• апофема — высота боковой грани правильной пирамиды , которая проведена из ее вершины (кроме того, апофемой является длина перпендикуляра, который опущен из середины правильного многоугольника на 1-ну из его сторон);
• боковые грани (ASB, BSC, CSD, DSA) — треугольники, которые сходятся в вершине;
• боковые ребра ( AS , BS , CS , DS ) — общие стороны боковых граней;
• вершина пирамиды (т. S) — точка, которая соединяет боковые ребра и которая не лежит в плоскости основания;
• высота ( SO ) — отрезок перпендикуляра, который проведен через вершину пирамиды к плоскости ее основания (концами такого отрезка будут вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
• диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, которое проходит через вершину и диагональ основания;
• основание (ABCD) — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Свойства пирамиды.

1. Когда все боковые ребра имеют одинаковую величину, тогда:

• около основания пирамиды легко описать окружность , при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности;
• боковые ребра образуют с плоскостью основания одинаковые углы ;
• кроме того, верно и обратное, т.е. когда боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, либо когда около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности, значит, все боковые ребра пирамиды имеют одинаковую величину.

2. Когда боковые грани имеют угол наклона к плоскости основания одной величины, тогда:

• около основания пирамиды легко описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности;
• высоты боковых граней имеют равную длину;
• площадь боковой поверхности равняется 1/2 произведения периметра основания на высоту боковой грани.

3. Около пирамиды можно описать сферу в том случае, если в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы станет точка пересечения плоскостей, которые проходят через середины ребер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы делаем вывод, что как около всякой треугольной, так и около всякой правильной пирамиды можно описать сферу.

4. В пирамиду можно вписать сферу в том случае, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в 1-ной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка станет центром сферы.

Простейшая пирамида.

По количеству углов основания пирамиды делят на треугольные, четырехугольные и так далее.

Пирамида будет треугольной , четырехугольной , и так далее, когда основанием пирамиды будет треугольник, четырехугольник и так далее. Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр . Четырехугольная — пятигранник и так далее.

С понятием пирамида учащиеся сталкиваются еще задолго до изучения геометрии. Виной всему знаменитые великие египетские чудеса света. Поэтому, начиная изучение этого замечательного многогранника, большинство учеников уже наглядно представляют ее себе. Все вышеупомянутые достопримечательности имеют правильную форму. Что такое правильная пирамида , и какие свойства она имеет и пойдет речь дальше.

Определение

Определений пирамиды можно встретить достаточно много. Начиная еще с древних времен, она пользовалась большой популярностью.

К примеру, Эвклид определял ее как телесную фигуру, состоящую из плоскостей, которые, начиная от одной, сходятся в определенной точке.

Герон представил более точную формулировку. Он настаивал на том, что это фигура, которая имеет основание и плоскости в виде треугольников, сходящиеся в одной точке.

Опираясь на современное толкование, пирамиду представляют, как пространственный многогранник, состоящий из определённого k-угольника и k плоских фигур треугольной формы, имеющую одну общую точку.

Разберемся более подробно, из каких элементов она состоит:

• k-угольник считают основой фигуры;
• фигуры 3-угольной формы выступают гранями боковой части;
• верхняя часть, из которой берут начало боковые элементы, называют вершиной;
• все отрезки, соединяющие вершину, называют рёбрами;
• если из вершины на плоскость фигуры опустить прямую под углом в 90 градусов, то её часть, заключенная во внутреннем пространстве — высота пирамиды;
• в любом боковом элементе к стороне нашего многогранника можно провести перпендикуляр, называемый апофемой.

Число рёбер вычисляется по формуле 2*k, где k – количество сторон k-угольника. Сколько граней у такого многогранника, как пирамида, можно определить посредством выражения k+1.

Важно! Пирамидой правильной формы называют стереометрическую фигуру, плоскость основы которой является k-угольник с равными сторонами.

Основные свойства

Правильная пирамида обладает множеством свойств, которые присущи только ей. Перечислим их:

1. Основа – фигура правильной формы.
2. Ребра пирамиды, ограничивающие боковые элементы, имеют равные числовые значения.
3. Боковые элементы – равнобедренные треугольники.
4. Основание высоты фигуры попадает в центр многоугольника, при этом он одновременно является центральной точкой вписанной и описанной .
5. Все боковые рёбра наклонены к плоскости основы под одинаковым углом.
6. Все боковые поверхности имеют одинаковый угол наклона по отношению к основе.

Благодаря всем перечисленным свойствам, выполнение вычислений элементов намного упрощается. Исходя из приведенных свойств, обращаем внимание на два признака:

1. В том случае, когда многоугольник вписывается в окружность, боковые грани будут иметь с основой равные углы.
2. При описании окружности около многоугольника, все рёбра пирамиды, исходящие из вершины, будут иметь равную длину и равные углы с основой.

В основе лежит квадрат

Правильная четырёхугольная пирамида – многогранник, у которого в основе лежит квадрат.

У неё четыре боковых грани, которые по своему виду являются равнобедренными.

На плоскости квадрат изображают , но основываются на всех свойствах правильного четырёхугольника.

К примеру, если необходимо связать сторону квадрата с его диагональю, то используют следующую формулу: диагональ равна произведению стороны квадрата на корень квадратный из двух.

В основе лежит правильный треугольник

Правильная треугольная пирамида – многогранник, в основании которого лежит правильный 3-угольник.

Если основание является правильным треугольником, а боковые рёбра равны ребрам основания, то такая фигура называется тетраэдром.

Все грани тетраэдра являются равносторонними 3-угольниками. В данном случае необходимо знать некоторые моменты и не тратить на них время при вычислениях:

• угол наклона ребер к любому основанию равен 60 градусов;
• величина всех внутренних граней также составляет 60 градусов;
• любая грань может выступить основанием;
• , проведённые внутри фигуры, это равные элементы.

Сечения многогранника

В любом многограннике различают несколько видов сечения плоскостью. Зачастую в школьном курсе геометрии работают с двумя:

• осевое;
• параллельное основе.

Осевое сечение получают при пересечении плоскостью многогранника, которая проходит через вершину, боковые рёбра и ось. В данном случае осью является высота, проведённая из вершины. Секущая плоскость ограничивается линиями пересечения со всеми гранями, в результате получаем треугольник.

Внимание! В правильной пирамиде осевым сечением является равнобедренный треугольник.

Если секущая плоскость проходит параллельно основанию, то в результате получаем второй вариант. В этом случае имеем в разрезе фигуру, подобную основе.

К примеру, если в основании лежит квадрат, то сечение параллельно основе также будет квадратом, только меньших размеров.

При решении задач при таком условии используют признаки и свойства подобия фигур, основанные на теореме Фалеса . В первую очередь необходимо определить коэффициент подобия.

Если плоскость проведена параллельно основе, и она отсекает верхнюю часть многогранника, то в нижней части получают правильную усеченную пирамиду. Тогда говорят, что основы усеченного многогранника являются подобными многоугольниками. В этом случае боковые грани являются равнобокими трапециями. Осевым сечением также является равнобокая .

Для того чтобы определить высоту усеченного многогранника, необходимо провести высоту в осевом сечении, то есть в трапеции.

Площади поверхностей

Основные геометрические задачи, которые приходится решать в школьном курсе геометрии, это нахождение площадей поверхности и объема у пирамиды.

Значение площади поверхности различают двух видов:

• площади боковых элементов;
• площади всей поверхности.

Из самого названия понятно, о чём идёт речь. Боковая поверхность включает в себя только боковые элементы. Из этого следует, что для ее нахождения необходимо просто сложить площади боковых плоскостей, то есть площади равнобедренных 3-угольников. Попробуем вывести формулу площади боковых элементов:

1. Площадь равнобедренного 3-угольника равна Sтр=1/2(aL), где а – сторона основания, L – апофема.
2. Количество боковых плоскостей зависит от вида k-го угольника в основании. К примеру, правильная четырехугольная пирамида имеет четыре боковые плоскости. Следовательно, необходимо сложить площади четырёх фигур Sбок=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4а*L. Выражение упрощено таким способом потому, что значение 4а=Росн, где Росн – периметр основы. А выражение 1/2*Росн является её полупериметром.
3. Итак, делаем вывод, что площадь боковых элементов правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему: Sбок=Росн*L.

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из суммы площадей боковых плоскостей и основания: Sп.п.= Sбок+Sосн.

Что касается площади основания, то здесь формула используется соответственно виду многоугольника.

Объем правильной пирамиды равен произведению площади плоскости основания на высоту, разделенную на три: V=1/3*Sосн*Н, где Н – высота многогранника.

Что такое правильная пирамиды в геометрии

Свойства правильной четырехугольной пирамиды

Понятие пирамиды

Определение 1

Геометрическая фигура, образованная многоугольником и точкой, не лежащей в плоскости, содержащей этот многоугольник, соединенной со всеми вершинами многоугольника называется пирамидой (рис. 1).

Многоугольник, из которого составлена пирамида, называется основанием пирамиды, получаемые при соединение с точкой треугольники - боковыми гранями пирамиды, стороны треугольников -- сторонами пирамиды, а общая для всех треугольников точка-- вершиной пирамиды.

Виды пирамид

В зависимости от количества углов в основании пирамиды ее можно назвать треугольной, четырехугольной и так далее (рис. 2).

Рисунок 2.

Еще один вид пирамид -- правильная пирамида.

Введем и докажем свойство правильной пирамиды.

Теорема 1

Все боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками, которые равны между собой.

Доказательство.

Рассмотрим правильную $n-$угольную пирамиду с вершиной $S$ высотой $h=SO$. Опишем вокруг основания окружность (рис. 4).

Рисунок 4.

Рассмотрим треугольник $SOA$. По теореме Пифагора, получим

Очевидно, что так будет определяться любое боковое ребро. Следовательно, все боковые ребра равны между собой, то есть все боковые грани -- равнобедренные треугольники. Докажем, что они равны между собой. Так как основание -- правильный многоугольник, то основания всех боковых граней равны между собой. Следовательно, все боковые грани равны по III признаку равенства треугольников.

Теорема доказана.

Введем теперь следующее определение, связанное с понятием правильной пирамиды.

Определение 3

Апофемой правильной пирамиды называется высота её боковой грани.

Очевидно, что по теореме один все апофемы равны между собой.

Теорема 2

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды определяется как произведение полупериметра основания на апофему.

Доказательство.

Обозначим сторону основания $n-$угольной пирамиды через $a$, а апофему через $d$. Следовательно, площадь боковой грани равна

Так как, по теореме 1, все боковые стороны равны, то

Теорема доказана.

Еще один вид пирамиды -- усеченная пирамида.

Определение 4

Если через обычную пирамиду провести плоскость, параллельную её основанию, то фигура, образованная между этой плоскостью и плоскостью основания называется усеченной пирамидой (рис. 5).

Рисунок 5. Усеченная пирамида

Боковыми гранями усеченной пирамиды являются трапеции.

Теорема 3

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды определяется как произведение суммы полупериметров оснований на апофему.

Доказательство.

Обозначим стороны оснований $n-$угольной пирамиды через $a\ и\ b$ соответственно, а апофему через $d$. Следовательно, площадь боковой грани равна

Так как все боковые стороны равны, то

Теорема доказана.

Пример задачи

Пример 1

Найти площадь боковой поверхности усеченной треугольной пирамиды, если она получена из правильной пирамиды со стороной основания 4 и апофемой 5 путем отсечения плоскостью, проходящей через среднюю линию боковых граней.

Решение.

По теореме о средней линии получим, что верхнее основание усеченной пирамиды равно $4\cdot \frac{1}{2}=2$, а апофема равна $5\cdot \frac{1}{2}=2,5$.

Тогда, по теореме 3, получим

Пирамида. Усеченная пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого многоугольник (основание ), а все остальные грани – треугольники с общей вершиной (боковые грани ) (рис. 15). Пирамида называется правильной , если ее основанием является правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания (рис. 16). Треугольная пирамида, у которой все ребра равны, называется тетраэдром .

Боковым ребром пирамиды называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию Высотой пирамиды называется расстояние от ее вершины до плоскости основания. Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой, все боковые грани – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины, называется апофемой . Диагональным сечением называется сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех боковых граней и основания.

Теоремы

1. Если в пирамиде все боковые ребра равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.

2. Если в пирамиде все боковые ребра имеют равные длины, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.

3. Если в пирамиде все грани равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности вписанной в основание.

Для вычисления объема произвольной пирамиды верна формула:

где V – объем;

S осн – площадь основания;

H – высота пирамиды.

Для правильной пирамиды верны формулы:

где p – периметр основания;

h а – апофема;

H – высота;

S полн

S бок

S осн – площадь основания;

V – объем правильной пирамиды.

Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды (рис. 17). Правильной усеченной пирамидой называется часть правильной пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды.

Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники. Боковые грани – трапеции. Высотой усеченной пирамиды называется расстояние между ее основаниями. Диагональю усеченной пирамиды называется отрезок, соединяющий ее вершины, не лежащие в одной грани. Диагональным сечением называется сечение усеченной пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Для усеченной пирамиды справедливы формулы:

(4)

где S 1 , S 2 – площади верхнего и нижнего оснований;

S полн – площадь полной поверхности;

S бок – площадь боковой поверхности;

H – высота;

V – объем усеченной пирамиды.

Для правильной усеченной пирамиды верна формула:

где p 1 , p 2 – периметры оснований;

h а – апофема правильной усеченной пирамиды.

Пример 1. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен 60?. Найти тангенс угла наклона бокового ребра к плоскости основания.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 18).

Пирамида правильная, значит в основании равносторонний треугольник и все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Двугранный угол при основании – это угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания. Линейным углом будет угол a между двумя перпендикулярами: и т.е. Вершина пирамиды проектируется в центре треугольника (центр описанной окружности и вписанной окружности в треугольник АВС ). Угол наклона бокового ребра (например SB ) – это угол между самим ребром и его проекцией на плоскость основания. Для ребра SB этим углом будет угол SBD . Чтобы найти тангенс необходимо знать катеты SO и OB . Пусть длина отрезка BD равна 3а . Точкой О отрезок BD делится на части: и Из находим SO : Из находим:

Ответ:

Пример 2. Найти объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если диагонали ее оснований равны см и см, а высота 4 см.

Решение. Для нахождения объема усеченной пирамиды воспользуемся формулой (4). Чтобы найти площади оснований необходимо найти стороны квадратов-оснований, зная их диагонали. Стороны оснований равны соответственно 2 см и 8 см. Значит площади оснований и Подставив все данные в формулу, вычислим объем усеченной пирамиды:

Ответ: 112 см 3 .

Пример 3. Найти площадь боковой грани правильной треугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 10 см и 4 см, а высота пирамиды 2 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 19).

Боковая грань данной пирамиды является равнобокая трапеция. Для вычисления площади трапеции необходимо знать основания и высоту. Основания даны по условию, остается неизвестной только высота. Ее найдем из где А 1 Е перпендикуляр из точки А 1 на плоскость нижнего основания, A 1 D – перпендикуляр из А 1 на АС . А 1 Е = 2 см, так как это высота пирамиды. Для нахождения DE сделаем дополнительно рисунок, на котором изобразим вид сверху (рис. 20). Точка О – проекция центров верхнего и нижнего оснований. так как (см. рис. 20) и С другой стороны ОК – радиус вписанной в окружности и ОМ – радиус вписанной в окружности:

MK = DE .

По теореме Пифагора из

Площадь боковой грани:

Ответ:

Пример 4. В основании пирамиды лежит равнобокая трапеция, основания которой а и b (a > b ). Каждая боковая грань образует с плоскостью основания пирамиды угол равный j . Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 21). Площадь полной поверхности пирамиды SABCD равна сумме площадей и площади трапеции ABCD .

Воспользуемся утверждением, что если все грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то вершина проектируется в центр вписанной в основание окружности. Точка О – проекция вершины S на основание пирамиды. Треугольник SOD является ортогональной проекцией треугольника CSD на плоскость основания. По теореме о площади ортогональной проекции плоской фигуры получим:

Аналогично и значит Таким образом задача свелась к нахождению площади трапеции АВСD . Изобразим трапецию ABCD отдельно (рис.22). Точка О – центр вписанной в трапецию окружности.

Так как в трапецию можно вписать окружность, то или Из по теореме Пифагора имеем

Решая задачу C2 методом координат, многие ученики сталкиваются с одной и той же проблемой. Они не могут рассчитать координаты точек , входящих в формулу скалярного произведения. Наибольшие трудности вызывают пирамиды . И если точки основания считаются более-менее нормально, то вершины - настоящий ад.

Сегодня мы займемся правильной четырехугольной пирамидой. Есть еще треугольная пирамида (она же - тетраэдр ). Это более сложная конструкция, поэтому ей будет посвящен отдельный урок.

Для начала вспомним определение:

Правильная пирамида - это такая пирамида, у которой:

1. В основании лежит правильный многоугольник: треугольник, квадрат и т.д.;
2. Высота, проведенная к основанию, проходит через его центр.

В частности, основанием четырехугольной пирамиды является квадрат . Прямо как у Хеопса, только чуть поменьше.

Ниже приведены расчеты для пирамиды, у которой все ребра равны 1. Если в вашей задаче это не так, выкладки не меняются - просто числа будут другими.

Вершины четырехугольной пирамиды

Итак, пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD , где S - вершина, основание ABCD - квадрат. Все ребра равны 1. Требуется ввести систему координат и найти координаты всех точек. Имеем:

Вводим систему координат с началом в точке A :

1. Ось OX направлена параллельно ребру AB ;
2. Ось OY - параллельно AD . Поскольку ABCD - квадрат, AB ? AD ;
3. Наконец, ось OZ направим вверх, перпендикулярно плоскости ABCD .

Теперь считаем координаты. Дополнительное построение: SH - высота, проведенная к основанию. Для удобства вынесем основание пирамиды на отдельный рисунок. Поскольку точки A , B , C и D лежат в плоскости OXY , их координата z = 0. Имеем:

1. A = (0; 0; 0) - совпадает с началом координат;
2. B = (1; 0; 0) - шаг на 1 по оси OX от начала координат;
3. C = (1; 1; 0) - шаг на 1 по оси OX и на 1 по оси OY ;
4. D = (0; 1; 0) - шаг только по оси OY .
5. H = (0,5; 0,5; 0) - центр квадрата, середина отрезка AC .

Осталось найти координаты точки S . Заметим, что координаты x и y точек S и H совпадают, поскольку они лежат на прямой, параллельной оси OZ . Осталось найти координату z для точки S .

Рассмотрим треугольники ASH и ABH :

1. AS = AB = 1 по условию;
2. Угол AHS = AHB = 90°, поскольку SH - высота, а AH ? HB как диагонали квадрата;
3. Сторона AH - общая.

Следовательно, прямоугольные треугольники ASH и ABH равны по одному катету и гипотенузе. Значит, SH = BH = 0,5 · BD . Но BD - диагональ квадрата со стороной 1. Поэтому имеем:

Итого координаты точки S :

В заключение, выпишем координаты всех вершин правильной прямоугольной пирамиды:

Что делать, когда ребра разные

А что, если боковые ребра пирамиды не равны ребрам основания? В этом случае рассмотрим треугольник AHS :

Треугольник AHS - прямоугольный , причем гипотенуза AS - это одновременно и боковое ребро исходной пирамиды SABCD . Катет AH легко считается: AH = 0,5 · AC . Оставшийся катет SH найдем по теореме Пифагора . Это и будет координата z для точки S .

Задача. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD , в основании которой лежит квадрат со стороной 1. Боковое ребро BS = 3. Найдите координаты точки S .

Координаты x и y этой точки мы уже знаем: x = y = 0,5. Это следует из двух фактов:

1. Проекция точки S на плоскость OXY - это точка H ;
2. Одновременно точка H - центр квадрата ABCD , все стороны которого равны 1.

Осталось найти координату точки S . Рассмотрим треугольник AHS . Он прямоугольный, причем гипотенуза AS = BS = 3, катет AH - половина диагонали. Для дальнейших вычислений нам потребуется его длина:

Теорема Пифагора для треугольника AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Имеем:

Итак, координаты точки S :