« Fyzika - 10. t??da"

K ?e?en? probl?m? pot?ebujete zn?t z?kon univerz?ln? gravitace, Newton?v z?kon a tak? vztah mezi line?rn? rychlost? t?les a periodou jejich ob?hu kolem planet. Upozor?ujeme, ?e polom?r trajektorie satelitu se v?dy m??? od st?edu planety.

?kol 1.

Vypo??tejte prvn? ?nikovou rychlost pro Slunce. Hmotnost Slunce je 2 10 30 kg, pr?m?r Slunce je 1,4 10 9 m.

?e?en?.

Dru?ice se pohybuje kolem Slunce pod vlivem jedin? s?ly – gravitace. Podle druh?ho Newtonova z?kona p??eme:

Z t?to rovnice ur??me prvn? ?nikovou rychlost, tedy minim?ln? rychlost, kterou mus? b?t t?leso vypu?t?no z povrchu Slunce, aby se stalo jeho satelitem:

?kol 2.

Dru?ice se pohybuje kolem planety ve vzd?lenosti 200 km od jej?ho povrchu rychlost? 4 km/s. Ur?ete hustotu planety, je-li jej? polom?r roven dv?ma polom?r?m Zem? (Rpl = 2R 3).

?e?en?.

Planety maj? tvar koule, jej?? objem lze vypo??tat pomoc? vzorce pak hustotu planety

Ur?ete pr?m?rnou vzd?lenost od Saturnu ke Slunci, pokud doba ob?hu Saturnu kolem Slunce je 29,5 roku. Hmotnost Slunce je 2 10 30 kg.

?e?en?.

V???me, ?e Saturn se pohybuje kolem Slunce po kruhov? dr?ze. Pak podle druh?ho Newtonova z?kona p??eme:

kde m je hmotnost Saturnu, r je vzd?lenost od Saturnu ke Slunci, M c je hmotnost Slunce.

Saturnova ob??n? doba odtud

Dosazen?m v?razu pro rychlost y do rovnice (4) z?sk?me

Z posledn? rovnice ur??me po?adovanou vzd?lenost od Saturnu ke Slunci:

Porovn?n?m s tabulkov?mi ?daji se ujist?me, ?e nalezen? hodnota je spr?vn?.

Zdroj: “Fyzika - 10. t??da”, 2014, u?ebnice Myakishev, Bukhovtsev, Sotsky

Dynamika - Fyzika, u?ebnice pro ro?n?k 10 - Cool fyzika

Z na?? planety. Objekt se bude pohybovat nerovnom?rn? a nerovnom?rn? zrychlen?. To se d?je proto, ?e zrychlen? a rychlost v tomto p??pad? nespl?uj? podm?nky s konstantn? rychlost?/zrychlen?m ve sm?ru a velikosti. Tyto dva vektory (rychlost a zrychlen?) budou p?i pohybu po ob??n? dr?ze neust?le m?nit sv?j sm?r. Proto se takov? pohyb n?kdy naz?v? pohyb konstantn? rychlost? po kruhov? dr?ze.

Prvn? kosmick? rychlost je rychlost, kterou mus? t?leso ud?lit, aby se dostalo na kruhovou dr?hu. Z?rove? se to stane podobn?m, jin?mi slovy, prvn? kosmick? rychlost je rychlost, kterou t?leso pohybuj?c? se nad zemsk?m povrchem na ni nedopadne, ale bude se d?le pohybovat po ob??n? dr?ze.

Pro usnadn?n? v?po?tu m??eme tento pohyb pova?ovat za pohyb v neinerci?ln? vzta?n? soustav?. Potom lze t?leso na ob??n? dr?ze pova?ovat za v klidu, proto?e na n?j budou p?sobit dv? gravitace. V d?sledku toho bude prvn? vypo?tena na z?klad? uva?ov?n? rovnosti t?chto dvou sil.

Vypo??t?v? se podle ur?it?ho vzorce, kter? bere v ?vahu hmotnost planety, hmotnost t?lesa a gravita?n? konstantu. Nahrazen?m zn?m?ch hodnot do ur?it?ho vzorce dostaneme: prvn? kosmick? rychlost je 7,9 kilometr? za sekundu.

Krom? prvn? kosmick? rychlosti existuje je?t? druh? a t?et? rychlost. Ka?d? z kosmick?ch rychlost? je vypo??t?na pomoc? ur?it?ch vzorc? a je fyzik?ln? interpretov?na jako rychlost, kterou se jak?koli t?leso vypu?t?n? z povrchu planety Zem? stane bu? um?l?m satelitem (to se stane, kdy? bude dosa?eno prvn? kosmick? rychlosti), nebo opust? zemskou gravitaci. pole (to se stane, kdy? dos?hne druh? kosmick? rychlosti), nebo opust? slune?n? soustavu a p?ekon? gravitaci Slunce (to se stane p?i t?et? kosmick? rychlosti).

Po dosa?en? rychlosti 11,18 kilometr? za sekundu (druh? kosmick? rychlost) m??e let?t sm?rem k planet?m slune?n? soustavy: Venu?i, Marsu, Merkuru, Saturnovi, Jupiteru, Neptunu, Uranu. Ale k dosa?en? n?kter?ho z nich je t?eba vz?t v ?vahu jejich pohyb.

D??ve se v?dci domn?vali, ?e pohyb planet je rovnom?rn? a prob?h? v kruhu. A teprve I. Kepler stanovil skute?n? tvar jejich drah a vzorec, podle kter?ho se m?n? rychlosti pohybu nebesk?ch t?les p?i rotaci kolem Slunce.

Pojem kosmick? rychlost (prvn?, druh? nebo t?et?) se pou??v? p?i v?po?tu pohybu um?l?ho t?lesa na jak?koli planet? nebo jej?m p?irozen?m satelitu a tak? na Slunci. Takto m??ete ur?it ?nikovou rychlost nap?. pro M?s?c, Venu?i, Merkur a dal?? nebesk? t?lesa. Tyto rychlosti je t?eba vypo??tat pomoc? vzorc?, kter? berou v ?vahu hmotnost nebesk?ho t?lesa, jeho? gravita?n? s?la mus? b?t p?ekon?na

T?et? kosmickou lze ur?it na z?klad? podm?nky, ?e kosmick? lo? mus? m?t parabolickou trajektorii pohybu vzhledem ke Slunci. K tomu by p?i startu na povrchu Zem? a ve v??ce kolem dvou set kilometr? m?la b?t jeho rychlost p?ibli?n? 16,6 kilometr? za sekundu.

Podle toho lze tak? vypo??tat kosmick? rychlosti pro povrchy jin?ch planet a jejich satelit?. Tak?e nap??klad pro M?s?c bude prvn? kosmick? rychlost 1,68 kilometr? za sekundu, druh? - 2,38 kilometr? za sekundu. Druh? ?nikov? rychlost pro Mars a Venu?i je 5,0 kilometr? za sekundu a 10,4 kilometr? za sekundu.

Prvn? ?nikov? rychlost je minim?ln? rychlost, p?i kter? t?leso pohybuj?c? se vodorovn? nad povrchem planety na ni nespadne, ale bude se pohybovat po kruhov? dr?ze.

Uva?ujme pohyb t?lesa v neinerci?ln? vzta?n? soustav? – vzhledem k Zemi.

V tomto p??pad? bude objekt na ob??n? dr?ze v klidu, proto?e na n?j budou p?sobit dv? s?ly: odst?ediv? s?la a gravita?n? s?la.

kde m je hmotnost objektu, M je hmotnost planety, G je gravita?n? konstanta (6,67259 10 -11 m? kg -1 s -2),

Prvn? ?nikov? rychlost, R je polom?r planety. Dosazen?m ??seln?ch hodnot (pro Zemi 7,9 km/s

Prvn? ?nikovou rychlost lze ur?it pomoc? gravita?n?ho zrychlen? - proto?e g = GM/R?, pak

Druh? kosmick? rychlost je nejni??? rychlost, kterou je t?eba ud?lit objektu, jeho? hmotnost je zanedbateln? ve srovn?n? s hmotnost? nebesk?ho t?lesa, aby p?ekonal gravita?n? p?ita?livost tohoto nebesk?ho t?lesa a zanechal kolem n?j kruhovou dr?hu.

Zapi?me si z?kon zachov?n? energie

kde vlevo jsou kinetick? a potenci?ln? energie na povrchu planety. Zde m je hmotnost zku?ebn?ho t?lesa, M je hmotnost planety, R je polom?r planety, G je gravita?n? konstanta, v 2 je druh? ?nikov? rychlost.

Mezi prvn? a druhou kosmickou rychlost? existuje jednoduch? vztah:

Druh? mocnina ?nikov? rychlosti se rovn? dvojn?sobku Newtonova potenci?lu v dan?m bod?:

Informace, kter? v?s zaj?maj?, najdete tak? ve v?deck?m vyhled?va?i Otvety.Online. Pou?ijte vyhled?vac? formul??:

V?ce k t?matu 15. Odvozen? vzorc? pro 1. a 2. kosmickou rychlost:

1. Maxwellovo rozlo?en? rychlosti. Nejpravd?podobn?j?? st?edn? kvadratick? rychlost molekuly.
2. 14. Odvozen? t?et?ho Keplerova z?kona pro kruhov? pohyb
3. 1. M?ra eliminace. Konstanta rychlosti eliminace. Polo?as eliminace
4. 7.7. Vzorec Rayleigh-Jeans. Planckova hypot?za. Planck?v vzorec
5. 13. Kosmick? a leteck? geod?zie. Vlastnosti sondov?n? ve vodn?m prost?ed?. Syst?my strojov?ho vid?n? na bl?zko.
6. 18. Etick? aspekt kultury ?e?i. Etiketa ?e?i a komunika?n? kultura. Vzorce etikety ?e?i. Vzorce etikety pro sezn?men?, p?edstaven?, pozdrav a rozlou?en?. „Vy“ a „Vy“ jako formy osloven? v rusk? ?e?ov? etiket?. N?rodn? rysy etikety ?e?i.

Podrobnosti Kategorie: Man and Sky Publikov?no 7. 11. 2014 12:37 Zobrazen?: 9512

Lidstvo oded?vna usiluje o vesm?r. Ale jak se odtrhnout od Zem?? Co br?nilo ?lov?ku l?tat ke hv?zd?m?

Jak ji? v?me, zabr?nila tomu gravitace neboli gravita?n? s?la Zem? – hlavn? p?ek??ka vesm?rn?ch let?.

Zemsk? gravitace

P?soben? podl?haj? v?echna fyzick? t?la um?st?n? na Zemi z?kon univerz?ln? gravitace . Podle tohoto z?kona se v?echny navz?jem p?itahuj?, to znamen?, ?e na sebe p?sob? silou tzv gravita?n? s?la, nebo gravitace .

Velikost t?to s?ly je p??mo ?m?rn? sou?inu hmotnost? t?les a nep??mo ?m?rn? druh? mocnin? vzd?lenosti mezi nimi.

Proto?e hmotnost Zem? je velmi velk? a v?razn? p?evy?uje hmotnost jak?hokoli hmotn?ho t?lesa um?st?n?ho na jej?m povrchu, je gravita?n? s?la Zem? v?razn? v?t?? ne? gravita?n? s?la v?ech ostatn?ch t?les. D? se ??ci, ?e ve srovn?n? s gravita?n? silou Zem? jsou obecn? neviditeln?.

Zem? k sob? p?itahuje naprosto v?e. A? u? vyhod?me nahoru jak?koli p?edm?t, pod vlivem gravitace se ur?it? vr?t? na Zemi. Dol? padaj? kapky de?t?, z hor te?e voda, ze strom? pad? list?. Jak?koli p?edm?t, kter? upust?me, tak? spadne na podlahu, ne na strop.

Hlavn? p?ek??ka vesm?rn?ch let?

Zemsk? gravitace br?n? letadl?m opustit Zemi. A p?ekonat to nen? snadn?. Ale ?lov?k se to nau?il.

Pozorujme m?? le??c? na stole. Pokud se skut?l? ze stolu, gravitace Zem? zp?sob? jeho p?d na podlahu. Pokud ale m?? vezmeme a silou ho vyhod?me do d?lky, nespadne okam?it?, ale po n?jak? dob? a pop??e dr?hu ve vzduchu. Pro? dok?zal alespo? na kr?tkou dobu p?ekonat gravitaci?

A toto se stalo. Aplikovali jsme na n?j s?lu, ??m? jsme zrychlili, a m?? se za?al pohybovat. A ??m v?t?? zrychlen? m?? obdr??, t?m vy??? bude jeho rychlost a t?m d?le a v??e m??e let?t.

P?edstavme si d?lo namontovan? na vrcholu hory, ze kter?ho je velkou rychlost? vyst?elen projektil A. Takov? projektil je schopen let?t n?kolik kilometr?. Projektil ale nakonec stejn? spadne na zem. Jeho trajektorie pod vlivem gravitace m? zak?iven? vzhled. Projektil B opou?t? d?lo p?i vy??? rychlosti. Jeho dr?ha letu je prot?hlej?? a p?istane mnohem d?le. ??m v?t?? rychlost st?ela p?ijme, t?m rovn?j?? se st?v? jej? dr?ha a t?m v?t?? je vzd?lenost, kterou uraz?. A kone?n? p?i ur?it? rychlosti m? dr?ha st?ely C podobu uzav?en?ho kruhu. St?ela ud?l? jeden kruh kolem Zem?, dal??, t?et? a ji? nedopad? na Zemi. St?v? se um?l?m satelitem Zem?.

Nikdo samoz?ejm? nepos?l? do vesm?ru st?ely z d?l. Ale kosmick? lod?, kter? dos?hly ur?it? rychlosti, se st?vaj? dru?icemi Zem?.

Prvn? ?nikov? rychlost

Jakou rychlost mus? kosmick? lo? dos?hnout, aby p?ekonala gravitaci?

Minim?ln? rychlost, kter? mus? b?t objektu ud?lena, aby se dostal na kruhovou (geocentrickou) ob??nou dr?hu v bl?zkosti Zem?, se naz?v? prvn? ?nikov? rychlost .

Vypo??tejme hodnotu t?to rychlosti vzhledem k Zemi.

Na t?leso na ob??n? dr?ze p?sob? gravita?n? s?la sm??uj?c? do st?edu Zem?. Je to tak? dost?ediv? s?la, kter? se sna?? toto t?leso p?it?hnout k Zemi. T?leso ale k Zemi nespadne, jeliko? p?soben? t?to s?ly je vyv??eno jinou silou – odst?edivou, kter? se jej sna?? vytla?it. Porovn?n?m vzorc? t?chto sil vypo??t?me prvn? ?nikovou rychlost.

Kde m – hmotnost objektu na ob??n? dr?ze;

M – hmotnost Zem?;

v 1 – prvn? ?nikov? rychlost;

R – polom?r Zem?

G – gravita?n? konstanta.

M = 5,97 10 24 kg, R = 6 371 km. Proto, v 1 ? 7,9 km/s

Hodnota kosmick? rychlosti prvn? zem? z?vis? na polom?ru a hmotnosti Zem? a nez?vis? na hmotnosti t?lesa vypou?t?n?ho na ob??nou dr?hu.

Pomoc? tohoto vzorce m??ete vypo??tat prvn? kosmick? rychlosti pro jakoukoli jinou planetu. Samoz?ejm? se li?? od prvn? ?nikov? rychlosti Zem?, proto?e nebesk? t?lesa maj? r?zn? polom?ry a hmotnosti. Nap??klad prvn? ?nikov? rychlost pro M?s?c je 1680 km/s.

Um?l? dru?ice Zem? je vynesena na ob??nou dr?hu vesm?rnou raketou, kter? zrychl? na prvn? kosmickou rychlost a vy??? a p?ekon? gravitaci.

Za??tek vesm?rn?ho v?ku

Prvn? kosmick? rychlosti bylo dosa?eno v SSSR 4. ??jna 1957. V tento den pozem??an? sly?eli volac? znak prvn? um?l? dru?ice Zem?. Na ob??nou dr?hu byl vynesen pomoc? kosmick? rakety vytvo?en? v SSSR. Byla to kovov? koule s tykadly, v???c? pouh?ch 83,6 kg. A samotn? raketa m?la na tu dobu obrovskou s?lu. V?dy? aby bylo mo?n? vyn?st na ob??nou dr?hu jen 1 kilogram z?va?? nav?c, musela se hmotnost samotn? rakety zv??it o 250-300 kg. Ale vylep?en? v konstrukci raket, motor? a ??dic?ch syst?m? brzy umo?nilo vyslat na ob??nou dr?hu Zem? mnohem t???? kosmick? lod?.

Druh? vesm?rn? dru?ice, vypu?t?n? v SSSR 3. listopadu 1957, ji? v??ila 500 kg. Na palub? bylo slo?it? v?deck? vybaven? a prvn? ?iv? tvor - pes Lajka.

Vesm?rn? v?k za?al v historii lidstva.

Druh? ?nikov? rychlost

Vlivem gravitace se bude satelit pohybovat vodorovn? nad planetou po kruhov? dr?ze. Nedopadne na povrch Zem?, ale ani se nepohne na jinou, vy??? ob??nou dr?hu. A aby to dok?zal, je pot?eba mu d?t jinou rychlost, kter? se naz?v? druh? ?nikov? rychlost . Tato rychlost se naz?v? parabolick?, ?nikov? rychlost , rychlost uvoln?n? . Po obdr?en? takov? rychlosti t?lo p?estane b?t satelitem Zem?, opust? sv? okol? a stane se satelitem Slunce.

Pokud je rychlost t?lesa p?i startu ze zemsk?ho povrchu vy??? ne? prvn? ?nikov? rychlost, ale ni??? ne? druh?, bude m?t jeho bl?zkozemn? dr?ha tvar elipsy. A samotn? t?leso z?stane na n?zk? ob??n? dr?ze Zem?.

T?leso, kter? p?i startu ze Zem? dos?hlo rychlosti rovn? druh? ?nikov? rychlosti, se bude pohybovat po trajektorii ve tvaru paraboly. Pokud ale tato rychlost by? jen nepatrn? p?ekro?? hodnotu druh? ?nikov? rychlosti, jej? trajektorie se stane hyperbolou.

Druh? ?nikov? rychlost, stejn? jako ta prvn?, m? pro r?zn? nebesk? t?lesa r?zn? v?znamy, proto?e z?vis? na hmotnosti a polom?ru tohoto t?lesa.

Vypo??t? se podle vzorce:

Vztah mezi prvn? a druhou ?nikovou rychlost? z?st?v? zachov?n

Pro Zemi je druh? ?nikov? rychlost 11,2 km/s.

Prvn? raketa, kter? p?ekonala gravitaci, byla vypu?t?na 2. ledna 1959 v SSSR. Po 34 hodin?ch letu p?ekro?ila ob??nou dr?hu M?s?ce a vstoupila do meziplanet?rn?ho prostoru.

Druh? vesm?rn? raketa sm?rem k M?s?ci byla vypu?t?na 12. z??? 1959. Pak tu byly rakety, kter? dos?hly povrchu M?s?ce a dokonce provedly m?kk? p?ist?n?.

N?sledn? se kosmick? lod? vydaly na dal?? planety.

Prvn? kosmick? rychlost (kruhov? rychlost)- minim?ln? rychlost, kter? mus? b?t ud?lena objektu, aby byl vypu?t?n na geocentrickou ob??nou dr?hu. Jin?mi slovy, prvn? ?nikov? rychlost je minim?ln? rychlost, p?i kter? t?leso pohybuj?c? se vodorovn? nad povrchem planety na ni nedopadne, ale bude se pohybovat po kruhov? dr?ze.

Po??t?n? a porozum?n?

V inerci?ln? vzta?n? soustav? bude na objekt pohybuj?c? se po kruhov? dr?ze kolem Zem? p?sobit pouze jedna s?la – zemsk? gravita?n? s?la. V tomto p??pad? nebude pohyb objektu ani rovnom?rn?, ani rovnom?rn? zrychlen?. D?je se tak proto, ?e rychlost a zrychlen? (nikoli skal?rn?, ale vektorov? veli?iny) v tomto p??pad? nespl?uj? podm?nky rovnom?rnosti/rovnom?rn?ho zrychlen? pohybu – tedy pohybu s konstantn? (ve velikosti i sm?ru) rychlost?/zrychlen?m. Vektor rychlosti bude toti? neust?le sm??ovat te?n? k povrchu Zem? a vektor zrychlen? na n?j bude kolm? ke st?edu Zem?, zat?mco p?i pohybu po ob??n? dr?ze budou tyto vektory neust?le m?nit sv?j sm?r. Proto se v inerci?ln? vzta?n? soustav? takov? pohyb ?asto naz?v? „pohyb po kruhov? dr?ze s konstantou modulo Rychlost."

V?po?ty prvn? kosmick? rychlosti ?asto pro pohodl? p?istupuj? k uva?ov?n? tohoto pohybu v neinerci?ln? vzta?n? soustav? – vzhledem k Zemi. V tomto p??pad? bude objekt na ob??n? dr?ze v klidu, proto?e na n?j budou p?sobit dv? s?ly: odst?ediv? s?la a gravita?n? s?la. V souladu s t?m je pro v?po?et prvn? ?nikov? rychlosti nutn? vz?t v ?vahu rovnost t?chto sil.

P?esn?ji ?e?eno, na t?leso p?sob? jedna s?la – gravita?n? s?la. Na Zemi p?sob? odst?ediv? s?la. Dost?ediv? s?la, vypo?ten? z podm?nky rota?n?ho pohybu, je rovna gravita?n? s?le. Rychlost se vypo??t? na z?klad? rovnosti t?chto sil.

$m\backslash frac(v\_1^2)(R)=G\backslash frac(Mm)(R^2)$, $v\_1=\backslash sqrt(G\backslash frac(M)(R))$,

Kde m- hmotnost p?edm?tu, M- hmotnost planety, G- gravita?n? konstanta, $v\_1$- prvn? ?nikov? rychlost, R- polom?r planety. Nahrazen? ??seln?ch hodnot (pro Zemi M= 5,97 10 24 kg, R= 6 371 km), najdeme

$v\_1\backslash p?ibl$ 7,9 km/s

Prvn? ?nikovou rychlost lze ur?it pomoc? gravita?n?ho zrychlen?. Proto?e $g\; =\; \backslash frac(GM)(R^2)$, ?e

$v\_1=\backslash sqrt(gR)$.

viz tak?

Napi?te recenzi na ?l?nek "Prvn? kosmick? rychlost"

Odkazy

Z?kony a ?koly Nebesk? sf?ra Parametry ob??n? dr?hy Hnut? nebesk? t?la Astrodynamika Vesm?rn? let Kosmick? lo? ob?h?

?ryvek charakterizuj?c? prvn? kosmickou rychlost

A znovu se obr?til k Pierrovi.
"Sergej Kuzmi?i, ze v?ech stran," ?ekl a rozepnul si horn? knofl?k na vest?.
Pierre se usm?l, ale z jeho ?sm?vu bylo jasn?, ?e pochopil, ?e prince Vasilije tehdy nezaj?mala anekdota Sergeje Kuzmiche; a princ Vasilij si uv?domil, ?e to Pierre pochopil. Princ Vasilij n?hle n?co zamumlal a ode?el. Pierrovi se zd?lo, ?e i princ Vasilij byl v rozpac?ch. Pohled na tohoto star?ho mu?e sv?tov? ostudy Pierra dojal; ohl?dl se na Helenu - a ona vypadala v rozpac?ch a o?ima ?ekla: "No, je to tvoje vlastn? chyba."
"Mus?m to nevyhnuteln? p?ekro?it, ale nem??u, nem??u," pomyslel si Pierre a za?al znovu mluvit o outsiderovi, o Sergeji Kuzmichovi, a ptal se, co je to za vtip, proto?e ho nesly?el. Helen odpov?d?la s ?sm?vem, ?e ani ona nev?.
Kdy? princ Vasily vstoupil do ob?vac?ho pokoje, princezna ti?e mluvila se star?? d?mou o Pierrovi.
- Samoz?ejm?, c "est un parti tres brillant, mais le bonheur, ma chere... - Les Marieiages se font dans les cieux, [Samoz?ejm?, toto je velmi skv?l? ve??rek, ale ?t?st?, m? drah?..." "S?atky se uzav?raj? v nebi," odpov?d?la star?? d?ma.
Princ Vasilij, jako by d?my neposlouchal, p?e?el do vzd?len?ho rohu a posadil se na pohovku. Zav?el o?i a zd?lo se, ?e d??m?. Spadla mu hlava a probudil se.
"Aline," ?ekl sv? ?en?, "allez voir ce qu"ils font. [Alino, pod?vej, co d?laj?.]
Princezna ?la ke dve??m, pro?la kolem nich s v?znamn?m, lhostejn?m pohledem a nahl?dla do ob?vac?ho pokoje. Pierre a Helene tak? sed?li a pov?dali si.
„V?echno je p?i star?m,“ odpov?d?la man?elovi.
Princ Vasilij se zamra?il, svra?til ?sta na stranu, tv??e mu posko?ily s jeho charakteristick?m nep??jemn?m, hrub?m v?razem; Ot??sl se, vstal, hodil hlavu dozadu a rozhodn?mi kroky kolem dam ve?el do mal?ho ob?vac?ho pokoje. Rychl?mi kroky se radostn? p?ibl??il k Pierrovi. Princ?v obli?ej byl tak neoby?ejn? v??n?, ?e kdy? ho Pierre uvid?l, vyd??en? vstal.
- B?h ?ehnej! - ?ekl. - Moje ?ena mi v?echno ?ekla! "Jednou rukou objal Pierra a druhou jeho dceru." - M?j p??tel Lelyo! Jsem velmi, velmi ??astn?. – Hlas se mu t??sl. – Miloval jsem tv?ho otce... a bude ti dobrou man?elkou... B?h ti ?ehnej!...
Objal svou dceru, pak znovu Pierra a pol?bil ho p?chnouc?mi ?sty. Slzy mu skute?n? sm??ely tv??e.
"Princezno, poj? sem," zak?i?el.
Princezna vy?la ven a plakala tak?. Star?? pan? se tak? ut?rala kapesn?kem. Pierre byl pol?ben a n?kolikr?t pol?bil ruku kr?sn? Helene. Po chv?li z?stali zase sami.
„V?echno to tak muselo b?t a nemohlo to b?t jinak,“ pomyslel si Pierre, „tak?e nem? smysl se pt?t, zda je to dobr? nebo ?patn?? Dob?e, proto?e rozhodn?, a neexistuj? ??dn? p?edchoz? bolestiv? pochybnosti." Pierre ml?ky dr?el svou nev?stu za ruku a d?val se, jak jej? kr?sn? ?adra stoupaj? a klesaj?.