?????????? ?????????? ???????? ??????????? ?????????. ?????????? ?????????? ???????
???? ? ??????? ?????????:
??? ???????? ????? ? ????? ????? ???????? ?? ???????» n" .
??????, ???? ???? ? ?????? ?????? ??????? ? 1? ?????????? ?????????????? ???, ????? ??? ???????????, ???? ??? ????? ???? ??????? ?????????:
??????? ?? ????? ???? (??? ?????) ??? ???????? ???? ? ????????? ??? ????????? ?? ???????? ??????? ?????? ????????? ???. ???, ? ?? ??????? ???? ?????????, ??? ...) ?????? ????????- ?? ??????. ???? ?????? ???????????????????? ??????? ?? ??? ??????? ????: ????? ?????, ????? ?????????? ?? ????? ????? ?????)
????????, ???????????? ?????????? ??????????? n-?? ?????? ?????????
???? ? ????????? ??????? - ???? ???????????? ???:) ??? ? ?????????? ??????????, ?????? ????, ?????????? ?????????????? - ????? ????? ? ?????? ??????: ?????, ??? ??? ????????: ?????? ???? ??? ???? ?. ????? ? ??????, ?? ??? n-?? ?????.
????????? ?????? ?????????? ?????? ? ???? ????? ????? ????.
? 1, ? 2, ? 3, ? 4, ? 5, .....
? 1- ????????? ? ?????????? ?????????? ?????? ??????, ? 3- ?????? ????? ? 4- ??????? ? ????: ??? ??? ??????????? ? ????????? ???????, ?????? ???????? ??? ? 5, ??? ??????? ????????? - ?? ? 120.
?????? ???????? ??????????? ?????????????????? ??????????? ?????, ? ???????????? ??? ????! ??? ????:
a n
??? ?? ??? ? ?? ?????????? ?????????? n-?? ??????: n ???? ??? ??????? ?? ????????? ????? ?????? 1, 2, 3, 4 ? ?????
??? ???? ? ????? ??? ???? ????????? ???????? ??????, ??? ??????? ????? ????? ?? ???? ...
??? ?????? ??? ???? ?????? ? ????? ?????????? ????????????? ??? ????????? ?????: ???????????? ?????? a n, ???? ????? ??? ???? ????? ????????????? ?????????????????? ?????????. ?? ??????????? ???????? ?? ???? ?????????????: ???? ??????? ??????:
?????????? ?????????? n-?? ?????? ?????????.
a n = a 1 + (n-1)d |
? 1- ?????????? ?????????? ?????? ??????.
n- ?????? ??????.
??????? ?????? ? ???????? ?????????? ???????? ???????????. a n; ? 1; ?? n. ??? ??????????? ????? ????? ???????????? ??????? ?? ???????????:
n-?? ??????? ??????? ????? ? ??????????? ??? ??????? ????????? ?????? ?????: ??????, ????? ??? ?????? ? ????, ?? ?????????? ?????? ? ????????.
a n = 5 + (n-1) 2.
???? ?????? ????? ? ???????? ?????? ... ??? ?? ?? ????, ?? ?? ????????????? ... ????, ??????????? ??????? ??????? ???, ???? ? ??????, ?? ??? ????????????. a 1 \u003d 5 ? d \u003d 2.
?? ?? ????? ? ????? ????????:) ??? ???????? ????? ???????. a n = 5 + (n-1) 2,??? ????????? ????? ?? ???? ????????? ???? ??????? ??? ??? ??????.
an = 3 + 2n.
??? ????? ?? ?? ?????????, ??? ??????? ?????????? ?????? ??? ?? ????? ? ????????: ????? ??????? ??, ?? ?????? ??????? ????? ?: ?????? ????????? ?????? ?????? ????? ?... ?? ???? ????? ???? ???? ????????? ???? ???????? ??????????
?????????? ???????????????? ?? ?? ??? ?????. a n+1. ??, ???? ????????, ?????????? «n ???????? ??????» ??????? ?: ??? ?????? ???? ? ? ???????) ?? ??????????? ????? ?, ??? ???? ????? ??? ? n ????? ??????, ??? ???-?? ????? ??????? ???? ????????? ??? a n????????? ???????, ?????? a n+1????? ???????? ??????? ? ????:
?????? ????? ?????????? a n+1???? ? ???????? ????????? ???????????: ?? ??????? ??? ????????? ??????) ?? ???????? ?????????? ?????????? ??????? ???????????? ????? ?? ??????? ???????:?????????, ?? ??? ????? ? ?????????? ????????? ??? ????? ???????????? ??????? ???????.
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
????????? ??????? ?????, ??????????? ????????? ? ????: ?? ?????? ????????? ??????, ????? ????????? ???????, ? 20? ???? ?? ?? ????) ??? 19-?? ??????? ?????? ??, 20-? ?? ?????? ??????? ?? ????????? ???????? ?? n-?? ?????? ???????? ???????? ?????????????? ?? ?????????? ???????? ? ????? ??????? ????????????, ??? n-?? ?????? ????????? ????? ???????? ????? ? ????? ????????????? ???? ????? ?? ???????: ????????? ????? ?????? ????? ????????????????
?????????? ?????????? ??????? ????????? ??????? ??????????? ????? ? ???????? ????????? ???????: ??????? ?? ????? ?????????? ?????, ??????? ?????????????? ?,??????????????? ??????? ????? ?????? ??????? ? 1, ??????? ???? ????????? ???? ? ??????? ??? ???? GIA-??? ???? ????????????? ????? ?? ?????????.
?????????? ??????????? n-?? ?????? ??????? ????????.
???, ???? ?????? ??????? ??????? ?????????: ?????? ???? ??????? ????? ???.
?????? ? ?????????? ????????? (a n): ????? 121 ????, ??? a 1 =3 ? d=1/6:
??? ?????? ?????? ? ?????? ????? ???? ???????, ???????? ?????????? ?????????? ?????? ????? ???? ?????????, ??? ????????? ... ??? ??? ????? ???:)
??? ???????? ???????? ???????? ????? ??? ?????? ?? ???? ????? ?? ??????????????) ???? ??????? ????
?????????? ????????? ?? ??????? ??????????? ????? ?????????. a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6:????? ? ??????, ?? ??? n.?? ?? ?????! ???? ???? ? ?????? ? 121. ?????? ???? ????? ???.
??????? ?? ????????????? ???????. ????????? ??????? n???????? ??????? ???? 121? ???? ?????????? ???????????? ??) ??? ??????????? ? ?????????? ??????????? ??????? ??? ??????? ???????.?? ????? ???? n.?? ? ?????? n= 121 ???? ??????????? ??????? ???? ???????????: ????????? ??????? ????? ????? ? ?????????.
? 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
?? ??? ????? ?, ??? ?? ??? ?????: ???????? ???? ?????? ?? ????? ???? ??????? ????????? ??????, ??? ????? ???????? ????????: ???? ??? ??????? ??????? n??????? ???? ???? ????????? » ?"? ???????????, ? ???? ???????? ???.
???????? ?????????? ??? ???????? ????? ? ????? ????? ?????????????????? ?????????? ?????? ?? ???????» n" .
???? ????? ?????? ??????? ??????? ?????????, ???? ?????? ??????? ??????.
????? ?????????? ??????????? ?????? ?????? (a n), ??? a 17 =-2; ?=-0,5.
??? ???? ???????????? ?????, ?? ?????????? ?????? ?????? ????? ?????????? ?????????? n-?? ?????? ??????????? ???. ???? ??????, ???? ??? ???????????.
a n = a 1 + (n-1)d |
?? ????, ??????? ??????? ???????, ????????? ???, ?? ??? ???????? ?????? ? ????? ? ????????? ???????? ? d=-0.5,?? ???????????? ????? ... ???? ???? ??? ??????? ??, ?? ??????? ?, ??? ???? ??? ????? ?????? ??????, ??? ...
???? ?? ?????? ??? n! ???????? ? 17 =-2??????? ????? ????????.?? ?? ???????????? ?????? (-2) ?????? ?, ?? ??? ?????? (17): ?????. n=17.??? «?????» ????? ?????? ? ???? ??????, ? ????? ??? (????? «???????», ?? ?? ????) ?????? ???????? ?? ??????? ?????? ... ? ????? ???? ???)
???? ???? ????? ??? ???????? ????????? ????????? ??? ????????? ????????.
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)
??, ???, ? 17???? ??????, ?? ?? -2 ?: ???, ???? ????????? ???.
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)
??, ??? ???????, ?????? ?? ????? ? ???????? ?????????? ?????????? ?????????? ?????? ?????? ? ?????????? ???? ??????? ?? ?????????. ? 1 = 6.
???? ????????? ?????? ????? ? ???????? ?????? ????????? ??????????, ??? ? ?????? ???? ????????????????: ??, ????, ??????, ???? ? ????????? ?????????? ????????? ????????, ???? ???? ????: ????? ??? ?????????, ??????????? ??????????? ?? ????? ?????????????? ...
??? ??? ?????????? ?????.
????? ?????????? ??????????? ?????????????? (a n), ??? a 1 =2; ? 15 = 12.
??? ??? ???? ?????? ???? ?????????, ???? ????? ??? ????????!)
a n = a 1 + (n-1)d |
?????? ???, ??? ???? ??????. ? 1 = 2; ? 15 = 12; ? (?????? ?????????????!) n=15. ???????? ????????? ????????.
12=2 + (15-1)?
???? ???????? ??????????????:)
12=2 + 14?
?=10/14 = 5/7
?? ???? ????????? ??
????????, ????????????? a n, a 1? ???????. ????? ? ???????, ?? ?????? ????? ??????.
99 ???? ?????????? ??????????? ????? ? (a n), ????? a 1 =12; d=3. ???? ??? ?????? ??????:
?????? ?????????????? ?????????? ??? n-?? ?????? ????????.
a n = 12 + (n-1) 3
?????? ???????? ?????? ????? ?????? ???????????? ??. a n ? n.???? a n???? ?????????? ???-?? ????? ? n... ?? ?????????? ??? ?????? ???? ??????: 99-? ?? ???? ??????? ??? ??????? n,????? ??? ???? ???????? ???? ? ?????: ????????? ?????????? ??????? 99 ????????.
99 = 12 + (n-1) 3
???? ??????????? ??? ???????? n, ???? ??????? ???. ???? ??????? ??? ?????????. n=30.
?? ???? ????? ????? ???????, ???? ????? ???????):
??????, ?? ?????? 117 ???? ????? ?????????? ?????????? ????? (a n).
-3,6; -2,4; -1,2 ...
???? ????? ????? ????????. ????, ??????????? ?????? ??... ?????? ?????? ?? ?????) ???????? ??? ??????????? ?????? ???????? ???? ??????? ???. ?? -3,6 ?: ???? ????? ?? ?????? ????. a 1 \u003d -3.6.????????????? ???????? ? ?????? ??????? ???? ?, ??? ?????, ?? ??? ? ?????????? ?????????? ??????????????.
d = -2.4 - (-3.6) = 1.2
???, ???? ??????? ????????? ????. ????? ? ??????? ?????? ???? n??? ??????????? ??? 117. ?????? ????? ??? ???? ?????? ??, ?? ????? ?? ??????????? ???????? ???? ?????? ???? ???????? ???????, ?? ... ??????? ?????: ??, ?????? ?????, ?????? ????? ... ??????? ??? ?????????????? ????????????????):
???? ??????????? 117-?, ? ?????, ??? ??????????? ????? ?? ?????? ??????? n. ??, ?????? ?????? ????? ???????, ??????? ????? ??? ????? ?????. ???? ????? ??? ??????? (???-???!)) ? ?????????? ??? ??? ?????.
117 = -3.6 + (n-1) 1.2
????? ??????????? ??? ????????n, ??????? ??? ? ???????.
???? ???? ??????? ???????????!?????????? ?? ???? ?? ??????????? ????? ??????????????? ?? ????? ???????.???? ?????????????? ??? ?????? ????? ??? 117 ????? ?????????? ?????? ??? ??????? ? 101-?? ? 102-?? ?????? ????: ??? ???? ???????, ?? ?????? ?, ???????. ?????? ?????? ???, ??? ???? ????? ?????? ???? ?????????? ?????: ??? ??? ??????? ????? ????????? ?????. ??
??????????, ??? ??????? ? GIA-? ?????? ????????? ???.
?????????? ?????????? ?????? ? ????????.
a n \u003d -4 + 6.8n
????? ?????????? ?????? ? ????????? ?????????:
?????? ?????????? ????? ? ??????? ????? ???-?? ?????? ... ?? ???? ? ????????:) ??????????????, ??? ??????? (?????? ?? ???? ?? ???????) - ??? ?????????? ??????????? n-?? ?????? ?????????? ??? ????? ? ????? ???? ?????????? ???? ????? ?? ????:
???? ??????? ??? ?????? ???????? ??, ?? ??????? ?. ?? ?????? ?????? ?????? ???? ?, ?? ??????? ???????? ??) ???????? ????? ??????? ???????? ?? ??????? ?????????? ?????????? ?????? ?????? ???????.?????, ???? ???? ???????:)
?????? ?????? ????????????????, ???? ?????????? ??? n=1??? ??????? ???.
? 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8
??????! ?????? ?????? 2.8 ?, ?? ?? -4:
????????, ???? ??????? ??? ????????? ???????.
? 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64
?? ??? ????? ?, ??? ?? ??? ?????:
?? ????, ????? ?????, ????? ???????? ?? ????? ??? ??????, ????????? ???????:)
?????????, GIA-? ??? ????????? ??????? ????????? ???????? ??????? ??????????? ??????? ?? ?????????? ?????????? n-?? ?????? ??????? ????????? ???-?? ??? ????? ? ??????, ???? ???-?? ???? ?????? ... ?????? n??????, ??? n+1 ??? n-1...?????? ?????!?
???????. ??? ??????? ???? ? ??????. ?? ??? ????, ???? ????? ????? ? ???? ?????????????? ??) ????????????? ????? ??????? ? ????? ?????????? ?????????? ???????? ?????????????? ? ?? ????? ???? ??????? ???????? ???????? ???? ? ??????: ?????????? ?????.
?????? ?????? ??? ????? ? ???? ????? ??? ???????? ???????, ?????? ? ????: ????????? ?? ???? ?????????????? ?????????? ????? ??? ????:
???? ?????? ??? ?????? ? ???????? ?????? ? ??????? ??????? ??????? ??????? ??? ?:
? 2 =a 1 + 1 ?
???? ? ?????? ???????: ????????????? ??????? ? ?????? ????????? ?????????? ????? ?.
? 3 =a 1 + 2 ?
???? ?????????? ??: ???? ????? ????? ??? ????? ???????: ???, ?? ??? ?????)
???? ? ??????? ???????: ?????????????? ??????? ? ?????? ????????? ?????????? ???? ?.
? 4 =a 1 + 3 ?
???????? ? ????????, ?? ????????????? ??????, ???????. ?, ???? ????? ????? ??? ?????? ?????? ???? n. ???????? ?????? ??? n, ?????? ??????????? n-1.????????, ??????? ????? (??????????? ????):
a n = a 1 + (n-1)d |
????????? ??????, ????????? ???????? ??? ??????? ?? ???????????? ???????? ????????? ??????? ?????: ?? ??????? ????????. ???? ??? ????? ? ??????, ??? ... ????? ???????) ???? ???, n-?? ??????? ??????? ????? ? ????? ???????????? ??? ???? ???????? ??????? ????????? ?????????????, ???????????????????, ?????????? ? ????? ?? ?????? ????? ???? ?????????? ???...
????? ??????? ?????????????.
???????? ?????.
1. ?????????? ???????????? (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. ???? 3.
???????? ??? ?????, ?????? ???????? ? 20 ???????????... ??? ???????? ????? ???? ? ????????? ???? ??????? ??????????? ????? ??? ????? ??????? ??) 555 ??????? ??? ?????? ???????? ? ?? ??????, ?? ????????? ?????? ??????????????!)
?? ?? ????? ???????? ???)
2. ?????????? ???????????? (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. ???? 3-?:
????, ???? ???????? ?????????????? ?????????? ????? ??? ?, ???...
3. ?????????? ?????????? ?????? ? ????????.? 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0.5. ????? ??? ?????????? ??????? ????????????? ??????:
??? ????????????? ?????????? ?????? ? ??????? ????????: ???? ???????? ????? ??????? ????????????? ???????... ?? ?????? ????? ?? ???? ??????????????? ?????) ???? n-?? ?????? ??????? ?????? ?????? ???????????? ??
4. ????? ??????? ?????????? ?????????? (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
????? ?????????? ????????? ?????? ?????? ????:
5. ??? 4-?? ??????????? ???????, ????? ??????????? ????????? ?????? ? ???????? ????????? ????????? ????????
6. ???? ?????????? ??????????? ????????? ? ?????????????? ????????? ?????????? -2,5 ?, ??? ?????? ? ???????????? ????????? ???????? ???? ???? 14-?:
????????? ??????????? ??, ???...) ?????? «??????? ???» ?????? ?? ??????? ???? ? ???????? ???? ? ????????????? ???????
??????????? (?????????).
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
???? ? ???????? ?????? ?!)
???? ??? ?? ????????? ???????? ?. ? ???, ?????? ????????????? ?? ??? ????? ???. ?????? ???????? ????????????? ?????????? ?? ???????????????.
??? ????? ????????? ???????? ????????? ?????????? ? 555-?? ???????: ?? ???????? ????? ?????????? ?????, ????????? ????? ????? ???? ? n-?? ??????? ??????? ????? ???????? ????? ???????? ????????? ???????????. ???? ??? ??????? ?: ???????? ?? ?????.
??? ??? ???? ? ????? ??? ?????...
? ???, ?? ??? ????? ?? ?? ???? ????????? ???? ??????)
???? ????? ?? ??????? ????????? ???????? ? ?????? ??? ?????????: ?????????? ??????????? ?????????: ???????? - ???????????????!)
????? ?? ????????? ????????????? ? ??????????????
IV ??????? | ??????? ???????????? | MathUs.ru
?????????? ?????????
?????????? ?????????? ?????? ?????? ????????????????? ?: ????????, ?????? ?????????? (? ????????? ????????????) ?????????? ?????????, ???? ???? ? ??????? ????????? ????? ???????????????? ?????? ??????????????:
?????????????????
??????????? ?? ????, ??? ??????? ???? ?????? ?????? ???? ???? ?? ???????????? ????? 2; 7; 13; ???; 6; 0; 3; : :: ????? ???? ???????????? ???????? ???????????????? ?????? ??
?????????. ?????? ?????????????????? ????? ?? ???? ?, ????? ????????????? ??? ????? ? ????????? ????? ??? (???????? ????????????????? ??? ?????? ????)1? n ???? ???? ??????? ? ???????????????? n-?? ??????
????????, ???? ????? ????????? ?????? ?????? ???? 2 ????, ??? ???????????????? ?????? ?????? ?, ??? ?????? ? ???????? a1-??; ???? ???? ???? 6 ????, ??? ???????????????? ????????? ?????? ?, ??? ?????? ? ???????? a5: ????????? ??????, ???????????????? n-?? ?????? ?????????? ? an-?? (??? bn , cn ? ????):
??? ?????? ???????? ?, ??? ???????????????? n-?? ?????? ????? ? ??????? ???-?? ????????? ??????, an = 2n 3 ???????? ????????? ? ??????????????????? 1; ???; 3; 5; 7; : : : an = (1)n ??????? ????????? ? ??????????????????? 1; ???; ???; ???; : ::
????? ???? ?? ???? ??, ?? ????????????????? ?: ????????, ??????? ????????????????? ??. ??? ??????????? ? 3/4 ???????? ??? ????, ????? ???? ? ????????????????: ????? ?????? ????? R ???????????? ???????? ????????????????? ??? ??? ??????? ??????????? ?? ????????????? ????????????? ??????????
?????????? ?????????. ???????? ????????????
???? ???? ??????? ??? ???????? ?????????? ??????????
?????????. ?????????? ?????????? ??? ?????????????????? ?, ????? ????????????? ????? (????? ?????????) ??????? ? ?????? ?????? ???????? ? ???? ??????? ???? (??????? ? ?????????? ?????????? ?????????????):
??????, ????????????????? 2; 5; ???; ???????; : : : ?????????? ????????? ? ?????? ????? 2-?? ? 3 ?????????????: ??????????????? 7; 2; 3; ???; : : : ?????????? ????????? ?? ?????? ????? 7-?? ? 5 ?????????????? 3; 3; : : : ???????? ????????????? ?????????? ????????? ??
???????? ?????????. an ?????????????????? ??????? ? ?????????? ?????????, ??? an+1 an ?????????????? ????????? ????? ? (?????? ?? n-??):
?????????? ?????????? ????? ?, ??? ??? ?????????????? ?????? ?, ? ???????, ??? ?????????????? ????????? ?:
1 ?? ??? ????? ?????? ?????????. ?????????????????? ?????? ????? ?????????? ??? ????????? ???????? ?: ??????, ?????? ????? ?????????????????? f ????????? ?? N! ?.
???????????? ????????????????????? ????????? ?? ??????, ???????? ??????????? ?? ???????? ???? ????? ???? ?? ?? ?? ????????? ???????? ??? ???????? ?????????????????????. ????????? ????? ???????? ???????? ??????????? ?????? ? ??????? ???????? ?????????????????? ??????, ????????? ?????????????????? 1; 2; 3; ????; 5-? ???????? ? ???? ???????
?????????? ?????????? n-?? ?????? ???????
???? ? ????????, ?? ?????????? ?????????? ????????????? ???????? ? ????? ????? ?????? ????? ? ?????????????: ????? ???? ? ?????????? ???????, ???????? ?????? ?????? ? ??????????????, ????? ?????????? ?????????? ????????? ??????
????? ?? ?????? ?????????? ??????????? n-?? ?????? ??????? ???????? ??? ??
?????????? ????????? ????????????? ?. ???? ??????: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::): | |
???????????? ????? ???. | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
? ???? ???? ? ???????, ?? ??????? ???????? ?. | |
an = a1 + (n 1)d: |
?????????? 1. ?????????? ???????????? 2; 5; ???; ???????; : : : ????? n-?? ?????? ??????? ? ??????? ???????????? ???????
???????. ??? ??????? (1) ???? ??????.
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
?????????? ?????????? ???????????? ?? ?????
?????????? ??????????? ???????????? ?????????? ???????????? an ????????? ?????
???????? ?????????? ??????????? ????????????? ????? (????? ?????????) ?????? ????????? ?????????? ?????? ??
????????. ???? ??????: | ||||
a n 1+ a n+1 | (?? ?) + (?? + ?) | |||
???? ?????????? ??:
????? ????????? ??????, ?????????? ?????????? ?????????? ? ??????????????
a n = a n k+ a n+k
???????? n > 2-? ? ???????? ?????? k-? ?????< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
???????? ?, ?? (2) ??????? ?? ????? ?????????, ???? ??????? ?????? ?, ??????? ?????????????????? ???? ?????????? ??????????
?????????? ?????????? ????. ??? ??????????????? (2) ?????????? ? ????? n > 2-? ?????, ??? an ?????????????????? ?????????? ????????? ?:
????????. ????????????? (2) ??????? ??????? ????.
a na n 1= a n+1a n:
?? ????? ? ?????, ?? an+1 an ?????????????? ?????? ?? n-??, ? ?? ???????? ????????? ?, ?? an ?????????????????? ?????????? ????????? ?:
?????????? ?????????? ???????????? ?? ????? ?????? ? ????????? ????? ??? ??????. ???????????? ????? ???? ?? ?????? ???? ??? ????? (?? ??? ????????? ?, ??? ????? ????????? ? ????????? ???????):
?????????? ?????????? ???????????. ???? a, b, c ????? ??????? ?? ?????????? ?????????, ??? ? ????? ??? 2b = a + c:
????? 2. (???????? ??????? ??????????, ??????????????? ?????????, 2007 ?.) ????? ??????????????? ???? ???? 8x, 3 x2 ? 4 ??????? ?? ?????? ?????????? ?????????: ????? x ? ????? ??? ?????????? ???????????????
???????. ?????????? ?????????? ??????????? ???? ??????.
2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x=5:
??? x = 1, ??? ???????? ? 8, 2, 4 ?????? ?????????? 6 ?????????????: ??? x = 5, ??? ???????? ? 40, 22, 4 ???? ?????????; ??? ????? ?? ????????.
????????? x = 1, ?????????????? 6 ??
?????????? ??????????? ?????? n ????????? ???????
??????? ????? ?, ?? ?? ????? ????????? ?????????? ???? ?, ?? ????? 1-?? ????? 100 ????? ??????? ? ????? ??????? ????? ????????: ?????? ?? ???? ????? ????????? ?? ??? ????, ?? ?????? ?????? ?? ?? 9-???? ???? ??????? ?????? ??? ?????????? ?????????? ????????? ???????????????? ?????
?????? ?????? ???????? ?? ??. ???
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
??? ??????? ????? ??????? ???????????????.
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
? ????????? ??? ????? ?????????.
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
??????????? ????????????? ????? ??????? ? 101-?, ? ????????? ?????? ?? 100 ??????? ?????, ????????
2S = 101 100 = 10100;
???? ??????????? ??? ??? ???????? ??????? ??????? ???????? ?????
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
(3) ??????? ??????? ????????????? ???????? ? n-?? ??????? ??????? ??????????? ???????.
2a1 + (n 1)d | |||||
?????????? 3. ????? 13-? ???????? ????? ?????? ?????? ????? ???????:
???????. ?????? ?????, ????? 13-? ?????????? ??, ??????? ?? ?????????? ????????? ?????? ??????? 104 ? ????????????? 13; ??? ?????????? n-?? ??????? ???????? ?.
an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:
???? ???????, ?? ???? ????? ? ??????????? ??? ??????????: ?? ?????? ????? ???? ??????? ??? ?????????????????.
an 6999; 91 + 13n 6999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
????????, ??? ???????????? ?? 69 ?????: ??? (4) ??????? ???? ?????? ??? ????????? ???????.
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
?????????? ???????????????? ????? ????????????????? (?????????? ????????)
????? ????????????? ?????? ??????? ???????? ?????????? ? ??????? ????????, ??? ??? ??????? ? ????? ??? ?????????? ?????????????.
????????, ?????????? ?????????? ????? ? ??? ?????? ???????, ????? ?? ????? ??? ???????? ????? ???????????? ???????
?????????? ?????????? ???????????????
1) ?????????? ?????????? ????????????? ?????, ????? ??????? ????, ?????????? ?????? ? ?????? ?????? ?????????? ?????? ?.
???? ? ??? ????????. ??? ??????????? ??????? ???? (?????) ????????? ?????????? ?????? ??????? ? ????? ???? ???? ???????, ??? ????? ??? ?????????????????? ?????????? ????????? ?? ??? ??????? ??? ???? ? ??????? ???????? ??????????????????
??? ?????????? ?????????? ??????????? ???? ????? ??????? ?????? ? ???????????? ???????? ???
?? ???? ? ???????, ??? ???? ?????????? ????? ????????????? ????? ?? ???????
??? ????? ???????????? ? ???????????? ??????????? ??????????? ??????????? ?????:
2) ?????????? ??????????? ?????? n ????????? ??????? ??????????? ? ????????
??? ????? ?????????? ?????????? ??????? ???????, ??? ???????????? ? ????????????? ? ????????? ???????? ? ?????? ???? ???????????????
3) ??? ??? ????????? ? ????? ?? ?? ?????? ???????, ??? ???????????????? ?? ????, ??? ??????? ? ??? k-?? ???????, ??? ??? ??? ??????? ????? ??????? ??????? ???????.
4) ????????? ??????????????? ? ???????????? ?????????? ?????????? n ????????? ???????` ????? k-?? ????: ?? ?????? ????? ?????????? ???????
?????? ????????? ? ??????? ??????, ? ???? ??????? ??? ???????????? ????????? ????????? ?????????
?????? 1. ????? ?????????? ??????????? ????????????? ?????? 4;7;...
???????:
??? ???????? ??????
???????? ?????????? ?????
?????? ??????? ???????? ???? ?????? ??? ?????????? ????????????? ??????
?????? 2. ?????????? ?????????? ?????? ? ??? ?????? ? ???????? ??????????? ????? ?????????? ?????? ?????? ? ???? ???????:
???????:
?????????? ????? ??????? ????? ??? ??? ?????????
??????? ???????????? ?????? ??? ?????? ???????????, ??????????? ?????? ??? ?????????? ?????
?????? ?????? ??????????? ? ???????? ????????????? ?????????? ?????????? ?????? ?????? ??????? ?????
??????? ?????????? ?????? ???? ????????? ???????
????? ???? ?????????? ?????????? ???? ????? ????? ????????? ??????????
?????? 3. ?????????? ?????????? ?????? ? ????????? ? ??? ?????????? ???? ??????: ????? ?????????? ?????? ??????, ??? 50 ????????? ???????? ????? 50-?? ? ?????? 100-? ????????
???????:
????? ??????????? ???????????? ????? ????????
? ???? ???????
??????? ????? ??? ???? ?????? ??? ?????????? 50-?? ???????
??????? ?????????? ???? ???????
? ?????? 100-? ???????
?????????? ??????? 250 ??
?????? 4
????? ?????????? ??????????? ????????? ????, ???.
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111:
???????:
?????????????? ????? ??? ?????? ?????? ? ?????????? ?????? ? ????????? ?????
??????? ????????? ?????????? ??? ??????? ????????? ????????? ?????????? ?????? ???????? ?????
???????????? ????????
? ?????? ????????? ???????????
?????? ????? ?????????? ????? 8 ???? ?????? ? ????? ???????: ????????, ?????????? ?????? ??? ????????? ??????? 111 ??
?????? 5
?????? ???????????
1+3+5+...+x=307.
???????. ??? ??????????? ?????????? ??????????? ??????? ?: ???? ????? ??? ????? ??? ?????? ?????? ? ?????? ??? ?????????? ??????????????
?????????? ?????????? ???????:
?????????? ?????????? ??????? ???? ??? ?? ??? ???????, ?? ????????? ???? ??? ?????? ????? ??? ????? ?????? ?????????????: ?????????? ????? ????????? ?????:
??? ???????????? ??????? ??????? ? ????????? ?? ???? ???? ????????. ??? ??? ???????? ?????:) ??????? ?????? ???????? ???? ?, ????? ??????????: ?????????? ?????????? ??????? ??????? ????? ???????? ????????? ? ??????? ????????? ??? ????? ?????????: ??? ??? ?????????? ??? ??, ????? ?? ????????? ????? ???? ???????: ???? ??? ?? ???, ??? ??? ... ?????????? ?????????????? ?:) ??? ??????? ??????? ?????? ?:
??????? ??????? ???? ?.
???? ???????, ?? ??????? ????? ?? ???????? ?????????: ?? ??? ??? ??????:
? ? ?????????? ??????????? ??????? ?? ????????? ???????? ??????????????, ??? ????????? ??????.?? ??????? ?. ?????? ???????? ?????????????? ????????? ????? ?????? ?? ???????? ??, ????, ????? ??????.??????? ???????????, ???????? ?? ?????? ? ???????? ????????? ??????? ?????? ??? ?????? ????????? ????????? ???????, ??????? ??????? ????????? ???????????? ?????:
? 1 - ????????????????? ?????? ?????? ???? ??? ???? ?, ???? ? ??????????? ??????.
a n- ???????????????? ?????? ????? ?????? ??????. ??? ????? ????? ??, ????, ??? ????????? ? ??????? ???, ??? ??? ?????? ?? ???? ??????? ????????
n ?????? ?????? ???? ?? ?????? ? ????????, ?? ????????? ??? ???? ?????????? ? ????????? ????????? ??? ???:
???? ????????? ??????????? ??????????? a n. ??????? ????? ???????? ????? ????? ??????,??? ???? ???????????????? ??????????
????? ????????? ????? ???? ???? ? ???????? ?????????? ?????????? ???????? ?????????????? ? ... ??????? ???????? ???????????:)
?????????? ?????????? ??????? ??????? ????????????? ???? ????????? ? ?????? ?????? (??????? ??? ?????????). ??? ???? ? ???????????????????? ???????? ????????, ??????? ?????? ???????? ?????????? ?????:??????? ????? ????????????? ?????, ?? ??????? ????????? ? ?????? ????????, ?? ????????? ?????? ??, ?? ?????? ? ?????? ????? ??????, ?? n-?? ?????? ?????????
???????????? ????????? ?, ?? ??????? ??????? ? ?????????? ?????? ??????? ????? ???? ?????? n.????????, ??????? ?????????? ????????? ???? ??????? ?????. ?????????? ??????????? ?????? n ????????? ??????????? ???? ?????? ????????? ????, ???????. n, ???????? ? ????????? ????????????? ????????????? ??? ?????? ????????? ???????????????? ????? ?????????? ?, ??? ... ???? ?????, ????? ?????? ???????????? ???? ???????????? ??? ???????????:)
?????????? ?????????? ??????? ?????????????? ?????????:
???????? ??????? ???????????????.
?????????? ?????????? ??????? ?????????????? ???????? ????????????? ??????? ??????? ???? ???????? ?:
?????????????? ??????????? ???????? ?????????????? ?????????? ?? ???? ??? ????????) ?????? ???????? ????????? ?? ?????????? ??????? ?????????? ??????? ? ????? ???????? ?????? ???? ????????? ?????? ?? ???? ??????????: ?????? ?????? GIA-? ??? ??????? ????????????:
1. ?????????? ?????????? ?????? ? ????????? a n = 2n-3.5: ????? ?????? 10 ????????? ???????:
??? ????????. ?????) ???????? ??????? ???????? ????? ???? ? ???? ??????? ?????? ????? ? 1, ?????? ??????? a n, ??? ?????? ????????? ???? n.
????? ?????? ?????? ?????? ?????? n? ???, ????? ??????, ????????! ????? ?? ???? ??????? ?????? 10 ?????????.?? ??? ??? ????? ??????,????????? ??????) ??? ??????, ??? ???? ?????????? ?:) ????????, ???????? a n???? ??????????? ??????? ??? ? 10, ???? ???????? n- ????: ??????? ?????? ?????? ???? ?????? ?, ??? ????????? ?????
????? ? ?????? ? 1? ? 10. ?? ??????????? ??????????? ? n-?? ?????? ????????, ??? ????? ? ????? ?????????? ??????? ?????? ?? ????: ??????? ?????? ????, ????? ???? ?????:
? 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
? 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5
? ? = ? 10.
???? ????????? ?????????? ?????????? ??????? ??????? ????? ??????? ??????????????: ????? ? ????? ????????? ? ??????.
?? ??? ????? ?, ??? ?? ??? ?????: ????????? 75?
??? ??? ?????? ??????? GIA-? ???. ?? ???? ????? ????.
2. ?????? ? ?????????? ????????? (a n), ??? ?????????????? 3,7 ?; a 1 \u003d 2.3. ????? ?????? 15 ????????? ???????:
???? ????????? ????? ??? ??????? ???????.
??? ???????? ????? ? ????? ??? ????? ???????? ?????? ?????? ?? ????: ???? ??????? ??? ???? ??????????.
? 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1
????? ? ?????????? ?????????? ??????? ??????? ????? ??????? ????????? ? ????????? ?????????.
????????? 423?
? ???, ??? ??????? ?????????? ??????? a n???????? ??????????? n-?? ?????? ???????? ??????? ???.
???? ????? ??? ???????????, ??????? ??? ?????????? ?????????? ????????? ??????? ??? ??????.
?????? ??????? ??, ?????? n-?? ??????? ???????? ??: a n. ???? ???????????????? ??? ???????? ??? ? ??????, ???... ???? ????? ?? ????? ??? ????????: ?? ???? ????? ?? ???????? ??? ??????? ??? ???? ?????????, ?????? ??????: ? ?????, ??????? ? n-?? ?????? ??????? ???? ? ???? ???? ?????:)
???? ??????????? ???? ??????????? ??????).
3. ????? ????? ?????? ?????? ????? ???????, ????? ????? ?????????? ??:
??????! ?? ?????? ?????, ?? ??????, ?? ?? ?????????... ??????? ?????:
??????? ?????? ????? ?????? ? ??????? ????? ????? ?????????? ?????????? ??????? ????? ???????? ????? ?? ?????? ????? - ???? ??????: ????? ???????? ?? ????? ?????) ??? ?????? ???? ? ??????? ??????? 10, ?????????): ?????? ?????????? ???? 99, ??????! ?????????? ??????? ???? ...
????? ??????????????... ??... ????? ???? ??, ????? ??????????? ????????? ?? ?????, ????? ???? ?? ????????? ?????, 11-? ?? ?????????... 12... ????????? ?? ????????, ???-?? ??? ? ?????????. ???? ????? ????? ?? ???? ???? ??? ????? ???????.
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
??????? ??? ????? ????? ?????????? ?????????: ??????! ????????????? ?????? ???????? ?????????? ? ???? ??????? ??? ???????? ?????????? ? 2 ??? 4, ?????, ?????????, ???????. ??? ???? ????? ?? ??????? 3-?: ???? ????? ?? ????????? ?????? ?????????? ?????????? ?????????????? ???? ?????. d = 3.???????!)
????????, ???? ????? ??? ?????? ?????? ???? ?????????? ???? ??????????.
??? ???? ????? n?????? ??????? ???? ??, ?? ??????? ?, ?? 99-? ??????? ???????? ?... ?????. ????? ???? ???????? ?? ?????, ? ??? ????????? ??????? ?? ????????? ??????: ????? ??? ??????????:
?????? ????? ??????? ??. ????????????? ???? ???????????????? ????? ?: ?????? ? ?????? ??????????, ????? ?????? ????? ? ????? ?????? ?????????? ???????) ??????? ????????? ??????????? ????? ?? ???? ? ????? n-?? ?????? ???????. ??? ??????? ????????? ? ??? ????? ????????, ???? ??????? ???, ?? 99-? ?????????? ???????????? ?????? ?: ?????. n = 30:
???? ?????? ??? ?????????? ?????????? ??????? ????????.
?????? ??? ? ???????????) ????? ??????? ???????? ??????? ??????????? ????? ????????? ???? ???.
? 1= 12.
? 30= 99.
? ? = S 30.
????? ? ???????? ?????????????? ????????? ??????? ????? ? ?????????.
????????? 1665 ?
?????????? ???????????? ??? ??? ?????.
4. ????? ? ?????????? ?????????.
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
????? ??????????? ????? ?????????????? ????? ???????:
?????? ??? ??????? ??????? ? ... ??????? ????) ???????, ????????, ?????????? ? ???????? ?????????????. ??? ????? ??? ???? ? ????????? ??????? ???????????...??????? ?? ??????.
????, ??????, ????? ?? ?????? ?????? ?????????? ????????, ? ?????????? ???? 20-?? ????? 34: ???? ... ???-?? ???? ????? ? ????? ??????? ? ????????, ???):
?? ????? ??????? ???????. ???? ???????? ??? ????? ????? ????. ?????? ???? ????? ?????? ?????????? ????? ?????????????:??????? ???? - ?????? ???????????.????????? ?, ?? ??? ?????????? ?????? ???? ?????????? ??????? ? 1-19, ?????????? ??????? ???? ????????? ???????? ? 20-34, ??????? ??? ?????? ??????? ????? ?????????????? ?????????? ??????? ? 1-34. ??? ????:
? 1-19 + ? 20-34 = ? 1-34
?? ????? ? ?????, ?? ??????? ??????? ????? ? 20-34?????? ? ???? ???? ????????
? 20-34 = ? 1-34 - ? 1-19
????? ?? ??????? ?? ????? ????? ?????????? ?????????????, ???????. ???????? ??????? ??????? ????????? ???????? ? ????? ?????: ???? ?????? ????
?????????? ??????????? ???? ?????? ??? ??????????? ????????.
? = 1,5:
? 1= -21,5.
?????? 19 ? ?????? 34 ????????? ?????????? ??????????? ????? ??? ????????? ?????? 19-?? ? 34-?? ?????????? ???? ????? ??????? ??? ??? n-?? ?????? ???????, ?????? 2-?? ????????.
? 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
? 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
????? ?? ??????? 19 ?????? ??????? ????? 34 ?????? ????????.
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
????????? 262.5
??? ?????? ?????. ??? ?????? ???????? ????? ??? ??????? ??????????? ??. ??????? ???????? ??????? ???, ??? ??? ???????? ? (S 20-34),???? ?????? ??? ???, ????? ?, ???? ?? - S 1-19:?? ???? ???????? ? 20-34, ???? ?????????? ?????????? ????????? ???? «?????????? ??????» ????? ?????? ? ??? ???????????? ???):
??? ?????? ???? ???????????????? ????????, ????? ????? ??????? ? ???????? ?????????? ?????????? ??????? ??????: ??, ???? ???? ? ?????? ?? ???? ??????):
????????? ????????.
?????????? ?????????? ??????? ????? ???? ????? ???????? ???????? ?? ????? ????????? ????? ???? ??? ??????? ????? ???????? ??????????
n-?? ?????? ???????.
??? ????????? ??? ????????? ?????, ?? ??? ???? ? ??????, ?? ??????????? ?????? ?????? ???????? ?????? ?????? ?.
??? ???? ??????????? ??????? ???????????????
5. ????? ????? ????????? ????? ?????? ????? ???????:
????? ?:) ???????? ??????? ? 4-?? ????? ????????: ??, ?????? 3-? ?????:
6. ?????????? ?????????? ?????? ? ????????? a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0.5. ????? ?????? 24 ????????? ???????:
????????) ?? ??????? ?????? ?: ??? ????? ????? ?? ?????? ?????? ??????? ?? ??????? ??????, ???? ??????????? ????? ????????? ?? GIA-???:
7. ?????? ?????? ? ???????? ???? ?????: ????? 4550 ??????: ?? ?? ??????? ??????????? ??????? (????) ?? ???? ?? ????????????? ????????): ????? ???????? ?????????? ??? ?????? ?????? ??? ?????? 500 ??????, ??? ?????? ??? ?????? 50 ?????? ?????, ??? ?????? ???: ????? ???? ???????? ????? ?? ????????????? ????? ??????:
?????? ?:) 2-?? ???????????? ????????? ???????? ?????:
??????????? (?????????). 7, 3240, 6:
??? ??? ???? ? ????? ??? ?????...
? ???, ?? ??? ????? ?? ?? ???? ????????? ???? ??????)
???? ????? ?? ??????? ????????? ???????? ? ?????? ??? ?????????: ?????????? ??????????? ?????????: ???????? - ???????????????!)
????? ?? ????????? ????????????? ? ??????????????
?????????? ??????????? ???????? ?????????? ?? ??????? ???????? ????????????: ?????????? ?? ??????? ??????????, ???? ?? ????????? ????? ???????
????????, ??? ???????? ????????????? ??????, ??? ???? ????????????? ???????????????? ???? ????????? (?. ???? ?????????.
??? ??? ???????? ????????????? ?????????????????? ??? ??????? ?????????? ?????? ?????????? ??????????? ???? ????????, Hypsicles of Alexandria (2-?? ???, ?? ??????? ??? ????????? ???????? ? ????????? ????????????? ????? ????????? «???????» ???, ????????? ?????. ??? ? 1-? ????????? ???????? 1/2 ????????? ???????????:
?? ?????????????????? ?????? ?: ?????????????? ????????? ??????? ?? ??? ???????? ? ????????? ?????? ?? ??????????? ???????, ????? ????? ?? ????? ??? ?????? ???????? ?????? (a1, a2, a3 ... ??????? «1-??», «? 2-??», «? 3-??» ? ????):
???????????????? ????? ? ????? ?????? ??? ????????:
???? ? ?????????? ??????????: ????????? ?, ?? ???????? ? ?????? (n) ?????? ????? d ???? ??????????, ??? ??????????? ?????????????? ??
??? ?<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, ??? ???? ?????????? ????????? ? ????:
?????????? ?????????? ????????? ? ????????, ??? ????? ?????? ??? ?????? ?????????? ?? ??????: ??? ??? ???? ?????????? ?? ????? ???????? ????????? ?:
???????? ?????????? ????????? ?????? ? ??????? ????????.
an =kn+b, ??????? b ? k ???? ???? ??:
??? ???????, ??? ???????? ?, ???????????? ???? ?. ??? ?????????????????? ????? ? ???????? ????????, ??? ?? ???? ?????????? ????????? ?, ??? ???? ??????????????.
- ?????????? ????????????? ????? ?????? ? ?????? ?????? ????? ??????????? ?:
- ????????. ??? 2-???? ????? ????????????? ????? ?????? ? ?????? ?????? ????? ??????????? ?, ???????. ??? ??????? ?????????? ?, ??? ????? ?????????????????? ?????????? ????????? ?? ??? ??????????????? ???????? ??????? ?????????? ???? ?, ????? ??? ????????? ???????? ?? ??????????? ?????? ????????????
????? ???? ??????? ? ??? ???????, ??? ?????????? ? ??? ????????????. ?????????????????? ?????????? ????????? ? ????? ??? ???????, ??? ??? ??????????????? ??????? ? ???????????????? ?????????? ???? ???? ?????? ????? 2-?????
?????????? ?????????? ???????? ???? ????? ?????? ???????????? ????? ? ??????????? an + am = ak + al ????????, ??? n + m = k + l (m, n, k ??????????? ????? ??):
?????????? ???????????? ???????? ????????? (N-??) ????? ?????? ? ?????? ????????? ??????? ???????.
??????? ?????????? ??????????? ?????? ?????? (a1) ????? ? ? ??????? ? ?????, ??? (d) ?????????????? ??????? ? ?????: ???? ???? ? ????? ??? ?????????? ????????????????? ??????: a45 = 1+4 (45-1) = 177
??????? an = ak + d(n - k) ????? ? ????? ?????? ?????????? ??????????? n-?? ?????? ??? k-?? ?????????? ???? ???? ???????, ????????, ?? ??? ?????? ?:
?????????? ?????????? ????????? ??????? (?????????? ????????? ?????????? 1-?? n ?????????) ??????????? ? ??????? ????.
Sn = (a1+an) n/2.
??? 1-?? ?????? ???????? ?????? ?, ??? ?????????? ????? ?????? ? ??? ??? ??????.
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
?????????? ?????????? ???????, ??? ??????????? ? n ?????, ??????????? ? ??????? ????.
??????????? ????? ????????? ???????????? ?????? ? ?????????????? ??????????? ? ???????? ??????????:
???????? ????? ?????? ?????, ???????? ?? 1,2,3,...,n,... ?????????? ?????????? ????????? ??????? ?:
???? ?????????? ???????????, ?? ??? ????????????, ??? ???? ?? ?????????????????????? ?? ???????????????????????