ry?ys tarp GCD ir NOC apibr??iamas tokia teorema.

Teorema.

Ma?iausias bendras dviej? teigiam? sveik?j? skai?i? a ir b kartotinis yra lygus a ir b sandaugai, padalytai i? did?iausio bendro a ir b daliklio, tai yra, LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).

?rodymas.

Leisti M yra tam tikras skai?i? a ir b kartotinis. Tai yra, M dalijasi i? a, o pagal dalijimosi apibr??im? yra koks nors sveikasis skai?ius k, kad lygyb? M=a·k yra teisinga. Bet M taip pat dalijasi i? b, tada a k dalijasi i? b.

Pa?ym?kite gcd(a, b) kaip d . Tada galime u?ra?yti lygybes a=a 1 ·d ir b=b 1 ·d, o a 1 =a:d ir b 1 =b:d bus pirminiai skai?iai. Tod?l ankstesn?je pastraipoje gaut? s?lyg?, kad a k dalijasi i? b, galima performuluoti taip: a 1 d k dalijasi i? b 1 d , ir tai d?l dalumo savybi? yra lygiavert? s?lygai, kad a 1 k dalijasi i? b vieneto.

Taip pat turime u?ra?yti dvi svarbias nagrin?jamos teoremos pasekmes.

Dviej? skai?i? bendrieji kartotiniai yra tokie patys kaip j? ma?iausio bendro kartotiniai.

Tai tiesa, nes bet kuris bendras M skai?i? a ir b kartotinis apibr??iamas lygybe M=LCM(a, b) t kai kuriai sveikojo skai?iaus reik?mei t .

Kopirmini? teigiam? skai?i? a ir b ma?iausias bendras kartotinis yra lygus j? sandaugai.

?io fakto prie?astis yra gana akivaizdi. Kadangi a ir b yra pirminiai, tada gcd(a, b)=1 , tod?l LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Ma?iausias bendras trij? ar daugiau skai?i? kartotinis

Ma?iausio trij? ar daugiau skai?i? bendro kartotinio radimas gali b?ti suma?intas iki dviej? skai?i? LCM i? eil?s. Kaip tai daroma, parodyta sekan?ioje teoremoje: a 1 , a 2 , …, a k sutampa su bendraisiais skai?i? m k-1 kartotiniais, o a k , tod?l sutampa su m k kartotiniais. O kadangi ma?iausias teigiamas skai?iaus m k kartotinis yra pats skai?ius m k, tai skai?i? a 1 , a 2 , …, a k ma?iausias bendras kartotinis yra m k .

Bibliografija.

• Vilenkinas N.Ya. ir tt Matematika. 6 klas?: vadov?lis ugdymo ?staigoms.
• Vinogradovas I.M. Skai?i? teorijos pagrindai.
• Mikhelovi?ius Sh.Kh. Skai?i? teorija.
• Kulikovas L.Ya. ir kt.. Algebros ir skai?i? teorijos u?davini? rinkinys: Vadov?lis fiz.-mat. pedagogini? institut? specialyb?s.

Apibr??imas. Vadinamas did?iausias nat?ralusis skai?ius, i? kurio skai?iai a ir b dalijasi be liekanos did?iausias bendras daliklis (gcd)?iuos skai?ius.

Raskime did?iausi? skai?i? 24 ir 35 bendr?j? dalikl?.
24 dalikliai bus skai?iai 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, o dalikliai i? 35 bus skai?iai 1, 5, 7, 35.
Matome, kad skai?iai 24 ir 35 turi tik vien? bendr? dalikl? – skai?i? 1. Tokie skai?iai vadinami koprime.

Apibr??imas. Nat?ral?s skai?iai vadinami koprime jei j? did?iausias bendras daliklis (gcd) yra 1.

Did?iausias bendras daliklis (GCD) galima rasti nei?ra?ant vis? pateikt? skai?i? dalikli?.

Apskai?iav? skai?ius 48 ir 36, gauname:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
I? veiksni?, ?traukt? ? pirmojo i? ?i? skai?i? i?pl?tim?, i?braukiame tuos, kurie ne?traukti ? antrojo skai?iaus i?pl?tim? (t. y. du dvejetus).
Lieka koeficientai 2 * 2 * 3. J? sandauga yra 12. ?is skai?ius yra did?iausias skai?i? 48 ir 36 bendras daliklis. Taip pat randamas did?iausias trij? ar daugiau skai?i? bendras daliklis.

Rasti did?iausias bendras daliklis

2) i? veiksni?, ?traukt? ? vieno i? ?i? skai?i? i?pl?tim?, i?braukti tuos, kurie ne?traukti ? kit? skai?i? i?pl?tim?;
3) rasti likusi? veiksni? sandaug?.

Jei visi pateikti skai?iai dalijasi i? vieno i? j?, tai ?is skai?ius yra did?iausias bendras daliklis duotus skai?ius.
Pavyzd?iui, did?iausias bendras 15, 45, 75 ir 180 daliklis yra 15, nes jis padalija visus kitus skai?ius: 45, 75 ir 180.

Ma?iausias kartotinis (LCM)

Apibr??imas. Ma?iausias kartotinis (LCM) Nat?ral?s skai?iai a ir b yra ma?iausias nat?ralusis skai?ius, kuris yra ir a, ir b kartotinis. Ma?iausi? skai?i? 75 ir 60 kartotin? (LCM) galima rasti nei?ra?ant ?i? skai?i? kartotini? i? eil?s. Nor?dami tai padaryti, i?skaidome 75 ir 60 ? paprastus veiksnius: 75 \u003d 3 * 5 * 5 ir 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
I?ra?ome veiksnius, ?trauktus ? pirmojo i? ?i? skai?i? i?pl?tim?, ir pridedame prie j? tr?kstamus koeficientus 2 ir 2 i? antrojo skai?iaus i?pl?timo (tai yra, sujungiame veiksnius).
Gauname penkis koeficientus 2 * 2 * 3 * 5 * 5, kuri? sandauga yra 300. ?is skai?ius yra ma?iausias bendras skai?i? 75 ir 60 kartotinis.

Taip pat suraskite ma?iausi? bendr? trij? ar daugiau skai?i? kartotin?.

? rasti ma?iausi? bendr? kartotin? keli? nat?rali?j? skai?i?, jums reikia:
1) i?skaidyti juos ? pirminius veiksnius;
2) sura?ykite veiksnius, ?trauktus ? vieno i? skai?i? i?pl?tim?;
3) prid?ti prie j? tr?kstamus veiksnius i? likusi? skai?i? i?pl?tim?;
4) rasti gaut? veiksni? sandaug?.

Atkreipkite d?mes?, kad jei vienas i? ?i? skai?i? dalijasi i? vis? kit? skai?i?, tai ?is skai?ius yra ma?iausias bendras ?i? skai?i? kartotinis.
Pavyzd?iui, ma?iausias bendras 12, 15, 20 ir 60 kartotinis b?t? 60, nes jis dalijasi i? vis? nurodyt? skai?i?.

Pitagoras (VI a. pr. Kr.) ir jo mokiniai nagrin?jo skai?i? dalijimosi klausim?. Skai?ius, lygus vis? jo dalikli? sumai (be paties skai?iaus), jie vadino tobul? skai?i?. Pavyzd?iui, skai?iai 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) yra tobuli. Kiti tobuli skai?iai yra 496, 8128, 33 550 336. Pitagorie?iai ?inojo tik pirmuosius tris tobuluosius skai?ius. Ketvirtasis – 8128 – tapo ?inomas I a. n. e. Penktasis – 33 550 336 – rastas XV a. 1983 metais jau buvo ?inomi 27 tobuli skai?iai. Ta?iau iki ?iol mokslininkai ne?ino, ar yra nelygini? tobul?j? skai?i?, ar yra did?iausias tobulasis skai?ius.
Senov?s matematik? susidom?jimas pirminiais skai?iais kyla d?l to, kad bet kuris skai?ius yra pirminis arba gali b?ti pavaizduotas kaip pirmini? skai?i? sandauga, tai yra, pirminiai skai?iai yra tarsi plytos, i? kuri? pastatyti likusieji nat?ralieji skai?iai.
Tikriausiai pasteb?jote, kad pirminiai skai?iai nat?rali?j? skai?i? eilut?je atsiranda netolygiai – vienose eilu?i? dalyse j? daugiau, kitose – ma?iau. Ta?iau kuo toliau einame skai?i? eil?mis, tuo pirminiai skai?iai tampa retesni. Kyla klausimas: ar egzistuoja paskutinis (did?iausias) pirminis skai?ius? Senov?s graik? matematikas Euklidas (III a. pr. Kr.) savo knygoje „Prad?ia“, kuri du t?kstan?ius met? buvo pagrindinis matematikos vadov?lis, ?rod?, kad pirmini? skai?i? yra be galo daug, tai yra, u? kiekvieno pirminio skai?iaus slypi lyginis. didesnis pirminis skai?ius.
Pirminiams skai?iams surasti tok? metod? sugalvojo kitas to paties laiko graik? matematikas Eratostenas. Jis sura?? visus skai?ius nuo 1 iki tam tikro skai?iaus, tada nubrauk? vienet?, kuris n?ra nei pirminis, nei sud?tinis skai?ius, tada per vien? perbrauk? visus skai?ius po 2 (skai?ius, kurie yra 2 kartotiniai, ty 4, 6, 8 ir kt.). Pirmasis lik?s skai?ius po 2 buvo 3. Tada po dviej? buvo perbraukti visi skai?iai po 3 (skai?iai, kurie yra 3 kartotiniai, t. y. 6, 9, 12 ir t. t.). pabaigoje liko neperbraukti tik pirminiai skai?iai.

Tema „Keli skai?iai“ nagrin?jama bendrojo lavinimo mokyklos 5 klas?je. Jo tikslas – tobulinti matematini? skai?iavim? ra?tu ir ?od?iu ?g?d?ius. ?ioje pamokoje pristatomos naujos s?vokos – „daugybiniai skai?iai“ ir „dalikliai“, lavinama nat?raliojo skai?iaus dalikli? ir kartotini? paie?kos technika, galimyb? ?vairiais b?dais rasti LCM.

?i tema labai svarbi. ?inios apie tai gali b?ti pritaikytos sprend?iant pavyzd?ius su trupmenomis. Nor?dami tai padaryti, turite rasti bendr? vardikl?, apskai?iuodami ma?iausi? bendr?j? kartotin? (LCM).

A kartotinis yra sveikasis skai?ius, kuris dalijasi i? A be liekanos.

Kiekvienas nat?ralusis skai?ius turi begalin? jo kartotini? skai?i?. Manoma, kad jis yra ma?iausiai. Kartinys negali b?ti ma?esnis u? pat? skai?i?.

B?tina ?rodyti, kad skai?ius 125 yra skai?iaus 5 kartotinis. Nor?dami tai padaryti, turite padalyti pirm?j? skai?i? i? antrojo. Jei 125 dalijasi i? 5 be liekanos, atsakymas yra taip.

?is metodas tinka ma?iems skai?iams.

Skai?iuojant LCM, yra ypating? atvej?.

1. Jei reikia rasti bendr? 2 skai?i? kartotin? (pavyzd?iui, 80 ir 20), kur vienas i? j? (80) dalijasi be liku?io i? kito (20), tai ?is skai?ius (80) yra ma?iausias ?i? dviej? skai?i? kartotinis.

LCM (80, 20) = 80.

2. Jei du neturi bendro daliklio, tai galime sakyti, kad j? LCM yra ?i? dviej? skai?i? sandauga.

LCM (6, 7) = 42.

Apsvarstykite paskutin? pavyzd?. 6 ir 7, palyginti su 42, yra dalikliai. Jie dalija kartotin? be liekanos.

?iame pavyzdyje 6 ir 7 yra por? dalikliai. J? sandauga yra lygus labiausiai kartotiniam skai?iui (42).

Skai?ius vadinamas pirminiu, jei jis dalijasi tik i? sav?s arba i? 1 (3:1=3; 3:3=1). Likusieji vadinami sud?tiniais.

Kitame pavyzdyje turite nustatyti, ar 9 yra daliklis 42 at?vilgiu.

42:9 = 4 (lik?s 6)

Atsakymas: 9 n?ra 42 daliklis, nes atsakymas turi likut?.

Daliklis skiriasi nuo kartotinio tuo, kad daliklis yra skai?ius, i? kurio dalijami nat?ralieji skai?iai, o pats kartotinis dalijasi i? to skai?iaus.

Did?iausias bendras skai?i? daliklis a ir b, padaugintas i? ma?iausio j? kartotinio, gaus pa?i? skai?i? sandaug? a ir b.

B?tent: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Bendrieji sud?tingesni? skai?i? kartotiniai randami tokiu b?du.

Pavyzd?iui, suraskite 168, 180, 3024 LCM.

?iuos skai?ius i?skaidome ? pirminius veiksnius, u?ra?ome juos kaip gali? sandaug?:

168=2?x3?x7?

2?х3?х5?х7? = 15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.