Лекция 1. Системы счисления

1. История возникновения систем счисления.

2. Позиционные и непозиционные системы счисления.

3. Десятичная система счисления, запись чисел в ней.

4. Разряды

Человеку постоянно приходится иметь дело с числами, поэтому нужно уметь правильно называть и записывать любое число, производить действия над числами. Как правило, все с этим успешно справляются. Помогает здесь способ записи чисел, который в настоящее время используется повсеместно и носит название десятичной системы счисления.

Изучение этой системы начинается в начальных классах, и, конечно, учителю нужны определенные знания в этой области. Он должен знать различные способы записи чисел, алгоритмы арифметических действий и их обоснование. Материал данной лекции дает тот минимум, без которого невозможно разобраться с различными методическими подходами к обучению младших школьников способам записи чисел и выполнению над ними действий.

История возникновения систем счисления.

Понятие числа возникло в глубокой древности. Тогда же появилась необходимость в названии и записи чисел. Язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними называют системой счисления .

Простейшая система записи натуральных чисел требует лишь одной цифры, например «палочки» (или зарубки на дереве, как у первобытного человека, или узелка на веревке, как у индейцев Америки), которая изображает единицу. Повторяя этот знак, можно записать любое число: каждое число n записывается просто n «палочками». В такой системе счисления удобно выполнять арифметические действия. Но подобный способ записи очень не экономичен и для больших чисел неизбежно приводит к ошибкам в счете.

Поэтому со временем возникли иные, более экономичные и удобные способы записи чисел. Рассмотрим некоторые из них.

В Древней Греции была распространена так называемая аттическая нумерация . Числа 1, 2, 3, 4 обозначались черточками:

Число 5 записывалось знаком Г (древнее начертание буквы «пи», с которой начинается слово «пенте» - пять). Числа 6, 7, 8, 9 обозначались так:

Число 10 обозначалось D (начальной буквой слова «дека» - десять). Числа 100, 1000 и 10 000 обозначались Н, Х, М – начальными буквами соответствующих слов.

Другие числа записывались различными комбинациями этих знаков.

В третьем веке до нашей эры аттическая нумерация была вытеснена так называемой ионийской системой . В ней числа 1 – 9 обозначаются первыми девятью буквами алфавита: a (альфа), v (бэта), g (гамма), d (дельта), e (эпсилон), s (фау), z (дзета),
i (эта), (тэта).

Числа 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 – следующими девятью буквами: i (йота),
k (каппа), l (ламбда), m (мю), n (ню), x (кси), o (омикрон), p (пи), с (копа).

Числа 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 – последними девятью буквами греческого алфавита.

Алфавитную нумерацию, подобную древнегреческой, имели в древности евреи, арабы и многие другие народы Ближнего Востока. У какого народа она возникла впервые неизвестно.

В Древнем Риме в качестве «ключевых» использовались числа 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000. Они обозначались соответственно буквами I, V, X, L, C, D и М.

Все целые числа (до 5000) записывались с помощью повторения выше приведенных цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из большей: VI = 6, т.е. 5 + 1; IV = 4, т.е. 5 – 1;
XL = 40, т.е. 50 – 10; LX = 60, т.е. 50 + 10. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз: LXX = 70, LXXX = 80, число 90 записывается XC (а не LXXXX).

Например: XXVIII = 28, XXXIX = 39, CCCXCVII = 397, MDCCCXVIII = 1818.

Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Однако римская нумерация сохранилась до настоящего времени. Ее используют для обозначения юбилейных дат, наименования конференций, глав в книгах и т.д.

На Руси в старину цифры обозначались буквами. Для указания того, что знак является не буквой, а цифрой, сверху над ними ставился специальный знак, называемый «титло». Первые девять цифр записывались так:

Десятки обозначались так:

Сотни обозначались так:

Тысячи обозначались теми же буквами с «титлами», что и первые девять цифр, но у них слева ставился знак «?»: ? А? = 1000, ? В? = 2000, ? Е? = 5000.

Десятки тысяч назывались «тьма », их обозначали, обводя знаки единиц кружками:

10 000, = 20 000, = 80 000.

Отсюда произошло выражение «Тьма народу», т.е. очень много народу.

Сотни тысяч назывались «легионами », их обозначали, обводя знаки единиц кружками из точек:

100 000, = 200 000, = 800 000.

Миллионы назывались «леодрами ». Их обозначали, обводя знаки единиц кружками из лучей или запятых:

1 000 000, = 2 000 000.

Десятки миллионов назывались «воронами » или «вранами» и их обозначали, обводя знаки единиц кружками из крестиков или ставя по обе стороны букву К:

Сотни миллионов назывались «колодами ». «Колода» имела специальное обозначение – над буквой и под буквой ставились квадратные скобки:

Иероглифы жителей Древнего Вавилона составлялись из узких вертикальных и горизонтальных клинышков, эти два значка использовались и для записи чисел. Один вертикальный клинышек обозначал единицу, горизонтальный – десяток. В Древнем Вавилоне считали группами по 60 единиц. Например, число 185 представлялось как 3 раза по 60 и еще 5. Записывалось такое число с помощью всего двух знаков, один из которых обозначал, сколько раз взято по 60, а другой - сколько взято единиц.

О том, когда и как возникла у вавилонян шестидесятеричная система, существует много гипотез, но ни одна пока не доказана. Одна из гипотез, состоит в том, что произошло смешение двух племен, одно из которых пользовалось шестеричной системой, а другое – десятичной. Шестидесятеричная система возникла как компромисс между этими двумя системами. Другая гипотеза состоит в том, что вавилоняне считали продолжительность года равной 360 суткам, что, естественно, связывают с числом 60.

Шестидесятеричная система, в некоторой степени, сохранилась до наших дней, например, в делении часа на 60 минут, а минуты - на 60 секунд и в аналогичной системе измерение углов: 1 градус равен 60 минутам, 1 минута – 60 секундам.

Двоичной системой счисления пользовались при счете некоторые первобытные племена, она была известна еще древнекитайским математикам, но по настоящему развил и построил двоичную систему великий немецкий математик Лейбниц, видевший в ней олицетворение глубокой метафизической истины.

Двоичной системой счисления пользуются некоторые (местные) культуры в Африке, Австралии и Южной Америке.

Для изображения чисел в двоичной системе счисления требуется лишь две цифры: 0 и 1. По этой причине двоичную запись числа легко представить, пользуясь физическими элементами, которые имеют два различных устойчивых состояния. Именно это и послужило одной из важных причин широкого использования двоичной системы в современных электронных вычислительных машинах.

Самой экономичной из всех систем счисления является троичная . Двоичная и равносильная ей, в смысле экономичности, четверичная системы, несколько уступают в этом отношении троичной, но превосходят все основные возможные системы. Если для записи чисел от 1 до 10 в десятичной системе требуется 90 различных состояний, а в двоичной – 60, то в троичной системе достаточно 57 состояний.

Наиболее привычная ситуация, в которой проявляется необходимость троичного анализа, - это, пожалуй, взвешивание на чашечных весах. Здесь могут возникнуть три разных случая: либо одна из чашек перевесит другую, либо наоборот, либо же чашки уравновесят друг друга.

Четверичной системой счисления пользуются, главным образом, индейские племена Южной Америки и индейцы юкки в Калифорнии, считающих на промежутках между пальцами.

Пятеричная система счисления была распространена гораздо шире, чем все остальные. Индейцы племени таманакос в Южной Америке употребляют для обозначения числа 5 то же слово, что и для обозначения «всей руки». Слово «шесть» по-таманакски означает «один палец на другой руке», семь – «два пальца на другой руке» и т.д. для восьми и девяти. Десять называется «двумя руками». Желая назвать число от 11 до 14, таманакос протягивают вперед обе руки и считают: «один на ноге, два на ноге» и т.д. до тех пор, пока не доходят до 15 – «всей ноги». Затем следует «один на другой ноге» (число 16) и т.д. до 19. Число 20 по-таманакски означает «один индеец», 21 – «один на руке другого индейца». «Два индейца» означают 40, «три индейца» - 60.

У жителей древней Явы и у ацтеков продолжительность недели составляла 5 дней.

Некоторые историки считают, что римское число X (десять) составлено из двух римских пятерок V (одна из них перевернута), а число V в свою очередь возникло из стилизованного изображения человеческой руки.

Широкое распространение имела в древности двенадцатеричная система счисления . Происхождение ее тоже связано со счетом на пальцах. А именно, так как четыре пальца руки (кроме большого) имеют в совокупности 12 фаланг, то по этим фалангам, перебирая их по очереди большим пальцем, и ведут счет от 1 до 12. Затем 12 принимают за единицу следующего разряда.

Основное преимущество двенадцатеричной системы состоит в том, что ее основание делится без остатка на 2, 3 и 4. Сторонники двенадцатеричной системы появились еще в XVI веке. В более позднее время к их числу принадлежали столь выдающиеся люди, как Герберт Спенсер, Джон Квинси Адамс и Джордж Бернард Шоу. Существует даже американское двенадцатеричное общество, выпускающее два периодических издания: «Двенадцатеричный бюллетень» и «Руководство по двенадцатеричной системе». Всей «двенадцатеричников» общество снабжает специальной счетной линейкой, в которой в качестве основания используется 12.

В устной речи остатки двенадцатеричной системы сохранились и до наших дней: вместо того, чтобы сказать «двенадцать», часть говорят «дюжина». Сохранился обычай считать многие предметы не десятками, а именно дюжинами, например, столовые приборы в сервизе (сервиз на 12 персон) или стулья в мебельном гарнитуре.

Название единицы третьего разряда в двенадцатеричной системе счисления – гросс – встречается теперь редко, но в торговой практике начала XX столетия оно бытовало и, еще сто лет назад, его можно было легко встретить. Например, в написанном в 1928 году стихотворении «Плюшкин» В.В. Маяковский, высмеивая мещан, скупающих подряд все нужное и ненужное, писал:

Оглядев

товаров россыпь,

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

СУРГУТСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА (ФИЛИАЛ) ТюмГУ

Тема: «История систем счисления»

Выполнила:

студентка 1 курса БД-154-О

Кутова А. А.

Проверила:

Волкова Т.Г

Сургут 2015

1. История систем счисления

2. Десятичная система счисления

Литература

1. История систем счисления

Система счисления - это совокупность приемов и правил для обозначения и именования чисел.

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Числа, цифры... они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Вопрос непростой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Но влюбом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов.

Эти символы, участвующие в записи числа, в математике и информатике принять называть цифрами

Но что же люди понимают тогда под словом "число"?

Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было "привязано" к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость производить измерения. Измерение, как известно, это сравнение с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона.

Эталон называется ещё единицей измерения. Понятно, что единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическая потребность ввести более "мелкие" числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.

Понятие числа - фундаментальное понятие как математики, так и информатики. В дальнейшем при изложении материала под числом мы будем понимать его величину, а не его символьную запись.

Сегодня, в самом конце XX века, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?

Система счисления - это способ записи (изображения) чисел.

Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и "вносит" в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и "вносит" в величину числа 300.

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными.

Позиционные системы счисления - результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

Единичная система

Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди начали считать. Количество предметов, например овец, изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой - либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было ещё очень и очень далеко). Каждой овце в такой записи соответствовала одна чёрточка. Археологами найдены такие "записи" при раскопках культурных слоёв, относящихся к периоду палеолита (10 - 11 тысяч лет до н.э.).

Учёные назвали этот способ записи чисел единичной ("палочной") системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков - "палочка". Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых и равнялось обозначаемому числу.

Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность её применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек. Да и при записи большого числа легко ошибиться, нанеся лишнее количество палочек или, наоборот, не дописав их.

Можно предложить, что для облегчения счёта люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи использовали знаки, соответствующие группе из нескольких предметов. Естественно, что при подсчёте использовались пальцы рук, поэтому первыми появились знаки для обозначения группа предметов из 5 и 10 штук (единиц). Таким образом, возникли уже более удобные системы записи чисел.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система

В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные цифры для обозначения чисел 1, 10, 10 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 . Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз.

Пример. Число 345 древние египтяне записывали так:

Единицы Десятки Сотни

В основе как палочной, так и древнеегипетской системы счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи . Учёные относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.

Вавилонская шестидесятеричная система

Также далеко от наших дней, за две тысячи лет до н.э., в другой великой цивилизации - вавилонской - люди записывали цифры по-другому.

Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин - для обозначения десятков.

Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинался с появления прямого клина после лежачего, если рассматривать число справа налево.

Например: Число 32 записывали так:

Знаки прямой клин и лежачий клин служили цифрами в этой системе. Число 60 снова обозначалось тем же прямым клином, что и 1, этим же знаком обозначались и числа 3600=60 2 , 216000=60 3 и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной .

Значение числа определяли по значениям составляющих его цифр, но с учётом того, что цифры в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же цифр в предыдущем разряде.

Пример. Число 92=60+32 записывали так:

а число 444 в этой системе записи чисел имело вид

т.к. 444=7*60+24.

Исключительно для наглядности разделён пробелом (которого не было у вавилонян) старший разряд (левый) и младший.

Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а число в целом - в позиционной системе с основанием 60. число единичный шестидесятеричный

Запись числа у вавилонян была неоднозначной, т.к. не существовало цифры для обозначения нуля. Запись числа 92, приведённая выше, могла обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения. Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда

что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа.

Пример. Число 3632 теперь нужно было записывать так:

Но в конце числа этот символ обычно не ставился, т.е. этот символ всё же не был цифрой "ноль" в нашем понимании, и опять же требовались дополнительные сведения для того, чтобы отличить 1 от 60, от 3600 и т.д.

Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, т.к. это было практически невозможно. При вычислениях использовались готовые таблицы умножения.

Шестидесятеричная вавилонская система - первая известная нам система счисления, частично основанная на позиционном принципе.

Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, её следы сохранились и до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Следуя примеру вавилонян, мы и окружность делим на 360 частей (градусов).

Римская система

Знакомая нам римская система не слишком принципиально отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, C, D и M соответственно, являющиеся цифрами этой системы счисления.

Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд цифр. Значение числа равно:

1. сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых цифр (назовём их группой первого вида);

2. разности значений двух цифр, если слева от большей цифры стоит меньшая. В этом случае от значения большей цифры отнимается значение меньшей цифры. Вместе они образуют группу второго вида. Заметим, что левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок: так, перед L(50) и С(100) из "младших" может стоять только X(10), перед D(500) и M(1000) - только C(100), перед V(5) - только I(1);

3. сумме значений групп и цифр, не вошедших в группы первого или второго вида.

Пример 1. Число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2 (две группы первого вида).

Пример 2. Число 444, имеющее в своей десятичной записи 3 одинаковые цифры, в римской системе счисления будет записано в виде CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (три группы второго вида).

Пример 3. Число 1974 в римской системе счисления будет иметь вид MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа участвуют отдельные "цифры").

2. Десятичная система счисления

Десятичная сис тема счисления - это всем нам привычная и хорошо известная позиционная система счисления, но мы начнем изучение именно с нее и рассмотрим ее с позиций, которые помогут нам понять другие непривычные нам системы счисления.

Итак, основанием системы является число десять (10), это значит что для изображения чисел используется десять цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Давайте просто посчитаем в этой системе, будем считать и записывать числа из имеющихся в нашем распоряжении цифр:

Ноль - 0 ;

Один - 1 ;

Восемь - 8 ;

Девять - 9 ;

А что делать дальше? Все цифры кончились. Как же изобразить число десять? Чтобы выкрутится из ситуации, введем новое понятие - "десяток" и скажем, что десять - это один десяток и ноль единиц. А это уже можно и записать - "10".

Итак, Десять - 10 (один десяток, ноль единиц)

Одиннадцать - 11 (один десяток, одна единица)

Двадцать - 20 (два десятка, ноль единиц)

Девяносто девять - 99 (девять десятков, девять единиц)

Сто - 100 (одна сотня, ноль десятков, ноль единиц)

И так всегда, когда нам перестает хватать цифр для отображения следующего числа, мы укрупняем единицы счета (т.е. считаем десятками, сотнями и т.д.) и записываем число с удлинением на один разряд.

Рассмотрим число 4329 записанное в десятичной системе счисления. Про него можно сказать, что оно содержит: четыре тысячи, три сотни, два десятка и девять единиц. И получить его значение через входящие в него цифры можно следующим образом.

4329 = 4 *1000+3 *100+2 *10+9 *1, здесь и далее знак * (звездочка) означает умножение.

Но ряд чисел 1000, 100, 10, 1 есть не что иное, как целые степени числа 10 (основания системы счисления) и поэтому можно записать:

4329 = 4 *10 3 +3 *10 2 +2 *10 1 +9 *10 0

Аналогично для дробного числа (десятичной дроби) например: 0.235 (ноль целых двести тридцать пять тысячных), про него можно сказать, что оно содержит: две десятых доли, три сотых доли и пять тысячных долей. И его значение можно вычислить следующим образом:

0.235 = 2 *0.1 + 3 *0.01 + 5 *0.001

И здесь ряд чисел 0.1 0.01 0.001 1 есть не что иное, как целые степени числа 10 и мы также можем записать:

0.235 = 2 *10 -1 + 3 *10 -2 + 5 *10 -3

Для смешанного числа 752.159 аналогичным образом можем записать:

752.369 = 7 *10 2 +5 *10 1 +2 *10 0 +3 *10 -1 +6 *10 -2 +9 *10 -3

Теперь, если мы пронумеруем разряды целой части любого числа, справа налево, как 0,1,2…n (нумерация начинается с нуля!). А разряды дробной части, слева направо, как -1,-2,-3…-m, то значение любого произвольного десятичного числа может быть вычислено по формуле:

N = d n 10 n +d n-1 10 n-1 +…+d 1 10 1 +d 0 10 0 +d -1 10 -1 +d -2 10 -2 +…+d -(m-1) 10 -(m-1) +d -m 10 -m

Где: n - количество разрядов в целой части числа минус единица;

m - количество разрядов в дробной части числа

d i - цифра стоящая в i -м разряде

Эта формула называется формулой поразрядного разложения десятичного числа, т.е. числа записанного в десятичной системе счисления. Но если в этой формуле число десять заменить на некоторое натуральное число q , то мы получим формулу разложения для числа выраженного в системе счисления с основанием q :

N = d n q n +d n-1 q n-1 +…+d 1 q 1 +d 0 q 0 +d -1 q -1 +d -2 q -2 +…+d -(m-1) q -(m-1) +d -m q -m

С помощью последней формулы мы всегда можем получить значение числа записанного в любой позиционной системе счисления.

Вывод

Сегодня мы привыкли пользоваться в повседневной жизни десятичной системой счисления. Десятичными цифрами выражаются время, номера домов и телефонов, цены, бюджет, на них базируется метрическая система мер.

Арифметические действия над десятичными числами производятся с помощью достаточно простых операций, в основе которых лежат известные каждому школьнику таблицы умножения и сложения. Изучаемые в самом раннем возрасте, эти правила в результате повседневной практики усваиваются так прочно, что мы оперируем ими уже подсознательно. По этой причине сегодня многие люди даже не догадываются о существовании других систем счисления.

Литература

1. http://sch69.narod.ru/mod/1/6506/system.html

2. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%81%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F

3. http://comp-science.narod.ru/Demenev/files/history.htm

4. Босова Л.Л. Информатика и ИКТ: Учебник для 6 класса. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012

5. http://www.reshinfo.com/desytichnaja_systema.php

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Исследование истории систем счисления. Описание единичной и двоичной систем счисления, древнегреческой, славянской, римской и вавилонской поместной нумерации. Анализ двоичного кодирования в компьютере. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

контрольная работа , добавлен 04.11.2013


Понятие системы счисления. История развития систем счисления. Понятие натурального числа, порядковые отношения. Особенности десятичной системы счисления. Общие вопросы изучения нумерации целых неотрицательных чисел в начальном курсе математики.

курсовая работа , добавлен 29.04.2017


Совокупность приемов и правил записи и чтения чисел. Определение понятий: система счисления, цифра, число, разряд. Классификация и определение основания систем счисления. Разница между числом и цифрой, позиционной и непозиционной системами счисления.

презентация , добавлен 15.04.2015


Понятие и математическое содержание систем счисления, их разновидности и сферы применения. Отличительные признаки и особенности позиционных и непозиционных, двоичных и десятичных систем счисления. Порядок перевода чисел из одной системы в другую.

презентация , добавлен 10.11.2010


Система счисления, применяемая в современной математике, используемые в ЭВМ. Запись чисел с помощью римских цифр. Перевод десятичных чисел в другие системы счисления. Перевод дробных и смешанных двоичных чисел. Арифметика в позиционных системах счисления.

реферат , добавлен 09.07.2009


Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника и наука вообще. История цифр. Числа и счисление. Способы запоминания чисел.

реферат , добавлен 13.04.2008


Математическая теория чисел. Понятие систем счисления. Применения двоичной системы счисления. Компьютерная техника и информационные технологии. Алфавитное неравномерное двоичное кодирование. Достоинства и недостатки двоичной системы счисления.

реферат , добавлен 25.12.2014


Определения системы счисления, числа, цифры, алфавита. Типы систем счисления. Плюсы и минусы двоичных кодов. Перевод шестнадцатеричной системы в восьмеричную и разбитие ее на тетрады и триады. Решение задачи Баше методом троичной уравновешенной системы.

презентация , добавлен 20.06.2011


История развития систем счисления. Непозиционная, позиционная и десятичная система счисления. Использование систем счисления в компьютерной технике и информационных технологиях. Двоичное кодирование информации в компьютере. Построение двоичных кодов.

курсовая работа , добавлен 21.06.2010


Сущность двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной систем счисления, их отличительные черты и взаимосвязь. Пример алгоритмов перевода чисел из одной системы в другую. Составление таблицы истинности и логической схемы для заданных логических функций.

Наиболее совершенным принципом представления чисел является позиционный (поместный) принцип , согласно которому один и тот же числовой знак (цифра) имеет различные значения в зависимости от места, где он расположен.

Такая система счисления основывается на том, что некоторое число N единиц (основание СС) объединяются в одну единицу второго разряда, N единиц второго разряда объединяются в одну единицу третьего разряда и т. д.

Основанием систем счисления может быть любое число, больше единицы . К числу таких систем относится современная десятичная система счисления (с основанием N =10). В ней для обозначения первых десяти чисел служат цифры 0,…,9.

Несмотря на кажущуюся естественность такой системы, она явилась результатом длительного исторического развития.

Возникновение десятичной системы счисления связывают со счетом на пальцах. Имелись системы счисления и с другим основанием: 5, 6, 12 (счет дюжинами), 20 (следы такой системы сохранились во французском языке, например quatre – vingts, т. е. буквально четыре – двадцать, означает 80), 40, 60 и др.

При вычислениях на ПК применяется система счисления с основанием 2. Представление информации в двоичной системе использовалось человеком с давних времен. Так, жители островов Полинезии передавали необходимую информацию при помощи барабанов: чередование звонких и глухих ударов. Звук над поверхностью воды распространялся на достаточно большое расстояние, таким образом «работал» полинезийский телеграф. В телеграфе в Х1Х-ХХ вв. информация передавалась с помощью азбуки Морзе - в виде последовательности из точек и тире. Часто мы договариваемся открывать входную дверь только по «условному сигналу» - комбинации коротких и длинных звонков. Двоичная система используется для решения головоломок и построения выигрышных стратегий в некоторых играх.

Современная десятичная позиционная система счисления возникла на основе нумерации, зародившейся не позднее 5 в. в Индии . До этого в Индии имелись системы счисления, в которых применялся не только принцип сложения, но и принцип умножения (единица какого – нибудь разряда умножается на стоящее слева число).

В то время существовало множество различных систем нумерации в различных областях Индии, одна из которых распространилась по всему миру и в настоящее время является общепринятой. В ней цифры имели вид начальных букв соответствующих числительных на древнеиндийском языке - санскрите (алфавит "девангари").

Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3 ... 9, 10, 20, 30 ... 90, 100, 1000; с их помощью описывались другие числа. Впоследствии был введен особый знак (жирная точка, кружок) для указания пустующею разряда; знаки для чисел, больших 9, вышли из употребления, и нумерация" "девангари" превратилась в десятичную поместную систему. Как и когда совершился этот переход, до сих пор неизвестно. К середине VIII в. позиционная система нумерации получает в Индии широкое применение.

Примерно в это же время она проникает и в другие страны (Индокитай, Китай, Тибет , на территорию наших среднеазиатских республик , в Иран и др.). Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграло руководство, составленное в начале IX в. Мухаммедом из Хорезма (ныне Хорезмская область Узбекистана). Оно было переведено в Западной Европе на латинский язык в XII в. В XIII в. индийская нумерация получает преобладание вИталии . В других странах Западной Европы она утверждается в XVI в. Европейцы, заимствовавшие индийскую нумерацию от арабов, называли ее арабской (исторически неправильное название удерживается и поныне).

Из арабского языка заимствовано и слою «цифра » (по-арабски "сыфр"), означающее буквально "пустое место" (с санскритского слова "сунья", имеющего тот же смысл). Это слово первоначально употреблялось для наименования знака пустующего разряда, и этот смысл сохраняло еще в XVIII в., хотя уже в XV в. появился латинский термин «нуль ». Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, в которой мы их пишем, установилась в XVI в.

В 9 в. появляются рукописи на арабском языке, в которых излагается эта система счисления, в 10 в. десятичная позиционная нумерация доходит до Испании , в начале 12 в. она появляется и в других странах Европы. Новая система счисления получила название арабской , т.к. в Европе с ней познакомились впервые по латинским переводам с арабского. Только в 16 в. новая нумерация получила широкое распространение в науке и житейском обиходе. В России она начинает распространяться в 17 в. и в самом начале 18 в. вытесняет алфавитную нумерацию. С введением десятичных дробей десятичная система стала универсальным средством для записи всех действительных чисел. Она дает принципиальную возможность записывать сколь угодно большие числа. Запись чисел в ней компактна и удобна для производства арифметических операций. Поэтому эта система начинает быстро распространяться из Индии на Запад и Восток.

Язык чисел имеет свой алфавит. В том языке чисел алфавитом служат десять цифр от 0 до 9. Это и есть десятичная система счисления.

Системой счисления называется способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называют цифрами. Древнее изображение десятичных цифр не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 - углов нет, 1 - один угол, 2 - два угла и т.д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.

Аналогично строились старокитайская система счисления и некоторые другие.

По свидетельству известного исследователя Африки Стэнли, у ряда африканских племен была распространена пятеричная СС. Долгое время пользовались пятеричной системой счисления и в Китае . Очевидна связь этой системы счисления со строением человеческой руки. Так, у человека пять пальцев на руке, которые удобно использовать для наглядного счета.

У ацтеков и майя - народов, населявших в течение многих столетий обширные области Американского континента и создавших там высочайшую культуру, в том числе и математическую, была принята двадцатеричная СС. Также эта система счисления была принята и у кельтов, населявших Западную Европу начиная со II тысячелетия до нашей эры. Основа для счета - пальцы рук и ног. Некоторые следы этой системы во французской денежной системе: основная денежная единица, франк, делится на 20

(1 франк = 20 су).

Широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления. Происхождение ее тоже связано со счетом на пальцах. Считали большой палец руки и фаланги остальных четырех пальцев: всего их 12. Элементы двенадцатеричной системы счисления сохранились в системе мер (1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе

(1 шиллинг = 12 пенсам). Нередко и мы сталкиваемся в быту с двенадцатеричной СС: чайные и столовые сервизы на 12 персон, комплект носовых платков - 12 штук.

Южные и восточные славянские народы для записи чисел пользовались алфавитной нумерацией. У одних славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, у других же (в том числе у русских) роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите. При этом числовые значения букв возрастали в том же порядке, в каком следовали буквы в греческом алфавите (порядок букв славянского алфавита был несколько иной)

Славянские цифры до 18 в. были основным цифровым обозначением в России. Славянская нумерация сохранилась в России до конца XVII в. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах. Армяне и пользовались алфавитным принципом нумерации. Но в древнеармянском и древнегрузинском алфавитах было гораздо больше букв, чем в древнегреческом. Это позволило ввести особые обозначения для чисел 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000. Числовые значения следовали порядку букв в армянском и грузинском алфавитах.

В современном мире известно множество способов представления чисел. Число можно представить группой символов некоторого алфавита.
Система счисления – совокупность правил для обозначения и наименования чисел.
Самая простейшая система счисления – унарная, в которой используется всего 1 символ (палочка, узелок, зарубка, камушек и т.д.
Наиболее совершенным принципом представления чисел является позиционный (поместный) принцип, согласно которому один и тот же числовой знак (цифра) имеет различные значения в зависимости от места, где он расположен.
Несмотря на кажущуюся естественность такой системы, она явилась результатом длительного исторического развития. Возникновение десятичной системы счисления связывают со счетом на пальцах. Имелись системы счисления и с другим основанием: 5, 12 (счет дюжинами), 20 (следы такой системы сохранились во французком языке, например quatre – vingts, т. е. буквально четыре – двадцать, означает 80), 40, 60 и др. При вычислениях на ЭВМ часто применяется система счисления с основанием 2.

У первобытных народов не существовало развитой системы счисления. Еще в 19 веке у многих племен Австралии и Полинезии было только два числительных: один и два; сочетания их образовывали числа: 3 -–два – один, 4 – два – два, 5 – два – два – один и 6 – два – два – два. О всех числах, больших 6, говорили «много», не индивидуализируя их. С развитием общественно – хозяйственной жизни возникла потребность в создании систем счисления, которые позволяли бы и обозначать все большие совокупности предметов. Одной из наиболее древних систем счисления является египетская иероглифическая нумерация, возникшая еще за 2500 – 3000 лет до н. э. Это была десятичная непозиционная система счисления, в которой для записи чисел применялся только принцип сложения (числа, выраженные рядом стоящими цифрами, складываются).
Аналогичными системами счисления были греческая геродианова, римская, сирийская и др.

Римские цифры – традиционное название знаковой системы для обозначения чисел, основанной на употреблении особых символов для десятичных разрядов:
I V X L С D M
1 5 10 50 100 500 1000
Более совершенными системами счисления являются алфавитные: ионийская, славянская, еврейская, арабская, а также грузинская и армянская.
В алфавитных системах счисления, запись чисел гораздо короче, чем в предыдущих; кроме того, над числами, записанными в алфавитной нумерации, гораздо легче производить арифметические действия. Однако в алфавитных системах счисления нельзя записывать сколь угодно большие числа.
В системе счисления древних вавилонян, возникшей примерно за 2000 лет до н. э. все числа записывались с помощью двух знаков: (для единицы) и (для десяти). Числа до 60 записывались как комбинации этих двух знаков с применением принципа сложения. Число 60 снова обозначалось знаком, являясь единицей высшего разряда. Для записи чисел от 60 до 3600 вновь применялся принцип сложения, а число 36 000 обозначалась тем же знаком, что и единица, и т. д. Число 343=5*60+4*10+3 в этой системе записывалось так:
Однако в силу отсутствия знака для нуля, которым можно было бы отмечать недостающие разряды, запись чисел в этой системе счисления не была однозначной. Особенностью вавилонской системы счисления было то, что абсолютное значение чисел оставалось неопределенным.

Другая система счисления основанная на позиционном принципе, возникла у индейцев майя, обитателей полуострова Юкатан (Центральная Америка) в середине 1 – го тыс. н. э. У майя существовали две системы счисления: одна, напоминающая египетскую, употреблялась в повседневной жизни, другая – позиционная, с основанием 20 и особым знаком для нуля, применялась при календарных расчетах. Запись в этой системе, как и в нашей современной, носила абсолютный характер.

Современная десятичная позиционная система счисления возникла на основе нумерации, зародившейся не позднее 5 в. в Индии. До этого в Индии имелись системы счисления, в которых применялся не только принцип сложения, но и принцип умножения (единица какого – нибудь разряда умножается на стоящее слева число). Аналогично строились старокитайская система счисления и некоторые другие. Если, например, условно обозначить число 3 символом III, а число 10 символом X, то число 30 запишется как IIIX (три десятка). Такие системы счисления могли служить подходом к мозданию десятичной позиционной нумерации.

Десятичная позиционная система дает принципиальную возможность записывать сколь угодно большие числа. Запись чисел в ней компактна и удобна для производства арифметических операций. Поэтому вскоре после возникновения десятичная позиционная система счисления начинает распространяться из Индии на Запад и Восток. В 9 веке появляются рукописи на арабском языке, в которых излагается эта система счисления, в 10 веке десятичная позиционная нумерация доходит до Испании, в начале 12 века она появляется и в других странах Европы. Новая система счисления получила название арабской, потому что в Европе с ней познакомились впервые по латинским переводам с арабского. Только в 16 веке новая нумерация получила широкое распространение в науке и житейском обиходе. В России она начинает распространятся в 17 веке и в самом начале 18 в. вытесняет алфавитную. С введением десятичных дробей десятичная позиционная система счисления стала универсальным средством для записи всех действительных чисел.

Это способ изображения чисел и соответствующие ему правила действия над числами.

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные.

Непозиционные системы древности

Изучение археологами «записок» времен палеолита на кости, камне, дереве показало, что люди стремились группировать отметки по 3, 5, 7, 10 штук. Такая группировка облегчала счет. Люди учились считать не только единицами, но и тройками, пятерками и пр. Поскольку первым вычислительным инструментом у человека были пальцы, поэтому и счет чаще всего вели группами по 5 или по 10 предметов.

В дальнейшем свое название получили десяток десятков (сотня), десяток сотен (тысяча) и т. д. Такие узловые числа для удобства записи стали обозначать особыми значками - цифрами. Если при подсчете предметов их оказывалось 2 сотни, 5 десятков и еще 4 предмета, то при записи этой величины дважды повторяли знак сотни, пять раз - знак десятков и четыре раза знак единицы.

В таких системах счисления от положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает; поэтому они называются непозиционными системами счисления.

Непозиционными системами пользовались древние египтяне, греки, римляне и некоторые другие народы древности.

Цифры майя

С позиционной десятичной системой счисления вы знакмы с раннего детства, только, возможно, не знали, что она так называется.

Что означает свойство позиционности системы счисления, легко понять на примере любого многозначного десятичного числа. Например, в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая - три десятка, третья - три единицы. Одна и та же цифра в зависимости от позиции в записи числа обозначает разные значения.

333 = 3 · 100 + 3 · 10 + 3.

Еще пример:

32 478 = 3 · 10 000 + 2 · 1000 + 4 · 100 + 7 · 10 + 8 = 3 · 10 4 + 2 · 10 3 + 4 · 10 2 + 7 · 10 1 + 8 · 10 0 .

Отсюда видно, что всякое десятичное число можно представить как сумму произведений составляющих его цифр на соответствующие степени десятки. То же самое относится и к десятичным дробям.

26,387 = 2 · 10 1 + 6 · 10 0 + 3 · 10 -1 + 8 · 10 -2 + 7 · 10 -3 .

Очевидно, число «десять» - не единственно возможное основание позиционной системы. Известный русский математик Н. Н. Лузин так выразился по этому поводу: «Преимущества десятичной системы не математические, а зоологические. Если бы у нас на руках было не десять пальцев, а восемь, то человечество пользовалось бы восьмеричной системой».

За основание позиционной системы счисления можно принять любое натуральное число, большее 1. Упомянутая выше вавилонская система имела основание 60. Следы этой системы сохранились до наших дней в порядке счета единиц времени (1 час = 60 минут, 1 минута = 60 секунд).

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n < 10 используют n первых арабских цифр, а при n > 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы.

Вот примеры алфавитов нескольких систем:

Основание системы, к которой относится число, обычно обозначается подстрочным индексом к этому числу:

101101 2 , 3671 8 , ЗВ8F 16 .

А как строится ряд натуральных чисел в разных позиционных системах счисления? Происходит это по тому же принципу, что и в десятичной системе. Сначала идут однозначные числа, потом двузначные, затем трехзначные ит. д. Самое большое однозначное число в десятичной системе - 9. Затем следуют двузначные числа - 10, 11,12, … Самое большое двузначное число - 99, далее идут 100, 101, 102 и т. д. до 999, затем 1000 и т. д.

Для примера рассмотрим пятеричную систему. В ней ряд натуральных чисел выглядит так:

1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 100, 101, …, 444, 1000, ... .

Видно, что здесь число цифр «нарастает» быстрее, чем в десятичной системе. Быстрее всего число цифр растет в двоичной системе счисления. В следующей таблице сопоставляются начала натуральных рядов десятичных и двоичных чисел:

10	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011

Коротко о главном

Система счисления - это определенный способ записи чисел и соответствующие правила действия над числами.

Системы счисления бывают позиционными и непозиционными. Примером непозиционной системы является римская система записи чисел.

В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от позиции цифры в числе.

Алфавит системы счисления - множество цифр, используемых в ней. Основание системы счисления равно мощности алфавита (числу цифр).

Наименьшее возможное основание позиционной системы счисления - 2. Такая система называется двоичной.

Арабская система записи чисел является десятичной, позиционной.

Вопросы и задания

1. Что такое система счисления?
2. В чем основное различие позиционных и непозиционных систем счисления?
3. Чему равно основание системы счисления?
4. Почему арабская система записи чисел называется десятичной позиционной?
5. Каково наименьшее основание для позиционной системы?
6. Чему в десятичной системе счисления равны следующие числа, записанные римскими цифрами:
XI; IX; LХ; CLX; МDCХLVIII?
7. Запишите римскими цифрами числа, равные следующим десятичным:
13; 99; 666; 444; 1692.
8. Запишите последовательность двадцати чисел натурального ряда, начиная от единицы, для позиционных систем с основаниями 2, 3, 5, 8. Оформите результаты в виде таблицы:

n = 10	1	2	3	...	19	20
n = 2
n = 3
n = 5
n = 8

9. Постройте таблицы умножения для однозначных чисел в двоичной и троичной системах счисления.

И. Семакин, Л. Залогова, С. Русаков, Л. Шестакова, Информатика, 9 класс
Отослано читателями из интернет-сайтов

Сборник конспектов уроков информатики , учебная программа по информатике 9 класс , материалы для подготовки к урокам, готовые домашние задания

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку,