ladybe.ru
Taisyklingos piramid?s ?oniniai pavir?iai yra. Piramid?. Piramid?s formul?s ir savyb?s
- apotemas- taisyklingos piramid?s ?oninio pavir?iaus auk?tis, nubr??tas i? jos vir?aus (be to, apotemas yra statmens, nuleistos nuo taisyklingo daugiakampio vidurio iki 1 jo kra?tini?, ilgis);
- ?oniniai veidai (ASB, BSC, CSD, DSA) - trikampiai, kurie susilieja vir?uje;
- ?oniniai ?onkauliai ( AS , BS , CS , D.S. ) - bendrosios ?onini? pavir?i? pus?s;
- piramid?s vir??n? (v. S) - ta?kas, jungiantis ?oninius kra?tus ir kuris n?ra pagrindo plok?tumoje;
- auk??io ( TAIP ) - statmens atkarpa, kuri per piramid?s vir??n? nubr??ta iki jos pagrindo plok?tumos (tokio atkarpos galai bus piramid?s vir??n? ir statmens pagrindas);
- ?stri?ain? piramid?s pj?vis- piramid?s atkarpa, einanti per pagrindo vir?? ir ?stri?ain?;
- baz? (ABCD) yra daugiakampis, kuriam nepriklauso piramid?s vir??n?.
piramid?s savyb?s.
1. Kai visi ?oniniai kra?tai yra vienodo dyd?io, tada:
- ?alia piramid?s pagrindo lengva apib?dinti apskritim?, o piramid?s vir?us bus projektuojamas ? ?io apskritimo centr?;
- ?oniniai ?onkauliai sudaro vienodus kampus su pagrindine plok?tuma;
- be to, yra ir atvirk??iai, t.y. kai ?onin?s briaunos sudaro lygius kampus su pagrindo plok?tuma arba kai ?alia piramid?s pagrindo galima apib?dinti apskritim? ir piramid?s vir??n? bus projektuojama ? ?io apskritimo centr?, tada visos piramid?s ?onin?s briaunos turi tokio pat dyd?io.
2. Kai ?oniniai pavir?iai turi tokios pat vert?s pasvirimo kamp? ? pagrindo plok?tum?, tada:
- ?alia piramid?s pagrindo lengva apib?dinti apskritim?, o piramid?s vir?us bus projektuojamas ? ?io apskritimo centr?;
- ?onini? pavir?i? auk??iai yra vienodo ilgio;
- ?oninio pavir?iaus plotas yra 1/2 pagrindo perimetro ir ?oninio pavir?iaus auk??io sandauga.
3. Sfer? galima apib?dinti ?alia piramid?s, jei piramid?s pagrindas yra daugiakampis, aplink kur? galima apib?dinti apskritim? (b?tina ir pakankama s?lyga). Sferos centras bus plok?tum?, einan?i? per joms statmenos piramid?s kra?t? vidurio ta?kus, susikirtimo ta?kas. I? ?ios teoremos darome i?vad?, kad sfer? galima apib?dinti ir aplink bet kuri? trikamp?, ir aplink bet kuri? taisykling?j? piramid?.
4. ? piramid? galima ?ra?yti sfer?, jei piramid?s vidini? dvikampi? kamp? bisektorin?s plok?tumos susikerta 1-ajame ta?ke (b?tina ir pakankama s?lyga). ?is ta?kas taps sferos centru.
Papras?iausia piramid?.
Pagal piramid?s pagrindo kamp? skai?i? jie skirstomi ? trikampius, keturkampius ir pan.
Piramid? bus trikampis, keturkampis, ir taip toliau, kai piramid?s pagrindas yra trikampis, keturkampis ir pan. Trikamp? piramid? yra tetraedras – tetraedras. Keturkampis – penkiakampis ir pan.
Apibr??imas. ?oninis veidas- tai trikampis, kurio vienas kampas yra piramid?s vir?uje, o prie?inga jo pus? sutampa su pagrindo (daugiakampio) kra?tine.
Apibr??imas. ?oniniai ?onkauliai yra bendrosios ?onini? veid? pus?s. Piramid? turi tiek briaun?, kiek daugiakampio kamp?.
Apibr??imas. piramid?s auk?tis yra statmenas, nuleistas i? vir?aus ? piramid?s pagrind?.
Apibr??imas. Apotema- tai piramid?s ?oninio pavir?iaus statmuo, nuleistas nuo piramid?s vir?aus ? pagrindo ?on?.
Apibr??imas. ?stri?ain? pj?vis- tai piramid?s atkarpa plok?tuma, einanti per piramid?s vir??n? ir pagrindo ?stri?ain?.
Apibr??imas. Teisinga piramid?- Tai piramid?, kurios pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o auk?tis nusileid?ia ? pagrindo centr?.
Piramid?s t?ris ir pavir?iaus plotas
Formul?. piramid?s t?ris per pagrindo plot? ir auk?t?:
piramid?s savyb?s
Jei visos ?onin?s briaunos yra lygios, tada aplink piramid?s pagrind? gali b?ti apibr??iamas apskritimas, o pagrindo centras sutampa su apskritimo centru. Taip pat i? vir?aus nuleistas statmuo eina per pagrindo (apskritimo) centr?.
Jei visi ?oniniai ?onkauliai yra vienodi, tada jie yra pasvir? ? pagrindin? plok?tum? tais pa?iais kampais.
?oniniai ?onkauliai yra lyg?s, kai sudaro vienodus kampus su pagrindo plok?tuma arba jei aplink piramid?s pagrind? galima apib?dinti apskritim?.
Jei ?oniniai pavir?iai yra pasvir? ? pagrindo plok?tum? vienu kampu, tai piramid?s pagrinde gali b?ti ?ra?ytas apskritimas, o piramid?s vir??n? projektuojama ? jos centr?.
Jei ?oniniai pavir?iai ? pagrindo plok?tum? pasvir? vienu kampu, tai ?onini? pavir?i? apotemos yra lygios.
Taisyklingos piramid?s savyb?s
1. Piramid?s vir?us yra vienodu atstumu nuo vis? pagrindo kamp?.
2. Visos ?onin?s briaunos lygios.
3. Visi ?oniniai ?onkauliai pasvir? ? pagrind? tais pa?iais kampais.
4. Vis? ?onini? pavir?i? apotemos yra lygios.
5. Vis? ?onini? pavir?i? plotai lyg?s.
6. Visi pavir?iai turi vienodus dvikampius (plok??ius) kampus.
7. Aplink piramid? galima apib?dinti sfer?. Apra?ytos sferos centras bus statmen?, einan?i? per kra?t? vidur?, susikirtimo ta?kas.
8. ? piramid? galima ?ra?yti sfer?. ?br??tos sferos centras bus i? kampo tarp briaunos ir pagrindo kylan?i? bisektori? susikirtimo ta?kas.
9. Jei ?br??to rutulio centras sutampa su apriboto rutulio centru, tai plok??i?j? kamp? suma vir??n?je yra lygi p arba atvirk??iai, vienas kampas lygus p / n, kur n yra skai?ius kamp? piramid?s pagrinde.
Piramid?s ry?ys su sfera
Aplink piramid? galima apib?dinti sfer?, kai piramid?s pagrinde yra daugiakampis, aplink kur? galima apib?dinti apskritim? (b?tina ir pakankama s?lyga). Rutulio centras bus plok?tum?, einan?i? statmenai per piramid?s ?onini? kra?t? vidurio ta?kus, susikirtimo ta?kas.
Sfer? visada galima apib?dinti aplink bet kuri? trikamp? ar taisykling? piramid?.
? piramid? galima ?ra?yti sfer?, jei piramid?s vidini? dvikampi? kamp? bisektorin?s plok?tumos susikerta viename ta?ke (b?tina ir pakankama s?lyga). ?is ta?kas bus sferos centras.
Piramid?s ry?ys su k?giu
K?gis vadinamas ?br??tu piramid?je, jei j? vir??n?s sutampa, o k?gio pagrindas yra ?br??tas piramid?s pagrinde.
? piramid? galima ?ra?yti k?g?, jei piramid?s apotemos yra lygios.
Sakoma, kad k?gis yra apibr??iamas aplink piramid?, jei j? vir??n?s sutampa, o k?gio pagrindas yra aplink piramid?s pagrind?.
Aplink piramid? galima apib?dinti k?g?, jei visos piramid?s ?onin?s briaunos yra lygios viena kitai.
Piramid?s sujungimas su cilindru
Sakoma, kad piramid? yra ?ra?yta ? cilindr?, jei piramid?s vir??n? yra ant vieno cilindro pagrindo, o piramid?s pagrindas yra ?br??tas kitame cilindro pagrinde.
Cilindras gali b?ti apibr??iamas aplink piramid?, jei aplink piramid?s pagrind? galima apibr??ti apskritim?.
Tetraedras turi keturis pavir?ius ir keturias vir??nes bei ?e?ias briaunas, kur bet kurios dvi briaunos neturi bendr? vir??ni?, bet nesilie?ia.
Kiekviena vir??n? susideda i? trij? formuojan?i? pavir?i? ir briaun? trikampis kampas.
Atkarpa, jungianti tetraedro vir??n? su prie?ingo pavir?iaus centru, vadinama tetraedro mediana(GM).
Bimedian vadinamas atkarpa, jungian?ia prie?ing? kra?tini?, kurie nesilie?ia, vidurio ta?kus (KL).
Visos tetraedro bimedianos ir medianos susikerta viename ta?ke (S). ?iuo atveju bimedianai dalijami per pus?, o medianos santykiu 3:1, pradedant nuo vir?aus.
Apibr??imas. ?maus kampo piramid? yra piramid?, kurioje apotemas yra daugiau nei pus? pagrindo kra?tin?s ilgio.
Apibr??imas. buka piramid? yra piramid?, kurioje apotemas yra ma?esnis nei pus? pagrindo kra?tin?s ilgio.
Apibr??imas. taisyklingas tetraedras Tetraedras, kurio keturi pavir?iai yra lygiakra??iai trikampiai. Tai vienas i? penki? taisykling? daugiakampi?. ?prastame tetraedre visi dvikampiai kampai (tarp pavir?i?) ir trikampiai kampai (vir??n?je) yra lyg?s.
Apibr??imas. Sta?iakampis tetraedras vadinamas tetraedras, kurio vir??n?je tarp trij? kra?tini? yra sta?iu kampu (kra?tin?s statmenos). Susidaro trys veidai sta?iakampis trikampis kampas ir pavir?iai yra sta?iakampiai, o pagrindas yra savavali?kas trikampis. Bet kurio veido apotemas yra lygus pusei pagrindo, ant kurio krenta apotema, kra?tin?s.
Apibr??imas. Izoedrinis tetraedras Vadinamas tetraedras, kurio ?oniniai pavir?iai yra lyg?s vienas kitam, o pagrindas yra taisyklingas trikampis. Tokio tetraedro pavir?iai yra lygia?oniai trikampiai.
Apibr??imas. Ortocentrinis tetraedras vadinamas tetraedras, kuriame visi auk??iai (statmenys), nuleisti i? vir?aus ? prie?ing? pavir?i?, susikerta viename ta?ke.
Apibr??imas. ?vaig?d?i? piramid? Vadinamas daugiakampis, kurio pagrindas yra ?vaig?d?.
?vadas
Kai prad?jome studijuoti stereometrines fig?ras, paliet?me tem? „Piramid?“. ?i tema mums patiko, nes piramid? labai da?nai naudojama architekt?roje. O kadangi b?sima architekto profesija, ?kv?pta ?ios fig?ros, manome, kad ji gal?s mus past?m?ti ? puikius projektus.
Architekt?rini? konstrukcij? tvirtumas, svarbiausia j? kokyb?. Susiejant stiprum?, pirma, su med?iagomis, i? kuri? jie sukurti, ir, antra, su dizaino sprendim? ypatyb?mis, paai?k?ja, kad konstrukcijos stiprumas yra tiesiogiai susij?s su jai pagrindine geometrine forma.
Kitaip tariant, kalbame apie geometrin? fig?r?, kuri gali b?ti laikoma atitinkamos architekt?rin?s formos modeliu. Pasirodo, geometrin? forma lemia ir architekt?rin?s konstrukcijos tvirtum?.
Egipto piramid?s ilg? laik? buvo laikomos patvariausia architekt?rine strukt?ra. Kaip ?inote, jie turi taisykling? keturkampi? piramid?i? form?.
B?tent ?i geometrin? forma suteikia did?iausi? stabilum? d?l didelio pagrindo ploto. Kita vertus, piramid?s forma u?tikrina, kad mas? ma??t? did?jant auk??iui vir? ?em?s. B?tent ?ios dvi savyb?s daro piramid? stabili?, taigi ir stipri? gravitacijos s?lygomis.
Projekto tikslas: su?inokite k? nors naujo apie piramides, pagilinkite ?inias ir raskite praktinio pritaikymo.
Norint pasiekti ?? tiksl?, reik?jo i?spr?sti ?ias u?duotis:
Su?inokite istorin? informacij? apie piramid?
Apsvarstykite piramid? kaip geometrin? fig?r?
Raskite pritaikym? gyvenime ir architekt?roje
Raskite pana?umus ir skirtumus tarp piramid?i?, esan?i? ?vairiose pasaulio vietose
Teorin? dalis
Istorin? informacija
Piramid?s geometrijos prad?ia buvo nustatyta senov?s Egipte ir Babilone, ta?iau ji buvo aktyviai pl?tojama senov?s Graikijoje. Pirmasis, kuris nustat?, kam prilygsta piramid?s t?ris, buvo Demokritas, ir Eudoksas Knidas tai ?rod?. Senov?s graik? matematikas Euklidas susistemino ?inias apie piramid? savo „Prad?i?“ XII tome, taip pat i?ved? pirm?j? piramid?s apibr??im?: k?no fig?r?, apribot? plok?tum?, kurios viename ta?ke susilieja i? vienos plok?tumos.
Egipto faraon? kapai. Did?iausios i? j? – Cheopso, Khafre ir Mikerino piramid?s El Gizoje senov?je buvo laikomos vienu i? septyni? pasaulio stebukl?. Piramid?s, kurioje graikai ir rom?nai jau mat? paminkl? precedento neturin?iam karali? pasidid?iavimui ir ?iaurumui, pasmerkusiam vis? Egipto ?mones beprasm?ms statyboms, pastatymas buvo svarbiausias kulto veiksmas ir, matyt, tur?jo i?reik?ti mistin? ?alies ir jos valdovo tapatyb?. ?alies gyventojai laisv? nuo ?em?s ?kio darb? met? dal? dirbo prie kapo statybos. Nema?ai tekst? liudija, kok? d?mes? ir r?pest? patys karaliai (nors ir v?lesniu laiku) skyr? savo kapo statybai ir jo statytojams. Taip pat ?inoma apie ypating? kulto garb?, kuri pasirod? esanti pati piramid?.
Pagrindin?s s?vokos
Piramid? Vadinamas daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis, o likusieji pavir?iai yra trikampiai, turintys bendr? vir??n?.
Apotema- taisyklingos piramid?s ?oninio pavir?iaus auk?tis, nubr??tas nuo jos vir?aus;
?oniniai veidai- vir?uje susiliejantys trikampiai;
?oniniai ?onkauliai- bendrosios ?onini? pavir?i? pus?s;
piramid?s vir??n?- ta?kas, jungiantis ?oninius kra?tus ir negulintis pagrindo plok?tumoje;
Auk?tis- statmens atkarpa, nubr??ta per piramid?s vir??n? iki jos pagrindo plok?tumos (?ios atkarpos galai yra piramid?s vir??n? ir statmens pagrindas);
?stri?in? piramid?s pj?vis- piramid?s pj?vis, einantis per pagrindo vir?? ir ?stri?ain?;
Baz?- daugiakampis, kuris nepriklauso piramid?s vir??nei.
Pagrindin?s teisingos piramid?s savyb?s
?oniniai kra?tai, ?oniniai pavir?iai ir apotemos yra atitinkamai vienodi.
Dvikampiai kampai prie pagrindo yra lyg?s.
Dvikampiai kampai prie ?onini? kra?t? yra lyg?s.
Kiekvienas auk??io ta?kas yra vienodu atstumu nuo vis? pagrindini? vir??ni?.
Kiekvienas auk??io ta?kas yra vienodu atstumu nuo vis? ?onini? pavir?i?.
Pagrindin?s piramid?s formul?s
?oninio ir viso piramid?s pavir?iaus plotas.
Piramid?s ?oninio pavir?iaus plotas (pilnas ir nupjautas) yra vis? jos ?onini? pavir?i? plot? suma, bendras pavir?iaus plotas yra vis? jos pavir?i? plot? suma.
Teorema: Taisyklingos piramid?s ?oninio pavir?iaus plotas yra lygus pusei piramid?s pagrindo perimetro ir apotemos sandaugos.
p- pagrindo perimetras;
h- apotemas.
Nupjautos piramid?s ?onini? ir piln? pavir?i? plotas.
p1, p 2 - baziniai perimetrai;
h- apotemas.
R- bendras taisyklingos nupjautos piramid?s pavir?iaus plotas;
S pus?- taisyklingos nupjautos piramid?s ?oninio pavir?iaus plotas;
S1 + S2- bazinis plotas
Piramid?s t?ris
Forma T?rio skal? naudojama bet kokios r??ies piramid?ms.
H yra piramid?s auk?tis.
Piramid?s kampai
Kampai, kuriuos sudaro piramid?s ?oninis pavir?ius ir pagrindas, vadinami dvikampiais kampais piramid?s pagrinde.
Dvikamp? kamp? sudaro du statmenai.
Norint nustatyti ?? kamp?, da?nai reikia naudoti trij? statmen? teorem?.
Vadinami kampai, kuriuos sudaro ?onin? briauna ir jos projekcija ? pagrindo plok?tum? kampai tarp ?oninio kra?to ir pagrindo plok?tumos.
Kampas, sudarytas i? dviej? ?onini? pavir?i?, vadinamas dvikampis kampas prie piramid?s ?onin?s briaunos.
Kampas, kur? sudaro dvi ?onin?s piramid?s briaunos briaunos, vadinamas kampas piramid?s vir?uje.
Piramid?s atkarpos
Piramid?s pavir?ius yra daugiakampio pavir?ius. Kiekvienas jos pavir?ius yra plok?tuma, tod?l piramid?s atkarpa, kuri? suteikia skentin? plok?tuma, yra lau?ta linija, susidedanti i? atskir? tiesi?.
?stri?ain? pj?vis
Piramid?s pj?vis plok?tuma, kertanti du ?oninius kra?tus, kurie n?ra tame pa?iame pavir?iuje, vadinama ?stri?ain? pj?vis piramid?s.
Lygiagre?ios sekcijos
Teorema:
Jei piramid? kerta plok?tuma, lygiagreti pagrindui, tai piramid?s ?onin?s briaunos ir auk??iai ?ia plok?tuma dalijami ? proporcingas dalis;
?ios plok?tumos pj?vis yra daugiakampis, pana?us ? pagrind?;
Pj?vio ir pagrindo plotai yra susieti vienas su kitu kaip j? atstum? nuo vir?aus kvadratai.
Piramid?s tipai
Teisinga piramid?- piramid?, kurios pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o piramid?s vir??n? projektuojama ? pagrindo centr?.
Tiesoje piramid?je:
1. ?oniniai ?onkauliai yra lyg?s
2. ?oniniai pavir?iai lyg?s
3. apotemai yra lyg?s
4. dvikampiai kampai prie pagrindo lyg?s
5. dvikampiai kampai prie ?onini? kra?t? yra lyg?s
6. kiekvienas auk??io ta?kas yra vienodu atstumu nuo vis? pagrindo vir??ni?
7. kiekvienas auk??io ta?kas yra vienodu atstumu nuo vis? ?onini? pavir?i?
Nupjauta piramid?- piramid?s dalis, esanti tarp jos pagrindo ir pjovimo plok?tumos, lygiagre?ios pagrindui.
Nupjautin?s piramid?s pagrindas ir atitinkama atkarpa vadinama nupjautin?s piramid?s pagrindai.
Statmenas, nubr??tas i? bet kurio vieno pagrindo ta?ko ? kito pagrindo plok?tum?, vadinamas nupjautin?s piramid?s auk?tis.
U?duotys
Nr. 1. Taisyklingoje keturkamp?je piramid?je ta?kas O yra pagrindo centras, SO=8 cm, BD=30 cm. Raskite kra?tin? SA.
Problem? sprendimas
Nr. 1. ?prastoje piramid?je visi pavir?iai ir briaunos yra lyg?s.
Apsvarstykime OSB: OSB-sta?iakamp? sta?iakamp?, nes.
SB 2 \u003d SO 2 + OB 2
SB2=64+225=289
Piramid? architekt?roje
Piramid? – monumentali ?prastos taisyklingos geometrin?s piramid?s formos statinys, kurio kra?tin?s susilieja viename ta?ke. Pagal funkcin? paskirt? piramid?s senov?je buvo laidojimo ar garbinimo vieta. Piramid?s pagrindas gali b?ti trikampis, keturkampis arba daugiakampis su savavali?ku vir??ni? skai?iumi, ta?iau labiausiai paplit?s variantas yra keturkampis pagrindas.
Yra ?inoma nema?ai piramid?i?, kurias stat? ?vairios senov?s pasaulio kult?ros, daugiausia kaip ?ventyklas ar paminklus. Did?iausios piramid?s yra Egipto piramid?s.
Visoje ?em?je galite pamatyti piramid?i? pavidalo architekt?rines strukt?ras. Piramid?i? pastatai mena senov?s laikus ir atrodo labai gra?iai.
Egipto piramid?s yra did?iausi Senov?s Egipto architekt?ros paminklai, tarp kuri? vienas i? „septyni? pasaulio stebukl?“ yra Cheopso piramid?. Nuo p?dos iki vir??n?s siekia 137,3 m, o kol neprarado vir??n?s, jo auk?tis siek? 146,7 m.
Radijo stoties pastatas Slovakijos sostin?je, primenantis apverst? piramid?, pastatytas 1983 m. Be biur? ir tarnybini? patalp?, t?rio viduje yra gana erdvi koncert? sal?, kurioje yra vieni did?iausi? vargon? Slovakijoje. .
Luvras, kuris „yra tylus ir didingas kaip piramid?“, per ?imtme?ius patyr? daug poky?i?, kol tapo did?iausiu muziejumi pasaulyje. Ji gim? kaip tvirtov?, kuri? 1190 m. pastat? Pilypas Augustas, kuri netrukus virto karali?ka rezidencija. 1793 m. r?mai tapo muziejumi. Kolekcijos praturt?ja palikimais ar pirkimais.
Piramid?s koncepcija
1 apibr??imas
Geometrin? fig?ra, sudaryta i? daugiakampio ir ta?ko, kuris n?ra plok?tumoje, kurioje yra ?is daugiakampis, sujungtas su visomis daugiakampio vir??n?mis, vadinama piramide (1 pav.).
Daugiakampis, i? kurio sudaryta piramid?, vadinamas piramid?s pagrindu, trikampiai, gauti sujungus su ta?ku, yra piramid?s ?oniniai pavir?iai, trikampi? kra?tin?s yra piramid?s kra?tin?s, o ta?kas yra bendras visiems. trikampiai yra piramid?s vir??n?.
Piramid?i? r??ys
Priklausomai nuo kamp? skai?iaus piramid?s pagrinde, j? galima vadinti trikampiu, keturkampiu ir pan. (2 pav.).
2 pav.
Kitas piramid?i? tipas yra taisyklinga piramid?.
?veskime ir ?rodykime taisyklingos piramid?s savyb?.
1 teorema
Visi taisyklingos piramid?s ?oniniai pavir?iai yra lygia?oniai trikampiai, kurie yra lyg?s vienas kitam.
?rodymas.
Apsvarstykite taisykling? $n-$kampin? piramid?, kurios vir??n? $S$ auk?tis $h=SO$. Apra?ykime apskritim? aplink pagrind? (4 pav.).
4 pav
Apsvarstykite trikamp? $SOA$. Pagal Pitagoro teorem? gauname
Akivaizdu, kad bet koks ?oninis kra?tas bus apibr??tas tokiu b?du. Tod?l visi ?oniniai kra?tai yra lyg?s vienas kitam, tai yra, visi ?oniniai pavir?iai yra lygia?oniai trikampiai. ?rodykime, kad jie vienas kitam lyg?s. Kadangi pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, vis? ?onini? pavir?i? pagrindai yra lyg?s vienas kitam. Vadinasi, visi ?oniniai pavir?iai yra lyg?s pagal III trikampi? lygyb?s ?enkl?.
Teorema ?rodyta.
Dabar pristatome tok? apibr??im?, susijus? su taisyklingos piramid?s s?voka.
3 apibr??imas
Taisyklingos piramid?s apotemas yra jos ?oninio pavir?iaus auk?tis.
Akivaizdu, kad pagal 1 teorem? visi apotemai yra lyg?s.
2 teorema
Taisyklingos piramid?s ?oninio pavir?iaus plotas apibr??iamas kaip pagrindo ir apotemos pusperimetro sandauga.
?rodymas.
$n-$ anglies piramid?s pagrindo kra?tin? pa?ym?kime kaip $a$, o apotem? kaip $d$. Tod?l ?oninio veido plotas lygus
Kadangi pagal 1 teorem? visos pus?s yra lygios, tada
Teorema ?rodyta.
Kitas piramid?i? tipas yra nupjauta piramid?.
4 apibr??imas
Jei per paprast? piramid? nubr??ta lygiagreti jos pagrindui plok?tuma, tai tarp ?ios plok?tumos ir pagrindo plok?tumos susidariusi fig?ra vadinama nupjaut?ja piramide (5 pav.).
5 pav. Nupjauta piramid?
Nupjautin?s piramid?s ?oniniai pavir?iai yra trapecijos formos.
3 teorema
Taisyklingos nupjautin?s piramid?s ?oninio pavir?iaus plotas apibr??iamas kaip pagrind? ir apotemos pusperimetri? sumos sandauga.
?rodymas.
$n-$ anglies piramid?s pagrind? kra?tines pa?ym?kime atitinkamai $a\ ir\ b$, o apotem? - $d$. Tod?l ?oninio veido plotas lygus
Kadangi visos pus?s yra lygios, tada
Teorema ?rodyta.
U?duoties pavyzdys
1 pavyzdys
Raskite nupjautin?s trikamp?s piramid?s ?oninio pavir?iaus plot?, jei jis gaunamas i? taisyklingos piramid?s, kurios pagrindo kra?tin? yra 4 ir apotema 5, nupjaunant plok?tuma, einan?ia per ?onini? pavir?i? vidurin? linij?.
Sprendimas.
Pagal medianin?s ties?s teorem? gauname, kad nupjautos piramid?s vir?utin? baz? yra lygi $4\cdot \frac(1)(2)=2$, o apotemas lygus $5\cdot \frac(1)( 2) = 2,5 USD.
Tada pagal 3 teorem? gauname
Hipotez?: manome, kad piramid?s formos tobulum? lemia jos formoje ?tvirtinti matematiniai d?sniai.
Tikslas: i?tyr?s piramid? kaip geometrin? k?n?, paai?kinti jos formos tobulum?.
U?duotys:
1. Pateikite matematin? piramid?s apibr??im?.
2. I?tirkite piramid? kaip geometrin? k?n?.
3. Supraskite, kokias matematines ?inias egiptie?iai pad?jo savo piramid?se.
Privat?s klausimai:
1. Kas yra piramid? kaip geometrinis k?nas?
2. Kaip matemati?kai galima paai?kinti unikali? piramid?s form??
3. Kuo paai?kinami geometriniai piramid?s stebuklai?
4. Kas paai?kina piramid?s formos tobulum??
Piramid?s apibr??imas.
PIRAMID? (i? graik? pyramis, gentis n. pyramidos) - daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis, o lik? pavir?iai yra trikampiai su bendra vir??ne (fig?ra). Pagal pagrindo kamp? skai?i? piramid?s b?na trikamp?s, keturkamp?s ir kt.
PIRAMID? - monumentalus statinys, turintis geometrin? piramid?s form? (kartais ir laiptuot? arba bok?to form?). Mil?ini?ki senov?s Egipto faraon? kapai III–II t?kstantmetyje prie? Krist? vadinami piramid?mis. e., taip pat senov?s amerikieti?ki ?ventykl? postamentai (Meksikoje, Gvatemaloje, Hond?re, Peru), siejami su kosmologiniais kultais.
Gali b?ti, kad graiki?kas ?odis „piramid?“ kil?s i? egiptie?i? posakio per-em-us, tai yra i? termino, kuris rei?k? piramid?s auk?t?. ?ymus rus? egiptologas V. Struv? man?, kad graiki?kas „puram…j“ kil?s i? senov?s egiptie?i? „p“-mr.
I? istorijos. I?studijav? Atanasyano autori? vadov?lio „Geometrija“ med?iag?. Butuzova ir kiti, su?inojome, kad: Daugiakampis, sudarytas i? n kampo A1A2A3 ... An ir n trikampi? RA1A2, RA2A3, ..., RANA1, vadinamas piramide. Daugiakampis A1A2A3 ... An yra piramid?s pagrindas, o trikampiai RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 yra piramid?s ?oniniai pavir?iai, P yra piramid?s vir?us, atkarpos RA1, RA2, .. ., RAn yra ?oniniai kra?tai.
Ta?iau toks piramid?s apibr??imas egzistavo ne visada. Pavyzd?iui, senov?s graik? matematikas, iki m?s? at?jusi? teorini? matematikos traktat? autorius Euklidas, apibr??ia piramid? kaip vientis? fig?r?, apribot? plok?tum?, susiliejan?i? i? vienos plok?tumos ? vien? ta?k?.
Ta?iau ?is apibr??imas buvo kritikuojamas jau senov?je. Taigi Heronas pasi?l? tok? piramid?s apibr??im?: „Tai fig?ra, apribota viename ta?ke susiliejan?i? trikampi?, kuri? pagrindas yra daugiakampis“.
M?s? grup?, lygindama ?iuos apibr??imus, pri?jo prie i?vados, kad jie neturi ai?kios s?vokos „pamatai“ formuluot?s.
I?studijavome ?iuos apibr??imus ir radome Adrieno Marie Legendre apibr??im?, kuris 1794 m. savo darbe „Geometrijos elementai“ apibr??ia piramid? taip: „Piramid? yra k?no fig?ra, sudaryta i? trikampi?, susiliejan?i? viename ta?ke ir besibaigian?i? skirtingose pus?se. plok??ias pagrindas“.
Mums atrodo, kad paskutinis apibr??imas suteikia ai?k? supratim? apie piramid?, nes jis nurodo fakt?, kad pagrindas yra plok??ias. Kitas piramid?s apibr??imas pasirod? XIX am?iaus vadov?lyje: „piramid? yra kietasis kampas, kertamas plok?tumos“.
Piramid? kaip geometrinis k?nas.
Tai. Piramid? yra daugiakampis, kurio vienas pavir?ius (pagrindas) yra daugiakampis, o likusios briaunos (kra?tin?s) yra trikampiai, turintys vien? bendr? vir??n? (piramid?s vir??n?).
Statmenas, nubr??tas nuo piramid?s vir?aus iki pagrindo plok?tumos, vadinamas ?gioh piramid?s.
Be savavali?kos piramid?s, yra de?inioji piramid?, kurio pagrindu yra taisyklingas daugiakampis ir nupjauta piramid?.
Paveiksle - piramid? PABCD, ABCD - jos pagrindas, PO - auk?tis.
Visas pavir?iaus plotas Piramid? vadinama vis? jos pavir?i? plot? suma.
Pilnas = Sside + Sbase, kur Sside yra ?onini? pavir?i? plot? suma.
piramid?s t?ris randama pagal formul?:
V=1/3Sbase h, kur Sosn. - bazinis plotas h- auk?tis.
 |
|
Apothem ST – taisyklingos piramid?s ?oninio pavir?iaus auk?tis.
Taisyklingos piramid?s ?oninio pavir?iaus plotas i?rei?kiamas taip: ?onin?. =1/2P h, kur P yra pagrindo perimetras, h- ?oninio pavir?iaus auk?tis (taisyklingos piramid?s apotemas). Jei piramid? kerta plok?tuma A'B'C'D' lygiagreti pagrindui, tada:
1) ?onin?s briaunos ir auk?tis ?ia plok?tuma dalijami ? proporcingas dalis;
2) atkarpoje gaunamas daugiakampis A'B'C'D', pana?us ? pagrind?;
https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">
Nupjautin?s piramid?s pagrindai yra pana??s daugiakampiai ABCD ir A`B`C`D, ?oniniai pavir?iai yra trapecijos.
Auk?tis nupjauta piramid? – atstumas tarp pagrind?.
Sutrumpintas t?ris Piramid? randama pagal formul?:
V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Taisyklingos nupjautos piramid?s ?oninis pavir?iaus plotas i?rei?kiamas taip: Pus?. = 1/2 (P+P') h, kur P ir P’ yra bazi? perimetrai, h- ?oninio veido auk?tis (eilinio, sutrumpinto puotos, apotemas
Piramid?s atkarpos.
Piramid?s atkarpos plok?tumose, einan?ios per jos vir??n?, yra trikampiai.
Atkarpa, einanti per du negretimus piramid?s ?oninius kra?tus, vadinama ?stri?ain?.
Jei atkarpa eina per ta?k? ?oniniame kra?te ir pagrindo ?one, tai ?i pus? bus jos p?dsakas piramid?s pagrindo plok?tumoje.
Atkarpa, einanti per ta?k?, esant? ant piramid?s pavir?iaus, ir nurodytas pj?vio p?dsakas pagrindo plok?tumoje, tada konstrukcija tur?t? b?ti atliekama taip:
suraskite nurodyto veido plok?tumos ir piramid?s pj?vio p?dsako susikirtimo ta?k? ir pa?ym?kite j?;
nutiesti ties?, einanti per nurodyt? ta?k? ir susikirtimo ta?k?;
· Pakartokite ?iuos veiksmus su kitais veidais.
, kuris atitinka sta?iojo trikampio kojeli? santyk? 4:3. Toks koj? santykis atitinka gerai ?inom? sta?iakamp? trikamp?, kurio kra?tin?s yra 3:4:5, kuris vadinamas „tobulu“, „?ventuoju“ arba „egipto“ trikampiu. Pasak istorik?, „Egipto“ trikampiui buvo suteikta magi?ka reik?m?. Plutarchas ra??, kad egiptie?iai visatos prigimt? palygino su „?ventu“ trikampiu; vertikali? koj? jie simboli?kai lygino su vyru, pagrind? su ?mona, o hipotenuz? su tuo, kas gimsta i? abiej?.
Trikampio 3:4:5 lygyb? yra teisinga: 32 + 42 = 52, kuri i?rei?kia Pitagoro teorem?. Argi ne ?i? teorem? Egipto kunigai nor?jo ?am?inti statydami piramid? trikampio 3:4:5 pagrindu? Sunku rasti geresn? pavyzd?, iliustruojant? Pitagoro teorem?, kuri? egiptie?iai ?inojo dar gerokai prie? Pitagoro atradim?.
Taigi i?radingieji Egipto piramid?i? k?r?jai siek? su?av?ti tolimus palikuonis savo ?ini? gilumu ir tai pasiek? pasirink? kaip „pagrindin? geometrin? id?j?“ Cheopso piramidei – „auksin?“ sta?iakamp? trikamp?, Khafre piramidei – „?ventasis“ arba „egipto“ trikampis.
Labai da?nai savo tyrimuose mokslininkai naudoja piramid?i? savybes su aukso pj?vio proporcijomis.
Matematiniame enciklopediniame ?odyne pateiktas toks aukso pj?vio apibr??imas - tai harmoninis padalijimas, padalijimas kra?tutiniu ir vidutiniu santykiu - atkarpos AB padalijimas ? dvi dalis taip, kad did?ioji jo AC dalis b?t? proporcinga vidurkiui. tarp viso segmento AB ir ma?esn?s jo dalies CB.
Algebrinis atkarpos auksin?s dalies radinys AB = a redukuoja iki lygties a i?sprendimo: x = x: (a - x), kur x apytiksliai lygus 0,62a. Santykis x gali b?ti i?reik?tas trupmenomis 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, kur 2, 3, 5, 8, 13, 21 yra Fibona?io skai?iai.
AB atkarpos auksin?s pj?vio geometrin? konstrukcija atliekama taip: ta?ke B atkuriamas statmuo AB, ant jo u?dedamas atkarpa BE \u003d 1/2 AB, A ir E yra sujungti, DE \ u003d BE atidedamas ir galiausiai AC \u003d AD, tada ?vykdoma lygyb? AB: CB = 2: 3.
Aukso pj?vis da?nai naudojamas meno k?riniuose, architekt?roje, randamas gamtoje. Ry?k?s pavyzd?iai yra Apolono Belvederio skulpt?ra, Partenonas. Statant Partenon? buvo naudojamas pastato auk??io ir ilgio santykis ir ?is santykis yra 0,618. Mus supantys objektai taip pat pateikia auksinio santykio pavyzd?i?, pavyzd?iui, daugelio knyg? ?ri?imo plo?io ir ilgio santykis yra artimas 0,618. Atsi?velgiant ? lap? i?sid?stym? ant bendro augal? stiebo, galima pasteb?ti, kad tarp kas dviej? lap? por? tre?ia yra auksinio santykio vietoje (skaidri?). Kiekvienas i? m?s? „d?vi“ auksin? santyk? su mumis „rankose“ - tai yra pir?t? falang? santykis.
D?l keli? matematini? papirus? atradimo egiptologai kai k? su?inojo apie senov?s Egipto skai?iavimo ir mat? sistemas. Juose esan?ias u?duotis sprend? ra?tininkai. Vienas garsiausi? yra Rhindo matematinis papirusas. Tyrin?dami ?iuos galvos?kius, egiptologai su?inojo, kaip senov?s egiptie?iai elg?si su ?vairiais dyd?iais, kurie atsirado skai?iuodami svorio, ilgio ir t?rio matmenis, kurie da?nai naudodavo trupmenas, taip pat kaip jie elg?si su kampais.
Senov?s egiptie?iai naudojo kamp? skai?iavimo metod?, pagr?st? sta?iojo trikampio auk??io ir pagrindo santykiu. Jie i?rei?k? bet kok? kamp? gradiento kalba. Nuolyd?io gradientas buvo i?reik?tas sveikojo skai?iaus santykiu, vadinamu „seked“. Knygoje „Matematika faraon? laikais“ Richardas Pillinsas paai?kina: „Taisyklingos piramid?s sekedas yra bet kurio i? keturi? trikampi? pavir?i? polinkis ? pagrindo plok?tum?, matuojamas n-tuoju horizontali? vienet? skai?iumi vertikaliam auk??io vienetui. . Taigi ?is matavimo vienetas yra lygiavertis m?s? ?iuolaikiniam nuolyd?io kampo kotangentui. Tod?l egiptie?i? ?odis „seked“ yra susij?s su m?s? ?iuolaikiniu ?od?iu „gradientas“.
Skaitmeninis piramid?i? raktas yra j? auk??io ir pagrindo santykis. Prakti?kai tai yra lengviausias b?das sukurti ?ablonus, reikalingus nuolat tikrinti teising? pasvirimo kamp? piramid?s konstrukcijos metu.
Egiptologai mielai mus ?tikint?, kad kiekvienas faraonas tro?ko i?reik?ti savo individualum?, taigi ir kiekvienos piramid?s polinkio kamp? skirtumai. Bet gali b?ti ir kita prie?astis. Galb?t visi jie nor?jo ?k?nyti skirtingas simbolines asociacijas, pasl?ptas skirtingomis proporcijomis. Ta?iau Khafre piramid?s kampas (remiantis trikampiu (3:4:5) pasirodo trijose problemose, kurias pateikia Rhindo matematinio papiruso piramid?s). Taigi ?is po?i?ris buvo gerai ?inomas senov?s egiptie?iams.
Teisyb?s d?lei prie? egiptologus, kurie teigia, kad senov?s egiptie?iai ne?inojo trikampio 3:4:5, tarkime, kad 5 hipotenuz?s ilgis niekada nebuvo pamin?tas. Ta?iau matematin?s problemos, susijusios su piramid?i?, visada sprend?iamos pagal pasvirimo kamp? - auk??io ir pagrindo santyk?. Kadangi hipotenuz?s ilgis niekada nebuvo pamin?tas, buvo padaryta i?vada, kad egiptie?iai niekada neskai?iavo tre?iosios pus?s ilgio.
Gizos piramid?se naudotas auk??io ir pagrindo santykis, be abejo, buvo ?inomas senov?s egiptie?iams. Gali b?ti, kad ?ie kiekvienos piramid?s santykiai buvo pasirinkti savavali?kai. Ta?iau tai prie?tarauja skaitmenin?s simbolikos svarbai vis? r??i? Egipto vaizduojamajame mene. Labai tik?tina, kad tokie santykiai tur?jo didel? reik?m?, nes i?rei?k? specifines religines id?jas. Kitaip tariant, visas Gizos kompleksas buvo suprojektuotas nuosekliai, kad atspind?t? ka?koki? dievi?k? tem?. Tai paai?kint?, kod?l dizaineriai pasirinko skirtingus trij? piramid?i? kampus.
Knygoje „Oriono paslaptis“ Bauvalis ir Gilbertas pateik? ?tikinam? ?rodym? apie Gizos piramid?i? ry?? su Oriono ?vaig?dynu, ypa? su Oriono juostos ?vaig?d?mis. Tas pats ?vaig?dynas yra Izid?s ir Ozyrio mite, ir yra prie?astis laikyti kiekvien? piramid? vienos i? trij? pagrindini? dievybi? – Ozyrio, Izid?s ir Horo – atvaizdu.
STEBUKLAI "GEOMETRIKAI".
Tarp grandiozini? Egipto piramid?i? ypating? viet? u?ima Did?ioji faraono Cheopso piramid? (Chufu). Prie? prad?dami analizuoti Cheopso piramid?s form? ir dyd?, tur?tume prisiminti, koki? matavimo sistem? naudojo egiptie?iai. Egiptie?iai tur?jo tris ilgio vienetus: „uolektis“ (466 mm), lygi septynioms „delnams“ (66,5 mm), o tai, savo ruo?tu, buvo lygi keturiems „pir?tams“ (16,6 mm).
I?analizuokime Cheopso piramid?s dyd? (2 pav.), vadovaudamiesi nuostabioje ukrainie?i? mokslininko Nikolajaus Vasiutinskio knygoje „Auksin? proporcija“ (1990) pateiktais samprotavimais.
Dauguma tyrin?toj? sutinka, kad, pavyzd?iui, piramid?s pagrindo kra?tin?s ilgis GF yra lygus L\u003d 233,16 m. ?i vert? beveik tiksliai atitinka 500 uolek?i?. Visi?kas 500 „uolek?i?“ atitikimas bus, jei „uolek?i?“ ilgis bus lygus 0,4663 m.
Piramid?s auk?tis ( H) tyr?j? vertinamas skirtingai nuo 146,6 iki 148,2 m Ir priklausomai nuo priimto piramid?s auk??io, kinta visi jos geometrini? element? santykiai. D?l ko skiriasi piramid?s auk??io ?vertinimas? Faktas yra tas, kad grie?tai kalbant, Cheopso piramid? yra sutrumpinta. Jos vir?utin? platforma ?iandien yra ma?daug 10 x 10 m dyd?io, o prie? ?imtmet? – 6 x 6 m. Akivaizdu, kad piramid?s vir??n? buvo i?ardyta ir ji neatitinka originalios.
Vertinant piramid?s auk?t?, b?tina atsi?velgti ? tok? fizikin? veiksn? kaip konstrukcijos „juodra?tis“. Ilg? laik?, veikiant mil?ini?kam sl?giui (siekiant 500 ton? 1 m2 apatinio pavir?iaus), piramid?s auk?tis suma??jo, palyginti su pradiniu auk??iu.
Koks buvo pradinis piramid?s auk?tis? ?? auk?t? galima atkurti, jei rasite pagrindin? piramid?s „geometrin? id?j?“.
2 pav.
1837 metais angl? pulkininkas G. Wise'as i?matavo piramid?s veid? pasvirimo kamp?: jis pasirod? lygus a= 51°51". ?i? reik?m? dauguma tyrin?toj? pripa??sta ir ?iandien. Nurodyta kampo reik?m? atitinka liestin? (tg a), lygus 1,27306. ?i vert? atitinka piramid?s auk??io santyk? AC iki pus?s jo pagrindo CB(2 pav.), t.y. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.
Ir ?ia mokslinink? lauk? didel? staigmena!.png" width="25" height="24">= 1,272. Palyginus ?i? reik?m? su tg reik?me a= 1,27306, matome, kad ?ios vert?s yra labai arti viena kitos. Jei imtume kamp? a\u003d 51 ° 50", ty suma?inti j? tik viena lanko minute, tada vert? a taps lygus 1,272, tai yra, jis sutaps su reik?me. Pa?ym?tina, kad 1840 metais G. Wise'as pakartojo savo matavimus ir patikslino, kad kampo reik?m? a=51°50".
?ie matavimai paskatino tyr?jus padaryti toki? labai ?domi? hipotez?: Cheopso piramid?s trikampis ASV buvo pagr?stas ry?iu AC / CB = = 1,272!
Dabar apsvarstykite stat?j? trikamp? ABC, kuriame koj? santykis AC / CB= (2 pav.). Jei dabar sta?iakampio kra?tini? ilgiai ABC?ym?ti x, y, z, taip pat atsi?velgti ? tai, kad santykis y/x= , tada, pagal Pitagoro teorem?, ilgis z galima apskai?iuoti pagal formul?:
Jei priimti x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">
3 pav"Auksinis" sta?iakampis trikampis.
Sta?iakampis trikampis, kurio kra?tin?s yra susijusios kaip t:auksinis" sta?iakampis trikampis.
Tada, jei remsim?s hipoteze, kad pagrindin? Cheopso piramid?s „geometrin? id?ja“ yra „auksinis“ sta?iakampis trikampis, tada i? ?ia nesunku apskai?iuoti Cheopso piramid?s „projektin?“ auk?t?. Jis lygus:
H \u003d (L / 2) ? \u003d 148,28 m.
Dabar i?veskime kelet? kit? Cheopso piramid?s santyki?, kurie i?plaukia i? „auksin?s“ hipotez?s. Vis? pirma, mes nustatome piramid?s i?orinio ploto ir jos pagrindo ploto santyk?. Nor?dami tai padaryti, paimame kojos ilg? CB u? vienet?, tai yra: CB= 1. Bet tada piramid?s pagrindo kra?tin?s ilgis GF= 2 ir pagrindo plotas EFGH bus lygus SEFGH = 4.
Dabar apskai?iuokime Cheopso piramid?s ?oninio pavir?iaus plot? SD. Nes auk?tis AB trikampis AEF yra lygus t, tada ?oninio pavir?iaus plotas bus lygus SD = t. Tada bendras vis? keturi? piramid?s ?onini? pavir?i? plotas bus lygus 4 t, o viso piramid?s i?orinio ploto ir pagrindo ploto santykis bus lygus aukso pj?viui! ?tai kas yra - pagrindin? geometrin? Cheopso piramid?s paslaptis!
Cheopso piramid?s „geometrini? stebukl?“ grup? apima realias ir i?galvotas ?vairi? piramid?s matmen? santykio savybes.
Paprastai jie gaunami ie?kant „konstantos“, ypa? skai?iaus „pi“ (Ludolfo skai?ius), lygaus 3,14159...; nat?rali?j? logaritm? baz?s „e“ (Napj? skai?ius), lygus 2,71828...; skai?ius "F", "aukso pj?vio" skai?ius, lygus, pavyzd?iui, 0,618 ... ir tt.
Galite ?vardyti, pavyzd?iui: 1) Herodoto savyb?: (auk?tis) 2 = 0,5 st. pagrindinis x Apothem; 2) V turtas. Kaina: Auk?tis: 0,5 st. osn \u003d Kvadratin? ?aknis i? „Ф“; 3) M. Eisto savyb?: Pagrindo perimetras: 2 Auk?tis = "Pi"; kitaip interpretuojant - 2 ?auk?tai. pagrindinis : Auk?tis = "Pi"; 4) G. Reberio savyb?: ?br??to apskritimo spindulys: 0,5 st. pagrindinis = "F"; 5) K. Kleppi?o nuosavyb?: (?v. pagrindin?.) 2: 2 (?v. pagrindin?. x Apothem) \u003d (?v. pagrindin?. W. Apothem) \u003d 2 (?v. pagrindin?. x Apothem) : (( 2 g. pagrindin? X Apothem) + (st. pagrindin?) 2). ir kt. Toki? savybi? galite sugalvoti daug, ypa? jei sujungsite dvi gretimas piramides. Pavyzd?iui, kaip „A. Arefjevo savybes“ galima pamin?ti, kad skirtumas tarp Cheopso piramid?s ir Chafr?s piramid?s t?ri? yra lygus dvigubam Menkaure piramid?s t?riui...
Daug ?domi? nuostat?, ypa? d?l piramid?i? statybos pagal „aukso pj?v?“, yra i?d?styta D. Hambidge'o knygose „Dinamin? simetrija architekt?roje“ ir M. Geek „Proporcij? estetika gamtoje ir mene“. Prisiminkite, kad "auksin? pj?vis" yra atkarpos padalijimas tokiu santykiu, kai dalis A yra tiek kart? didesn? u? dal? B, kiek kart? A ma?esn? u? vis? atkarp? A + B. Santykis A / B yra lygus skai?iui "Ф" == 1,618. .. "Aukso pj?vio" naudojimas nurodomas ne tik atskirose piramid?se, bet ir visame piramid?i? komplekse Gizoje.
Ta?iau ?domiausia, kad vienoje ir toje pa?ioje Cheopso piramid?je tiesiog „negali“ b?ti tiek nuostabi? savybi?. Pa?mus tam tikr? savyb? po vien?, galima j? „koreguoti“, bet visos i? karto nedera – nesutampa, prie?tarauja viena kitai. Tod?l jei, pavyzd?iui, tikrinant visas savybes, i? prad?i? imama viena ir ta pati piramid?s pagrindo pus? (233 m), tai ir skirting? savybi? piramid?i? auk??iai skirsis. Kitaip tariant, yra tam tikra piramid?i? „?eima“, i?ori?kai pana?i ? Cheopso, bet atitinkanti skirtingas savybes. Atkreipkite d?mes?, kad „geometrin?se“ savyb?se n?ra nieko ypatingo stebuklingo – daug kas atsiranda grynai automati?kai, i? pa?ios fig?ros savybi?. „Stebuklu“ reik?t? laikyti tik tai, kas senov?s egiptie?iams akivaizd?iai ne?manoma. Tai vis? pirma apima „kosminius“ stebuklus, kuriuose Cheopso piramid?s ar Gizos piramid?s komplekso i?matavimai lyginami su kai kuriais astronominiais matavimais ir nurodomi „lyginiai“ skai?iai: milijon? kart?, milijard? kart? ma?iau ir pan. . Panagrin?kime kai kuriuos „kosminius“ ry?ius.
Vienas i? teigini? yra toks: „padalijus piramid?s pagrindo kra?tin? i? tikslaus met? ilgio, gautume lygiai 10 milijon? ?em?s a?ies“. Apskai?iuokite: padalinkite 233 i? 365, gausime 0,638. ?em?s spindulys yra 6378 km.
Kitas teiginys i? tikr?j? yra prie?ingas ankstesniam. F. Noetlingas atkreip? d?mes?, kad jei panaudosite jo sugalvot? „egiptieti?k? alk?n?“, tai piramid?s kra?tin? atitiks „tiksliausi? Saul?s met? trukm?, i?reik?t? milijardin?s paros dalies tikslumu“ – 365.540.903.777. .
P. Smitho teiginys: „Piramid?s auk?tis yra lygiai viena milijardoji atstumo nuo ?em?s iki Saul?s dalis“. Nors da?niausiai imamas 146,6 m auk?tis, Smithas j? ?vertino kaip 148,2 m Pagal ?iuolaikinius radaro matavimus, pusiau pagrindin? ?em?s orbitos a?is yra 149 597 870 + 1,6 km. Tai yra vidutinis atstumas nuo ?em?s iki Saul?s, ta?iau perihelyje jis yra 5 000 000 kilometr? ma?esnis nei prie afelio.
Paskutinis ?domus parei?kimas:
„Kaip paai?kinti, kad Cheopso, Khafre ir Menkaure piramid?i? mas?s yra susijusios viena su kita, kaip ir planet? ?em?s, Veneros, Marso mas?s? Paskai?iuokime. Trij? piramid?i? mas?s yra susijusios taip: Khafre - 0,835; Cheopsas – 1000; Mikerinas - 0,0915. Trij? planet? masi? santykiai: Venera – 0,815; ?em? - 1000; Marsas – 0,108.
Taigi, nepaisant skepticizmo, atkreipkime d?mes? ? gerai ?inom? teigini? konstravimo harmonij?: 1) piramid?s auk?tis, kaip linijos „einan?ios ? kosmos?“ – atitinka atstum? nuo ?em?s iki Saul?s; 2) u? ?em?s spindul? ir ?em?s cirkuliacij? atsakinga piramid?s pagrindo pus?, esanti ar?iausiai „pagrindo“, tai yra prie ?em?s; 3) piramid?s t?riai (skaityti – mas?s) atitinka ar?iausiai ?em?s esan?i? planet? masi? santyk?. Pana?? „?ifr?“ galima atsekti, pavyzd?iui, bi?i? kalboje, kuri? analizavo Karlas von Frischas. Ta?iau kol kas nuo to nekomentuojame.
PIRAMID?S FORMA
Garsioji tetraedrin? piramid?i? forma atsirado ne i? karto. Skitai laidodavo ?emi?k? kalv? – pilkapi? pavidalu. Egiptie?iai i? akmens stat? „kalvas“ – piramides. Pirm? kart? tai ?vyko po Auk?tutinio ir ?emutinio Egipto suvienijimo, 28 am?iuje prie? Krist?, kai III dinastijos ?k?r?jas faraonas D?oseris (Zoseris) susid?r? su u?duotimi stiprinti ?alies vienyb?.
Ir ?ia, anot istorik?, svarb? vaidmen? centrin?s vald?ios stiprinimui suvaidino caro „naujoji sudievinimo samprata“. Nors karali?kieji palaidojimai ir pasi?ym?jo didesniu puo?numu, ta?iau i? esm?s nesiskyr? nuo r?m? didik? kap?, buvo tie patys statiniai – mastabas. Vir? kameros su sarkofagu, kuriame yra mumija, buvo supilta sta?iakamp? ma?? akmen? kalva, kurioje tada buvo pastatytas nedidelis pastatas i? dideli? akmens luit? - "mastaba" (arab? kalba - "suolas"). Savo pirmtako Sanakhto mastabos vietoje faraonas D?oseris pastat? pirm?j? piramid?. Jis buvo laiptuotas ir buvo matomas pereinamasis etapas nuo vienos architekt?rin?s formos prie kitos, nuo mastabos iki piramid?s.
Tokiu b?du faraon? „i?augino“ i?min?ius ir architektas Imhotepas, kur? v?liau laik? magu, o graikai tapatino su dievu Asklepijumi. Atrod?, lyg i? eil?s b?t? pastatyti ?e?i mastabai. Be to, pirmoji piramid? u??m? 1125 x 115 metr? plot?, o numatomas auk?tis – 66 metrai (pagal Egipto matavimus – 1000 „deln?“). I? prad?i? architektas planavo statyti mastab?, bet ne pailg?, o kvadratinio plano. V?liau jis buvo i?pl?stas, bet kadangi priestatas buvo ?emesnis, susidar? tarsi du laipteliai.
Tokia situacija architekto netenkino ir ant did?iul?s plok??ios mastabos vir?utin?s platformos Imhotepas pastat? dar tris, palaipsniui ma??damas link vir?aus. Kapas buvo po piramide.
Yra ?inomos dar kelios laiptuotos piramid?s, ta?iau v?liau statybininkai prad?jo statyti labiau pa??stamas tetraedrines piramides. Ta?iau kod?l ne trikampis ar, tarkim, a?tuonkampis? Netiesiogin? atsakym? duoda tai, kad beveik visos piramid?s puikiai orientuotos ? keturis pagrindinius ta?kus, tod?l turi keturias puses. Be to, piramid? buvo „namas“, keturkamp?s laidojimo kameros apvalkalas.
Bet kas l?m? veid? pasvirimo kamp?? Knygoje „Proporcij? principas“ tam skirtas visas skyrius: „Kas gal?t? lemti piramid?i? kampus“. Vis? pirma nurodoma, kad „vaizdas, ? kur? traukia did?iosios Senosios Karalyst?s piramid?s, yra trikampis su sta?iu kampu vir?uje.
Erdv?je tai yra pusiau oktaedras: piramid?, kurios pagrindo briaunos ir kra?tin?s yra lygios, o pavir?iai – lygiakra??iai trikampiai.?ia tema tam tikri svarstymai pateikiami Hambidge'o, Geek ir kt. knygose.
Kuo naudingas pusoktaedro kampas? Remiantis archeolog? ir istorik? apra?ymais, kai kurios piramid?s sugriuvo nuo savo svorio. Reik?jo „patvarumo kampo“, energeti?kai patikimiausio. Grynai empiri?kai ?is kampas gali b?ti paimtas i? vir??n?s kampo trupan?io sauso sm?lio kr?voje. Ta?iau norint gauti tikslius duomenis, reikia naudoti model?. Pa?mus keturis tvirtai pritvirtintus rutulius, ant j? reikia u?d?ti penkt?j? ir i?matuoti pasvirimo kampus. Ta?iau ?ia galite padaryti klaid?, tod?l padeda teorinis skai?iavimas: rutuli? centrus tur?tum?te sujungti linijomis (proti?kai). Prie pagrindo gausite kvadrat?, kurio kra?tin? yra dvigubai didesn?. Kvadratas bus tik piramid?s pagrindas, kurio kra?t? ilgis taip pat bus lygus dvigubam spinduliui.
Taigi tankus 1:4 tipo rutuliuk? paketas suteiks mums taisykling? pusiau oktaedr?.
Ta?iau kod?l daugelis piramid?i?, besitraukian?i? link pana?ios formos, vis d?lto jos nei?laiko? Tikriausiai piramid?s sensta. Prie?ingai nei garsus posakis:
„Viskas pasaulyje bijo laiko, o laikas bijo piramid?i?“, piramid?i? statiniai turi senti, juose gali ir turi vykti ne tik i?orinio d?l?jimo, bet ir vidinio „susitraukimo“ procesai. , nuo kurios piramid?s gali tapti ?emesn?s. Susitraukimas galimas ir d?l to, kad, kaip i?siai?kinta D. Davidovito darbais, senov?s egiptie?iai naudojo blokeli? gamybos technologij? i? kalki? dro?li?, kitaip tariant, i? „betono“. B?tent ?ie procesai gal?t? paai?kinti Medumo piramid?s, esan?ios 50 km ? pietus nuo Kairo, sunaikinimo prie?ast?. Jam 4600 met?, pagrindo matmenys 146 x 146 m, auk?tis 118 m. „Kod?l ji taip sugadinta?“ – klausia V. Zamarovskis. „?prastos nuorodos ? destruktyv? laiko poveik? ir „akmens panaudojim? kitiems pastatams“ ?ia netinka.
Juk dauguma jo blok? ir apkal? plok??i? vis dar i?lik? vietoje, jos pap?d?je esan?iuose griuv?siuose. „Kaip matysime, nema?ai nuostat? ver?ia net pagalvoti, kad garsioji Cheopso piramid? taip pat „susitrauk?“. , ant vis? senovini? vaizd? piramid?s yra smailios ...
Piramid?i? forma taip pat gali b?ti sukurta imituojant: kai kurie nat?ral?s ra?tai, „stebuklingas tobulumas“, tarkime, kai kurie kristalai oktaedro pavidalu.
Tokie kristalai gali b?ti deimanto ir aukso kristalai. B?dingas didelis skai?ius „susikertan?i?“ ?enkl? tokioms s?vokoms kaip faraonas, saul?, auksas, deimantas. Visur – kilnus, genialus (brilianti?kas), puikus, nepriekai?tingas ir pan. Pana?umai n?ra atsitiktiniai.
Saul?s kultas, kaip ?inote, buvo svarbi senov?s Egipto religijos dalis. „Nesvarbu, kaip ver?iame did?iausios piramid?i? pavadinim?“, – sakoma viename i? ?iuolaikini? vadov?li? „Sky Khufu“ arba „Sky Khufu“, tai rei?k?, kad karalius yra saul?. Jei Khufu savo galios spindesyje ?sivaizdavo es?s antr?ja saule, tai jo s?nus Jedef-Ra tapo pirmuoju i? Egipto karali?, prad?jusiu vadintis „Ra s?numi“, tai yra Saul?. Saul? beveik visos tautos simbolizavo kaip „saul?s metal?“, auks?. „Didysis ?viesaus aukso diskas“ – taip egiptie?iai vadino m?s? dienos ?vies?. Egiptie?iai puikiai ?inojo auks?, ?inojo jo gimt?sias formas, kur aukso kristalai gali atsirasti oktaedr? pavidalu.
Kaip „form? pavyzdys“ ?ia ?domus ir „saul?s akmuo“ – deimantas. Deimanto pavadinimas kilo tiesiog i? arab? pasaulio, „almas“ – kie?iausias, kie?iausias, nesunaikinamas. Senov?s egiptie?iai ?inojo deimant? ir jo savyb?s yra gana geros. Kai kuri? autori? teigimu, gr??imui jie naudojo net bronzinius vamzd?ius su deimantiniais pjaustytuvais.
Piet? Afrika dabar yra pagrindin? deimant? tiek?ja, ta?iau Vakar? Afrikoje taip pat gausu deimant?. Malio Respublikos teritorija ten netgi vadinama „Deimant? ?eme“. Tuo tarpu b?tent Malio teritorijoje gyvena dogonai, su kuriais paleovito hipotez?s ?alininkai sieja daug vil?i? (?r. toliau). Deimantai negal?jo b?ti senov?s egiptie?i? kontakt? su ?iuo regionu prie?astis. Ta?iau vienaip ar kitaip, gali b?ti, kad b?tent kopijuodami deimant? ir aukso kristal? oktaedrus senov?s egiptie?iai dievino faraonus, „nesunaikinamus“ kaip deimantas ir „briliuojan?ius“ kaip auksas, Saul?s s?nus. tik su nuostabiausiais gamtos k?riniais.
I?vada:
I?tyr? piramid? kaip geometrin? k?n?, susipa?in? su jos elementais ir savyb?mis, ?sitikinome nuomon?s apie piramid?s formos gro?? pagr?stumu.
Atlik? tyrim? pri?jome prie i?vados, kad egiptie?iai, surink? vertingiausias matematines ?inias, jas ?k?nijo piramid?je. Tod?l piramid? tikrai yra tobuliausias gamtos ir ?mogaus k?rinys.
BIBLIOGRAFIJA
"Geometrija: Proc. 7-9 l?stel?ms. bendrojo i?silavinimo ?staigos \ ir tt - 9 leidimas - M .: ?vietimas, 1999 m
Matematikos istorija mokykloje, M: „?vietimas“, 1982 m
Geometrijos 10-11 klas?, M: „Nu?vitimas“, 2000 m
Peteris Tompkinsas „Did?iosios Cheopso piramid?s paslaptys“, M: „Centropoligrafas“, 2005 m.
Interneto i?tekliai
http://veka-i-mig. *****/
http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm
http://www. *****/enc/54373.html
