Обычный снос разрядов в числе. Когда записывается 4,47 · 10^8, подразумевается снос плавающей запятой на 8 разрядов вперёд - в данном случае это будет число 447 с 6 нулями впереди, т.е. 447.000.000 . В программировании могут использоваться E-значения, причём e нельзя писать само по себе , но E - можно (но не везде и не всегда, об этом будет отмечено ниже), т.к. предпоследнее может ошибочно принятым за число Эйлера . Если нужно записать огромное число сокращённо, может использоваться стиль 4,47·E8 (альтернативный вариант для производства и мелкошрифтной печати - 4,47xE8), чтобы число читалось более разгружено и разряды указывались более обособленно (между арифметическими знаками ставить пробелы нельзя - в противном случае, это математическое условие, а не число).

3,52E3 - это хорошо для записи без индексов, но читать разрядное смещение будет сложнее. 3,52 · 10^8 - условие, т.к. требует индекса и отсутствует мантисса (последнее существует только у оператора, а это - расширенный множитель). " · 10" - процесс стандартного (основного) операционного умножения, число после ^ - показатель сноса разрядов, поэтому его не нужно делать мелким, если необходимо писать документы в данной форме (соблюдая надстрочное положение), в некоторых случаях, желательно использовать масштаб в районе 100 - 120%, а не стандартные 58%. Используя мелкий масштаб для ключевых элементов условия, снижается визуальное качество цифровой информации - придётся всматриваться (может быть и не нужно, но факт остаётся фактом - «прятать» условия мелким шрифтом не нужно, можно было вообще «закопать» - сокращать масштаб отдельных элементов условия это неприемлемо, особенно на компьютере), чтобы заметить «сюрприз», а это очень вредно даже на бумажном ресурсе.

Если процесс умножения выполняет особые операции, то в таких случаях использование пробелов может быть избыточным, т.к. помимо умножения чисел, множитель может быть связывающим звеном для огромных и мелких чисел, химэлементов и т.д. и т.п., которые нельзя записать десятичной дробью обычных чисел или невозможно записать конечным результатом. Это может не касаться записи с " · 10^y", т.к. любое значение в выражении выполняет роль множителя, а "^y" - степень, указываемая надстрочным способом, т.е. является числовым условием. Но, убрав пробелы вокруг множителя и записав иначе - будет ошибкой, т.к. оператор отсутствует. Сам отрывок записи " · 10" - множитель-оператор + число, а не первый + второй оператор. Здесь и есть основная причина того, почему с 10-кой так нельзя. Если после числового оператора нет особых значений, т.е. нечисловых, но системных, то данный вариант записи не может быть оправдан - если есть системное значение, то такое значение должно подходить под определённые задачи с числовым или практическим сокращением чисел (для определённых действий, например, 1,35f8, где f - какое-либо уравнение, созданное для практических специальных задач, которое выводит действительные числа в результате конкретных практических опытов, 8 - значение, которое подставлено как переменное к оператору f и совпадает с числами при последовательном изменении условий наиболее удобным образом, если эта задача архиважная, то такие данные значения могут быть использованы со знаком без пробелов). Кратко, для подобных арифметических операций, но с другими целями, также можно проделывать с плюсами, минусами и делителями, если в этом есть крайняя необходимость для создания новых или упрощения существующих способов записи данных с сохранением точности на практике и может являться применимым числовым условием для определённых арифметических целей.

Итог: официально утверждённую форму экспоненциальной записи рекомендуется писать с пробелом и масштабом надстрочного шрифта в 58% и смещением в 33% (если изменение масштаба и смещения разрешается другими сторонами уровень в 100 - 120%, то можно установить 100% - это самый оптимальный вариант записи надстрочных значений, оптимальное смещение - ? 50%). На компьютере можно использовать 3,74e+2, 4,58E-1, 6,73·E-5, E-11, если последние два формата поддерживаются, на форумах лучше отказаться от e-сокращений по известным причинам, а стиль 3,65·E-5 или 5,67E4 может быть полностью понятным, исключения могут составлять лишь официальные сегменты общественности - там только с " · 10^x ", причём вместо ^x - используется только надстрочная запись степени .

Короче говоря, E является суперсокращением для десятичного антилогарифма, который часто помечают, как antilog либо antilg. Например, 7,947antilg-4 будет равен тому же, что и 7,947E-4. На практике это гораздо практичнее и удобнее, чем тягать «десятку» с надстрочным знаком степени лишний раз. Это можно назвать «экспоненциальным» логарифмическим видом числа как альтернативный вариант менее удобному «экспоненциальному» классическому. Только вместо «antilg», используется «E» либо сразу идёт второе число с пропуском (если число положительное) либо без него (на десятисегментных научных калькуляторах, типа "Citizen CT-207T").

ЧИСЛО e
Число, приближенно равное 2,718, которое часто встречается в математике и естественных науках. Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e-kt, где k - число, характеризующее скорость распада данного вещества. Обратная величина 1/k называется средним временем жизни атома данного вещества, так как в среднем атом прежде, чем распасться, существует в течение времени 1/k. Величина 0,693/k называется периодом полураспада радиоактивного вещества, т.е. временем, за которое распадается половина исходного количества вещества; число 0,693 приближенно равно loge 2, т.е. логарифму числа 2 по основанию e. Аналогично, если бактерии в питательной среде размножаются со скоростью, пропорциональной их числу в настоящий момент, то по истечении времени t начальное количество бактерий N превращается в Nekt. Затухание электрического тока I в простом контуре с последовательным соединением, сопротивлением R и индуктивностью L происходит по закону I = I0e-kt, где k = R/L, I0 - сила тока в момент времени t = 0. Аналогичные формулы описывают релаксацию напряжений в вязкой жидкости и затухание магнитного поля. Число 1/k часто называют временем релаксации. В статистике величина e-kt встречается как вероятность того, что за время t не произошло событий, наступающих случайно со средней частотой k событий в единицу времени. Если S - сумма денег, вложенных под r процентов с непрерывным начислением вместо начисления через дискретные промежутки времени, то к моменту времени t первоначальная сумма возрастет до Setr/100. Причина "вездесущности" числа e заключается в том, что формулы математического анализа, содержащие экспоненциальные функции или логарифмы, записываются проще, если логарифмы брать по основанию e, а не 10 или какому-либо другому основанию. Например, производная от log10 x равна (1/x)log10 e, тогда как производная от loge x равна просто 1/x. Аналогично, производная от 2x равна 2xloge 2, тогда как производная от eх равна просто ex. Это означает, что число e можно определить как основание b, при котором график функции y = logb x имеет в точке x = 1 касательную с угловым коэффициентом, равным 1, или при котором кривая y = bx имеет в x = 0 касательную с угловым коэффициентом, равным 1. Логарифмы по основанию e называются "натуральными" и обозначаются ln x. Иногда их также называют "неперовыми", что неверно, так как в действительности Дж. Непер (1550-1617) изобрел логарифмы с другим основанием: неперов логарифм числа x равен 107 log1/e (x/107) (см. также ЛОГАРИФМ). Различные комбинации степеней e встречаются в математике так часто, что имеют специальные названия. Таковы, например, гиперболические функции

График функции y = ch x называется цепной линией; такую форму имеет подвешенная за концы тяжелая нерастяжимая нить или цепь. Формулы Эйлера

где i2 = -1, связывают число e с тригонометрией. Частный случай x = p приводит к знаменитому соотношению eip + 1 = 0, связывающему 5 наиболее известных в математике чисел. При вычислении значения e могут быть использованы и некоторые другие формулы (чаще всего пользуются первой из них):

Значение e с 15 десятичными знаками равно 2,718281828459045. В 1953 было вычислено значение e с 3333 десятичными знаками. Символ e для обозначения этого числа был введен в 1731 Л. Эйлером (1707-1783). Десятичное разложение числа e непериодично (e - иррациональное число). Кроме того, e, как и p, - трансцендентное число (оно не является корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами). Это доказал в 1873 Ш.Эрмит. Впервые было показано, что столь естественным образом возникающее в математике число является трансцендентным.
См. также
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ;
НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ ;
ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ ;
ЧИСЛО p;
РЯДЫ .

Энциклопедия Кольера. - Открытое общество . 2000 .

Смотреть что такое "ЧИСЛО e" в других словарях:

число - Прие моч ное Источник: ГОСТ 111 90: Стекло листовое. Технические условия оригинал документа Смотри также родственные термины: 109. Число бетатронных колебаний … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Сущ., с., употр. очень часто Морфология: (нет) чего? числа, чему? числу, (вижу) что? число, чем? числом, о чём? о числе; мн. что? числа, (нет) чего? чисел, чему? числам, (вижу) что? числа, чем? числами, о чём? о числах математика 1. Числом… … Толковый словарь Дмитриева

ЧИСЛО, числа, мн. числа, чисел, числам, ср. 1. Понятие, служащее выражением количества, то, при помощи чего производится счет предметов и явлений (мат.). Целое число. Дробное число. Именованное число. Простое число. (см. простой1 в 1 знач.).… … Толковый словарь Ушакова

Абстрактное, лишенное особенного содержания обозначение какоголибо члена некоторого ряда, в котором этому члену предшествует или следует за ним какой нибудь др. определенный член; абстрактный индивидуальный признак, отличающий одно множество от… … Философская энциклопедия

Число - Число грамматическая категория, выражающая количественные характеристики предметов мысли. Грамматическое число одно из проявлений более обшей языковой категории количества (см. Категория языковая) наряду с лексическим проявлением («лексическое… … Лингвистический энциклопедический словарь

А; мн. числа, сел, слам; ср. 1. Единица счёта, выражающая то или иное количество. Дробное, целое, простое ч. Чётное, нечётное ч. Считать круглыми числами (приблизительно, считая целыми единицами или десятками). Натуральное ч. (целое положительное … Энциклопедический словарь

Ср. количество, счетом, на вопрос: сколько? и самый знак, выражающий количество, цифра. Без числа; нет числа, без счету, многое множество. Поставь приборы, по числу гостей. Числа римские, арабские или церковные. Целое число, ·противоп. дробь.… … Толковый словарь Даля

ЧИСЛО, а, мн. числа, сел, слам, ср. 1. Основное понятие математики величина, при помощи к рой производится счёт. Целое ч. Дробное ч. Действительное ч. Комплексное ч. Натуральное ч. (целое положительное число). Простое ч. (натуральное число, не… … Толковый словарь Ожегова

ЧИСЛО «Е» (ЕХР), иррациональное число, служащее основанием натуральных ЛОГАРИФМОВ. Это действительное десятичное число, бесконечная дробь, равная 2,7182818284590...., является пределом выражения (1/) при п, стремящемся к бесконечности. По сути,… … Научно-технический энциклопедический словарь

Количество, наличность, состав, численность, контингент, сумма, цифра; день.. Ср. . См. день, количество. небольшое число, несть числа, расти числом... Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские… … Словарь синонимов

Книги

• Число имени. Тайны нумерологии. Выход из тела для ленивых. Учебник по экстрасенсорике (количество томов: 3)
• Число имени. Новый взгляд на числа. Нумерология - путь познания (количество томов: 3) , Лоуренс Ширли. Число имени. Тайны нумерологии. Книга Ширли Б. Лоуренс является всесторонним исследованием древней эзотерической системы – нумерологии. Чтобы научиться использовать вибрации чисел для…

| Число Эйлера (Е)

e - основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно равно 2,71828. Иногда число называют числом Эйлера или числом Непера . Обозначается строчной латинской буквой «e ».

История

Число e впервые появилось в математике как нечто незначительное. Это случилось в 1618 г. В приложении к работе Джона Непера (Napier) по логарифмам была дана таблица натуральных логарифмов различных чисел. Однако никто не понял, что это логарифмы по основанию e , так как в понятие логарифма того времени такая вещь как основание не входила. Это сейчас мы называем логарифмом степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить требуемое число. Мы еще вернемся к этому позже. Таблица в приложении скорее всего была сделана Отредом (Ougthred), хотя автор ее не был указан. Через несколько лет, в 1624 г., в математической литературе снова появляется e , но опять-таки завуалированно. В этом году Бриггс (Briggs) дал численное приближение десятичного логарифма e , но само число e в его работе не упоминается.

Следующее появление числа e снова cомнительно. В 1647 г. Сен-Винсент (Saint-Vincent) вычислил площадь сектора гиперболы. Понимал ли он связь с логарифмами, остается только догадываться, но даже если понимал, то вряд ли он мог прийти к самому числу e . Только к 1661 г. Гюйгенс (Huygens) понял связь между равнобочной гиперболой и логарифмами. Он доказал, что площадь под графиком равнобочной гиперболы xy = 1 равнобочной гиперболы на промежутке от 1 до e равна 1. Это свойство делает e основанием натуральных логарифмов, но это не понимали математики того времени, однако они медленно приближались к этому пониманию.

Гюйгенс сделал следующий шаг в 1661 г. Он определил кривую, которую назвал логарифмической (в нашей терминологии мы будем называть ее экспоненциальной). Это кривая вида y = ka x . И снова появляется десятичный логарифм e , который Гюйгенс находит с точностью до 17 десятичных цифр . Однако он возник у Гюйгенса как некая константа и не был связан с логарифмом числа (итак, снова подошли вплотную к e , но само число e остается неузнанным).

В дальнейших работах по логарифмам опять-таки число e не появляется в явном виде. Однако изучение логарифмов продолжается. В 1668 г. Никола Меркатор (Nicolaus Mercator) опубликовал работу Logarithmotechnia , которая содержит разложение в ряд log(1 + x) . В этой работе Меркатор впервые использует название “натуральный логарифм” для логарифма по основанию e . Число e явно опять не появляется, а остается неуловимым где-то в стороне.

Удивительно, что число e в явном виде впервые возникает не в связи с логарифмами, а в связи с бесконечными произведениями. В 1683 г. Якоб Бернулли пытается найти

Он использует биномиальную теорему для доказательства того, что этот предел находится между 2 и 3, и это мы можем рассматривать как первое приближение числа e . Хотя мы принимаем это за определение e , это первый случай, когда число определяется как предел. Бернулли, конечно, не понял связи между своей работой и работами по логарифмам.

Ранее упоминалось, что логарифмы в начале их изучения никак не связывались с экспонентами. Конечно, из уравнения x = a t мы находим, что t = log a x , но это гораздо более поздний способ восприятия. Здесь мы в самом деле подразумеваем под логарифмом функцию, тогда как сначала логарифм рассматривался только как число, которое помогало в вычислениях. Возможно, Якоб Бернулли первым понял, что логарифмическая функция является обратной показательной. С другой стороны, первым, кто связал логарифмы и степени, мог быть Джеймс Грегори (Games Gregory). В 1684 г. он определенно осознал связь между логарифмами и степенями, но, возможно, он был не первым.

Мы знаем, что число e появилось в том виде, как сейчас, в 1690 г. Лейбниц в письме к Гюйгенсу использовал для него обозначение b . Наконец у e появилось обозначение (хотя оно не совпадало с современным), и это обозначение было признано.

В 1697 г. Иоганн Бернулли начинает изучение показательной функции и публикует Principia calculi exponentialum seu percurrentium . В этой работе вычисляются суммы различных экспоненциальных рядов, и получены некоторые результаты их почленным интегрированием.

Леонард Эйлер (Euler) ввел так много математических обозначений, что неудивительно, что обозначение e также принадлежит ему. Кажется смешным утверждение, что он использовал букву e из-за того, что это первая буква его имени. Вероятно, это даже не потому, что e взято от слова “exponential”, а просто это следующая гласная за “a”, а Эйлер уже использовал обозначение “a” в своей работе. Независимо от причины, обозначение впервые появляется в письме Эйлера Гольдбаху (Goldbach) в 1731 г. Он сделал много открытий, изучая e в дальнейшем, но только в 1748 г. в Introductio in Analysin infinitorum он дал полное обоснование всем идеям, связанным с e . Он показал, что

Эйлер также нашел первые 18 десятичных знаков числа e :

Правда, не объясняя, как он их получил. Похоже, что он вычислил это значение сам. На самом деле, если взять около 20 членов ряда (1), то получится точность, которую получил Эйлер. Среди других интересных результатов в его работе приведена связь между функциями синус и косинус и комплексной показательной функцией, которую Эйлер вывел из формулы Муавра.

Интересно, что Эйлер нашел даже разложение числа e в непрерывные дроби и привел образцы такого разложения. В частности, он получил

Эйлер не привел доказательства, что эти дроби так же продолжаются, однако он знал, что если бы такое доказательство было, то оно доказывало бы иррациональность e . Действительно, если бы непрерывная дробь для (e - 1) / 2 , продолжалась так же, как в приведенном образце, 6,10,14,18,22,26, (каждый раз прибавляем по 4), то она никогда бы не прервалась, и (e -1) / 2 (а значит, и e ) не могло бы быть рациональным. Очевидно, это первая попытка доказать иррациональность e .

Первым, кто вычислил довольно большое число десятичных знаков числа e , был Шенкс (Shanks) в 1854 г. Глейшер (Glaisher) показал, что первые 137 знаков, вычисленные Шенксом, были верными, однако далее нашел ошибку. Шенкс ее исправил, и было получено 205 десятичных знаков числа e . В действительности, нужно около 120 членов разложения (1), чтобы получить 200 верных знаков числа e .

В 1864 г. Бенджамен Пирс (Peirce) стоял у доски, на которой было написано

В своих лекциях он мог бы сказать своим студентам: “Джентльмены, мы не имеем ни малейшего представления, что бы это значило, но мы можем быть уверены, что это значит что-то очень важное”.

Большинство считает, что Эйлер доказал иррациональность числа e . Однако это сделал Эрмит (Hermite) в 1873 г. До сих пор остается открытым вопрос, является ли число e e алгебраическим. Последний результат в этом направлении - это то, что по крайней мере одно из чисел e e и e e 2 является трансцендентным.

Далее вычисляли следующие десятичные знаки числа e . В 1884 г. Бурман (Boorman) вычислил 346 знаков числа e , из которых первые 187 совпали со знаками Шенкса, но последующие различались. В 1887 г. Адамс (Adams) вычислил 272 цифры десятичного логарифма e .

J.J.Connor, E.F.Robertson. The number e .

e - математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число.e = 2,718281828459045… Иногда числоe называютчислом Эйлера илинеперовым числом . Играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении.

Способы определения

Число e может быть определено несколькими способами.

Свойства

История

Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Джона Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 г.). Однако это название не совсем корректно, т. к. у него логарифм числаx был равен.

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 г. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, сама же константа не определена. Предполагается, что автором таблицы был английский математик Вильям Отред. Саму же константу впервые вывел швейцарский математик Якоб Бернулли при попытке вычислить значение следующего предела:

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b , встречается в письмах Готфрида Лейбница Кристиану Гюйгенсу, 1690 и 1691 гг. Буквуe начал использовать Леонард Эйлер в 1727 г., а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 г. Соответственно,e иногда называютчислом Эйлера . Хотя впоследствии некоторые учёные использовали буквуc , букваe применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

Почему была выбрана именно буква e , точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается словоexponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквыa ,b ,c иd уже довольно широко использовались в иных целях, иe была первой «свободной» буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбралe как первую букву в своей фамилии (нем.Euler ), поскольку он был очень скромным человеком и всегда старался подчеркнуть значимость труда других людей.

Способы запоминания

Число e можно запомнить по следующему мнемоническому правилу: два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45 ,90 и45 градусов).

В другом варианте правила e связывается с президентом США Эндрю Джексоном: 2 - столько раз избирался, 7 - он был седьмым президентом США, 1828 - год его избрания, повторяется дважды, поскольку Джексон дважды избирался. Затем - опять-таки равнобедренный прямоугольный треугольник.

В ещё одном небезынтересном способе предлагается запомнить число e с точностью до трёх знаков после запятой через «число дьявола»: нужно разделить 666 на число, составленное из цифр 6 - 4, 6 - 2, 6 - 1 (три шестёрки, из которых в обратном порядке удаляются три первые степени двойки):.

В четвёртом способе предлагается запомнить e как.

Грубое (с точностью до 0,001), но красивое приближение полагает e равным. Совсем грубое (с точностью 0,01) приближение даётся выражением.

«Правило Боинга»: даёт неплохую точность 0,0005.

«Стих»: Мы порхали и блистали, но застряли в перевале; не признали наши крали авторалли.

e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 12509 96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 02123 40784 98193 34321 06817 01210 05627 88023 51920

Все знают геометрический смысл числа p - это длина окружности с единичным диаметром:

А вот смысл другой важной константы, e , имеет свойство быстро забываться. То есть, не знаю, как вам, а мне каждый раз стоит усилий вспомнить, чем же так замечательно это число, равное 2,7182818284590... (значение я, однако, по памяти записал). Поэтому я решил написать заметку, чтобы больше из памяти не вылетало.

Число e по определению - предел функции y = (1 + 1 / x ) x при x -> ?:

x	y
1	(1 + 1 / 1) 1	= 2
2	(1 + 1 / 2) 2	= 2,25
3	(1 + 1 / 3) 3	= 2,3703703702...
10	(1 + 1 / 10) 10	= 2,5937424601...
100	(1 + 1 / 100) 100	= 2,7048138294...
1000	(1 + 1 / 1000) 1000	= 2,7169239322...
?	lim x -> ?	= 2,7182818284590...

Это определение, к сожалению, не наглядно. Непонятно, чем замечателен этот предел (несмотря на то, что он называется «вторым замечательным»). Подумаешь, взяли какую-то неуклюжую функцию, посчитали предел. У другой функции другой будет.

Но число e почему-то всплывает в целой куче самых разных ситуаций в математике.

Для меня главный смысл числа e раскрывается в поведении другой, куда более интересной функции, y = k x . Эта функция обладает уникальным свойством при k = e , которое можно показать графически так:

В точке 0 функция принимает значение e 0 = 1. Если провести касательную в точке x = 0, то она пройдёт к оси абсцисс под углом с тангенсом 1 (в жёлтом треугольнике отношение противолежащего катета 1 к прилежащему 1 равно 1). В точке 1 функция принимает значение e 1 = e . Если провести касательную в точке x = 1, то она пройдёт под углом с тангенсом e (в зелёном треугольнике отношение противолежащего катета e к прилежащему 1 равно e ). В точке 2 значение e 2 функции снова совпадает с тангенсом угла наклона касательной к ней. Из-за этого, заодно, сами касательные пересекают ось абсцисс ровно в точках -1, 0, 1, 2 и т. д.

Среди всех функций y = k x (например, 2 x , 10 x , p x и т. д.), функция e x - единственная обладает такой красотой, что тангенс угла её наклона в каждой её точке совпадает со значением самой функции. Значит по определению значение этой функции в каждой точке совпадает со значением её производной в этой точке: (e x )? = e x . Почему-то именно число e = 2,7182818284590... нужно возводить в разные степени, чтобы получилась такая картинка.

Именно в этом, на мой вкус, состоит его смысл.

Числа p и e входят в мою любимую формулу - формулу Эйлера, которая связывает 5 самых главных констант - ноль, единицу, мнимую единицу i и, собственно, числа p и е :

e ip + 1 = 0

Почему число 2,7182818284590... в комплексной степени 3,1415926535...i вдруг равно минус единице? Ответ на этот вопрос выходит за рамки заметки и мог бы составить содержание небольшой книги, которая потребует некоторого начального понимания тригонометрии, пределов и рядов.

Меня всегда поражала красота этой формулы. Возможно, в математике есть и более удивительные факты, но для моего уровня (тройка в физико-математическом лицее и пятёрка за комплексный анализ в универе) это самое главное чудо.