Dalykas, mokini? am?ius: geometrija, 9 klas?

Pamokos tikslas: daugiakampi? tip? tyrimas.

Mokymosi u?duotis: atnaujinti, i?pl?sti ir apibendrinti mokini? ?inias apie daugiakampius; suformuoti daugiakampio „komponent?“ id?j?; atlikti taisykling?j? daugiakampi? (nuo trikampio iki n kampo) sudedam?j? element? skai?iaus tyrim?;

Ugdomoji u?duotis: ugdyti geb?jimus analizuoti, lyginti, daryti i?vadas, ugdyti skai?iavimo ?g?d?ius, matematin? kalb? ?od?iu ir ra?tu, atmint?, taip pat m?stymo ir mokymosi veiklos savaranki?kum?, geb?jim? dirbti poromis ir grup?mis; pl?toti mokslin? ir edukacin? veikl?;

Ugdymo u?duotis: ugdyti savaranki?kum?, aktyvum?, atsakingum? atlikti pavest? u?duot?, atkaklum? siekiant tikslo.

U?si?mim? metu: lentoje para?yta citata

„Gamta kalba matematikos kalba, ?ios kalbos raid?mis... matematin?mis fig?romis. G. Gallilei

Pamokos prad?ioje klas? suskirstoma ? darbo grupes (m?s? atveju suskirstymas ? grupes po 4 ?mones – grup?s nari? skai?ius lygus klausim? grupi? skai?iui).

1. Skambu?io etapas-

Tikslai:

a) atnaujinti student? ?inias ?ia tema;

b) susidom?jimo nagrin?jama tema ?adinimas, kiekvieno mokinio motyvacija mokymosi veiklai.

Pri?mimas: ?aidimas „Ar tu tiki, kad ...“, darbo su tekstu organizavimas.

Darbo formos: frontalin?, grupin?.

"Ar tu tuo tiki..."

1. ... ?odis „daugiakampis“ rodo, kad visos ?ios ?eimos fig?ros turi „daug kamp?“?

2. … trikampis priklauso didelei daugiakampi? ?eimai, i?siskirian?iai daugybe skirting? geometrini? fig?r? plok?tumoje?

3. …ar kvadratas yra taisyklingas a?tuonkampis (keturios kra?tin?s + keturi kampai)?

?iandien pamokoje kalb?sime apie daugiakampius. Su?inome, kad ?i? fig?r? riboja u?dara lau?yta linija, kuri savo ruo?tu gali b?ti paprasta, u?dara. Pakalb?kime apie tai, kad daugiakampiai yra plok?ti, taisyklingi, i?gaubti. Vienas i? plok??i?j? daugiakampi? yra jums seniai pa??stamas trikampis (galite parodyti studentams plakatus, vaizduojan?ius daugiakampius, lau?t? linij?, parodyti ?vairius j? tipus, taip pat galite naudoti TCO).

2. Supratimo stadija

Tikslas: naujos informacijos gavimas, jos suvokimas, atranka.

Pri?mimas: zigzagas.

Darbo formos: individualus->porinis->grupinis.

Kiekvienai grupei duodamas tekstas pamokos tema, tekstas kuriamas taip, kad jame b?t? ir mokiniams jau ?inoma, ir visi?kai nauja informacija. Kartu su tekstu mokiniai gauna klausimus, ? kuriuos atsakymus reikia rasti ?iame tekste.

Daugiakampiai. Daugiakampi? tipai.

Kas negird?jo apie paslapting? Bermud? trikamp?, kuriame be ?inios dingsta laivai ir l?ktuvai? Ta?iau nuo vaikyst?s mums pa??stamas trikampis yra kupinas daug ?domi? ir paslapting? dalyk?.

Be mums jau ?inom? trikampi? tip?, suskirstyt? i? kra?tini? (skaln?, lygia?onis, lygiakra?tis) ir kampais (smailusis, bukas, sta?iakampis), trikampis priklauso didelei daugiakampi? ?eimai, i?siskirian?iai daug ?vairi? geometrini? fig?r? plok?tumoje.

?odis „daugiakampis“ rodo, kad visos ?ios ?eimos fig?ros turi „daug kamp?“. Ta?iau to nepakanka fig?rai apib?dinti.

Nutr?ksta linija A 1 A 2 ... A n yra fig?ra, susidedanti i? ta?k? A 1, A 2, ... A n ir juos jungian?i? atkarp? A 1 A 2, A 2 A 3, .... Ta?kai vadinami polilinijos vir??n?mis, o atkarpos – polilinijos grandimis. (1 pav.)

Nutr?ksta linija vadinama paprasta, jei ji neturi savaimini? susikirtim? (2,3 pav.).

Nutr?kusi linija vadinama u?dara, jei jos galai sutampa. Nutr?kusios linijos ilgis yra jos grand?i? ilgi? suma (4 pav.).

Paprasta u?dara lau?yta linija vadinama daugiakampiu, jeigu jos gretimos grandys guli ne toje pa?ioje ties?je (5 pav.).

?odyje „daugiakampis“ vietoj „daug“ dalies pakeiskite konkret? skai?i?, pavyzd?iui, 3. Gausite trikamp?. Arba 5. Tada – penkiakampis. Atkreipkite d?mes?, kad kamp? yra tiek, kiek yra ?on?, tod?l ?ias fig?ras galima vadinti daugia?al?mis.

Polilinijos vir??n?s vadinamos daugiakampio vir??n?mis, o polilinijos grandys – daugiakampio kra?tin?mis.

Daugiakampis padalija plok?tum? ? dvi sritis: vidin? ir i?orin? (6 pav.).

Plok?tumos daugiakampis arba daugiakampio sritis yra baigtin? plok?tumos dalis, kuri? riboja daugiakampis.

Dvi daugiakampio vir??n?s, kurios yra tos pa?ios pus?s galai, vadinamos kaimyn?mis. Vir??n?s, kurios n?ra vienos pus?s galai, n?ra gretimos.

Daugiakampis su n vir??ni? ir tod?l n kra?tini? vadinamas n kampu.

Nors ma?iausias daugiakampio kra?tini? skai?ius yra 3. Ta?iau trikampiai, jungdamiesi vienas su kitu, gali sudaryti kitas fig?ras, kurios savo ruo?tu taip pat yra daugiakampiai.

Atkarpos, jungian?ios negretimas daugiakampio vir??nes, vadinamos ?stri?ain?mis.

Daugiakampis vadinamas i?gaubtu, jei jis yra vienoje pusplok?tumoje bet kurios ties?s, kurioje yra jo kra?tin?, at?vilgiu. ?iuo atveju laikoma, kad pati ties? priklauso pusiau plok?tumai.

I?gaubto daugiakampio kampas tam tikroje vir??n?je yra kampas, kur? sudaro jo kra?tin?s, susiliejan?ios toje vir??n?je.

?rodykime teorem? (apie i?gaubto n-kampio kamp? sum?): I?gaubto n-kampio kamp? suma lygi 180 0 *(n - 2).

?rodymas. Tuo atveju, kai n=3, teorema yra teisinga. Tegu А 1 А 2 …А n yra duotasis i?gaubtas daugiakampis ir n>3. Jame nubr??kime ?stri?aines (i? vienos vir??n?s). Kadangi daugiakampis yra i?gaubtas, ?ios ?stri?ain?s padalija j? ? n - 2 trikampius. Daugiakampio kamp? suma yra tokia pati kaip vis? ?i? trikampi? kamp? suma. Kiekvieno trikampio kamp? suma lygi 180 0, o ?i? trikampi? skai?ius yra n - 2. Tod?l i?gaubto n - kampo A 1 A 2 ... A n kamp? suma lygi 180 0 * ( n - 2). Teorema ?rodyta.

I?orinis i?gaubto daugiakampio kampas tam tikroje vir??n?je yra kampas, esantis greta daugiakampio vidinio kampo toje vir??n?je.

I?gaubtasis daugiakampis vadinamas taisyklingu, jei visos kra?tin?s yra lygios ir visi kampai lyg?s.

Taigi kvadrat? galima vadinti kitaip – taisyklingu keturkampiu. Lygiakra??iai trikampiai taip pat yra taisyklingi. Tokios fig?ros jau seniai domino pastatus puo?ian?ius meistrus. Jie padar? gra?ius ra?tus, pavyzd?iui, ant parketo. Ta?iau ne visi taisyklingi daugiakampiai gali b?ti naudojami parketui formuoti. Parketas negali b?ti formuojamas i? ?prast? a?tuonkampi?. Faktas yra tas, kad kiekvienas j? kampas yra lygus 135 0. Ir jei kuris nors ta?kas yra dviej? toki? a?tuonkampi? vir??n?, tada jie tur?s 270 0, o tre?iam a?tuonkampiui n?ra kur tilpti: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Bet u?tenka kvadratui. Tod?l parket? galima i?lankstyti i? ?prast? a?tuonkampi? ir kvadrat?.

?vaig?d?s teisingos. M?s? penkiakamp? ?vaig?d? yra ?prasta penkiakamp? ?vaig?d?. O jei kvadrat? aplink centr? pasuksite 45 0, gausite taisykling? a?tuonkamp? ?vaig?d?.

1 grup?

Kas yra nutr?kusi linija? Paai?kinkite, kas yra polilinijos vir??n?s ir saitai.

Kuri nutr?kusi linija vadinama paprasta?

Kuri nutr?kusi linija vadinama u?dara?

Kas yra daugiakampis? Kaip vadinamos daugiakampio vir??n?s? Kokios yra daugiakampio kra?tin?s?

2 grup?

Kas yra plok??ias daugiakampis? Pateikite daugiakampi? pavyzd?i?.

Kas yra n-gon?

Paai?kinkite, kurios daugiakampio vir??n?s yra gretimos, o kurios ne.

Kas yra daugiakampio ?stri?ain??

3 grup?

Kas yra i?gaubtas daugiakampis?

Paai?kinkite, kurie daugiakampio kampai yra i?oriniai, o kurie vidiniai?

Kas yra taisyklingas daugiakampis? Pateikite taisykling? daugiakampi? pavyzd?i?.

4 grup?

Kokia yra i?gaubto n kampo kamp? suma? ?rodyk.

Studentai dirba su tekstu, ie?ko atsakym? ? u?duodamus klausimus, po to sudaromos ekspert? grup?s, kuriose dirbama tais pa?iais klausimais: studentai i?ry?kina pagrindin? dalyk?, parengia pagrindin? santrauk?, pateikia informacij? viename i? grafines formas. Pasibaigus darbui, mokiniai gr??ta ? savo darbo grupes.

3. Refleksijos etapas –

a) savo ?ini? ?vertinimas, i???kis kitam ?ini? ?ingsniui;

b) gautos informacijos supratimas ir pasisavinimas.

Pri?mimas: tiriamasis darbas.

Darbo formos: individualus->porinis->grupinis.

Darbo grup?s yra ekspertai, atsakantys ? kiekvien? si?lom? klausim? skyri?.

Gr???s prie darbo grup?s, ekspertas supa?indina kitus grup?s narius su atsakymais ? jiems r?pimus klausimus. Grup?je vyksta vis? darbo grup?s nari? keitimasis informacija. Taigi kiekvienoje darbo grup?je ekspert? darbo d?ka susidaro bendra id?ja nagrin?jama tema.

Mokini? tiriamasis darbas – lentel?s pildymas.

?domi? u?davini? sprendimas pamokos tema.

• Keturkampyje nubr??kite linij?, kad ji padalint? j? ? tris trikampius.
• Kiek kra?tini? turi taisyklingasis daugiakampis, kurio kiekvienas vidinis kampas lygus 135 0 ?
• Tam tikrame daugiakampyje visi vidiniai kampai yra lyg?s vienas kitam. Ar ?io daugiakampio vidini? kamp? suma gali b?ti: 360 0 , 380 0 ?

Apibendrinant pamok?. Nam? darb? ?ra?ymas.

Tema: "Daugiakampiai. Daugiakampi? tipai"

9 klas?

SL Nr. 20

Mokytojas: Kharitonovi?ius T.I. Pamokos tikslas: daugiakampi? tip? tyrimas.

Mokymosi u?duotis: atnaujinti, pl?sti ir apibendrinti mokini? ?inias apie daugiakampius; suformuoti daugiakampio „komponent?“ id?j?; atlikti taisykling?j? daugiakampi? (nuo trikampio iki n kampo) sudedam?j? element? skai?iaus tyrim?;

K?rimo u?duotis: ugdyti geb?jimus analizuoti, lyginti, daryti i?vadas, ugdyti skai?iavimo ?g?d?ius, matematin? kalb? ?od?iu ir ra?tu, atmint?, taip pat m?stymo ir mokymosi veiklos savaranki?kum?, geb?jim? dirbti poromis ir grup?mis; pl?toti mokslin? ir edukacin? veikl?;

Mokomoji u?duotis: ugdyti savaranki?kum?, aktyvum?, atsakomyb? u? pavest? u?duot?, u?sispyrim? siekiant tikslo.

?ranga: interaktyvi lenta (pristatymas)

Per u?si?mimus

Rodyti pristatym?: „Daugiakampiai“

„Gamta kalba matematikos kalba, ?ios kalbos raid?mis... matematin?mis fig?romis. G. Gallilei

Pamokos prad?ioje klas? suskirstoma ? darbo grupes (m?s? atveju – ? 3 grupes)

1. Skambu?io etapas-

a) atnaujinti student? ?inias ?ia tema;

b) susidom?jimo nagrin?jama tema ?adinimas, kiekvieno mokinio motyvacija mokymosi veiklai.

Pri?mimas: ?aidimas „Ar tu tiki, kad ...“, darbo su tekstu organizavimas.

Darbo formos: frontalin?, grupin?.

"Ar tu tuo tiki..."

1. ... ?odis „daugiakampis“ rodo, kad visos ?ios ?eimos fig?ros turi „daug kamp?“?

2. … ar trikampis priklauso didelei daugiakampi? ?eimai, i?siskirian?iai i? ?vairi? geometrini? fig?r? plok?tumoje?

3. …ar kvadratas yra taisyklingas a?tuonkampis (keturios kra?tin?s + keturi kampai)?

?iandien pamokoje kalb?sime apie daugiakampius. Su?inome, kad ?i? fig?r? riboja u?dara lau?yta linija, kuri savo ruo?tu gali b?ti paprasta, u?dara. Pakalb?kime apie tai, kad daugiakampiai yra plok?ti, taisyklingi, i?gaubti. Vienas i? plok??i?j? daugiakampi? yra jums seniai pa??stamas trikampis (galite parodyti studentams plakatus, vaizduojan?ius daugiakampius, lau?t? linij?, parodyti ?vairius j? tipus, taip pat galite naudoti TCO).

2. Supratimo stadija

Tikslas: naujos informacijos gavimas, jos suvokimas, atranka.

Pri?mimas: zigzagas.

Darbo formos: individualus->porinis->grupinis.

Kiekvienai grupei duodamas tekstas pamokos tema, tekstas kuriamas taip, kad jame b?t? ir mokiniams jau ?inoma, ir visi?kai nauja informacija. Kartu su tekstu mokiniai gauna klausimus, ? kuriuos atsakymus reikia rasti ?iame tekste.

Daugiakampiai. Daugiakampi? tipai.

Kas negird?jo apie paslapting? Bermud? trikamp?, kuriame be ?inios dingsta laivai ir l?ktuvai? Ta?iau nuo vaikyst?s mums pa??stamas trikampis yra kupinas daug ?domi? ir paslapting? dalyk?.

Be mums jau ?inom? trikampi? tip?, suskirstyt? i? kra?tini? (skaln?, lygia?onis, lygiakra?tis) ir kampais (smailusis, bukas, sta?iakampis), trikampis priklauso didelei daugiakampi? ?eimai, i?siskirian?iai daug ?vairi? geometrini? fig?r? plok?tumoje.

?odis „daugiakampis“ rodo, kad visos ?ios ?eimos fig?ros turi „daug kamp?“. Ta?iau to nepakanka fig?rai apib?dinti.

Nutr?kusi linija A1A2…An – tai fig?ra, susidedanti i? ta?k? A1,A2,…An ir juos jungian?i? atkarp? A1A2, A2A3,…. Ta?kai vadinami polilinijos vir??n?mis, o atkarpos – polilinijos grandimis. (1 pav.)

Nutr?ksta linija vadinama paprasta, jei ji neturi savaimini? susikirtim? (2,3 pav.).

Nutr?kusi linija vadinama u?dara, jei jos galai sutampa. Nutr?kusios linijos ilgis yra jos grand?i? ilgi? suma (4 pav.)

Paprasta u?dara lau?yta linija vadinama daugiakampiu, jeigu jos gretimos grandys guli ne toje pa?ioje ties?je (5 pav.).

?odyje „daugiakampis“ vietoj „daug“ dalies pakeiskite konkret? skai?i?, pavyzd?iui, 3. Gausite trikamp?. Arba 5. Tada – penkiakampis. Atkreipkite d?mes?, kad kamp? yra tiek, kiek yra ?on?, tod?l ?ias fig?ras galima vadinti daugia?al?mis.

Polilinijos vir??n?s vadinamos daugiakampio vir??n?mis, o polilinijos grandys – daugiakampio kra?tin?mis.

Daugiakampis padalija plok?tum? ? dvi sritis: vidin? ir i?orin? (6 pav.).

Plok?tumos daugiakampis arba daugiakampio sritis yra baigtin? plok?tumos dalis, kuri? riboja daugiakampis.

Dvi daugiakampio vir??n?s, kurios yra tos pa?ios pus?s galai, vadinamos kaimyn?mis. Vir??n?s, kurios n?ra vienos pus?s galai, n?ra gretimos.

Daugiakampis su n vir??ni? ir tod?l n kra?tini? vadinamas n kampu.

Nors ma?iausias daugiakampio kra?tini? skai?ius yra 3. Ta?iau trikampiai, jungdamiesi vienas su kitu, gali sudaryti kitas fig?ras, kurios savo ruo?tu taip pat yra daugiakampiai.

Atkarpos, jungian?ios negretimas daugiakampio vir??nes, vadinamos ?stri?ain?mis.

Daugiakampis vadinamas i?gaubtu, jei jis yra vienoje pusplok?tumoje bet kurios ties?s, kurioje yra jo kra?tin?, at?vilgiu. ?iuo atveju pati linija laikoma priklausan?ia PUSPLOK?TUMAI

I?gaubto daugiakampio kampas tam tikroje vir??n?je yra kampas, kur? sudaro jo kra?tin?s, susiliejan?ios toje vir??n?je.

?rodykime teorem? (apie i?gaubto n-kampio kamp? sum?): I?gaubto n-kampio kamp? suma lygi 1800*(n - 2).

?rodymas. Tuo atveju, kai n=3, teorema yra teisinga. Tegu А1А2…А n yra duotasis i?gaubtas daugiakampis ir n>3. Jame nubr??kime ?stri?aines (i? vienos vir??n?s). Kadangi daugiakampis yra i?gaubtas, ?ios ?stri?ain?s padalija j? ? n - 2 trikampius. Daugiakampio kamp? suma yra tokia pati kaip vis? ?i? trikampi? kamp? suma. Kiekvieno trikampio kamp? suma lygi 1800, o ?i? trikampi? skai?ius n - 2. Tod?l i?gaubto n - kampo A1A2 ... A n kamp? suma lygi 1800 * (n - 2). Teorema ?rodyta.

I?orinis i?gaubto daugiakampio kampas tam tikroje vir??n?je yra kampas, esantis greta daugiakampio vidinio kampo toje vir??n?je.

I?gaubtasis daugiakampis vadinamas taisyklingu, jei visos kra?tin?s yra lygios ir visi kampai lyg?s.

Taigi kvadrat? galima vadinti kitaip – taisyklingu keturkampiu. Lygiakra??iai trikampiai taip pat yra taisyklingi. Tokios fig?ros jau seniai domino pastatus puo?ian?ius meistrus. Jie padar? gra?ius ra?tus, pavyzd?iui, ant parketo. Ta?iau ne visi taisyklingi daugiakampiai gali b?ti naudojami parketui formuoti. Parketas negali b?ti formuojamas i? ?prast? a?tuonkampi?. Faktas yra tas, kad kiekvienas j? kampas yra lygus 1350. Ir jei kuris nors ta?kas yra dviej? toki? a?tuonkampi? vir??n?, tada jie tur?s 2700, o tre?iam a?tuonkampiui n?ra kur tilpti: 3600 - 2700 = 900. kvadratu to pakanka. Tod?l parket? galima i?lankstyti i? ?prast? a?tuonkampi? ir kvadrat?.

?vaig?d?s teisingos. M?s? penkiakamp? ?vaig?d? yra ?prasta penkiakamp? ?vaig?d?. Ir jei pasukate kvadrat? aplink centr? 450, gausite ?prast? a?tuonkamp? ?vaig?d?.

Kas yra nutr?kusi linija? Paai?kinkite, kas yra polilinijos vir??n?s ir saitai.

Kuri nutr?kusi linija vadinama paprasta?

Kuri nutr?kusi linija vadinama u?dara?

Kas yra daugiakampis? Kaip vadinamos daugiakampio vir??n?s? Kokios yra daugiakampio kra?tin?s?

Kas yra plok??ias daugiakampis? Pateikite daugiakampi? pavyzd?i?.

Kas yra n-gon?

Paai?kinkite, kurios daugiakampio vir??n?s yra gretimos, o kurios ne.

Kas yra daugiakampio ?stri?ain??

Kas yra i?gaubtas daugiakampis?

Paai?kinkite, kurie daugiakampio kampai yra i?oriniai, o kurie vidiniai?

Kas yra taisyklingas daugiakampis? Pateikite taisykling? daugiakampi? pavyzd?i?.

Kokia yra i?gaubto n kampo kamp? suma? ?rodyk.

Studentai dirba su tekstu, ie?ko atsakym? ? u?duodamus klausimus, po to sudaromos ekspert? grup?s, kuriose dirbama tais pa?iais klausimais: studentai i?ry?kina pagrindin? dalyk?, parengia pagrindin? santrauk?, pateikia informacij? viename i? grafines formas. Pasibaigus darbui, mokiniai gr??ta ? savo darbo grupes.

3. Refleksijos etapas –

a) savo ?ini? ?vertinimas, i???kis kitam ?ini? ?ingsniui;

b) gautos informacijos supratimas ir pasisavinimas.

Pri?mimas: tiriamasis darbas.

Darbo formos: individualus->porinis->grupinis.

Darbo grup?s yra ekspertai, atsakantys ? kiekvien? si?lom? klausim? skyri?.

Gr???s prie darbo grup?s, ekspertas supa?indina kitus grup?s narius su atsakymais ? jiems r?pimus klausimus. Grup?je vyksta vis? darbo grup?s nari? keitimasis informacija. Taigi kiekvienoje darbo grup?je ekspert? darbo d?ka susidaro bendra id?ja nagrin?jama tema.

Student? tiriamieji darbai- lentel?s pildymas.

Taisyklingi daugiakampiai Br??inys Kra?tini? skai?ius Vir??ni? skai?ius Vis? vidini? kamp? suma Vidinio laipsnio matas. kampas I?orinio kampo laipsnio matas ?stri?aini? skai?ius

A) trikampis

B) keturkampis

B) penki? skyli?

D) ?e?iakampis

E) n-gon

?domi? u?davini? sprendimas pamokos tema.

1) Kiek kra?tini? turi taisyklingasis daugiakampis, kurio kiekvienas vidinis kampas lygus 1350?

2) Tam tikrame daugiakampyje visi vidiniai kampai yra lyg?s vienas kitam. Ar ?io daugiakampio vidini? kamp? suma gali b?ti: 3600, 3800?

3) Ar galima pastatyti penkiakamp?, kurio kampai yra 100,103,110,110,116 laipsni??

Apibendrinant pamok?.

Nam? darb? ?ra?ymas: STR66-72 Nr. 15,17 IR U?DAVINIMAS: KETRAKAMPIEJE NUBR??KITE TIESIOG?, KAD JI J? PADALINT? ? TRIS TRIKAMPIUS.

Refleksija test? pavidalu (interaktyvioje lentoje)

Medicinos termin? ?odynas

Ai?kinamasis rus? kalbos ?odynas. D.N. U?akovas

poligonas

daugiakampis, m. (mat.). Plok??ia fig?ra, apribota trij?, keturi? ir tt tiesi? linij?.

Ai?kinamasis rus? kalbos ?odynas. S. I. O?egovas, N. Ju. ?vedova.

poligonas

A, m Matematikoje: geometrin? fig?ra, apribota u?dara lau?ta linija.

Naujas rus? kalbos ai?kinamasis ir i?vestinis ?odynas, T. F. Efremova.

poligonas

m Geometrin? fig?ra, apribota u?dara lau?ta linija, kurios jungtys sudaro daugiau nei keturis kampus.

Enciklopedinis ?odynas, 1998 m

poligonas

daugiakampis (plok?tumoje) geometrin? fig?ra, apribota u?dara lau?ta linija, kurios grandys vadinamos daugiakampio kra?tin?mis, o j? galai yra daugiakampio vir??n?s. Pagal vir??ni? skai?i? i?skiriami trikampiai, keturkampiai ir kt. Daugiakampis vadinamas i?gaubtu, jei jis visi?kai yra vienoje tiesios linijos, turin?ios bet kuri? i? jo kra?tini?, pus?je, o kitaip jis n?ra i?gaubtas. Daugiakampis vadinamas taisyklingu, jei visos jo kra?tin?s ir kampai yra lyg?s.

Poligonas

u?dara lau?yta linija. I?samiau M. ? ties?, kuri gaunama, jei paimsime n bet kuri? ta?k? A1, A2, ..., An ir kiekvien? i? j? sujungsime su sekan?ia tiesia atkarpa, o paskutin? ? su pirmuoju (?r. pav. ry?i?. vienas, a). Ta?kai A1, A2, ..., An vadinami M. vir??n?mis, o atkarpos A1A2, A2A3, ..., An-1An, AnA1 ? jo kra?tin?mis. Toliau nagrin?jama tik plok??ioji M. (t. y. daroma prielaida, kad M. guli vienoje plok?tumoje). M. gali kirsti save (?r. ry?i?. vienas, b), o savaiminio susikirtimo ta?kai gali b?ti ne jo vir??n?s.

Yra ir kit? po?i?ri? ? tai, k? laikyti M. Daugiakampiu galima vadinti sujungt? plok?tumos dal?, kurios visa riba susideda i? baigtinio skai?iaus tiesi? atkarp?, vadinam? daugiakampio kra?tin?mis. Mas? ?ia prasme taip pat gali b?ti daug kart? sujungta plok?tumos dalis (?r. ry?i?. vienas, d), t. y. toks M. gali tur?ti „daugiakampi? skyli?“. Taip pat laikome begalines M. ? plok?tumos dalis, kurias riboja baigtinis tiesi? atkarp? skai?ius ir baigtinis pustiesi? skai?ius.

Tolesnis pateikimas grind?iamas pirmuoju auk??iau pateiktu M apibr??imu. Jei M. nesikerta (?r., pvz. ry?i?. vienas, a ir b), tada jis padalija vis? plok?tumos ta?k?, kurie n?ra joje, aib? ? dvi dalis ? baigtin? (vidin?) ir begalin? (i?orin?) ta prasme, kad jei du ta?kai priklauso vienai i? ?i? dali?, tada jie gali b?ti sujungti vienas su kitu nutr?kusia linija, kuri nesikerta M., o jei skirtingos dalys, tai ne?manoma. Nepaisant puiki? ?ios aplinkyb?s ?rodym?, jos grie?tas i?vedimas i? geometrijos aksiom? yra gana sunkus (vadinamoji Jordano teorema matematikai). Vidin? plok?tumos dalis M. at?vilgiu turi tam tikr? plot?. Jei mas? yra savaime susikertanti, ji supjausto plok?tum? ? tam tikr? skai?i? dali?, i? kuri? vienas yra begalinis (vadinamas i?oriniu mas?s at?vilgiu), o likusios yra baigtin?s, tiesiog sujungtos (vadinamos vidin?mis), ir kiekvienos i? j? riba yra kokia nors savaime nesusikertanti mas?, kurios kra?tin?s yra sveikos kra?tin?s arba kra?tini? dalys, o vir??n?s yra duotosios M vir??n?s arba savaiminio susikirtimo ta?kai. Jei priskirtume krypt? kiekviena M. pus?, t.y. nurodykite, kuri? i? dviej? j? apibr??ian?i? vir??ni? laikysime prad?ia, o kuri? ? pabaiga, be to, taip, kad kiekvienos pus?s prad?ia b?t? ankstesnio pabaiga. vienas, tada gaunamas u?daras daugiakampis kelias arba orientuotas M. lieka ? kair? nuo einan?io ?iuo keliu, o kitu atveju neigiamas ?. Tegul M. b?na susikertantis ir orientuotas; jei i? ta?ko, esan?io jo at?vilgiu i?orin?je plok?tumos dalyje, nubr??kite tiesios linijos atkarp? ? ta?k?, esant? vienos i? vidini? dali? viduje, ir M. kerta ?i? atkarp? p kartus i? kair?s ? de?in? ir q kartus i? de?in?s ? kair?, tada skai?ius p ? q ( sveikasis skai?ius teigiamas, neigiamas arba nulis) nepriklauso nuo i?orinio ta?ko pasirinkimo ir vadinamas ?io gabalo koeficientu. ?i? gabal?li? ?prast? plot? suma, padauginta i? j? koeficient?, laikoma nagrin?jamo u?daro tako „plotu“ (orientuota M.). Tokiu b?du apibr??tas „u?darojo kelio plotas“ vaidina svarb? vaidmen? matematini? instrument? teorijoje (planimetras ir kt.); jis ten paprastai gaunamas integralo ? (poliarin?mis koordinat?mis r, w) arba ? (Dekarto koordinat?mis x, y) forma, kur spindulio vektoriaus r galas arba ordinat? y apeina ?? keli? vien? kart?.

Bet kurio savaime nesikertan?io M. su n kra?tin?mis vidini? kamp? suma lygi (n ? 2)180?. M. vadinamas i?gaubtu (?r. ry?i?. vienas, a) jei n? viena M. kra?tin?, b?dama neribotai i?t?susi, nepjauna M. ? dvi dalis. I?gaubtasis M. taip pat gali b?ti apib?dinamas tokia savybe: tiesi atkarpa, jungianti bet kuriuos du plok?tumos ta?kus, esan?ius M. viduje, nesikerta su M. Bet koks i?gaubtasis M. yra savaime disjunktas, bet ne atvirk??iai. Pavyzd?iui, ant ry?i?. vienas, b rodo savaime nesikertant? M., kuris n?ra i?gaubtas, nes atkarpa PQ, jungianti kai kuriuos jo vidinius ta?kus, kerta M.

Svarbiausias M.: trikampiai, ypa? sta?iakampiai, lygia?oniai, lygiakra??iai (taisyklingi); keturkampiai, ypa? trapecijos, lygiagretainiai, rombai, sta?iakampiai, kvadratai. I?gaubtasis M. vadinamas taisyklingu, jei visos jo kra?tin?s yra lygios ir visi vidiniai kampai lyg?s. Senov?je jie ?inojo, kaip kompasu ir liniuote statyti teising? M. ant apibr??to apskritimo ?ono arba spindulio tik tada, kai M. kra?tini? skai?ius m = 3 ? 2n, 4? 2n, 5 ? 2n , 3 ? 5 ? 2n, kur n ? bet koks teigiamas skai?ius arba nulis. 1801 m. vokie?i? matematikas K. Gaussas parod?, kad naudojant kompas? ir tiesi?j? galima sukonstruoti teising? M., kai jo kra?tini? skai?ius yra: m = 2n ? p1 ? p2 ? ... ? pk, kur p1 , p2, ... pk ? ?vair?s pirminiai skai?iai formos ?(s ? teigiamas sveikasis skai?ius). Iki ?iol ?inomi tik penki tokie p: 3, 5, 17, 257, 65537. I? Galois teorijos (?r. Galois teorij?) i?plaukia, kad jokie kiti reguliar?s skaitikliai, i?skyrus tuos, kuriuos nurod? Gausas, negali b?ti sukonstruoti naudojant kompas?. ir tiesus. Taigi statyti galima, kai m = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15 16, 17, 20, 24, 32, 34, ... ir ne?manoma, kai m = 7, 9, 11, 13 , 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, ...

?emiau esan?ioje lentel?je parodytas apibr??tojo apskritimo spindulys, ?br??to apskritimo spindulys ir taisyklingo n kampo plotas (jei n = 3, 4, 5, 6, 8, 10), kurio kra?tin? lygi k.

Apriboto apskritimo spindulys

?ra?ytas apskritimo spindulys

Pradedant penkiakampiu, yra ir nei?gaubt? (savaime susikertan?i? arba ?vaig?d?s formos) taisykling? M., t.y. toki?, kuri? visos kra?tin?s lygios ir kiekviena kita pus? pasukta ta pa?ia kryptimi ir tokiu pa?iu kampu su pagarba ankstesniajam. Visos tokio M. vir??n?s taip pat guli ant to paties apskritimo. Pavyzd?iui, tokia yra penkiakamp? ?vaig?d?. Ant ry?i?. 2 pateiktos visos taisyklingosios (ir i?gaubtos, ir nei?gaubtos) matricos, nuo trikampio iki septyniakampio.

Lit. ?r. str. Daugiakampis.

Vikipedija

Poligonas

Poligonas yra geometrin? fig?ra, paprastai apibr??iama kaip u?dara lau?ta linija.

Yra trys skirtingos daugiakampio apibr??imo parinktys:

• Plok??ia u?dara lau?yta linija yra bendriausias atvejis;
• Plok??ia u?dara daugiakamp? linija be susikirtim?, kurios bet kurios dvi gretimos grandys n?ra toje pa?ioje ties?je;
• Plok?tumos dalis, apribota u?dara poliline be susikirtim? - plok??ias daugiakampis

Bet kuriuo atveju polilinijos vir??n?s vadinamos vir??n?s daugiakampis ir jo atkarpos - vakar?liams poligonas.

Daugiakampis (nurodymas)

• Daugiakampis geometrijoje
• Akmens daugiakampis am?inajame ??ale

Daugiakampio ?od?io vartojimo pavyzd?iai literat?roje.

Gilmanas netgi d?iaug?si pasinerdamas ? ni?ri? bedugn? su ?prastu dusliu riaumojimu, nors net ir ten atkakliai siek? dviej? b?tybi?, kurios atrod? kaip vaivoryk?ti? burbuliuk? spie?ius ir ma?as. poligonas su ?onais besikei?ian?iais tarsi kaleidoskope, suk?l? ypa? a?tr? gr?sm?s jausm? ir ne?prastai erzino.

Ni?rios, riaumojan?ios bedugn?s - ?alias uol?tas ?laitas - terasa, tviskanti visomis vaivoryk?t?s spalvomis - ne?inom? planet? trauka - juoda eterio spiral? - juodas ?mogus - purvina juosta ir girg?dantys laiptai - sena burtinink? ir ma?as gauruotas padaras su ilgomis iltimis – p?sl?mis ir ma?as poligonas— keistas saul?s nudegimas — ?aizdos ant rankos — ka?kas smulkaus ir beformio senol?s rankose — purvu aplipusios p?dos — pasakos ir prietaring? u?sienie?i? baim?s — k? visa tai pagaliau rei?k??

Ar galiu padaryti sta?iakamp? teksto r?mel? poligonas?vaig?d?s pavidalu?

Daugiakampis, kurio pagrindas yra poligonas, o lik? pavir?iai yra trikampiai su bendra vir??ne.

Vadinasi, reik?jo nubr??ti, kur ir kaip tiksliai dislokuoti rezervus Vakar? kryptimi ir netaisyklingos formos poligonas Kalinino priekyje.

Prie? jus – ne tas, kuris smarkiai nu?jo ? ?iaur? poligonas vadinama Mand?i?rija.

Jei grafinis r?melis yra ovalus arba poligonas

Jei teksto r?melis yra ovalus arba poligonas, tada ?i parinktis tampa nepasiekiama.

Paimami trys ar daugiau vienodos mas?s objekt?, dedami lygiakra??io vir??n?se poligonas ir ?sib?g?ti iki tokio pat kampinio grei?io, palyginti su j? bendros mas?s centru.

Beveik prie? savo vali? jis pakilo per prieblandos bedugn?, sekdamas vaivoryk?t?s burbuliuk? spie?ius ir ma?? poligonas kai pasteb?jo, kad nuo jo nutolusi? mil?ini?k? prizmi? kra?tai sudaro steb?tinai taisyklingus pasikartojan?ius kampus.

Lygus, nekaltas, baltas, vietomis i?kreiptas judesi?, pana?us ? begal? daugiakampiai briaunos juodomis atviro vandens juostel?mis.

O pamatyti Arguso akimi daugiakampiai koralai ir pluo?tai, ?austi ? briaunas, ir pluo?t? vidus.

Tai v?jo nugludinti molio takyrai, suskil? ? daugyb? daugiakampiai, lygi kaip ?iuo?ykla, kieta kaip betonas.

?ia yra falo formos fontanas, kuris buvo matomas arba i? po arkos, arba i? po portiko, su Nept?nu, stovin?iu ant delfino, vartai su kolonomis, primenan?iomis asir?, ir v?l neapibr??tos formos arka, ka?kas pana?aus ? kr?v?. trikampi? ir daugiakampiai, o kiekvieno i? j? vir??n? vainikavo gyv?no – bried?io, be?d?ion?s, li?to – fig?r?l?.

Nuotraukos gali b?ti ne tik sta?iakampiuose grafiniuose r?meliuose, bet ir modifikuotuose daugiakampiai ir ovalai.

Geometrijos metu tiriame geo-met-ri-che-dangaus fig?r? savybes ir jau pa?velg?me ? papras?iausias i? j?: trikamp?-ni-ki ir aplink?. Tuo pa?iu metu diskutuojame apie konkre?ius ?i? fig?r? atvejus, tokius kaip sta?iakampis, lygus varg?as-ren ir sta?iakampis trikampis-no-ki. Dabar at?jo laikas pakalb?ti apie bendresnius ir sud?tingesnius fi-gu-rah - daug anglies-no-kah.

Su priva?ia byla daug anglies-ni-kov mes jau ?inome – tai trikampis (?r. 1 pav.).

Ry?iai. 1. Trikampis-nick

Pa?iame pavadinime jau yra under-cher-ki-va-et-sya, kad tai fi-gu-ra, ka?kas turi tris kampus. ?alia-va-tel-bet, in daug anglies j? gali b?ti daug, t.y. daugiau nei trys. Pavyzd?iui, penki? angli? niko vaizdas (?r. 2 pav.), t.y. fi-gu-ru su penkiais kampais-la-mi.

Ry?iai. 2. Penki? angli? nikelis. Tu-toli-ly-daug angli?-slapyvardis

Apibr??imas.Poligonas- fi-gu-ra, susidedantis i? keli? ta?k? (daugiau nei dviej?) ir atitinkantis atsakym? ? kov?, ka?kas-rugiai juos po to-va-tel-bet kombinuoti-ed-nya-yut. ?ie ta?kai yra on-zy-va-yut-sya top-shi-on-mi daug anglies-ne-ka, bet nuo kirtimo - ?imto ro-on-mi. Tuo pa?iu metu n?ra dviej? gretim? kra?t? toje pa?ioje tiesioje linijoje ir n?ra dviej? gretim? kra?t?, kuri? neb?t? i? naujo se-ka-yut-sya .

Apibr??imas.De?inysis keli? angli? slapyvardis- tai yra i?gaubtas poli-anglies nikelis, ka?kam-ro-go visos pus?s ir kampai yra vienodi.

Bet koks poligonas de-la-et plok?tum? ? dvi sritis: vidin? ir i?orin?. Vidin?-ren-ny sritis taip pat yra nuo-bet-syat iki daug anglies.

Kitaip tariant, pavyzd?iui, kai jie kalba apie penkias anglis-ni-ke, jie turi omenyje ir vis? jos vidin? region?, ir pasienio tsu. O ? regiono vidin?-ren-it nuo-no-syat-sya ir visus ta?kus, kai kurie rugiai gl?di daug-anglies-no-ka viduje, t.y. ta?kas taip pat yra nuo-bet-sit-Xia iki penki? angli?-no-ku (?r. 2 pav.).

Daug anglies-no-ki vis dar kartais vadinama n-anglis-ne-ka-mi, siekiant pabr??ti, kad tai ?prastas atvejis, kai arbata ant ka?ko-ne?inomo-apie -kamp? skai?ius (n vnt.).

Apibr??imas. Pe-ri-metras daug-anglies-no-ka- keli? anglies-no-ka kra?tini? ilgi? suma.

Dabar jums reikia ?inoti, kad ?inotum?te, su many-coal-no-kov nuomone. Jie de-lyat-xia on tu-didelis ir ne dideli? gabarit?. Pavyzd?iui, poli-anglies snapas, pavaizduotas Fig. 2, is-la-et-sya you-bump-ly, o pav. 3 ne kek?-lym.

Ry?iai. 3. Nei?gaubtas poli-anglies nikelis

2. I?gaubti ir nei?gaubti daugiakampiai

Les 1 apibr??imas. Poligonas na-zy-va-et-sya tu parudeli, jei kai pro-ve-de-nii yra tiesioginis per bet kuri? jo pus?, visuma poligonas yra tik vienas ?imto ro ?ulinys nuo ?ios tiesios linijos. Nevy-puk-ly-mi yav-la-yut-sya visa kita daug anglies.

Nesunku ?sivaizduoti, kad prat?siant bet kuri? penki? angli?-no-ka pus?, parodyt? pav. 2 jis yra viskas ok-zhet-sya vienas ?imtas-ro-?ulinis i? ?ios tiesios kasyklos, t.y. jis i?sip?t?s. Bet kai pro-ve-de-nii yra tiesiai per four-you-rech-coal-no-ke pav. 3, jau matome, kad ji skaido ? dvi dalis, t.y. jis n?ra stambus.

Bet yra dar vienas def-de-le-nie you-pump-lo-sti daug anglies-no-ka.

Opr?-de-le-nie 2. Poligonas na-zy-va-et-sya tu parudeli, jei kai pasirenkate bet kuriuos du vidinius ta?kus ir sujungiate juos i? pj?vio, visi pj?vio ta?kai taip pat yra vidiniai -no-mi point-ka-mi much-coal-no-ka.

?io de-letion apibr??imo naudojimo demonstravimas gali b?ti matomas pastatymo i? pj?vi? pavyzdyje Fig. 2 ir 3.

Apibr??imas. Dia-go-na-lew many-coal-no-ka-za-va-et-sya bet kuris i?-re-zok, jungiantis du nesujungiantis jo vir??ni?.

3. I?gaubto n kampo vidini? kamp? sumos teorema

Norint apib?dinti daugiakampi? savybes, yra dvi svarbios teorijos apie j? kampus: theo-re-ma apie you-bunch-lo-go-many-coal-no-ka vidini? kamp? sum? ir teo-re-ma apie i?orini? kamp? sum?. Pa?i?r?kime ? juos.

Teorema. D?l vidini? kamp? sumos tu-spindulio-lo-go-daug anglies-no-ka (n-anglis-ne-ka).

Kur yra jo kamp? (?on?) skai?ius.

Do-for-tel-stvo 1. Vaizdas-ra-?iema pav. 4 i?gaubtas n kampo slapyvardis.

Ry?iai. 4. You-bump-ly n-angle-nick

I? vir?aus mes palaikome visus ?manomus veiksmus. Jie padalija n-kampo slapyvard? ? trikamp?-ne-ka, nes kiekviena i? ?on? yra keli? anglies-ne-ka-ra-zu-et trikampio formos, i?skyrus ?onus, esan?ius greta padangos vir?aus. I? ri-sun-ku nesunku pasteb?ti, kad vis? ?i? trikampi? kamp? suma bus lygiai lygi n-kampo-ni-ka vidini? kamp? sumai. Kadangi bet kurio trikampio-no-ka kamp? suma, tada n-kampo-ne-ka vidini? kamp? suma:

Do-ka-for-tel-stvo 2. Galima ir dar vienas do-ka-for-tel-stvo ?io theo-re-we. Analogi?ko n kampo vaizdas pav. 5 ir sujunkite bet kur? i? jo vidini? ta?k? su visomis vir??n?mis.

We-be-chi-ar raz-bi-e-ne n-angle-no-ka ant n trikampio-ni-kov (kiek kra?tini?, tiek trikampi?-ni-kov ). Vis? j? kamp? suma yra lygi vidini? keli? anglies kamp? sumai ir kamp? vidinio ta?ko sumai, ir tai yra kampas. Mes turime:

Q.E.D.

Prie?-u?-bet.

Pagal do-ka-zan-noy theo-re-me, ai?ku, kad kamp? n-coal-no-ka suma priklauso nuo jos kra?tini? skai?iaus (nuo n). Pavyzd?iui, trikampyje-ne-ke, ir kamp? suma. Ketur-j?s-reh-anglies-ni-ke, o kamp? suma – ir t.t.

4. I?gaubto n kampo i?orini? kamp? sumos teorema

Teorema. Apie tu-spindulio-lo-go-daug-anglies-no-ka i?orini? kamp? sum? (n-anglis-ne-ka).

Kur yra jo kamp? (kra?tini?) skai?ius ir, ..., yra i?oriniai kampai.

?rodymas. Vaizdas-ra-zim i?gaubtas n-kampo ply?ys pav. 6 ir pa?ym?kite jo vidinius ir i?orinius kampus.

Ry?iai. 6. J?s esate i?gaubtas n-anglies ply?ys, pa?ym?tas i?oriniais-ni-kampais-la-mi

Nes i?orinis kampas yra sujungtas su vidiniu kampu kaip gretimas, tada jis yra analogi?kas likusiems i?oriniams kampams. Tada:

Per pre-ob-ra-zo-va-niy naudojome-zo-va-melavome jau to-ka-zan-my theo-re-mine apie vidini? kamp? sum? n-kampas-no-ka. .

Prie?-u?-bet.

I? pre-ka-zan-noy theo-re- sekame in-te-res-ny fakt?, kad i?gaubto-lo-to n-kampo-no-ka i?orini? kamp? suma yra lygi nuo ko -li-che-jo kamp? (?on?). Beje, priklausomai nuo vidini? kamp? sumos.

Be to, su konkre?iu atveju, kai daug anglies-no-kov – che-you-rekh-coal-no-ka-mi, dirbsime ?iek tiek. Kitoje pamokoje susipa?insime su tokiu fi-gu-spie?iu kaip par-ral-le-lo-gram, aptarsime jo savybes.

?ALTINIS

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2

http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-class

https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144