??????? ????????- ??????? ?? ????, ????? ????? ????????? ? ????????? ????????????? ????? ???????? ??????????????? ???????? ? ????? ???? ??????????? ??????????????: [ ] ??? ????????????? ??????????? ????? ? ????? ????????????? ? ????????? ??????????? ??????????? ???????? ????

??????? ????????? ?????? ???????? ???????? ???? ??????????? ? ?????? ??????????? ??????? ????? ?????????????? ?????? ????? (??? ??????????) ???????????: ??????? ????????? ??????????? ???????? ? ??????????????? ???????????, ???????? ??????? ??????????? ??????????? ???? ????????? ??????? ??????? ?????? ?????? ??????????

????????????

??????? ????????? ???-?? ???????, ?????????? ??? ???????? ????????????? ????? ?, ????? ????????? ?? «???????????? ? ???????????? ????? ???????????»:

??????? ????????? ????? ? ??????????? ??? ????? ???????? ??????????. ??? ????????? ??????? ????????? ?????????? ? (????? ?????????????) ???-?? ?????????? ?????????, ??? ?? ????????? ?????? ?????????? ?? ??????? ??????: ????????? ???????? ????????????? ??????? ????????? ????? ??????????? ????????? ?????????????? ?: ????????, ??????? ????????? ???????????? ? ?? ????????? ??????? ? ???????, ???? ????????? ????????? ??????? ??????? ? ???????:

?????????? ??????????? ??? ??????????????? ? ??????????? ???????????????????.

??????? ??????? ??????? ?????????????, ????? ????????? ??????? ?? ?????????, ????????? ????????? (???, ?????? ?, ????????? ???????? ???????? ??????????? ???) ?????????? ?. ????????????????????????????????? ???????????? ??????? ??????? ?????????????, ????? ????????? ??????? ?? ??????, ????????? ?????? ?????????? ? ??????????????? ???? ?????? ??? ???? ??????? ???: ?????????? ? ??????? ???????? ? ???????????? ?????????? ????????? ???????? ??????? ??:

??????? ????????? (?????? ???????, ?????? ?? ???????????? ?????????) ????? ??????????? ? ??????????? ?????????????? ???????? ??????????, ??? ?????? ? ??????? ?????????? ? ?????????? ?????? ????????? ??????? ?????????? ? ??????????? ?????????? ??????? ?????????????? ??????? ????????? ????????????????? ??????? ??????????????? ?? ??????????? ?????????? ????? ???????, ??? ??? ???????? ??????? ??? ?????????? ?????????????

??????? ??????????? ????????? ???????? ???????????????? ??????????? ??????????????? ????????? ?????? ??????????????????? ?? ?? ???????? ? ???????? ??????????? ????????? ????????? ? ??? ????????? ???????????? ???????? ???????????????????. ????????????????? ??????? ??????? ? ???????????, ?????????? ??????????? ( ?????????) ? ????? ( ????????) ???????????? (??????). ??????? ??????????? ????????? ??????????? ????????????????? ????????????????? ????????? ?????????????? ?? (???????? ????????? ?????????? ???? ????????????????? ????????? ????????????? ????????????? ????? ???? ????????????????? ????? ??? ??? ????? ?????????????? ???) ? ??????????? (???????, ??????????????? ?????????? ???? ????????????? ?????? ???? ?????????????????. ????? ????????- ?? ???????? ?, ??? ??????????? ???????? ??????? ?? ??????? ??????????? ??????? ???? ????????????»):

??????? ??????????? ??????? ????????? ??? ?????????-???????????? ??????????????? ??????????? ?????????? ? ??????? ????????? ????????????. ??????? ??????.

??????? ??????????? ??????????? ??????????? ?????????????????????? ????????? ????????? ?, ????? ???????? ???????????? ? ??????????? ?????? ?????????? ?? ???????????? ?????? ???????? ?????????? ????????? ? ??????????, ????????????? ??????????????? ? ?????????? ??????????, ??????????? ????? ??????????, ???????????????? ? ???????? ??????????:

??????? ??????????? ????????? ????????? ????????? ?? ?????? ????????? ??? ??????????, ???????? ?? ?? ?????????????? ??????????????, ??????? ????? ???????????, ?????????????

?????????

??? X (\displaystyle X)????????? ???? ??????????????? ?:

??????? ????????, ????????? ???? ??????? ??? X (\displaystyle X), ??????? ? ???????????? g? R x X -> X (\?????????? ?? g\???????? R\ ????? X\ X-??), ????? ? ???????????? ???? g t (x) (\displaystyle g^(t)(x)), ????? t ? R , x ? X (\displaystyle t\in R,x\in X), ??? ????????? ?????? ?, ? g 0 (\displaystyle g^(0))- ??????????? ?????????? ???????????? X (\displaystyle X). ?????? ?????? ??????????? ??????? ??? ???????????? ???????? ( g t: t ? R ) (\displaystyle \(g^(t):t\in R\))??????? ? ???????????? ??????????? ??????????????? ????? X (\displaystyle X), ? ????????, ????????????, ????????? ????? t 1, t 2 ? R (\?????????? ?? t_(1), t_(2)\in R)???????????? g t 1 ? g t 2 = g t 1 + t 2 (\displaystyle g^(t_(1))\circ g^(t_(2))=g^(t_(1)+t_(2))).

???????????? ???????????????????? g (\displaystyle g)?????? ????? ?, ?? ????????? g t (x 0) (\?????????? ?? g^(t)(x_(0)))???????? ??????????? ???????? ?, ??? ??????? ??????? ? ?????????? ???????? ??????????? ??? R x X (\displaystyle R\nym X)? ?????? ???????? ???????(???) ??????? ????????. ??? ?????????? ???? ??????? X (\displaystyle X), ??? ??????? ? ???????? ????????????, ??????? ? ???????? ???????(???) ??????? ????????.

????????? ??????? ????????? ?????????? ???????? ? ???????? ????????????? ???????? ????????? ??????????: ??????? ????????? ??????????? ????????? ?????? ???????? ? ?????????? ???????? ????????????? ???????? ????????? ??????????:

??????? ??????????? ????????? ????????

??????? ????????? ?????????? ????? ????????? ? ????????? ??? ???????? ????????????? X (\displaystyle X), ??????????? ????????? T (\displaystyle T)? ????? ?????, ??? ?????????? ? ???????? ??????????? ?????? ???????? ???????? ???? ???????? ??? ????? T (\displaystyle T)????? ? ????? ?? ?????? ??? ????????? (??? ??????? ???? ????? ???, ?? ???????? ????????????), ? ?????? ????? ??? ?????? ????? ???????????? ( ??????????????): ??????? ???????, ???????? ?????????? ???? «????????» ????? ??? ???? ? ??????????? «????????» ?? ????? ??????. ???? ????????? ???????? ???? ??? ??, ??? ???????? ?????? ?? ???? ? ????????? ??????? ?. ?? ???????. ??????????????, ?????? ??????? ?????????????, ?????????? ???? ???? ????????????????? ???????????? ? ??????? ???????? ??????????? ????. ??? ?????????????? ????????? ?? ??????????? ??? ?????? ????? ??? ??????????? ?????????? ?? ????? ???????:

??????? ??????

????? ???????? ???????????? X (\displaystyle X)???????????? ? ???????? ???????????? ??? ?????? ??? ???, ??? ???????? ???????????? ?: ?????????, ???? ??????, ?? ????? ???? ? ???????? ????????????? ??? x (\displaystyle x)???????? ????????????. ??? ???? ????, ?????????? ??????? ????????? ?????? ? v (x) (\displaystyle v(x)). ????????? ???? ???????? ????? ???????? ??????????? ?????????? ???????? d x d t = v (x) (\?????????? ?? (\frac (dx)(dt))=v(x))????????? ??????? x (0) = x 0 (\displaystyle x(0)=x_(0)). ??? ???? ????????? ??????? ????????? ??????? ? ???????? ???? ???????? ??????????? ?????????? ?????:

?????????

??? X (\displaystyle X)????????? ?????????? ?, ?? f: X -> X (\displaystyle f\colon X\ X-??)- ?????????? ???? ???????????? X (\displaystyle X)???? ???: ????????? ??? ???????????? ???????????????, ???????? ??? ??????? ???????? ???????????? ???????? ??????????? ????????: ????? ????????? ?? ??????? ???????? ???????? ???????????? X (\displaystyle X)? ??? ???????? T = N (\displaystyle T=\mathbb (N)). ???????, ???? ??????????, ?? ????????? ??? x 0 ? X (\?????????? ?? x_(0)\X-???)????????? 1 (\displaystyle 1)????? ? ????? x 1 = f (x 0) ? X (\?????????? ?? x_(1)=f(x_(0))\X-???). ???? ????????? 2 (\displaystyle 2)??? ???? ?????? ? ????? x 2 = f (x 1) = f (f (x 0)) (\displaystyle x_(2)=f(x_(1))=f(f(x_(0))))? ????:

??? ??????????? f (\displaystyle f)??????, ?????? ? ???????? ???????? ??????????????: x - 1 = f - 1 (x 0) (\?????????? ?? x_(-1)=f^(-1)(x_(0))), x - 2 = f - 1 (f - 1 (x 0)) (\?????????? ?? x_(-2)=f^(-1)(f^(-1)(x_(0))))? ????: ????????, ???? ??????? ??? ??????????? ?????? ?? ???? ???????? T = Z (\displaystyle T=\mathbb (Z)).

?????????

• ??????????? ?????????????? ????????

????????? ? ???????? ????????? ??????? ????????, ??? ??????? ? «????????? ????????»: ??? ???????? ????????????? ???????????? ? (x, v) (\?????????? ?? (x,v)), ????? v (\displaystyle v)- ???? ??????????? x (\displaystyle x). ????????? ??????????? ???????????? ? ?? ???? ??????????? ????????????, ??????? ???????? ??? ???? ?????????: ??? ???????? ?????? ??????? ??, ????? ??????????? ?? ????? ???:

??????? ??????????? ????????? ??????

????????? ??????? ????????? ??????? ?????? ???? ??, ?? ???????? ? ????? ? ????????? ??? ????????? ???????? ????: ?????????, ????????? ?????????? ?? ????? ???? (???? ?? ????? ?????????) ?????? ????????? ????????? ???????? ??????????: ??????:

1. ????????? ????? ??? ???????? ?????, ???????? ???????????? ????????? ?????? ? ?????????? ?? ????????? ????????
2. ??????? ?? ?????????? ????????? ????????? ??????????????????? (????? ?????? ????? ??? ????????? ??):
3. ??????? ? ???????? ????????? ???????, ???????? ??? ??????? ??????????? ???, ???? ?????? ?? ????????? «????????????????»:
4. ??????? ?? ????? ?????? ??? ??????? ???????? ?????????. ????? ??? ?? ?????, ??? ???????? ????????? ???????? ?? ????? ????????????? ???:
????????

?????????????? ? ????? ??????????????????? ???: ???????? ?????? ? ??????????? ?????????????? ????????? ???, ???? ?? ????????? ??????????? ??????????? ????????? ? ?? ???????? ??????????? ??? ?????????? ????????????? ?????:

????????????????? ??? ?????? ????? ???????? ?? ???????? «??????? ??????????», «??????????? ??????????» ??? ????? ????? ????? «????????????? ??????? ??????????? ??????????»:

???????: ????????

????????? ?????????. 2010 ? .

• ??? ???? ??????????
• ??????????? ?????????????? ??????????

?????, ?? ??? ? «??????? ??????????? ???????????» ??? ?????????????.

??????? ??????????? ?????? ??????????- ??????, ??? ??????? ???????????... ????????????? ????????????

??????? ??????????? ?????????? ??????????- ??????? ????????? ?? ??????, ??? ???????? ?????? ? ???????????????????? ????????? ? ?????????????? ????????? ???: ??? ???? ??????? ????????? ?????? ???????? ?. ??? (Tt) ???? ??????? ???????? (????????? ?????? ???? ??? ??????) W ???????? ???????????? ? ??????? ?????? ??? ... ????????????? ????????????

VMK MSU ?? ?????? ??????? ??????????? ? ?????????? ????????????? ?????- ???????? ?.?.?????????? ????? ??????? ??????????? ?????????? ???????????? ? ????????????? ??????? ?? ?????? ??????? ?????????? ? ???????????? (NDSiPU VMK MSU): ??????????? ????? (1989 ????????) - ??????, ??????? (???? ? ?????????? ???????????) ????????, ... ... ?????????

???????? ?????????? (??????????)- ???????? ??????????? ???????????? ?? ????? ?, ??? ???????? ? ??????????? ?????????????? ??????????????? ??????????? (??????????? ??????????) ? ???? ???????????????? ??????????? ???????????? «????» ? «????? ??????????» ?????????? ???????? ?? ???? ???? ? ... ... ??????????? ???????

????????????? ??????????- ??????? ??????????? ?????????? ?, ??? ?????????????? ? ???????? ??????????? ???????? ???????? ??????? ????????????????? ?????? ????????? (??? ?? ???? ?????????) ??????????????: ??????????????? 1 ????????? ?????? 2 ?????????????????????? ???????? ... ?????????

?????? ????????? ??????????? ??????????- ??????? ??????????? ????????? ?????, ??? ?????????????? ? ?????? ?????? ??????????? (LSS) ????? ? ??????? ???????????????: ???????? ???????????? ? ?????????? ???????????, ?????? ????????? ??????? ? ???????????????? ??? ??????????? ?????????? ????????????: ... ... ?????????

????????? ?????????? ??????????- ????????? ?????????? ??????????? ????????????? ?????????????? ????? ?, ??? ?????????????? ? ?????????? ??????????? ???????????????, ????? ??????? ??????? ?? ?????????????? ????? ?????, ?????????? ? ??????? ??????? ??????. ?????????? ??????????????? ?? ??????? ???????????????? ... ... ?????????

???????????? ??????????- ???????????? ??????????? ?????? ??????????? ??????????? ??? ??? ?????? ?????? ??????????????????? ???????????? ??????????????????? ?: ????? ???? ??????? ???????????? ????????? ??????? ?????? ?????????? ?? ??????????????? ??? ?, ???????????, ??????????????? ??????????? ??????????????? 1 ... ... ?????????

??????????? ???????????- ?????? ?????? ??????????? ??????????? ??? ??? ???????????? ?. ?. ???????????, ?. ?. ??????? ? ???. ?????? ????? ??? ???????????, ??????? ??????????? ????????? ?? ?????, ??? ?????????????? ? ???? ?????????? ????? ... ... ?????????

????? ?????????? (??? ???? ????)- ???????? ??????????. ???????? ??????????? ???????????? ?? ????? ?, ??? ???????? ? ??????????? ?????????????? ??????????????? ??????????? (??????????? ??????????) ? ???? ???????????????? ??????????? ???????????: ???????????? (????? ??????????) ???????? ... ... ?????????

?????

• ??????? ??????????? ????????????, . ??? ?????? ???? ? ?????? ??????????? ??????????? ????????? ? ????????? ???? ???????? ??????? ??????? ??????????? ???????????? ??? ?????? ??????? ?? ????????????? ???? ... ???? 735 ???????
• ??????? ??????????? ??????????, ?.?.??????????. ??? ????? ??????? ? ??????? ??????????? ????????? ????????? ??????????? ????????????, ????? ???????? ?? ?? ???? ?????????? ? ????????????? ???????? ??????????????? ?????????????????: ??? ????????? ??? ????????????? ????? ? ????? ...

????? ??????????? ????????? ???????? ??????????? ???? ??? ???????? ??, ?? ?????????????? ???????? ? ????? ????? ??????????? ? ????? ?????????: ?? ????? ????? ????? ??????? ?????????? ????? ????? ????, ?? ?????? ???????, ??? ?? ??????? ????? ?????, ????????????? ???? ??, ??? ???????????, ???????? ???????? ??????? ?????????? ?? ???????? ????????? ????????? ????? ????? ???? ???? ? ?????? ???????????????? ?? ????????????????? ?????????? ??????????? ?????:

??? ????????? ??????, ??? ???????????? ? ?????? ????????, ????? ??????? ? ?????? ???????? ??? ???????? ?, ??? ??????? ????????? ??????? ? ??????????? ???????????????????, ??? ???????? ? ??????????????????????: ??????? ?????? ? ????????? ?? ?????? ????????? ???????? ???????????? ??? ????

????? ?????? ??????????? ??? ????????? ??????? ?????????, ????? ?? ????????? ??????????? ?????????? ??????? ????????? ????????? ??????????? ?????????? ?????, ??? «????????????, ???? ? ?????» ????? ??? ??????? ????????????, ??????????, ???????????, ???????? ?????? ??????? ???????????? ???: ??? ?????? ???????, ????? ????? ?.?????? ??? ??? ??????????, ??????????? ????????????? ??? ??????? ???????? ? ????? ?????? ?????????????, ?? ??????? ?? ????????????? ??????? ????????? ????????????????? ????? ?????? ????????????????? ???????, ????? ???? ???? ???? ??? ???????? ? ??? ????:

????? ???????? ????????????????? ????????? ?? ???? ??????????: ??? ???????? ?????? ?????????????? ????? ???????? ????? ???? ?? ?????????, ?????????????, ?????????????, ????????????, ????????????? ?? ??????? ?? ????????? ???????? ? ?????? ??????????, ????? ?????????? ?? ?????????????, ????? ???????????? ???? ? ???????? ???????????? ???, ??? ???? ? ???????? ?????? ???????????????: ??????? ??????? ?????? ????? ?? ????????? ????????????? ??? ????? ??????????? ? ?????? ??????????? ????????????, ?????? ????????? ???, ????? ???????? ?? ??????? ?????? ????????? ???, ????? ????? ???????? ? «????? ????????»: ??????? ????????????? ????????????? ?? ???????? ? ??????????????? ?????? ???????? ??????????? ????????????? ????????????? ?????????? ??????? ????????? ???, ???????? ? ????? ????? ????????? ??????????, ????? ???????????? ?????? ???? ? ???? ?????? ????????????: ??????? ???????? ????????????? ??? ? ?????????? «Aufforderungscharakter» ??????????????, ??? ??????? ??????????? ? ????? ???? (????? ???? ??????????? ??) ??? ???? (????? ???? ?????????? ???): ????? ????????? ?????????? ??. ??????? ?????????? ?????? ????????? ???????????????? ??? ? ?????????? ?? ??????, ?? ??????? ???? ??? ????????????????? ???? ?? ?????? ????, ??? ??? ?????? ????????? ? ??????? ????????????????? ??????: ?????? ?????? ?????, ?? ???? ?????????? ???? ????????? ??? ????????, ????? ????? ??????? ???????????????. ???????????? ??? ?????? ????? ??????? ?, ?? ???? ??????, ????? ?????? ??????? ????????? ?? ??????? ??????????????? ??????????? ?? ??? ??????. ??????? ????? ?????????-?????; ?????? ????? ? ????? ?????: «???????? ????? ? ?????? ????? ??????????????? ? ?????? (?????? ??? ?????), ???? ??, ??? ?????, ???????? ??: ??? ????? ?????? ?, ?? ?????????? ????? ???????, ??? ?? ??? ??? ????????????????, ????? ????? ?? ???????? ?????? ?????, ???????? ??? ???? ?????????????? ????? ?????? ?????????: ????? ?????? ?????? ??????? ??????? ?? ?????????? ??????????? ??????????? ? ????????? ????????? ? ????? ????????? ?????????? ???? ????????? ???? ?????, ?????? ???. ??? ?????? ??????????.

??????? ????? ? ??????????? ??????????????? ??????? ???????????????, ??? ??????? ? ?????? ??????????, ?????? ??? ????????? ????????????????? ??????????? ???????????. ???????????????? ?????????? ? ??????? ? ???????????? ??????????? ??????, ??? ???????????????? ???????????? ? ?????? ???????????? ???? ????????? ????????????; ???????? ???????, ???????? ?????? ?? ?????????????, ???????? ?????, ????? ??????????? ??????? ?? ??????????, ?????? ???? ?? ???? ??????? ????????????????? ? ????? ??????? ????? ?? ??? ??????? ????? ?????? ?????????? ???????????? ???????????: ?? ????????. ????????? ?????????????? ???? ???????? ? ?? ????? ????? ?????????? ?????????? ??????????, ??? ??? ??????????? ? ??????? ?????????? ???????? (????? ????? ??????? ? ????? ??? ????????):

????? ??????? ??, ?? ????? ???? ????????? ???????? ?, ? ????????? ??? ??????, ??? ???????? ? ??????????? ????????, ??????? ? ??????? ???????: ??????? ???????? ???????? ?, ??? ????? ??????? ? ??????????? ??????????????????? ??????????????????? ??? ??????????? ????: ????????????????????? ????????? ? ????????? ?? ?????? ??? ?????? ???????? ???????????? ????` ??????? ??????? ??? ?????? ???????????????? ???????????: ????????????????? ?????? ? ????????? ? ???? ????????? ?????????? ??????????? ???????, ??????? ?????????????? ???? ??????? ???? (?????????????): ??????? ??????????? ????????? ???????????? ??????????? ??????????? ?, ?? ???????????? ?????? ? ?????? ?????? ??? ??????? ???????????, ?? ????????????? ?????? ????? ??? ?????????????? ???? ?? ?????, ??? ???????? ??????? ??? ?????????, ????? ????? ????? ?????? ??? ????? ???? ?????? ?????? ??????? ?????? ???? ?????????? ??? ??? ?????????? ?? ????????, ???? ????? ??????? ? ?????? ??? ????????????? ????????? ????????? ?? ????? ????? ??? ???????? ????? ?????? ? ???????????, ???????. ??? ??????? ????????? ??????????? ?????: ??????? ??????????? ????? ?????? ????????? ???????????? ? ?????????? (????? ????????): ????? ??????????? ??????????????? ????, ??? ?? ?????????? ? ?????? ????????? ??????????? ??? ??????????? ??????? ?????? ????????? ??????????? ?????, ????? ? ?????, ?? ????????? ?? ???????????????, ?? ??????????? ????? ??????????? ??

????????? ?????????? ????? ????? ??????????? ? ???? ????????????????. ?????????????? ??????????? ?????? ?????? ?? ????????? ??? ??????????? ????????? ???? ??????? ?????? ? ???????????? ??? ?????? ?????????????? ????????? ???????? ???????????? ???????????? ??????????? ?????? ????????? ?? ?????????????, ????????? ? ????? ??????? ???????????? ????????? ??? ????????? ?????????? ??????????? ????????? ??????????????? ????????????? ????????? ??????????? ???, ??? ?????? ?? ??????? ???, ??????? ?????????????? ????????? ????????? ?? ????????????? ????????? (??????? ????????) ? ???????????????? ??? ????? ?????????: ????? ?????????????? ?????????? ? ?????? ?????? ??????, ?????? ??????, ??? ????? ?????? ?????????????? ???????? ? ?????? ??????????? ?????? ????????????: «?? ????????? ?, ?? ???? ? ????? ?????????????, ??? ??? ???????????? ????????????? ????????? ?????? ????????????????, ??? ???????? ??? ?? ??????? ??????? ?????? ?????»?

???????????? «?????» ????????? ?????????? ?????????????????? ?? ? ?????????? ? ??????? ??????? ????? ???????????: ??????, ????????, ??? ?????, ???????????? ? ?????? ????????? ??????????? ???????? ????? ??? ?????????????? ?, ????????????????, ?????????? ????? ??? ??????????? ?????? ????????, «?????????????-???????????????» ?????????????? ? ??????????? ????????: ??????????????? ???????? ????????? «?????» ???????????? ? ????????? ??????????: ????????? ? ????? ?????????????? ????????????????: ???????????? ????????? ??? ??????????? ? ????????? ?????? ???????????????, ?????? ?? ??????????? ???????????, ?????????? ????????????? ???????? ?, ? ?????? ??????????? ???? ????????? ? ?????????? ?????????????????? ????????? ??????? ? ????? ????:

????? ??????? ????????????? ????????? ??????? ?????? ??????????????????? ????????????? ???????????? ?: ??? ?????????? ????? ? ??????????? ??????????? ????????? ??????? ?????????? ?????????? ????????, ????? ????? ?? ????????? ???????????????

????? ????????? ??????????? ?? ????? ????????. ???, ?? ????? ??? ?????, ?? ???????????? ???????? ??? ? ?????? ???????, ???? «????????-????????» ????????? ????????: ?????? ? ??? ????????? ?????????? ????? ?????????? ??????? ?????????????? ???????, ? ????????????? ???????????? ????? ???????????? ??????????? ????????? ??????????????, ??????? ??????? ??, ?? ?????????? ?????????????? ????? ? ???????? ?????? ??????, ?????? ?? ??? ???????? ?????? (??????? ?????????, ?? ?????????? ? ??????? ??????? ???????????): ????????, ?????????? ?????? ???????? ? ????? ??????????? ??????????: ??? ????? ??? ????????? ???????????? ????????? ???, ????? ??????????? ??????? ??????? ? ?? ?????????? ????????

????? ??????????? ????? ?? ???????? ????? ? ????????? ? ??????? ????????? ?????: ???????? ??????? ??????? ??????? ? ???????? ??????????????, ???? ?? ????? ??????????? ??? ??? ??????????? ?????? ???????? ????? ??? ?????? ??????? ??????????? ????? ????? ??? ?, ??? ????????? ? ????? ??????????? ????? ?????????????: ??????? ????? ????? ??? ??????????? ?, ????? ???? ? ???????? ?????????: ??? ????????? ? ?????? ?????????? ?????????? ? ???????? ??????? ??? ?????????? ??????????: ????? ????????? ?????? ? ?????? ? ?????? ????????? ?????????????? ??????: ???? ??????????? ?? ?? ?? ?????????? ????? ????, ??? ????? ???, ?? ??? ??????????? ????? ????? ?????? ????????? ???: ?????????? ???????????????? ????? ??? ?? ?? ???? ?????? ???????????????, ??? ???? ?????? ????????????, ??????? ????????????

??? ???????????? ????? ???????????? ????? ?? ????????? ?????? ? ????????????? ????????????? ????????????? ???? ???????????????? ????????? ??????????????, ??? ??-?, ????? ?? ???? ??????????? ?????????? ?????????????????: ??? ????????????????? ????????????, ????? ???? ?????? ????????? ? ??????????????? ???????????, ?????? ? ??? ????? ?????????????? ?????, ?? ?????????? ????????????? ????????????? ????? ???? ????????????? ????? ? ??? ??????? ??????????????? ?????????? ?????? ? ??? ??????? ??????? ????, ???????? ?? ????? ??? ?????????????, ???????????, ????????????? ??????????, ????? ??????????????????? ??????? ???????? ?, ???? ??? ???????????????, ?????????, ????????? ???????: ?????????? ???? ??? ????????? ??? ????????????? ??????? ????????????, ??? ????? ???? ?????? ?????????????? ?? ??????????????, ?????????? ???????? ???????????? ? ???????????????? ???????? ????????, ???????????, ?? ?????? ??????????, ????? ?????????? ??, ??????? ?????????????? ?? ??? ????? ?. ?? ??????????, ??? ???? ?? ??? ???????? ????????:

????????? ?????????????????, ????????? ???????? ???????????.

???????? -?? ?? ???? ?????? ?, ????? ?????????????? ??? ?? ? ?????? ?? ??????? ????????????:

???????? ????????? ???????? ????? ??? ??????????? ??????? ??, ????????????? ????? ???????????? ? ?? ???? ??????????, ???????? ??? ????? ? ?????:

????????? ????? ???????????? ??????.

??? ?????????? ???????????? ?? ???????? ???? ?????????? - ??????? ????????? ????? ? ??????????? ??????????? ??????? ?????:

S(t) ????? ?????? ? t ??????????:

U(t) – ????? ?????????? t ?????:

a(t) ????? ????????? ? t ?????:

E(t) - ????? ????????? ???????????????? t ?????:

Y(t) ????? ??????? ????????? ? t ??????????:

????????? ???????, ????????? ????? ?????????????? ??????????????? ????????? ? ??????? ??? ??????????? ??? ????????????????? ?????????????? ????????? ???????.

Y(t) =f(S(t), S(t-1), …,U(t),U(t-1),…,a(t),a(t-1),…,E (t), E (t-1),…)

(Y(t) = g (S(t), a(t), E(t)) (1)

????????? ??????????? ?????????.

?????? (????????):

????????? (???? ????):

???????????? (???????):

??????? ??? ??????????.

??????????? ?????? - ????????? ????????????:

??????? ??????????? ????????????? ??????? ???? ????????? ??? ??????? ????????? ????????.

????????? ?????? ? ?????? ????????? ?????? S(t) ?????? ??? ??????? ????????? (????? ???????? ?????) ?????????:

???? S(t) ????????
??????? ??????? ??????? ????????? ?????:

???????????? ????????? ??????????? ?????:

?????????????? ?????? ? ?????? ???????? S(t) ??????? ???????? ????????? ??????? ????????? ???????? ?????????:

3. ??????????? ????????????? - ????? ????????? ??????? ??? ??????? ?

??????? ?????????.

???? S(t+1), S(t+2),… ????????

????????? ??????? ?????? ?? ????? U(t), U(t+1),…, U(S), S > t ????? ??????????????????, ??? ????????? ?????? ? S(t) = X ??????? S ???????: (S) = Y.

???????????? ?????????? ??????? ?????? ???????? ? 4-?? ?????? ???????? U*(t) ??????????? ????????????????? ??????? ??????? ??????????????????? ? ???????????? ???????? ??????????? ??? ?????????????.

F(S(t)), t = 0,1,2,…

????????? ?????????.

????????? ?????????? ????????????.

???????????????

????????? - ????????? ?????????? ????????????? ?? ?????? ???????:

2. ????? ??????? ???????? ???????.

?????????? ???????????? ?????????

??????? ??????????? ??????????

3. ????? ????????????????? ?????????????.

????????? ?????????? - 1-?? ? 2-?? ?????????????? ???????? ????? ???????????????? ????????? ? ????? ????????? ???????? ??? ?????? ??????????????? ?????: ????????? ??????????? ????? (1) ??????????? ??????? ? ??? G(S(t), S(t-1), U(t), U(t-1), a(t), a(t-1), E(t), E(t-1)) = 0

?? ?????????.

??????????? ???? ????????? ??????????????.

?????????????????? ????????? ???? ??????????? ??????????? ???????????? ???????????? ?: ???. ???????. ????????? ???????????? ????????? ?, ??, ??? ???????, ??????? ????????, ????? ????? ????????? ??? ????? ??????????? ????? ? ?????????? ??????? ????????????? ????? ???:

????????????????? - ???????? ? ??????, ?? U ????????? ???????????? ???????????? ??????????? ?????? ? ?????? ???????? ????????? ????????? Y:

????????????? - ????????? ?????? ?, ??? ?? ?????????????? ?????????? ??????? ???? ?????????????????, ????????? ????????? ????? ?? ???????:

??????? - ??????????? ???????????? ?????????? ? ???????? ??????????????? ? (???) ??????? ????????? ???????????:

???????????????????? - ????????? ????????????? ??????? ?? ????????? ? (???) ??????????? ? ???????? ??????? ????????? ???????????:

??????????????? ??????? ?????????? ??????? ?????????:

??????????????? ??? ??? ??????????????? ????????? ?? ???????? ????????? ??????????? ????????????:

????????? ?????? t ?????????? ??????????? ? X(t) ????????? ?????????

X(t) = ….., X(t) R n (R-? ????? ?????? ????? ???????????? ?)

?

????????? ??????????? ???????? ????????? ??????????? ? ????????????

G (X 0, t, ), ?????

X 0 - ????????? ????????? ??????;

t-? ???????? ?;

- ????????? ??????:

g(*) ????????? ??????? ? ??? ?????????? ????????

g(*) ????????? ????? ?, ??? ?????????? ? ??????? ?????? ????? ????????, ????????? ?????????? ? ??????????? ?????????

??????? X t = X 0 (1+ ) t = g (X 0, t, )

g(*) ????????? ????????? ?????? ?????? ??: ??? ????????? ????????????? ?????? ? ????? ????????????????? ?????????????? ????????? ???????:

???????????? ??????????? ??? ?????????????? ????????? ?????????? ? ??????? ????. F (t, X t, X t +1, …, X t + m, ) = 0 (1), ?????

X t-? ????????? ?????? ? t ??????????:

(1) ?????????? ???????? ?????????? ????????????????? ?

X t = X 0, X 1,…,

????????? ?????????? ?, ?? ??????????? (1) ????? ? ??????? ??????????? ???????? X t + m-? ???????? ? ????????????? ?????? ?????? ?????????????? ?????? - ????? ?.

X t+m = f (t, X t, X t+1, …,X t+m-1, )(2)

??????:

Xt +2 = Xt + Xt +1 /2 + ?

???????? ???????? ???? ????? ? ??????????? (2) ????:

???????????? ?????????? (2)??????? ? ??????, ??? F(*) ?????? ????????????? ?????? ????????? ? (???????? ??, ?? ?????? ? )

(1) ? (2) ???????????????? ??????? ? m ?????? ????????? ???????????? ????????????? ??, ???? ?? ????????? ????? ????? ????? ?? ??????????? ????????? ???????????? ? ?????????????:

??????: X t \u003d f (X t -1, Y t -1) - 2-?? ????? ????????

???? ???????????? ??? Y t \u003d X t -1

X t \u003d f (X t -1, Y t -1)

????????, ???? ?????????? ????? ??????? ??? 1-?? ????? ???????????.

X t -1 = f(t, X t, ) (3)

??????????? (3) ??????? ? ????????, ??? t-? ????? ??????? ????????? ???????? ?? ????????

??????:

????? ???? ????????????????? ???????? ????????? ?????????

K t-? ????????????? ???????? ????????? ?????? ? t ????????????????:

- ???????????? ?????????????, ???????? ????? ????????? ???????????????? ????? ?????? ???????? ????????? ??????.

I t = ??????????? ???????? ???????????:

K t +1 = (1 - )K t + I t-? ?????? ????? ?????????? ?, ??????, ??? I t = I, ???

K t +1 = (1 - )K t + I ???????? ?????????? ?

??? I t = I(t) ?? ???????? ? (?????? ? t-??)

(3) ?????????? ???????? ?????? ?????????? (X t) ?????????????????? ?, ??? ?????????? ? (3) ??????????? ????? ???????? ????????? ?????? ??? ?????????????????? ??????? ? ????????? ???????: ??????? (3) ????? ? ?????, ?? ?????? ? ????????? ?????? ??????? ??????????????? ?????????????, ? ????????? ???????? ????? ? ?? ???????????? ????? ????????? ?????????? ? ?????? ????????? ?????? ????????? .

??? X 0 ????????? ?????? ?????? ?, ??? ???? ? ?????? ??????????? ?????????????????? ??????? (3) ???? ?????????, ?????????? ????????? ??????? ??? ??????? ????.

X t +1 = f (t, X t, )

X 1 \u003d f (0, X 0, ) = ? (0, X 0, )

X 2 \u003d f (1, X, ) = f (1; f (0, X 0, );) = ? (1, X 0, )

X t+1 = f (t, X t, ) = f (t, g, (t – 1, X 0, ),) = ? (t, X 0, )

??? f (*)-? ???????, ??????? ????????? ???????? ?, ??? ???????? X 0-? ????? ?? (3) ?????????? ????? ???????:

??? ????????? ???? f ?? (t, X t, ) = / X t-? ??????? ????????? ??:

??? f(*)-? ???????????? ??????????? ???????? ?, ??? ???????? ???????? ???? ????? ? X0

??????? ???????? ?????? ? X 0 ????????? ???????:

?????????? ??????? ?????? ???????? ? (3) ???????????? ? ????????? ????? ?????????? ????????.

X s = X s (4)

??? (4) ?????????? ??? - S = 0 , ??? ??? ??????? ? ????????? ??????

??????????? (3) ???? ???????? ??????????, ? ??????????? (3) + (4) - ????????? ???? ???????? ?, ????????, ????????????????? (3) ?????????? ????????? ? ??????? ?????????? ???.

X t g = X(t, c, ) = (X t (X t +1 = f (t, X t, ))) , ????? e ????????? ????????????? ? ??????? ????????

X t - ???????? ??????? ????? ????? t

Z - % i ?????????????

X t +1 = X t (1+ z) ; X 0 = ...

X 1 = X 0 (1 + z)

X 2 \u003d X 1 (1 + z) \u003d X 0 (1 + z) 2 \u003d g (X 0, t, z), ????? t \u003d 2

??? ???? ????? ?? ????? ????????? ????????? ??????? (3) . ???? ???????? ????????? ????????? ?????????? ??????????????? ????????? ???????? ?????, ???? ????? ??????, ?? ?????? ? ????????? ??????????? ???????? ????????????:

?????, ????????? ???????? ?????????? ???? ????? 1-?? ????? ???? ?????? ????? (????????????, ?????? ??????????? ?????)

???????? ??????????

???????? ??????????? ????????? ?????? ? ???????????? ???????????

X t +1 \u003d f (X t, ) (1)

???????? ??????????? ???????????? ?? ???????????, ??? ????????? ??????????? ???????? ????????? ????? ? ??????: ?? ??????????????? ? ????? ????????????? ????? ?????????? ?????????? ?????:

X t \u003d 1 \u003d f (t, X t, )

X t \u003d X t +1 - X t \u003d f (t, X t, ) - X t = d (t, X t, ) (2)

d (*) ????????? ????? ? ?????, ?? ??????? ?????? ????????? ?????? ??????????????? ?????????????? ????????????? X t ?????? ?????? ? ????? ?????? X t ???????????? ?????????? ??? (2) d (*) ????????? ??? ???????????? ??????? ? ?????????? ????

X 0 / t = 0

???????? ??????????? ?????
?

???????? ????????????? ????? ???????????, ????? ????? ???????? ?? X 0 ?????, ?????????? ??????? ?? ????? ????????: ?? ???????? ????????????? ????????? ?????? ? ??? ??????, ?? ??? ? ????????? ???? X 0 ???:

???????? ??????????? ????? X 0 ????????? ???????? ???? ???????? ??? ??????????? (1).

????????? ? ????? ????? ????????:

????????? ??????????? f t-? ????????? ? f() ?????????? ??????? ???????? ????????? ?? ??????????? t ?????: f t ????????? ????? ? ?????, ?? ??? ? ?????? ????????? ????????? ??????? t ????????????????????:

X t - ????? ????????? ?????????? X 0 ????? t ??????????????????:

f t ????????? ?????? ??????? ? ????????? ?????

?????? ?????????????. ?????????? ??????????????????. ?????????????.

???????? ????????? ????????? ????? ? ???? ?????? ?????? ????????, ??? ?????????? ????????? ?????????? ????????? ????? t -> ?:

????? ???? ?????????

?????????, ???
?????????? ????, ??????
.

X ???? ?????????? ? ???????????
??????? ? ???????????? ??????? ???
.

??? ??????? ??????????? ???????????? ??????? ? ?????? ????? ??? ?????? ??????

????????? ?????? ???????? ???????????? ?? ??????? ??????????? ???????????? ????????? ??????????????? ?????:

???
, ??? 1 ??????? ??????? 0

?????????? ???????????? ???????????

??? ??????? ? ????????? ??????, ??? ???????? ??? ?????
??????? ??? ?? ,
??? ???????
?????? ?????
.

?????????? ??? ??????? ????????????? ?:

- ????????????????? ?????.

X ??????? ????? ??

??? ?????????? ?????? ????? ??? ???????, ??? ????????? ?? ????? ???? ???? ????????????? ? ???? ??????????? .

??? ?????????? ??????? ??????? ? ?????????? ??????, ???.

?????????? ?????? ??????????? ????? ???????? ????????? ????????? ????? ?? ????? ? ???????? ?? ????????????????? ???????:

????????? ???? ?????? ? ??????.

- ????????? ?????

– ??? ???? ????????? k ?????? ????

??????? ????????? ?????????? ???????
??????? ? ??????? ????
, ????? p-? ????????? ?????????????? ? ??? ??????? ???????????????

????????, ?????????? ???????? ???????????? ??????? ??? ?
.

??????? ???

???????, ?????? ?? ??????? ???
:

???????? ??? ????????? ?.

Scalar Linear Systems

??????? ?????? ??????????? ????? ??.
(1)

t ?????????? ????? ??????????? ??

??? (1) ?????????? ???
, ???
, ??? ??? ??????? ? ????????

??????? ?????? ??????????

??????? ??????????? ????? ?????? ? ????????? ????????? ?????????? ???????????? ???????? ???????: ??????? ???????? ???????????? ?????? ?

???? 1.0

???????????? ?????? ?

-??????, ??? a=1, 45 0-?? ????? ????????? ????????:

0-? ?????

???? 2. -1

???????? ??????????

???? 3. ?>1

???? 4. ?<-1

???? 5. a = 1

???? 6. a = 0

???? 7. a = -1 x t+1 = -x t

???
, ???

, ???

??????? ?????? ??????????? ????????? ???????? ???? ??.

????
,
,

?????? ????? ????????? ?????? ??????????

(1)

- ????????????????

????????? ??????????? ????????????? ??? ?????? ??? ? ?????? «????????» ??????????

??? ???????? ? ???????, ?? (1) ?????????? ????????? ???????? ?????? ? ???? ?????????? ??????.

(2)

????? ??????? ?????????? (1) ????????? ???????? ?.
? ??????? ? ???????????? ?????????

????????? ?????????? (1) ???????? ??????? ??????? ?:

???????? ?????????? (1)

1.

2.

????????:

??? (1) ?????????? ???????? ?, ???
.

??? (1) ?????????? ??? ??? ??????? ?, ???

????????? ???????????
? ???????, ?? ?????? (1) ?????????? ???????.

2. [????????????????] ???? ????? ??? ????, ?? ??? ?????? ???-?? ????????? ? ????????? ????
, ??? ??????? ??? (1) ?????????? ????????? ???? ? ?????????? ?????? ???? ??? ???? ???? ??????? (1) ?????????? ????? ???????????? ??????????, ?? ?? ??????? ?????? ?.

???? ???????? ????? ??????? (1), ? :

????????

- ???????,
z t =ca t

-= ca t
=+ca t

???????? ?????? ??????????

X t +1 =ax t + U (3)

=+ (2)

= ?????

= ? + U
=

=+ ?????

???

???

??? ???????, ???
???????? ????????? ????????? ??????? ? ??????? ->? U ?????????? ???????????? ??????????? ???? ????? ??? ?????? ???????? ??????: ????????? (3) ????????? ??????? ? ??????????:

???
, ??? ???????? ????????? ????????? ??????? ???????????? ????????? ????? ???????????? ?, ????????, ????? ?????????????

????????? ???????? (3) ???? ??.

(4)

????????? ?????????? ??????? x s =x s:

(5)

?? ???????? ?????? ??????????

X t +1 =ax t + U t

X t+1 =ax t +U t =a(ax t-1 +U t-1)+U t =a 2 x t-1 +a U t-1 + U t = a 2 (ax t-2 +U t-2)+ aU t-1 + U t = a 3 x t-2 +a U t-2 + aU t-1 + U t)=

???
, ???

???
, ???

?????????, U t ?????????????????? ????????????? ?, ???????. U t <= ???????? ?.

?????????? - ?????????? ??????:

?????? ??????????? ????????? ????????? ????????????

?????????? ????????????????? ??????????? ??????.

?????? ???????? ?????????????????.

?????????? ???? ?????? ???????

?????? ???????????? ???

???????? ? ?????????? ???? ???????????????

????? d 0 , d 1 >0

??????????????:

, ????? S 1 >0, S 0 <=0 (???? ?? 0 ???? ?? ?? ????? ?? ?????????):

??????????????????:

d 0 -d 1 P t \u003d S 0 + S 1 P t-1

d 1 P t \u003d d 0 -S 0 -S 1 P t-1 |: d 1

P t =
(*)

??????? ????? ???????? ????????? ??????? ????????????????? ????, ????????? ?, ?? ?????????????????? ??? S 1 ?1
??????????? ?????? ????????? ????????????

???? ?????????? ???

???????? ????? ?????? ?, ??? ?????????? ????:

d 1 p * \u003d d 0 -S 0 -S 1 p *

????? ???????? ???????? ????? ???????????? ????? ????????????? ???? ? ????? ????? ?? ????? ?????, ???? ????? ??????? ??????????? ????????, ??????? ???????? ?????????????? ????? ?????? ? ??????? ???????? ?????????? (?????????????? ??????) ????????? ???????????? ??????????????

????? ????????? ?????????? ???????????.

S - ?????? ?????? ???????

? - ?????? ?????? ?????????

P t-? ???????????? ?????? ? t ?????:

d t ?? ?????????? ??????? t.

r-? ????????? ????????? ????????????? ?:

- ???????????? ????????? ?????? t+1 ?????.

????????? ?? ???????? ?, ??? ????? ? ????? ????????? ?????? ??????? ??????? ????? ?????` ?????? ?????? ???? ???? ? ????????? ????????????? ??? ????? ????? ????:

????? ??, ?? ?????? ??????????? ?, ??? ??? ????? ???????????? ??????????????????:

???? ???????? ?? ????????? ?????????? ???????????? ?????? ???????? ?????????????????? ???????? ??????

(1)

??????? ?????? ?????? ????????.

P t \u003d 30 ????? ?????:

D t =2 ????? ????? ??????? - ?????????????? ????

-????????? ????????? ???? ?????? ?????????????????.

\u003d 33-2 \u003d 31 ????? ?????:

???????????? ???????????

1. ????????????? ???????????? ?????

=
, ????? 0<=<=1

0
=

1
=

- ???????????? ????????? ????? (2)

(1)

(2)

?????????, ?? d t =d=const ???????? t-? ?????

0

????????? ???????.
, ????? Р 0 ???????????? ????????? ?????? ??

?<1,
a t P 0
0

???????????? ???????? ??????.

a t P 0 – ???????????? ????????

2. ???????? ??????????? ?????

??????????? ??????? ???????????? ????????? ???? ????????? ?: ?? ?????? ? ??????????? ????????? ????????????????, ???????. ?????? ??????????????????? ???????????? ????? ??????????? ???????????????? ????????????:

??? ???????????? ????????????? ?????????? ????? 1970-????????? ?????????? ???????? ??????????? ?????? (?. ??????):

?????? ????????? ??? ?, ?? ???????? ?????? ?? ????? ??????????? ?????? ??????? ????? ??? ????????? ???? ??????????? ??? ?????? ??????? ?? ????????? ? ????????. ??????????? ????? ? ??????????? ??????? ???????????? ?????? ??????????:

- ?????? ??????????, ???????.
- P t +1-? ?????? ??????????? ?; ???
=P t +1 +E t

E t - ????????? ????

????????? ???????? ???????????? ?????? ???????? ????????? (?????????? ?????????????? ?????), ????? ????????? ????? 0 ??

?????????? ????????????? ??????? ?????????, ?? E t =0, ???????.
=P t +1

????????? ???????????? ????? ????????? ?????????? ?????????????? ????????:

???????????? ??????.

(1+r) P t =dt

(1+r) P t =dtP t+1

=Pt+1

P t+1 =(1+r) Pt-d (3)

P t-? ???????? ?, P t ->?, ???? ?? (1+r) >, ??? ??????? ??????? ?????.

??? P t = , ??? P t + k =

d=0, P t +1 =(1+r) Pt

????????? ??????????? ???????? ??????????? ???????????? ?????? ?? ??????????????? ????????????? ???, ????????? ????? ????? ?? ?????? ????????? ????, ???? ??. ??????????? ??????? ??, ?? ????? ??????????: ????????, ???? ???????? ?????????? ??? ???????????? ????????? ?????????? ? ??? ???????? ?????? ????????:

??????? ???????? , ?????? (?????????, ????????????, ????????? ? ????) ????????? ???????????? ????????????? ?????, ??? ?????? ???????? ???????? ???? ????????? ???????? ? ????????? ????????

?????????? ????????. ??????? ??????????? ????????? ???????????? ?? ?.????????? ? ?.?.??????????? 19-?? ???? ?????? - 20-?? ???? ?????? ????? ????????????? ? ??????????????? ????????? ?? ??? (???????? ??????????, ?????? ??????? ????????????????? ????? ????????? ??? ? ????), ???????? ????????? ?? ?????? ????? ?????? ?????????? ????????? ??????????? ?????????????? ????????? (ODE) ??????? ??????? x(t), ???? ?????? (??????? ?????????) ????????? ?????? ????????? ?????????? ?????????????? ????? (??? ???) ???????????: ??? ??????? x(t)-? ????? ? ??????????? ????? ??? ????? ???????? ????????? ??????????? ??? (???????? x ?????????? ?????????), ? ?????? ? ?????????? ??? ???? ???????????? ???????????????? ?????????? ? ??????????? ???????????????: ???????? x(t). ???? ???? ??????? ? ???????? ???????:

20-?? ???? ?????? ????????? ?? ???? ??????????????? ?????????????????? ??????? ? ??????? ????????? ???????????? ????????? ????????????, ?? ???????? ? ?????? ??????????? ????? ????, ?? ??????? ????????? ??????????? ??????????? ? ???????? ? ??????????????? ?? ?????? ????????????? ????????????????? ?????, ??? ????????????? ???????: ??? ????? ???? ?????? ?? ?????? ????????? ????????????????? ?????????????????, ???? ?? ?????? ????????????? ??????? ????? ? ?????? ?? ????????? ?????? ?????????????: ????????? ????????? ? ????????????????? ?????????? ?????????? ??????? ?????????? ? ????????? ??? ?????????? ?? ?????? ?????????? ??????????? ?. ?. ??????????? ??? ?????? ?? ??????????? ????? ????????? ???????????, ??? ??????? ?? ??????????? ???? ???????????????? ????????: ???? ????????? ?????? ?? ?????? ?? ??????????????? ??????????? ???? ?????????????????, ???????? ??????????? ???????? ???? ? ???? ??? ????????? ???????????? ??????? ????????? ?? (????????): ????? ??????????? ???????? ?? ??? ?????????? ????? ??????? ??????????? ??????????? ?????????: ??? ?????????? ????? ?, ????????????, ????? ???????????? ??????? ?? ?? ????? ??????????: ??????? ????? ??????? ?????????? ? ??????????????? ??????? ????????? ??????????? ????????????? ??????? ??????????? ??????????, ????? ?????? ?? ??????????, ???????? ??????? ????????? ??????????? ????????? ????????? ??????? ? ????? ???????????????, ?????? ? ????????? ?????????? ??? ??????????? ????????? ???????? ???????:

20-?? ???? ??????? ????? ?.?.???????, ?.?.???????, ?.???????, ?.??????, ??.?.??????, ?.???????, ?.???????, ?.?. ??????? ????????? ??????????, ??? ???? ?????????????? ? ????? ??????????????? ????????????? ??????? ????? ? ????? ? ????? ????????????? ?????? ??????????? ?????????:

??????? ????????? ???????????.??????? ????????? ?????????? ???????? ? (x) ????????? ????????????? ? f t ???????????? ????????? (??????)? ?????? t ?????????, ??? ???, x 0 ????????? ??????? ????????? t ????????? ????? ? x t ???????? ??????? ????????? ?????? ??????????? ? x ????????????? ???????????, ????? ???????? ?? ????? ??????????? ????????????, ????????????? ??????????, ????????????? ? ????? ????????: ??????? ????????? ????????? (???????) ???????????? ??????? ? ???????? ????????????, ????? ?????????????? ?????? ??????????????? ? ?????, ??? ??????????? ??????????? ? ???????? ??????? ????????? ???? ????????? ??????? ??????????? ??? ???????????? ?????: ??????, n ?????????? ???????? ?????? ?????? ???????????? ???????? ??????????? ??? ??????????? ? ??? ?????????? ????????????? ? ??????????????? ????? ?????? ???????????, ??? ???????????? ????????? ???????? ? ODE-???? ???????????? ????????? ????????:

????????? ???????????? ?????????????????????? ?????????? ?? ???????? ????????? ?????? ???: ????????????, ??????? ????????? ????????????????? ?????? ??????????????? ? ?????????? ????????? ???????? ??????????? ?? ????, ?????????? ????????? ??? ????, ????? ?????????? ???????? ? ??????? ????????????????????? ?????????? ???? ???? m-??????? ??????, ??? ???????????? ? ???????? ??????????? ???: ?????????? ????????? ?????? ?????? (????????? ????????) ??????????????? ? ????????` ????????? ?? ????, ????? ???? ????? ?? ????? ????? ????? ?????????: ?????? ?????????? ???????????? ??????????????? ?? ?????????? ??????? ??????????? (??????? ??????????? ???) ??? ???????. ???????? ?????-???????????? ????????? ??????????????? ?? ????????? ???????? ???????? ?????????? ???????? ???? ??????????:

??? ?????????????? ??????? ? ????????????? ?????????? ??????? ??????????? ????????? ?? ???????? (???????????? ??????? ????????????) ? ?????????? (???????): ????????? ??????? ??????? ??????????? ?????? ? ??????? ???????????? ? ????, ???? ??????????????? ? ?????? ??????????? ?????? ????????? ????????: ???????????? ??????? ??????????? ????????? ??????? ??????? ?????????? ??: ????? ?????????? ?? ??????????? ????????????? ????????? ????? ??????????? ???????????? ?????????? ??????????? ????? ???????? ?????? ?? ??????????, ????? ???????? ??????????? ??? ?? ?????????? ?????? (????? ?????), ??? ??? ???????? ??????? ??? ??????? ??????? ? ????:

??????? ??????????? ????? ?? ??? ??????????????? ???????????? ? ??????? ????????? ???????????: ???????????? ????????? ??????? ??????????? ????????? ?????? ?? ODE ?????????? x = f(x) (x-? ??????? ??? ?????????? ?????????? ?, ???? ????????? ? ??????????? ???????? ????????), ????? ????????????? ????????? ???? ????? ?? ??????????? ???????: ???? ??????? ????????? ????????????????? x 0 ?????? ???????? ? f(x 0) = 0 ????????????: O ????????????????? ?????? ??????????? ????????? ?????? ? O-? ??? ??????????? ????????? ????????????????, ??? ?? l ??????????: 1 , l 2 ,.., l n ?????? ??????????

????? d ij-? ????????? ??????????? ?: ??? Re l j ???? ????????? p-? ? ?????? q ????????? ?????, ??? p + q = n: ??? p \u003d n (q \u003d n), O ???? ??????? ? ?????? (????????) ????????: ??????? ??????????? ??? ????? ??? ????????? ???? ??? ?????? ?? ?????? ????????? ???????, ??? ???????? t -> +? ?, ??? ???????? ????????? ???????, ??? t-> -?: ??? p?0, q?0, O ???? ??????? ? ????: ??? ????? ??????? ?? ????? ??????????? p-??????? W s O ? q-??????? W u O, ????? ??????? ?? ????? ?????? ? ???????? ???????????????, ?????? ??? ?????? ? ???????? ??????????? ??? ??????????? ?????????? ?? O-?? ????? ??????????? ???????????????? t ->+? ? t -> -?: ?????? ????????? ??????? ?? ????? t -> ± ? (??. 1):

????????, ??? ?????????? ??????? ? W s O W u O-??? (? ?? ?????????? O-? ???), ??????? ? ?????????????? ??? ????? ??????????? ????????: ???????????? ????????? ?????? ??????????? ?????????????? ???????? ??????????????? ? ???????? ?????? ?????? ??????? ??????:

x = f(x) ????????? ?????????? ???????? x = p(t) ???? ??????? ????????????? p(t) = p(t+T) ???????? t-? ?????, ????? T-? ?????????????? ?? ??? ???????? ??????????????? ? ??? ??????? L ???????? ??????????? ???: L ?????????? ??????? ????????????? ????????? ????????? ???????????? ? g 1, ..., g n ????????????????, ????? ????????????? ?? L-? ??? ??????????? ????????? ??????????? ???????? ??????? ????, ?????? g n , ???? ??????? ? 1-?. ??? |g i |< 1 (|g i | >1) ?????? ????? i = 1, 2, ..., n - 1, ??? L-? ???????? ?????? ? (????????): ??? ???????? ?????????? ??? p ??????????????? ??????? ?? ??????? ????????? ???????, ??? q ??????? p + q = n - 1, ??? L-? ????? ???? ??????? ?: ??? ??????? ? ????? ?????????????? ????????????? (p + 1) - ????????? W s L ? (q + 1) - ????????? W u L (?????? ? ???????? ??????????): ???????????? W s L (W u L) ???????? ? ??????????, ????? ?????? ?? ???? L, ?????? t -> +? (t ->- ?): n = 3 ? p = q=1 ????? W s L (W u L) ???????? ???????????? ???????? ? ??????, ??? g ???????????? ?????? ? ? ??? ? 1-?? (???? 2):

????????? ????????? L-? ????????????? ??????????????? ?? ?????????? ????? ??????? L-?? ?????? (????? ????????) (n - 1) ????????? D ??????????? ? ???? ??? ?????? ????????? ???? ??? D-? m 0 ???? ??????????? ??? ? L-??, ??? m 0-?? ?????? ???????? ?????? ? D-? ??? ??? m ??????, ??? ??????? ? ???????????????? ?????? (?????????? ??????) (??. 3):

?????????? ??????? ??????????? L-? D-? ?????? ?????? ?????????? ? ?????? ????????? ??? ??????? ????????? g 1 , ..., g n-1 ??? ??????? L-? ?????????????? ???

?????????? ????????? ?????? ? ???????? ??????????????????? ????? ?? ??????: W s L ? W u L ??????????? ???????? ????????, ??? ?????????? ? L-??, ?????????? ?: ??? ??? ?????????? ???? ? ???????? ????? ????????, ??? ?????????????? ??????? ??????????? ?? ?????? ???????? ????????? ?? ????, ????? ????? ?? ??? ????? ???? ????????? ???????? ?????????? ????????? ???? ?????????? ?????? ? ???????? ??????????? ??????? ????????? ?????? ????????, ?????????????? ??????? ????????????? ????? ? ????? ??????? ??????? ??????? ??????????? ???????? ????????? ??????????? ????? (??? ??????? ????)?

??????? ???????? ??????? ??????????? ????????? ?????????? ?? ???????? ??????????? G ???????????? ???????? x n+1 = G(x n): ????????? ???????????? ????????? f t, t = m, ???????? G ??????? ?, ??? ????????? ? m ?????? f n x=G(G(...G(x)...)): ??????? ??????????? ?????????? ????????? ?????? ?????????? ? (n + 1) ?????? ????????? ??? ??????????? x n + 1, ????? ?????? ?????? x n ??? ????????? x n + 1 \u003d ax n? - bx 2 n, a, b > 0 - ??????????? ??????????????: ?????? a-? ? b-? ??????????? ??? ??????? ????????? ????? ? ????? ??? ??? ????????? (????? ?????????? ?????????? ???????? ??) ??? ???????? ????????:

?????????? ??????? ????????? ????????? ? ??????? ???????? ????????: ??????, ??????? ???????????, ????? ?????????? ?? ?????????? ?????????? ?????????????? ODE-???? ????????? ???, ??? ????? ? ????? x = f(x, th), th = o, ????? f-? ?????????? ????????? ?, ??? ?????????? ? th-???, ???? ?????????? ?? Poincar?: ??????. ???? ??????????? ????? ?????????? ???? ?????? Poincar? ?????????? ??????? th = 0, ??? ????????????? ??????? ??????? ? ???????? ???? ????????: ???????????? ????????? ??????????? ????????? ????????? ?????? ???????? ? ??????? ????????? ??????? ??????????:

??????? ????????? ????????? ?????? ???? ??????? ??????????? ?, ??? ?????????? ? ????????? ???????????? ???????????????? ??? ????? ???????? ??, ?????? ????????? ?????? ???????????? ???????????? ?????????? ?? ????????? ????? ??????????????, ?????? ????????? ????????? ????????????, ????????? ?????????? ? «??????? ?????????????» ????????? ???????????: (?????, ?? ??????? ???????????? ??????????? ???????????????? ?????? ? ???? ????????? ?????????????? ????) ?????????? ??? ????????? ????? ?? ??????? ?????? ??????????????, ? ??? ??????????????? ???????????????? ?????? ? ????????? ???????????????????? ??????? ????????????:

?. ?????????? ??????? ??, ?? ???????? ?????????? ??? ?????, ?? ??? ??????? ????????? ????????? ???????? ??, ?????? ? ????? ????? ????? ??????? ???????????? ??????????????? ?????, ????? ??? ??????? ????? ????? ??? ?. ???????? ? ?.?.????? ???????????? ?????????? ??????????: ???????? ?????????? ??????????? ?? ??????? ????????? ??? ? ???????????? ???????? ?? «????????» ???? ??????????????? ? ????????? «??????????» ?????

??????? ????????? ????????? ?????????? ?????????????? ? ????????? ?? ???????? ? ????????? ???????? ?? ?????? ??????????, ???????? ?? ??????? ?????, ?????????? ? ???????? ???????????? ?????????????, ???? ?????????????? ??????????, ??????-??????????? ????? ??????? ???????????? ??????????, ????????? ????????????? ?????? ?????????? ????????? ? ????:

???. ??????? ????? ??????? ??????????? ???????? ??????????. ?., 1967; Kornfeld I. P., Sinai Ya. G., Fomin S. V. Ergodic ??????????: ?., 1980; ????????? ? ????????? ????????????. ???. ???????????? ??????????? ????????. ???????? ??????????????. ?., 1985-1991 ??. [?. 1-9]? ??????? ??????????; Katok A., Hasselblatt B. ???????????? ??????? ??????????? ??????????? ??????????: ?., 1999:

?.?. ??????????, ?.?.?????????.