Atsitiktinio kintamojo re?imas

Tik?tina vert?. Matematinis l?kestis diskre?i?j? atsitiktini? dyd?i? X, atsi?velgiant ? baigtin? skai?i? reik?mi? Xi su tikimyb?mis Ri, suma vadinama:

Matematinis l?kestis nuolatinis atsitiktinis dydis X vadinamas jo vertybi? sandaugos integralu X apie tikimybi? pasiskirstymo tank? f(x):

(6b)

Netinkamas integralas (6 b) laikomas absoliu?iai konvergenciniu (kitaip jie sako, kad matematinis l?kestis M(X) neegzistuoja). Matematinis l?kestis apib?dina Vidutin? vert? atsitiktinis kintamasis X. Jo matmuo sutampa su atsitiktinio dyd?io matmeniu.

Matematin?s l?kes?i? savyb?s:

Sklaida. Dispersija atsitiktinis kintamasis X numeris vadinamas:

Skirtumas yra sklaidos charakteristika atsitiktini? kintam?j? reik?m?s X palyginti su jo vidutine verte M(X). Dispersijos matmuo yra lygus atsitiktinio dyd?io kvadratiniam matmeniui. Remdamiesi dispersijos (8) ir matematini? l?kes?i? (5) apibr??imais diskre?iajam atsitiktiniam dyd?iui ir (6) nuolatiniam atsitiktiniam dyd?iui, gauname pana?ias dispersijos i?rai?kas:

(9)

?ia m = M(X).

Dispersijos savyb?s:

Standartinis nuokrypis:

(11)

Kadangi standartinis nuokrypis turi t? pat? matmen? kaip ir atsitiktinis kintamasis, jis da?niau naudojamas kaip dispersijos, o ne dispersijos matas.

Paskirstymo akimirkos. Matematin?s l?kes?i? ir sklaidos s?vokos yra ypatingi bendresn?s atsitiktini? dyd?i? skaitini? charakteristik? sampratos atvejai – paskirstymo momentai. Atsitiktinio dyd?io pasiskirstymo momentai pateikiami kaip kai kuri? paprast? atsitiktinio dyd?io funkcij? matematiniai l?kes?iai. Taigi, u?sakymo momentas k ta?ko at?vilgiu X 0 vadinamas matematiniu l?kes?iu M(X–X 0 )k. Akimirkos apie kilm? X= 0 yra vadinami pradines akimirkas ir yra paskirti:

(12)

Pirmosios eil?s pradinis momentas yra nagrin?jamo atsitiktinio dyd?io pasiskirstymo centras:

(13)

Akimirkos apie paskirstymo centr? X= m yra vadinami centriniai ta?kai ir yra paskirti:

(14)

I? (7) i?plaukia, kad pirmosios eil?s centrinis momentas visada lygus nuliui:

Centriniai momentai nepriklauso nuo atsitiktinio dyd?io reik?mi? kilm?s, nes pasislinkus pastovia verte SU jo paskirstymo centras pasislenka ta pa?ia verte SU, o nuokrypis nuo centro nesikei?ia: X – m = (X – SU) – (m – SU).
Dabar tai ai?ku dispersija- Tai antros eil?s centrinis momentas:

Asimetrija. Tre?ios eil?s centrinis momentas:

(17)

tarnauja vertinimui pasiskirstymo asimetrija. Jei skirstinys yra simetri?kas ta?ko at?vilgiu X= m, tada tre?ios eil?s centrinis momentas bus lygus nuliui (kaip ir visi centriniai nelygini? eili? momentai). Tod?l, jei tre?ios eil?s centrinis momentas skiriasi nuo nulio, pasiskirstymas negali b?ti simetri?kas. Asimetrijos dydis vertinamas naudojant bedimens? asimetrijos koeficientas:

(18)

Asimetrijos koeficiento ?enklas (18) rodo de?in?s arba kair?s pus?s asimetrij? (2 pav.).

Ry?iai. 2. Pasiskirstymo asimetrijos tipai.

Perteklius. Ketvirtosios eil?s centrinis momentas:

(19)

tarnauja ?vertinti vadinam?j? perteklius, kuris nustato pasiskirstymo kreiv?s statumo (pikumo) laipsn? ?alia pasiskirstymo centro normaliojo pasiskirstymo kreiv?s at?vilgiu. Kadangi normaliam pasiskirstymui, kurtoz?s vert? yra:

(20)

Fig. 3 paveiksle pateikti pasiskirstymo kreivi? su skirtingomis kurtoz?s reik?m?mis pavyzd?iai. Normaliam pasiskirstymui E= 0. Kreiv?s, kurios yra smailesn?s nei ?prasta, turi teigiam? kreiv?, o tos, kuri? vir??n? yra plok??ia, turi neigiam?.

Ry?iai. 3. Skirtingo statumo laipsnio pasiskirstymo kreiv?s (kurtoz?).

Didesn?s eil?s momentai paprastai nenaudojami in?inerin?se matematin?s statistikos programose.

Mada diskretus atsitiktinis kintamasis yra labiausiai tik?tina jo reik?m?. Mada t?stinis atsitiktinis dydis yra jo reik?m?, kuriai esant tikimyb?s tankis yra did?iausias (2 pav.). Jei pasiskirstymo kreiv? turi vien? maksimum?, tada skirstinys vadinamas vienar??is. Jei pasiskirstymo kreiv? turi daugiau nei vien? maksimum?, tada skirstinys vadinamas multimodalinis. Kartais yra skirstiniai, kuri? kreiv?s turi ne maksimum?, o minimum?. Tokie skirstiniai vadinami antimodalinis. Bendruoju atveju atsitiktinio dyd?io re?imas ir matematinis l?kestis nesutampa. Ypatingu atveju, u? modalinis, t.y. turintis mod?, simetri?k? pasiskirstym? ir su s?lyga, kad yra matematinis l?kestis, pastarasis sutampa su skirstinio moda ir simetrijos centru.

Mediana atsitiktinis kintamasis X- tai yra jo prasm? Meh, kurioms galioja lygyb?: t.y. lygiai taip pat tik?tina, kad atsitiktinis dydis X bus ma?iau ar daugiau Meh. Geometri?kai mediana yra ta?ko, kuriame plotas po pasiskirstymo kreive yra padalintas per pus?, abscis? (2 pav.). Simetri?ko modalinio pasiskirstymo atveju mediana, re?imas ir matematinis l?kestis yra vienodi.

Re?imas yra labiausiai tik?tina atsitiktinio kintamojo reik?m?. Esant simetri?kam pasiskirstymui, palyginti su vidurkiu, re?imas sutampa su matematiniais l?kes?iais. Jei atsitiktinio dyd?io reik?m?s nesikartoja, re?imo n?ra.

Ta?kas x a?yje, atitinkantis pasiskirstymo tankio kreiv?s maksimum?, vadinamas re?imu, tai yra, re?imas yra labiausiai tik?tina atsitiktinio dyd?io reik?m?. Ta?iau ne visi paskirstymai turi re?im?. Pavyzdys yra vienodas paskirstymas. ?iuo atveju paskirstymo centro kaip re?imo nustatyti ne?manoma. Moda paprastai vadinama Mo.

Yra atsitiktinio dyd?io re?imo ir medianos s?vokos.

Akivaizdu, kad simetrin?s medianos atveju ji sutampa su re?imu ir matematiniais l?kes?iais.

Atsi?velgiant ? tai, kad re?imas pagr?stas ne pavieniais matavimais, o dideliu steb?jim? kiekiu, jis negali b?ti laikomas atsitiktiniu dyd?iu. Re?imo dyd?iui ?takos neturi ?vair?s darbo v?lavimai ir normalaus tempo praradimas.

Kartais, analizuojant empirinius skirstinius, naudojamos modo ir pasiskirstymo medianos s?vokos: „...Mode yra labiausiai tik?tina atsitiktinio kintamojo reik?m?,

Platus tikimybi? teorinis loterijos rei?kinio ai?kinimas yra atsitiktinio dyd?io tikimybi? skirstinio samprata. Jo pagalba nustatomos tikimyb?s, kad atsitiktinis dydis ?gis vienoki? ar kitoki? galim? jo reik?m?. Pa?ymime y atsitiktin? kintam?j?, o galimas jo reik?mes – y. Tada diskre?iam atsitiktiniam dyd?iui , kuris gali ?gyti galimas reik?mes Y, y2, VZ,. .., yn patogia tikimybi? skirstinio forma tur?t? b?ti laikoma priklausomyb? P(y = y), kuri paprastai vadinama tikimybi? eilute, pasiskirstymo eilute. Praktikoje greitam apibendrintam rizikos reik?mi? tikimybinio pasiskirstymo ?vertinimui da?nai naudojamos vadinamosios skaitin?s ir kitos atsitiktini? rezultat? pasiskirstymo charakteristikos: matematin? l?kestis, dispersija, vidutinis kvadratinis (standartinis) nuokrypis, variacijos koeficientas, t. re?imas, mediana ir tt (?r., pavyzd?iui, ir pan.). Kitaip tariant, verslininkas siekia greito ir holistinio suvokimo (arba tiesiog

Remdamiesi SSRS valstybinio statistikos komiteto duomenimis apie gyventoj? pasiskirstym? pagal vidutines vienam gyventojui tenkan?ias bendras pajamas, pabandysime palyginti vidutini?, medianini? ir modalini? pajam? rodiklius (1 lentel?). Lentel?je matyti, kad vidutin?s pajamos absoliu?ia verte vir?ija vidutines ir modalines pajamas, o j? augimas daugiausia susij?s su dideles pajamas gaunan?i? ?moni? dalies padid?jimu, tai yra, naudojant vidutini? pajam? rodikl? labai pervertinama. did?iosios dalies gyventoj? pajam? lygio ir did?i?ja dalimi slepia j? diferenciacijos proces?. Modalin?s pajam? vert?s krypsta ? ?emesnes pasiskirstymo grupes ir nukrypsta nuo vidutini? pajam? ?emyn. Ta?iau re?imo atsiradimas viename ar kitame intervale da?nai b?na atsitiktinis d?l nedidelio pasiskirstymo re?imo atsiradimo gretimame intervale. Pavyzd?iui, 1989 m. da?niausias pajam? lygis buvo nuo 100 iki 125 rubli? (tokias pajamas gavo 16,1 proc. gyventoj?), ta?iau d?l nedideli? pajam? poslinki?, ?vykusi? 1989-1990 m., da?niausias intervalas buvo toks. intervalas (125-150 rubli?) , o pa?ios mados vert? i?augo 15,6 rublio. Be to, gyventoj? dalis modaliniame pajam? intervale gali tik ne?ymiai vir?yti kitas dalis.

Nor?dami apib?dinti logaritmi?kai normalaus atsitiktinio dyd?io a skirstinio centr?, kartu su jau apskai?iuota matematine tik?timi Ma galite naudoti re?im? (vietinis maksimalus tankis /(a a)) toc1a = exp(t-st2) ir

Re?imas – mada. Labiausiai tik?tina atsitiktinio dyd?io reik?m?.

MADA – koncepcija

Mada- da?niausiai atliekam? steb?jim? rinkinio reik?m?

Mo = X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo+1)),

?ia X Mo yra modalinio intervalo kairioji riba, h Mo yra modalinio intervalo ilgis, f Mo-1 yra premodalinio intervalo da?nis, f Mo yra modalinio intervalo da?nis, f Mo+1 yra postmodalinio intervalo da?nis.

Absoliu?iai nepertraukiamo pasiskirstymo b?das yra bet kuris pasiskirstymo tankio vietinio maksimumo ta?kas. Diskretiesiems skirstiniams re?imu laikoma bet kokia reik?m? a i, kurios tikimyb? p i yra didesn? u? gretim? reik?mi? tikimybes.

Mediana nuolatinis atsitiktinis dydis X vadinama jo reik?m? Me, kuriai vienodai tik?tina, kad atsitiktinis dydis bus ma?esnis arba didesnis Meh, t.y.

M e = (n+1)/2 P(X < A?) = P(X > Meh)

Vienodai paskirstytas NSV

Vienodas paskirstymas. I?tisinis atsitiktinis dydis vadinamas tolygiai paskirstytu atkarpoje (), jeigu jo pasiskirstymo tankio funkcija (1.6 pav. A) turi toki? form?:

Pavadinimas: – SW yra tolygiai paskirstytas .

Atitinkamai pasiskirstymo funkcija segmente (1.6 pav., b):

Ry?iai. 1.6. Atsitiktini? dyd?i? funkcijos, paskirstytos tolygiai [ a,b]: A– tikimybi? tankiai f(x); b– paskirstymai F(x)

Tam tikros SV matematin?s l?kes?iai ir sklaida nustatomi pagal i?rai?kas:

D?l tankio funkcijos simetrijos ji sutampa su mediana. Re?imai neturi vienodo pasiskirstymo

4 pavyzdys. Atsakymo ? telefono skambut? laukimo laikas yra atsitiktinis dydis, atitinkantis vienod? paskirstymo d?sn? nuo 0 iki 2 minu?i?. Raskite ?io atsitiktinio dyd?io integralinio ir diferencinio skirstinio funkcijas.

27.Normalusis tikimybi? skirstinio d?snis

Nuolatinis atsitiktinis dydis x turi normal?j? pasiskirstym? su parametrais: m,s > 0, jei tikimybi? pasiskirstymo tankis turi toki? form?:

?ia: m – matematinis l?kestis, s – standartinis nuokrypis.

Vokie?i? matematiko Gauso vardu normalusis skirstinys dar vadinamas Gauso. Tai, kad atsitiktinis dydis turi normal?j? skirstin? su parametrais: m, ?ymimas taip: N (m,s), kur: m=a=M[X];

Gana da?nai formul?se matematinis l?kestis ?ymimas A . Jeigu atsitiktinis dydis pasiskirsto pagal d?sn? N(0,1), tai jis vadinamas normalizuotu arba standartizuotu normaliuoju kintamuoju. Jo paskirstymo funkcija yra tokia:

Normaliojo skirstinio tankio grafikas, kuris vadinamas normali?ja kreive arba Gauso kreive, parodytas 5.4 pav.

Ry?iai. 5.4. Normalus pasiskirstymo tankis

savybi? atsitiktinis kintamasis, turintis normalaus skirstinio d?sn?.

1. Jei , tada rasti tikimyb?, kad ?i reik?m? pateks ? tam tikr? interval? ( x 1; x 2) naudojama formul?:

2. Tikimyb?, kad atsitiktinio dyd?io nuokrypis nuo jo matematinio l?kes?io nevir?ys reik?m?s (absoliu?ia verte), lygi:

3. „Trij? sigm? taisykl?“. Jei atsitiktinis kintamasis yra , tai beveik neabejotina, kad jo reik?m?s yra intervale (). (Tikimyb? per?engti ?ias ribas yra 0,0027.) Taisykl? leid?ia, ?inant parametrus ( ir ), apytiksliai nustatyti atsitiktinio dyd?io praktini? reik?mi? interval?.

Eksponentinis pasiskirstymas

Atsitiktinis dydis X turi eksponentin? pasiskirstym? su parametru, jei jo tankis turi form?

Integruodami tank?, gauname eksponentin? pasiskirstymo funkcij?: