Гипотезу плоских сечений при изгибе можно объяснить на примере: нанесем на боковой поверхности недеформированной балки сетку, состоящую из продольных и поперечных (перпендикулярных к оси) прямых линий. В результате изгиба балки продольные линии примут криволинейное очертание, а поперечные практически останутся прямыми и перпендикулярными к изогнутой оси балки.

Формулировка гипотезы плоских сечения : поперечные сечения, плоские и перпендикулярные к оси балки до , остаются плоскими и перпендикулярными к изогнутой оси после ее деформации.

Это обстоятельство свидетельствует: при выполняется гипотеза плоских сечений , как при и

Помимо гипотезы плоских сечений принимается допущение : продольные волокна балки при ее изгибе не надавливают друг на друга.

Гипотезу плоских сечений и допущение называют гипотезой Бернулли .

Рассмотрим балку прямоугольного поперечного сечения, испытывающую чистый изгиб (). Выделим элемент балки длиной (рис. 7.8. а). В результате изгиба поперечные сечения балки повернутся, образовав угол . Верхние волокна испытывают сжатие, а нижние растяжение. Радиус кривизны нейтрального волокна обозначим .

Условно считаем, что волокна изменяют свою длину, оставаясь при этом прямыми (рис. 7.8. б). Тогда абсолютное и относительное удлинения волокна, отстоящего на расстоянии y от нейтрального волокна:

Покажем, что продольные волокна, не испытывающие при изгибе балки ни растяжения, ни сжатия, проходят через главную центральную ось x.

Поскольку длина балки при изгибе не изменяется, продольное усилие (N), возникающее в поперечном сечении, должно равняться нулю. Элементарное продольное усилие .

С учетом выражения :

Множитель можно вынести за знак интеграла (не зависит от переменной интегрирования).

Выражение представляет поперечного сечения балки относительно нейтральной оси x. Он равен нулю, когда нейтральная ось проходит через центр тяжести поперечного сечения. Следовательно, нейтральная ось (нулевая линия) при изгибе балки проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Очевидно: изгибающий момент связан с нормальными напряжениями, возникающими в точках поперечного сечения стержня. Элементарный изгибающий момент, создаваемый элементарной силой :

,

где – осевой момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси x, а отношение - кривизна оси балки.

Жесткость балки при изгибе (чем больше, тем меньше радиус кривизны ).

Полученная формула представляет собой закон Гука при изгибе для стержня : изгибающий момент, возникающий в поперечном сечении, пропорционален кривизне оси балки.

Выражая из формулы закона Гука для стержня при изгибе радиус кривизны () и подставляя его значение в формулу , получим формулу для нормальных напряжений () в произвольной точке поперечного сечения балки, отстоящей на расстоянии y от нейтральной оси x : .

В формулу для нормальных напряжений () в произвольной точке поперечного сечения балки следует подставлять абсолютные значения изгибающего момента () и расстояния от точки до нейтральной оси (координаты y). Будет ли напряжение в данной точке растягивающим или сжимающим легко установить по характеру деформации балки или по эпюре изгибающих моментов, ординаты которой откладываются со стороны сжатых волокон балки.

Из формулы видно: нормальные напряжения () изменяются по высоте поперечного сечения балки по линейному закону. На рис. 7.8, в показана эпюра . Наибольшие напряжения при изгибе балки возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси. Если в поперечном сечении балки провести линию, параллельную нейтральной оси x, то во всех ее точках возникают одинаковые нормальные напряжения.

Несложный анализ эпюры нормальных напряжений показывает, при изгибе балки материал, расположенный вблизи нейтральной оси, практически не работает. Поэтому в целях снижения веса балки рекомендуется выбирать такие формы поперечного сечения, у которых большая часть материала удалена от нейтральной оси, как, например, у двутаврового профиля.

Общие понятия.

Деформация изгиба заключается в искривлении оси прямого стержня или в изменении начальной кривизны прямого стержня (рис. 6.1) . Ознакомимся с основными понятиями, которые используются при рассмотрении деформации изгиба.

Стержни, работающие на изгиб, называют балками .

Чистым называется изгиб, при котором изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, возникающем в поперечном сечении балки.

Чаще, в поперечном сечении стержня наряду с изгибающим моментом возникает также и поперечная сила. Такой изгиб называют поперечным.

Плоским (прямым) называют изгиб, когда плоскость действия изгибающего момента в поперечном сечении проходит через одну из главных центральных осей поперечного сечения.

При косом изгибе плоскость действия изгибающего момента пересекает поперечное сечение балки по линии, не совпадающей ни с одной из главных центральных осей поперечного сечения.

Изучение деформации изгиба начнем со случая чистого плоского изгиба.

Нормальные напряжения и деформации при чистом изгибе.

Как уже было сказано, при чистом плоском изгибе в поперечном сечении из шести внутренних силовых факторов не равен нулю только изгибающий момент (рис. 6.1, в):

; (6.1)

Опыты, поставленные на эластичных моделях, показывают, что если на поверхность модели нанести сетку линий (рис. 6.1, а) , то при чистом изгибе она деформируется следующим образом (рис. 6.1, б) :

а) продольные линии искривляются по длине окружности;

б) контуры поперечных сечений остаются плоскими;

в) линии контуров сечений всюду пересекаются с продольными волокнами под прямым углом.

На основании этого можно предположить, что при чистом изгибе поперечные сечения балки остаются плоскими и поворачиваются так, что остаются нормальными к изогнутой оси балки (гипотеза плоских сечений при изгибе).

Рис. .

Замеряя длину продольных линий (рис. 6.1, б), можно обнаружить, что верхние волокна при деформации изгиба балки удлиняются, а нижние укорачиваются. Очевидно, что можно найти такие волокна, длина которых остается неизменной. Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, называется нейтральным слоем (н. с.) . Нейтральный слой пересекает поперечное сечение балки по прямой, которая называется нейтральной линией (н. л.) сечения .

Для вывода формулы, определяющей величину нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении, рассмотрим участок балки в деформированном и не деформированном состоянии (рис. 6.2).

Рис. .

Двумя бесконечно малыми поперечными сечениями выделим элемент длиной. До деформации сечения, ограничивающие элемент, были параллельны между собой (рис. 6.2, а), а после деформации они несколько наклонились, образуя угол. Длина волокон, лежащих в нейтральном слое, при изгибе не меняется. Обозначим радиус кривизны следа нейтрального слоя на плоскости чертежа буквой. Определим линейную деформацию произвольного волокна, отстоящего на расстоянии от нейтрального слоя.

Длина этого волокна после деформации (длина дуги) равна. Учитывая, что до деформации все волокна имели одинаковую длину, получим, что абсолютное удлинение рассматриваемого волокна

Его относительная деформация

Очевидно, что, так как длина волокна, лежащего в нейтральном слое не изменилась. Тогда после подстановки получим

(6.2)

Следовательно, относительная продольная деформация пропорциональна расстоянию волокна от нейтральной оси.

Введем предположение, что при изгибе продольные волокна не надавливают друг на друга. При таком предположении каждое волокно деформируется изолировано, испытывая простое растяжение или сжатие, при котором. С учетом (6.2)

, (6.3)

т. е. нормальные напряжения прямо пропорциональны расстояниям рассматриваемых точек сечения от нейтральной оси.

Подставим зависимость (6.3) в выражение изгибающего момента в поперечном сечении (6.1)

Вспомним, что интеграл представляет собой момент инерции сечения относительно оси

Или

(6.4)

Зависимость (6.4) представляет собой закон Гука при изгибе, поскольку она связывает деформацию (кривизну нейтрального слоя) с действующим в сечении моментом. Произведение носит название жесткости сечения при изгибе, Н· м 2 .

Подставим (6.4) в (6.3)

(6.5)

Это и есть искомая формула для определения нормальных напряжений при чистом изгибе балки в любой точке ее сечения.

Для того, чтобы установить, где в поперечном сечении находится нейтральная линия подставим значение нормальных напряжений в выражение продольной силы и изгибающего момента

Поскольку,

то

(6.6)

(6.7)

Равенство (6.6) указывает, что ось ? нейтральная ось сечения ? проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Равенство (6.7) показывает что и - главные центральные оси сечения.

Согласно (6.5) наибольшей величины напряжения достигают в волокнах наиболее удаленных от нейтральной линии

Отношение представляет собой осевой момент сопротивления сечения относительно его центральной оси, значит

Значение для простейших поперечных сечений следующее:

Для прямоугольного поперечного сечения

, (6.8)

где - сторона сечения перпендикулярная оси;

Сторона сечения параллельная оси;

Для круглого поперечного сечения

, (6.9)

где - диаметр круглого поперечного сечения.

Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе можно записать в виде

(6.10)

Все полученные формулы получены для случая чистого изгиба прямого стержня. Действие же поперечной силы приводит к тому, что гипотезы, положенные в основу выводов, теряют свою силу. Однако практика расчетов показывает, что и при поперечном изгибе балок и рам, когда в сечении кроме изгибающего момента действует еще продольная сила и поперечная сила, можно пользоваться формулами, приведенными для чистого изгиба. Погрешность при этом получается незначительной.

Определение поперечных сил и изгибающих моментов.

Как уже было сказано, при плоском поперечном изгибе в поперечном сечении балки возникают два внутренних силовых фактора и.

Перед определением и определяют реакции опор балки (рис. 6.3, а), составляя уравнения равновесия статики.

Для определения и применим метод сечений. В интересующем нас месте сделаем мысленный разрез балки, например, на расстоянии от левой опоры. Отбросим одну из частей балки, например правую, и рассмотрим равновесие левой части (рис. 6.3, б). Взаимодействие частей балки заменим внутренними усилиями и.

Установим следующие правила знаков для и:

• Поперечная сила в сечении положительна, если ее векторы стремятся вращать рассматриваемое сечение по часовой стрелке ;
• Изгибающий момент в сечении положителен, если он вызывает сжатие верхних волокон.

Рис. .

Для определения данных усилий используем два уравнения равновесия:

1. ; ; .

2. ;

Таким образом,

а) поперечная сила в поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на поперечную ось сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения;

б) изгибающий момент в поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов (вычисленных относительно центра тяжести сечения) внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения.

При практическом вычислении руководствуются обычно следующим:

1. Если внешняя нагрузка стремится повернуть балку относительно рассматриваемого сечения по часовой стрелке, (рис. 6.4, б) то в выражении для она дает положительное слагаемое.
2. Если внешняя нагрузка создает относительно рассматриваемого сечения момент, вызывающий сжатие верхних волокон балки (рис. 6.4, а), то в выражении для в этом сечении она дает положительное слагаемое.

Рис. .

Построение эпюр и в балках.

Рассмотрим двухопорную балку (рис. 6.5, а) . На балку действует в точке сосредоточенный момент, в точке - сосредоточенная сила и на участке - равномерно распределенная нагрузка интенсивностью.

Определим опорные реакции и (рис. 6.5, б) . Равнодействующая распределенной нагрузки равна, а линия действия ее проходит через центр участка. Составим уравнения моментов относительно точек и.

Определим поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечений, расположенном на участке на расстоянии от точки А (рис. 6.5, в) .

(рис. 6.5, г). Расстояние может изменяться в пределах ().

Значение поперечной силы не зависит от координаты сечения, следовательно, во всех сечениях участка поперечные силы одинаковы и эпюра имеет вид прямоугольника. Изгибающий момент

Изгибающий момент изменяется по линейному закону. Определим ординаты эпюры для границ участка.

Определим поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечений, расположенном на участке на расстоянии от точки (рис. 6.5, д). Расстояние может изменяться в пределах ().

Поперечная сила изменяется по линейному закону. Определим для границ участка.

Изгибающий момент

Эпюра изгибающих моментов на этом участке будет параболической.

Чтобы определить экстремальное значение изгибающего момента, приравниваем к нулю производную от изгибающего момента по абсциссе сечения:

Отсюда

Для сечения с координатой значение изгибающего момента будет составлять

В результате получаем эпюры поперечных сил (рис. 6.5, е) и изгибающих моментов (рис. 6.5, ж).

Дифференциальные зависимости при изгибе.

(6.11)

(6.12)

(6.13)

Эти зависимости позволяют установить некоторые особенности эпюр изгибающих моментов и поперечных сил:

Н а участках, где нет распределенной нагрузки, эпюры ограничены прямыми, параллельными нулевой линии эпюры, а эпюры в общем случае ? наклонными прямыми .

Н а участках, где к балке приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра ограничена наклонными прямыми, а эпюра - квадратичными параболами с выпуклостью, обращенной в сторону, противоположную направлению действия нагрузки .

В сечениях, где, касательная к эпюре параллельна нулевой линии эпюры .

Н а участках, где, момент возрастает; на участках, где, момент убывает .

В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы, на эпюре будут скачки на величину приложенных сил, а на эпюре будут переломы .

В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные моменты, на эпюре будут скачки на величину этих моментов.

Ординаты эпюры пропорциональны тангенсу угла наклона касательной к эпюре.

Изгибающий момент и поперечная сила

Основные понятия об изгибе. Чистый и поперечный изгиб балки

Чистым изгибом называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент.
Деформация чистого изгиба будет, например, иметь место, если к прямому брусу в плоскости, проходящей через ось, приложить две равные по величине и противоположные по знаку пары сил.
На изгиб работают балки, оси, валы и другие детали конструкций. Если брус имеет хоть одну ось симметрии, и плоскость действия нагрузок совпадает с ней, то имеет место прямой изгиб , если же это условие не выполняется, то имеет место косой изгиб .

При изучении деформации изгиба будем мысленно представлять себе, что балка (брус) состоит из бесчисленного количества продольных, параллельных оси волокон.
Чтобы наглядно представить деформацию прямого изгиба, проведем опыт с резиновым брусом, на котором нанесена сетка продольных и поперечных линий.
Подвергнув такой брус прямому изгибу, можно заметить, что (рис. 1):
- поперечные линии останутся при деформации прямыми, но повернутся под углом друг другу;
- сечения бруса расширятся в поперечном направлении на вогнутой стороне и сузятся на выпуклой стороне;
- продольные прямые линии искривятся.

Из этого опыта можно сделать вывод, что:
- при чистом изгибе справедлива гипотеза плоских сечений;
- волокна, лежащие на выпуклой стороне растягиваются, на вогнутой стороне – сжимаются, а на границе между ними лежит нейтральный слой волокон, которые только искривляются, не изменяя своей длины.

Полагая справедливой гипотезу о не надавливании волокон, можно утверждать, что при чистом изгибе в поперечном сечении бруса возникают только нормальные напряжения растяжения и сжатия, неравномерно распределенные по сечению.
Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной осью . Очевидно, что на нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю.

Изгибающий момент и поперечная сила

Как известно из теоретической механики, опорные реакции балок определяют, составляя и решая уравнения равновесия статики для всей балки. При решении задач сопротивления материалов, и определении внутренних силовых факторов в брусьях, мы учитывали реакции связей наравне с внешними нагрузками, действующими на брусья.
Для определения внутренних силовых факторов применим метод сечений, причем изображать балку будем только одной линией – осью, к которой приложены активные и реактивные силы (нагрузки и реакции связей).

Рассмотрим два случая:

1.К балке приложены две равные и противоположные по знаку пары сил.
Рассматривая равновесие части балки, расположенной слева или справа от сечения 1-1 (рис. 2), видим, что во всех поперечных сечениях возникает только изгибающий момент М и , равный внешнему моменту. Таким образом, это случай чистого изгиба.

Изгибающий момент есть результирующий момент относительно нейтральной оси внутренних нормальных сил, действующих в поперечном сечении балки.
Обратим внимание на то, что изгибающий момент имеет разное направление для левой и правой частей балки. Это говорит о непригодности правила знаков статики при определении знака изгибающего момента.

2. К балке приложены активные и реактивные силы (нагрузки и реакции связей), перпендикулярные оси (рис 3). Рассматривая равновесие частей балки, расположенных слева и справа, видим, что в поперечных сечениях должны действовать изгибающий моментМ и и поперечная сила Q .
Из этого следует, что в рассматриваемом случае в точках поперечных сечений действуют не только нормальные напряжения, соответствующие изгибающему моменту, но и касательные, соответствующие поперечной силе.

Поперечная сила есть равнодействующая внутренних касательных сил в поперечном сечении балки.
Обратим внимание на то, что поперечная сила имеет противоположное направление для левой и правой частей балки, что говорит о непригодности правила знаков статики при определении знака поперечной силы.
Изгиб, при котором в поперечном сечении балки действуют изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным.

У балки, находящейся в равновесии вод действием плоской системы сил, алгебраическая сумма моментов всех активных и реактивных сил относительно любой точки равна нулю; следовательно, сумма моментов внешних сил, действующих на балку левее сечения, численно равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на балку правее сечения.
Таким образом, изгибающий момент в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести сечения всех внешних сил, действующих на балку справа или слева от сечения.

У балки, находящейся в равновесии под действием плоской системы сил, перпендикулярных оси (т. е. системы параллельных сил), алгебраическая сумма всех внешних сил равна нулю; следовательно сумма внешних сил, действующих на балку левее сечения, численно равна алгебраической сумме сил, действующих на балку правее сечения.
Таким образом, поперечная сила в сечении балки численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих справа или слева от сечения.

Так как правила знаков статики неприемлемы для установления знаков изгибающего момента и поперечной силы, установим для них другие правила знаков, а именно: Если внешняя нагрузка стремится изогнуть балку выпуклостью вниз, то изгибающий момент в сечении считается положительным, и наоборот, если внешняя нагрузка стремится изогнуть балку выпуклостью вверх, то изгибающий момент в сечении считается отрицательным (рис 4a).

Если сумма внешних сил, лежащих по левую сторону от сечения, дает равнодействующую, направленную вверх, то поперечная сила в сечении считается положительной, если равнодействующая направлена вниз, то поперечная сила в сечении считается отрицательной; для части балки, расположенной справа от сечения, знаки поперечной силы будут противоположными (рис. 4b). Пользуясь этими правилами, следует мысленно представлять себе сечение балки жестко защемлённым, а связи отброшенными и замененными реакциями.

Еще раз отметим, что для определения реакций связей пользуются правилами знаков статики, а для определения знаков изгибающего момента и поперечной силы – правилами знаков сопротивления материалов.
Правило знаков для изгибающих моментов иногда называют "правилом дождя" , имея в виду, что в случае выпуклости вниз образуется воронка, в которой задерживается дождевая вода (знак положительный), и наоборот – если под действием нагрузок балка выгибается дугой вверх, вода на ней не задерживается (знак изгибающих моментов отрицательный).

Эпюры внутренних усилий при прямом изгибе.

Прямым изгибом называется такой вид простого сопротивления, когда внешние силы приложены перпендикулярно продольной оси бруса (балки) и расположены в одной из главных плоскостей в соответствие с конфигурацией поперечного сечения балки.

Как известно, при прямом изгибе в поперечном сечении возникают два вида внутренних усилий: поперечная сила и внутренний изгибающий момент.

Рассмотрим пример расчетной схемы консольной балки с сосредоточенной силой Р , рис. 1 а., …

а) расчетная схема, б) левая часть, в) правая часть, г) эпюра поперечных сил, д) эпюра изгибающих моментов

Рис.1. Построение эпюр поперечных сил и внутренних изгибающих моментов при прямом изгибе:

Наиболее рациональным следует признать сечение, обладающее минимальной площадью при заданной нагрузке (изгибающем моменте) на балку. В этом случае расход материала на изготовление балки, будет минимальным. Для получения балки минимальной материалоемкости нужно стремиться к тому, чтобы по возможности наибольший объем материала работал при напряжениях, равных допускаемым или близким к ним. Прежде всего рациональное сечение балки при изгибе должно удовлетворять условию равнопрочности растянутой и сжатой зон балки.Иными словами необходимо, чтобы наибольшие напряжения растяжения (max ) н наибольшие напряжения сжатия (max ) одновременно достигали допускаемых напряжений и .

Поэтому для балки из пластичного материала (одинаково работающего на растяжение и сжатие: ), условие равнопрочности выполняется для сечений, симметричных относительно нейтральной оси. К таким сечениям относится, например, прямоугольное сечение (рис. 6, а ), при котором обеспечено условие равенства . Однако в этом случае материал, равномерно распределенный по высоте сечения, плохо используется в зоне нейтральной оси. Чтобы получить более рациональное сечение, необходимо возможно большую часть материала переместить в зоны, максимально удаленные от нейтральной оси. Таким образом, приходим к рациональному для пластичного материала сечению в форме симметричного двутавра (рис. 6): 2 горизонтальных массивных листа, соединенные стенкой (вертикальным листом), толщина которой назначается из условий прочности стенки по касательным напряжениям, а также из соображений ее устойчивости. К двутаврому сечению близко по критерию рациональности так называемое коробчатое сечение (рис. 6, в ).

Рис.6. Распределение нормальных напряжений в симметричных сечениях

Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что для балок из хрупкого материала наиболее рациональным будет сечение в форме несимметричного двутавра, удовлетворяющего условию равнопрочности на растяжение и сжатие (рис. 27):

которое вытекает из требования

Рис.7. Распределение напряжений несимметричного профиля сечения балки.

Идея рациональности поперечного сечения стержней при изгибе реализована в стандартных тонкостенных профилях, получаемых методами горячего прессования или прокатки из рядовых и легированных конструкционных высококачественных сталей, а также алюминия и алюминиевых сплавов, получивших широкое распространение в строительстве, машиностроении, авиационном машиностроении. Широко распространены показанные на рис. 7: а- двутавр, б- швеллер, в - неравнобокий уголок, г -равнобокий уголок. Реже встречаются тавр, таврошвеллер, зетовый профиль и др.

Рис.8. Используемые профили сечений: а) двутавр, б) швеллер, в) неравнобокий уголок, г) равнобокий уголок

Формула осевого момента сопротивления при изгибе выводится просто. Когда поперечное сечение балки симметрично относительно нейтральной оси, нормальные напряжения в наиболее удаленных точках (при ) определяются по формуле:

Геометрическую характеристику поперечного сечения балки, равную называют осевым моментом сопротивления при изгибе . Осевой момент сопротивления при изгибе измеряется в единицах длины в кубе (как правило, в см3). Тогда .

Для прямоугольного поперечного сечения: ;

формула осевого момент сопротивления при изгибе для круглого поперечного сечения: .

Расчет балки на изгиб «вручную», по-дедовски, позволяет познать один из важнейших, красивейших, четко математически выверенных алгоритмов науки сопротивление материалов. Использование многочисленных программ типа «ввел исходные данные...

...– получи ответ» позволяет современному инженеру сегодня работать гораздо быстрее, чем его предшественникам сто, пятьдесят и даже двадцать лет назад. Однако при таком современном подходе инженер вынужден полностью доверять авторам программы и со временем перестает «ощущать физический смысл» расчетов. Но авторы программы – это люди, а людям свойственно ошибаться. Если бы это было не так, то не было бы многочисленных патчей, релизов, «заплаток» практически к любому программному обеспечению. Поэтому, мне кажется, любой инженер должен уметь иногда «вручную» проверить результаты расчетов.

Справка (шпаргалка, памятка) для расчётов балок на изгиб представлена ниже на рисунке.

Давайте на простом житейском примере попробуем ей воспользоваться. Допустим, я решил сделать в квартире турник. Определено место – коридор шириной один метр двадцать сантиметров. На противоположных стенах на необходимой высоте напротив друг друга надежно закрепляю кронштейны, к которым будет крепиться балка-перекладина – пруток из стали Ст3 с наружным диаметром тридцать два миллиметра. Выдержит ли эта балка мой вес плюс дополнительные динамические нагрузки, которые возникнут при выполнении упражнений?

Чертим схему для расчета балки на изгиб. Очевидно, что наиболее опасной будет схема приложения внешней нагрузки, когда я начну подтягиваться, зацепившись одной рукой за середину перекладины.

Исходные данные:

F1 = 900 н – сила, действующая на балку (мой вес) без учета динамики

d = 32 мм – наружный диаметр прутка, из которого сделана балка

E = 206000 н/мм^2 — модуль упругости материала балки стали Ст3

[sи] = 250 н/мм^2 — допустимые напряжения изгиба (предел текучести) для материала балки стали Ст3

Граничные условия:

Мx (0) = 0 н*м – момент в точке z = 0 м (первая опора)

Мx (1,2) = 0 н*м– момент в точке z = 1,2 м (вторая опора)

V (0) = 0 мм – прогиб в точке z = 0 м (первая опора)

V (1,2) = 0 мм – прогиб в точке z = 1,2 м (вторая опора)

Расчет:

1. Для начала вычислим момент инерции Ix и момент сопротивления Wx сечения балки. Они нам пригодятся в дальнейших расчетах. Для кругового сечения (каковым является сечение прутка):

Ix = (p*d^4)/64 = (3.14*(32/10)^4)/64 = 5,147 см^4

Wx = (p*d^3)/32 = ((3.14*(32/10)^3)/32) = 3,217 см^3

2. Составляем уравнения равновесия для вычисления реакций опор R1 и R2:

Qy = -R1+F1-R2 = 0

Мx (0) = F1*(0-b2) -R2*(0-b3) = 0

Из второго уравнения: R2 = F1*b2/b3 = 900*0.6/1.2 = 450 н

Из первого уравнения: R1 = F1-R2 = 900-450 = 450 н

3. Найдем угол поворота балки в первой опоре при z = 0 из уравнения прогиба для второго участка:

V (1.2) = V (0)+U (0)*1.2+(-R1*((1.2-b1)^3)/6+F1*((1.2-b2)^3)/6)/

U (0) = (R1*((1.2-b1)^3)/6 -F1*((1.2-b2)^3)/6)/(E*Ix)/1,2 =

= (450*((1.2-0)^3)/6 -900*((1.2-0.6)^3)/6)/

/(206000*5,147/100)/1,2 = 0,00764 рад = 0,44?

4. Составляем уравнения для построения эпюр для первого участка (0

Поперечная сила: Qy (z) = -R1

Изгибающий момент: Мx (z) = -R1*(z-b1)

Угол поворота: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2)/(E*Ix)

Прогиб: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6)/(E*Ix)

z = 0 м:

Qy (0) = -R1 = -450 н

Ux (0) = U (0) = 0,00764 рад

Vy (0) = V (0) = 0 мм

z = 0,6 м:

Qy (0,6) = -R1 = -450 н

Мx (0,6) = -R1*(0,6-b1) = -450*(0,6-0) = -270 н*м

Ux (0,6) = U (0)+(-R1*((0,6-b1)^2)/2)/(E*Ix) =

0,00764+(-450*((0,6-0)^2)/2)/(206000*5,147/100) = 0 рад

Vy (0,6) = V (0)+U (0)*0,6+(-R1*((0,6-b1)^3)/6)/(E*Ix) =

0+0,00764*0,6+(-450*((0,6-0)^3)/6)/ (206000*5,147/100) = 0,003 м

Балка прогнется по центру на 3 мм под тяжестью моего тела. Думаю, это приемлемый прогиб.

5. Пишем уравнения эпюр для второго участка (b2

Поперечная сила: Qy (z) = -R1+F1

Изгибающий момент: Мx (z) = -R1*(z-b1)+F1*(z-b2)

Угол поворота: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2+F1*((z-b2)^2)/2)/(E*Ix)

Прогиб: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6+F1*((z-b2)^3)/6)/(E*Ix)

z = 1,2 м:

Qy (1,2) = -R1+F1 = -450+900 = 450 н

Мx (1,2) = 0 н*м

Ux (1,2) = U (0)+(-R1*((1,2-b1)^2)/2+F1*((1,2-b2)^2)/2)/(E*Ix) =

0,00764+(-450*((1,2-0)^2)/2+900*((1,2-0,6)^2)/2)/

/(206000*5,147/100) = -0.00764 рад

Vy (1,2) = V (1,2) = 0 м

6. Строим эпюры, используя данные полученные выше.

7. Рассчитываем напряжения изгиба в наиболее нагруженном сечении – посередине балки и сравниваем с допустимыми напряжениями:

sи = Mx max/Wx = (270*1000)/(3,217*1000) = 84 н/мм^2

sи = 84 н/мм^2 < [sи] = 250 н/мм^2

По прочности на изгиб расчет показал трехкратный запас прочности – турник можно смело делать из имеющегося прутка диаметром тридцать два миллиметра и длиной тысяча двести миллиметров.

Таким образом, вы теперь легко можете произвести расчет балки на изгиб «вручную» и сравнить с результатами, полученными при расчете по любой из многочисленных программ, представленных в Сети.

Прошу УВАЖАЮЩИХ труд автора ПОДПИСАТЬСЯ на анонсы статей.

Введите Ваш e-mail:

Статьи с близкой тематикой

Отзывы

86 комментариев на «Расчет балки на изгиб — «вручную»!»

1. Александр Воробьев 19 Июн 2013 22:32
2. Алексей 18 Сен 2013 17:50
3. Александр Воробьев 18 Сен 2013 20:47
4. михамл 02 Дек 2013 17:15
5. Александр Воробьев 02 Дек 2013 20:27
6. Дмитрий 10 Дек 2013 21:44
7. Александр Воробьев 10 Дек 2013 23:18
8. Дмитрий 11 Дек 2013 15:28
9. Игорь 05 Янв 2014 04:10
10. Александр Воробьев 05 Янв 2014 11:26
11. Андрей 27 Янв 2014 21:38
12. Александр Воробьев 27 Янв 2014 23:21
13. Александр 27 Фев 2014 18:20
14. Александр Воробьев 28 Фев 2014 11:57
15. Андрей 12 Мар 2014 22:27
16. Александр Воробьев 13 Мар 2014 09:20
17. Денис 11 Апр 2014 02:40
18. Александр Воробьев 13 Апр 2014 17:58
19. Денис 13 Апр 2014 21:26
20. Денис 13 Апр 2014 21:46
21. Александр 14 Апр 2014 08:28
22. Александр 17 Апр 2014 12:08
23. Александр Воробьев 17 Апр 2014 13:44
24. Александр 18 Апр 2014 01:15
25. Александр Воробьев 18 Апр 2014 08:57
26. Давид 03 Июн 2014 18:12
27. Александр Воробьев 05 Июн 2014 18:51
28. Давид 11 Июл 2014 18:05
29. Алимжан 12 Сен 2014 13:57
30. Александр Воробьев 13 Сен 2014 13:12
31. Александр 14 Окт 2014 22:54
32. Александр Воробьев 14 Окт 2014 23:11
33. Александр 15 Окт 2014 01:23
34. Александр Воробьев 15 Окт 2014 19:43
35. Александр 16 Окт 2014 02:13
36. Александр Воробьев 16 Окт 2014 21:05
37. Александр 16 Окт 2014 22:40
38. Александр 12 Ноя 2015 18:24
39. Александр Воробьев 12 Ноя 2015 20:40
40. Александр 13 Ноя 2015 05:22
41. Рафик 13 Дек 2015 22:20
42. Александр Воробьев 14 Дек 2015 11:06
43. Щур Дмитрий Дмитриевич 15 Дек 2015 13:27
44. Александр Воробьев 15 Дек 2015 17:35
45. Ринат 09 Янв 2016 15:38
46. Александр Воробьев 09 Янв 2016 19:26
47. Щур Дмитрий Дмитриевич 04 Мар 2016 13:29
48. Александр Воробьев 05 Мар 2016 16:14
49. Слава 28 Мар 2016 11:57
50. Александр Воробьев 28 Мар 2016 13:04
51. Слава 28 Мар 2016 15:03
52. Александр Воробьев 28 Мар 2016 19:14
53. руслан 01 Апр 2016 19:29
54. Александр Воробьев 02 Апр 2016 12:45
55. Александр 22 Апр 2016 18:55
56. Александр Воробьев 23 Апр 2016 12:14
57. Александр 25 Апр 2016 10:45
58. Олег 09 мая 2016 17:39
59. Александр Воробьев 09 мая 2016 18:08
60. михаил 16 мая 2016 09:35
61. Александр Воробьев 16 мая 2016 16:06
62. Михаил 09 Июн 2016 22:12
63. Александр Воробьев 09 Июн 2016 23:14
64. Михаил 16 Июн 2016 11:25
65. Александр Воробьев 17 Июн 2016 10:43
66. Дмитрий 05 Июл 2016 20:45
67. Александр Воробьев 06 Июл 2016 09:39
68. Дмитрий 06 Июл 2016 13:09
69. Виталий 16 Янв 2017 19:51
70. Александр Воробьев 16 Янв 2017 20:40
71. Виталий 17 Янв 2017 15:32
72. Александр Воробьев 17 Янв 2017 19:39
73. Виталий 17 Янв 2017 20:40
74. Алексей 15 Фев 2017 02:09
75. Александр Воробьев 15 Фев 2017 19:08
76. Алексей 16 Фев 2017 03:50
77. Дмитрий 09 Июн 2017 12:05
78. Александр Воробьев 09 Июн 2017 13:32
79. Дмитрий 09 Июн 2017 14:52
80. Александр Воробьев 09 Июн 2017 20:14
81. Сергей 09 Мар 2018 21:54
82. Александр Воробьев 10 Мар 2018 09:11
83. Евгений Александрович 06 мая 2018 20:19
84. Александр Воробьев 06 мая 2018 21:16
85. Виталий 29 Июн 2018 19:11
86. Александр Воробьев 29 Июн 2018 23:41

Изгибом называется вид деформации, при котором искривляется продольная ось бруса. Прямые брусья, работающие на изгиб, называются балками. Прямым изгибом называется изгиб, при котором внешние силы, действующие на балку, лежат в одной плоскости (силовой плоскости), проходящей через продольную ось балки и главную центральную ось инерции поперечного сечения.

Изгиб называется чистым , если в любом поперечном сечении балки возникает только один изгибающий момент.

Изгиб, при котором в поперечном сечении балки одновременно действуют изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным . Линия пересечения силовой плоскости и плоскости поперечного сечения называется силовой линией .

Внутренние силовые факторы при изгибе балки.

При плоском поперечном изгибе в сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М. Для их определения используют метод сечений (см. лекцию 1). Поперечная сила Q в сечении балки равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков для поперечных сил Q:

Изгибающий момент М в сечении балки равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести этого сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков для изгибающих моментов M:

Дифференциальные зависимости Журавского.

Между интенсивностью q распределенной нагрузки, выражениями для поперечной силы Q и изгибающего момента М установлены дифференциальные зависимости:

На основе этих зависимостей можно выделить следующие общие закономерности эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М:

Особенности эпюр внутренних силовых факторов при изгибе.

1. На участке балки, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q представлена прямой линией , параллельной базе эпюре, а эпюра М - наклонной прямой (рис. а).

2. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре Q должен быть скачок , равный значению этой силы, а на эпюре М -точка перелома (рис. а).

3. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, значение Q не изменяется, а эпюра М имеет скачок , равный значению этого момента, (рис. 26, б).

4. На участке балки с распределенной нагрузкой интенсивности q эпюра Q изменяется по линейному закону, а эпюра М - по параболическому, причем выпуклость параболы направлена навстречу направлению распределенной нагрузки (рис. в, г).

5. Если в пределах характерного участка эпюра Q пересекает базу эпюры, то в сечении, где Q = 0, изгибающий момент имеет экстремальное значение M max или M min (рис. г).

Нормальные напряжения при изгибе.

Определяются по формуле:

Моментом сопротивления сечения изгибу называется величина:

Опасным сечением при изгибе называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение.

Касательные напряжения при прямом изгибе.

Определяются по формуле Журавского для касательных напряжений при прямом изгибе балки:

где S отс - статический момент поперечной площади отсеченного слоя продольных волокон относительно нейтральной линии.

Расчеты на прочность при изгибе.

1. При проверочном расчете определяется максимальное расчетное напряжение, которое сравнивается с допускаемым напряжением:

2. При проектном расчете подбор сечения бруса производится из условия:

3. При определении допускаемой нагрузки допускаемый изгибающий момент определяется из условия:

Перемещения при изгибе.

Под действием нагрузки при изгибе ось балки искривляется. При этом наблюдается растяжение волокон на выпуклой и сжатие - на вогнутой частях балки. Кроме того, происходит вертикальное перемещение центров тяжести поперечных сечений и их поворот относительно нейтральной оси. Для характеристики деформации при изгибе используют следующие понятия:

Прогиб балки Y - перемещение центра тяжести поперечного сечения балки в направлении, перпендикулярном к ее оси.

Прогиб считают положительным, если перемещение центра тяжести происходит вверх. Величина прогиба меняется по длине балки, т.е. y = y (z)

Угол поворота сечения - угол th, на который каждое сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению. Угол поворота считают положительным при повороте сечения против хода часовой стрелки. Величина угла поворота меняется по длине балки, являясь функцией th = th (z).

Самыми распространёнными способами определения перемещений является метод Мора и правило Верещагина .

Метод Мора.

Порядок определения перемещений по методу Мора:

1. Строится «вспомогательная система» и нагружается единичной нагрузкой в точке, где требуется определить перемещение. Если определяется линейное перемещение, то в его направлении прикладывается единичная сила, при определении угловых перемещений – единичный момент.

2. Для каждого участка системы записываются выражения изгибающих моментов М f от приложенной нагрузки и М 1 - от единичной нагрузки.

3. По всем участкам системы вычисляют и суммируют интегралы Мора, получая в результате искомое перемещение:

4. Если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это значит, что его направление совпадает с направлением единичной силы. Отрицательный знак указывает на то, что действительное перемещение противоположно направлению единичной силы.

Правило Верещагина.

Для случая, когда эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки имеет произвольное, а от единичной нагрузки – прямолинейное очертание, удобно использовать графоаналитический способ, или правило Верещагина.

где A f – площадь эпюры изгибающего момента М f от заданной нагрузки; y c – ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры М f ; EI x – жесткость сечения участка балки. Вычисления по этой формуле производятся по участкам, на каждом из которых прямолинейная эпюра должна быть без переломов. Величина (A f *y c) считается положительной, если обе эпюры располагаются по одну сторону от балки, отрицательной, если они располагаются по разные стороны. Положительный результат перемножения эпюр означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы (или момента). Сложная эпюра М f должна быть разбита на простые фигуры(применяется так называемое "расслоение эпюры"), для каждой из которых легко определить ординату центра тяжести. При этом площадь каждой фигуры умножается на ординату под ее центром тяжести.