Mezi v?emi troj?heln?ky existuj? dva speci?ln? typy: pravo?hl? troj?heln?ky a rovnoramenn? troj?heln?ky. Pro? jsou tyto typy troj?heln?k? tak zvl??tn?? No, za prv?, takov? troj?heln?ky se extr?mn? ?asto ukazuj? jako hlavn? postavy v probl?mech jednotn? st?tn? zkou?ky v prvn? ??sti. A za druh?, probl?my s pravo?hl?mi a rovnoramenn?mi troj?heln?ky se ?e?? mnohem snadn?ji ne? jin? geometrick? probl?my. Sta?? zn?t p?r pravidel a vlastnost?. V?echny nejzaj?mav?j?? v?ci o pravo?hl?ch troj?heln?kech jsou diskutov?ny v, ale nyn? se pod?vejme na rovnoramenn? troj?heln?ky. A za prv?, co je to rovnoramenn? troj?heln?k? Nebo, jak ??kaj? matematici, jak? je definice rovnoramenn?ho troj?heln?ku?

Pod?vejte se, jak to vypad?:

Stejn? jako pravo?hl? troj?heln?k m? i rovnoramenn? troj?heln?k speci?ln? n?zvy pro sv? strany. Jsou naz?v?ny dv? stejn? strany strany a t?et? strana - z?klad.

A znovu v?nujte pozornost obr?zku:

Mohlo by to b?t samoz?ejm? takto:

Bu? opatrn?: bo?n? strana - jedna ze dvou stejn?ch stran v rovnoramenn?m troj?heln?ku a z?kladem je t?et? strana.

Pro? je rovnoramenn? troj?heln?k tak dobr?? Abychom to pochopili, nakreslete v??ku k z?kladn?. Pamatujete si, jak? je v??ka?

Co se stalo? Z jednoho rovnoramenn?ho troj?heln?ku dostaneme dva pravo?hl?.

To je ji? dobr?, ale stane se to v jak?mkoli, dokonce i v tom nejv?ce „?ikm?m“ troj?heln?ku.

Jak se li?? obr?zek pro rovnoramenn? troj?heln?k? Pod?vej se znovu:

No, zaprv?, t?mhle podivn?m matematik?m samoz?ejm? nesta?? jen vid?t – mus? to jist? dok?zat. Jinak jsou najednou tyto troj?heln?ky m?rn? odli?n?, ale budeme je pova?ovat za stejn?.

Ale nebojte se: v tomto p??pad? je dokazov?n? t?m?? stejn? snadn? jako vid?t.

M??eme za??t? Pod?vejte se pozorn?, m?me:

A to znamen?! Pro?? Ano, jednodu?e najdeme a az Pythagorovy v?ty (p?itom si pamatujeme, ?e)

Jsi si jist?? No, te? m?me

A na t?ech stran?ch - nejjednodu??? (t?et?) znamen? rovnosti troj?heln?k?.

N?? rovnoramenn? troj?heln?k se rozd?lil na dva stejn? obd?ln?kov?.

Vid?te, jak je to zaj?mav?? Uk?zalo se ?e:

Jak o tom obvykle mluv? matematici? Poj?me popo?ad?:

(Pamatujte si, ?e medi?n je ??ra veden? z vrcholu, kter? rozd?luje stranu na polovinu, a osa je ?hel.)

Zde jsme diskutovali o tom, jak? dobr? v?ci lze vid?t, pokud je d?n rovnoramenn? troj?heln?k. Odvodili jsme, ?e v rovnoramenn?m troj?heln?ku jsou ?hly na z?kladn? stejn? a v??ka, osa a medi?n nakreslen? k z?kladn? se shoduj?.

A nyn? vyvst?v? dal?? ot?zka: jak poznat rovnoramenn? troj?heln?k? To je, jak ??kaj? matematici, co jsou znaky rovnoramenn?ho troj?heln?ku?

A uk?zalo se, ?e sta?? v?echna tvrzen? „oto?it“ naopak. To se samoz?ejm? nest?v? v?dy, ale i tak je rovnoramenn? troj?heln?k skv?l? v?c! Co se stane po „obr?tce“?

No, pod?vej:
Pokud se v??ka a medi?n shoduj?, pak:

Pokud se v??ka a osi?ka shoduj?, pak:


Pokud se osa a medi?n shoduj?, pak:

No, nezapome?te a pou?ijte:

• Pokud dostanete rovnoramenn? troj?heln?kov? troj?heln?k, klidn? si nakreslete v??ku, z?skejte dva pravo?hl? troj?heln?ky a vy?e?te ?lohu o pravo?hl?m troj?heln?ku.
• Pokud to bude d?no dva ?hly jsou stejn?, pak troj?heln?k p?esn? rovnoramenn? a m??ete nakreslit v??ku a….(D?m, kter? postavil Jack…).
• Pokud se uk??e, ?e v??ka je rozd?lena na polovinu, pak je troj?heln?k rovnoramenn? se v?emi z toho vypl?vaj?c?mi bonusy.
• Pokud se uk??e, ?e v??ka rozd?luje ?hel mezi patry - je tak? rovnoramenn?!
• Pokud osa rozd?luje stranu na polovinu nebo st?edn? d?l? ?hel, stane se to tak? pouze v rovnoramenn?m troj?heln?ku

Poj?me se pod?vat, jak to vypad? v ?kolech.

Probl?m 1(nejjednodu???)

V troj?heln?ku jsou strany a stejn?, a. Nal?zt.

rozhodujeme se:

Nejprve kresba.

Co je zde z?kladem? Rozhodn?, .

P?ipome?me si, co kdyby, pak a.

Aktualizovan? v?kres:

Ozna?me podle. Jak? je sou?et ?hl? troj?heln?ku? ?

Pou??v?me:

To je Odpov?d?t: .

Nen? to t??k?, ?e? Ani jsem nemusel nastavovat v??ku.

Probl?m 2(Tak? to nen? moc slo?it?, ale mus?me si t?ma zopakovat)

V troj?heln?ku, . Nal?zt.

rozhodujeme se:

Troj?heln?k je rovnoramenn?! Nakresl?me v??ku (to je trik, se kter?m se nyn? v?e rozhodne).

Nyn? „vy?krtneme ze ?ivota“, jen se na to pod?v?me.

Tak?e m?me:

Zapamatujme si tabulkov? hodnoty cosinus (no, nebo se pod?vejte na cheat sheet...)

Zb?v? jen naj?t: .

Odpov?d?t: .

V?imn?te si, ?e jsme tady Velmi po?adovan? znalosti t?kaj?c? se pravo?hl?ch troj?heln?k? a „tabulkov?ch“ sin? a kosin?. Velmi ?asto se to st?v?: t?mata „Rovnoramenn? troj?heln?k“ a probl?my jdou k sob?, ale nejsou p??li? p??telsk? k jin?m t?mat?m.

Rovnoramenn? troj?heln?k. Pr?m?rn? ?rove?.

Tyto dv? stejn? strany jsou naz?v?ny strany, A t?et? strana je z?kladna rovnoramenn?ho troj?heln?ku.

Pod?vejte se na obr?zek: a - strany, - z?kladna rovnoramenn?ho troj?heln?ku.

Pou?ijme jeden obr?zek, abychom pochopili, pro? se to d?je. Nakresl?me v??ku z bodu.

To znamen?, ?e v?echny odpov?daj?c? prvky jsou stejn?.

V?echno! Na jeden z?tah (v??ka) dok?zali v?echna tvrzen? najednou.

A pamatujte si: k vy?e?en? probl?mu o rovnoramenn?m troj?heln?ku je ?asto velmi u?ite?n? sn??it v??ku k z?kladn? rovnoramenn?ho troj?heln?ku a rozd?lit jej na dva stejn? pravo?hl? troj?heln?ky.

Zn?mky rovnoramenn?ho troj?heln?ku

I obr?cen? tvrzen? jsou pravdiv?:

T?m?? v?echna tato tvrzen? lze op?t dok?zat „na jeden z?tah“.

1. Tak?e vpustit se uk?zalo b?t rovn? a.

Zkontrolujeme v??ku. Pak

2. a) Nyn? vpus?te n?jak? troj?heln?k v??ka a osa se shoduj?.

2. b) A pokud se v??ka a medi?n shoduj?? V?e je t?m?? stejn?, nic slo?it?j??ho!

- na dvou stran?ch

2. c) Nen?-li v?ak v??ka, kter? je spu?t?n na z?kladnu rovnoramenn?ho troj?heln?ku, pak neexistuj? ??dn? p?vodn? pravo?hl? troj?heln?ky. ?patn?!

Ale existuje cesta ven - p?e?t?te si to na dal?? ?rovni teorie, proto?e zde je d?kaz slo?it?j??, ale prozat?m si pamatujte, ?e pokud se medi?n a bisektor shoduj?, troj?heln?k se tak? uk??e jako rovnoramenn? a v??ka se bude st?le shodovat s touto osou a medi?nem.

Poj?me si to shrnout:

1. Pokud je troj?heln?k rovnoramenn?, pak jsou ?hly na z?kladn? stejn? a nadmo?sk? v??ka, osa a medi?n nakreslen? k z?kladn? se shoduj?.
2. Pokud jsou v n?kter?m troj?heln?ku dva stejn? ?hly nebo se n?kter? dv? ze t?? p??mek (sektor, st?ed, v??ka) shoduj?, pak je takov? troj?heln?k rovnoramenn?.

Rovnoramenn? troj?heln?k. Stru?n? popis a z?kladn? vzorce

Rovnoramenn? troj?heln?k je troj?heln?k, kter? m? dv? stejn? strany.

Zn?mky rovnoramenn?ho troj?heln?ku:

1. Pokud jsou v ur?it?m troj?heln?ku dva ?hly stejn?, pak je rovnoramenn?.
2. Pokud se v n?jak?m troj?heln?ku shoduj?:
   A) v??ka a osi?ka nebo
   b) v??ka a medi?n nebo
   PROTI) medi?n a osa,
   nakreslen? na jednu stranu, pak je takov? troj?heln?k rovnoramenn?.

Prvn? historici na?? civilizace – sta?? ?ekov? – zmi?uj? Egypt jako m?sto narozen? geometrie. Je t??k? s nimi nesouhlasit, proto?e v?me, s jakou ??asnou p?esnost? byly postaveny ob?? hrobky faraon?. Vz?jemn? poloha rovin pyramid, jejich proporce, orientace ke sv?tov?m stran?m - bylo by nemysliteln? dos?hnout takov? dokonalosti bez znalosti z?klad? geometrie.

Samotn? slovo „geometrie“ lze p?elo?it jako „m??en? zem?“. Nav?c se slovo „zem?“ nejev? jako planeta – sou??st slune?n? soustavy, ale jako rovina. Vyty?ov?n? ploch pro zem?d?lstv? je s nejv?t?? pravd?podobnost? velmi p?vodn?m z?kladem nauky o geometrick?ch tvarech, jejich typech a vlastnostech.

Troj?heln?k je nejjednodu??? prostorov? ?tvar planimetrie, obsahuj?c? pouze t?i body - vrcholy (nen? jich m?n?). Z?klad z?klad?, mo?n? pr?v? proto se v n?m zd? b?t cosi tajemn?ho a prastar?ho. V?evidouc? oko uvnit? troj?heln?ku je jedn?m z prvn?ch zn?m?ch okultn?ch znamen? a geografie jeho roz???en? a ?asov? r?mec jsou prost? ??asn?. Od starov?k?ch egyptsk?ch, sumersk?ch, azt?ck?ch a dal??ch civilizac? a? po modern?j?? komunity milovn?k? okultismu roztrou?en?ch po cel?m sv?t?.

Co jsou troj?heln?ky?

Oby?ejn? scalene troj?heln?k je uzav?en? geometrick? obrazec sest?vaj?c? ze t?? segment? r?zn?ch d?lek a t?? ?hl?, z nich? ??dn? nen? prav?. Krom? toho existuje n?kolik speci?ln?ch typ?.

Ostr? troj?heln?k m? v?echny ?hly men?? ne? 90 stup??. Jin?mi slovy, v?echny ?hly takov?ho troj?heln?ku jsou ostr?.

Pravo?hl? troj?heln?k, nad kter?m ?kol?ci v?dy plakali kv?li mno?stv? v?t, m? jeden ?hel 90 stup?? nebo, jak se mu tak? ??k?, p??mka.

Tup? troj?heln?k se vyzna?uje t?m, ?e jeden z jeho ?hl? je tup?, to znamen?, ?e jeho velikost je v?t?? ne? 90 stup??.

Rovnostrann? troj?heln?k m? t?i strany stejn? dlouh?. V takov?m obr?zku jsou v?echny ?hly tak? stejn?.

A kone?n?, rovnoramenn? troj?heln?k m? t?i strany, dv? stejn?.

Charakteristick? rysy

Vlastnosti rovnoramenn?ho troj?heln?ku ur?uj? i jeho hlavn?, hlavn? rozd?l – rovnost jeho dvou stran. Tyto stejn? strany se obvykle naz?vaj? boky (nebo ?ast?ji strany) a t?et? strana se naz?v? „z?kladna“.

Na uva?ovan?m obr?zku je a = b.

Druh? krit?rium pro rovnoramenn? troj?heln?k vypl?v? z v?ty o sinech. Proto?e strany a a b jsou stejn?, jsou sinusy jejich opa?n?ch ?hl? stejn?:

a/sin g = b/sin a, odkud m?me: sin g = sin a.

Z rovnosti sin? plyne rovnost ?hl?: g = a.

Druh?m znakem rovnoramenn?ho troj?heln?ku je tedy rovnost dvou ?hl? soused?c?ch se z?kladnou.

T?et? znamen?. V troj?heln?ku jsou prvky jako nadmo?sk? v??ka, osa a medi?n.

Pokud se v procesu ?e?en? probl?mu uk??e, ?e v doty?n?m troj?heln?ku se kter?koli dva z t?chto prvk? shoduj?: v??ka s osou; osi?ka s medi?nem; medi?n s v??kou - m??eme definitivn? usoudit, ?e troj?heln?k je rovnoramenn?.

Geometrick? vlastnosti obrazce

1. Vlastnosti rovnoramenn?ho troj?heln?ku. Jednou z charakteristick?ch vlastnost? postavy je rovnost ?hl? p?il?haj?c?ch k z?kladn?:

<ВАС = <ВСА.

2. Je?t? jedna vlastnost byla probr?na v??e: medi?n, os a nadmo?sk? v??ka v rovnoramenn?m troj?heln?ku se shoduj?, pokud jsou postaveny od jeho vrcholu k jeho z?kladn?.

3. Rovnost os nata?en?ch z vrchol? na z?kladn?:

Jestli?e AE je osa ?hlu BAC a CD je osa ?hlu BCA, pak: AE = DC.

4. Vlastnosti rovnoramenn?ho troj?heln?ku tak? zaji??uj? rovnost v??ek, kter? jsou vykresleny z vrchol? na z?kladn?.

Sestroj?me-li v??ky troj?heln?ku ABC (kde AB = BC) z vrchol? A a C, pak budou v?sledn? ?se?ky CD a AE stejn?.

5. Medi?ny nakreslen? z roh? na z?kladn? budou tak? stejn?.

Pokud jsou tedy AE a DC medi?ny, tedy AD = DB a BE = EC, pak AE = DC.

V??ka rovnoramenn?ho troj?heln?ku

Rovnost stran a ?hl? s nimi zav?d? n?kter? rysy do v?po?tu d?lek prvk? uva?ovan?ho obr?zku.

Nadmo?sk? v??ka v rovnoramenn?m troj?heln?ku rozd?luje obrazec na 2 symetrick? pravo?hl? troj?heln?ky, jejich? p?epony jsou po stran?ch. V??ka je v tomto p??pad? ur?ena podle Pythagorovy v?ty jako noha.

Troj?heln?k m??e m?t v?echny t?i strany stejn?, pak se naz?v? rovnostrann?. V??ka v rovnostrann?m troj?heln?ku se ur?uje podobn?m zp?sobem, jen pro v?po?ty sta?? zn?t pouze jednu hodnotu - d?lku strany tohoto troj?heln?ku.

V??ku m??ete ur?it jin?m zp?sobem, nap??klad t?m, ?e zn?te z?kladnu a ?hel k n? p?il?haj?c?.

Medi?n rovnoramenn?ho troj?heln?ku

Uva?ovan? typ troj?heln?ku lze d?ky jeho geometrick?m vlastnostem vy?e?it zcela jednodu?e s pou?it?m minim?ln? sady po??te?n?ch dat. Proto?e medi?n v rovnoramenn?m troj?heln?ku je roven jak jeho v??ce, tak jeho ose, algoritmus pro jeho ur?en? se neli?? od postupu pro v?po?et t?chto prvk?.

Nap??klad m??ete ur?it d?lku medi?nu podle zn?m? bo?n? strany a velikosti vrcholov?ho ?hlu.

Jak ur?it obvod

Proto?e jsou ob? strany uva?ovan?ho planimetrick?ho ?tvaru v?dy stejn?, pro ur?en? obvodu sta?? zn?t d?lku z?kladny a d?lku jedn? ze stran.

Uva?ujme p??klad, kdy pot?ebujete ur?it obvod troj?heln?ku pomoc? zn?m? z?kladny a v??ky.

Obvod se rovn? sou?tu z?kladny a dvojn?sobku d?lky strany. Bo?n? strana je zase definov?na pomoc? Pythagorovy v?ty jako p?epona pravo?hl?ho troj?heln?ku. Jeho d?lka se rovn? druh? odmocnin? sou?tu druh? mocniny v??ky a druh? mocniny poloviny z?kladny.

Plocha rovnoramenn?ho troj?heln?ku

V?po?et plochy rovnoramenn?ho troj?heln?ku zpravidla nezp?sobuje pot??e. Univerz?ln? pravidlo pro ur?en? plochy troj?heln?ku jako poloviny sou?inu z?kladny a jej? v??ky plat? samoz?ejm? i v na?em p??pad?. Vlastnosti rovnoramenn?ho troj?heln?ku v?ak ?kol op?t usnad?uj?.

P?edpokl?dejme, ?e v??ka a ?hel soused?c? se z?kladnou jsou zn?m?. Je nutn? ur?it oblast obr?zku. To lze prov?st t?mto zp?sobem.

Proto?e sou?et ?hl? libovoln?ho troj?heln?ku je 180°, nen? t??k? ur?it velikost ?hlu. D?le pomoc? pod?lu sestaven?ho podle v?ty o sinech ur??me d?lku z?kladny troj?heln?ku. K dispozici je v?e, z?kladna i v??ka – dostatek ?daj? pro ur?en? oblasti.

Dal?? vlastnosti rovnoramenn?ho troj?heln?ku

Poloha st?edu kru?nice opsan? kolem rovnoramenn?ho troj?heln?ku z?vis? na velikosti vrcholov?ho ?hlu. Pokud je tedy rovnoramenn? troj?heln?k ostr?, st?ed kruhu se nach?z? uvnit? obr?zku.

St?ed kru?nice opsan? kolem tup?ho rovnoramenn?ho troj?heln?ku le?? mimo n?j. A kone?n?, pokud je ?hel ve vrcholu 90°, st?ed le?? p?esn? uprost?ed z?kladny a pr?m?r kruhu proch?z? samotnou z?kladnou.

K ur?en? polom?ru kru?nice opsan? rovnoramenn?mu troj?heln?ku sta?? vyd?lit d?lku strany dvojn?sobkem kosinusu poloviny vrcholov?ho ?hlu.

Tato lekce se bude t?kat t?matu „Rovnoramenn? troj?heln?k a jeho vlastnosti“. Dozv?te se, jak vypadaj? rovnoramenn? a rovnostrann? troj?heln?ky a jak jsou charakterizov?ny. Doka?te v?tu o rovnosti ?hl? na z?kladn? rovnoramenn?ho troj?heln?ku. Uva?ujme tak? v?tu o ose (st?ednici a v??ce) nakreslen? k z?kladn? rovnoramenn?ho troj?heln?ku. Na konci lekce vy?e??te dv? ?lohy pomoc? definice a vlastnost? rovnoramenn?ho troj?heln?ku.

Definice:Rovnoramenn? se naz?v? troj?heln?k, jeho? dv? strany jsou stejn?.

R??e. 1. Rovnoramenn? troj?heln?k

AB = AC - strany. p?. n. l. - nadace.

Plocha rovnoramenn?ho troj?heln?ku se rovn? polovin? sou?inu jeho z?kladny a jeho v??ky.

Definice:Rovnostrann? se naz?v? troj?heln?k, ve kter?m jsou v?echny t?i strany stejn?.

R??e. 2. Rovnostrann? troj?heln?k

AB = BC = SA.

V?ta 1: V rovnoramenn?m troj?heln?ku jsou z?kladn? ?hly stejn?.

Vzhledem k tomu: AB = AC.

Dok?zat:?B =?C.

R??e. 3. Kreslen? pro v?tu

D?kaz: troj?heln?k ABC = troj?heln?k ACB podle prvn?ho znam?nka (dv? stejn? strany a ?hel mezi nimi). Z rovnosti troj?heln?k? vypl?v?, ?e v?echny odpov?daj?c? prvky jsou si rovny. To znamen? ?B = ?C, co? je pot?eba dok?zat.

V?ta 2: V rovnoramenn?m troj?heln?ku osektor p?ita?en? k z?kladn? je medi?n A v??ka.

Vzhledem k tomu: AB = AC, ?1 = ?2.

Dok?zat:ВD = DC, AD kolm? k BC.

R??e. 4. Kreslen? pro v?tu 2

D?kaz: troj?heln?k ADB = troj?heln?k ADC podle prvn?ho znam?nka (AD - obecn?, AB = AC podle podm?nky, ?BAD = ?DAC). Z rovnosti troj?heln?k? vypl?v?, ?e v?echny odpov?daj?c? prvky jsou si rovny. BD = DC, proto?e le?? v opa?n?ch stejn?ch ?hlech. Tak?e AD je medi?n. Tak? ?3 = ?4, proto?e le?? na opa?n?ch stejn?ch stran?ch. Ale krom? toho jsou si celkem rovni. Proto ?3 = ?4 = . To znamen?, ?e AD je v??ka troj?heln?ku, co? jsme pot?ebovali dok?zat.

V jedin?m p??pad? a = b = . V tomto p??pad? se p??mky AC a BD naz?vaj? kolm?.

Proto?e osa, v??ka a medi?n jsou stejn? segment, plat? tak? n?sleduj?c? tvrzen?:

Nadmo?sk? v??ka rovnoramenn?ho troj?heln?ku nakreslen?ho k z?kladn? je medi?n a osa.

Medi?n rovnoramenn?ho troj?heln?ku nakreslen?ho k z?kladn? je nadmo?sk? v??ka a osa.

P??klad 1: V rovnoramenn?m troj?heln?ku je z?kladna polovi?n? velikosti strany a obvod je 50 cm. Najd?te strany troj?heln?ku.

Vzhledem k tomu: AB = AC, BC = AC. P = 50 cm.

Nal?zt: BC, AC, AB.

?e?en?:

R??e. 5. Kreslen? nap??klad 1

Ozna?me z?klad BC jako a, pak AB = AC = 2a.

2a + 2a + a = 50.

5a = 50, a = 10.

Odpov?d?t: BC = 10 cm, AC = AB = 20 cm.

P??klad 2: Doka?te, ?e v rovnostrann?m troj?heln?ku jsou v?echny ?hly stejn?.

Vzhledem k tomu: AB = BC = SA.

Dok?zat:?A = ?B = ?C.

D?kaz:

R??e. 6. Nap??klad kreslen?

?B = ?C, proto?e AB = AC, a ?A = ?B, proto?e AC = BC.

Proto ?A = ?B = ?C, co? je to, co bylo pot?eba dok?zat.

Odpov?d?t: Osv?d?en?.

V dne?n? lekci jsme se pod?vali na rovnoramenn? troj?heln?k a studovali jeho z?kladn? vlastnosti. V dal?? lekci budeme ?e?it probl?my na t?ma rovnoramenn? troj?heln?ky, na v?po?et obsahu rovnoramenn?ho a rovnostrann?ho troj?heln?ku.

1. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. a dal?? Geometrie 7. - M.: Vzd?l?v?n?.
2. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. a dal?? Geometrie 7. 5. vyd. - M.: Osv?cen?.
3. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometrie 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomcev, V.V. Pr?solov?, ed. Sadovnichego V.A. - M.: Vzd?l?v?n?, 2010.

1. Slovn?ky a encyklopedie o akademikovi ().
2. Festival pedagogick?ch my?lenek „Otev?en? lekce“ ().
3. Kaknauchit.ru ().

1. ?. 29. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometrie 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomcev, V.V. Pr?solov?, ed. Sadovnichego V.A. - M.: Vzd?l?v?n?, 2010.

2. Obvod rovnoramenn?ho troj?heln?ku je 35 cm a z?kladna je t?ikr?t men?? ne? strana. Najd?te strany troj?heln?ku.

3. D?no: AB = BC. Doka?te, ?e ?1 = ?2.

4. Obvod rovnoramenn?ho troj?heln?ku je 20 cm, jedna jeho strana je dvakr?t v?t?? ne? druh?. Najd?te strany troj?heln?ku. Kolik ?e?en? m? probl?m?

Kontrola dom?c?ch ?kol?

№ 111.

Vzhledem k tomu: CD = BD , 1 = 2

Dok?zat: A B C - rovnoramenn?

№ 107.

bo?n? A C je 2kr?t men?? ne? AB

P = 50 cm,

P = 50 cm

x + 2x + 2x = 50

x = 10

2 X

2 X

AC = 10 cm,

AB = BC = 20 cm

Kter? troj?heln?ky jsou rovnoramenn?? U rovnoramenn?ch troj?heln?k? pojmenujte z?kladnu a strany.

Je d?no: AD - osektor ? BAC, BAC = 74 0. Naj?t: BA D. (obr. 1)

D?no: KL - v??ka ? KMN. Naj?t: KLN. (obr.2)

D?no: QS - medi?n ? PQR, PS = 5,3 cm. Naj?t: PR. (obr. 3)

• D?no: ? ABC je rovnoramenn? se z?kladnou AC, VC je osa, AC = 46 cm. Naj?t: AK. (obr.4)
• Je d?no: ? ABC je rovnoramenn? se z?kladnou AC, v??ka VC, ABC = 46 0. Naj?t: AVK. (obr.5)
• Je d?no: ? C BD rovnoramenn? se z?kladnou B C, DA medi?n, BDC = 120 0. Naj?t: ADB. (obr.6)

7. t??da

Vlastnosti rovnoramenn?ho troj?heln?ku

K pozn?n? vedou t?i cesty:

Cesta reflexe je ta neju?lechtilej?? cesta,

Cesta napodobov?n? je ta nejjednodu??? cesta,

A cesta z??itku je ta nejtrp?? cesta.

Konfucius.

V rovnoramenn?m troj?heln?ku jsou z?kladn? ?hly stejn?.

D?no: ABC rovnoramenn?

Dok?zat:

D?kaz:

1. Nakreslete osi?ku BD ?hlu B.

2. Zva?te ? AB D a ? CBD:

AB = BC (podle podm?nky),

V D – spole?n? strana,

? A BD = ? C BD

? АВD = ?CBD (na z?klad? 1 znam?nka rovnosti troj?heln?k?)

3. Ve stejn?ch troj?heln?kech jsou odpov?daj?c? ?hly ? A= ? C.

V rovnoramenn?m troj?heln?ku je osa veden? k z?kladn? st?edem a nadmo?skou v??kou.

Vzhledem k tomu: ABC rovnoramenn?,

A D – osektor .

Dok?zat: A D - v??ka,

A D – medi?n.

D?kaz:

1) Zva?te tak?:

? BAD = ?CAD (na z?klad? 1 krit?ria pro rovnost troj?heln?k?).

2) Ve stejn?ch troj?heln?kech jsou odpov?daj?c? strany a ?hly stejn?

1 = 2 = 90° (sousedn? ?hly).

AD je tedy medi?n a v??ka ? ABC.

?e?en? probl?mu.

Savrasova S.M., Yastrebinetsky G.A. "Cvi?en? planimetrie na hotov?ch v?kresech"

110

70

70

?e?en? probl?mu.

D?no: AB = B C, 1 = 130 0.

L. S. Atanasyan. "Geometrie 7-9" ?. 112.

?e?en? probl?mu.

Naj?t: AB D.

Troj?heln?k

ABC - rovnoramenn?

V D – medi?n

To znamen?, ?e B D je osa

40 0

40 0

CM. Savra?ov?, G.A. Yastrebinetsky „Cvi?en? na hotov?ch v?kresech“

Dom?c? pr?ce:

• odst. 19 (str. 35 – 36), ?. 109, 112, 118.

Vlastnosti rovnoramenn?ho troj?heln?ku vyjad?uj? n?sleduj?c? v?ty.

V?ta 1. V rovnoramenn?m troj?heln?ku jsou ?hly na z?kladn? stejn?.

V?ta 2. V rovnoramenn?m troj?heln?ku je osa veden? k z?kladn? st?edem a nadmo?skou v??kou.

V?ta 3. V rovnoramenn?m troj?heln?ku je st?edem k z?kladn? osa a v??ka.

V?ta 4. V rovnoramenn?m troj?heln?ku je nadmo?sk? v??ka nakreslen? k z?kladn? osou a medi?nem.

Doka?me jednu z nich, nap??klad v?tu 2.5.

D?kaz. Uva?ujme rovnoramenn? troj?heln?k ABC se z?kladnou BC a doka?me, ?e ? B = ? C. Nech? AD je se?na troj?heln?ku ABC (obr. 1). Troj?heln?ky ABD a ACD jsou si rovny podle prvn?ho znam?nka rovnosti troj?heln?k? (AB = AC podle podm?nky, AD je spole?n? strana, ? 1 = ? 2, proto?e AD je osa). Z rovnosti t?chto troj?heln?k? vypl?v?, ?e ? B = ? C. V?ta je dok?z?na.

Pomoc? v?ty 1 je stanovena n?sleduj?c? v?ta.

V?ta 5. T?et? krit?rium pro rovnost troj?heln?k?. Pokud se t?i strany jednoho troj?heln?ku rovnaj? t?em stran?m jin?ho troj?heln?ku, pak jsou tyto troj?heln?ky shodn? (obr. 2).

Koment??. V?ty stanoven? v p??kladech 1 a 2 vyjad?uj? vlastnosti odv?sny ?se?ky. Z t?chto n?vrh? vypl?v?, ?e kolmice os na strany troj?heln?ku se prot?naj? v jednom bod?.

P??klad 1 Doka?te, ?e bod v rovin? stejn? vzd?len? od konc? ?se?ky le?? na ose kolmice k t?to ?se?ce.

?e?en?. Bod M nech? je stejn? vzd?len? od konc? segmentu AB (obr. 3), tj. AM = BM.

Pak je D AMV rovnoramenn?. Nar?sujme p??mku p bodem M a st?edem O ?se?ky AB. Podle konstrukce je ?se?ka MO medi?nem rovnoramenn?ho troj?heln?ku AMB, a proto (V?ta 3), a v??ka, tj. p??mka MO, je kolmice na ?se?ku AB.

P??klad 2 Doka?te, ?e ka?d? bod kolmice na ?se?ku je stejn? vzd?len? od jej?ch konc?.

?e?en?. Nech? p je odv?sna k ?se?ce AB a bod O st?ed ?se?ky AB (viz obr. 3).

Uva?ujme libovoln? bod M le??c? na p??mce p. Nakresl?me segmenty AM a BM. Troj?heln?ky AOM a BOM jsou stejn?, proto?e jejich ?hly ve vrcholu O jsou prav?, noha OM je spole?n? a noha OA je podle podm?nky stejn? jako noha OB. Z rovnosti troj?heln?k? AOM a BOM vypl?v?, ?e AM = BM.

P??klad 3 V troj?heln?ku ABC (viz obr. 4) AB = 10 cm, BC = 9 cm, AC = 7 cm; v troj?heln?ku DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.

Porovnejte troj?heln?ky ABC a DEF. Najd?te odpov?daj?c? stejn? ?hly.

?e?en?. Tyto troj?heln?ky jsou stejn? podle t?et?ho krit?ria. Odpov?daj?c?m zp?sobem stejn? ?hly: A a E (le?? proti stejn?m stran?m BC a FD), B a F (le?? proti stejn?m stran?m AC a DE), C a D (le?? proti stejn?m stran?m AB a EF).

P??klad 4. Na obr?zku 5, AB = DC, BC = AD, ?B = 100°.

Najd?te ?hel D.

?e?en?. Uva?ujme troj?heln?ky ABC a ADC. Jsou si rovny podle t?et?ho krit?ria (AB = DC, BC = AD podle podm?nky a strana AC je spole?n?). Z rovnosti t?chto troj?heln?k? vypl?v?, ?e ? B = ? D, ale ?hel B je roven 100°, co? znamen?, ?e ?hel D je roven 100°.

P??klad 5. V rovnoramenn?m troj?heln?ku ABC se z?kladnou AC je vn?j?? ?hel u vrcholu C 123°. Najd?te velikost ?hlu ABC. Uve?te svou odpov?? ve stupn?ch.

Video ?e?en?.