Tarp vis? trikampi? yra du special?s tipai: sta?iakampiai ir lygia?oniai trikampiai. Kod?l ?i? tip? trikampiai tokie ypatingi? Na, pirma, tokie trikampiai itin da?nai pasirodo kaip pagrindiniai pirmosios dalies Vieningo valstybinio egzamino problem? veik?jai. Antra, u?davinius apie sta?iuosius ir lygia?onius trikampius i?spr?sti daug lengviau nei kitus geometrijos u?davinius. Jums tereikia ?inoti kelet? taisykli? ir savybi?. Visi ?domiausi dalykai apie sta?iuosius trikampius yra aptariami, bet dabar pa?velkime ? lygia?onius trikampius. Ir vis? pirma, kas yra lygia?onis trikampis? Arba, kaip sako matematikai, koks yra lygia?onio trikampio apibr??imas?

Pa?i?r?kite, kaip tai atrodo:

Kaip ir sta?iakampis trikampis, lygia?onis trikampis turi specialius kra?tini? pavadinimus. Vadinamos dvi lygios pus?s pus?s ir tre?ioji ?alis – pagrindu.

Ir v?l atkreipkite d?mes? ? paveiksl?l?:

Tai, ?inoma, gali b?ti taip:

B?k atsargus: ?onin? pus? – viena i? dviej? lygi? kra?tini? lygia?oniame trikampyje ir pagrindas yra tre?ioji ?alis.

Kod?l lygia?onis trikampis yra toks geras? Nor?dami tai suprasti, nubr??kime auk?t? iki pagrindo. Ar prisimeni, koks yra auk?tis?

Kas nutiko? I? vieno lygia?onio trikampio gauname du sta?iakampius.

Tai jau gerai, bet tai atsitiks bet kuriame, net pa?iame „?stri?iausiame“ trikampyje.

Kuo skiriasi lygia?onio trikampio vaizdas? Pa?i?r?k dar kart?:

Na, pirma, ?inoma, ?iems keistam matematikams neu?tenka tik pamatyti – jie tikrai turi ?rodyti. Prie?ingu atveju staiga ?ie trikampiai ?iek tiek skiriasi, bet mes juos laikysime vienodais.

Ta?iau nesijaudinkite: ?iuo atveju ?rodyti yra beveik taip pat lengva, kaip pamatyti.

Prad?kime? Pa?i?r?kite atid?iai, mes turime:

Ir tai rei?kia! Kod?l? Taip, mes tiesiog rasime ir, ir i? Pitagoro teoremos (tuo pa?iu prisimindami, kad)

Ar tu tuo tikras? Na, dabar turime

O i? trij? pusi? – lengviausias (tre?iasis) trikampi? lygyb?s ?enklas.

Na, m?s? lygia?onis trikampis padalintas ? du vienodus sta?iakampius.

Pa?i?r?kite, kaip tai ?domu? Paai?k?jo, kad:

Kaip matematikai da?niausiai apie tai kalba? Eikime eil?s tvarka:

(Atminkite, kad mediana yra linija, nubr??ta i? vir??n?s, dalijan?ios kra?tin? per pus?, o bisektorius yra kampas.)

Na, ?ia mes aptar?me, k? gero galima pamatyti, jei pateikiamas lygia?onis trikampis. Mes padar?me i?vad?, kad lygia?onio trikampio kampai prie pagrindo yra lyg?s, o auk?tis, pusiausvyra ir mediana, nubr??ta ? pagrind?, sutampa.

O dabar kyla kitas klausimas: kaip atpa?inti lygia?on? trikamp?? Tai yra, kaip sako matematikai, kas yra lygia?onio trikampio ?enklai?

O pasirodo, kad tereikia visus teiginius „apversti“ atvirk??iai. ?inoma, taip nutinka ne visada, bet lygia?onis trikampis vis tiek yra puikus dalykas! Kas atsitinka po „apyvartos“?

Na, ?i?r?k:
Jei auk?tis ir mediana sutampa, tada:

Jei auk?tis ir bisektorius sutampa, tada:


Jei pusiausvyra ir mediana sutampa, tada:

Na, nepamir?kite ir naudokite:

• Jei jums duotas lygia?onis trikampis trikampis, dr?siai nubr??kite auk?t?, gaukite du sta?iuosius trikampius ir i?spr?skite sta?iojo trikampio u?davin?.
• Jei tai duota du kampai yra lyg?s, tada trikampis tiksliai lygia?onis ir j?s galite nubr??ti auk?t? ir… (Namas, kur? pastat? D?ekas…).
• Jei paai?k?ja, kad auk?tis padalintas per pus?, tada trikampis yra lygia?onis su visomis i? to sekan?iomis premijomis.
• Jei paai?k?ja, kad auk?tis padalija kamp? tarp auk?t? - tai irgi lygia?onis!
• Jei bisektorius dalija kra?tin? pusiau arba mediana padalija kamp?, tai taip pat atsitinka tik lygia?oniame trikampyje

Pa?i?r?kime, kaip tai atrodo u?duotyse.

1 problema(papras?iausias)

Trikampyje kra?tin?s ir yra lygios, a. Rasti.

Mes nusprend?iame:

Pirmiausia pie?inys.

Koks ?ia pagrindas? Be abejo,.

Prisiminkime, kas b?t?, jei tada ir.

Atnaujintas br??inys:

Pa?ym?kime pagal. Kokia yra trikampio kamp? suma? ?

Mes naudojame:

tai atsakymas: .

Nesunku, tiesa? Man net nereik?jo reguliuoti auk??io.

2 problema(Taip pat n?ra labai sud?tinga, bet tem? reikia pakartoti)

Trikampyje,. Rasti.

Mes nusprend?iame:

Trikampis yra lygia?onis! Nubr??iame auk?t? (tai yra triukas, su kuriuo dabar viskas bus nuspr?sta).

Dabar „i?braukime i? gyvenimo“, tiesiog pa?i?r?kime ? j?.

Taigi, mes turime:

Prisiminkime kosinus? lentel?s reik?mes (na, arba pa?i?r?kime ? cheat sheet...)

Belieka tik surasti: .

Atsakymas: .

Atkreipkite d?mes?, kad mes ?ia Labai reikalingos ?inios apie sta?iuosius trikampius ir „lentel?s“ sinusus bei kosinusus. Labai da?nai taip nutinka: temos „Lygia?onis trikampis“ ir u?daviniuose eina kartu, bet nelabai draugi?kai su kitomis temomis.

Lygia?onis trikampis. Vidutinis lygis.

?ie dvi vienodos pus?s yra vadinami pus?s, A tre?ioji kra?tin? yra lygia?onio trikampio pagrindas.

Pa?i?r?kite ? paveiksl?l?: ir - ?onus, - lygia?onio trikampio pagrind?.

Panaudokime vien? paveiksl?l?, kad suprastume, kod?l taip nutinka. Nubr??kime auk?t? i? ta?ko.

Tai rei?kia, kad visi atitinkami elementai yra lyg?s.

Viskas! Vienu ypu (auk?tis) jie ?rod? visus teiginius vienu metu.

Ir atminkite: norint i?spr?sti lygia?onio trikampio u?davin?, da?nai labai naudinga nuleisti auk?t? iki lygia?onio trikampio pagrindo ir padalyti j? ? du vienodus sta?iuosius trikampius.

Lygia?onio trikampio ?enklai

Prie?ingi teiginiai taip pat teisingi:

Beveik visi ?ie teiginiai v?l gali b?ti ?rodyti „vienu ypu“.

1. Taigi, ?sileisti pasirod? lyg?s ir.

Patikrinkime auk?t?. Tada

2. a) Dabar ?leiskite kok? nors trikamp? auk?tis ir bisektorius sutampa.

2. b) O jei auk?tis ir mediana sutampa? Viskas beveik taip pat, ne daugiau sud?tinga!

- i? dviej? pusi?

2. c) Bet jei n?ra auk??io, kuris nuleistas iki lygia?onio trikampio pagrindo, tada i? prad?i? sta?i?j? trikampi? n?ra. Blogai!

Ta?iau yra i?eitis - perskaitykite j? kitame teorijos lygyje, nes ?ia ?rodymas yra sud?tingesnis, ta?iau kol kas tiesiog atminkite, kad jei mediana ir pusiausvyra sutampa, tada trikampis taip pat pasirodys lygia?onis, ir auk?tis vis tiek sutaps su ?iomis pusiausvyromis ir mediana.

Apibendrinkime:

1. Jei trikampis yra lygia?onis, tada kampai prie pagrindo yra lyg?s, o auk?tis, pusiausvyra ir mediana, nubr??ta ? pagrind?, sutampa.
2. Jei kokiame nors trikampyje yra du lyg?s kampai arba kai kurios dvi i? trij? tiesi? (pusiauris, mediana, auk?tis) sutampa, tai toks trikampis yra lygia?onis.

Lygia?onis trikampis. Trumpas apra?ymas ir pagrindin?s formul?s

Lygia?onis trikampis yra trikampis, turintis dvi lygias kra?tines.

Lygia?onio trikampio ?enklai:

1. Jei tam tikrame trikampyje du kampai yra lyg?s, tada jis yra lygia?onis.
2. Jei kokiame nors trikampyje jie sutampa:
   A) auk?tis ir bisektorius arba
   b) auk?tis ir mediana arba
   V) mediana ir pusiausvyra,
   nubr??tas ? vien? kra?tin?, tada toks trikampis yra lygia?onis.

Pirmieji m?s? civilizacijos istorikai – senov?s graikai – mini Egipt? kaip geometrijos gimtin?. Sunku su jais nesutikti, ?inant, kokiu nuostabiu tikslumu buvo pastatyti mil?ini?ki faraon? kapai. Santykinis piramid?i? plok?tum? i?sid?stymas, j? proporcijos, orientacija ? pagrindinius ta?kus – tokio tobulumo b?t? ne?sivaizduojama ne?inant geometrijos pagrind?.

Pats ?odis „geometrija“ gali b?ti i?verstas kaip „?em?s matavimas“. Be to, ?odis „?em?“ pasirodo ne kaip planeta - saul?s sistemos dalis, o kaip plok?tuma. ?em?s ?kiui skirt? plot? ?ym?jimas grei?iausiai yra labai originalus mokslo apie geometrines fig?ras, j? r??is ir savybes pagrindas.

Trikampis yra papras?iausia erdvin? planimetrijos fig?ra, turinti tik tris ta?kus – vir??nes (j? ne ma?iau). Pamat? pagrindas, galb?t tod?l jame atrodo ka?kas paslaptingo ir senovinio. Visk? matanti akis trikampio viduje yra vienas i? anks?iausiai ?inom? okultini? ?enkl?, o jos pasiskirstymo geografija ir laiko tarpas yra tiesiog nuostab?s. Nuo senov?s egiptie?i?, ?umer?, actek? ir kit? civilizacij? iki modernesni? okultizmo myl?toj? bendruomeni?, i?sibars?iusi? visame pasaulyje.

Kas yra trikampiai?

Paprastas skaleninis trikampis yra u?dara geometrin? fig?ra, susidedanti i? trij? skirtingo ilgio atkarp? ir trij? kamp?, i? kuri? n? vienas n?ra teisingas. Be to, yra keletas speciali? tip?.

Smailaus trikampio visi kampai yra ma?esni nei 90 laipsni?. Kitaip tariant, visi tokio trikampio kampai yra smailieji.

Sta?iakampis trikampis, d?l kurio mokiniai visada verk? d?l teorem? gausos, turi vien? 90 laipsni? kamp? arba, kaip dar vadinama, tiesi? linij?.

Bukas trikampis i?siskiria tuo, kad vienas i? jo kamp? yra bukas, tai yra, jo dydis yra didesnis nei 90 laipsni?.

Lygiakra?tis trikampis turi tris vienodo ilgio kra?tines. Tokioje fig?roje visi kampai taip pat lyg?s.

Ir galiausiai lygia?onis trikampis turi tris kra?tines, dvi lygias viena kitai.

Skiriamieji bruo?ai

Lygia?onio trikampio savyb?s lemia ir pagrindin?, pagrindin? jo skirtum? – dviej? jo kra?tini? lygyb?. ?ios lygios pus?s paprastai vadinamos klubais (arba, da?niau, ?onais), o tre?ioji pus? vadinama „pagrinda“.

Nagrin?jamame paveiksle a = b.

Antrasis lygia?onio trikampio kriterijus i?plaukia i? sinus? teoremos. Kadangi kra?tin?s a ir b yra lygios, j? prie?ing? kamp? sinusai yra lyg?s:

a/sin g = b/sin a, i? kur turime: sin g = sin a.

I? sinus? lygyb?s i?plaukia kamp? lygyb?: g = a.

Taigi antrasis lygia?onio trikampio ?enklas yra dviej? kamp?, esan?i? ?alia pagrindo, lygyb?.

Tre?ias ?enklas. Trikampyje yra tokie elementai kaip auk?tis, pusiausvyra ir mediana.

Jei sprend?iant u?duot? paai?k?ja, kad nagrin?jamame trikampyje bet kurie du i? ?i? element? sutampa: auk?tis su bisektoriumi; bisektorius su mediana; mediana su auk??iu – tikrai galime daryti i?vad?, kad trikampis yra lygia?onis.

Geometrin?s fig?ros savyb?s

1. Lygia?onio trikampio savyb?s. Viena i? skiriam?j? fig?ros savybi? yra kamp?, esan?i? ?alia pagrindo, lygyb?:

<ВАС = <ВСА.

2. Dar viena savyb? buvo aptarta auk??iau: lygia?onio trikampio mediana, pusiausvyra ir auk?tis sutampa, jei jie statomi nuo jo vir??n?s iki pagrindo.

3. Bisektori? lygyb? i? vir??ni? pagrinde:

Jei AE yra kampo BAC pusiausvyra, o CD yra kampo BCA pusiausvyra, tada: AE = DC.

4. Lygia?onio trikampio savyb?s taip pat numato auk??i?, nubr??t? i? pagrindo vir??ni?, lygyb?.

Jei i? vir??ni? A ir C statysime trikampio ABC (kur AB = BC) auk??ius, tai gautos atkarpos CD ir AE bus lygios.

5. Medianos, nubr??tos i? kamp? prie pagrindo, taip pat bus lygios.

Taigi, jei AE ir DC yra medianos, tai yra, AD = DB ir BE = EC, tada AE = DC.

Lygia?onio trikampio auk?tis

Kra?tini? ir kamp? lygyb? su jais suteikia tam tikr? ypatybi? apskai?iuojant nagrin?jamos fig?ros element? ilgius.

Auk?tis lygia?oniame trikampyje padalija fig?r? ? 2 simetri?kus sta?iuosius trikampius, kuri? hipotenz?s yra ?onuose. Auk?tis ?iuo atveju nustatomas pagal Pitagoro teorem? kaip koja.

Trikampio visos trys kra?tin?s gali b?ti lygios, tada jis bus vadinamas lygiakra?tis. Lygiakra??io trikampio auk?tis nustatomas pana?iai, tik skai?iavimams pakanka ?inoti tik vien? reik?m? – ?io trikampio kra?tin?s ilg?.

Auk?t? galite nustatyti kitu b?du, pavyzd?iui, ?inodami pagrind? ir kamp? ?alia jo.

Lygia?onio trikampio mediana

Nagrin?jamo trikampio tip? d?l savo geometrini? ypatybi? galima i?spr?sti gana paprastai naudojant minimal? pradini? duomen? rinkin?. Kadangi lygia?onio trikampio mediana yra lygi ir jo auk??iui, ir bisektoriui, jos nustatymo algoritmas nesiskiria nuo ?i? element? apskai?iavimo proced?ros.

Pavyzd?iui, galite nustatyti medianos ilg? pagal ?inom? ?onin? pus? ir vir??n?s kampo dyd?.

Kaip nustatyti perimetr?

Kadangi dvi nagrin?jamos planimetrin?s fig?ros kra?tin?s visada yra lygios, perimetrui nustatyti pakanka ?inoti pagrindo ilg? ir vienos i? kra?tini? ilg?.

Panagrin?kime pavyzd?, kai reikia nustatyti trikampio perimetr? naudojant ?inom? pagrind? ir auk?t?.

Perimetras lygus pagrindo ir dvigubo ?onin?s ilgio sumai. ?onin? pus?, savo ruo?tu, apibr??iama naudojant Pitagoro teorem? kaip sta?iojo trikampio hipotenuz?. Jo ilgis lygus auk??io kvadrato ir pus?s pagrindo kvadrato sumos kvadratinei ?akniai.

Lygia?onio trikampio plotas

Paprastai lygia?onio trikampio ploto apskai?iavimas nesukelia sunkum?. ?inoma, m?s? atveju taikoma universali taisykl?, pagal kuri? nustatomas trikampio plotas kaip pus? pagrindo ir jo auk??io sandaugos. Ta?iau lygia?onio trikampio savyb?s v?lgi palengvina u?duot?.

Tarkime, kad auk?tis ir kampas prie pagrindo yra ?inomi. B?tina nustatyti fig?ros plot?. Tai galima padaryti tokiu b?du.

Kadangi bet kurio trikampio kamp? suma yra 180°, kampo dyd? nustatyti nesunku. Toliau, naudojant proporcij?, sudaryt? pagal sinus? teorem?, nustatomas trikampio pagrindo ilgis. Viskas, pagrindas ir auk?tis – pakankamai duomen? plotui nustatyti – yra.

Kitos lygia?onio trikampio savyb?s

Aplink lygia?on? trikamp? apibr??to apskritimo centro pad?tis priklauso nuo vir??n?s kampo dyd?io. Taigi, jei lygia?onis trikampis yra smailus, apskritimo centras yra fig?ros viduje.

Aplink bukus? lygia?on? trikamp? apibr??to apskritimo centras yra u? jo rib?. Ir galiausiai, jei kampas vir??n?je yra 90°, centras yra tiksliai pagrindo viduryje, o apskritimo skersmuo eina per pat? pagrind?.

Norint nustatyti apie lygia?on? trikamp? apibr??to apskritimo spindul?, pakanka kra?tin?s ilg? padalyti i? dvigubo pus?s vir??n?s kampo kosinuso.

?ioje pamokoje bus nagrin?jama tema „Lygia?onis trikampis ir jo savyb?s“. Su?inosite, kaip atrodo lygia?oniai ir lygiakra??iai trikampiai ir kaip jie apib?dinami. ?rodykite teorem? apie lygia?onio trikampio pagrindo kamp? lygyb?. Taip pat apsvarstykite teorem? apie pusiausvyr? (median? ir auk?t?), nubr??t? ? lygia?onio trikampio pagrind?. Pamokos pabaigoje i?spr?site du u?davinius, naudodami lygia?onio trikampio apibr??im? ir savybes.

Apibr??imas:Lygia?onis vadinamas trikampiu, kurio dvi kra?tin?s yra lygios.

Ry?iai. 1. Lygia?onis trikampis

AB = AC - ?onai. BC – pamatai.

Lygia?onio trikampio plotas yra lygus pusei jo pagrindo ir auk??io sandaugos.

Apibr??imas:Lygiakra??iai vadinamas trikampiu, kurio visos trys kra?tin?s yra lygios.

Ry?iai. 2. Lygiakra?tis trikampis

AB = BC = SA.

1 teorema: Lygia?onio trikampio pagrindo kampai yra lyg?s.

Duota: AB = AC.

?rodykite:?B =?C.

Ry?iai. 3. Br??inys teoremai

?rodymas: trikampis ABC = trikampis ACB pagal pirm?j? ?enkl? (dvi lygios kra?tin?s ir kampas tarp j?). I? trikampi? lygyb?s i?plaukia, kad visi atitinkami elementai yra lyg?s. Tai rei?kia, kad ?B = ?C, k? reik?jo ?rodyti.

2 teorema: Lygia?oniame trikampyje bisektorius traukiamas prie pagrindo yra mediana Ir auk??io.

Duota: AB = AC, ?1 = ?2.

?rodykite:ВD = DC, AD statmena BC.

Ry?iai. 4. 2 teoremos br??inys

?rodymas: trikampis ADB = trikampis ADC pagal pirm?j? ?enkl? (AD - bendras, AB = AC pagal s?lyg?, ?BAD = ?DAC). I? trikampi? lygyb?s i?plaukia, kad visi atitinkami elementai yra lyg?s. BD = DC, nes jie yra prie?ais vienodus kampus. Taigi AD yra mediana. Taip pat ?3 = ?4, nes jie yra prie?ingose vienodose pus?se. Bet, be to, i? viso jie yra lyg?s. Tod?l ?3 = ?4 = . Tai rei?kia, kad AD yra trikampio auk?tis, k? mums reik?jo ?rodyti.

Vieninteliu atveju a = b = . ?iuo atveju ties?s AC ir BD vadinamos statmenomis.

Kadangi bisektorius, auk?tis ir mediana yra tas pats segmentas, teisingi ir ?ie teiginiai:

Lygia?onio trikampio, nubr??to ? pagrind?, auk?tis yra vidurin? ir pusiausvyra.

Lygia?onio trikampio, nubr??to ? pagrind?, mediana yra auk?tis vir? j?ros lygio ir pusiausvyra.

1 pavyzdys: Lygia?onio trikampio pagrindas yra pus? kra?tin?s dyd?io, o perimetras – 50 cm Raskite trikampio kra?tines.

Duota: AB = AC, BC = AC. P = 50 cm.

Rasti: BC, AC, AB.

Sprendimas:

Ry?iai. 5. Br??inys, pavyzd?iui, 1

Pagrind? BC pa?ym?kime kaip a, tada AB = AC = 2a.

2a + 2a + a = 50.

5a = 50, a = 10.

Atsakymas: BC = 10 cm, AC = AB = 20 cm.

2 pavyzdys:?rodykite, kad lygiakra??io trikampio visi kampai yra lyg?s.

Duota: AB = BC = SA.

?rodykite:?A = ?B = ?C.

?rodymas:

Ry?iai. 6. Pavyzd?iui, pie?imas

?B = ?C, nes AB = AC, ir ?A = ?B, nes AC = BC.

Tod?l ?A = ?B = ?C, k? ir reik?jo ?rodyti.

Atsakymas:?rodyta.

?iandienos pamokoje pa?velg?me ? lygia?on? trikamp? ir i?tyr?me pagrindines jo savybes. Kitoje pamokoje spr?sime lygia?oni? trikampi?, lygia?onio ir lygia?onio trikampio ploto skai?iavimo u?davinius.

1. Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ry?ikas V.I. ir kt.. Geometrija 7. - M.: Ugdymas.
2. Atanasyanas L.S., Butuzovas V.F., Kadomtsevas S.B. ir kt.. Geometrija 7. 5 leidimas. - M.: ?vietimas.
3. Butuzovas V.F., Kadomcevas S.B., Prasolova V.V. Geometrija 7 / V.F. Butuzovas, S.B. Kadomcevas, V.V. Prasolova, red. Sadovnichego V.A. - M.: ?vietimas, 2010 m.

1. ?odynai ir enciklopedijos apie akademik? ().
2. Pedagogini? id?j? festivalis „Atvira pamoka“ ().
3. Kaknauchit.ru ().

1. Nr. 29. Butuzovas V.F., Kadomcevas S.B., Prasolova V.V. Geometrija 7 / V.F. Butuzovas, S.B. Kadomcevas, V.V. Prasolova, red. Sadovnichego V.A. - M.: ?vietimas, 2010 m.

2. Lygia?onio trikampio perimetras yra 35 cm, o pagrindas tris kartus ma?esnis u? kra?tin?. Raskite trikampio kra?tines.

3. Duota: AB = BC. ?rodykite, kad ?1 = ?2.

4. Lygia?onio trikampio perimetras lygus 20 cm, viena jo kra?tin? dvigubai didesn? u? kit?. Raskite trikampio kra?tines. Kiek problemos sprendim??

Nam? darb? tikrinimas

№ 111.

Duota: CD = BD , 1 = 2

?rodykite: A B C – lygia?onis

№ 107.

pus?je A C yra 2 kartus ma?esnis u? AB

P = 50 cm,

P = 50 cm

x + 2x + 2x = 50

x = 10

2 X

2 X

AC = 10 cm,

AB = BC = 20 cm

Kurie trikampiai yra lygia?oniai? Lygia?oni? trikampi? pagrind? ir kra?tines pavadinkite.

Duota: AD - bisektorius ? BAC, BAC = 74 0. Rasti: BA D. (1 pav.)

Duota: KL – auk?tis ? KMN. Rasti: KLN. (2 pav.)

Duota: QS – mediana ? PQR, PS = 5,3 cm. Rasti: PR. (3 pav.)

• Duota: ? ABC yra lygia?onis su pagrindu AC, VC yra pusiaukampis, AC = 46 cm. Rasti: AK. (4 pav.)
• Duota: ? ABC yra lygia?onis, kurio pagrindas AC, VC auk?tis, ABC = 46 0. Rasti: AVK. (5 pav.)
• Duota: ? C BD lygia?oniai su pagrindu B C, DA mediana, BDC = 120 0. Rasti: ADB. (6 pav.)

7 klas?

Lygia?onio trikampio savyb?s

Trys keliai veda ? pa?inim?:

Apm?stym? kelias yra kilniausias kelias,

Imitacijos kelias yra lengviausias kelias,

O patirties kelias yra pats kar?iausias kelias.

Konfucijus.

Lygia?onio trikampio pagrindo kampai yra lyg?s.

Duota: ABC lygia?onis

?rodykite:

?rodymas:

1. Nubr??kime kampo B pusiausvyr? BD.

2. Apsvarstykite ? AB D ir ? CBD:

AB = BC (pagal s?lyg?),

D – bendroji pus?,

? A BD = ? C BD

? АВD = ?CBD (remiantis 1 trikampi? lygyb?s ?enklu)

3. Lygiuose trikampiuose atitinkami kampai yra ? A= ? C.

Lygia?onio trikampio pus?, nubr??ta ? pagrind?, yra mediana ir auk?tis.

Duota: ABC lygia?onis,

A D – bisektorius .

?rodykite: A D - auk?tis,

A D – mediana.

?rodymas:

1) Taip pat apsvarstykite:

? BLOGAS = ?CAD (remiantis 1 trikampi? lygyb?s kriterijumi).

2) Lygiuose trikampiuose atitinkamos kra?tin?s ir kampai yra lyg?s

1 = 2 = 90° (gretimi kampai).

Tod?l AD yra mediana ir auk?tis ? ABC.

Problem? sprendimas.

Savrasova S.M., Yastrebinetsky G.A. „Planimetrijos pratimai ant gatav? br??ini?“

110

70

70

Problem? sprendimas.

Duota: AB = B C, 1 = 130 0.

L. S. Atanasjanas. „Geometrija 7-9“ Nr.112.

Problem? sprendimas.

Rasti: AB D.

Trikampis

ABC – lygia?onis

D – mediana

Tai rei?kia, kad B D yra pusiausvyra

40 0

40 0

CM. Savrasova, G.A. Yastrebinetsky „Pratimai ant paruo?t? br??ini?“

Nam? darbai:

• 19 punktas (b. l. 35 – 36), Nr.109, 112, 118.

Lygia?onio trikampio savyb?s i?rei?kiamos tokiomis teoremomis.

1 teorema. Lygia?onio trikampio kampai prie pagrindo yra lyg?s.

2 teorema. Lygia?onio trikampio pus?, nubr??ta ? pagrind?, yra mediana ir auk?tis.

3 teorema. Lygia?onio trikampio mediana, nubr??ta ? pagrind?, yra pusiausvyra ir auk?tis.

4 teorema. Lygia?onio trikampio auk?tis, nubr??tas ? pagrind?, yra pusiausvyra ir mediana.

?rodykime vien? i? j?, pavyzd?iui, 2.5 teorem?.

?rodymas. Panagrin?kime lygia?on? trikamp? ABC, kurio pagrindas BC, ir ?rodykime, kad ? B = ? C. Tegu AD yra trikampio ABC pusiausvyra (1 pav.). Trikampiai ABD ir ACD yra lyg?s pagal pirm?j? trikampi? lygyb?s ?enkl? (AB = AC pagal s?lyg?, AD yra bendroji kra?tin?, ? 1 = ? 2, nes AD yra pus?). I? ?i? trikampi? lygyb?s i?plaukia, kad ? B = ? C. Teorema ?rodyta.

Naudojant 1 teorem?, nustatoma tokia teorema.

5 teorema. Tre?iasis trikampi? lygyb?s kriterijus. Jei vieno trikampio trys kra?tin?s atitinkamai lygios kito trikampio trims kra?tin?ms, tai tokie trikampiai yra sutapti (2 pav.).

komentuoti. 1 ir 2 pavyzd?iuose nustatyti sakiniai i?rei?kia atkarpos statmeno bisektoriaus savybes. I? ?i? pasi?lym? matyti, kad statmenos trikampio kra?tin?s pus?s susikerta viename ta?ke.

1 pavyzdys.?rodykite, kad plok?tumos ta?kas, esantis vienodais atstumais nuo atkarpos gal?, yra ant ?ios atkarpos statmenos pus?s.

Sprendimas. Tegul ta?kas M yra vienodu atstumu nuo atkarpos AB gal? (3 pav.), ty AM = BM.

Tada D AMV yra lygia?onis. Per atkarpos AB ta?k? M ir vidurio ta?k? O nubr??kime ties? p. Pagal konstrukcij? atkarpa MO yra lygia?onio trikampio AMB mediana, taigi (3 teorema), o auk?tis, t.y. ties? MO, yra statmena atkarpos AB.

2 pavyzdys.?rodykite, kad kiekvienas atkarpos statmenos pus?s ta?kas yra vienodu atstumu nuo jos gal?.

Sprendimas. Tegu p yra statmenas atkarpos AB pusiaukampis, o ta?kas O – atkarpos AB vidurio ta?kas (?r. 3 pav.).

Apsvarstykite savavali?k? ta?k? M, esant? ties?je p. Nubr??kime atkarpas AM ir BM. Trikampiai AOM ir BOM yra lyg?s, nes j? kampai vir??n?je O yra stat?s, kojel? OM yra bendra, o kojel? OA yra lygi kojai OB pagal s?lyg?. I? trikampi? AOM ir BOM lygyb?s i?plaukia, kad AM = BM.

3 pavyzdys. Trikampyje ABC (?r. 4 pav.) AB = 10 cm, BC = 9 cm, AC = 7 cm; trikampyje DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.

Palyginkite trikampius ABC ir DEF. Raskite atitinkamus vienodus kampus.

Sprendimas. ?ie trikampiai yra lyg?s pagal tre?i?j? kriterij?. Atitinkamai lyg?s kampai: A ir E (yra prie?ais lygias kra?tines BC ir FD), B ir F (yra prie?ais lygias kra?tines AC ir DE), C ir D (yra prie?ais lygias kra?tines AB ir EF).

4 pavyzdys. 5 paveiksle AB = DC, BC = AD, ?B = 100°.

Raskite kamp? D.

Sprendimas. Apsvarstykite trikampius ABC ir ADC. Jie yra lyg?s pagal tre?i?j? kriterij? (AB = DC, BC = AD pagal s?lyg? ir ?onin? AC yra bendra). I? ?i? trikampi? lygyb?s i?plaukia, kad ? B = ? D, bet kampas B lygus 100°, o tai rei?kia, kad kampas D lygus 100°.

5 pavyzdys. Lygia?onio trikampio ABC su pagrindu AC i?orinis kampas vir??n?je C yra 123°. Raskite kampo ABC dyd?. Atsakym? pateikite laipsniais.

Vaizdo sprendimas.