Vargu ar daugelis susim?sto, ar ?manoma apskai?iuoti daugiau ar ma?iau atsitiktinius ?vykius. Paprastai tariant, ar realu ?inoti, kuri kauliuko pus? nukris toliau. B?tent ?? klausim? u?dav? du puik?s mokslininkai, pad?j? pamatus tokiam mokslui kaip tikimybi? teorija, kurioje gana pla?iai tyrin?jama ?vykio tikimyb?.

Kilm?

Jei bandysite apibr??ti toki? s?vok? kaip tikimybi? teorij?, gausite taip: tai yra viena i? matematikos ?ak?, tirian?i? atsitiktini? ?vyki? pastovum?. ?inoma, ?i koncepcija tikrai neatskleid?ia visos esm?s, tod?l b?tina j? apsvarstyti i?samiau.

Nor??iau prad?ti nuo teorijos k?r?j?. Kaip min?ta auk??iau, j? buvo du, ir b?tent jie buvo vieni pirm?j?, kurie band? apskai?iuoti ?vykio baigt? naudodami formules ir matematinius skai?iavimus. Apskritai ?io mokslo u?uomazgos atsirado viduram?iais. Tuo metu ?vair?s m?stytojai ir mokslininkai band? analizuoti azartinius lo?imus, tokius kaip rulet?, kauliukai ir pan., taip nustatydami konkretaus skai?iaus i?kritimo model? ir procent?. Pagrind? XVII am?iuje pad?jo jau min?ti mokslininkai.

I? prad?i? j? darbas negal?jo b?ti siejamas su dideliais pasiekimais ?ioje srityje, nes viskas, k? jie dar?, buvo tiesiog empiriniai faktai, o eksperimentai buvo atliekami vizualiai, nenaudojant formuli?. Laikui b?gant pasirod?, kad pavyko pasiekti puiki? rezultat?, kurie pasirod? stebint kauliuk? metim?. B?tent ?is ?rankis pad?jo i?vesti pirm?sias suprantamas formules.

Pana?iai m?stantys ?mon?s

Ne?manoma nepamin?ti tokio asmens kaip Christianas Huygensas, studijuojant tem?, vadinam? „tikimybi? teorija“ (?vykio tikimyb? yra nagrin?jama b?tent ?iame moksle). ?is ?mogus labai ?domus. Jis, kaip ir auk??iau pateikti mokslininkai, band? i?vesti atsitiktini? ?vyki? d?sningum? matematini? formuli? pavidalu. Pasteb?tina, kad jis to nedar? kartu su Pascal ir Fermat, tai yra, visi jo darbai jokiu b?du nesikerta su ?iais protais. Huygensas i?ved?

?domus faktas yra tai, kad jo darbas pasirod? gerokai anks?iau nei atrad?j? darbo rezultatai, tiksliau, dvide?imt met? anks?iau. Tarp nurodyt? s?vok? garsiausios yra:

• tikimyb?s, kaip atsitiktinumo dyd?io, samprata;
• matematinis l?kestis atskiriems atvejams;
• tikimybi? daugybos ir sud?jimo teoremos.

Taip pat ne?manoma neprisiminti, kas taip pat reik?mingai prisid?jo prie problemos tyrimo. Atlikdamas savo bandymus, nepriklausomai nuo nieko, jam pavyko pateikti dideli? skai?i? d?snio ?rodym?. Savo ruo?tu mokslininkai Puasonas ir Laplasas, dirb? XIX am?iaus prad?ioje, sugeb?jo ?rodyti pirmines teoremas. Nuo ?io momento tikimybi? teorija buvo prad?ta naudoti analizuojant klaidas steb?jim? eigoje. Rusijos mokslininkai, tiksliau Markovas, ?eby?evas ir Djapunovas, negal?jo apeiti ir ?io mokslo. Remdamiesi did?i?j? genij? atliktais darbais, jie ?? dalyk? nustat? kaip matematikos ?ak?. ?ios fig?ros veik? jau XIX am?iaus pabaigoje ir d?l j? ind?lio atsirado tokie rei?kiniai kaip:

• dideli? skai?i? d?snis;
• Markovo grandini? teorija;
• centrin?s ribos teorema.

Taigi su mokslo gimimo istorija ir pagrindiniais jai ?takos tur?jusiais ?mon?mis viskas daugma? ai?ku. Dabar at?jo laikas sukonkretinti visus faktus.

Pagrindin?s s?vokos

Prie? lie?iant d?snius ir teoremas, verta i?studijuoti pagrindines tikimybi? teorijos s?vokas. Renginys jame u?ima pagrindin? vaidmen?. ?i tema yra gana didel?, ta?iau be jos ne?manoma suprasti viso kito.

Tikimybi? teorijoje ?vykis yra bet koks eksperimento rezultat? rinkinys. ?io rei?kinio s?vok? n?ra tiek daug. Taigi, ?ioje srityje dirbantis mokslininkas Lotmanas teig?, kad ?iuo atveju kalbama apie tai, kas „atsitiko, nors gal?jo ir neb?ti“.

Atsitiktiniai ?vykiai (tikimybi? teorija jiems skiria ypating? d?mes?) yra s?voka, apimanti absoliu?iai bet kok? rei?kin?, kuris turi galimyb? atsirasti. Arba, prie?ingai, ?is scenarijus gali ne?vykti, kai ?vykdoma daug s?lyg?. Taip pat verta ?inoti, kad atsitiktiniai ?vykiai u?fiksuoja vis? ?vykusi? rei?kini? apimt?. Tikimybi? teorija rodo, kad visos s?lygos gali kartotis nuolat. B?tent j? elgesys buvo vadinamas „eksperimentu“ arba „bandymu“.

Tam tikras ?vykis yra tas, kuris 100% ?vyks atliekant tam tikr? test?. Atitinkamai ne?manomas ?vykis yra tas, kuris ne?vyks.

Veiksm? poros derinys (s?lygi?kai A ir B atvejis) yra rei?kinys, vykstantis vienu metu. Jie pa?ym?ti kaip AB.

?vyki? A ir B por? suma yra C, kitaip tariant, jei ?vyks bent vienas i? j? (A arba B), tada bus gautas C. Apra?yto rei?kinio formul? para?yta taip: C \u003d A + B.

Tikimybi? teorijoje nesusij? ?vykiai rei?kia, kad ?ie du atvejai yra vienas kit? paneigiantys. Jie niekada negali vykti tuo pa?iu metu. Bendri ?vykiai tikimybi? teorijoje yra j? antipodas. Tai rei?kia, kad jei A atsitiko, tai jokiu b?du netrukdo B.

Prie?ingus ?vykius (tikimybi? teorija juos labai i?samiai nagrin?ja) lengva suprasti. Geriausia su jais elgtis lyginant. Jie yra beveik tokie patys kaip nesuderinami ?vykiai tikimybi? teorijoje. Ta?iau j? skirtumas slypi tame, kad bet kuriuo atveju turi ?vykti vienas i? daugelio rei?kini?.

Lygiai taip pat tik?tini ?vykiai yra tie veiksmai, kuri? pasikartojimo galimyb? yra lygi. Kad b?t? ai?kiau, galime ?sivaizduoti monetos metim?: vienodai tik?tina, kad praradus vien? jos pus? i?kris ir kita.

Palank? ?vyk? lengviau pamatyti pavyzd?iu. Tarkime, yra B epizodas ir A epizodas. Pirmasis yra kauliuko metimas su nelyginiu skai?iumi, o antrasis – skai?ius penketas ant kauliuko. Tada paai?k?ja, kad A palankiai vertina B.

Nepriklausomi ?vykiai tikimybi? teorijoje yra projektuojami tik dviem ar daugiau atvej? ir rei?kia bet kokio veiksmo nepriklausomum? nuo kito. Pavyzd?iui, A – uodegos numetimas metant monet?, o B – k?liklio gavimas i? kalad?s. Tai nepriklausomi ?vykiai tikimybi? teorijoje. ?iuo metu tapo ai?kiau.

Priklausomi ?vykiai tikimybi? teorijoje taip pat leid?iami tik j? aib?je. Jie rei?kia vieno priklausomyb? nuo kito, tai yra, rei?kinys B gali atsirasti tik tuo atveju, jei A jau ?vyko arba, prie?ingai, ne?vyko, kai tai yra pagrindin? B s?lyga.

Atsitiktinio eksperimento, susidedan?io i? vieno komponento, rezultatas yra elementar?s ?vykiai. Tikimybi? teorija ai?kina, kad tai rei?kinys, nutik?s tik vien? kart?.

Pagrindin?s formul?s

Taigi auk??iau buvo nagrin?jamos „?vykio“, „tikimybi? teorijos“ s?vokos, taip pat pateiktas pagrindini? ?io mokslo termin? apibr??imas. Dabar at?jo laikas tiesiogiai susipa?inti su svarbiomis formul?mis. ?ios i?rai?kos matemati?kai patvirtina visas pagrindines tokio sud?tingo dalyko kaip tikimybi? teorijos s?vokas. ?vykio tikimyb? ?ia taip pat vaidina did?iul? vaidmen?.

Geriau prad?ti nuo pagrindini?.Ir prie? pereinant prie j?, verta pagalvoti, kas tai yra.

Kombinatorika pirmiausia yra matematikos ?aka, ji nagrin?ja daugyb? sveik?j? skai?i?, taip pat ?vairias pa?i? skai?i? ir j? element? permutacijas, ?vairius duomenis ir kt., D?l kuri? atsiranda daugyb? derini?. Be tikimybi? teorijos, ?i ?aka svarbi statistikai, informatikai ir kriptografijai.

Taigi, dabar galite pereiti prie pa?i? formuli? pateikimo ir j? apibr??imo.

Pirmasis i? j? bus permutacij? skai?iaus i?rai?ka, ji atrodo taip:

P_n = n ? (n - 1) ? (n - 2)…3 ? 2 ? 1 = n!

Lygtis taikoma tik tuo atveju, jei elementai skiriasi tik savo tvarka.

Dabar bus svarstoma paskirties vietos formul?, ji atrodo taip:

A_n^m = n ? (n - 1) ? (n-2) ? ... ? (n - m + 1) = n! : (n - m)!

?i i?rai?ka taikoma ne tik elemento tvarkai, bet ir jo sud??iai.

Tre?ioji kombinatorikos lygtis, taip pat ir paskutin?, vadinama kombinacij? skai?iaus formule:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

Derinys atitinkamai vadinamas pasirinkimu, kuris n?ra u?sakytas, ir jiems galioja ?i taisykl?.

Paai?k?jo, kad suprasti kombinatorikos formules buvo lengva, dabar galime pereiti prie klasikinio tikimybi? apibr??imo. ?i i?rai?ka atrodo taip:

?ioje formul?je m yra palanki? s?lyg? ?vykiui A skai?ius, o n yra absoliu?iai vis? vienodai galim? ir elementari? baig?i? skai?ius.

Posaki? yra labai daug, straipsnis neapims vis?, bet bus palie?iami svarbiausi i? j?, pavyzd?iui, ?vyki? sumos tikimyb?:

P(A + B) = P(A) + P(B) – ?i teorema skirta tik nesuderinamiems ?vykiams prid?ti;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - ir ?is skirtas prid?ti tik suderinamus.

?vyki? atsiradimo tikimyb?:

P(A ? B) = P(A) ? P(B) - ?i teorema skirta nepriklausomiems ?vykiams;

(P(A ? B) = P(A) ? P(B|A); P(A ? B) = P(A) ? P(A|B)) – ir ?is skirtas i?laikytiniams.

?vykio formul? baigs s?ra??. Tikimybi? teorija pasakoja apie Bayeso teorem?, kuri atrodo taip:

P(H_m|A) = (P(H_m)P(A|H_m)) : (?_(k=1)^n P(H_k)P(A|H_k)),m = 1,..., n

?ioje formul?je H 1 , H 2 , …, H n yra visa hipotezi? grup?.

Pavyzd?iai

Jei atid?iai studijuojate bet kuri? matematikos ?ak?, ji neapsieina be pratim? ir sprendim? pavyzd?i?. Taip pat ir tikimybi? teorija: ?vykiai, pavyzd?iai ?ia yra neatsiejamas komponentas, patvirtinantis mokslinius skai?iavimus.

Permutacij? skai?iaus formul?

Tarkime, kort? kalad?je yra trisde?imt korteli?, pradedant nuo vienos nominalios vert?s. Kitas klausimas. Kiek b?d? galima sukrauti kalad?, kad kortos, kuri? nominali vert? yra viena ir dvi, neb?t? viena ?alia kitos?

U?duotis nustatyta, dabar pereikime prie jos sprendimo. Pirmiausia turite nustatyti trisde?imties element? permutacij? skai?i?, tam imame auk??iau pateikt? formul?, pasirodo, P_30 = 30!.

Remdamiesi ?ia taisykle, i?siai?kinsime, kiek yra galimybi? sulankstyti kalad? ?vairiais b?dais, ta?iau i? j? reikia atimti tas, kuriose yra pirma ir antra kortos. Nor?dami tai padaryti, prad?kime nuo parinkties, kai pirmasis yra vir? antrojo. Pasirodo, pirmoji korta gali u?imti dvide?imt devynias vietas – nuo pirmos iki dvide?imt devintos, o antroji – nuo antrosios iki trisde?imtosios, kort? porai i?eina tik dvide?imt devynios vietos. Savo ruo?tu likusios gali u?imti dvide?imt a?tuonias vietas ir bet kokia tvarka. Tai yra, dvide?imt a?tuoni? korteli? permutacijai yra dvide?imt a?tuoni parinktys P_28 = 28!

D?l to paai?k?ja, kad jei svarstysime sprendim?, kai pirmoji korta yra auk??iau antrosios, yra 29 ? 28 papildomos galimyb?s! = 29!

Naudodami t? pat? metod?, turite apskai?iuoti perteklini? parink?i? skai?i? tuo atveju, kai pirmoji kortel? yra po antroji. Taip pat pasirodo 29 ? 28! = 29!

I? to i?plaukia, kad yra 2 ? 29 papildomos parinktys, o yra 30 b?tin? denio pastatymo b?d?! - 2 ? 29!. Belieka tik suskai?iuoti.

30! = 29! ? 30; 30!- 2 ? 29! = 29! ? (30 - 2) = 29! ? 28

Dabar reikia padauginti visus skai?ius nuo vieno iki dvide?imt devyni?, o pabaigoje visk? padauginti i? 28. Atsakymas yra 2,4757335 ??10?^32

Sprendimo pavyzdys. Vietos numerio formul?

?ioje u?duotyje reikia i?siai?kinti, kiek yra b?d?, kaip ? vien? lentyn? sud?ti penkiolika tom?, bet su s?lyga, kad i? viso yra trisde?imt tom?.

?ios problemos sprendimas yra ?iek tiek paprastesnis nei ankstesniame. Naudojant jau ?inom? formul?, reikia apskai?iuoti bendr? susitarim? skai?i? i? trisde?imties penkiolikos tom?.

A_30^15 = 30 ? 29 ? 28?... ? (30 - 15 + 1) = 30 ? 29 ? 28 ? ... ? 16 = 202 843 204 931 727 0

Atsakymas atitinkamai bus lygus 202 843 204 931 727 360 000.

Dabar atlikime u?duot? ?iek tiek sunkesn?. Turite i?siai?kinti, kiek yra b?d?, kaip dviejose knyg? lentynose i?d?styti trisde?imt knyg?, jei vienoje lentynoje gali b?ti tik penkiolika tom?.

Prie? prad?damas sprendim?, nor??iau paai?kinti, kad kai kurios problemos sprend?iamos keliais b?dais, tod?l ?iame yra du b?dai, ta?iau abiejuose naudojama ta pati formul?.

?ioje u?duotyje galite paimti atsakym? i? ankstesnio, nes ten skai?iavome, kiek kart? galite ?vairiais b?dais u?pildyti lentyn? penkiolika knyg?. Paai?k?jo, kad A_30^15 = 30 ? 29 ? 28 ? ... ? (30 - 15 + 1) = 30 ? 29 ? 28 ? ...? 16.

Antr? lentyn? skai?iuojame pagal permutacijos formul?, nes joje dedama penkiolika knyg?, o lieka tik penkiolika. Mes naudojame formul? P_15 = 15!.

Pasirodo, i? viso bus A_30^15 ? P_15 b?d?, ta?iau, be to, vis? skai?i? sandaug? nuo trisde?imties iki ?e?iolikos reik?s padauginti i? skai?i? sandaugos nuo vieno iki penkiolikos, tod?l bus gauta vis? skai?i? sandauga nuo vieno iki trisde?imties, tai yra, atsakymas lygus 30!

Ta?iau ?i? problem? galima i?spr?sti ir kitaip – lengviau. Nor?dami tai padaryti, galite ?sivaizduoti, kad yra viena lentyna trisde?im?iai knyg?. Visos jos dedamos ant ?ios plok?tumos, bet kadangi s?lyga reikalauja, kad lentynos b?t? dvi, vien? ilg? perpjauname per pus?, gaunasi po dvi penkiolika. I? to paai?k?ja, kad i?d?stymo parinktys gali b?ti P_30 = 30!.

Sprendimo pavyzdys. Skai?i? derinio formul?

Dabar apsvarstysime tre?iosios kombinatorikos problemos variant?. Turite i?siai?kinti, kiek b?d? yra i?d?styti penkiolika knyg?, jei reikia pasirinkti i? trisde?imties visi?kai identi?k?.

Sprendimui, ?inoma, bus taikoma kombinacij? skai?iaus formul?. I? s?lygos ai?k?ja, kad identi?k? penkiolikos knyg? eil? n?ra svarbi. Tod?l i? prad?i? reikia i?siai?kinti bendr? trisde?imties penkiolikos knyg? derini? skai?i?.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : penkiolika! = 155 117 520

Tai viskas. Naudojant ?i? formul?, per trumpiausi? ?manom? laik? buvo ?manoma i?spr?sti toki? problem?, atsakymas yra atitinkamai 155 117 520.

Sprendimo pavyzdys. Klasikinis tikimyb?s apibr??imas

Naudodami auk??iau pateikt? formul? galite rasti atsakym? paprastoje u?duotyje. Ta?iau tai pad?s vizualiai pamatyti ir atsekti veiksm? eig?.

Pateikiama problema, kad urnoje yra de?imt visi?kai identi?k? kamuoliuk?. I? j? keturi yra geltoni, o ?e?i - m?lyni. I? urnos paimamas vienas rutulys. Turite i?siai?kinti tikimyb? tapti m?lyna.

Norint i?spr?sti problem?, m?lynojo kamuoliuko gavim? b?tina priskirti kaip ?vyk? A. ?i patirtis gali tur?ti de?imt pasekmi?, kurios, savo ruo?tu, yra elementarios ir vienodai tik?tinos. Tuo pa?iu metu ?e?i i? de?imties yra palank?s ?vykiui A. Sprend?iame pagal formul?:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Taikydami ?i? formul? i?siai?kinome, kad tikimyb? gauti m?lyn? rutul? yra 0,6.

Sprendimo pavyzdys. ?vyki? sumos tikimyb?

Dabar bus pateiktas variantas, kuris sprend?iamas naudojant ?vyki? sumos tikimyb?s formul?. Taigi, atsi?velgiant ? tai, kad yra dvi d??ut?s, pirmoje yra vienas pilkas ir penki balti rutuliukai, o antrajame yra a?tuoni pilki ir keturi balti rutuliukai. D?l to viena i? j? buvo paimta i? pirmosios ir antrosios d???s. Reikia i?siai?kinti, kokia tikimyb?, kad i?traukti rutuliukai bus pilki ir balti.

Norint i?spr?sti ?i? problem?, b?tina nurodyti ?vykius.

• Taigi, A – paimkite pilk? rutul? i? pirmos d??ut?s: P(A) = 1/6.
• A '- jie taip pat pa?m? balt? rutul? i? pirmosios d??ut?s: P (A ") \u003d 5/6.
• B - pilkas rutulys buvo i?trauktas jau i? antrosios d???s: P(B) = 2/3.
• B' - jie pa?m? pilk? rutul? i? antrojo langelio: P(B") = 1/3.

Atsi?velgiant ? problemos s?lyg?, b?tina, kad ?vykt? vienas i? rei?kini?: AB 'arba A'B. Naudodami formul? gauname: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Dabar buvo panaudota tikimyb?s dauginimo formul?. Toliau, nor?dami su?inoti atsakym?, turite pritaikyti j? prid?jimo lygt?:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Taigi, naudodami formul?, galite i?spr?sti pana?ias problemas.

Rezultatas

Straipsnyje pateikta informacija tema „Tikimybi? teorija“, kurioje lemiam? vaidmen? atlieka ?vykio tikimyb?. ?inoma, ne ? visk? buvo atsi?velgta, ta?iau, remiantis pateiktu tekstu, teori?kai galima susipa?inti su ?ia matematikos dalimi. Aptariamas mokslas gali b?ti naudingas ne tik profesiniame darbe, bet ir kasdieniame gyvenime. Su jo pagalba galite apskai?iuoti bet koki? bet kokio ?vykio galimyb?.

Tekste taip pat buvo paliestos reik?mingos tikimybi? teorijos, kaip mokslo, formavimosi istorijos datos, ?moni?, kuri? darbai ? j? buvo investuoti, pavard?s. Taip ?mogaus smalsumas l?m? tai, kad ?mon?s i?moko skai?iuoti net atsitiktinius ?vykius. Kadaise jie tuo tik dom?josi, o ?iandien jau visi apie tai ?ino. Ir niekas nepasakys, kas m?s? laukia ateityje, koki? dar geniali? atradim?, susijusi? su nagrin?jama teorija, bus padaryta. Ta?iau viena ai?ku – tyrimai nestovi vietoje!

Ekonomikoje, kaip ir kitose ?mogaus veiklos srityse ar gamtoje, nuolat tenka susidurti su ?vykiais, kuri? ne?manoma tiksliai numatyti. Taigi preki? pardavimo apimtis priklauso nuo paklausos, kuri gali labai skirtis, ir nuo daugyb?s kit? veiksni?, ? kuriuos beveik ne?manoma atsi?velgti. Tod?l, organizuojant gamyb? ir pardavim?, tokios veiklos rezultat? tenka numatyti remiantis arba savo ankstesne patirtimi, arba pana?ia kit? ?moni? patirtimi, arba intuicija, kuri taip pat did?i?ja dalimi paremta eksperimentiniais duomenimis.

Norint ka?kaip ?vertinti nagrin?jam? ?vyk?, reikia atsi?velgti arba specialiai organizuoti s?lygas, kuriomis ?is ?vykis fiksuojamas.

Vadinamas tam tikr? s?lyg? ar veiksm? ?gyvendinimas aptariamam ?vykiui nustatyti patirt? arba eksperimentas.

Renginys vadinamas atsitiktinis jei d?l eksperimento jis gali atsirasti arba ne?vykti.

Renginys vadinamas autenti?kas, jei tai b?tinai atsiranda d?l ?ios patirties, ir ne?manomas jei tai negali pasirodyti ?ioje patirtyje.

Pavyzd?iui, lapkri?io 30 dien? i?krit?s sniegas Maskvoje yra atsitiktinis ?vykis. Kasdien? saul?tek? galima laikyti tam tikru ?vykiu. Sniegas ties pusiauju gali b?ti vertinamas kaip ne?manomas ?vykis.

Viena i? pagrindini? tikimybi? teorijos problem? yra kiekybinio ?vykio galimyb?s mato nustatymo problema.

?vyki? algebra

?vykiai vadinami nesuderinamais, jei j? negalima steb?ti kartu toje pa?ioje patirtyje. Taigi dviej? ir trij? automobili? buvimas vienoje parduodamoje parduotuv?je vienu metu yra du nesuderinami ?vykiai.

suma?vykiai yra ?vykis, kur? sudaro bent vieno i? ?i? ?vyki? ?vykis

?vyki? sumos pavyzdys yra bent vieno i? dviej? produkt? buvimas parduotuv?je.

dirbti?vykiai vadinami ?vykiu, susidedan?iu i? vis? ?i? ?vyki? vienu metu

?vykis, susidedantis i? dviej? preki? pasirodymo parduotuv?je vienu metu, yra ?vyki? produktas: - vienos prek?s atsiradimas, - kitos prek?s pasirodymas.

?vykiai sudaro vis? ?vyki? grup?, jei bent vienas i? j? b?tinai ?vyksta patirtyje.

Pavyzdys. Uoste yra dvi krantin?s laivams. Galima laikyti tris ?vykius: - laiv? nebuvim? prieplaukose, - vieno laivo buvim? vienoje i? krantini?, - dviej? laiv? buvim? dviejose krantin?se. ?ie trys ?vykiai sudaro vis? ?vyki? grup?.

Prie?ingas vadinami du unikal?s galimi ?vykiai, kurie sudaro vis? grup?.

Jei vienas i? prie?ing? ?vyki? yra ?ymimas , tada prie?ingas ?vykis paprastai ?ymimas .

Klasikiniai ir statistiniai ?vykio tikimyb?s apibr??imai

Kiekvienas i? vienodai galim? testo rezultat? (eksperiment?) vadinamas elementariu rezultatu. Paprastai jie ?ymimi raid?mis . Pavyzd?iui, metamas kauliukas. Gali b?ti ?e?i pagrindiniai rezultatai pagal ta?k? skai?i? ?onuose.

I? elementari? rezultat? galite sukurti sud?tingesn? ?vyk?. Taigi, lyginio ta?k? skai?iaus ?vykis nustatomas pagal tris baigtis: 2, 4, 6.

Kiekybinis nagrin?jamo ?vykio atsiradimo galimyb?s matas yra tikimyb?.

Pla?iausiai naudojami du ?vykio tikimyb?s apibr??imai: klasika ir statistiniai.

Klasikinis tikimyb?s apibr??imas yra susij?s su palankaus rezultato s?voka.

I??jimas vadinamas palankus?? ?vyk?, jei d?l jo ?vykimo ?vyksta ?is ?vykis.

Pateiktame pavyzdyje nagrin?jamas ?vykis yra lyginis ta?k? skai?ius nukritusiame kra?te, turi tris palankias baigtis. ?iuo atveju bendras
galim? rezultat? skai?ius. Taigi, ?ia galite naudoti klasikin? ?vykio tikimyb?s apibr??im?.

Klasikinis apibr??imas lygus palanki? rezultat? skai?iaus ir bendro galim? baig?i? skai?iaus santykiui

kur ?vykio tikimyb? , palanki? ?vykio baig?i? skai?ius, bendras galim? baig?i? skai?ius.

Nagrin?jamame pavyzdyje

Statistinis tikimyb?s apibr??imas siejamas su santykinio ?vykio pasirei?kimo da?nio eksperimentuose samprata.

Santykinis ?vykio da?nis apskai?iuojamas pagal formul?

kur yra ?vykio ?vyki? serijoje eksperiment? (test?) skai?ius.

Statistinis apibr??imas. ?vykio tikimyb? yra skai?ius, kurio at?vilgiu santykinis da?nis stabilizuojamas (nustatomas) neribotai did?jant eksperiment? skai?iui.

Praktin?se problemose santykinis da?nis pakankamai dideliam bandym? skai?iui yra laikomas ?vykio tikimybe.

I? ?i? ?vykio tikimyb?s apibr??im? matyti, kad nelygyb? galioja visada

Norint nustatyti ?vykio tikimyb? pagal (1.1) formul?, da?nai naudojamos kombinatorin?s formul?s, leid?ian?ios rasti palanki? rezultat? skai?i? ir bendr? galim? baig?i? skai?i?.

Jo tinklara?tyje – ?aidim? dizainerio Jano Schreiberio, dirbusio su tokiais projektais kaip „Marvel Trading Card Game“ ir „Playboy: the Mansion“, kitos kurso „Principles of Game Balance“ paskaitos vertimas.

Iki ?iol beveik viskas, apie k? kalb?jome, buvo deterministi?ka, o pra?jusi? savait? atid?iau pa?velg?me ? tranzityvin? mechanik?, suskirstydami j? kuo detaliau, kiek galiu paai?kinti. Ta?iau iki ?iol nekreip?me d?mesio ? kitus daugelio ?aidim? aspektus, b?tent ? nedeterministinius momentus – kitaip tariant, atsitiktinum?.

?aidim? k?r?jams labai svarbu suprasti atsitiktinumo prigimt?. Kuriame sistemas, kurios turi ?takos vartotojo patir?iai tam tikrame ?aidime, tod?l turime ?inoti, kaip ?ios sistemos veikia. Jei sistemoje yra atsitiktinumo, turime suprasti ?io atsitiktinumo prigimt? ir ?inoti, kaip j? pakeisti, kad gautume reikiamus rezultatus.

Kauliukai

Prad?kime nuo ka?ko paprasto – kauliuk? ridenimo. Kai dauguma ?moni? galvoja apie kauliukus, jie galvoja apie ?e?iapus? kauliuk?, ?inom? kaip d6. Ta?iau dauguma ?aid?j? mat? daug kit? kauliuk?: keturkampi? (d4), a?tuoni? (d8), dvylikos pusi? (d12), dvide?imties (d20). Jei esate tikras geikas, galb?t ka?kur turite 30 ar 100 gr?d? kauliuk?.

Jei nesate susipa?in? su ?ia terminija, d rei?kia kauliuk?, o skai?ius po jo yra jo veid? skai?ius. Jei skai?ius yra prie? d, tai rodo kauliuk? skai?i? metant. Pavyzd?iui, Monopolyje mesti 2d6.

Taigi ?iuo atveju fraz? „kauliukai“ yra ?prastas pavadinimas. Yra daugyb? kit? atsitiktini? skai?i? generatori?, kurie neatrodo kaip plastin?s fig?ros, bet atlieka t? pa?i? funkcij? – generuoja atsitiktin? skai?i? nuo 1 iki n. ?prast? monet? taip pat galima pavaizduoti kaip dvikamp? d2 kauliuk?.

Ma?iau du septyni? pusi? kauliuk? dizainus: vienas i? j? atrod? kaip kauliukas, o antrasis labiau pana?us ? septyni? pusi? medin? pie?tuk?. Tetraedrinis dreidelis, taip pat ?inomas kaip titotum, yra tetraedrinio kaulo analogas. ?aidimo lenta su besisukan?ia rodykle „Chutes & Ladders“, kur rezultatas gali b?ti nuo 1 iki 6, atitinka ?e?iapus? kauliuk?.

Atsitiktini? skai?i? generatorius kompiuteryje gali sugeneruoti bet kok? skai?i? nuo 1 iki 19, jei dizaineris duoda toki? komand?, nors kompiuteris neturi 19 pusi? kauliuko (apskritai pakalb?siu pla?iau apie tikimyb? gauti skai?ius Kompiuteris kit? savait?). Visi ?ie elementai atrodo skirtingai, bet i? tikr?j? jie yra lygiaver?iai: j?s turite vienod? galimyb? gauti kiekvien? i? keli? galim? rezultat?.

Kauliukai turi kelet? ?domi? savybi?, apie kurias turime ?inoti. Pirma, tikimyb? gauti bet kur? i? veid? yra tokia pati (manau, kad metate ?prast? geometrin? kauliuk?). Jei norite su?inoti vidutin? metimo vert? (tikimybi? teorijos m?g?jams ?inoma kaip matematinis l?kestis), susukite vis? briaun? vertes ir padalykite ?? skai?i? i? briaun? skai?iaus.

Vis? standartinio ?e?iapusio kauliuko pavir?i? reik?mi? suma yra 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Padalinkite 21 i? veid? skai?iaus ir gaukite vidutin? metimo vert?: 21 / 6 = 3,5. Tai ypatingas atvejis, nes manome, kad visi rezultatai yra vienodai tik?tini.

K? daryti, jei turite speciali? kauliuk?? Pavyzd?iui, ma?iau ?aidim? su ?e?iapusiu kauliuku su specialiais lipdukais ant veid?: 1, 1, 1, 2, 2, 3, tod?l jis elgiasi kaip keistas tripusis kauliukas, kuris labiau link?s mesti skai?ius 1, o ne 2, ir labiau tik?tina, kad jis i?mes 2 nei 3. Kokia vidutin? ?io kauliuko metimo vert?? Taigi, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, padalinkite i? 6 - gausite 5/3 arba ma?daug 1,66. Taigi, jei turite special? kauliuk?, o ?aid?jai meta tris kauliukus, o paskui susumuoja rezultatus, ?inote, kad j? bendra suma bus apie 5, ir galite subalansuoti ?aidim? remdamiesi ?ia prielaida.

Kauliukai ir nepriklausomyb?

Kaip jau sakiau, mes darome prielaid?, kad kiekvieno veido i?kritimas yra vienodai tik?tinas. Nesvarbu, kiek kauliuk? ?ia i?mesite. Kiekvienas kabliuko ritinys yra nepriklausomas, o tai rei?kia, kad ankstesni ritin?liai neturi ?takos tolesni? ritinim? rezultatams. Atlik? pakankamai bandym?, j?s tikrai pasteb?site skai?i? serij? (pavyzd?iui, da?niausiai sukasi didesnes arba ?emesnes vertes) arba kitas savybes, ta?iau tai nerei?kia, kad kauliukai yra „kar?ti“ ar „?alti“. Apie tai pakalb?sime v?liau.

Jei metate standartin? ?e?iapus? kauliuk? ir du kartus i? eil?s pasirodo skai?ius 6, tikimyb?, kad kito metimo rezultatas bus 6, taip pat yra 1/6. Tikimyb? nedid?ja, nes kauliukas "??ilo" “. Tuo pa?iu tikimyb? nema??ja: neteisinga teigti, kad skai?ius 6 jau du kartus i? eil?s i?krito, vadinasi, dabar turi i?kristi kitas veidas.

?inoma, jei metate kauliuk? dvide?imt kart? ir kiekvien? kart? pasirodo skai?ius 6, tikimyb?, kad dvide?imt pirm? kart? atsiras 6, yra gana didel?: galite tiesiog tur?ti neteising? kauliuk?. Bet jei kauliukas teisingas, tikimyb? gauti kiekvien? veid? yra tokia pati, nepaisant kit? metim? rezultat?. Taip pat galite ?sivaizduoti, kad kauliuk? kei?iame kiekvien? kart?: jei skai?ius 6 met? du kartus i? eil?s, i?imkite „kar?t?“ kauliuk? i? ?aidimo ir pakeiskite j? nauju. Atsipra?au, jei kas nors i? j?s? jau ?inojo apie tai, bet man reik?jo tai paai?kinti prie? t?siant.

Kaip padaryti, kad kauliukai rident?si daugiau ar ma?iau atsitiktinai

Pakalb?kime apie tai, kaip su skirtingais kauliukais pasiekti skirtingus rezultatus. Jei kauliuk? metite tik vien? ar kelis kartus, ?aidimas bus labiau atsitiktinis, kai kauliukas tur?s daugiau kra?t?. Kuo da?niau metate kauliukus ir kuo daugiau kauliuk? metate, tuo rezultatai labiau art?ja prie vidurkio.

Pavyzd?iui, 1d6 + 4 atveju (tai yra, jei vien? kart? metite standartin? ?e?iapus? kauliuk? ir prie rezultato prid?site 4), vidurkis bus skai?ius nuo 5 iki 10. Jei metite 5d2, vidurkis taip pat bus skai?ius tarp 5 ir 10. Ritimo 5d2 rezultatas da?niausiai bus skai?iai 7 ir 8, re?iau kitos reik?m?s. Ta pati serija, net ta pati vidutin? vert? (7,5 abiem atvejais), ta?iau atsitiktinumo pob?dis skiriasi.

Palauk minut?. Ar tik nesakiau, kad kauliukai „ne?kaista“ ir „neat?aldo“? O dabar sakau: jei meti daug kauliuk?, metim? rezultatai artimesni vidutinei vertei. Kod?l?

Leisk man paai?kinti. Jei metate vien? kauliuk?, tikimyb?, kad kiekvienas veidas pasirodys, yra vienoda. Tai rei?kia, kad jei laikui b?gant metite daug kauliuk?, kiekvienas veidas pasirodys ma?daug tiek pat kart?. Kuo daugiau kauliuk? i?mesite, tuo labiau bendras rezultatas priart?s prie vidurkio.

Taip yra ne tod?l, kad susuktas skai?ius „priver?ia“ i?mesti kit? skai?i?, kuris dar nebuvo i?mestas. Nes nedidel? serija metant skai?i? 6 (ar 20, ar dar k? nors) gal? gale netur?s didelio skirtumo, jei kauliuk? metite dar de?imt t?kstan?i? kart? ir da?niausiai tai bus vidurkis. Dabar tur?site kelis didelius skai?ius, o v?liau kelet? ma?? – ir laikui b?gant jie priart?s prie vidutin?s vert?s.

Taip yra ne d?l to, kad ankstesni metimai paveikia kauliuk? (rimtai, kauliukas pagamintas i? plastiko, jis neturi proto galvoti: „O, jau seniai pasirod? 2“), o tod?l, kad da?niausiai taip nutinka. su daugybe metim?.?aisdamas kauliukais.

Taigi gana paprasta apskai?iuoti vienam atsitiktiniam kauliuko metimui – bent jau apskai?iuokite vidutin? metimo vert?. Taip pat yra b?d?, kaip apskai?iuoti, „kiek atsitiktinai“ ka?kas yra ir pasakyti, kad metimo 1d6 + 4 rezultatai bus „labiau atsitiktiniai“ nei 5d2. 5d2 susukti rezultatai bus paskirstyti tolygiau. Nor?dami tai padaryti, turite apskai?iuoti standartin? nuokryp?: kuo didesn? reik?m?, tuo atsitiktinesni bus rezultatai. ?iandien nenor??iau pateikti tiek daug skai?iavim?, ?i? tem? paai?kinsiu v?liau.

Vienintelis dalykas, kur? a? papra?ysiu atsiminti, yra tai, kad paprastai kuo ma?iau kauliuk? i?mesite, tuo atsitiktiniau. Ir kuo daugiau kauliuko pusi?, tuo daugiau atsitiktinumo, nes yra daugiau galim? vert?s variant?.

Kaip apskai?iuoti tikimyb? naudojant skai?iavim?

Jums gali kilti klausimas: kaip galime apskai?iuoti tiksli? konkretaus rezultato tikimyb?? Ties? sakant, tai yra labai svarbu daugeliui ?aidim?: jei i? prad?i? metite kauliuk?, tik?tina, kad rezultatas bus optimalus. Atsakymas yra toks: turime apskai?iuoti dvi reik?mes. Pirma, bendras baig?i? skai?ius metant kauliuk? ir, antra, palanki? rezultat? skai?ius. Padalin? antr?j? reik?m? i? pirmosios, gausite norim? tikimyb?. Nor?dami gauti procent?, padauginkite rezultat? i? 100.

Pavyzd?iai

?tai labai paprastas pavyzdys. Norite mesti 4 ar didesn? skai?i? ir vien? kart? mesti ?e?iapus? kauliuk?. Did?iausias rezultat? skai?ius yra 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). I? j? 3 rezultatai (4, 5, 6) yra palank?s. Taigi, nor?dami apskai?iuoti tikimyb?, padalijame 3 i? 6 ir gauname 0,5 arba 50%.

?tai pavyzdys, kuris yra ?iek tiek sud?tingesnis. Norite, kad 2d6 ritinys gaut? lygin? skai?i?. Maksimalus baig?i? skai?ius yra 36 (6 variantai kiekvienam kauliukas, vienas kauliukas neturi ?takos kitam, tod?l 6 padauginame i? 6 ir gauname 36). ?io tipo klausim? sunkumas yra tas, kad lengva suskai?iuoti du kartus. Pavyzd?iui, metant 2d6, yra dvi galimos 3 baigtys: 1+2 ir 2+1. Jie atrodo vienodai, ta?iau skirtumas yra tas, kuris skai?ius rodomas ant pirmo kauliuko, o kuris ant antrojo.

Taip pat galite ?sivaizduoti, kad kauliukai yra skirting? spalv?: taigi, pavyzd?iui, ?iuo atveju vienas kauliukas yra raudonas, kitas – m?lynas. Tada suskai?iuokite galim? lyginio skai?iaus atvej? skai?i?:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Pasirodo, yra 18 palankaus rezultato variant? i? 36 – kaip ir ankstesniu atveju, tikimyb? yra 0,5 arba 50%. Galb?t netik?ta, bet gana tiksliai.

Monte Karlo simuliacija

K? daryti, jei ?iam skai?iavimui turite per daug kauliuk?? Pavyzd?iui, norite su?inoti, kokia yra tikimyb?, kad i? 8d6 ritinio i? viso atsiras 15 ar daugiau. Yra daugyb? skirting? a?tuoni? kauliuk? rezultat?, o rankinis j? skai?iavimas u?trukt? labai ilgai – net jei rastume ger? sprendim? sugrupuoti skirtingas kauliuk? metim? serijas.

?iuo atveju lengviausia ne skai?iuoti rankiniu b?du, o naudotis kompiuteriu. Yra du b?dai apskai?iuoti tikimyb? kompiuteryje. Pirmuoju b?du galima gauti tiksl? atsakym?, ta?iau tai apima ?iek tiek programavimo ar scenarij?. Kompiuteris per?i?r?s kiekvien? galimyb?, ?vertins ir suskai?iuos bendr? pakartojim? skai?i? ir norim? rezultat? atitinkan?i? pakartojim? skai?i?, o tada pateiks atsakymus. J?s? kodas gali atrodyti ma?daug taip:

Jei nesate programuotojas ir norite ne tikslaus, o apytikslio atsakymo, galite ?i? situacij? imituoti programoje Excel, kur kelis t?kstan?ius kart? permetate 8d6 ir gaunate atsakym?. Nor?dami susukti 1d6 programoje „Excel“, naudokite formul? =GRINDAS(RAND()*6)+1.

Yra pavadinimas situacijai, kai ne?inai atsakymo ir tiesiog bandai daug kart? – Monte Karlo simuliacija. Tai puikus sprendimas, kuriuo galima gr??ti, kai per sunku apskai?iuoti tikimyb?. Puiku tai, kad ?iuo atveju mums nereikia suprasti, kaip veikia matematika, ir ?inome, kad atsakymas bus „gana geras“, nes, kaip jau ?inome, kuo daugiau metim?, tuo labiau rezultatas art?ja prie Vidutin? vert?.

Kaip derinti nepriklausomus bandymus

Jei klausiate apie kelis pakartotinius, bet nepriklausomus bandymus, tai vieno metimo rezultatas neturi ?takos kit? metim? rezultatams. Yra dar vienas paprastesnis ?ios situacijos paai?kinimas.

Kaip atskirti ka?k? priklausomo nuo nepriklausomo? I? esm?s, jei galite atskirti kiekvien? kauliuko metim? (arba metim? serij?) kaip atskir? ?vyk?, tada jis yra nepriklausomas. Pavyzd?iui, mes metame 8d6 ir norime i? viso mesti 15. ?io ?vykio negalima padalyti ? kelis nepriklausomus kauliuk? metimus. Nor?dami gauti rezultat?, apskai?iuojate vis? reik?mi? sum?, tod?l rezultatas, i?mestas ant vieno kauliuko, turi ?takos rezultatams, kurie tur?t? i?mesti kitus.

?tai nepriklausom? metim? pavyzdys: ?aid?iate kauliuk? ?aidim? ir kelis kartus metate ?e?iakampius kauliukus. Pirmasis metimas turi i?mesti 2 ar didesn? skai?i?, kad liktum?te ?aidime. Antram ritiniui - 3 ar daugiau. Tre?iam reikia 4 ar daugiau, ketvirtam – 5 ar daugiau, o penktam – 6. Jei visi penki metimai bus s?kmingi, laimite. ?iuo atveju visi metimai yra nepriklausomi. Taip, jei vienas metimas nepavyks, tai tur?s ?takos viso ?aidimo rezultatams, ta?iau vienas metimas neturi ?takos kitam. Pavyzd?iui, jei j?s? antrasis kauliuko metimas yra labai geras, tai nerei?kia, kad kiti metimai bus tokie pat geri. Tod?l kiekvieno kauliuko metimo tikimyb? galime svarstyti atskirai.

Jei turite nepriklausomas tikimybes ir norite ?inoti, kokia yra tikimyb?, kad ?vyks visi ?vykiai, nustatykite kiekvien? atskir? tikimyb? ir jas padauginkite. Kitas b?das: jei jungtuku „ir“ apib?dinsite kelias s?lygas (pavyzd?iui, kokia tikimyb?, kad ?vyks koks nors atsitiktinis ?vykis ir koks nors kitas nepriklausomas atsitiktinis ?vykis?) – apskai?iuokite individualias tikimybes ir jas padauginkite.

Nesvarbu, k? galvojate – niekada nesuminkite nepriklausom? tikimybi?. Tai da?na klaida. Kad suprastum?te, kod?l tai negerai, ?sivaizduokite situacij?, kai metate monet? ir norite su?inoti, kokia yra tikimyb? gauti galvas du kartus i? eil?s. Tikimyb? i?kristi i? kiekvienos pus?s yra 50%. Jei susumuosite ?ias dvi tikimybes, gausite 100% galimyb? gauti galvas, bet ?inome, kad tai netiesa, nes gali atsirasti dvi uodegos i? eil?s. Jei vietoj to padauginsite dvi tikimybes, gausite 50% * 50% = 25% – tai yra teisingas atsakymas apskai?iuojant tikimyb? gauti galvas du kartus i? eil?s.

Pavyzdys

Gr??kime prie ?e?iakampi? kauliuk? ?aidimo, kai pirmiausia reikia mesti skai?i?, didesn? nei 2, tada daugiau nei 3 – ir taip toliau iki 6. Kokia tikimyb?, kad tam tikroje penki? metim? serijoje visi Ar rezultatai bus palank?s?

Kaip min?ta pirmiau, tai yra nepriklausomi bandymai, tod?l mes apskai?iuojame kiekvieno atskiro metimo tikimyb? ir jas padauginame. Tikimyb?, kad pirmojo metimo rezultatas bus palankus, yra 5/6. Antrasis – 4/6. Tre?ia – 3/6. Ketvirtasis – 2/6, penktas – 1/6. Visus rezultatus padauginame vienas i? kito ir gauname apie 1,5 proc. Laim?jimai ?iame ?aidime yra gana reti, tod?l jei prid?site ?? element? ? savo ?aidim?, jums reik?s gana didelio jackpoto.

Neigimas

?tai dar viena naudinga u?uomina: kartais sunku apskai?iuoti tikimyb?, kad ?vykis ?vyks, bet lengviau nustatyti tikimyb?, kad ?vykis ne?vyks. Pavyzd?iui, tarkime, kad turime kit? ?aidim?: meti 6d6 ir laimi, jei bent kart? meti 6. Kokia tikimyb? laim?ti?

?iuo atveju reikia apsvarstyti daugyb? variant?. Gali b?ti, kad vienas skai?ius 6 i?kris, tai yra, ant vieno i? kauliuk? i?kris skai?ius 6, o ant kit? – skai?iai nuo 1 iki 5, tada yra 6 variantai, kuris i? kauliuk? tur?s a 6. Skai?ius 6 galite gauti ant dviej? kauliuk?, trij?, ar net daugiau, ir kiekvien? kart? tur?site atlikti atskir? skai?iavim?, tod?l ?ia lengva susipainioti.

Ta?iau pa?velkime ? problem? i? kitos pus?s. J?s pralaimite, jei n? vienas kauliukas nei?meta 6. ?iuo atveju turime 6 nepriklausomus bandymus. Tikimyb?, kad kiekvienas kauliukas i?mes kit? skai?i? nei 6, yra 5/6. Padauginkite juos ir gaukite apie 33%. Taigi tikimyb? pralaim?ti yra viena i? trij?. Tod?l tikimyb? laim?ti yra 67% (arba nuo dviej? iki trij?).

I? ?io pavyzd?io akivaizdu, kad jei skai?iuojate tikimyb?, kad ?vykis ne?vyks, jums reikia atimti rezultat? i? 100%. Jei tikimyb? laim?ti yra 67%, tai tikimyb? pralaim?ti yra 100% minus 67%, arba 33%, ir atvirk??iai. Jei sunku apskai?iuoti vien? tikimyb?, bet lengva apskai?iuoti prie?ing?, apskai?iuokite prie?ing? ir tada atimkite ?? skai?i? i? 100%.

Prijungimo s?lygos vienam nepriklausomam bandymui

?iek tiek anks?iau sakiau, kad nepriklausom? bandym? metu niekada netur?tum?te sumuoti tikimybi?. Ar yra atvej?, kai tikimybes galima susumuoti? Taip, vienoje konkre?ioje situacijoje.

Jei norite apskai?iuoti keli? nesusijusi? palanki? rezultat? tikimyb? atliekant t? pat? bandym?, susumuokite kiekvieno palankaus rezultato tikimyb?. Pavyzd?iui, tikimyb? i?ried?ti 4, 5 arba 6 ant 1d6 yra lygi tikimybi? ridenimui 4, tikimyb?s ridenti 5 ir ridenimo tikimyb?s 6 sumai. ?i? situacij? galima pavaizduoti taip: jei j?s klausime apie tikimyb? (pavyzd?iui, kokia vienokio ar kitokio vieno atsitiktinio ?vykio baigties tikimyb??) vartokite jungtuk? „arba“ – apskai?iuokite individualias tikimybes ir jas susukite.

Atkreipkite d?mes?: kai skai?iuojate visas galimas ?aidimo baigtis, j? atsiradimo tikimybi? suma turi b?ti lygi 100%, kitu atveju j?s? skai?iavimas atliktas neteisingai. Tai geras b?das dar kart? patikrinti savo skai?iavimus. Pavyzd?iui, j?s i?analizavote tikimyb? gauti visas kombinacijas pokeryje. Jei sud?site visus gautus rezultatus, tur?tum?te gauti lygiai 100 % (arba bent jau 100 % artim? reik?m?: jei naudojate skai?iuotuv?, gali b?ti nedidel? apvalinimo klaida, bet jei pridedate tikslius skai?ius ranka, viskas tur?t? sumuotis. ). Jei suma nesumuojama, grei?iausiai neatsi?velg?te ? kai kuriuos derinius arba neteisingai apskai?iavote kai kuri? derini? tikimyb?, tod?l skai?iavimus reikia dar kart? patikrinti.

Nelygios tikimyb?s

Iki ?iol man?me, kad kiekvienas ?tampo pavir?ius i?krenta tuo pa?iu da?niu, nes taip veikia kabliukas. Ta?iau kartais galite susidurti su situacija, kai galimi skirtingi rezultatai ir jie turi skirting? galimyb? i?kristi.

Pavyzd?iui, viename i? kort? ?aidimo „Nuclear War“ papildym? yra ?aidimo laukas su rodykle, kuri lemia raketos paleidimo rezultat?. Da?niausiai ji padaro ?prast? ?al?, daugiau ar ma?iau, bet kartais ?ala padvigub?ja ar trigubai, arba raketa sprogsta ant paleidimo aik?tel?s ir kenkia jums, ar ?vyksta koks nors kitas ?vykis. Skirtingai nuo rodykli? lentos ?aidimuose „Chutes & Ladders“ arba „A Game of Life“, lentos rezultatai branduoliniame kare n?ra vienodai tik?tini. Kai kurios ?aidimo lauko dalys yra didesn?s ir rodykl? ant j? sustoja daug da?niau, o kitos – labai ma?os ir rodykl? ant j? sustoja retai.

Taigi, i? pirmo ?vilgsnio, kaulas atrodo ma?daug taip: 1, 1, 1, 2, 2, 3 – apie tai jau kalb?jome, tai ka?kas pana?aus ? svertin? 1d3. Tod?l visas ?ias dalis reikia padalyti ? lygias dalis, rasti ma?iausi? matavimo vienet? – dalikl?, kurio viskas yra kartotinis, ir tada pavaizduoti situacij? forma d522 (ar kokia nors kita), kur kauliuk? rinkinys. veidai reprezentuos t? pa?i? situacij?, bet su daugiau rezultat?. Tai yra vienas i? b?d? i?spr?sti problem? ir techni?kai ?manomas, ta?iau yra ir paprastesnis pasirinkimas.

Gr??kime prie standartini? ?e?iakampi? kauliuk?. Mes sak?me, kad norint apskai?iuoti vidutin? ?prasto kauliuko metimo vert?, reikia susumuoti vis? veid? reik?mes ir padalyti jas i? veid? skai?iaus, bet kaip tiksliai skai?iuojama? Galite i?reik?ti skirtingai. ?e?iakampio kauliuko atveju kiekvieno veido atsiradimo tikimyb? yra lygiai 1/6. Dabar kiekvieno aspekto rezultat? padauginame i? to rezultato tikimyb?s (?iuo atveju 1/6 kiekvienam aspektui) ir susumuojame gautas vertes. Taigi, susumavus (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6), gauname t? pat? rezultat? (3.5), kaip ir auk??iau esan?iame skai?iavime. Ties? sakant, mes tai apskai?iuojame kiekvien? kart?: kiekvien? rezultat? padauginame i? to rezultato tikimyb?s.

Ar galime taip pat apskai?iuoti rodykl? ant ?aidimo lentos branduoliniame kare? ?inoma, kad galime. Ir jei susumuojame visus rastus rezultatus, gauname vidutin? reik?m?. Viskas, k? turime padaryti, tai apskai?iuoti kiekvieno rezultato tikimyb? rodyklei ?aidimo lauke ir padauginti i? rezultato vert?s.

Kitas pavyzdys

Min?tas vidurkio apskai?iavimo b?das taip pat tinkamas, jei rezultatai vienodai tik?tini, bet turi skirtingus privalumus – pavyzd?iui, metant kauliuk? ir laimite vienu veidu daugiau nei kit?. Pavyzd?iui, paimkime ?aidim?, kuris vyksta kazino: statote ir metate 2d6. Jei pasirodys trys ma?os vert?s skai?iai (2, 3, 4) arba keturi didel?s vert?s skai?iai (9, 10, 11, 12), laim?site sum?, lygi? j?s? statymui. Skai?iai su ma?iausia ir did?iausia verte yra ypatingi: jei pasirodys 2 arba 12, laim?site dvigubai daugiau nei j?s? statymas. Jei pasirodys koks nors kitas skai?ius (5, 6, 7, 8), prarasite statym?. Tai gana paprastas ?aidimas. Bet kokia tikimyb? laim?ti?

Prad?kime nuo to, kiek kart? galite laim?ti. Did?iausias 2d6 metimo rezultat? skai?ius yra 36. Koks yra palanki? rezultat? skai?ius?

• Yra 1 parinktis, kuri i?mes 2, ir 1 parinktis, kuri i?mes 12.
• Yra 2 parinktys 3 ir 2 parinktys 11.
• Yra 3 parinktys 4 ir 3 parinktys 10.
• Yra 4 variantai, i? kuri? bus 9.

Susumavus visus variantus, gauname 16 palanki? baig?i? i? 36. Taigi ?prastomis s?lygomis laim?site 16 kart? i? 36 galim? – tikimyb? laim?ti yra kiek ma?esn? nei 50%.

Bet du kartus i? t? ?e?iolikos laim?site dvigubai daugiau – tai tarsi laim?ti du kartus. Jei ?aid?iate ?? ?aidim? 36 kartus, kiekvien? kart? statydami po 1 USD, o kiekvienas i? vis? galim? baig?i? ?vyksta vien? kart?, i? viso laimite 18 USD (i? tikr?j? laimite 16 kart?, bet du i? j? skai?iuojami kaip du laim?jimai). Jei ?aid?iate 36 kartus ir laimite 18 USD, ar tai nerei?kia, kad tikimyb? yra lygi?

Neskub?k. Jei suskai?iuosite, kiek kart? galite pralaim?ti, gausite 20, o ne 18. Jei ?aisite 36 kartus, kiekvien? kart? statydami po 1 doler?, i? viso laim?site 18 JAV doleri?, kai atsiras visi koeficientai. Ta?iau i? viso prarasite 20 USD d?l vis? 20 blog? rezultat?. D?l to j?s ?iek tiek atsiliksite: prarandate vidutini?kai 2 USD grynojo kas 36 ?aidimus (taip pat galite sakyti, kad prarandate vidutini?kai 1/18 USD per dien?). Dabar matote, kaip lengva tokiu atveju suklysti ir neteisingai apskai?iuoti tikimyb?.

permutacija

Iki ?iol man?me, kad metant kauliuk? skai?i? metimo tvarka neturi reik?m?s. Metimas 2 + 4 yra tas pats, kas 4 + 2. Daugeliu atvej? mes patys skai?iuojame palanki? rezultat? skai?i?, ta?iau kartais ?is metodas yra neprakti?kas ir geriau naudoti matematin? formul?.

?ios situacijos pavyzdys yra i? Farkle kauliuk? ?aidimo. U? kiekvien? nauj? raund? metate 6d6. Jei jums pasiseks ir visi galimi rezultatai 1-2-3-4-5-6 (tiesiai), gausite didel? premij?. Kokia tikimyb?, kad taip nutiks? ?iuo atveju yra daug variant?, kaip prarasti ?? derin?.

Sprendimas toks: ant vieno i? kauliuk? (ir tik ant vieno) turi i?kristi skai?ius 1. Kiek variant?, kad ant vieno kauliuko i?krist? skai?ius 1? Yra 6 variantai, nes yra 6 kauliukai ir ant bet kurio i? j? gali kristi skai?ius 1. Atitinkamai paimkite vien? kauliuk? ir pad?kite j? ? ?al?. Dabar ant vieno i? likusi? kauliuk? tur?t? kristi skai?ius 2. Tam yra 5 variantai. Paimkite kit? kauliuk? ir atid?kite j? ? ?al?. Tada 4 i? likusi? kauliuk? gali nusileisti ant 3, 3 i? likusi? kauliuk? gali nusileisti ant 4, o 2 i? likusi? kauliuk? gali nusileisti ant 5. D?l to jums lieka vienas kauliukas, ant kurio nurodytas skai?ius 6 tur?t? kristi (pastaruoju atveju kauliukas yra tik vienas kaulas, o pasirinkimo n?ra).

Nor?dami suskai?iuoti palanki? rezultat? skai?i?, kad susidaryt? tiesus derinys, padauginame visas skirtingas nepriklausomas parinktis: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 – atrodo, kad yra gana daug variant? ?is derinys pasirodys.

Nor?dami apskai?iuoti tikimyb? gauti tiesi? kombinacij?, turime padalyti 720 i? vis? galim? metimo 6d6 rezultat? skai?iaus. Koks yra vis? galim? rezultat? skai?ius? Kiekvienas kauliukas gali i?mesti 6 veidus, tod?l padauginame 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (daug didesnis skai?ius nei ankstesnis). 720 padaliname i? 46656 ir gauname tikimyb?, lygi? ma?daug 1,5%. Jei k?r?te ?? ?aidim?, jums b?t? naudinga tai ?inoti, kad gal?tum?te sukurti tinkam? ta?k? skai?iavimo sistem?. Dabar suprantame, kod?l Farkle gausite toki? didel? premij?, jei pataikote tiesi? kombinacij?: tokia situacija yra gana reta.

Rezultatas ?domus ir d?l kitos prie?asties. Pavyzdys parodo, kaip retai per trump? laik? i?krenta tikimyb? atitinkantis rezultatas. ?inoma, jei ridentume kelis t?kstan?ius kauliuk?, skirtingos kauliuko pus?s atsirasdavo gana da?nai. Ta?iau kai metame tik ?e?is kauliukus, beveik niekada neatsitinka taip, kad atsirast? kiekvienas kauliukas. Pasidaro ai?ku, kad kvaila tik?tis, kad dabar i?kris veidas, kurio dar nebuvo, nes „seniai nenumet?me numerio 6“. ?i?r?kite, j?s? atsitiktini? skai?i? generatorius suged?s.

Tai veda prie paplitusios klaidingos nuomon?s, kad visi rezultatai per trump? laik? atsiranda tokiu pa?iu grei?iu. Jei kauliuk? ridensime kelis kartus, kiekvieno veidelio da?nis nebus vienodas.

Jei kada nors anks?iau dirbote internetiniame ?aidime su kokiu nors atsitiktini? skai?i? generatoriumi, grei?iausiai susid?r?te su situacija, kai ?aid?jas ra?o techninei pagalbai su skundu, kad atsitiktini? skai?i? generatorius nerodo atsitiktini? skai?i?. Jis padar? toki? i?vad?, nes nu?ud? 4 monstrus i? eil?s ir gavo 4 lygiai tokius pa?ius apdovanojimus, o ?ie atlygiai tur?t? suma??ti tik 10% atvej?, tod?l akivaizdu, kad tai netur?t? atsitikti beveik niekada.

J?s darote matematik?. Tikimyb? yra 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, tai yra, 1 rezultatas i? 10 t?kstan?i? yra gana retas atvejis. ?tai k? ?aid?jas bando tau pasakyti. Ar ?iuo atveju yra problem??

Viskas priklauso nuo aplinkybi?. Kiek ?aid?j? dabar yra j?s? serveryje? Tarkime, kad turite gana populiar? ?aidim? ir kiekvien? dien? j? ?aid?ia 100 000 ?moni?. Kiek ?aid?j? nu?udys keturis monstrus i? eil?s? Turb?t viskas, kelis kartus per dien?, bet tarkime, kad pus? j? tiesiog prekiauja ?vairiais daiktais aukcionuose, kalbasi RP serveriuose ar u?siima kita ?aidimo veikla – taigi tik pus? j? med?ioja monstrus. Kokia tikimyb?, kad ka?kas gaus tok? pat? atlyg?? Esant tokiai situacijai, galite tik?tis, kad tai ?vyks bent kelis kartus per dien?.

Beje, tod?l atrodo, kad kas kelias savaites kas nors laimi loterijoje, net jei tas ?mogus niekada nebuvo tu ar tavo pa??stamas ?mogus. Jei reguliariai ?aid?ia pakankamai ?moni?, tik?tina, kad ka?kur bus bent vienas laimingasis. Bet jei pats ?aidi loterijoje, vargu ar laim?si, labiau tik?tina, kad b?si pakviestas dirbti ? Infinity Ward.

?em?lapiai ir priklausomyb?

Aptar?me nepriklausomus ?vykius, tokius kaip kauliuko metimas, o dabar ?inome daug galing? ?ranki?, skirt? daugelio ?aidim? atsitiktinumui analizuoti. Tikimybi? skai?iavimas yra ?iek tiek sud?tingesnis, kai kalbama apie kort? traukim? i? kalad?s, nes kiekviena m?s? i?imama korta paveikia tas, kurios lieka kalad?je.

Jei turite standartin? 52 kort? kalad?, i? jos i?traukiate 10 ?ird?i? ir norite su?inoti tikimyb?, kad kita korta bus tos pa?ios spalvos – tikimyb? pasikeit? nuo pradin?s, nes jau i??m?te vien? ?irdies kortel? i? kortel?s. denis. Kiekviena j?s? pa?alinta korta kei?ia tikimyb?, kad kalad?je pasirodys kita korta. ?iuo atveju ankstesnis ?vykis turi ?takos kitam, tod?l tai vadiname priklausoma tikimybe.

Atminkite, kad sakydamas „kortos“ turiu galvoje bet kur? ?aidim? mechanik?, turint? objekt? rinkin? ir j?s pa?alinate vien? i? objekt? jo nepakeisdami. "Kort? kalad?" ?iuo atveju yra analogi?ka ?eton? mai?eliui, i? kurio i?imate vien? ?eton?, arba urnai, i? kurios i?imami spalvoti kamuoliukai (nesu mat?s ?aidim? su urna, i? kurios b?t? paimami spalvoti kamuoliukai i?, bet tikimybi? teorijos mokytojai d?l koki? nors prie?as?i?, ?is pavyzdys yra pageidaujamas).

Priklausomyb?s savyb?s

Nor??iau patikslinti, kad kalbant apie kortas, manau, kad j?s i?traukiate kortas, ?i?rite ? jas ir i?imate i? kalad?s. Kiekvienas i? ?i? veiksm? yra svarbi savyb?. Jei tur??iau, tarkime, ?e?i? kort? kalad?, sunumeruot? nuo 1 iki 6, a? jas sumai?y?iau ir i?trauk?iau vien? kort?, tada v?l sumai?y?iau visas ?e?ias kortas – tai b?t? pana?u ? ?e?iakampio kauliuko metim?, nes vienas rezultatas ne ?takos ?ia kitiems. O jei i?traukiu kortas ir j? nepakeisiu, tai i?traukdamas 1 kort? padidinu tikimyb?, kad kit? kart? i?trauksiu kort? su skai?iumi 6. Tikimyb? did?s, kol galiausiai i?trauksiu ?i? kort? arba sumai?ysiu kalad?.

Svarbu ir tai, kad ?i?rime ? kortas. Jei i?imsiu kortel? i? kalad?s ir nepa?i?r?siu, netur?siu papildomos informacijos ir i? tikr?j? tikimyb? nepasikeis. Tai gali skamb?ti nelogi?kai. Kaip tiesiog kortos apvertimas gali stebuklingai pakeisti ?ansus? Ta?iau tai ?manoma, nes ne?inom? element? tikimyb? galite apskai?iuoti tik remdamiesi tuo, k? ?inote.

Pavyzd?iui, jei sumai?ote standartin? kort? kalad?, atskleid?iate 51 kort? ir n? viena i? j? n?ra klub? karalien?, tuomet galite b?ti 100% tikri, kad likusi korta yra klub? karalien?. Jei sumai?ysite standartin? kort? kalad? ir i?trauksite 51 kort? ? jas ne?i?r?dami, tada tikimyb?, kad likusi korta yra klub? karalien?, vis tiek yra 1/52. Kai atidarote kiekvien? kortel?, gaunate daugiau informacijos.

Skai?iuojant priklausom? ?vyki? tikimyb?, vadovaujamasi tais pa?iais principais kaip ir nepriklausomiems ?vykiams, i?skyrus tai, kad tai yra ?iek tiek sud?tingiau, nes tikimyb? pasikei?ia, kai atskleid?iate kortas. Taigi, u?uot dauginus t? pa?i? vert?, reikia padauginti daug skirting? ver?i?. Ties? sakant, tai rei?kia, kad turime sujungti visus skai?iavimus, kuriuos atlikome ? vien? derin?.

Pavyzdys

Sumai?ote standartin? 52 kort? kalad? ir i?traukiate dvi kortas. Kokia tikimyb?, kad i?trauksite por?? ?i? tikimyb? galima apskai?iuoti keliais b?dais, bet bene papras?iausias yra toks: kokia tikimyb?, kad, i?traukus vien? kort?, nepavyks i?traukti poros? ?i tikimyb? lygi nuliui, tod?l visai nesvarbu, kuri? pirm?j? kortel? i?trauksite, jei tik ji sutampa su antr?ja. Nesvarbu, kuri? kort? i?traukiame pirmiausia, vis tiek turime galimyb? i?traukti por?. Tod?l tikimyb? i?traukti por? po pirmosios kortel?s yra 100%.

Kokia tikimyb?, kad antroji korta sutaps su pirm?ja? Kaled?je liko 51 korta, i? kuri? 3 sutampa su pirm?ja korta (i? tikr?j? tai b?t? 4 i? 52, bet j?s jau pa?alinote vien? i? atitinkan?i? kort?, kai i?trauk?te pirm? kort?), tod?l tikimyb? yra 1/ 17. Taigi kit? kart?, kai vaikinas prie?ais jus prie stalo ?ais Texas Hold'em, jis sako: „?aunu, dar viena pora? Man ?iandien pasisek?“, – ?inosite, kad su didele tikimybe jis blefuoja.

K? daryti, jei prid?sime du juokdarius, kad kalad?je b?t? 54 kortos ir norime su?inoti, kokia yra tikimyb? i?traukti por?? Pirmoji korta gali b?ti juokdarys, o tada kalad?je bus tik viena, o ne trys korta. Kaip tokiu atveju rasti tikimyb?? Padalijame tikimybes ir padauginame kiekvien? galimyb?.

Pirmoji m?s? korta gali b?ti juokdarys ar kita korta. Jokerio i?traukimo tikimyb? yra 2/54, kitos kortos i?traukimo tikimyb? yra 52/54. Jei pirmoji korta yra juokdarys (2/54), tada tikimyb?, kad antroji korta atitiks pirm?j?, yra 1/53. Padauginame reik?mes (galime jas padauginti, nes tai yra atskiri ?vykiai ir norime, kad ?vykt? abu ?vykiai) ir gauname 1/1431 – ma?iau nei de?imtadal? procento.

Jei pirmiausia i?traukiate kit? kort? (52/54), tikimyb?, kad antroji korta atitiks, yra 3/53. Padauginame reik?mes ir gauname 78/1431 (?iek tiek daugiau nei 5,5%). K? daryti su ?iais dviem rezultatais? Jie nesikerta, o mes norime ?inoti kiekvieno i? j? tikimyb?, tod?l sumuojame reik?mes. Gauname galutin? rezultat? 79/1431 (dar apie 5,5%).

Jei nor?tume b?ti tikri d?l atsakymo tikslumo, gal?tume paskai?iuoti vis? kit? galim? baig?i? tikimyb?: i?traukite juokdar? ir neatitiksite antrosios kortos, arba i?trauksime koki? nors kit? ir neatitiksite antros kortos. Susumavus ?ias tikimybes ir tikimyb? laim?ti, gautume lygiai 100 proc. Matematikos ?ia nepateiksiu, bet galite i?bandyti matematik?, kad patikrintum?te dar kart?.

Monty Hall paradoksas

Tai priveda prie gana gerai ?inomo paradokso, kuris da?nai klaidina daugel? – Monty Hall paradoks?. Paradoksas pavadintas TV laidos „Sudaryk sandor?“ ved?jo vardu.Tiems, kurie niekada nemat? ?ios laidos, pasakysiu, kad tai buvo „The Price Is Right“ prie?ingyb?.

Filmo „The Price Is Right“ ved?jas (anks?iau ved? Bobas Barkeris, dabar – Drew Carey? Nevermind) yra j?s? draugas. Jis nori, kad laim?tum?te pinig? ar ?auni? priz?. Ji stengiasi suteikti jums visas galimybes laim?ti, jei tik galite atsp?ti, kiek i? tikr?j? verti remiami daiktai.

Monty Hall elg?si kitaip. Jis buvo tarsi piktasis Bobo Barkerio dvynys. Jo tikslas buvo priversti tave atrodyti kaip idiotas nacionalin?je televizijoje. Jei dalyvavote ?ou, jis buvo j?s? prie?ininkas, ?aid?te prie? j? ir ?ansai buvo jo naudai. Galb?t a? elgiuosi pernelyg grie?tai, bet ?i?r?damas ? spektakl?, ? kur? labiau pateksite, jei d?vite juoking? kostium?, a? b?tent tai ir ruo?iuosi.

Vienas ?inomiausi? laidos mem? buvo toks: prie?ais jus yra trys durys, dur? numeris 1, dur? numeris 2 ir dur? numeris 3. Vienas duris galite pasirinkti nemokamai. U? vieno i? j? yra puikus prizas – pavyzd?iui, naujas automobilis. U? kit? dviej? dur? n?ra priz?, jie abu yra bevert?s vert?s. Jie tur?t? jus pa?eminti, tod?l u? j? yra ne ?iaip niekas, o ka?kas kvailo, pavyzd?iui, o?ka ar did?iul? dant? pastos t?bel? – viskas, i?skyrus nauj? automobil?.

J?s pasirenkate vienas i? dur?, Monty ruo?iasi jas atidaryti, kad prane?t?, ar laim?jote, ar ne... bet palaukite. Prie? ?inodami, pa?velkime ? vien? i? t? dur?, kuri? nepasirinkote. Monty ?ino, u? kuri? dur? yra prizas, ir visada gali atidaryti duris, u? kuri? n?ra prizo. „Ar renkat?s duris numeris 3? Tada atidarykime duris numeris 1, kad parodytume, jog u? jo n?ra prizo. O dabar jis i? dosnumo si?lo galimyb? pasirinktas duris numeris 3 i?keisti ? tai, kas yra u? dur? numeris 2.

?iuo metu i?kyla tikimyb?s klausimas: ar ?i galimyb? padidina j?s? tikimyb? laim?ti, ar j? suma?ina, ar ji i?lieka nepakitusi? K? tu manai?

Teisingas atsakymas: galimyb? pasirinkti kitas duris padidina tikimyb? laim?ti nuo 1/3 iki 2/3. Tai nelogi?ka. Jei dar nesusid?r?te su ?iuo paradoksu, grei?iausiai galvojate: palauk, kaip yra: atidar? vienas duris stebuklingai pakeit?me tikimyb?? Kaip mat?me ?em?lapi? pavyzdyje, b?tent taip nutinka, kai gauname daugiau informacijos. Akivaizdu, kad renkantis pirm? kart?, tikimyb? laim?ti yra 1/3. Kai atsidaro vienos durys, tai visi?kai nekei?ia tikimyb?s laim?ti pirm?j? pasirinkim?: tikimyb? vis tiek yra 1/3. Ta?iau tikimyb?, kad kitos durys yra teisingos, dabar yra 2/3.

Pa?velkime ? ?? pavyzd? i? kitos pus?s. J?s pasirenkate duris. Tikimyb? laim?ti yra 1/3. Si?lau pakeisti kitas dvi duris, k? ir daro Monty Hall. ?inoma, jis atidaro vienas i? dur?, kad parodyt?, kad u? jo n?ra prizo, bet jis visada gali tai padaryti, tod?l tai tikrai nieko nekei?ia. ?inoma, nor?site rinktis kitokias duris.

Jei nelabai suprantate klausim? ir jums reikia ?tikinamesnio paai?kinimo, spustel?kite ?i? nuorod?, kad patektum?te ? puiki? ma?? „Flash“ program?, kuri leis jums i?samiau i?tirti ?? paradoks?. Galite prad?ti nuo ma?daug 10 dur? ir palaipsniui pereiti prie ?aidimo su trimis durimis. Taip pat yra simuliatorius, kuriame galite ?aisti su bet kokiu dur? skai?iumi nuo 3 iki 50 arba atlikti kelis t?kstan?ius simuliacij? ir pamatyti, kiek kart? laim?tum?te, jei ?aistum?te.

Pasirinkite vien? i? trij? dur? – tikimyb? laim?ti yra 1/3. Dabar turite dvi strategijas: pakeisti pasirinkim? atidarius netinkamas duris ar ne. Jei nepakeisite savo pasirinkimo, tada tikimyb? i?liks 1/3, nes pasirinkimas yra tik pirmame etape, ir j?s turite atsp?ti i? karto. Jei pasikeisi, tai gali laim?ti, jei i? prad?i? pasirinksi netinkamas duris (tada atidaro kitas netinkamas, lieka tinkamos – kei?iant sprendim?, tu tiesiog j? priimi). Tikimyb?, kad prad?ioje pasirinksite netinkamas duris, yra 2/3 – taip i?eina, kad pakeit? savo sprendim?, j?s padvigubinate tikimyb? laim?ti.

Auk?tosios matematikos mokytojo ir ?aidim? balanso specialisto Maksimo Soldatovo pastaba - ?inoma, Schreiberis to netur?jo, bet be jos gana sunku suprasti ?i? magi?k? transformacij?

Per?i?r?jimas ? Monty Hall paradoks?

Kalbant apie pat? pasirodym?, net jei Monty Hall var?ovai ir nebuvo geri matematikoje, jam sek?si. ?tai k? jis padar?, kad ?iek tiek pakeist? ?aidim?. Jei pasirinkote duris, u? kuri? buvo prizas, su 1/3 tikimybe, jis visada pasi?lydavo jums galimyb? pasirinkti kitas duris. I?sirenki ma?in?, i?keiji j? ? o?k? ir atrodai gana kvailai – tai b?tent tai, ko tau reikia, nes Holas yra savoti?kas piktadarys.

Bet jei pasirinksite duris, kuriose n?ra prizo, jis tik pus? laiko pasi?lys kitas duris arba tiesiog parodys j?s? nauj? o?k? ir j?s paliksite scen?. I?analizuokime ?? nauj? ?aidim?, kuriame Monty Hall gali nuspr?sti, ar pasi?lyti jums galimyb? pasirinkti kitas duris, ar ne.

Tarkime, jis vadovaujasi tokiu algoritmu: jei renkat?s duris su prizu, jis visada pasi?lo galimyb? pasirinkti kitas duris, kitu atveju jis lygiai taip pat pasi?lys pasirinkti kitas duris arba padovanos o?k?. Kokia tikimyb? laim?ti?

Viename i? trij? variant? j?s i? karto pasirenkate duris, u? kuri? yra prizas, o ved?jas kvie?ia pasirinkti kitas.

I? likusi? dviej? variant? i? trij? (duris i? prad?i? renkat?s be prizo) puse atvej? ?eimininkas pasi?lys keisti sprendim?, o kita puse – ne.

Pus? 2/3 yra 1/3, tai yra vienu atveju i? trij? gausite o?k?, vienu atveju i? trij? pasirinksite netinkamas duris ir ?eimininkas pasi?lys rinktis kitas, o vienu atveju i? trij? pasirinksite tinkamas duris, bet jis v?l pasi?lys kitas.

Jei ved?jas pasi?lo rinktis kitas duris, jau ?inome, kad vieno i? trij? atvej?, kai duoda o?k? ir mes i?einame, neatsitiko. Tai naudinga informacija: tai rei?kia, kad m?s? galimyb?s laim?ti pasikeit?. Du i? trij? atvej?, kai turime pasirinkim?: vienu atveju tai rei?kia, kad atsp?jome teisingai, o kitu atveju, kad atsp?jome neteisingai, taigi, jei mums apskritai b?t? pasi?lytas pasirinkimas, tada m?s? laim?jimo tikimyb? yra 1 /2 , ir matemati?kai nesvarbu, ar pasiliksite savo pasirinkimu, ar pasirinksite kitas duris.

Kaip ir pokeris, tai psichologinis, o ne matematinis ?aidimas. Kod?l Monty pasi?l? jums pasirinkim?? Ar jis mano, kad esi paprastas, kuris ne?ino, kad kit? dur? pasirinkimas yra „teisingas“ sprendimas ir atkakliai laikysis savo pasirinkimo (juk situacija psichologi?kai sud?tingesn?, kai i?sirenki automobil?, o paskui j? prarandi) ?

O gal jis, nusprend?s, kad esi protinga ir renkiesi kitas duris, si?lo tau tok? ?ans?, nes ?ino, kad i? prad?i? atsp?jai teisingai ir u?kritai ant kabliuko? O gal jis neb?dingas malonus ir ver?ia tave padaryti k? nors naudingo, nes jau seniai nedovanoja ma?in?, o prodiuseriai sako, kad publikai darosi nuobodu, o ver?iau grei?iau ?teikti didel? priz?, kad ar reitingai suma??jo?

Taigi Monty kartais sugeba pasi?lyti pasirinkim?, o bendra tikimyb? laim?ti i?lieka lygi 1/3. Atminkite, kad tikimyb?, kad pralaim?site i? karto, yra 1/3. Yra 1/3 tikimyb?, kad atsp?site i? karto, ir 50% t? kart? laim?site (1/3 x 1/2 = 1/6).

Tikimyb?, kad i? prad?i? atsp?site neteisingai, bet v?liau tur?site galimyb? pasirinkti kitas duris, yra 1/3, ir puse ?i? atvej? laim?site (taip pat 1/6). Sud?kite dvi nepriklausomas laim?jimo galimybes ir gausite 1/3 tikimyb?, tod?l nesvarbu, ar pasiliksite savo pasirinkim?, ar pasirinksite kitas duris – bendra j?s? laim?jimo tikimyb? viso ?aidimo metu yra 1/3.

Tikimyb? netampa didesn? nei situacijoje, kai atsp?jote duris, o ?eimininkas tiesiog parod?, kas u? j? yra, nepasi?lydamas rinktis kitas. Si?lymo esm? – ne keisti tikimyb?, o padaryti, kad sprendim? pri?mimo procesas b?t? smagesnis televizijos ?i?r?jimui.

Beje, tai yra viena i? prie?as?i?, kod?l pokeris gali b?ti toks ?domus: daugumoje format? tarp raund?, kai atliekami statymai (pavyzd?iui, flopas, turnas ir riveris Texas Hold'em ?aidime), pama?u atskleid?iamos kortos, ir jei ?aidimo prad?ioje turite vien? galimyb? laim?ti , tai po kiekvieno statymo raundo, kai yra atvira daugiau kort?, ?i tikimyb? pasikei?ia.

Berniuko ir mergait?s paradoksas

Tai atveda mus prie kito gerai ?inomo paradokso, kuris link?s gluminti visus – berniuko ir mergait?s paradoks?. Vienintelis dalykas, apie kur? ?iandien ra?au, n?ra tiesiogiai susij?s su ?aidimais (nors manau, kad tiesiog turiu jus past?m?ti sukurti tinkam? ?aidim? mechanik?). Tai daugiau galvos?kis, bet ?domus, ir norint j? i?spr?sti, reikia suprasti s?lygin? tikimyb?, apie kuri? kalb?jome auk??iau.

U?duotis: Turiu draug? su dviem vaikais, bent vienas i? j? yra mergait?. Kokia tikimyb?, kad antrasis vaikas taip pat yra mergait?? Tarkime, kad bet kurioje ?eimoje tikimyb? susilaukti mergait?s ir berniuko yra 50/50, ir tai galioja kiekvienam vaikui.

Ties? sakant, kai kuri? vyr? spermoje yra daugiau spermatozoid? su X chromosoma arba Y chromosoma, tod?l tikimyb? ?iek tiek skiriasi. Jei ?inote, kad vienas vaikas yra mergait?, tikimyb? susilaukti antros mergait?s yra ?iek tiek didesn?, yra ir kit? s?lyg?, pavyzd?iui, hermafroditizmas. Ta?iau nor?dami i?spr?sti ?i? problem?, mes ? tai neatsi?velgsime ir manysime, kad vaiko gimimas yra savaranki?kas ?vykis, o berniuko ir mergait?s gimimas yra vienodai tik?tinas.

Kadangi kalbame apie 1/2 ?ans?, intuityviai tikim?s, kad atsakymas bus 1/2 arba 1/4 arba koks nors kitas vardiklio dviej? kartotinis. Bet atsakymas yra 1/3. Kod?l?

?iuo atveju sunkumas yra tas, kad m?s? turima informacija suma?ina galimybi? skai?i?. Tarkime, t?vai yra Sezamo gatv?s gerb?jai ir, nepaisant vaik? lyties, pavadino juos A ir B. ?prastomis s?lygomis yra keturios vienodai tik?tinos galimyb?s: A ir B yra du berniukai, A ir B yra dvi mergait?s, A yra berniukas ir B yra mergait?, A yra mergait? ir B yra berniukas. Kadangi ?inome, kad bent vienas vaikas yra mergait?, galime atmesti galimyb?, kad A ir B yra du berniukai. Taigi mums liko trys galimyb?s – vis dar vienodai tik?tina. Jei visos galimyb?s yra vienodai tik?tinos ir j? yra trys, tai kiekvienos i? j? tikimyb? yra 1/3. Tik viename i? ?i? trij? variant? abu vaikai yra mergait?s, tod?l atsakymas yra 1/3.

Ir v?l apie berniuko ir mergait?s paradoks?

Problemos sprendimas tampa dar nelogi?kesnis. ?sivaizduokite, kad mano draugas turi du vaikus ir vienas i? j? yra antradien? gimusi mergait?. Tarkime, kad normaliomis s?lygomis vaikas gims vienodai kiekvien? i? septyni? savait?s dien?. Kokia tikimyb?, kad antrasis vaikas taip pat yra mergait??

Galb?t manote, kad atsakymas vis tiek b?t? 1/3: k? rei?kia antradienis? Ta?iau ?iuo atveju intuicija mus ?lugdo. Atsakymas yra 13/27, o tai ne tik ne intuityvu, bet ir labai keista. Kas ?iuo atveju yra?

Ties? sakant, antradienis pakei?ia tikimyb?, nes ne?inome, kuris k?dikis gim? antradien?, o gal abu gim? antradien?. ?iuo atveju vadovaujam?s ta pa?ia logika: skai?iuojame visus galimus derinius, kai bent vienas vaikas yra antradien? gimusi mergait?. Kaip ir ankstesniame pavyzdyje, tarkime, kad vaikai pavadinti A ir B. Deriniai atrodo taip:

• A yra mergait?, kuri gim? antradien?, B yra berniukas (?ioje situacijoje yra 7 galimyb?s, po vien? kiekvienai savait?s dienai, kai gal?jo gimti berniukas).
• B - mergait?, kuri gim? antradien?, A - berniukas (taip pat 7 galimyb?s).
• A yra mergait?, kuri gim? antradien?, B yra mergait?, kuri gim? kit? savait?s dien? (6 galimyb?s).
• B – antradien? gimusi mergait?, A – ne antradien? gimusi mergait? (taip pat 6 tikimyb?s).
• A ir B yra dvi mergait?s, kurios gim? antradien? (1 galimyb?, reikia ? tai atkreipti d?mes?, kad neskai?iuotum?te du kartus).

Sumuojame ir gauname 27 skirtingus vienodai galimus vaik? gimimo ir dien? derinius su bent viena galimybe, kad antradien? gims mergait?. I? j? 13 galimybi? yra tada, kai gimsta dvi mergait?s. Taip pat atrodo visi?kai nelogi?kai – pana?u, kad ?i u?duotis buvo sugalvota tik tam, kad sukelt? galvos skausm?. Jei vis dar esate suglum?s, ?aidim? teoretiko Jespero Juhlo svetain?je yra geras paai?kinimas.

Jei ?iuo metu dirbate su ?aidimu

Jei kuriamame ?aidime yra atsitiktinumo, tai puiki proga tai i?analizuoti. Pasirinkite bet kur? element?, kur? norite analizuoti. Pirmiausia paklauskite sav?s, kokios tikimyb?s, kad tam tikras elementas bus ?aidimo kontekste.

Pavyzd?iui, jei kuriate RPG ir galvojate, kokia tikimyb?, kad ?aid?jas m??yje ?veiks monstr?, paklauskite sav?s, koks laim?jimo procentas jums atrodo tinkamas. Paprastai konsolini? RPG atveju ?aid?jai labai susierzina pralaim?j?, tod?l geriau, kad pralaim?t? retai – 10% ar ma?iau. Jei esate RPG dizaineris, tikriausiai ?inote geriau nei a?, bet j?s turite tur?ti pagrindin? id?j?, kokia tur?t? b?ti tikimyb?.

Tada paklauskite sav?s, ar j?s? tikimyb?s yra priklausomos (kaip su kortomis), ar nepriklausomos (kaip su kauliukais). Aptarkite visus galimus rezultatus ir j? tikimybes. ?sitikinkite, kad vis? tikimybi? suma yra 100%. Ir, ?inoma, palyginkite savo rezultatus su l?kes?iais. Ar galima mesti kauliukus ar traukti kortas taip, kaip nor?jote, ar ai?ku, kad reikia koreguoti reik?mes. Ir, ?inoma, jei radote tr?kum?, galite naudoti tuos pa?ius skai?iavimus, kad nustatytum?te, kiek reikia pakeisti vertes.

Nam? darbai

?ios savait?s „nam? darbai“ pad?s patobulinti tikimybi? skai?iavimo ?g?d?ius. ?ia yra du ?aidimai su kauliukais ir kort? ?aidimas, kuriuos turite i?analizuoti naudojant tikimyb?, taip pat mano ka?kada sukurtas keistas ?aidimo mechanikas, kuriame i?bandysite Monte Karlo metod?.

?aidimas Nr. 1 – Drakono kaulai

Tai kauliuk? ?aidimas, kur? mes su kolegomis ka?kada sugalvojome (a?i? Jebui Havensui ir Jesse Kingui) – jis s?moningai i?pu?ia ?mones savo tikimyb?mis. Tai paprastas kazino ?aidimas, vadinamas „Dragon Dice“, ir tai yra lo?imo kauliuk? konkurencija tarp ?aid?jo ir ?staigos.

Jums suteikiamas ?prastas 1d6 kauliukas. ?aidimo tikslas yra i?mesti didesn? skai?i? nei namo. Tomui suteikiamas nestandartinis 1d6 – toks pat kaip ir tavo, bet ant vieno i? jo veid? vietoj vieno – drakono atvaizdas (taigi, kazino turi drakono-2-3-4-5-6 kauliuk?). Jei ?staiga gauna drakon?, ji automati?kai laimi, o j?s pralaimite. Jei abu gauna t? pat? skai?i?, tai lygiosios ir mesti kauliuk? dar kart?. Laimi tas, kuris met? did?iausi? skai?i?.

?inoma, viskas n?ra visi?kai ?aid?jo naudai, nes kazino turi prana?um? drakono veido pavidalu. Bet ar tikrai taip? ?tai k? j?s turite apskai?iuoti. Bet pirmiausia patikrinkite savo intuicij?.

Tarkime, laim?jimas yra 2 prie? 1. Taigi, jei laimite, i?laikote savo statym? ir gaunate dvigub? sum?. Pavyzd?iui, jei statote 1 USD ir laimite, pasiliksite t? doler? ir gausite dar 2 USD, i? viso 3 USD. Jei pralaimi, tik pralaimi statym?. Ar ?aistum? Ar intuityviai jau?iate, kad tikimyb? yra didesn? nei 2:1, ar vis tiek manote, kad ji ma?esn?? Kitaip tariant, ar vidutini?kai per 3 ?aidimus tikit?s laim?ti daugiau nei vien?, ar ma?iau, ar vien? kart??

I?mu?? intuicij?, pritaikykite matematik?. Yra tik 36 galimos abiej? kauliuk? pozicijos, tod?l nesunkiai visas jas suskai?iuosite. Jei nesate tikri d?l ?io 2-1 pasi?lymo, apsvarstykite: Tarkime, kad ?aid?te ?aidim? 36 kartus (kiekvien? kart? stat?te 1 USD). U? kiekvien? laim?jim? gaunate 2 USD, u? kiekvien? pralaim?jim? pralaimi 1 USD, o lygiosios nieko nekei?ia. Suskai?iuokite visus savo galimus laim?jimus ir nuostolius ir nuspr?skite, ar prarasite kelet? doleri?, ar gausite. Tada paklauskite sav?s, kaip teisinga pasirod? j?s? intuicija. Ir tada supranti, koks a? piktadarys.

Ir, taip, jei jau susim?st?te apie ?? klausim? – s?moningai klaidinau jus i?kraipydamas tikr?j? kauliuk? ?aidim? mechanik?, bet esu tikras, kad ?i? kli?t? galite ?veikti vien gerai apgalvoj?. Pabandykite ?i? problem? i?spr?sti patys.

?aidimas Nr. 2 – S?km?s ritinys

Tai kauliuk? ?aidimas, vadinamas Roll of Luck (taip pat pauk??io narvas, nes kartais kauliukai ne metami, o dedami ? didel? vielin? narv?, primenant? Bingo narv?). ?aidimas yra paprastas, i? esm?s jis susideda i? to: statykite, tarkime, 1 USD u? skai?i? nuo 1 iki 6. Tada metite 3d6. U? kiekvien? kauliuk?, pataikyt? ? j?s? numer?, gausite 1 USD (ir pasiliksite pradin? statym?). Jei j?s? numeris nepatenka ? jok? kauliuk?, kazino gaus j?s? doler?, o j?s nieko negausite. Taigi, jei statote ant 1 ir tris kartus gaunate 1, gausite 3 USD.

Intuityviai atrodo, kad ?iame ?aidime ?ansai yra lyg?s. Kiekvienas kauliukas yra individualus 1 i? 6 tikimyb? laim?ti, tod?l j?s? tikimyb? laim?ti yra nuo 3 iki 6 i? trij? metim?. Ta?iau, ?inoma, atminkite, kad kraunate tris atskirus kauliukus ir galite prid?ti tik tuo atveju, jei mes kalbame apie atskirus to paties kauliuko laim?jimo derinius. Ka?k? jums reik?s padauginti.

Apskai?iavus visus galimus rezultatus (turb?t tai lengviau padaryti naudojant „Excel“ nei ranka, j? yra 216), ?aidimas vis tiek i? pirmo ?vilgsnio atrodo lygus ir keistas. Ties? sakant, kazino vis tiek turi didesn? tikimyb? laim?ti – kiek daugiau? Tiksliau, kiek pinig? tikit?s vidutini?kai prarasti per vien? ?aidimo raund??

Viskas, k? jums reikia padaryti, tai susumuoti vis? 216 rezultat? laim?jimus ir pralaim?jimus ir padalyti i? 216, o tai tur?t? b?ti gana paprasta. Ta?iau, kaip matote, yra keletas sp?st?, ? kuriuos galite patekti, tod?l sakau, kad jei manote, kad ?iame ?aidime yra lygia tikimyb? laim?ti, j?s neteisingai supratote.

?aidimas Nr. 3 – 5 Card Stud

Jei jau ap?ilote ankstesniuose ?aidimuose, patikrinkime, k? ?inome apie s?lygin? tikimyb?, naudodami ?? kort? ?aidim? kaip pavyzd?. ?sivaizduokime poker? su 52 kort? kalade. ?sivaizduokime ir 5 kort? padavim?, kai kiekvienas ?aid?jas gauna tik 5 kortas. Negali i?mesti kortos, negali i?traukti naujos, n?ra bendros kalad?s – gauni tik 5 kortas.

Karali?kasis pli?psnis yra 10-J-Q-K-A vienoje rankoje, i? viso keturios, tod?l yra keturi galimi b?dai gauti karali?k? spalv?. Apskai?iuokite tikimyb?, kad gausite vien? i? ?i? derini?.

Turiu jus ?sp?ti d?l vieno dalyko: atminkite, kad ?ias penkias kortas galite i?traukti bet kokia tvarka. Tai yra, i? prad?i? galite nupie?ti t?z? ar de?imtuk?, nesvarbu. Taigi atlikdami skai?iavimus atminkite, kad i? tikr?j? yra daugiau nei keturi b?dai gauti karali?k?j? spalv?, darant prielaid?, kad kortos buvo i?dalintos eil?s tvarka.

4 ?aidimas – TVF loterija

Ketvirt?j? u?duot? nebus taip lengva i?spr?sti naudojant metodus, apie kuriuos ?iandien kalb?jome, ta?iau galite lengvai imituoti situacij? naudodami programavim? ar Excel. B?tent ?ios problemos pavyzd?iu galite sukurti Monte Karlo metod?.

Anks?iau min?jau apie Chron X ?aidim?, prie kurio ka?kada dirbau, ir ten buvo viena labai ?domi korta – TVF loterija. ?tai kaip tai veik?: naudojote ?aidime. Pasibaigus raundui, kortos buvo perskirstytos ir buvo 10% tikimyb?, kad korta bus ne?aid?iama ir atsitiktinis ?aid?jas gaus 5 kiekvienos r??ies i?tekli?, turin?i? ?eton? toje kortel?je. Korta buvo paleista ? ?aidim? be vieno ?etono, ta?iau kiekvien? kart?, kai ji liko ?aisti kito turo prad?ioje, ji gavo vien? ?eton?.

Taigi buvo 10% tikimyb?, kad ?leisite j? ? ?aidim?, raundas baigsis, korta paliks ?aidim? ir niekas nieko negaus. Jei ne (su 90% tikimybe), yra 10% tikimyb? (i? tikr?j? 9%, nes tai yra 10% i? 90%), kad ji pasitrauks i? ?aidimo kitame etape ir ka?kas gaus 5 i?teklius. Jei korta i?eis i? ?aidimo po vieno turo (10% i? turimo 81%, taigi tikimyb? yra 8,1%), ka?kas gaus 10 vienet?, kitas turas - 15, dar 20 ir t.t. Klausimas: kokia tikimasi i?tekli? skai?iaus, kur? gausite i? ?ios kortel?s, vert?, kai ji pagaliau paliks ?aidim??

Paprastai ?i? problem? bandytume i?spr?sti apskai?iuodami kiekvieno rezultato tikimyb? ir padaugindami i? vis? rezultat? skai?iaus. Yra 10% tikimyb?, kad gausite 0 (0,1 * 0 = 0). 9%, kad gausite 5 vienetus i?tekli? (9% * 5 = 0,45 i?tekli?). 8,1% to, k? gaunate, yra 10 (8,1% * 10 = 0,81 i?tekli? – apskritai laukiama vert?). Ir taip toliau. Ir tada mes visk? apibendrintume.

Ir dabar problema jums akivaizdi: visada yra tikimyb?, kad korta nei?eis i? ?aidimo, ji gali likti ?aidime am?inai, be galo daug raund?, tod?l n?ra galimyb?s apskai?iuoti jokios tikimyb?s. ?iandien i?mokti metodai neleid?ia skai?iuoti begalin?s rekursijos, tod?l teks j? sukurti dirbtinai.

Jei pakankamai gerai mokate programuoti, para?ykite program?, kuri imituos ?i? kortel?. Tur?tum?te tur?ti laiko kilp?, kuri nukreipt? kintam?j? ? pradin? nulio pad?t?, parodyt? atsitiktin? skai?i? ir su 10% tikimybe, kad kintamasis i?eis i? ciklo. Prie?ingu atveju jis prideda 5 prie kintamojo ir ciklas kartojasi. Kai jis pagaliau i?eina i? ciklo, padidinkite bendr? bandom?j? paleidim? skai?i? 1 ir bendr? i?tekli? skai?i? (kiek priklauso nuo to, kur kintamasis sustojo). Tada i? naujo nustatykite kintam?j? ir prad?kite i? naujo.

Paleiskite program? kelis t?kstan?ius kart?. Pabaigoje padalykite bendrus i?teklius i? bendro va?iavim? skai?iaus – tai bus j?s? numatoma Monte Karlo metodo vert?. Kelis kartus paleiskite program?, kad ?sitikintum?te, jog gauti skai?iai yra ma?daug vienodi. Jei sklaida vis dar didel?, padidinkite pasikartojim? skai?i? i?orin?je kilpoje, kol prad?site gauti degtuk?. Galite b?ti tikri, kad bet kokie skai?iai, kuriuos gausite, bus ma?daug teisingi.

Jei esate naujokas programavimo srityje (net jei esate), ?ia yra nedidelis pratimas, kuriuo galite patikrinti savo Excel ?g?d?ius. Jei esate ?aidim? dizaineris, ?ie ?g?d?iai niekada nebus nereikalingi.

Dabar if ir rand funkcijos jums bus labai naudingos. Rand nereikalauja reik?mi?, jis tiesiog sukuria atsitiktin? de?imtain? skai?i? nuo 0 iki 1. Paprastai mes deriname j? su auk?tu ir pliusais bei minusais, kad imituotume kauliuko metim?, apie kur? min?jau anks?iau. Ta?iau ?iuo atveju mes tik paliekame 10% tikimyb?, kad korta i?eis i? ?aidimo, tod?l galime tiesiog patikrinti, ar randas yra ma?esnis nei 0,1, ir daugiau d?l to nesijaudinti.

Jei turi tris reik?mes. Eil?s tvarka nurodoma s?lyga, kuri yra teisinga arba ne, tada vert?, kuri gr??inama, jei s?lyga teisinga, ir vert?, kuri gr??inama, jei s?lyga klaidinga. Taigi ?i funkcija gr??ins 5% laiko, o 0 kitus 90% laiko: =IF(RAND()<0.1,5,0) .

Yra daug b?d?, kaip nustatyti ?i? komand?, bet a? naudo?iau ?i? formul? langeliui, kuris rei?kia pirm?j? tur?, tarkime, kad tai yra langelis A1: =IF(RAND()<0.1,0,-1) .

?ia a? naudoju neigiam? kintam?j?, rei?kiant? „?i kortel? nepaliko ?aidimo ir dar nesuteik? joki? i?tekli?“. Taigi, jei pirmasis raundas baig?si ir korta yra ne?aid?iama, A1 yra 0; kitu atveju -1.

Kitai langeliui, atstovaujan?iam antr?j? tur?: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1)) . Taigi, jei pirmasis raundas baigiasi ir korta i? karto palieka ?aidim?, A1 yra 0 (resurs? skai?ius) ir ?i l?stel? tiesiog nukopijuos ?i? reik?m?. Kitu atveju A1 yra -1 (korta dar nei??jo i? ?aidimo), o ?is langelis ir toliau atsitiktinai juda: 10% laiko gr??ins 5 i?tekli? vienetus, likus? laik? jos reik?m? vis tiek bus - 1. Jei ?i? formul? pritaikysime papildomiems langeliams, gausime papildomus raundus, o ? kuri? langel? atsidursite, gausite galutin? rezultat? (arba -1, jei korta nei??jo i? ?aidimo po vis? ?aist? raund?).

Paimkite ?i? langeli? eilut?, kuri yra vienintelis turas su ?ia kortele, ir nukopijuokite ir ?klijuokite kelis ?imtus (ar t?kstan?ius) eilu?i?. Galb?t nepavyks atlikti begalinio „Excel“ testo (lentel?s langeli? skai?ius ribotas), bet bent jau galime apimti daugum? atvej?. Tada pasirinkite vien? langel?, kuriame patalpinsite vis? raund? rezultat? vidurk? – „Excel“ tam maloniai pateikia vidurkio() funkcij?.

„Windows“ sistemoje bent jau galite paspausti F9, kad perskai?iuotum?te visus atsitiktinius skai?ius. Kaip ir anks?iau, atlikite tai kelis kartus ir pa?i?r?kite, ar gaunate tas pa?ias reik?mes. Jei skirtumas per didelis, padvigubinkite paleidim? skai?i? ir bandykite dar kart?.

Nei?spr?stos problemos

Jei atsitiko, kad turite tikimybi? teorijos i?silavinim? ir auk??iau pateiktos problemos jums atrodo per lengvos – ?tai dvi problemos, d?l kuri? jau ne vienerius metus lau?au galv?, bet, deja, man ne taip gerai sekasi matematika, kad gal??iau jas i?spr?sti.

Nei?spr?sta 1 problema: TVF loterija

Pirmoji nei?spr?sta problema – ankstesn? nam? darb? u?duotis. Galiu nesunkiai panaudoti Monte Karlo metod? (naudodamas C++ arba Excel) ir b?ti tikras atsakymu ? klausim? „kiek resurs? gaus ?aid?jas“, ta?iau tiksliai ne?inau, kaip matemati?kai pateikti tiksl? ?rodom? atsakym? (tai yra begalin? serija).

Nei?spr?sta 2 problema: fig?r? sekos

?i? u?duot? (ji taip pat gerokai vir?ija ?iame tinklara?tyje sprend?iamas u?duotis) daugiau nei prie? de?imt met? man i?met? pa??stamas ?aid?jas. ?aisdamas „blackjack“ Vegase, jis pasteb?jo vien? ?domi? savyb?: traukdamas kortas i? 8 kalad?i? bato, i? eil?s pamat? de?imt fig?r?li? (gabalas arba veido korta yra 10, D?okeris, Karalius arba Karalien?, taigi i? viso yra 16 standartin? 52 kort? kalad? arba 128 kort? 416 kort? kalad?je).

Kokia tikimyb?, kad ?iame bate yra bent viena de?imties ar daugiau dali? seka? Tarkime, kad jie buvo sumai?yti s??iningai, atsitiktine tvarka. Arba, jei norite, kokia tikimyb?, kad niekur n?ra de?imties ar daugiau form? sekos?

Galime supaprastinti u?duot?. ?ia yra 416 dali? seka. Kiekviena dalis yra 0 arba 1. Yra 128 vienetai ir 288 nuliai, atsitiktinai i?sibarst? visoje sekoje. Kiek yra b?d?, kaip atsitiktinai sujungti 128 vienetus su 288 nuliais, ir kiek kart? ?iais b?dais bus bent viena de?imties ar daugiau vienet? grup??

Kiekvien? kart?, kai imdavausi spr?sti ?i? problem?, man tai atrod? lengva ir akivaizdu, ta?iau vos ?sigilinus ? smulkmenas ji staiga subyr?jo ir atrod? tiesiog ne?manoma.

Taigi neskub?kite i?r??ti atsakymo: atsis?skite, gerai pagalvokite, i?studijuokite s?lygas, pabandykite ?vesti realius skai?ius, nes visi ?mon?s, su kuriais kalb?jausi apie ?i? problem? (?skaitant kelet? ?ioje srityje dirban?i? absolvent?), reagavo labai teigiamai. taip pat: „Tai visi?kai akivaizdu... o ne, palauk, visai neai?ku“. Taip yra, kai neturiu vis? variant? skai?iavimo metodo. ?inoma, gal??iau grubia j?ga i?spr?sti problem? per kompiuterin? algoritm?, bet b?t? daug ?domiau su?inoti matematin? jos sprendimo b?d?.

I? prad?i?, b?dama tik informacijos ir empirini? kauliuk? ?aidimo steb?jim? rinkinys, tikimybi? teorija tapo tvirtu mokslu. Fermatas ir Paskalis pirmieji suteik? jam matematin? sistem?.

Nuo apm?stym? apie am?inyb? iki tikimybi? teorijos

Du asmenys, kuriems tikimybi? teorija yra skolinga daug pagrindini? formuli?, Blaise'as Pascalis ir Thomas Bayesas, yra ?inomi kaip giliai religingi ?mon?s, pastarasis buvo presbiterion? ministras. Matyt, impuls? ?ios srities tyrimams dav? ?i? dviej? mokslinink? noras ?rodyti klaiding? nuomon? apie tam tikr? Fort?n?, dovanojant jos numyl?tiniams s?km?. Juk i? tikr?j? bet koks azartinis ?aidimas su savo laim?jimais ir pralaim?jimais yra tik matematini? princip? simfonija.

D?l Chevalier de Mere, kuris buvo vienodai azarti?kas ir mokslui neabejingas ?mogus, susijaudinimo Paskalis buvo priverstas rasti b?d?, kaip apskai?iuoti tikimyb?. De Mere'as dom?josi ?iuo klausimu: „Kiek kart? reikia mesti du kauliukus poromis, kad tikimyb? gauti 12 ta?k? vir?yt? 50%?“. Antrasis d?entelmen? itin sudomin?s klausimas: „Kaip paskirstyti statym? tarp nebaigto ?aidimo dalyvi?? ?inoma, Paskalis s?kmingai atsak? ? abu de Mero klausimus, kurie nety?ia tapo tikimybi? teorijos k?rimo iniciatoriumi. ?domu tai, kad de Mero asmuo liko ?inomas ?ioje srityje, o ne literat?roje.

Anks?iau n? vienas matematikas dar neband? apskai?iuoti ?vyki? tikimybi?, nes buvo manoma, kad tai tik sp?lion?s. Blaise'as Pascalis pateik? pirm?j? ?vykio tikimyb?s apibr??im? ir parod?, kad tai yra konkreti fig?ra, kuri? galima pagr?sti matemati?kai. Tikimybi? teorija tapo statistikos pagrindu ir pla?iai naudojama ?iuolaikiniame moksle.

Kas yra atsitiktinumas

Jei apsvarstysime test?, kuris gali b?ti kartojamas be galo daug kart?, tada galime apibr??ti atsitiktin? ?vyk?. Tai vienas i? galim? patirties padarini?.

Patirtis – tai konkre?i? veiksm? ?gyvendinimas pastoviomis s?lygomis.

Kad b?t? galima dirbti su patirties rezultatais, ?vykiai da?niausiai ?ymimi raid?mis A, B, C, D, E ...

Atsitiktinio ?vykio tikimyb?

Kad b?t? galima pereiti prie matematin?s tikimyb?s dalies, b?tina apibr??ti visus jos komponentus.

?vykio tikimyb? yra skaitinis kokio nors ?vykio (A arba B) atsiradimo d?l patirties matas. Tikimyb? ?ymima P(A) arba P(B).

Tikimybi? teorija yra tokia:

• patikimas garantuotai ?vykis ?vyks kaip eksperimento rezultatas Р(O) = 1;
• ne?manomas?vykis niekada negali ?vykti Р(?) = 0;
• atsitiktinis?vykis yra tarp tam tikro ir ne?manomo, tai yra, jo atsiradimo tikimyb? galima, bet negarantuota (atsitiktinio ?vykio tikimyb? visada yra 0<=P(A)<=1 ribose).

Ry?iai tarp ?vyki?

Ir vienas, ir ?vyki? A + B suma atsi?velgiama, kai ?vykis skai?iuojamas ?gyvendinant bent vien? i? komponent?, A arba B, arba abu - A ir B.

Vienas kito at?vilgiu ?vykiai gali b?ti:

• Lygiai taip pat ?manoma.
• suderinama.
• Nesuderinamas.
• Prie?ingi (vienapusiai nesuderinami).
• Priklausomas.

Jei du ?vykiai gali ?vykti su vienoda tikimybe, tada jie vienodai ?manoma.

Jei ?vykio A ?vykimas nepanaikina ?vykio B tikimyb?s, tai jie suderinama.

Jei ?vykiai A ir B niekada ne?vyksta tuo pa?iu metu tame pa?iame eksperimente, tada jie vadinami nesuderinamas. Monetos metimas yra geras pavyzdys: kylan?ios uodegos automati?kai nekyla galvos.

Toki? nesuderinam? ?vyki? sumos tikimyb? susideda i? kiekvieno ?vykio tikimybi? sumos:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Jei ?vykus vienam ?vykiui ne?manoma ?vykti kito, tada jie vadinami prie?ingais. Tada vienas i? j? ?ymimas A, o kitas - ? (skaitykite kaip "ne A"). ?vykio A ?vykis rei?kia, kad ? ne?vyko. ?ie du ?vykiai sudaro vis? grup?, kurios tikimybi? suma lygi 1.

Priklausomi ?vykiai turi abipus? ?tak?, ma?ina arba padidina vienas kito tikimyb?.

Ry?iai tarp ?vyki?. Pavyzd?iai

Daug lengviau suprasti tikimybi? teorijos principus ir ?vyki? derinim? naudojant pavyzd?ius.

Eksperimentas, kuris bus atliktas, yra i?traukti rutulius i? d??ut?s, o kiekvieno eksperimento rezultatas yra elementarus rezultatas.

?vykis yra vienas i? galim? patirties padarini? – raudonas rutulys, m?lynas rutulys, kamuolys su skai?iumi ?e?i ir t.t.

Testo numeris 1. Yra 6 rutuliai, i? kuri? trys yra m?lyni su nelyginiais skai?iais, o kiti trys yra raudoni su lyginiais skai?iais.

Testo numeris 2. Yra 6 m?lyni rutuliai su skai?iais nuo vieno iki ?e?i?.

Remdamiesi ?iuo pavyzd?iu, galime pavadinti derinius:

• Patikimas renginys. Ispani?kai Nr. 2, ?vykis „gauk m?lyn? kamuol?“ yra patikimas, nes jo atsiradimo tikimyb? yra 1, nes visi kamuoliukai yra m?lyni ir negali b?ti praleist?. Tuo tarpu ?vykis „gauti kamuol? su skai?iumi 1“ yra atsitiktinis.
• Ne?manomas ?vykis. Ispani?kai Nr. 1 su m?lynais ir raudonais kamuoliukais, ?vykis „gauk violetin? rutul?“ yra ne?manomas, nes jo atsiradimo tikimyb? yra 0.
• Lygiaver?iai ?vykiai. Ispani?kai 1, ?vykiai „gauti kamuol? su skai?iumi 2“ ir „gauti kamuol? su skai?iumi 3“ yra vienodai tik?tini, o ?vykiai „gauti kamuol? su lyginiu skai?iumi“ ir „gauti kamuol? su skai?iumi 2“ “ turi skirting? tikimyb?.
• Suderinami renginiai.?e?tuko gavimas metant kauliuk? du kartus i? eil?s yra suderinami ?vykiai.
• Nesuderinami ?vykiai. Ta pa?ia ispan? kalba 1 ?vykiai „gauti raudon? kamuol?“ ir „gauti kamuol? su nelyginiu skai?iumi“ negali b?ti sujungti toje pa?ioje patyrime.
• prie?ingi ?vykiai. Ry?kiausias to pavyzdys yra monet? m?tymas, kai pie?ti galvutes yra tas pats, kas nenupie?ti uodeg?, o j? tikimybi? suma visada yra 1 (visa grup?).
• Priklausomi ?vykiai. Taigi ispani?kai Nr. 1, galite i?sikelti sau tiksl? du kartus i? eil?s i?traukti raudon? kamuol?. I?traukus ar nei?traukus pirm? kart?, turi ?takos tikimybei i?gauti j? antr? kart?.

Matyti, kad pirmasis ?vykis reik?mingai ?takoja antrojo tikimyb? (40% ir 60%).

?vykio tikimyb?s formul?

Per?jimas nuo ateities sp?jimo prie tiksli? duomen? ?vyksta perkeliant tem? ? matematin? plotm?. Tai rei?kia, kad sprendimai apie atsitiktin? ?vyk?, pvz., „didel? tikimyb?“ arba „minimali tikimyb?“, gali b?ti paversti konkre?iais skaitiniais duomenimis. Jau dabar leid?iama toki? med?iag? vertinti, lyginti ir ?traukti ? sud?tingesnius skai?iavimus.

Skai?iavimo po?i?riu ?vykio tikimyb?s apibr??imas yra elementari? teigiam? baig?i? skai?iaus ir vis? galim? patirties baig?i? skai?iaus santykis konkretaus ?vykio at?vilgiu. Tikimyb? ?ymima P (A), kur P rei?kia ?od? „tikimyb?“, kuris i? pranc?z? kalbos i?verstas kaip „tikimyb?“.

Taigi ?vykio tikimyb?s formul? yra tokia:

Kur m yra palanki? ?vykio A baig?i? skai?ius, n yra vis? galim? ?ios patirties baig?i? suma. ?vykio tikimyb? visada yra nuo 0 iki 1:

0 <= P(A) <= 1.

?vykio tikimyb?s apskai?iavimas. Pavyzdys

Paimkime ispan? kalb?. 1 su kamuoliukais, kurie apra?yti anks?iau: 3 m?lyni rutuliai su skai?iais 1/3/5 ir 3 raudoni rutuliai su skai?iais 2/4/6.

Remiantis ?iuo testu, galima apsvarstyti kelet? skirting? u?duo?i?:

• A - raudono kamuoliuko la?as. Raudoni kamuoliukai yra 3, o variant? i? viso 6. Tai papras?iausias pavyzdys, kuriame ?vykio tikimyb? P(A)=3/6=0,5.
• B – lyginio skai?iaus numetimas. I? viso yra 3 (2,4,6) lyginiai skai?iai, o bendras galim? skaitini? variant? skai?ius yra 6. ?io ?vykio tikimyb? P(B)=3/6=0,5.
• C - didesnio nei 2 skai?iaus praradimas. Yra 4 tokie variantai (3,4,5,6) i? vis? galim? baig?i? skai?iaus 6. ?vykio C tikimyb? yra P(C)=4/6= 0,67.

Kaip matyti i? skai?iavim?, ?vykis C turi didesn? tikimyb?, nes galim? teigiam? baig?i? skai?ius yra didesnis nei A ir B atveju.

Nesuderinami ?vykiai

Tokie ?vykiai negali atsirasti vienu metu toje pa?ioje patirtyje. Kaip ispani?kai Nr.1, ne?manoma gauti m?lyno ir raudono kamuoliuko vienu metu. Tai yra, galite gauti m?lyn? arba raudon? rutul?. Lygiai taip pat lyginis ir nelyginis skai?iai negali atsirasti kauliuk?je tuo pa?iu metu.

Dviej? ?vyki? tikimyb? laikoma j? sumos arba sandaugos tikimybe. Toki? ?vyki? suma A + B laikomas ?vykis, kur? sudaro ?vykis A arba B, o j? AB sandauga - abiej? atsiradimas. Pavyzd?iui, dviej? ?e?et? pasirodymas vienu metu ant dviej? kauliuk? veid? vienu metimu.

Keli? ?vyki? suma yra ?vykis, kuris rei?kia, kad ?vyksta bent vienas i? j?. Keli? ?vyki? rezultatas yra j? vis? bendras ?vykis.

Tikimybi? teorijoje, kaip taisykl?, s?junga „ir“ rei?kia sum?, s?junga „arba“ – daugyb?. Formul?s su pavyzd?iais pad?s suprasti sud?jimo ir daugybos logik? tikimybi? teorijoje.

Nesuderinam? ?vyki? sumos tikimyb?

Jei atsi?velgiama ? nesuderinam? ?vyki? tikimyb?, tada ?vyki? sumos tikimyb? yra lygi j? tikimybi? sumai:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Pavyzd?iui: apskai?iuojame tikimyb?, kad ispan? kalba. Nr.1 su m?lynais ir raudonais rutuliais nukris skai?ius tarp 1 ir 4. Skai?iuosime ne vienu veiksmu, o elementari?j? dedam?j? tikimybi? suma. Taigi tokiame eksperimente yra tik 6 kamuoliukai arba 6 i? vis? galim? rezultat?. S?lyg? tenkinantys skai?iai yra 2 ir 3. Tikimyb? gauti skai?i? 2 yra 1/6, skai?iaus 3 tikimyb? taip pat yra 1/6. Tikimyb? gauti skai?i? nuo 1 iki 4 yra:

Visos grup?s nesuderinam? ?vyki? sumos tikimyb? yra 1.

Taigi, jei eksperimente su kubu sumuojame tikimybes gauti visus skai?ius, tada gauname vien?.

Tai pasakytina ir apie prie?ingus ?vykius, pavyzd?iui, atliekant eksperiment? su moneta, kur viena i? jos pusi? yra ?vykis A, o kita yra prie?ingas ?vykis ?, kaip ?inoma,

Р(А) + Р(?) = 1

Tikimyb? sukelti nesuderinamus ?vykius

Tikimybi? dauginimas naudojamas vertinant dviej? ar daugiau nesuderinam? ?vyki? viename steb?jime. Tikimyb?, kad ?vykiai A ir B jame pasirodys vienu metu, yra lygi j? tikimybi? sandaugai arba:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Pavyzd?iui, tikimyb?, kad Nr. 1 po dviej? bandym? du kartus pasirodys m?lynas rutulys, lygus

Tai yra, ?vykio tikimyb?, kai po dviej? bandym? i?traukti kamuoliukus bus i?traukti tik m?lyni rutuliai, yra 25%. Labai lengva atlikti praktinius ?ios problemos eksperimentus ir i?siai?kinti, ar taip yra i? tikr?j?.

Bendri renginiai

?vykiai laikomi bendrais, kai vieno i? j? pasirodymas gali sutapti su kito pasirodymu. Nepaisant to, kad jie yra jungtiniai, atsi?velgiama ? nepriklausom? ?vyki? tikimyb?. Pavyzd?iui, dviej? kauliuk? metimas gali duoti rezultat?, kai ant abiej? i?krenta skai?ius 6. Nors ?vykiai sutapo ir pasirod? tuo pa?iu metu, jie vienas nuo kito nepriklauso – gal?jo i?kristi tik vienas ?e?etas, antrasis kauliukas neturi. ?takos jai.

Bendr? ?vyki? tikimyb? laikoma j? sumos tikimybe.

Bendr? ?vyki? sumos tikimyb?. Pavyzdys

?vyki? A ir B, kurie yra jungtiniai vienas kito at?vilgiu, sumos tikimyb? yra lygi ?vykio tikimybi? sumai, at?mus j? sandaugos tikimyb? (tai yra, j? bendr? ?gyvendinim?):

R jungtis. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Tarkime, kad tikimyb? vienu ??viu pataikyti ? taikin? yra 0,4. Tada ?vykis A – pataikyti ? taikin? pirmu bandymu, B – antruoju. ?ie ?vykiai yra jungtiniai, nes gali b?ti, kad pataikyti ? taikin? galima ir i? pirmo, ir i? antro ??vio. Ta?iau ?vykiai nepriklauso. Kokia tikimyb?, kad ?vykis pataikys ? taikin? dviem ??viais (bent vienu)? Pagal formul?:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Atsakymas ? klausim? yra toks: „Tikimyb? dviem ??viais pataikyti ? taikin? yra 64%.

?i? ?vykio tikimyb?s formul? galima pritaikyti ir nesuderinamiems ?vykiams, kai ?vykio bendro pasirei?kimo tikimyb? P(AB) = 0. Tai rei?kia, kad nesuderinam? ?vyki? sumos tikimyb? gali b?ti laikoma ypatingu atveju pasi?lytos formul?s.

Tikimybi? geometrija ai?kumo d?lei

?domu tai, kad bendr? ?vyki? sumos tikimyb? galima pavaizduoti kaip dvi sritis A ir B, kurios susikerta viena su kita. Kaip matote i? paveiksl?lio, j? s?jungos plotas yra lygus bendram plotui, at?mus j? sankirtos plot?. ?is geometrinis paai?kinimas i? pa?i?ros nelogi?k? formul? daro suprantamesn?. Atkreipkite d?mes?, kad geometriniai sprendimai n?ra ne?prasti tikimybi? teorijoje.

Bendr? ?vyki? aib?s (daugiau nei dviej?) sumos tikimyb?s apibr??imas yra gana sud?tingas. Nor?dami j? apskai?iuoti, turite naudoti formules, kurios yra pateiktos ?iems atvejams.

Priklausomi ?vykiai

Priklausomi ?vykiai vadinami, jei vieno (A) i? j? ?vykis turi ?takos kito (B) atsiradimo tikimybei. Be to, atsi?velgiama ir ? ?vykio A atsiradimo, ir ? jo ne?vykimo ?tak?. Nors pagal apibr??im? ?vykiai vadinami priklausomais, tik vienas i? j? yra priklausomas (B). ?prasta tikimyb? buvo pa?ym?ta kaip P(B) arba nepriklausom? ?vyki? tikimyb?. I?laikom? asmen? atveju ?vedama nauja s?voka - s?lygin? tikimyb? P A (B), kuri yra priklausomo ?vykio B tikimyb? su s?lyga, kad ?vyko ?vykis A (hipotez?), nuo kurio ji priklauso.

Ta?iau ?vykis A taip pat yra atsitiktinis, tod?l jis taip pat turi tikimyb?, ? kuri? reikia ir galima atsi?velgti atliekant skai?iavimus. ?is pavyzdys parodys, kaip dirbti su priklausomais ?vykiais ir hipoteze.

Priklausom? ?vyki? tikimyb?s skai?iavimo pavyzdys

Geras priklausom? ?vyki? skai?iavimo pavyzdys yra standartin? kort? kalad?.

36 kort? kalad?s pavyzd?iu apsvarstykite priklausomus ?vykius. B?tina nustatyti tikimyb?, kad antroji i? kalad?s i?traukta korta bus deimantin?s spalvos, jei pirmoji i?traukta korta yra:

1. Tamburinas.
2. Kitas kostiumas.

Akivaizdu, kad antrojo ?vykio B tikimyb? priklauso nuo pirmojo A. Taigi, jei pirmasis variantas yra teisingas, kuris yra 1 korta (35) ir 1 deimantu (8) ma?iau kalad?je, ?vykio B tikimyb?:

P A (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0,23

Jei antrasis variantas teisingas, tada kalad?je yra 35 kortos, o bendras tamburin? skai?ius (9) vis dar i?saugomas, tada ?io ?vykio tikimyb? yra B:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Matyti, kad jei ?vykis A priklauso nuo to, kad pirmoji korta yra deimantas, tai ?vykio B tikimyb? ma??ja, ir atvirk??iai.

Priklausom? ?vyki? dauginimas

Remiantis ankstesniu skyriumi, pirm?j? ?vyk? (A) priimame kaip fakt?, ta?iau i? esm?s jis turi atsitiktin? pob?d?. ?io ?vykio, b?tent tamburino i?traukimo i? kort? kalad?s, tikimyb? yra lygi:

P(A) = 9/36 = 1/4

Kadangi teorija neegzistuoja pati savaime, o yra pa?aukta tarnauti praktiniams tikslams, reikia pa?ym?ti, kad da?niausiai reikalinga priklausom? ?vyki? atsiradimo tikimyb?.

Pagal teorem? apie priklausom? ?vyki? tikimybi? sandaug?, kartu priklausan?i? ?vyki? A ir B tikimyb? yra lygi vieno ?vykio A tikimybei, padaugintai i? s?lygin?s ?vykio B tikimyb?s (priklausomai nuo A):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Tada pavyzdyje su kalade tikimyb? i?traukti dvi kortas su deimant? kostiumu yra tokia:

9/36*8/35 = 0,0571 arba 5,7 %

O tikimyb? i? prad?i? i?gauti ne deimantus, o paskui deimantus yra lygi:

27/36*9/35=0,19 arba 19 %

Matyti, kad ?vykio B tikimyb? yra didesn?, su s?lyga, kad pirmiausia i?traukiama kito masto nei deimanto korta. ?is rezultatas yra gana logi?kas ir suprantamas.

Bendra ?vykio tikimyb?

Kai s?lygini? tikimybi? problema tampa daugialyp?, jos negalima apskai?iuoti ?prastais metodais. Kai yra daugiau nei dvi hipotez?s, b?tent A1, A2, ..., A n , .. sudaro vis? ?vyki? grup? pagal s?lyg?:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ? A j =?,i?j.
• S k A k =O.

Taigi, bendros ?vykio B tikimyb?s formul? su visa atsitiktini? ?vyki? grupe A1, A2, ..., A n yra:

?vilgsnis ? ateit?

Atsitiktinio ?vykio tikimyb? yra esmin? daugelyje mokslo sri?i?: ekonometrijoje, statistikoje, fizikoje ir kt. Kadangi kai kuri? proces? negalima apra?yti deterministi?kai, nes jie patys yra tikimybiniai, reikalingi special?s darbo metodai. ?vykio teorijos tikimyb? gali b?ti naudojama bet kurioje technologin?je srityje kaip b?das nustatyti klaidos ar gedimo galimyb?.

Galima sakyti, kad, atpa?indami tikimyb?, ka?kokiu b?du ?engiame teorin? ?ingsn? ? ateit?, ?velgdami ? j? per formuli? prizm?.

Iki ?iol pateikta atvirame matematikos USE problem? banke (mathege.ru), kurios sprendimas pagr?stas tik viena formule, kuri yra klasikinis tikimyb?s apibr??imas.

Lengviausias b?das suprasti formul? yra pavyzd?iai.
1 pavyzdys Krep?elyje yra 9 raudoni ir 3 m?lyni kamuoliukai. Kamuoliukai skiriasi tik spalva. Atsitiktinai (ne?i?r?dami) gauname vien? i? j?. Kokia tikimyb?, kad tokiu b?du pasirinktas rutulys bus m?lynas?

komentuoti. Tikimybi? teorijos u?daviniuose atsitinka ka?kas (?iuo atveju m?s? veiksmas traukiant kamuol?), kas gali tur?ti kitok? rezultat? – rezultat?. Reik?t? pa?ym?ti, kad rezultatas gali b?ti vertinamas ?vairiais b?dais. „I?trauk?me kamuol?“ – taip pat rezultatas. „Mes i?trauk?me m?lyn? kamuol?“ – toks rezultatas. „I? vis? ?manom? kamuoliuk? i?trauk?me b?tent ?? rutul?“ – toks ma?iausiai apibendrintas rezultato vaizdas vadinamas elementariu rezultatu. Tikimyb?s apskai?iavimo formul?je rei?kiami pagrindiniai rezultatai.

Sprendimas. Dabar apskai?iuojame tikimyb? pasirinkti m?lyn? rutul?.
?vykis A: „pasirinktas rutulys pasirod? m?lynas“
Bendras vis? galim? rezultat? skai?ius: 9+3=12 (vis? kamuoliuk?, kuriuos gal?tume i?traukti, skai?ius)
A ?vykiui palanki? baig?i? skai?ius: 3 (toki? baig?i?, kuri? metu ?vyko A ?vykis, skai?ius, tai yra m?lyn? kamuoliuk? skai?ius)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Atsakymas: 0,25

Apskai?iuokime tai pa?iai problemai raudono rutulio pasirinkimo tikimyb?.
Bendras galim? baig?i? skai?ius i?liks toks pat – 12. Palanki? baig?i? skai?ius: 9. Norima tikimyb?: 9/12=3/4=0,75

Bet kurio ?vykio tikimyb? visada yra nuo 0 iki 1.
Kartais kasdienin?je kalboje (bet ne tikimybi? teorijoje!) ?vyki? tikimyb? ?vertinama procentais. Per?jimas tarp matematinio ir pokalbio vertinimo atliekamas padauginus (arba padalijus) i? 100%.
Taigi,
?iuo atveju ?vykiams, kurie negali ?vykti, tikimyb? lygi nuliui – ma?ai tik?tina. Pavyzd?iui, m?s? pavyzdyje tai b?t? tikimyb? i?traukti ?ali? kamuol? i? krep?io. (palanki? rezultat? skai?ius yra 0, P(A)=0/12=0, jei skai?iuojama pagal formul?)
1 tikimyb? turi ?vyki?, kurie tikrai ?vyks be pasirinkim?. Pavyzd?iui, tikimyb?, kad „pasirinktas rutulys bus raudonas arba m?lynas“, yra m?s? problema. (palanki? rezultat? skai?ius: 12, P(A) = 12/12 = 1)

Mes pa?velg?me ? klasikin? pavyzd?, iliustruojant? tikimyb?s apibr??im?. Visos pana?ios USE problemos tikimybi? teorijoje sprend?iamos naudojant ?i? formul?.
Vietoj raudon? ir m?lyn? rutuliuk? gali b?ti obuoli? ir kriau?i?, berniuk? ir mergai?i?, i?mokt? ir nei?mokt? biliet?, biliet? su klausimu ir be jo (prototipai , ), suged? ir kokybi?ki krep?iai ar sodo siurbliai (prototipai, ) – principas i?lieka tas pats.

Jie ?iek tiek skiriasi USE tikimybi? teorijos problemos formulavimu, kai reikia apskai?iuoti ?vykio tikimyb? tam tikr? dien?. ( , ) Kaip ir ankstesn?se u?duotyse, turite nustatyti, kas yra elementarus rezultatas, ir tada taikyti t? pa?i? formul?.

2 pavyzdys Konferencija trunka tris dienas. Pirm? ir antr? dien? po 15 prane??j?, tre?i? - 20. Kokia tikimyb?, kad profesoriaus M. prane?imas i?kris tre?i? dien?, jei prane?im? eil? bus nustatyta burt? keliu?

Koks ?ia elementarus rezultatas? - Profesoriaus prane?imo priskyrimas vienam i? vis? galim? kalbos eil?s numeri?. Burtuose dalyvauja 15+15+20=50 ?moni?. Taigi, profesoriaus M. ataskaita gali gauti vien? i? 50 numeri?. Tai rei?kia, kad yra tik 50 pagrindini? rezultat?.
Kokie yra palank?s rezultatai? – Tos, kuriose paai?k?ja, kad profesorius kalb?s tre?i? dien?. Tai yra, paskutiniai 20 skai?i?.
Pagal formul? tikimyb? P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Atsakymas: 0,4

Burt? traukimas ?ia yra atsitiktinio susira?in?jimo tarp ?moni? ir u?sakyt? viet? nustatymas. 2 pavyzdyje atitikimas buvo svarstomas atsi?velgiant ? tai, kuri? viet? konkretus asmuo gali u?imti. T? pa?i? situacij? galite pa?velgti i? kitos pus?s: kuris i? ?moni? su kokia tikimybe gal?t? patekti ? tam tikr? viet? (prototipai , , , ):

3 pavyzdys Burtuose dalyvauja 5 vokie?iai, 8 pranc?zai ir 3 estai. Kokia tikimyb?, kad pirmasis (/antras/septintas/paskutinis – nesvarbu) bus pranc?zas.

Elementari? rezultat? skai?ius yra vis? galim? ?moni?, kurie burt? keliu gal?t? patekti ? tam tikr? viet?, skai?ius. 5+8+3=16 ?moni?.
Palank?s rezultatai – pranc?zai. 8 ?mon?s.
Norima tikimyb?: 8/16=1/2=0,5
Atsakymas: 0,5

Prototipas ?iek tiek skiriasi. Yra u?duo?i? apie monetas () ir kauliukus (), kurios yra ?iek tiek k?rybi?kesn?s. ?i? problem? sprendimus galima rasti prototip? puslapiuose.

?tai keletas monet? arba kauliuk? m?tymo pavyzd?i?.

4 pavyzdys Kai mes metame monet?, kokia tikimyb? gauti uodeg??
2 rezultatai – galvos arba uodegos. (manoma, kad moneta niekada nenukrenta ant kra?to) Palankus rezultatas - uodegos, 1.
Tikimyb? 1/2=0,5
Atsakymas: 0,5.

5 pavyzdys O kas, jei monet? i?verstume du kartus? Kokia tikimyb?, kad jis i?kils ? galv? abu kartus?
Svarbiausia yra nustatyti, ? kokius elementarius rezultatus atsi?velgsime mesdami dvi monetas. I?metus dvi monetas gali atsirasti vienas i? ?i? rezultat?:
1) PP – abu kartus jis i?kilo
2) PO - pirm? kart? uodegos, antr? kart? galvos
3) OP - pirm? kart? galvos, antr? kart? - uodegos
4) OO – abu kartus galva auk?tyn
Kit? variant? n?ra. Tai rei?kia, kad yra 4 elementar?s rezultatai. Tik pirmasis yra palankus, 1.
Tikimyb?: 1/4=0,25
Atsakymas: 0,25

Kokia tikimyb?, kad du monetos metimai nukris ant uodegos?
Elementari? baig?i? skai?ius yra toks pat, 4. Palankios baigtys yra antra ir tre?ia, 2.
Tikimyb? gauti vien? uodeg?: 2/4=0,5

Esant tokioms problemoms, gali praversti kita formul?.
Jei vienu monetos metimu turime 2 galimus rezultatus, tai dviej? metim? rezultatai bus 2 2=2 2 =4 (kaip 5 pavyzdyje), trimis metimais 2 2 2=2 3 =8, keturiems : 2·2·2·2=2 4 =16, … N galim? baig?i? metimams bus 2·2·...·2=2 N .

Taigi, galite rasti tikimyb? gauti 5 uodegas i? 5 monet? i?metimo.
Bendras elementari? rezultat? skai?ius: 2 5 =32.
Palank?s rezultatai: 1. (RRRRRR – visi 5 kartus uodegos)
Tikimyb?: 1/32=0,03125

Tas pats pasakytina ir apie kauliukus. Vienu metimu galimi rezultatai 6. Taigi dviem metimams: 6 6=36, trims 6 6 6=216 ir t.t.

6 pavyzdys Metame kauliuk?. Kokia tikimyb? gauti lygin? skai?i??

I? viso rezultat?: 6, atsi?velgiant ? veid? skai?i?.
Palankus: 3 rezultatai. (2, 4, 6)
Tikimyb?: 3/6=0,5

7 pavyzdys Mesti du kauliukus. Kokia tikimyb?, kad bendra suma i?kris 10? (apvalinti iki ?imt?j?)

Yra 6 galimi vieno mirties padariniai. Vadinasi, dviems pagal auk??iau pateikt? taisykl? 6·6=36.
Kokie rezultatai bus palank?s, kad i? viso i?krist? 10?
10 reikia i?skaidyti ? dviej? skai?i? nuo 1 iki 6 sum?. Tai galima padaryti dviem b?dais: 10=6+4 ir 10=5+5. Taigi, kubeliams galimi variantai:
(6 pirmoje ir 4 antroje)
(4 pirmoje ir 6 antroje)
(5 pirmoje ir 5 antroje)
I? viso 3 variantai. Norima tikimyb?: 3/36=1/12=0,08
Atsakymas: 0,08

Kiti B6 problem? tipai bus aptariami viename i? ?i? „Kaip i?spr?sti“ straipsni?.