?????? ???????? ????????????? ????????, ???????? ?????, ????? ???? ?? ???????? ????? 10-?? ????????, ????? ????????? ? ???????? ????????????????? ??????????????????, ????? ?????????? ????????: ???? ????????? ???????? ??, ??????, ?????? ? ???????????? ?????????????, ?????? ? ????????? ???????????????, ??????????? ????????????? ? ?????????????, ????? ????????? ?? ?????????: ????? ??????????????? ?????????????? ????? ??????? ????????? ???????? ?. ????????? ? ????????, ?? ??? ?????? ????? ? ????????, ????? ????????????????? ????????? ??????????????????, ??? ????????? ??????? ?????????, ???????. ?????????? ? ?????? ??? ????????.

??????? ?, ?? ??????? ????? ??????? ????????????? ??? ????????? ??????????? ?????? ? ??????, ?? ????? ???? ? ???????? ??????? ?????????? ??????, ????? ???? ? ????????????? ??? ??????? ????? ??????? ??????????????????: ??????, ??? ??????? ????????? ? ??????? ????????? ?????????????? ? ?????????? ????????? ??????????????

??? ???????? ? ????????? ????????????????? ?????????????.????? ?? ???????? ??? ?????, ?? ??????????? ????????????????? ?? ??????????????? ?? ????????? ????????????????? ?????????????????? ????????, ????? ?????????? ???? ??????????:

?????? ????? ? ?????? ??? ?????? ?????????? ??????: ?? ????? ?????????? ?????? ????????? ?? ???? ??????? ????????????????? ??????????? ????? ??????? ????? ?????? ??

????????????????? ??????????? ???????? ????? ???? ???? ? ???????.

1. ?????????? ??? ???????? ????? ???????????? ????? «????? ????????????».
2. ??????????? ????? «????? ?????????????».
3. ??????????? ?????????? ??? ????? ? ????:

????? ???? ????????????????? ?????????????? ??????? ???????? ?????????.

I. ???????? ????? ????????? ????????????????? ??????????????

??????? ?????

???? 1.????????????????? ????????? ?????????? ?????? ?????????????:

???? 2???? ?????????? ???????? ????????? ???????.

cos x = a; x = ±arccos a + 2pn, n ЄZ.

???? x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + pn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + pn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + pn, n Є Z.

???? 3???? ?????? ?????????:

??????.

2 cos(3x – p/4) = -?2:

???????.

1) cos(3x - p/4) = -?2/2:

2) 3x – p/4 = ±(p – p/4) + 2pn, n Є Z;

3x – p/4 = ±3p/4 + 2pn, n Є Z.

3) 3x = ±3p/4 + p/4 + 2pn, n Є Z;

x = ±3p/12 + p/12 + 2pn/3, n Є Z;

x = ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Є Z.

????????? ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Є Z.

II. ????????? ??????????

??????? ?????

???? 1.????????????????? ????????????? ???? ???????? ??????????? ????? ????????????? ???:

???? 2??????? ????????? ???? t ??????????? (??????????????? ??????? ???????????????? ?????? t-? ???):

???? 3????? ????? ? ??????? ??????? ????????????? ????????????

???? 4??????? ???????? ??????????:

???? 5??????? ????????? ????????????????? ???????????.

??????.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0:

???????.

1) 2(1 - ???? 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0:

2) ??? ???? (x/2) = t, ????? |t| <= 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ??? e = -3/2 ?? ?????????? ??????? |t| <= 1.

4) ???? (x/2) = 1:

5) x/2 = p/2 + 2pn, n Є Z;

x = p + 4pn, n Є Z.

????????? x = p + 4pn, n Є Z.

III. ?????????? ????? ???????? ?????

??????? ?????

???? 1.????????? ??? ??????????? ????????? ???????????? ?????????? ????????? ?????????.

???? 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x):

???? 2??????? ??????????? ??????? I ? II ??????????:

??????.

cos2x + cos2x = 5/4:

???????.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4:

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±p/3 + 2pn, n Є Z;

x = ±p/6 + pn, n Є Z.

????????? x = ±p/6 + pn, n Є Z.

IV. ??????? ?????????????

??????? ?????

???? 1.??? ??????????? ????? ???

?) a sin x + b cos x = 0 (?????? ???????? ??????? ??????????)

??? ???? ???????

?) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (??????? ???????? ??????? ??????????).

???? 2?????????? ????? ??????? ????????

?) cos x ? 0;

?) cos 2 x ? 0;

? ?????? tg x-? ???????????.

?) a tg x + b = 0;

?) a tg 2 x + b arctg x + c = 0:

???? 3??????? ??????????? ?????? ??????????:

??????.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0:

???????.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin? x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ? 0:

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0:

3) ??? tg x = t, ???

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ??? t = -4, ??????

tg x = 1 ??? tg x = -4:

?????? ???????????? x = p/4 + pn, n Є Z; ??????? ???????????? x = -arctg 4 + pk, k Є Z.

????????? x = p/4 + pn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + pk, k Є Z.

V. ????????????????? ????????? ??????? ?????????? ??????????? ?????

??????? ?????

???? 1.???????????? ????? ?????? ????????????????? ?????????, ????? ??? ??????????? ?? ??????????, ??? ?????? ? ?????? I, II, III, IV ??????????:

???? 2??????? ??????????? ??????? ?????? ??????????:

??????.

sinx + sin2x + sin3x = 0:

???????.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0:

2) ???? 2x (2cos x + 1) = 0;

???? 2x = 0 ??? 2cos x + 1 = 0;

?????? ???????????? 2x = p/2 + pn, n Є Z; ??????? ???????????? cos x = -1/2.

???? ?????? x = p/4 + pn/2, n Є Z; ??????? ???????????? x = ±(p – p/3) + 2pk, k Є Z.

???????????, x \u003d p / 4 + pn / 2, n Є Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Є Z.

????????? x \u003d p / 4 + pn / 2, n Є Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Є Z.

????????????????? ????????????? ???????? ????????????? ?? ?????????????? ??? ?? ?????? ?, ?? ????? ?????????? ????? ???? ? ????????? ?????? ????????, ?????? ?? ???????? ??????:

??????????????, ???????? ? ????? ???????? ???????? ?????? ?? ????????????????? ?????????????? ??????? ???:???? ????????? ??????? ??????????, ?????? ????, ??????????? ? ???????? ?????????? ? ?????????????, ????? ???? ?? ??????? ??????????????????? ??????? ???????????????:

????????????????? ?????????????? ?????? ??? ?? ??????? ???????????? ??????????? ? ??????????? ???? ????????? ?????????????

?????? ??????? ??????? ?????? ?????? ????????????????? ??????????????:
???????????? ?????????? ???????? ????? ?????????
?????? ???? ?????? ??

?????, ?????? ?????????? ??? ??????? ??????????, ???????? ?????? ???????? ?:

?? ????? ?? ???????? ??? ????? ????????? ????????????.

– ???? ? ???? ????????? 2pn, ??? ???? pn: ??? ????? ?????!

-??? ?? ????? ?????? ??????

?? ?????? ?? ????? ????. «???? ? ?? ?? ????? ????, ??? ????????»:

??? ??????? ??????????? ??????? ? ???? ?????? ???????????? ?, ?????? ??, ????? ????? «??????????» ?????? ????????? ????????????????? ??????????????.

????? ?????

?????? ????? ???????????? ??? ?????? ?? ??? ?????? ????? ??????????????? ?????? ??????, ??????????? ????????????? ??????????? ??????????, ??? ???????? ??????? ? (0; 0) ?????? ? ???????? 1 ?, ??????? ? ?????? ?????:???????????? ????? ????? ?????? ??? ? ?????? ??? ??? ?????? ??????. ????? ???? (??? 0), ????????? ??????? ????????? «??» ?????, ???????? ?????? ??????????? ?????????? ????? ???????????, ??? ????????? ???????????: ???????????? (??. 1): ???? ?????? ?????????? ??????? ? ?????? ?????:

????? ???????? ???????????????

• ????????????? ?????? ??? ??????? ? ?????? ????????? ?? ??????:
• ?????? ????????? ????????????? ?????? ??? ???????? ??? ?????? ????: ???? ?? ?????? ????????? ????????????? 2p ?, ????????? ??? ?????? ?????? ???????? ????? ??? ?????????????? ??????? ? ±2p ?????? ?????; ±4p; ±6p; …

???????????. ???????? ? ???? ?????? ????? ????? ??? ????? ? ???? ????? ?????.

??????? AC ????????? (??. 2): ???? ?? x_0-? A ???? ?????? ???? ?, ??? x_0±p ?????; x_0±3p; x_0±5p; ?? ????? ????? ?????? C ???? ?????????: ???? ??????? ??? ?????? ????, ?????, x_0+p, ? ??????????? C ???? ????? ????? ?????? ?????. x_C=x_0+p+2pk ,k? ?. ????? ???????, ?? A ? C ?????? ????? ?????? ? ???????? ??? ?????????? x_(A ; C)=x_0+pk ,k?Z (k = 0; ±2; ±4; ... ???? ??????? ??? ?????. A ????, ??? k = ±1, ±3, ±5, … ????? C ???? ????? ??):

???????????. ???????? AC ????????? A ??? C ??????? ???? ?????? ????, ???? ????? ??? ????? ??? ?????? ????? ?????:

• ????? ??????? ???? ??????? ?? ????????? ?????? ???, ????? ??????? ?? ????????? ??????? ????????:

????? ?????????? ????? AB (??. 2): ???? ?? A ? B ?????? ???????? ?? Ox ??????? ????????, ??? -x_0 ???? ??????? ? B ?????? ?, ????????, B ???? ????? ????? ?????? ?? x_B=-x_0+2pk ,k?Z ????????: A ? B ???????? ????? ????? ??? ??? ????????? x_(A ; B)=±x_0+2pk ,k?Z: ???????????? ???????? AB ?????????? ?????? A ??? B ??????? ???? ?????? ????? ????? ??? ????? ????? ????? ??? ????????? ????????? AD ??????????? ?????? ? ????? D ???? ????????? (??. 2): ???? ?? BD ????????? ?, ??? -x_0 ???? ????????? ? B ?????, ??? -x_0 + p-? D ???? ?????? ???? ? ?, ????????, ??? ???? ????? ????? ?????? ?? x_D=-x_0+p+2pk ????????: ,k?Z. A ? D ???????? ????? ?????? ? ???? ??? ????????? x_(A ; D)=(-1)^k?x_0+pk,k?Z: (k= 0; ±2; ±4; ... ????? ??????? ??? A ???? ?????????, ??? k = ±1; ±3; ±5; ... - D ???? ?????????):

???????????. ???????? AD ??????????? ?????? A ??? D ??????? ???? ?????? ????, ???? ????? ??? ????? ??? ?????? ????? ?????:

????? ????????? ??????? ???????? ?????

???????????? ????????? ????????????????? ?????????????? ??? ???? ???????? ?????? ? ????????? ??????? ?????? ??? (??. 3): ?????? ?? ??? ??????: ??????, ??????? ? ????? ?????? ???????? ???????? ?? 12 ??????? ??????? ???? ?? ?????????? ????????????? p ?, ??? A1A2 ????? ?????????????? p/2, A1B1 ????? ?????????????? p/6, ??? A1C1 ????? ?????????????? p/3?

???? ???? ????? ??? ???? ??? ??? ?????? ???.

p/3 ??? С1 ?

??????????? ?????????? ????????? ????????????? ??????? ???????? ??????????? ??, ????? A1D1 ????? ????????????? ??????? ? p/4-?, ???????? p/4-? D1 ???? ?????? ???? ?? ???????????? ?????? ????????? ???????????????, ???? ????? ??? ????????? ??????? ???? ????? ????? ??? ????????? ????? ????? ????????: ????? ????? ? ????? ??? ??? ?????? ????????????? (???? ??? ??? ??????? ????? ?????????? ???????????????):

????????? ???? ??????, ???? ???? ?????? ??????? ?????????????????? ?????? ?????? ???????? ????? (??? ??? ????????? ????? ?)????????? ??????????????.

?????? ?????????????

1)sinx=1/(2).

- ???? ? ??????? ??????????:

– ????? ????? ??? x ?????, ????? ??????? 1/2 ?.

????? ??????? ??????????. sinx - ?????? ????????? ??? ???? ????????, ??? ??? ??????? ? x ????. ???????? ??? ?????? ????? ???, ????? ???????? ??????? ? 1/2-?? ????? B1B2 ??????????? ?????? ??????? ??? ?? ????????? ?, ?? «?????? ??????????? sinx=1/2» ??????? ???????? ? «????? ????? ????? B1 ?????? ? ????? ????? B2 ??????» ????????:

2)sinx=-?3/2 .

???? ???? ? ?????? ????? ????? C4 ? C3 ????????:

3) sinx=1. ???????? ??? ???? ?????? ????? ??? ??? 1-?? ?????????` A2 ??? ?, ????????, ???? ? ????? ????? ??? ???? ????? ?????:

????????? x=p/2+2pk , k?Z :

4)sinx=-1 .

????? A_4 ???? ???? -1 ???????: ??? ???? ????? ????? ?????? ?????????? ?????:

????????? x=-p/2+2pk , k?Z :

5) sinx=0 .

???????? ??? ?????? 0 ????????? ????? ???? A1 ? A3 ?????: ???? ????? ?? ???? ????????????? ???? ????? ???????, ???? ????? ???????, ?? ??? ?????? ??????????? ??????? ??, ????? ??? ? ????? ???????? ??? ??????? ???? x=pk ,k?Z :

????????? x=pk ,k?Z .

6)cosx=?2/2 .

????? ????????? ??????????. cosx - ?????? ????????? ??? ???? ???????, ??? ??? ??????? ? x ????:???????? ??? ?????? ????? ??? ?????????? ?2/2? ??????????? ?????? D1D4 ???????? ??? ???????? ???? ???? ? ?????? ????? ?????: ??? ??? ?????? ?????? ?????????? ??? ??????? ????

????????? x=±p/4+2pk , k?Z .

7) cosx=-1/2 .

???? ???? ? ?????? C_2 ? C_3 ?????? ?????????:

????????? x=±2p/3+2pk , k?Z .

10) cosx=0 .

????? A2 ? A4 ?????? ????? ???????? 0, ???? ????????? ?, ?? ??? ??????? ?????????????? ????? ????? ?????? ?????????? ??????????:
.

????????? ?????????? ??????????? ?? B_3 ? B_4 ?????? ????? ???????????????? cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
????????? x=-5p/6+2pk , k?Z :

????? ???????, ?? x-? ???????? ??????????? ?????? ????? ??????? ??????? ?????? ? ?, ????????, ??????????? ???????? ? ??????????.

????????? ?????????? ??????????? ??? D_2 ? D_3 ?????? ??????? D_2 ???? ????? ??? ?????????? sinx<=0.5 ????????????????, ???? D_3 ???? ????? ?????????? ??:

blog.site, ?????? ?????????? ??? ??????? ??????????, ???????? ?????? ???????? ?:

????????????????? ?????????????? ????????? ????? ???: ?????????? ????? ???????? ???) ??????? ?????.

sin2x + cos3x = ctg5x

sin (5x+p /4) = ctg (2x-p /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

? ????...

???? ??? (? ????? ?????) ????????????????? ???????? ????? ????? ????????? ? ???????? ????????? ???????, ??? ??????, ?????????????? ??? ??? ????????????????? ???????????:) ???????. x-?? ????? ???????????????????. ??? ????? ?????????????? ?????????????:?? ????? ??????! ??? x ???-?? ??? ????????? ? ??????,??????, sin2x + 3x = 3,?? ????? ???? ???? ??????????: ???? ?????????????? ????????? ?? ????????? ????????: ?????? ???? ????? ???? ???????:

??? ????? ?? ??? ????????????? ???? ??????) ?????? ????????? ????????? ????????????????? ??????????????.??????? ???, ???? ?? ???????? ????????????????????????? ?????????????? ???????? ?? ????? ??????. ?????? ??????? ??? ??????????? ????????? ? ????? ?????? ??????????????? ???????? ???????? ???? ??? ????????? ??????????? ??????? ?: ????? ???????? ???:

????????, ??? ???? ???????? ????? ??????? ???????, ??? ?????? ????? ?????? ?? ????? ?????:)

????????? ?? ???????? ????????????????? ??????????????:

sinx = ?

cosx = ?

tgx = ?

ctgx = ?

?????? ? ????????? ? ???????? ???: ????????.

? ???, ?????????? ??????? ????? ? ????? ?? ?? ?????? x, ??? ???-?? ???????????????, ???????? ?.

cos(3x+p /3) = 1/2

? ????: ?? ?????????? ? ??????, ???? ?? ?????? ????????????????? ?????????? ??????? ?????? ???:

??????? ?????? ????????????????? ??????????????:

????????????????? ?????????????? ?????? ? ?????? ????? ????????. ?????? ?????????` ???????????? ???????????????? ? ????????????????? ??????: ???? ??????????????? ??? ????????? ??????: ??????? ?????????? ??????????? ? ????????? ????????????, ????????? ?????? ??????:

?????? ????????? ???? ?, ??????? ? ????? ? ???????:) ??? ??? ? ????????????????? ?????????????, ??????????????????? ? ????? ?????? ???? ?? ???????? ????????? ???????? ?????: ???????????????? ????? ????? ?, ??? ?????????????:

???? ??????? ??? ?????????????? ???????????? ????????????????? ??????

???? ???????? ??? ???????? ??????????????? ? ????????????????? ??????? ???????????? ????????????: ???? ?????? ??????????????... ??????????????????? ??? ??? ????? ????? ?????...) ???? ?? ????????????? ?????? ????? ??????? «????????????????? ????? ...... ??? ? ??»: ? «??????????? ??????? ????????????????? ????????? ???»? ?????? ???? ??? ???? ?. ? ????????????? ??????????...)

??, ??????! ?? ???????? ????????? ? «????????? ???????? ????????????????? ???????»!? ???????? ???????????????: ??? ????? ??? ??? ? ????????? ??????) ???????? ??????? ??? ?, ?? ????????????????? ??????? ?? ???????????, ?? ?? ??????????? ???????? ??????, ????????, ???????, ????????? - ??? ??? ???? ??? ?????? ?: ??????? ????????? ?????? ?.

????????, ???? ???????? ??? ???????? ???????? ????????????????? ??????????: ???? ??.

cosx = 0,5

?? ???? ? ????? X. ??????? ????????? ??????, ???? ???? ? ????? ???????? (x), ??? ????????? 0,5 ??

??????? ???? ????????? ??????????? ????????: ???? ?? ??????? ???????? ???????????? ??? ???????????: ?? ????????? ????? ??? ?????? ????????????????? ????????????: ???? ????? ????????? ???????? ??? ????? 0,5-? ??????? ???????? ? ????????? ???????? ???????. ????? ? ????? ???? ??????????) ???, ????

???? ????????? ??? ????? ? ????? ??? 0,5 ??????? ?????????? ????????? ??????? ???, ??????? ??? ????:

???? ????? ??? ????????, ??? ??? ????? ? ??? ?????????: ???????? ??? ?????? ????? ??? (??? ???? ????? ???????? ???) ? ????????? ????? ???????? X.

??? ???????? ???? 0,5 ????????:

x \u003d p / 3

cos 60°= cos( p /3) = 0,5

????? ????????????? ???????, ???... ????? ??? ?????? ???????? ??????????, ??? ???? ??? ???? ?, ??????... ?????? ?, ??????, ??????...) ???? ????? ??? ?, ?? ?? ???? ?? ??????????. ????? ????? ?? ???????? ???????? ????????? ????????? ??, ?? ????? ??? ??????????? ?? ?????? ?????, ????? ???????? ????? ?? 0,5-? ??????? ?????????

??? ???? ????? ???????? ????? OA ?????????? ????????? ?????, A ???? ?????????? ?? ????????? ??????? ????? ??????????, ??? ??????? ? 0,5-?: ?????. ???????? ?????? 360° ??? 2p ?????????, ? ????????? ??: 60° + 360° = 420° ??? ???????? ???????? ????? ??? ?????????? ????????, ???? ??.

???? ???? ?????????? ???????? ???? ???... ?? ??? ????? ??? ??????????? ?????? ??? ????????????????? ?????????? ??????????? ?? ????? ?????? ???? ? ???-?? ???? ?????: ??????.??????? ??????? ???????? ?? ??????????, ???...)

??????????? ????? ? ?? ???? ???? ? ???????: ??? ???? ??????????? ???? ???????? ???????????????????? ??? ?? ??? ???? ???? ??? ?????????? ?????.

x = p /3 + 2p n, n ? Z

?? ?????????. ??? ???? ?????????????? ??? ?, ??? ????????? ???-?? ???????????? ????? ???????, ?????? ???:)

p /3 ????? ???????? ?, ??? ???? ??????????? ??? ? ?????????????? ???????????? ?????????.

2? ??? ???? ?????? ? ???????????:

n - ?? ?????????????? ???? ?, ???????. ???????????????????????? ????????? ?, ?? n ????? ? ????? 0, ±1, ±2, ±3.... ? ????: ?????? ????? ? ???? ????????.

n ? ?

n ????????? ? ( ? ) ?????? ????? ??????????? ( ? ) ? ???, ?????? ??????? n ?????? ????? ?? ??????????? k, m, t ? ????:

??? ?????? ????????? ?, ?? ???? ????? ?? ??????? ???????? ?????? ??? n . ??????? -3, ??????? 0, ??????? +55: ??? ?? ??? ??????. ??? ??? ???? ??????? ??? ??????????, ??????? ??????? ???????, ???, ????????, ????? ??? ???? ?????????? ????????:)

???, ??? ???? ????, x \u003d p / 3 ???????? ?????????? ???? ?????? ?? ?????? ????? ????????? ???????? ????? ??????? ? ???????? ?????? ?????????? ????????? ????????? p / 3-?? ( n ) ???????????? ?????. 2pn ??????.

???? ???? ?? ?? ?????? ????? ?? ????????: ????? ??? ??????? ??????) ???? ??????? ??? ?????????? ???????????? ????? ?? ????? ??????? ??? ?????? ???? ????? ??????? ????.

x 1 = p /3 + 2p n, n ? Z

x 1 - ?? ?? ?????, ?? ????????? ?? ?????? ???? ?? ????? ???? ?????

???? ??? ??? ??????????, ????? ???????? ????? ?? ????????, ??? ??????? ? 0,5-?:

??????????? ??? ??????, ??? ???? ???? ??? ?????????? ??? ??.

????????? ?????? ??????? ?????? ? ????????? ??? ???????, ?? ????? ? ??? ???????? 0,5????? ?? ???????, ?? ?????? ? ???????: ????????????? ?????? ??... ????? ??? ??????? ? ????????? X , ????? ????? ? ????????? ???????????? ?? ???????? ? -X. ???? ???? ????? ????????? ??? x. p /3 ??? 60°. ????????, ???? ????? ??? ?????? ????.

x 2 \u003d - p / 3

??, ??????, ???? ?????????? ??? ????? ???????????, ????? ???????? ?? ?????????? ??????????? ???????.

x 2 = - p /3 + 2p n, n ? Z

???? ??????? ??) ????????????????? ??????????? ???? ?????(?? ?????? ????????? ?)) ????????????????, ????? ????? ?? 0,5 ??????? ????????: ?? ????? ?????? ??? ??????????? ???? ????????????? ????: ????????? ????? ???????? ???? ???????? ?.

x 1 = p /3 + 2p n, n ? Z

x 2 = - p /3 + 2p n, n ? Z

?? ???? ????????? ??

?????, ????????????????? ?????????????? ??????? ????????? ????????????????? ?????????? ????????? ?. ????? ???????????? ????????? ??? ????? ??? ????????? (??????, ???????, ?????????), ????? ??? ???????????? ??????????? ? ????? ????????????????, ???? ? ??????, ?? ??????? ?????????? ??? ???? ?????????????? ???? ?????? ?? ?????? ?? ??????? ??: ??, ?????? ?????, ?????? ??????????????? ? ???????????)

??????, ???? ?????????? ??? ??? ????????????????? ??????????.

??????? ?? ????? ???????, ?? 0,5 ???? ???? ???????? ???? ?? ?????????????? ????) ??????? ??? ????? ????? ?????? ? ???? ???, ??? ????????? ?? ????????????

???? ???????? ??? ????????? ??????????. ???? ????????? ??? ???????, ????? ??? (?????? ??????? ??????? ???) 0,5: ???? ????????? ????? ??? ??? ???????? ???????????? ????? ???????????? ???? ??????? ??? ??? ?????.

???? ??? ???????? ?????????: X ?????? ???????????? ???? ?????? ??? ?????????? ????????? ? ??????? ??? ?????? ??????: ????? ???? ?.

x \u003d p / 6

???? ?????? ??? ?????? ??????????? ? ?????? ????? ????? ???????????? ?????? ?????.

x 1 = p /6 + 2p n, n ? Z

????? ???? ????? ?? ???? ???? ???? ? ????????? ??????? ???????...?? ????? ???? ?, ??? ??????????????, ???... ???? ???????????????? ??? ?????: ?????? ?????? ??????? ???????? x-? ??????? ??? ????! ??????? ????????? ????????????? ?????? ??, ??? ?????? ???????? X ??????? ? ?????? X . ????? ??? ???????? ? p ?????? ??? ????????? ???????????? ??? ????? ?? ?????? ?:) ??? ????????? ????? ??? ????????? ? OX ?????? ???????????? ???? ?????? ???????, ???????. 0 ???????? ?????? ???:

???????? ???????? ????? ??? ? ????? ???? ???: ?????? ???????? ??????, ??????? ????? ??????????? ??? ?????????? ???????? (??????? ???????) ??????? ?????.

p - x

x ???? ?? ?????? p /6 . ????????, ??????? ???????? ?????.

p - p /6 = 5p /6

????? ?????? ??? ?????????? ?????????????????? ?????????? ? ??? ?????? ???????????? ??????? ?????.

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ? Z

???????: ?????????? ????????? ???????? ? ????? ???? ??????????.

x 1 = p /6 + 2p n, n ? Z

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ? Z

??????? ? ??????????? ?????????????? ?????? ? ??????????? ??????? ???????????? ????????????????? ?????????????? ??????? ????? ????????? ?????????: ???, ??????, ??????, ?? ?????? ???? ???????? ?? ?????????? ????????????????? ????????? ???:

????????? ???????????? ?? ?????????? ?? ??????? ? ????????? ???????????? ??????? 0,5: ?????. ??? ?????????? ????, ??? ???????? ???? ???? ?.???? ???? ?????????? ??? ??????????????????? ????? ?????? ????? ?????????:??????, ?????? ???????)

????????, ?????????, ?? ???? ???? ? ??????? ??????? ????????????????? ???????????.

???? ?????????????? ????????? ???? ?????? ???? ???? ???????????? ???????? ??? ??? ????????? ?????? ????????? ??? ?????, ????????? ??????? ??? ????? ??? 2/3-? ? ????? ???????????? ???????????? ???? ??????? ??? ??? ?????.

???? ????????? ???, ? ???????, ?????? ????????? ?????????: ???????? ?????, ?? ????? ? ??????? x-?, ????? ????????? ?????? ?????????? ???????... ???????????????? ???????. ??????????? ??????????? ??? ?? ??????? ?? ????????: ?? ??? ????? ????? ??????? ???????? ???????????: ??????? ?????. ??????: ?? ??? ????? ???? ?, ??? ??????? ??: ??? ??? ??????? «???????? ????????????????? ????????????» ????? ?? ?? ????? ?????????????? ???... ??? ???????? ??????? ??

??? ???? ?????? ??, ???????? ???? ??????? ???. «X-? ??????? ?, ??? ????????? 2/3 ?»: ?? ?????????, ???? ????????? ??????????, ???? ????? ??? ????.

???? ?????? ??? ????????? ?????????????????? ????? ? ??????? ????? ??? ????????????????? ?????????? ????????? ?????? ?????.

x 1 = arccos 2/3 + 2p n, n ? Z

????????? ??????? ????? ???????? ?????? ? ????? ????????????? ??????? ?????? ?????? ???? ??? ?????? ?, ????? x (arccos 2/3) ????? ????????.

x 2 = - arccos 2/3 + 2p n, n ? Z

?? ????? ??????: ?? ???? ????????? ?? ???????? ????? ????, ??? ???????????? ??????????: ???? ?? ???? ??? ??????) ? ???, ???????????????? ???????, ?? ??? ????? ??????? ? ????? ????????? ?????? ??? ??????? ?? ?????????? cosx = 0.5 ?????????? ??????:

????! ????????? ????????? ??? ??? ? ?????????! ?? ?????? ??????? ????? ????? ????????? ???????: ???????? ??? ????? ? ????? ???????? X ?? ??????????? ?? ???????????? ???????? ?, ?? ??? ?????????? ?????? ???????? ??????? ? ??, p / 3, ??? ??????? ???????? ???????? ???? ? ???????:

???????? ????? ????. ??????:

????? ????????? ??? ?????, ????? ??? 1/3-? ???????, ??????? ??? ???????????? ???????? ? ??? ?????.

?? ????? ??????? ????? ?????? ?, ??? ?????????? ??????? sinx = 0,5:?????? ????????? ????? ?????? ??? ?????????????? ????? ? ??????? x-?, ??? ??? ??????? 1/3 ?: ?? ?? ?????!

????????, ????????? ?????? ?????? ??????? ?.

x 1 = arcsin 1/3 + 2p n, n ? Z

???? ?????? ??????? ?????????: 0,5 ????????? ????? ??????? ????????? ??? ??????? ??.

p - x

????????, ?????? ?? ????? ???? ??????: ????? x-? ? ??????, arcsin 1/3: ?? ???!? ???? ????? ?? ?????? ?????? ???? ????????? ??????? ??????.

x 2 = p - arcsin 1/3 + 2p n, n ? Z

?? ?????? ???? ???????? ?? ?????? ?? ?????? ?? ????? ?? ?????: ???? ?? ????????? ?, ?????? ??:)

?????? ?? ???????? ????????????????? ?????????????? ????????? ???????? ??? ????????? ???? ? ? ?????????? ?? ?, ?? ??????? ? ????????????????? ?????????????? ???? ????? ??????????? ????????? ???????????, ????????????????? ??????????????????????. ????? ??????????? ???????? ?? ????? ???? ????????? ???? ?? ??????, ???????? ?????????????, ????? ?? ???? ????? ???? ??, ??? ????????????:

???????? ????? ????????:

?????? ????????????????? ?????????????.

??????? ?? ????? ???? ?, ??????????? ??? ???? ???:

???? ????? ????? ??

???????. ?????? ???? ???? ? ?????? ???????? ?????: ??????:)

??? ???? ????????? ?? ????????... ????? ??????? ?? ??? ?????? ???????

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

???????. ?????? ???? ???? ? ???????? ??? ??????, ?? ????? ??? ???????????? ????? ????, ? ????? ?? ???? ... ?? ?????? ???? ????? ???????????? ????? ????? ???????: ???, ??????, ?? ???????? ???? ?? ?? ????? ??????:)

??, ????????? ????):

sinx = 0,3

cosx = p

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

???????. ?????? ???? ???? ? ??????, ?? ??? ? ???????, ?????????: ???? ? ???????? ????????, ???????? ????????: ????????? ?????????????. ???? ??? ???????? ?? ????? ???????????? ????????:)

????????????, ??????, ??????????? ??).

x 1= arcsin0,3 + 2pn, n ? Z
x 2= p - arcsin0.3 + 2

???? ??? ?? ????????? ???????? ?. ????? ???????? ????: ????? ???????(??????? ?????? ??? ??...) ?? ?????? ??????????? ???????? ????????? ???????? ????? ??? ????? ??? ??????????????????? ???? ?????? ?????? ????????? ?????? ?????: ?????? ?? ???????? ?:)

??? ??? ???? ? ????? ??? ?????...

? ???, ?? ??? ????? ?? ?? ???? ????????? ???? ??????)

???? ????? ?? ??????? ????????? ???????? ? ?????? ??? ?????????: ?????????? ??????????? ?????????: ???????? - ???????????????!)

????? ?? ????????? ????????????? ? ??????????????

??? ?????????????? ?????? ? ??? ?????: ??? ??? ???????? ???? ?????? ??? ???????????? ????????????????, ??? ?????????? ?, ?? ?????? ??? ???? ??????????? ? ????????? ??? ?????????: ??????? ??? ?????? ??? ???????????? ????????????????? ? ??? ?????? ?????, ?????????? ???:

???????? ?????????????? ??????????? ? ???????????

???????? ???????????????? ?????????? ? ??? ??????????, ????? ????? ?? ??????????? ??????? ???? ?????????????? ??? ??? ??? ??? ?????????? ?????:

??????? ????? ? ????????? ????????? ??? ???????? ????????? ???????? ???????, ??? ???? ?????? ??? ???:

????? ?????? ?? ???????? ?????????????? ????????? ?? ???? ?????????, ????? ???? ????? ??? ??????? ? ?????? ????? ??? ?????????? ??????? ????????????????:

??? ???????? ???????? ??? ???? ????????.

• ??? ???? ?????? ?? ???????????? ???????, ???? ????? ??? ??????? ?????? ???????????????, ???????? ??? ??????, ??????????????, ??.????? ?????? ? ????:

?????? ??? ???? ??????????? ??? ???????? ?????????.

• ??? ??????? ???????? ????????? ????? ?? ????? ?????? ??? ??? ? ?????????? ??? ????? ???????????, ???????????????? ? ??? ?????????????????? ? ????? ?????????????????? ?????:
• ??????? ?? ??????? ???? ????? ??? ?????????? ??? ???????? ?????????? ??? ?????? ???????????? ? ??????????????????? ?????????? ?????:
• ???? ????? ??? ??? ?????????? ???????? ???????????????? ?????? ?????????? ?????, ???????? ?? ???????, ????????? ????????????? ? ?????? ?????????????????? ??????????? ??? ?????? ????????? ???????????????? ??????????? ? ??? ??? ???????????????? ?????????? ????????????????? ??????????? ?????:
• ??? ???? ?????????? ?? ??????????? ????????????, ???????? ??? ???????? ???????????, ???? ????? ??? ?????????? ??? ????????? ???????????????? ???? ???????? ??????????? ?????:

??????????? ?????? ????????

???? ??????? ??????? ???????????????? ?????? ???????? ???? ???????????:

???????????????.

• ??? ???????, ??? ?? ????????? ?, ??????? ????????????, ??????? ??????, ??????? ?????????? ? (???) ?????????? ?????????? ????????? ??????? ?????????? ???????? ??????????? ??? ??????????? ????? ???, ?????????? ??? ???????? ?????????: ???? ????? ??? ??? ?????????? ??? ????? ????????????????, ??? ???? ???????, ?? ???? ???????????? ????????? ? ??? ????? ? ?????????????, ?????? ???????? ??? ???????? ???? ??? ?????????????? ???????:
• ????????????????, ?????????? ??? ??????? ??????? ???? ????? ??? ???????? ??? ??????? ???????? ????????? ???????????? ?????? ????? ?????????????:

???????? ?????????????? ??????????????

???? ????????????? ???????? ??? ??????????, ???????? ????????, ?????????? ? ?????????, ??????????? ??? ???????? ????????? ???????, ???????????? ? ????????????, ?????? ??? ????????? ???????, ?????????????, ?????????????? ? ???????????:

???????? ??? ?????????????? ??????????? ??????????

?????????? ?????, ?? ??? ???????? ????????? ??????? ??, ???? ???????????? ? ????????????? ???????????? ????????? ??? ??? ?????????????? ? ??????? ???????? ??? ???????????? ?????????:

????????? ????????????????? ?????????????? ????????? ???????? ?? ??????????? ????????, ?? ??????? ????????????????? ?????????????? ??????? ?? ?????????.

sinx = ?

cosx = ?

tgx = ?

ctgx = ?

x-? ???????? ???????? ?,
a-? ???????? ??? ?:

?? ??? ??? ?????????, ??????? ????? ?? ????????? ???? ??? ????????? ?????????????? ????????????

??????? ?????.

????????? ?????.

x = ± arccos a + 2p n, n ? Z

???????? ?????.

x = arctg a + p n, n ? Z

?????????? ?????.

x = arcctg a + p n, n ? Z

????????? ?? ????????? ????????????????? ?????????????? ??????? ??????? ???? ?? ??, ???????!) ??????????? ?????: ??????????????, ??? ?????? ?????????? ???????? ???? ???????? ??????? ?: ???????? ??????? ?? ???? ???????? ?????????? ???????

???, ???? ?? ??? ?????? ????? ?? ??? ??????, ??????????? ??????????? ????? ???????????????????? ?? ????? ?, ????? ??????, ?? ?????? ? ???-?? ??? ???????? ...) ?? ???? ? ??????????: ????????????????????? ???????? ?????, ??? ?????? ??????????????????? ?????, ? ?????:)

???? ???????.

??? ???????? ??????? ????? arccos a, ????????: -arccos a.

?? ?????? ???? ????????????????? ????? ?.

??? ??? ???????? ???, ?????? ???? ????? ??? ??? ???? ???????? ???????) ?? ????? ?? ??????? ? ???? ??????????: ?????, ??????? ??? ??????? arccos a, ????????: -arccos a.

????????, ????????? ???? ?????? ? ???? ????? ????????? ????? ????.

x 1 = arccos a + 2p n, n ? Z

x 2 = - arccos a + 2p n, n ? Z

???? ????????? ??? ??? ????? ??????? ???? ???.

x= ± arccos a + 2p n, n ? Z

?? ????? ??????: ???? ?????? ??? ????????? ????????????????? ??????????? ?????????? ???????? ????????? ???????

??? ????????? ??, ?? ?? ???-?? ?????????? ???????????? ??, ??? ???????? ????? ???? ???????????? ????? ???????,???? ? «C» ?????????????? ?????? ???? ???: ?????????????????, ????? ?????????? ????????? ???????????... ?????? ????????/?????? ????????? ?? ????????: ??? ??? ?????????? ????????? ?????????? ? ??? ??????? ????? ??????? ????????????, ??? ???? ??? ??????? ??) ?????????, ???? ?? ????????? ???? ???, ?????? ? ?????:

????????? ????????????????? ?????????? ???

sinx = ?

?????? ??? ????? ???? ????????. ???? ?. ?? ??? ????? ????????? ???????? ?????? ? ????????? ??? ???. ????? ??? ???? ????? ????? ??????.

x = (-1) n arcsin a + p n, n ? Z

???? ????????? ????? ? ??????. ??????????????? ???????? ?????????? ?? ??????? ????????? ????? ????? ??????????? ??????? ???? ???????? ?????: ?? ?????

???? ???????? ????????????????. ?? ?? ??????? ??...)

?????? ????? ????????? ?????????? ? ???????? ????????????????? ?????????? ???????? (????? ???? ???????).

????????? ???????, ?? ????? ???? ???????? ??.

x 1 = p /6 + 2p n, n ? Z

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ? Z

??? ????? ??????????? ??????? ????????, ??? ???????? ?????????.

x = (-1) n arcsin 0,5 + p n, n ? Z

????????, ?? ????? ???????? ??) ???????? ???? ? ????? ?? arcsin 0.5 = p /6.?????????? ????????? ?????.

x = (-1) n p /6+ pn, n ? Z

?????? ?? ????????? ???? ? ?????????. ?????????? ??????? x 1; x 2 (?? ???? ????????? ?) ? ??????????? ??????? X (? ?? ???? ????????? ?) - ????? ????, ?? ??: ???? ???? ???????:)

????????? ? ???????? x 1 ???????? n =0; ???; 2; ? ????, ???? ???????? ???, ??????? ??? ?? ???? ????????.

x 1 \u003d p / 6; 13p/6; 25p/6 ?? ?????

? ???????? ????? ??????????? x 2 , ??????? ???.

x 2 \u003d 5p / 6; 17p/6; 29p/6 ?? ?????

?? ???? ???? ?????????? ??? ????????? n (0; 1; 2; 3; 4...) ??????????? ????????? ??????? ??? X . ???????? ?????? ???? ??????????? ??? ???????? ??????????, ????? ??????, ??????? ? ????? ??, ??????, ???? ?????????? ??? 0-? ??????? ????????? ???. ???; 2 3; 4 ? ????: ?? ???? ??????? ???. ???? ??????? ??? ?? ????.

x = p/6; 5p/6; 13p/6; 17p/6; 25p/6 ?? ?????

?? ??? ????? ?, ??? ???? ????? ?? ??????:) ????????? ??????? ????? ? ??? ???? ????? ????????????????? ????? ???????????? ?? ???????? ?????????? ???????????????? ??????????????? ??? ??????)

?????? ? ??????? ??? ??????? ? ??????????? ????????????????? ?????????????? ??????? ?????????? ???? ??? ???????) ????? ?????? ????????? ???

??? ?????? ??????????? ?? ????????? ??????? ?? ??????? ?????? ?????? ? ???????? ?? ???? ???. ??? ???????? ????????????????? ????????????? ???????? ????????. ???????? ???????????? ????????:??? ?????? ??????? ????? ?? ???? ? ????????? ????????/?????? ????????? ????????? ??? ? (-1) n-? ??????? ????????? ???:

??? ?????????? ?? ?? ???? ??? ????????? ???????????????, ????? ???????? ????????? ? ???? ???????? ?????????? ?????????: ???? ??? ??? ????????? ? ?????? ?????????????????, ??? ???? ???? ? ???-?? ??? ???? ????????? ???? ?????? ???????? ???????????, ??????? ODZ-? ????????????? ? ????, ??? ??? ?????????? ????? ?? ??????????? ????????????? ???????:

??? ???? ????? ???, ???? ????????? ??????? ????? ??????, ???? ??????? ???????????/????????????????? ????????????????? ???????? ???? ??? ?????????? ?????????? ??, ? ?????? ??????? ? ????? ????:)

???? ????? ?? ???????.

????????? ????????????????? ?????????????? ???????? ????? ??? ???????????? ???????? ????????? ???? ????. ????? ??? ?? ?????????? ???????? ??????????? ?????? ?????: ??????, ???? ???? ? ?????? ??????????????.

sinx = 0.3

???????????: x = (-1) n arcsin 0,3 + p n, n ? Z

cosx = 0.2

?? ?? ?????: x = ± arccos 0.2 + 2p n, n ? Z

tgx = 1.2

???????????: x = arctg 1,2 + pn, n ? Z

ctgx = 3.7

?????? ? ????. x= arcctg3,7 + pn, n ? Z

cos x = 1.8

??? ????, ???????? ?????????, ????????? ???? ?????????.

x= ± arccos 1.8 + 2p n, n ? Z

??? ??? ????? ??????? ??, ?? ... ??? ... ????????:) ???? ????????? ?. ?????????? ????. ???? ?????????, ?? ?????: ????????, ?? ??? ? ?????????. ???? ???, ??? ????????? ?????????? ?? ??????? ??? ???????, ?????????, ????????, ?????????? ???????????? ????????, - 1; 0; ?3; 1/2; ?3/2 ? ????: - ????????? ????????? ????? ??????? ?????: ????????? ???? ? ???????? ???????:

??? ??? ????? ???????? ?? ???????????????, ???????

??? ????????? ?.

x pn, n ? Z

?????????? ?????????????? ??, ??? ...) ?????? ????????? ? ?????? ????????????????? ????????: ??? ??? ?????? ???????????? ?????????

????? ?????, ????? ????????? ??????? ?? ????? ??? ??????? ?? ???????? ??? ????? ????????? ??? ????????? ???????: ??? ?????? ???)

??????:

????????? ???????? ??????????? ???????? ?????? ???????? ????????? ??????????? ????? ???????? ??, ?? ????? pn, ?? ????? 2pn. ??? ??? ????? ???? ?????. ??? ??????????????? pn. ???????????? ???????? ?????????? ???? ???????. ??? ??????? ? ?????? 2pn. ?????????. ???????? - ?????.????? ????????? ?????????? ?? ???????????? ?????????. ???????? ? ??????. ??????, ?? ?????? - ?????.

????????, ??? ???? ???? ?? ????????? ????? ????????? ?????, ????? ???? ? ?????, ?? ??? ????? ??????? ?????????. ?? ???????? ???? ? ????????. ??? ????? ????????? ????? ± , ????? ????? ????, ???? ???? ????? pien, ???, ? ????? ???: ???-?? ????? ???? ?????????! ????? ?????????? ??????, ???? ?????? ?????? ??? ????.)

??? ??? ???? ? ????? ??? ?????...

? ???, ?? ??? ????? ?? ?? ???? ????????? ???? ??????)

???? ????? ?? ??????? ????????? ???????? ? ?????? ??? ?????????: ?????????? ??????????? ?????????: ???????? - ???????????????!)

????? ?? ????????? ????????????? ? ??????????????