Учения о многомерных пространствах начали появляться в середине XIX века. Идею четырехмерного пространства у ученых позаимствовали фантасты. В своих произведениях они поведали миру об удивительных чудесах четвертого измерения.

Герои их произведений, используя свойства четырехмерного пространства, могли съесть содержимое яйца, не повредив скорлупы, выпить напиток, не вскрывая пробку бутылки. Похитители извлекали сокровища из сейфа через четвертое измерение. Хирурги выполняли операции над внутренними органами, не разрезая ткани тела пациента.

Тессеракт

В геометрии гиперкуб - это n-мерная аналогия квадрата (п = 2) и куба (п = 3). Четырёхмерный аналог обычного нашего 3-мерного куба известен под названием тессеракт (tesseract). Тессеракт относится к кубу, как куб относится к квадрату. Более формально, тессеракт может быть описан как правильный выпуклый четырехмерный многогранник, чья граница состоит из восьми кубических ячеек.

Каждая пара непараллельных трёхмерных граней пересекается, образуя двумерные грани (квадраты), и так далее. Окончательно, тессеракт обладает 8 трёхмерными гранями, 24 двумерными, 32 рёбрами и 16 вершинами.
Кстати согласно Оксфордскому словарю, слово tesseract было придумано и начало использоваться в 1888 Чарльзом Говардом Хинтоном (1853-1907) в его книге «Новая эра мысли». Позже некоторые люди назвали ту же самую фигуру тетракубом (греч. тетра - четыре) - четырёхмерным кубом.

Построение и описание

Попытаемся представить себе, как будет выглядеть гиперкуб, не выходя из трёхмерного пространства.
В одномерном «пространстве» - на линии - выделим отрезок АВ длиной L. На двумерной плоскости на расстоянии L от АВ нарисуем параллельный ему отрезок DC и соединим их концы. Получится квадрат CDBA. Повторив эту операцию с плоскостью, получим трёхмерный куб CDBAGHFE. А сдвинув куб в четвёртом измерении (перпендикулярно первым трём) на расстояние L, мы получим гиперкуб CDBAGHFEKLJIOPNM.

Аналогичным образом можно продолжить рассуждения для гиперкубов большего числа измерений, но гораздо интереснее посмотреть, как для нас, жителей трёхмерного пространства, будет выглядеть четырёхмерный гиперкуб.

Возьмём проволочный куб ABCDHEFG и поглядим на него одним глазом со стороны грани. Мы увидим и можем нарисовать на плоскости два квадрата (ближнюю и дальнюю его грани), соединённые четырьмя линиями - боковыми рёбрами. Аналогичным образом четырёхмерный гиперкуб в пространстве трёх измерений будет выглядеть как два кубических «ящика», вставленных друг в друга и соединённых восемью рёбрами. При этом сами «ящики» - трёхмерные грани - будут проецироваться на «наше» пространство, а линии, их соединяющие, протянутся в направлении четвёртой оси. Можно попытаться также представить себе куб не в проекции, а в пространственном изображении.

Подобно тому, как трёхмерный куб образуется квадратом, сдвинутым на длину грани, куб, сдвинутый в четвёртое измерение, сформирует гиперкуб. Его ограничивают восемь кубов, которые в перспективе будут выглядеть как некая довольно сложная фигура. Сам же четырёхмерный гиперкуб можно разбить на бесконечное количество кубов, подобно тому, как трёхмерный куб можно «нарезать» на бесконечное количество плоских квадратов.

Разрезав шесть граней трёхмерного куба, можно разложить его в плоскую фигуру - развёртку. Она будет иметь по квадрату с каждой стороны исходной грани плюс ещё один - грань, ей противоположную. А трёхмерная развёртка четырёхмерного гиперкуба будет состоять из исходного куба, шести кубов, «вырастающих» из него, плюс ещё одного - конечной «гиперграни».

Гиперкуб в искусстве

Тессеракт настолько интересная фигура, что неоднократно привлекал внимание писателей и кинематографистов.
Роберт Э. Хайнлайн несколько раз упоминал гиперкубы. В «Доме, который построил Тил», (1940) он описал дом, построенный как развёртка тессеракта, а затем вследствие землетрясения «сложившийся» в четвёртом измерении и ставший «реальным» тессерактом. В романе «Дорога славы» Хайнлайна описана гиперразмерная шкатулка, которая была изнутри больше, чем снаружи.

Рассказ Генри Каттнера «Все тенали бороговы» описывает развивающую игрушку для детей из далёкого будущего, по строению похожую на тессеракт.

Сюжет фильма «Куб 2: Гиперкуб» сосредотачивается на восьми незнакомцах, пойманных в ловушку в «гиперкубе», или сети связанных кубов.

Параллельный мир

Математические абстракции вызвали к жизни представление о существовании параллельных миров. Под таковыми понимаются реальности, которые существуют одновременно с нашей, но независимо от неё. Параллельный мир может иметь различные размеры: от небольшой географической области до целой вселенной. В параллельном мире события происходят по-своему, он может отличаться от нашего мира, как в отдельных деталях, так и практически во всём. При этом физические законы параллельного мира не обязательно аналогичны законам нашей Вселенной.

Эта тема - благодатная почва для писателей-фантастов.

На картине Сальвадора Дали «Распятие на кресте» изображен тессеракт. «Распятие или Гиперкубическое тело», - картина испанского художника Сальвадора Дали, написанная в 1954 году. Изображает распятого Иисуса Христа на развертке тессеракта. Картина хранится в Музее Метрополитен в Нью-Йорке

Всё началось в 1895 году, когда Герберт Уэллс рассказом «Дверь в стене» открыл для фантастики существование параллельных миров. В 1923 году Уэллс вернулся к идее параллельных миров и поместил в один из них утопическую страну, куда отправляются персонажи романа «Люди как боги».

Роман не остался незамеченным. В 1926 году появился рассказ Г. Дента «Император страны „Если"». В рассказе Дента впервые возникла идея о том, что могут существовать страны (миры), история которых могла пойти не так, как история реальных стран в нашем мире. И миры эти не менее реальны, чем наш.

В 1944 году Хорхе Луис Борхес опубликовал в своей книге «Вымышленные истории» рассказ «Сад расходящихся тропок». Здесь идея ветвления времени была, наконец, выражена с предельной ясностью.
Несмотря на появление перечисленных выше произведений, идея многомирия начала серьёзно развиваться в научной фантастике лишь в конце сороковых годов XX века, примерно тогда же, когда аналогичная идея возникла в физике.

Одним из пионеров нового направления в фантастике был Джон Биксби, предположивший в рассказе «Улица одностороннего движения» (1954), что между мирами можно двигаться лишь в одну сторону - отправившись из своего мира в параллельный, вы уже не вернетесь назад, но так и будете переходить из одного мира в следующий. Впрочем, возвращение в свой мир также не исключается - для этого необходимо, чтобы система миров была замкнута.

В романе Клиффорда Саймака «Кольцо вокруг Солнца» (1982) описаны многочисленные планеты Земля, существующие каждая в своём мире, но на одной и той же орбите, и отличаются эти миры и эти планеты друг от друга лишь незначительным (на микросекунду) сдвигом во времени. Многочисленные Земли, которые посещает герой романа, образуют единую систему миров.

Любопытный взгляд на ветвление миров высказал Альфред Бестер в рассказе «Человек, который убил Магомета» (1958). «Меняя прошлое, - утверждал герой рассказа, - меняешь его только для себя». Иными словами, после изменения прошлого возникает ответвление истории, в котором лишь для персонажа, совершившего изменение, это изменение и существует.

В повести братьев Стругацких «Понедельник начинается в субботу» (1962) описаны путешествия персонажей в разные варианты описываемого фантастами будущего - в отличие от уже существовавших в фантастике путешествий в различные варианты прошлого.

Впрочем, даже простое перечисление всех произведений, в которых затрагивается тема параллельности миров, заняло бы слишком много времени. И хотя фантасты, как правило, научно не обосновывают постулат о многомерности, в одном они правы - это гипотеза, которая имеет право на существование.
Четвертое измерение тессеракта все еще ждет нас в гости.

Виктор Савинов

Тессеракт - четырёхмерный гиперкуб - куб в четырёхмерном пространстве.
Согласно Оксфордскому словарю, слово tesseract было придумано и начало использоваться в 1888 Чарльзом Говардом Хинтоном (1853-1907) в его книге «Новая эра мысли». Позже некоторые люди назвали ту же самую фигуру тетракубом (греч. tetra - четыре) - четырёхмерным кубом.
Обычный тессеракт в евклидовом четырёхмерном пространстве определяется как выпуклая оболочка точек (±1, ±1, ±1, ±1). Иначе говоря, он может быть представлен в виде следующего множества:
[-1, 1]^4 = {(x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Тессеракт ограничен восемью гиперплоскостями x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , пересечение которых с самим тессерактом задаёт его трёхмерные грани (являющиеся обычными кубами). Каждая пара непараллельных трёхмерных граней пересекается, образуя двумерные грани (квадраты), и так далее. Окончательно, тессеракт обладает 8 трёхмерными гранями, 24 двумерными, 32 рёбрами и 16 вершинами.
Популярное описание
Попытаемся представить себе, как будет выглядеть гиперкуб, не выходя из трёхмерного пространства.
В одномерном «пространстве» - на линии - выделим отрезок АВ длиной L. На двумерной плоскости на расстоянии L от АВ нарисуем параллельный ему отрезок DC и соединим их концы. Получится квадрат CDBA. Повторив эту операцию с плоскостью, получим трёхмерный куб CDBAGHFE. А сдвинув куб в четвёртом измерении (перпендикулярно первым трём) на расстояние L, мы получим гиперкуб CDBAGHFEKLJIOPNM.
Одномерный отрезок АВ служит стороной двумерного квадрата CDBA, квадрат - стороной куба CDBAGHFE, который, в свою очередь, будет стороной четырёхмерного гиперкуба. Отрезок прямой имеет две граничные точки, квадрат - четыре вершины, куб - восемь. В четырёхмерном гиперкубе, таким образом, окажется 16 вершин: 8 вершин исходного куба и 8 сдвинутого в четвёртом измерении. Он имеет 32 ребра - по 12 дают начальное и конечное положения исходного куба, и ещё 8 рёбер «нарисуют» восемь его вершин, переместившихся в четвёртое измерение. Те же рассуждения можно проделать и для граней гиперкуба. В двумерном пространстве она одна (сам квадрат), у куба их 6 (по две грани от переместившегося квадрата и ещё четыре опишут его стороны). Четырёхмерный гиперкуб имеет 24 квадратные грани - 12 квадратов исходного куба в двух положениях и 12 квадратов от двенадцати его рёбер.
Как сторонами квадрата являются 4 одномерных отрезка, а сторонами (гранями) куба являются 6 двухмерных квадратов, так и для «четырёхмерного куба» (тессеракта) сторонами являются 8 трёхмерных кубов. Пространства противоположных пар кубов тессеракта (то есть трёхмерные пространства, которым эти кубы принадлежат) параллельны. На рисунке это кубы: CDBAGHFE и KLJIOPNM, CDBAKLJI и GHFEOPNM, EFBAMNJI и GHDCOPLK, CKIAGOME и DLJBHPNF.
Аналогичным образом можно продолжить рассуждения для гиперкубов большего числа измерений, но гораздо интереснее посмотреть, как для нас, жителей трёхмерного пространства, будет выглядеть четырёхмерный гиперкуб. Воспользуемся для этого уже знакомым методом аналогий.
Возьмём проволочный куб ABCDHEFG и поглядим на него одним глазом со стороны грани. Мы увидим и можем нарисовать на плоскости два квадрата (ближнюю и дальнюю его грани), соединённые четырьмя линиями - боковыми рёбрами. Аналогичным образом четырёхмерный гиперкуб в пространстве трёх измерений будет выглядеть как два кубических «ящика», вставленных друг в друга и соединённых восемью рёбрами. При этом сами «ящики» - трёхмерные грани - будут проецироваться на «наше» пространство, а линии, их соединяющие, протянутся в направлении четвёртой оси. Можно попытаться также представить себе куб не в проекции, а в пространственном изображении.
Подобно тому, как трёхмерный куб образуется квадратом, сдвинутым на длину грани, куб, сдвинутый в четвёртое измерение, сформирует гиперкуб. Его ограничивают восемь кубов, которые в перспективе будут выглядеть как некая довольно сложная фигура. Сам же четырёхмерный гиперкуб состоит из бесконечного количества кубов, подобно тому как трёхмерный куб можно «нарезать» на бесконечное количество плоских квадратов.
Разрезав шесть граней трёхмерного куба, можно разложить его в плоскую фигуру - развёртку. Она будет иметь по квадрату с каждой стороны исходной грани плюс ещё один - грань, ей противоположную. А трёхмерная развёртка четырёхмерного гиперкуба будет состоять из исходного куба, шести кубов, «вырастающих» из него, плюс ещё одного - конечной «гиперграни».
Свойства тессеракта представляют собой продолжение свойств геометрических фигур меньшей размерности в четырёхмерное пространство.

Бакаляр Мария

Изучаются способы введения понятия четырёхмерного куба (тессеракта), его строение и некоторые свойства Решается вопрос о том, какие трёхмерные объекты получаются при пересечении четырёхмерного куба гиперплоскостями, параллельными его трёхмерным граням, а также гиперплоскостями, перпендикулярными его главной диагонали. Рассмотрен применяемый для исследования аппарат многомерной аналитической геометрии.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Введение……………………………………………………………………….2

Основная часть………………………………………………………………..4

Выводы………….. …………………………………………………………..12

Список литературы…………………………………………………………..13

Введение

Четырёхмерное пространство издавна привлекало внимание, как профессиональных математиков, так и людей, далёких от занятий этой наукой. Интерес к четвёртому измерению может быть обусловлен предположением о том, что наш трёхмерный мир «погружен» в четырёхмерное пространство подобно тому, как плоскость «погружена» в трёхмерное пространство, прямая «погружена» в плоскость, а точка – в прямую. Помимо этого, четырёхмерное пространство играет важную роль в современной теории относительности (так называемое пространство-время или пространство Минковского), а также может рассматриваться как частный случай мерного евклидова пространства (при ).

Четырёхмерный куб (тессеракт) является объектом четырёхмерного пространства, имеющим максимально возможную размерность (подобно тому, как обычный куб является объектом трёхмерного пространства). Заметим, что он представляет и непосредственный интерес, а именно может фигурировать в оптимизационных задачах линейного программирования (как область, в которой отыскивается минимум или максимум линейной функции четырёх переменных), а также применяется в цифровой микроэлектронике (при программировании работы дисплея электронных часов). Кроме этого, сам процесс изучения четырёхмерного куба способствует развитию пространственного мышления и воображения.

Следовательно, изучение строения и специфических свойств четырёхмерного куба является достаточно актуальным. Стоит отметить, что в плане строения четырёхмерный куб изучен достаточно хорошо. Гораздо больший интерес представляет характер его сечений различными гиперплоскостями. Таким образом, основной целью данной работы является изучение строения тессеракта, а также выяснение вопроса о том, какие трёхмерные объекты будут получаться, если четырёхмерный куб рассекать гиперплоскостями, параллельными какой-то одной из его трёхмерных граней, или же гиперплоскостями, перпендикулярными его главной диагонали. Гиперплоскостью в четырёхмерном пространстве будем называть трёхмерное подпространство. Можно сказать, что прямая на плоскости – одномерная гиперплоскость, плоскость в трёхмерном пространстве – двумерная гиперплоскость.

Поставленная цель определила задачи исследования:

1) Изучить основные факты многомерной аналитической геометрии;

2) Изучить особенности построения кубов размерностей от 0 до 3;

3) Изучить строение четырёхмерного куба;

4) Аналитически и геометрически описать четырёхмерный куб;

5) Изготовить модели развёрток и центральных проекций трёхмерного и четырёхмерного кубов.

6) Пользуясь аппаратом многомерной аналитической геометрии, описать трёхмерные объекты, получающиеся при пересечении четырёхмерного куба гиперплоскостями, параллельными какой-то одной из его трёхмерных граней, или же гиперплоскостями, перпендикулярными его главной диагонали.

Полученная таким образом информация позволит лучше разобраться в строении тессеракта, а также выявить глубокую аналогию в строении и свойствах кубов различных размерностей.

Основная часть

Сначала опишем математический аппарат, которым мы будем пользоваться в ходе данного исследования.

1) Координаты вектора: если , то

2) Уравнение гиперплоскости с нормальным вектором имеет вид Здесь

3) Плоскости и параллельны тогда и только тогда, когда

4) Расстояние между двумя точками определяется следующим образом: если , то

5) Условие ортогональности векторов:

Прежде всего, выясним, каким образом можно описать четырёхмерный куб. Сделать это можно двумя способами – геометрическим и аналитическим.

Если говорить о геометрическом способе задания, то здесь целесообразно проследить процесс построения кубов, начиная с нулевой размерности. Куб нулевой размерности – это точка (заметим, кстати, что точка может также играть роль шара нулевой размерности). Далее введём первое измерение (ось абсцисс) и на соответствующей оси отметим две точки (два нульмерных куба), находящиеся на расстоянии 1 друг от друга. Получится отрезок - одномерный куб. Сразу же отметим характерную особенность: Границей (концами) одномерного куба (отрезка) являются два нульмерных куба (две точки). Далее введём второе измерение (ось ординат) и на плоскости построим два одномерных куба (два отрезка), концы которых находятся на расстоянии 1 друг от друга (фактически, один из отрезков является ортогональной проекцией другого). Соединяя соответствующие концы отрезков, получим квадрат – двумерный куб. Опять-таки отметим, что границей двумерного куба (квадрата) являются четыре одномерных куба (четыре отрезка). Наконец, введём третье измерение (ось аппликат) и построим в пространстве два квадрата таким образом, чтобы один из них являлся ортогональной проекцией другого (при этом соответствующие вершины квадратов находятся друг от друга на расстоянии 1). Соединим соответствующие вершины отрезками – получим трёхмерный куб. Видим, что границей трёхмерного куба являются шесть двумерных кубов (шесть квадратов). Описанные построения позволяют выявить следующую закономерность: на каждом шаге мерный куб «движется, оставляя след» в е измерение на расстояние 1, при этом, направление движения перпендикулярно кубу. Именно формальное продолжение этого процесса и позволяет прийти к понятию четырёхмерного куба. А именно, заставим трёхмерный куб продвинуться в направлении четвёртого измерения (перпендикулярно кубу) на расстояние 1. Действуя аналогично предыдущему, то есть, соединяя соответствующие вершины кубов, мы и получим четырёхмерный куб. необходимо отметить, что геометрически такое построение в нашем пространстве невозможно (ибо оно трёхмерно), однако здесь мы не сталкиваемся ни с какими противоречиями с логической точки зрения. Теперь перейдём к аналитическому описанию четырёхмерного куба. Оно также получается формально, с помощью аналогии. Итак, аналитическое задание нульмерного единичного куба имеет вид:

Аналитическое задание одномерного единичного куба имеет вид:

Аналитическое задание двумерного единичного куба имеет вид:

Аналитическое задание трёхмерного единичного куба имеет вид:

Теперь уже очень легко дать аналитическое представление четырёхмерного куба, а именно:

Как видим, и при геометрическом, и при аналитическом способах задания четырёхмерного куба использовался метод аналогий.

Теперь, используя аппарат аналитической геометрии, выясним, какое имеет строение четырёхмерный куб. Сначала выясним, какие элементы в него входят. Здесь опять можно воспользоваться аналогией (для выдвижения гипотезы). Границей одномерного куба являются точки (нульмерные кубы), двумерного куба – отрезки (одномерные кубы), трёхмерного куба – квадраты (двумерные грани). Можно предположить, что границей тессеракта являются трёхмерные кубы. Для того чтобы это доказать, уточним, что понимается под вершинами, рёбрами и гранями. Вершинами куба назовём его угловые точки. То есть, координатами вершин могут являться нули или единицы. Таким образом, обнаруживается связь между размерностью куба и числом его вершин. Применим комбинаторное правило произведения – так как вершина мерного куба имеет ровно координат, каждая из которых равна нулю или единице (независимо от всех остальных), то всего имеется вершин. Таким образом, у любой вершины все координаты фиксированы и могут равняться или . Если же зафиксировать все координаты (положив каждую из них равной или , независимо от остальных), кроме одной, то получим прямые, содержащие рёбра куба. Аналогично предыдущему, можно сосчитать, что их ровно штук. А если теперь зафиксировать все координаты (положив каждую из них равной или , независимо от остальных), кроме каких-нибудь двух, получим плоскости, содержащие двумерные грани куба. Используя правило комбинаторики, найдём, что их ровно штук. Далее аналогично – зафиксировав все координаты (положив каждую из них равной или , независимо от остальных), кроме каких-нибудь трёх, получим гиперплоскости, содержащие трёхмерные грани куба. Пользуясь тем же правилом, вычислим их количество – ровно и т.д. Для нашего исследования этого будет достаточно. Применим полученные результаты к строению четырёхмерного куба, а именно, во всех выведенных формулах положим . Стало быть, четырёхмерный куб имеет: 16 вершин, 32 ребра, 24 двумерные грани, и 8 трёхмерных граней. Для наглядности зададим аналитически все его элементы.

Вершины четырёхмерного куба:

Рёбра четырёхмерного куба ():

Двумерные грани четырёхмерного куба (аналогичные ограничения):

Трёхмерные грани четырёхмерного куба (аналогичные ограничения):

Теперь, когда строение четырёхмерного куба и способы его задания описаны с достаточной полнотой, приступим к реализации главной цели – выяснению характера различных сечений куба. Начнём с элементарного случая, когда сечения куба параллельны одной из его трёхмерных граней. Например, рассмотрим его сечения гиперплоскостями, параллельными грани Из аналитической геометрии известно, что любое такое сечение будет задаваться уравнением Зададим соответствующие сечения аналитически:

Как видим, получено аналитическое задание трёхмерного единичного куба, лежащего в гиперплоскости

Для установления аналогии запишем сечение трёхмерного куба плоскостью Получим:

Это квадрат, лежащий в плоскости . Аналогия очевидна.

Сечения четырёхмерного куба гиперплоскостями дают совершенно аналогичные результаты. Это будут также единичные трёхмерные кубы, лежащие в гиперплоскостях соответственно.

Сейчас рассмотрим сечения четырёхмерного куба гиперплоскостями, перпендикулярными его главной диагонали. Сначала решим эту задачу для трёхмерного куба. Используя вышеописанный способ задания единичного трёхмерного куба, заключает, что в качестве главной диагонали можно взять, например, отрезок с концами и . Значит, вектор главной диагонали будет иметь координаты . Следовательно, уравнение любой плоскости, перпендикулярной главной диагонали, будет иметь вид:

Определим границы изменения параметра . Так как , то, почленно складывая эти неравенства, получим:

Или .

Если , то (в силу ограничений). Аналогично - если , то . Значит, при и при секущая плоскость и куб имеют ровно одну общую точку ( и соответственно). Теперь заметим следующее. Если (опять-таки в силу ограничений переменных). Соответствующие плоскости пересекают сразу три грани, ибо, в противном случае, секущая плоскость была бы параллельна одной из них, что не имеет места по условию. Если , то плоскость пересекает все грани куба. Если же , то плоскость пересекает грани . Приведём соответствующие выкладки.

Пусть Тогда плоскость пересекает грань по прямой , причём . Грань , причём . Грань плоскость пересекает по прямой , причём

Пусть Тогда плоскость пересекает грань:

грань по прямой , причём .

грань по прямой , причём .

грань по прямой , причём .

грань по прямой , причём .

грань по прямой , причём .

грань по прямой , причём .

На этот раз получается шесть отрезков, имеющих последовательно общие концы:

Пусть Тогда плоскость пересекает грань по прямой , причём . Грань плоскость пересекает по прямой , причём . Грань плоскость пересекает по прямой , причём . То есть, получаются три отрезка, имеющих попарно общие концы: Таким образом, при указанных значениях параметра плоскость будет пересекать куб по правильному треугольнику с вершинами

Итак, здесь приведено исчерпывающее описание плоских фигур, получающихся при пересечении куба плоскостью, перпендикулярной его главной диагонали. Основная идея состояла в следующем. Необходимо понять, какие грани пересекает плоскость, по каким множествам она их пересекает, как эти множества связаны между собой. Например, если выяснялось, что плоскость пересекает ровно три грани по отрезкам, которые имеют попарно общие концы, то сечением являлся равносторонний треугольник (что доказывается непосредственным подсчётом длин отрезков), вершинами которого и служат эти концы отрезков.

Пользуясь этим же аппаратом и той же идеей исследования сечений, совершенно аналогично можно вывести следующие факты:

1) Вектор одной из главных диагоналей четырёхмерного единичного куба имеет координаты

2) Любая гиперплоскость, перпендикулярная главной диагонали четырёхмерного куба, может быть записана в виде .

3) В уравнении секущей гиперплоскости параметр может изменяться от 0 до 4;

4) При и секущая гиперплоскость и четырёхмерный куб имеют одну общую точку (и соответственно);

5) При в сечении будет получаться правильный тетраэдр;

6) При в сечении будет получаться октаэдр;

7) При в сечении будет получаться правильный тетраэдр.

Соответственно, здесь гиперплоскость пересекает тессеракт по плоскости, на которой в силу ограничений переменных выделяется треугольная область (аналогия – плоскость пересекала куб по прямой, на которой в силу ограничений переменных выделялся отрезок). В случае 5) гиперплоскость пересекает ровно четыре трёхмерные грани тессеракта, то есть, получаются четыре треугольника, имеющих попарно общие стороны, иначе говоря, образующие тетраэдр (как это можно подсчитать - правильный). В случае 6) гиперплоскость пересекает ровно восемь трёхмерных граней тессеракта, то есть, получаются восемь треугольников, имеющих последовательно общие стороны, иначе говоря, образующие октаэдр. Случай 7) полностью аналогичен случаю 5).

Проиллюстрируем сказанное конкретным примером. А именно, исследуем сечение четырёхмерного куба гиперплоскостью В силу ограничений переменных, данная гиперплоскость пересекает следующие трёхмерные грани: Грань пересекается по плоскости В силу ограничений переменных имеем: Получим треугольную область с вершинами Далее, получим треугольник При пересечении гиперплоскости с гранью получим треугольник При пересечении гиперплоскости с гранью получим треугольник Таким образом, вершины тетраэдра имеют следующие координаты . Как легко подсчитать, этот тетраэдр действительно является правильным.

Выводы

Итак, в процессе данного исследования были изучены основные факты многомерной аналитической геометрии, изучены особенности построения кубов размерностей от 0 до 3, изучено строение четырёхмерного куба, аналитически и геометрически описан четырёхмерный куб, изготовлены модели развёрток и центральных проекций трёхмерного и четырёхмерного кубов, аналитически описаны трёхмерные объекты, получающиеся при пересечении четырёхмерного куба гиперплоскостями, параллельными какой-то одной из его трёхмерных граней, или же гиперплоскостями, перпендикулярными его главной диагонали.

Проведённое исследование позволило выявить глубокую аналогию в строении и свойствах кубов различных размерностей. Использованную методику проведения аналогии можно применить при исследовании, например, мерной сферы или мерного симплекса. А именно, мерную сферу можно определить как множество точек мерного пространства, равноудалённых от заданной точки, которая называется центром сферы. Далее, мерный симплекс можно определить как часть мерного пространства, ограниченную минимальным числом мерных гиперплоскостей. Например, одномерный симплекс – отрезок (часть одномерного пространства, ограниченная двумя точками), двумерный симплекс – треугольник (часть двумерного пространства, ограниченная тремя прямыми), трёхмерный симплекс – тетраэдр (часть трёхмерного пространства, ограниченная четырьмя плоскостями). Наконец, мерный симплекс определим как часть мерного пространства, ограниченную гиперплоскостью размерности .

Отметим, что, несмотря на многочисленные применения тессеракта в некоторых областях науки, данное исследование всё же является в значительной степени математическим изысканием.

Список литературы

1) Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика, т.1 –М.: Дрофа, 2005 – 284 с.

2) Квант. Четырёхмерный куб / Дужин С., Рубцов В., №6, 1986.

3) Квант. Как начертить мерный куб / Демидович Н.Б., №8, 1974.

Точек (±1, ±1, ±1, ±1). Иначе говоря, он может быть представлен в виде следующего множества:

Тессеракт ограничен восемью гиперплоскостями , пересечение которых с самим тессерактом задаёт его трёхмерные грани (являющиеся обычными кубами). Каждая пара непараллельных трёхмерных граней пересекается, образуя двумерные грани (квадраты), и так далее. Окончательно, тессеракт обладает 8 трёхмерными гранями, 24 двумерными, 32 рёбрами и 16 вершинами.

Популярное описание

Попытаемся представить себе, как будет выглядеть гиперкуб, не выходя из трёхмерного пространства .

В одномерном «пространстве» - на линии - выделим отрезок АВ длиной L. На двумерной плоскости на расстоянии L от АВ нарисуем параллельный ему отрезок DC и соединим их концы. Получится квадрат CDBA. Повторив эту операцию с плоскостью, получим трёхмерный куб CDBAGHFE. А сдвинув куб в четвёртом измерении (перпендикулярно первым трём) на расстояние L, мы получим гиперкуб CDBAGHFEKLJIOPNM.

Построение тессеракта на плоскости

Одномерный отрезок АВ служит стороной двумерного квадрата CDBA, квадрат - стороной куба CDBAGHFE, который, в свою очередь, будет стороной четырёхмерного гиперкуба. Отрезок прямой имеет две граничные точки, квадрат - четыре вершины, куб - восемь. В четырёхмерном гиперкубе, таким образом, окажется 16 вершин: 8 вершин исходного куба и 8 сдвинутого в четвёртом измерении. Он имеет 32 ребра - по 12 дают начальное и конечное положения исходного куба, и ещё 8 рёбер «нарисуют» восемь его вершин, переместившихся в четвёртое измерение. Те же рассуждения можно проделать и для граней гиперкуба. В двумерном пространстве она одна (сам квадрат), у куба их 6 (по две грани от переместившегося квадрата и ещё четыре опишут его стороны). Четырёхмерный гиперкуб имеет 24 квадратные грани - 12 квадратов исходного куба в двух положениях и 12 квадратов от двенадцати его рёбер.

Как сторонами квадрата являются 4 одномерных отрезка, а сторонами (гранями) куба являются 6 двухмерных квадратов, так и для «четырёхмерного куба» (тессеракта) сторонами являются 8 трёхмерных кубов. Пространства противоположных пар кубов тессеракта (то есть трёхмерные пространства, которым эти кубы принадлежат) параллельны. На рисунке это кубы: CDBAGHFE и KLJIOPNM, CDBAKLJI и GHFEOPNM, EFBAMNJI и GHDCOPLK, CKIAGOME и DLJBHPNF.

Аналогичным образом можно продолжить рассуждения для гиперкубов большего числа измерений, но гораздо интереснее посмотреть, как для нас, жителей трёхмерного пространства, будет выглядеть четырёхмерный гиперкуб. Воспользуемся для этого уже знакомым методом аналогий.

Возьмём проволочный куб ABCDHEFG и поглядим на него одним глазом со стороны грани. Мы увидим и можем нарисовать на плоскости два квадрата (ближнюю и дальнюю его грани), соединённые четырьмя линиями - боковыми рёбрами. Аналогичным образом четырёхмерный гиперкуб в пространстве трёх измерений будет выглядеть как два кубических «ящика», вставленных друг в друга и соединённых восемью рёбрами. При этом сами «ящики» - трёхмерные грани - будут проецироваться на «наше» пространство, а линии, их соединяющие, протянутся в направлении четвёртой оси. Можно попытаться также представить себе куб не в проекции, а в пространственном изображении.

Подобно тому, как трёхмерный куб образуется квадратом, сдвинутым на длину грани, куб, сдвинутый в четвёртое измерение, сформирует гиперкуб. Его ограничивают восемь кубов, которые в перспективе будут выглядеть как некая довольно сложная фигура. Сам же четырёхмерный гиперкуб состоит из бесконечного количества кубов, подобно тому как трёхмерный куб можно «нарезать» на бесконечное количество плоских квадратов.

Разрезав шесть граней трёхмерного куба, можно разложить его в плоскую фигуру - развёртку . Она будет иметь по квадрату с каждой стороны исходной грани плюс ещё один - грань, ей противоположную. А трёхмерная развёртка четырёхмерного гиперкуба будет состоять из исходного куба, шести кубов, «вырастающих» из него, плюс ещё одного - конечной «гиперграни».

Свойства тессеракта представляют собой продолжение свойств геометрических фигур меньшей размерности в четырёхмерное пространство.

Проекции

На двумерное пространство

Данная структура сложна для воображения, но возможно спроектировать тессеракт в двумерные или трёхмерные пространства . Кроме того, проектирование на плоскость позволяет легко понять расположение вершин гиперкуба. Таким образом, можно получить изображения, которые больше не отражают пространственные отношения в пределах тессеракта, но которые иллюстрируют структуру связи вершин, как в следующих примерах:

Третья картинка демонстрирует тессеракт в изометрии , относительно точки построения. Это представление представляет интерес при использовании тессеракта как основания для топологической сети, чтобы связать многократные процессоры в параллельных вычислениях.

На трёхмерное пространство

Одна из проекций тессеракта на трёхмерное пространство представляет собой два вложенных трёхмерных куба, соответствующие вершины которых соединены между собой отрезками. Внутренний и внешний кубы имеют разные размеры в трёхмерном пространстве, но в четырёхмерном пространстве это равные кубы. Для понимания равности всех кубов тессеракта была создана вращающаяся модель тессеракта.

• Шесть усечённых пирамид по краям тессеракта - это изображения равных шести кубов. Однако эти кубы для тессеракта - как квадраты (грани) для куба. Но на самом деле тессеракт можно разделить на бесконечное количество кубов, как куб - на бесконечное количество квадратов, или квадрат - на бесконечное число отрезков.

Ещё одна интересная проекция тессеракта на трёхмерное пространство представляет собой ромбододекаэдр с проведёнными четырьмя его диагоналями, соединяющими пары противоположных вершин при больших углах ромбов. При этом 14 из 16 вершин тессеракта проецируются в 14 вершин ромбододекаэдра , а проекции 2 оставшихся совпадают в его центре. В такой проекции на трёхмерное пространство сохраняются равенство и параллельность всех одномерных, двухмерных и трёхмерных сторон.

Стереопара

Стереопара тессеракта изображается как две проекции на трёхмерное пространство. Такое изображение тессеракта разрабатывалось с целью представить глубину, как четвёртое измерение. Стереопара рассматривается так, чтобы каждый глаз видел только одно из этих изображений, возникает стереоскопическая картина, воспроизводящая глубину тессеракта.

Развёртка тессеракта

Поверхность тессеракта может быть развёрнута в восемь кубов (аналогично тому, как поверхность куба может быть развёрнута в шесть квадратов). Существует 261 различная развёртка тессеракта . Развёртки тессеракта могут быть подсчитаны нанесением на граф соединённых углов.

Тессеракт в искусстве

• У Эдвине А. «Новая Равнина Абботта», гиперкуб выступает рассказчиком.
• В одном эпизоде «Приключений Джимми Нейтрона» «мальчик-гений» Джимми изобретает четырёхмерный гиперкуб, идентичный фолдбоксу из романа «Дорога славы » (1963) Роберта Хайнлайна .
• Роберт Э. Хайнлайн упоминал гиперкубы, по крайней мере, в трёх научно-фантастических рассказах. В «Доме четырёх измерений» («Дом, который построил Тил», ) он описал дом, построенный как развёртка тессеракта, а затем вследствие землетрясения «сложившийся» в четвёртом измерении и ставший «реальным» тессерактом.
• В романе «Дорога славы » Хайнлайна описана гиперразмерная шкатулка, которая была изнутри больше, чем снаружи.
• Рассказ Генри Каттнера «Все тенали бороговы» описывает развивающую игрушку для детей из далёкого будущего, по строению похожую на тессеракт.
• В романе Алекса Гарленда (), термин «тессеракт» используется для трёхмерной развёртки четырёхмерного гиперкуба, а не гиперкуба непосредственно. Это метафора, призванная показать, что познающая система должна быть шире познаваемой.
• Сюжет фильма «Куб 2: Гиперкуб » сосредотачивается на восьми незнакомцах, пойманных в ловушку в «гиперкубе», или сети связанных кубов.
• Телесериал «Андромеда » использует тессеракт-генераторы как устройство заговора. Они прежде всего предназначены, чтобы управлять пространством и временем .
• Картина «Распятие на кресте » (Corpus Hypercubus) Сальвадора Дали ().
• Комиксы «Nextwave comic book» изображают средство передвижения, включающее в себя 5 зон тессеракта.
• В альбоме Voivod Nothingface одна из композиций названа «В моём гиперкубе».
• В романе Энтони Пирса «Маршрут Куба» одна из орбитальных лун Международной ассоциации развития называется тессерактом, который был сжат в 3 измерения.
• В сериале «Школа „Чёрная дыра“ » в третьем сезоне есть серия «Тессеракт». Лукас нажимает на секретную кнопку и школа начинает «складываться как математический тессеракт».
• Термин «тессеракт» и производный от него термин «тессировать» встречается в повести Мадлен Л’Энгл «Складка времени».
• TesseracT название британской джент группы.
• В серии фильмов Кинематографическая вселенная Marvel Тессеракт - это ключевой элемент сюжета, космический артефакт в форме гиперкуба.
• В рассказе Роберта Шекли «Мисс Мышка и четвертое измерение» один писатель-эзотерик, знакомец автора, пытается увидеть тессеракт, часами глядя на сконструированный им прибор: шар на ножке с воткнутыми в него стержнями, на которые насажены кубы, обклеенные всеми подряд эзотерическими символами. В рассказе упоминается труд Хинтона.
• В фильмах Первый Мститель, Мстители. Тессеракт-энергия все вселенной

Другие названия

• Гексадекахорон (англ. Hexadecachoron )
• Октохорон (англ. Octachoron )
• Тетракуб
• 4-Куб
• Гиперкуб (если не оговаривается число измерений)

Примечания

Литература

• Charles H. Hinton. Fourth Dimension, 1904. ISBN 0-405-07953-2
• Martin Gardner, Mathmatical Carnival, 1977. ISBN 0-394-72349-X
• Ian Stewart, Concepts of Modern Mathematics, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Ссылки

На русском языке

• Программа Transformator4D. Формирование моделей трёхмерных проекций четырёхмерных объектов (в том числе и Гиперкуба).
• Программа, реализующая построение тессеракта и все его афинные преобразования, с исходниками на С++.

На английском языке

• Mushware Limited - программа вывода тессеракта (Tesseract Trainer , лицензия совместима с GPLv2) и шутер от первого лица в четырёхмерном пространстве (Adanaxis ; графика, в основном, трёхмерная; есть версия под GPL в репозиториях ОС).

Многогранники
Правильные (Платоновы тела)
Звёздчатый додекаэдр Звёздчатый икосододекаэдр Звёздчатый икосаэдр Звёздчатый многогранник Звёздчатый октаэдр
Выпуклые	Архимедовы тела Кубооктаэдр Икосододекаэдр Усечённый тетраэдр Усечённый октаэдр Усечённый икосаэдр Усечённый куб Усечённый додекаэдр Ромбокубоктаэдр Ромбоикосододекаэдр Ромбоусечённый кубоктаэдр Ромбоусечённый икосододекаэдр Курносый куб Курносый додекаэдр Усечённый кубооктаэдр Усечённый икосододекаэдр Правильная призма Антипризма Каталановы тела Ромбододекаэдр Ромботриаконтаэдр Триакистетраэдр Тетракисгексаэдр Пентакисдодекаэдр Триакисоктаэдр Триакисикосаэдр Дельтоидальный икоситетраэдр Дельтоидальный гексеконтаэдр Пентагональный икоситетраэдр Пентагональный гексеконтаэдр Дисдакисдодекаэдр Дисдакистриаконтаэдр Без полной пространственной симметрии Пирамида Призма Бипирамида Антипризма Зоноэдр Параллелепипед Ромбоэдр Призматоид Усечённая пирамида Пентагондодекаэдр Параллелоэдр
Формулы , теоремы , теории
Прочее

Wikimedia Foundation . 2010 .

September 19th, 2009
Тессеракт (от др.-греч. tesseres ?kt?nes — четыре луча) — четырёхмерный гиперкуб — аналог куба в четырёхмерном пространстве.

Изображение является проекцией (перспективой) четырёхмерного куба на трёхмерное пространство.

Согласно Оксфордскому словарю, слово «tesseract» было придумано и начало использоваться в 1888 Чарльзом Говардом Хинтоном (1853—1907) в его книге «Новая эра мысли». Позже некоторые люди назвали ту же самую фигуру «тетракубом».

Геометрия

Обычный тессеракт в евклидовом четырёхмерном пространстве определяется как выпуклая оболочка точек (±1, ±1, ±1, ±1). Иначе говоря, он может быть представлен в виде следующего множества:

Тессеракт ограничен восемью гиперплоскостями, пересечение которых с самим тессерактом задаёт его трёхмерные грани (являющиеся обычными кубами). Каждая пара непараллельных трёхмерных граней пересекается, образуя двумерные грани (квадраты), и так далее. Окончательно, тессеракт обладает 8 трёхмерными гранями, 24 двумерными, 32 рёбрами и 16 вершинами.

Популярное описание

Попытаемся представить себе, как будет выглядеть гиперкуб, не выходя из трёхмерного пространства.

В одномерном «пространстве» — на линии — выделим отрезок АВ длиной L. На двумерной плоскости на расстоянии L от АВ нарисуем параллельный ему отрезок DC и соединим их концы. Получится квадрат ABCD. Повторив эту операцию с плоскостью, получим трехмерный куб ABCDHEFG. А сдвинув куб в четвёртом измерении (перпендикулярно первым трём) на расстояние L, мы получим гиперкуб ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Построение_тессеракта.PNG

Одномерный отрезок АВ служит стороной двумерного квадрата ABCD, квадрат — стороной куба ABCDHEFG, который, в свою очередь, будет стороной четырёхмерного гиперкуба. Отрезок прямой имеет две граничные точки, квадрат — четыре вершины, куб — восемь. В четырёхмерном гиперкубе, таким образом, окажется 16 вершин: 8 вершин исходного куба и 8 сдвинутого в четвёртом измерении. Он имеет 32 ребра — по 12 дают начальное и конечное положения исходного куба, и ещё 8 ребер «нарисуют» восемь его вершин, переместившихся в четвёртое измерение. Те же рассуждения можно проделать и для граней гиперкуба. В двумерном пространстве она одна (сам квадрат), у куба их 6 (по две грани от переместившегося квадрата и ещё четыре опишут его стороны). Четырёхмерный гиперкуб имеет 24 квадратные грани — 12 квадратов исходного куба в двух положениях и 12 квадратов от двенадцати его ребер.

Аналогичным образом можно продолжить рассуждения для гиперкубов большего числа измерений, но гораздо интереснее посмотреть, как для нас, жителей трёхмерного пространства, будет выглядеть четырёхмерный гиперкуб. Воспользуемся для этого уже знакомым методом аналогий.

Развёртка тессеракта

Возьмём проволочный куб ABCDHEFG и поглядим на него одним глазом со стороны грани. Мы увидим и можем нарисовать на плоскости два квадрата (ближнюю и дальнюю его грани), соединённые четырьмя линиями — боковыми рёбрами. Аналогичным образом четырёхмерный гиперкуб в пространстве трёх измерений будет выглядеть как два кубических «ящика», вставленных друг в друга и соединённых восемью рёбрами. При этом сами «ящики» — трёхмерные грани — будут проецироваться на «наше» пространство, а линии, их соединяющие, протянутся в четвёртом измерении. Можно попытаться также представить себе куб не в проекции, а в пространственном изображении.

Подобно тому, как трёхмерный куб образуется квадратом, сдвинутым на длину грани, куб, сдвинутый в четвёртое измерение, сформирует гиперкуб. Его ограничивают восемь кубов, которые в перспективе будут выглядеть как некая довольно сложная фигура. Её часть, оставшаяся в «нашем» пространстве, нарисована сплошными линиями, а то, что ушло в гиперпространство, пунктирными. Сам же четырёхмерный гиперкуб состоит из бесконечного количества кубов, подобно тому как трёхмерный куб можно «нарезать» на бесконечное количество плоских квадратов.

Разрезав шесть граней трёхмерного куба, можно разложить его в плоскую фигуру — развёртку. Она будет иметь по квадрату с каждой стороны исходной грани плюс ещё один — грань, ей противоположную. А трёхмерная развертка четырёхмерного гиперкуба будет состоять из исходного куба, шести кубов, «вырастающих» из него, плюс ещё одного — конечной «гиперграни».

Свойства тессеракта представляют собой продолжение свойств геометрических фигур меньшей размерности в четырёхмерное пространство.

Проекции

На двухмерное пространство

Данная структура сложна для воображения, но возможно спроектировать тессеракт в двухмерные или трёхмерные пространства. Кроме того, проектирование на плоскость позволяет легко понять расположение вершин гиперкуба. Таким образом, можно получить изображения, которые больше не отражают пространственные отношения в пределах тессеракта, но которые иллюстрируют структуру связи вершин, как в следующих примерах:


На трёхмерное пространство

Проекция тессеракта на трёхмерное пространство представляет собой два вложенных трёхмерных куба, соответствующие вершины которых соединены между собой отрезками. Внутренний и внешний кубы имеют разные размеры в трехмерном пространстве, но в четырёхмерном пространстве это равные кубы. Для понимания равности всех кубов тессеракта была создана вращающаяся модель тессеракта.



Шесть усеченных пирамид по краям тессеракта — это изображения равных шести кубов.
Стереопара

Стереопара тессеракта изображается как две проекции на трёхмерное пространство. Такое изображение тессеракта разрабатывалось с целью представить глубину, как четвёртое измерение. Стереопара рассматривается так, чтобы каждый глаз видел только одно из этих изображений, возникает стереоскопическая картина, воспроизводящая глубину тессеракта.

Развёртка тессеракта

Поверхность тессеракта может быть развёрнута в восемь кубов (аналогично тому, как поверхность куба может быть развернута в шесть квадратов). Существует 261 различная развёртка тессеракта. Развёртки тессеракта могут быть подсчитаны нанесением на граф соединённых углов.

Тессеракт в искусстве

У Эдвине А. «Новая Равнина Абботта», гиперкуб выступает рассказчиком.
В одном эпизоде «Приключений Джимми Нейтрона»: «Мальчик-гений» Джимми изобретает четырёхмерный гиперкуб, идентичный фолдбоксу из романа «Дорога славы» 1963 Хайнлайна.
Роберт Э. Хайнлайн упоминал гиперкубы, по крайней мере, в трёх научно-фантастических рассказах. В «Дом четырех измерений» («Дом, который построил Тил») (1940) он описал дом, построенный как развёртка тессеракта.
В романе «Дорога славы» Хайнлайна описана гиперразмерная посуда, которая была изнутри больше, чем снаружи.
Рассказ Генри Каттнера «Mimsy Were the Borogoves» описывает развивающую игрушку для детей из далёкого будущего, по строению похожую на тессеракт.
В романе Алекса Гарленда (1999), термин «тессеракт» используется для трехмерной развёртки четырёхмерного гиперкуба, а не гиперкуба непосредственно. Это метафора, призванная показать, что познающая система должна быть шире познаваемой.
Сюжет фильма «Куб 2: Гиперкуб» сосредотачивается на восьми незнакомцах, пойманных в ловушку в «гиперкубе», или сети связанных кубов.
Телесериал «Андромеда» использует тессеракт-генераторы как устройство заговора. Они прежде всего предназначены, чтобы управлять пространством и временем.
Картина «Распятие на кресте» (Corpus Hypercubus) Сальвадора Дали (1954)
Комиксы «Nextwave comic book» изображают средство передвижения, включающее в себя 5 зон тессеракта.
В альбоме Voivod Nothingface одна из композиций названа «В моём гиперкубе».
В романе Энтони Пирса «Маршрут Куба» одна из орбитальных лун Международной ассоциации развития называется тессерактом, который был сжат в 3 измерения.
В сериале «Школа „Чёрная дыра“» в третьем сезоне есть серия «Тессеракт». Лукас нажимает на секретную кнопку и школа начинает складываться как математический тессеракт.
Термин «тессеракт» и производный от него термин «тессировать» встречается в повести Мадлен Л’Энгл «Складка времени»