Posledn? videa v dlouh? s?rii lekc? o ?e?en? logaritmick?ch rovnic. Tentokr?t budeme pracovat prim?rn? s ODZ logaritmu - pr?v? kv?li nespr?vn?mu zohledn?n? (nebo dokonce ignorov?n?) defini?n? oblasti vznik? nejv?ce chyb p?i ?e?en? takov?ch probl?m?.

V t?to kr?tk? video lekci se pod?v?me na pou?it? vzorc? pro s??t?n? a od??t?n? logaritm? a tak? se budeme zab?vat zlomkov?mi racion?ln?mi rovnicemi, se kter?mi m? mnoho student? tak? probl?my.

O ?em si budeme pov?dat? Hlavn? vzorec, kter?mu bych cht?l porozum?t, vypad? takto:

log a (f g ) = log a f + log a g

Jedn? se o standardn? p?echod od sou?inu k sou?tu logaritm? a zp?t. Tento vzorec pravd?podobn? zn?te od ?pln?ho za??tku studia logaritm?. M? to v?ak jeden h??ek.

Dokud jsou prom?nn? a, f a g oby?ejn? ??sla, nevznikaj? ??dn? probl?my. Tento vzorec funguje skv?le.

Jakmile se v?ak m?sto f a g objev? funkce, vyvst?v? probl?m roz???en? nebo z??en? defini?n?ho oboru v z?vislosti na tom, kter?m sm?rem transformovat. Posu?te sami: v logaritmu napsan?m vlevo je dom?na definice n?sleduj?c?:

fg > 0

Ale v mno?stv? napsan?m vpravo je dom?na definice ji? pon?kud odli?n?:

f > 0

g > 0

Tento soubor po?adavk? je p??sn?j?? ne? p?vodn?. V prvn?m p??pad? se spokoj?me s mo?nost? f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 se provede).

Tak?e p?i p?echodu z lev? konstrukce na pravou doch?z? k z??en? oblasti definice. Pokud jsme nejprve m?li sou?et a p?ep??eme ho do tvaru sou?inu, pak se dom?na definice roz?i?uje.

Jin?mi slovy, v prvn?m p??pad? bychom mohli p?ij?t o ko?eny a ve druh?m bychom mohli z?skat dal??. To je t?eba vz?t v ?vahu p?i ?e?en? re?ln?ch logaritmick?ch rovnic.

Tak?e prvn? ?kol:

[Popis k obr?zku]

Vlevo vid?me sou?et logaritm? pou??vaj?c?ch stejn? z?klad. Proto lze p?idat tyto logaritmy:

[Popis k obr?zku]

Jak vid?te, vpravo jsme nahradili nulu pomoc? vzorce:

a = log b b a

Upravme na?i rovnici trochu v?ce:

log 4 (x - 5) 2 = log 4 1

P?ed n?mi je kanonick? tvar logaritmick? rovnice, m??eme ?krtnout logaritmick? znam?nko a srovnat argumenty:

(x - 5) 2 = 1

|x - 5| = 1

Pozn?mka: odkud modul poch?z?? Dovolte mi p?ipomenout, ?e odmocnina p?esn?ho ?tverce se rovn? modulu:

[Popis k obr?zku]

Potom vy?e??me klasickou rovnici s modulem:

|f | = g (g > 0) =>f = ±g

x - 5 = ±1 =>x 1 = 5 - 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

Zde jsou dv? kandid?tsk? odpov?di. Jsou ?e?en?m p?vodn? logaritmick? rovnice? V ??dn?m p??pad?!

Nem?me pr?vo v?e nechat jen tak a napsat odpov??. Pod?vejte se na krok, kde nahrad?me sou?et logaritm? jedn?m logaritmem sou?inu argument?. Probl?m je, ?e v p?vodn?ch v?razech m?me funkce. Proto byste m?li vy?adovat:

x(x - 5) > 0; (x - 5)/x > 0.

Kdy? jsme transformovali produkt a z?skali p?esn? ?tverec, po?adavky se zm?nily:

(x - 5) 2 > 0

Kdy je tento po?adavek spln?n? Ano, t?m?? v?dy! Krom? p??padu, kdy x - 5 = 0. To znamen? nerovnost se sn??? na jeden prora?en? bod:

x - 5 ? 0 => x ? 5

Jak vid?te, rozsah definice se roz???il, o ?em? jsme hovo?ili na sam?m za??tku lekce. V d?sledku toho se mohou objevit dal?? ko?eny.

Jak m??ete zabr?nit tomu, aby se tyto extra ko?eny objevily? Je to velmi jednoduch?: pod?v?me se na na?e z?skan? ko?eny a porovn?me je s dom?nou definice p?vodn? rovnice. Poj?me po??tat:

x (x - 5) > 0

Budeme ?e?it pomoc? intervalov? metody:

x (x - 5) = 0 => x = 0; x = 5

V?sledn? ??sla ozna??me na ??dku. V?echny body chyb?, proto?e nerovnost je p??sn?. Vezm?te libovoln? ??slo v?t?? ne? 5 a dosa?te:

[Popis k obr?zku]

Zaj?maj? n?s intervaly (-?; 0) ? (5; ?). Ozna??me-li sv? ko?eny na segmentu, uvid?me, ?e x = 4 n?m nevyhovuje, proto?e tento ko?en le?? mimo defini?n? obor p?vodn? logaritmick? rovnice.

Vr?t?me se k totalit?, ?krtneme odmocninu x = 4 a zap??eme odpov??: x = 6. Toto je kone?n? odpov?? na p?vodn? logaritmickou rovnici. To je v?e, probl?m vy?e?en.

Poj?me k druh? logaritmick? rovnici:

[Popis k obr?zku]

Poj?me to vy?e?it. V?imn?te si, ?e prvn? ?len je zlomek a druh? je stejn? zlomek, ale p?evr?cen?. Nebojte se v?razu lgx - je to jen desetinn? logaritmus, m??eme ho napsat:

lgx = log 10 x

Proto?e m?me dva p?evr?cen? zlomky, navrhuji zaveden? nov? prom?nn?:

[Popis k obr?zku]

Proto lze na?i rovnici p?epsat takto:

t + 1/t = 2;

t + 1/t - 2 = 0;

(t2 - 2t + 1)/t = 0;

(t - 1)2/t = 0.

Jak vid?te, ?itatel zlomku je p?esn? ?tverec. Zlomek je roven nule, kdy? jeho ?itatel je nula a jeho jmenovatel je nenulov?:

(t - 1) 2 = 0; t ? 0

Poj?me vy?e?it prvn? rovnici:

t - 1 = 0;

t = 1.

Tato hodnota spl?uje druh? po?adavek. M??eme tedy ??ci, ?e jsme na?i rovnici ?pln? vy?e?ili, ale pouze s ohledem na prom?nnou t. Nyn? si p?ipome?me, co to je:

[Popis k obr?zku]

Dostali jsme pom?r:

logx = 2 logx + 1

2 logx - logx = -1

logx = -1

P?ivedeme tuto rovnici do jej? kanonick? podoby:

logx = log 10 -1

x = 10 -1 = 0,1

V d?sledku toho jsme obdr?eli jedin? ko?en, kter? je teoreticky ?e?en?m p?vodn? rovnice. Nicm?n? hrajme na jistotu a vypi?me dom?nu definice p?vodn? rovnice:

[Popis k obr?zku]

N?? ko?en tedy spl?uje v?echny po?adavky. Na?li jsme ?e?en? p?vodn? logaritmick? rovnice. Odpov??: x = 0,1. Probl?m je vy?e?en.

V dne?n? lekci je pouze jeden kl??ov? bod: kdy? pou?ijete vzorec pro p?echod od sou?inu k sou?tu a zp?t, nezapome?te vz?t v ?vahu, ?e rozsah definice se m??e z??it nebo roz???it v z?vislosti na tom, kter?m sm?rem je p?echod proveden.

Jak porozum?t tomu, co se d?je: kontrakce nebo expanze? Velmi jednoduch?. Pokud d??ve byly funkce spole?n?, ale nyn? jsou odd?len?, pak se rozsah definice z??il (proto?e existuje v?ce po?adavk?). Pokud nejprve funkce st?ly odd?len? a nyn? jsou spolu, pak se oblast definice roz?i?uje (na produkt je kladeno m?n? po?adavk? ne? na jednotliv? faktory).

S p?ihl?dnut?m k t?to pozn?mce bych r?d poznamenal, ?e druh? logaritmick? rovnice tyto transformace v?bec nevy?aduje, to znamen?, ?e argumenty nikde nes??t?me ani nen?sob?me. Zde bych v?s v?ak r?d upozornil na dal?? b?je?nou techniku, kter? v?m umo??uje v?razn? zjednodu?it ?e?en?. Jde o nahrazen? prom?nn?.

Pamatujte v?ak, ?e ??dn? substituce n?s neosvobozuj? z rozsahu definice. Proto jsme po nalezen? v?ech ko?en? nelenili a vr?tili se k p?vodn? rovnici naj?t jej? ODZ.

?asto se p?i nahrazov?n? prom?nn? objev? nep??jemn? chyba, kdy? studenti najdou hodnotu t a mysl? si, ?e ?e?en? je hotov?. V ??dn?m p??pad?!

Jakmile najdete hodnotu t, mus?te se vr?tit k p?vodn? rovnici a zjistit, co p?esn? jsme t?mto p?smenem mysleli. Ve v?sledku mus?me vy?e?it je?t? jednu rovnici, kter? v?ak bude mnohem jednodu??? ne? ta p?vodn?.

To je p?esn? smysl zaveden? nov? prom?nn?. P?vodn? rovnici jsme rozd?lili na dv? st?edn?, z nich? ka?d? m? mnohem jednodu??? ?e?en?.

Jak ?e?it "vno?en?" logaritmick? rovnice

Dnes pokra?ujeme ve studiu logaritmick?ch rovnic a budeme analyzovat konstrukce, kdy je jeden logaritmus pod znam?nkem jin?ho logaritmu. Ob? rovnice budeme ?e?it pomoc? kanonick? formy.

Dnes pokra?ujeme ve studiu logaritmick?ch rovnic a budeme analyzovat konstrukce, kdy je jeden logaritmus pod znam?nkem druh?ho. Ob? rovnice budeme ?e?it pomoc? kanonick? formy. Dovolte mi p?ipomenout, ?e pokud m?me nejjednodu??? logaritmickou rovnici ve tvaru log a f (x) = b, pak pro ?e?en? takov? rovnice provedeme n?sleduj?c? kroky. Nejprve mus?me nahradit ??slo b :

b = log a a b

V?imn?te si, ?e a b je argument. Podobn? v p?vodn? rovnici je argumentem funkce f(x). Potom rovnici p?ep??eme a z?sk?me tuto konstrukci:

log a f (x) = log a a b

Pot? m??eme prov?st t?et? krok - zbavit se logaritmick?ho znam?nka a jednodu?e napsat:

f (x) = a b

V d?sledku toho dostaneme novou rovnici. V tomto p??pad? nejsou na funkci f (x) kladena ??dn? omezen?. Nap??klad logaritmick? funkce m??e tak? zaujmout jej? m?sto. A pak op?t dostaneme logaritmickou rovnici, kterou op?t zredukujeme na jej? nejjednodu??? tvar a vy?e??me p?es kanonickou formu.

Dost v?ak text?. Poj?me vy?e?it skute?n? probl?m. Tak?e ?kol ??slo 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2

Jak vid?te, m?me jednoduchou logaritmickou rovnici. ?lohou f (x) je konstrukce 1 + 3 log 2 x a rol? ??sla b je ??slo 2 (roli a hraje i dvojka). P?epi?me tyto dva takto:

Je d?le?it? pochopit, ?e prvn? dv? dvojky k n?m p?i?ly ze z?kladny logaritmu, tj. pokud by v p?vodn? rovnici bylo 5, dostali bychom, ?e 2 = log 5 5 2. Obecn? plat?, ?e z?klad z?vis? pouze na logaritmu, kter? byl p?vodn? zad?n v probl?mu. A v na?em p??pad? je to ??slo 2.

P?epi?me tedy na?i logaritmickou rovnici s ohledem na skute?nost, ?e dv? napravo jsou vlastn? tak? logaritmy. Dostaneme:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

P?ejd?me k posledn?mu kroku na?eho sch?matu – zbaven? se kanonick? formy. Dalo by se ??ci, ?e zna?ky kl?dy jednodu?e p?e?krtneme. Z matematick?ho hlediska v?ak nen? mo?n? „p?e?krtnout log“ - spr?vn?j?? by bylo ??ci, ?e argumenty jednodu?e srovn?v?me:

1 + 3 log 2 x = 4

Odtud m??eme snadno naj?t 3 log 2 x:

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Op?t jsme dostali nejjednodu??? logaritmickou rovnici, vra?me se do kanonick? podoby. K tomu mus?me prov?st n?sleduj?c? zm?ny:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Pro? je na z?kladn? dvojka? Proto?e v na?? kanonick? rovnici vlevo je logaritmus p?esn? se z?kladem 2. ?lohu p?ep??eme s ohledem na tuto skute?nost:

log 2 x = log 2 2

Op?t se zbav?me logaritmick?ho znam?nka, tedy jednodu?e srovn?me argumenty. M?me na to pr?vo, proto?e z?kladny jsou stejn? a nebyly provedeny ??dn? dal?? akce napravo ani nalevo:

To je v?e! Probl?m je vy?e?en. Na?li jsme ?e?en? logaritmick? rovnice.

Pozn?mka! P?esto?e se v argumentu objevuje prom?nn? x (tj. existuj? po?adavky na defini?n? dom?nu), nebudeme kl?st ??dn? dal?? po?adavky.

Jak jsem ?ekl v??e, tato kontrola je nadbyte?n?, pokud se prom?nn? objev? pouze v jednom argumentu pouze o jednom logaritmu. V na?em p??pad? se x skute?n? objevuje pouze v argumentu a pouze pod jedn?m logem. Proto nejsou vy?adov?ny ??dn? dal?? kontroly.

Pokud v?ak t?to metod? ned?v??ujete, m??ete snadno ov??it, ?e x = 2 je skute?n? ko?en. Toto ??slo sta?? dosadit do p?vodn? rovnice.

P?ejd?me k druh? rovnici, je o n?co zaj?mav?j??:

log 2 (log 1/2 (2x - 1) + log 2 4) = 1

Ozna??me-li v?raz uvnit? velk?ho logaritmu funkc? f (x), dostaneme nejjednodu??? logaritmickou rovnici, se kterou jsme dne?n? video lekci za?ali. M??eme tedy pou??t kanonickou formu, pro kterou budeme muset jednotku reprezentovat ve tvaru log 2 2 1 = log 2 2.

P?epi?me na?i velkou rovnici:

log 2 (log 1/2 (2x - 1) + log 2 4) = log 2 2

Poj?me pry? od znam?nka logaritmu a srovnejme argumenty. M?me na to pr?vo, proto?e jak vlevo, tak vpravo jsou z?kladny stejn?. Nav?c si v?imn?te, ?e log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x - 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x - 1) = 0

P?ed n?mi je op?t nejjednodu??? logaritmick? rovnice tvaru log a f (x) = b. P?ejd?me ke kanonick?mu tvaru, to znamen?, ?e nulu reprezentujeme ve tvaru log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

P?ep??eme na?i rovnici a zbav?me se logaritmick?ho znam?nka a postav?me rovn?tko mezi argumenty:

log 1/2 (2x - 1) = log 1/2 1

2x - 1 = 1

Op?t jsme okam?it? obdr?eli odpov??. Nejsou vy?adov?ny ??dn? dal?? kontroly, proto?e v p?vodn? rovnici obsahuje funkci jako argument pouze jeden logaritmus.

Proto nejsou vy?adov?ny ??dn? dal?? kontroly. M??eme bezpe?n? ??ci, ?e x = 1 je jedin?m ko?enem t?to rovnice.

Pokud by ale ve druh?m logaritmu byla n?jak? funkce x m?sto ?ty? (nebo 2x nebylo v argumentu, ale v z?kladu), pak by bylo nutn? zkontrolovat defini?n? obor. V opa?n?m p??pad? existuje vysok? ?ance, ?e naraz?te na dal?? ko?eny.

Odkud tyto extra ko?eny poch?zej?? Tento bod je t?eba ch?pat velmi jasn?. Pod?vejte se na p?vodn? rovnice: v?ude je funkce x pod logaritmick?m znam?nkem. V d?sledku toho, proto?e jsme zapsali log 2 x, automaticky jsme nastavili po?adavek x > 0. Jinak tento z?znam jednodu?e ned?v? smysl.

Kdy? v?ak vy?e??me logaritmickou rovnici, zbav?me se v?ech log znamen? a z?sk?me jednoduch? konstrukce. Nejsou zde nastavena ??dn? omezen?, proto?e line?rn? funkce je definov?na pro libovolnou hodnotu x.

Pr?v? tento probl?m, kdy je v?sledn? funkce definov?na v?ude a v?dy, ale p?vodn? nen? definov?na v?ude a ne v?dy, je d?vodem, pro? p?i ?e?en? logaritmick?ch rovnic velmi ?asto vznikaj? extra ko?eny.

Ale znovu opakuji: to se d?je pouze v situaci, kdy je funkce bu? v n?kolika logaritmech, nebo na b?zi jednoho z nich. V probl?mech, kter? dnes zva?ujeme, nejsou v z?sad? probl?my s roz???en?m rozsahu definice.

P??pady z r?zn?ch d?vod?

Tato lekce je v?nov?na slo?it?j??m struktur?m. Logaritmy v dne?n?ch rovnic?ch se ji? nebudou ?e?it hned, bude nutn? prov?st nejprve n?kter? transformace.

Za?neme ?e?it logaritmick? rovnice se zcela odli?n?mi b?zemi, kter? nejsou navz?jem p?esn? mocniny. Nenechte se t?mito probl?my vyd?sit - jejich ?e?en? nen? o nic obt??n?j?? ne? nejjednodu??? n?vrhy, o kter?ch jsme hovo?ili v??e.

Ne? v?ak p?ejdu p??mo k probl?m?m, dovolte mi p?ipomenout vzorec pro ?e?en? nejjednodu???ch logaritmick?ch rovnic pomoc? kanonick? formy. Zva?te probl?m jako je tento:

log a f (x) = b

D?le?it? je, ?e funkce f (x) je pouze funkc? a role ??sel a a b by m?la b?t ??sla (bez jak?chkoli prom?nn?ch x). Samoz?ejm? doslova za minutu se pod?v?me na p??pady, kdy m?sto prom?nn?ch a a b jsou funkce, ale o tom te? nejde.

Jak si pamatujeme, ??slo b mus? b?t nahrazeno logaritmem na stejn? z?klad a, kter? je vlevo. To se prov?d? velmi jednodu?e:

b = log a a b

Slova „jak?koli ??slo b“ a „libovoln? ??slo a“ samoz?ejm? znamenaj? hodnoty, kter? spl?uj? rozsah definice. Konkr?tn? v t?to rovnici mluv?me pouze o b?zi a > 0 a a ? 1.

Tento po?adavek je v?ak spln?n automaticky, proto?e p?vodn? ?loha ji? obsahuje logaritmus se z?kladem a - ur?it? bude v?t?? ne? 0 a nebude roven 1. Pokra?ujeme tedy v ?e?en? logaritmick? rovnice:

log a f (x) = log a a b

Takov? z?pis se naz?v? kanonick? tvar. Jeho v?hoda spo??v? v tom, ?e se m??eme okam?it? zbavit znaku log t?m, ?e argumenty zrovnopr?vn?me:

f (x) = a b

Pr?v? tuto techniku nyn? pou?ijeme k ?e?en? logaritmick?ch rovnic s prom?nnou b?z?. Tak poj?me!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Co bude d?l? N?kdo te? ?ekne, ?e mus?te vypo??tat spr?vn? logaritmus, nebo je sn??it na stejn? z?klad nebo n?co jin?ho. A skute?n?, nyn? pot?ebujeme p?iv?st ob? b?ze do stejn?ho tvaru - bu? 2 nebo 0,5. Nau?me se ale jednou prov?dy n?sleduj?c? pravidlo:

Pokud jsou v logaritmick? rovnici desetinn? m?sta, nezapome?te tyto zlomky p?ev?st z des?tkov? soustavy na b??n? z?pis. Tato transformace m??e zna?n? zjednodu?it ?e?en?.

Takov? p?echod je nutn? prov?st okam?it?, je?t? p?ed proveden?m jak?chkoli akc? nebo transformac?. Poj?me se pod?vat:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1/2 1/8

Co n?m takov? rekord d?v?? M??eme reprezentovat 1/2 a 1/8 jako mocniny se z?porn?m exponentem:

[Popis k obr?zku]

P?ed n?mi je kanonick? forma. Srovn?me argumenty a dostaneme klasickou kvadratickou rovnici:

x 2 + 4 x + 11 = 8

x 2 + 4 x + 3 = 0

M?me p?ed sebou n?sleduj?c? kvadratickou rovnici, kterou lze snadno vy?e?it pomoc? Vietov?ch vzorc?. Na st?edn? ?kole byste m?li podobn? projevy vid?t doslova ?stn?:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

To je v?e! P?vodn? logaritmick? rovnice byla vy?e?ena. M?me dva ko?eny.

P?ipom?n?m, ?e v tomto p??pad? nen? nutn? ur?ovat defini?n? obor, proto?e funkce s prom?nnou x je p??tomna pouze v jednom argumentu. Proto se rozsah definice prov?d? automaticky.

Tak?e prvn? rovnice je vy?e?ena. Poj?me k druh?mu:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 -1

Nyn? si v?imn?te, ?e argument prvn?ho logaritmu lze tak? zapsat jako mocninu se z?porn?m exponentem: 1/2 = 2 -1. Pak m??ete odebrat mocniny na obou stran?ch rovnice a vyd?lit v?e -1:

[Popis k obr?zku]

A nyn? jsme dokon?ili velmi d?le?it? krok p?i ?e?en? logaritmick? rovnice. Mo?n? si n?kdo n??eho nev?iml, tak mi to vysv?tl?m.

Pod?vejte se na na?i rovnici: nalevo i napravo je logaritmus, ale vlevo je logaritmus se z?kladem 2 a vpravo je logaritmus se z?kladem 3. Trojka nen? celo??seln? mocnina dva a naopak nem??ete napsat, ?e 2 je 3 v celo??seln?ch stupn?ch.

V d?sledku toho se jedn? o logaritmy s r?zn?mi b?zemi, kter? nelze redukovat na sebe pouh?m se?ten?m mocnin. Jedin? zp?sob, jak takov? probl?my vy?e?it, je zbavit se jednoho z t?chto logaritm?. V tomto p??pad?, proto?e st?le uva?ujeme o pom?rn? jednoduch?ch probl?mech, byl logaritmus vpravo jednodu?e vypo?ten a dostali jsme nejjednodu??? rovnici - p?esn? tu, o kter? jsme mluvili na sam?m za??tku dne?n? lekce.

P?edstavme si ??slo 2, kter? je vpravo, jako log 2 2 2 = log 2 4. A pak se zbav?me logaritmick?ho znam?nka, po kter?m n?m jednodu?e zbude kvadratick? rovnice:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x - 2 = 0

M?me p?ed sebou oby?ejnou kvadratickou rovnici, ale nen? redukov?na, proto?e koeficient x 2 je odli?n? od jednoty. Proto to vy?e??me pomoc? diskriminantu:

D = 81 - 4 5 (-2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (-9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (-9 - 11)/10 = -2

To je v?e! Na?li jsme oba ko?eny, co? znamen?, ?e jsme z?skali ?e?en? p?vodn? logaritmick? rovnice. V p?vodn?m probl?mu je toti? funkce s prom?nnou x p??tomna pouze v jednom argumentu. V d?sledku toho nejsou vy?adov?ny ??dn? dal?? kontroly na dom?n? definice - oba ko?eny, kter? jsme na?li, jist? spl?uj? v?echna mo?n? omezen?.

Toto by mohl b?t konec dne?n? videolekce, ale na z?v?r bych cht?l je?t? jednou ??ci: p?i ?e?en? logaritmick?ch rovnic nezapome?te p?ev?st v?echny desetinn? zlomky na oby?ejn? zlomky. Ve v?t?in? p??pad? to zna?n? zjednodu?uje jejich ?e?en?.

Z??dka, velmi z??dka se setk?te s probl?my, kdy zbavov?n? se desetinn?ch zlomk? jen komplikuje v?po?ty. V takov?ch rovnic?ch je v?ak zpravidla zpo??tku jasn?, ?e nen? t?eba se zbavovat desetinn?ch zlomk?.

Ve v?t?in? ostatn?ch p??pad? (zejm?na pokud pr?v? za??n?te procvi?ovat ?e?en? logaritmick?ch rovnic) se klidn? zbavte desetinn?ch m?st a p?eve?te je na oby?ejn?. Praxe toti? ukazuje, ?e si t?mto zp?sobem v?razn? zjednodu??te n?sledn? ?e?en? a v?po?ty.

Jemnosti a triky ?e?en?

Dnes p?ejdeme ke slo?it?j??m probl?m?m a vy?e??me logaritmickou rovnici, kter? nen? zalo?ena na ??sle, ale na funkci.

A i kdy? je tato funkce line?rn?, budou muset b?t provedeny mal? zm?ny ve sch?matu ?e?en?, jeho? v?znam se scvrk?v? na dodate?n? po?adavky kladen? na dom?nu definice logaritmu.

Slo?it? ?koly

Tento tutori?l bude pom?rn? dlouh?. V n?m rozebereme dv? pom?rn? z?va?n? logaritmick? rovnice, p?i jejich? ?e?en? se ?ada student? dopou?t? chyb. B?hem sv? praxe u?itele matematiky jsem neust?le nar??el na dva typy chyb:

1. Vzhled nadbyte?n?ch ko?en? v d?sledku roz???en? dom?ny definice logaritm?. Abyste se vyhnuli takov?m ?to?n?m chyb?m, sta?? pe?liv? sledovat ka?dou transformaci;
2. Ztr?ta ko?en? kv?li tomu, ?e student zapomn?l vz?t v ?vahu n?kter? „jemn?“ p??pady - to jsou situace, na kter? se dnes zam???me.

Toto je posledn? lekce o logaritmick?ch rovnic?ch. Bude to dlouh?, budeme analyzovat slo?it? logaritmick? rovnice. Ud?lejte si pohodl?, uva?te si ?aj a m??eme za??t.

Prvn? rovnice vypad? celkem standardn?:

log x + 1 (x - 0,5) = log x - 0,5 (x + 1)

Okam?it? si v?imn?me, ?e oba logaritmy jsou navz?jem p?evr?cen? kopie. P?ipome?me si ??asn? vzorec:

log a b = 1/log b a

Tento vzorec m? v?ak ?adu omezen?, kter? vznikaj?, pokud m?sto ??sel a a b existuj? funkce prom?nn? x:

b > 0

1 ? a > 0

Tyto po?adavky plat? pro z?kladnu logaritmu. Na druhou stranu, ve zlomku mus?me m?t 1 ? a > 0, proto?e nejen prom?nn? a je v argumentu logaritmu (proto a > 0), ale samotn? logaritmus je ve jmenovateli zlomku . Ale log b 1 = 0 a jmenovatel mus? b?t nenulov?, tak?e a ? 1.

Omezen? pro prom?nnou a tedy z?st?vaj?. Ale co se stane s prom?nnou b? Na jedn? stran? z?klad implikuje b > 0, na druh? stran? prom?nn? b ? 1, proto?e z?klad logaritmu mus? b?t jin? ne? 1. Celkov? z prav? strany vzorce vypl?v?, ?e 1 ? b > 0.

Ale tady je probl?m: druh? po?adavek (b ? 1) chyb? v prvn? nerovnosti, kter? se zab?v? lev?m logaritmem. Jin?mi slovy, p?i prov?d?n? t?to transformace mus?me zkontrolovat samostatn?, ?e argument b je jin? ne? jedna!

Tak se na to poj?me pod?vat. Aplikujme n?? vzorec:

[Popis k obr?zku]

1 ? x - 0,5 > 0; 1 ? x + 1 > 0

Tak?e jsme dostali, ?e ji? z p?vodn? logaritmick? rovnice vypl?v?, ?e a i b mus? b?t v?t?? ne? 0 a ne rovn? 1. To znamen?, ?e logaritmickou rovnici m??eme snadno p?evr?tit:

Navrhuji zav?st novou prom?nnou:

log x + 1 (x - 0,5) = t

V tomto p??pad? bude na?e konstrukce p?eps?na n?sledovn?:

(t2 - 1)/t = 0

V?imn?te si, ?e v ?itateli m?me rozd?l druh?ch mocnin. Rozd?l ?tverc? odhal?me pomoc? zkr?cen?ho vzorce pro n?soben?:

(t - 1) (t + 1)/t = 0

Zlomek je roven nule, kdy? jeho ?itatel je nula a jeho jmenovatel je nenulov?. Ale ?itatel obsahuje sou?in, tak?e ka?d? faktor p?irovn?me k nule:

ti = 1;

t2 = -1;

t ? 0.

Jak vid?me, ob? hodnoty prom?nn? t n?m vyhovuj?. T?m v?ak ?e?en? nekon??, proto?e pot?ebujeme naj?t nikoli t, ale hodnotu x. Vr?t?me se k logaritmu a dostaneme:

log x + 1 (x - 0,5) = 1;

log x + 1 (x - 0,5) = -1.

Uve?me ka?dou z t?chto rovnic v kanonick?m tvaru:

log x + 1 (x - 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x - 0,5) = log x + 1 (x + 1) -1

Zbav?me se logaritmick?ho znam?nka v prvn?m p??pad? a srovn?me argumenty:

x - 0,5 = x + 1;

x - x = 1 + 0,5;

Takov? rovnice nem? ko?eny, proto ani prvn? logaritmick? rovnice nem? ko?eny. Ale s druhou rovnic? je v?echno mnohem zaj?mav?j??:

(x - 0,5)/1 = 1/(x + 1)

Vy?e?en?m pom?ru dostaneme:

(x - 0,5) (x + 1) = 1

P?ipom?n?m, ?e p?i ?e?en? logaritmick?ch rovnic je mnohem pohodln?j?? pou??vat v?echny desetinn? zlomky jako oby?ejn?, tak?e p?epi?me na?i rovnici takto:

(x - 1/2) (x + 1) = 1;

x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;

x 2 + 1/2x - 3/2 = 0.

M?me p?ed sebou n??e uvedenou kvadratickou rovnici, kterou lze snadno vy?e?it pomoc? Vietov?ch vzorc?:

(x + 3/2) (x - 1) = 0;

x 1 = -1,5;

x 2 = 1.

M?me dva ko?eny - jsou kandid?ty na ?e?en? p?vodn? logaritmick? rovnice. Abychom pochopili, jak? ko?eny ve skute?nosti p?jdou do odpov?di, vra?me se k p?vodn?mu probl?mu. Nyn? zkontrolujeme ka?d? z na?ich ko?en?, abychom zjistili, zda zapadaj? do dom?ny definice:

1,5 ? x > 0,5; 0 ? x > -1.

Tyto po?adavky se rovnaj? dvoj? nerovnosti:

1 ? x > 0,5

Odtud hned vid?me, ?e odmocnina x = -1,5 n?m nevyhovuje, ale x = 1 n?m docela vyhovuje. Proto x = 1 je kone?n?m ?e?en?m logaritmick? rovnice.

Poj?me k druh?mu ?kolu:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

Na prvn? pohled se m??e zd?t, ?e v?echny logaritmy maj? r?zn? z?klady a r?zn? argumenty. Co d?lat s takov?mi strukturami? Nejprve si v?imn?te, ?e ??sla 25, 5 a 625 jsou mocniny 5:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

Nyn? poj?me vyu??t b?je?nou vlastnost logaritmu. Jde o to, ?e z argumentu m??ete z?skat pravomoci ve form? faktor?:

log a b n = n ? log a b

Tato transformace podl?h? omezen?m i v p??pad?, kdy je b nahrazeno funkc?. Ale pro n?s je b pouze ??slo a nevznikaj? ??dn? dal?? omezen?. P?epi?me na?i rovnici:

2 ? log x 5 + log 125 x 5 = 4 ? log 25 x 5

Z?skali jsme rovnici se t?emi ?leny obsahuj?c? znam?nko log. Nav?c jsou argumenty v?ech t?? logaritm? stejn?.

Je ?as obr?tit logaritmy, aby se dostaly na stejn? z?klad - 5. Proto?e prom?nn? b je konstanta, nedoch?z? k ??dn?m zm?n?m v oblasti definice. Jen p?ep??eme:

[Popis k obr?zku]

Podle o?ek?v?n? se ve jmenovateli objevily stejn? logaritmy. Navrhuji nahradit prom?nnou:

log 5 x = t

V tomto p??pad? bude na?e rovnice p?eps?na takto:

Vyp??eme ?itatel a otev?eme z?vorky:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4 t (t + 3) = 2 (t 2 + 5 t + 6) + t 2 + 2 t - 4 t 2 - 12 t = 2 t 2 + 10 t + 12 + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = -t 2 + 12

Vra?me se k na?emu zlomku. ?itatel mus? b?t nula:

[Popis k obr?zku]

A jmenovatel se li?? od nuly:

t ? 0; t ? -3; t ? -2

Posledn? po?adavky jsou spln?ny automaticky, proto?e jsou v?echny „v?z?ny“ na cel? ??sla a v?echny odpov?di jsou iracion?ln?.

Tak?e zlomkov? racion?ln? rovnice byla vy?e?ena, hodnoty prom?nn? t byly nalezeny. Vra?me se k ?e?en? logaritmick? rovnice a p?ipome?me si, co je t:

[Popis k obr?zku]

Tuto rovnici zredukujeme na kanonickou formu a z?sk?me ??slo s iracion?ln?m stupn?m. Nenechte se t?m zm?st – i takov? argumenty lze srovn?vat:

[Popis k obr?zku]

M?me dva ko?eny. P?esn?ji ?e?eno, dv? kandid?tsk? odpov?di – zkontrolujme je, zda jsou v souladu s dom?nou definice. Proto?e z?kladem logaritmu je prom?nn? x, po?adujeme n?sleduj?c?:

1 ? x > 0;

Se stejn?m ?sp?chem tvrd?me, ?e x ? 1/125, jinak se z?kladna druh?ho logaritmu zm?n? na jednotu. Nakonec x ? 1/25 pro t?et? logaritmus.

Celkem jsme dostali ?ty?i omezen?:

1 ? x > 0; x ? 1/125; x ? 1/25

Nyn? ot?zka zn?: spl?uj? na?e ko?eny tyto po?adavky? Samoz?ejm? uspokojuj?! Proto?e 5 k libovoln? mocnin? bude v?t?? ne? nula a po?adavek x > 0 je spln?n automaticky.

Na druhou stranu 1 = 5 0, 1/25 = 5 -2, 1/125 = 5 -3, co? znamen?, ?e tato omezen? pro na?e ko?eny (kter?, p?ipomenu, maj? v exponentu iracion?ln? ??slo) jsou tak? spokojeni a ob? odpov?di jsou ?e?en?m probl?mu.

Tak?e m?me kone?nou odpov??. V tomto ?kolu jsou dva kl??ov? body:

1. Bu?te opatrn? p?i p?ekl?p?n? logaritmu, kdy? jsou argument a z?klad prohozeny. Takov? transformace ukl?daj? zbyte?n? omezen? rozsahu definice.
2. Nebojte se transformovat logaritmy: lze je nejen obr?tit, ale tak? roz???it pomoc? sou?tov?ho vzorce a obecn? zm?nit pomoc? jak?chkoli vzorc?, kter? jste studovali p?i ?e?en? logaritmick?ch v?raz?. V?dy v?ak pamatujte: n?kter? transformace roz?i?uj? rozsah definice a n?kter? jej zu?uj?.

Logaritmick? v?razy, ?e?en? p??klad?. V tomto ?l?nku se pod?v?me na probl?my souvisej?c? s ?e?en?m logaritm?. ?koly kladou ot?zku hled?n? v?znamu v?razu. Je t?eba poznamenat, ?e koncept logaritmu se pou??v? v mnoha ?loh?ch a pochopen? jeho v?znamu je nesm?rn? d?le?it?. V p??pad? jednotn? st?tn? zkou?ky se logaritmus pou??v? p?i ?e?en? rovnic, v aplikovan?ch ?loh?ch a tak? v ?loh?ch spojen?ch se studiem funkc?.

Uve?me p??klady, abychom pochopili samotn? v?znam logaritmu:

Z?kladn? logaritmick? identita:

Vlastnosti logaritm?, kter? je t?eba si v?dy pamatovat:

*Logaritmus sou?inu se rovn? sou?tu logaritm? faktor?.

* * *

*Logaritmus kvocientu (zlomku) se rovn? rozd?lu mezi logaritmy faktor?.

* * *

*Logaritmus mocniny se rovn? sou?inu exponentu a logaritmu jeho z?kladu.

* * *

*P?echod na nov? z?klad

* * *

Dal?? vlastnosti:

* * *

V?po?et logaritm? ?zce souvis? s vyu?it?m vlastnost? exponent?.

Uve?me si n?kter? z nich:

Podstatou t?to vlastnosti je, ?e p?i p?enosu ?itatele na jmenovatele a naopak se znam?nko exponentu zm?n? na opa?n?. Nap??klad:

D?sledek t?to vlastnosti:

* * *

P?i zv??en? mocniny na mocninu z?st?v? z?klad stejn?, ale exponenty se n?sob?.

* * *

Jak jste vid?li, samotn? koncept logaritmu je jednoduch?. Hlavn? v?c je, ?e pot?ebujete dobrou praxi, kter? v?m d? ur?itou dovednost. Samoz?ejm? je nutn? znalost vzorc?. Pokud nebyla rozvinuta dovednost p?ev?d?t element?rn? logaritmy, m??ete p?i ?e?en? jednoduch?ch ?loh snadno ud?lat chybu.

Cvi?te, ?e?te nejprve nejjednodu??? p??klady z kurzu matematiky, pak p?ejd?te ke slo?it?j??m. V budoucnu ur?it? uk??u, jak se ?e?? „o?kliv?“ logaritmy, tyto se na Jednotn? st?tn? zkou?ce neobjev?, ale jsou zaj?mav?, nenechte si je uj?t!

To je v?e! Hodn? ?t?st?!

S pozdravem, Alexander Krutitskikh

P.S: Byl bych vd??n?, kdybyste mi o webu ?ekli na soci?ln?ch s?t?ch.

Logaritmus ??sla b (b > 0) na z?klad a (a > 0, a ? 1)– exponent, na kter? mus? b?t ??slo a zv??eno, aby z?skalo b.

Z?klad 10 logaritmu b lze zapsat jako log(b) a logaritmus k z?kladu e (p?irozen? logaritmus) je ln(b).

?asto se pou??v? p?i ?e?en? probl?m? s logaritmy:

Vlastnosti logaritm?

Existuj? ?ty?i hlavn? vlastnosti logaritm?.

Nech? a > 0, a ? 1, x > 0 a y > 0.

Vlastnost 1. Logaritmus sou?inu

Logaritmus produktu rovn? se sou?tu logaritm?:

log a (x ? y) = log a x + log a y

Vlastnost 2. Logaritmus pod?lu

Logaritmus kvocientu rovn? se rozd?lu logaritm?:

log a (x / y) = log a x – log a y

Vlastnost 3. Logaritmus s?ly

Logaritmus stupn? rovn? se sou?inu mocniny a logaritmu:

Pokud je z?klad logaritmu ve stupn?ch, pak plat? jin? vzorec:

Vlastnost 4. Logaritmus ko?ene

Tuto vlastnost lze z?skat z vlastnosti logaritmu mocniny, proto?e n-t? odmocnina se rovn? mocnin? 1/n:

Vzorec pro p?evod z logaritmu v jednom z?kladu na logaritmus v jin?m z?kladu

Tento vzorec se tak? ?asto pou??v? p?i ?e?en? r?zn?ch ?loh na logaritmech:

Speci?ln? p??pad:

Porovn?n? logaritm? (nerovnice)

M?jme 2 funkce f(x) a g(x) pod logaritmy se stejn?mi z?klady a mezi nimi je znam?nko nerovnosti:

Chcete-li je porovnat, mus?te se nejprve pod?vat na z?kladnu logaritm? a:

• Pokud a > 0, pak f(x) > g(x) > 0
• Pokud 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Jak ?e?it probl?my s logaritmy: p??klady

Probl?my s logaritmy za?azen? do Jednotn? st?tn? zkou?ky z matematiky pro 11. ro?n?k v ?loze 5 a ?loze 7 naleznete ?lohy s ?e?en?m na na?em webu v p??slu?n?ch sekc?ch. V bance matematick?ch ?loh se tak? nach?zej? ?lohy s logaritmy. V?echny p??klady najdete p?i hled?n? na webu.

Co je to logaritmus

Logaritmy byly v?dy pova?ov?ny za obt??n? t?ma ve ?koln?ch kurzech matematiky. Existuje mnoho r?zn?ch definic logaritmu, ale z n?jak?ho d?vodu v?t?ina u?ebnic pou??v? tu nejslo?it?j?? a ne?sp??n?j?? z nich.

Logaritmus definujeme jednodu?e a jasn?. Chcete-li to prov?st, vytvo?te tabulku:

Tak?e m?me mocniny dvou.

Logaritmy - vlastnosti, vzorce, jak ?e?it

Pokud vezmete ??slo ze spodn?ho ??dku, m??ete snadno naj?t moc, na kterou budete muset zv??it dvojku, abyste toto ??slo z?skali. Nap??klad, abyste z?skali 16, mus?te zv??it dv? na ?tvrtou mocninu. A abyste z?skali 64, mus?te zv??it dv? na ?estou mocninu. To je vid?t z tabulky.

A te? - vlastn? definice logaritmu:

z?klad a argumentu x je mocnina, na kterou mus? b?t ??slo a zv??eno, aby bylo z?sk?no ??slo x.

Ozna?en?: log a x = b, kde a je z?klad, x je argument, b je to, ?emu se ve skute?nosti rovn? logaritmus.

Nap??klad 2 3 = 8 =>log 2 8 = 3 (z?klad 2 logaritmu 8 je t?i, proto?e 2 3 = 8). Se stejn?m ?sp?chem log 2 64 = 6, proto?e 2 6 = 64.

Zavol? se operace nalezen? logaritmu ??sla k dan?mu z?kladu. P?idejme tedy do na?? tabulky nov? ??dek:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Bohu?el ne v?echny logaritmy lze vypo??tat tak snadno. Zkuste nap??klad naj?t log 2 5. ??slo 5 nen? v tabulce, ale logika vel?, ?e logaritmus bude le?et n?kde na intervalu. Proto?e 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takov? ??sla se naz?vaj? iracion?ln?: ??sla za desetinnou ??rkou lze ps?t do nekone?na a nikdy se neopakuj?. Pokud se logaritmus uk??e jako iracion?ln?, je lep?? jej nechat tak: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Je d?le?it? pochopit, ?e logaritmus je v?raz se dv?ma prom?nn?mi (z?klad a argument). Zpo??tku si mnoho lid? plete, kde je z?klad a kde argument. Abyste p?ede?li nep??jemn?m nedorozum?n?m, pod?vejte se na obr?zek:

P?ed n?mi nen? nic jin?ho ne? definice logaritmu. Pamatovat si: logaritmus je s?la, do kter?ho je nutn? zabudovat z?kladnu pro z?sk?n? argumentu. Je to z?kladna, kter? je zvednut? na mocninu - na obr?zku je zv?razn?na ?erven?. Ukazuje se, ?e z?kladna je v?dy na dn?! Hned na prvn? hodin? ??k?m sv?m student?m toto ??asn? pravidlo – a nevznikaj? ??dn? zmatky.

Jak po??tat logaritmy

Definici jsme vymysleli – zb?v? jen nau?it se po??tat logaritmy, tzn. zbavit se znaku "log". Pro za??tek si v?imneme, ?e z definice plynou dv? d?le?it? skute?nosti:

1. Argument a z?klad mus? b?t v?dy v?t?? ne? nula. Vypl?v? to z definice stupn? racion?ln?m exponentem, na kter? je redukov?na definice logaritmu.
2. Z?klad mus? b?t odli?n? od jednoho, proto?e jeden do jak?hokoli stupn? st?le z?st?v? jedn?m. Z tohoto d?vodu je ot?zka „k jak? s?le mus? b?t ?lov?k pov??en, aby z?skal dva“ smysl. Takov? stupe? neexistuje!

Takov? omezen? se naz?vaj? rozsah p?ijateln?ch hodnot(ODZ). Ukazuje se, ?e ODZ logaritmu vypad? takto: log a x = b =>x > 0, a > 0, a ? 1.

V?imn?te si, ?e pro ??slo b (hodnota logaritmu) neexistuj? ??dn? omezen?. Logaritmus m??e b?t nap??klad z?porn?: log 2 0,5 = -1, proto?e 0,5 = 2 -1.

Nyn? v?ak uva?ujeme pouze ??seln? v?razy, kde nen? vy?adov?no zn?t VA logaritmu. V?echna omezen? ji? auto?i ?kol? zohlednili. Kdy? v?ak do hry vstoup? logaritmick? rovnice a nerovnosti, stanou se po?adavky DL povinn?mi. Ostatn? z?klad a argument m??e obsahovat velmi siln? konstrukce, kter? nemus? nutn? odpov?dat v??e uveden?m omezen?m.

Nyn? se pod?vejme na obecn? sch?ma pro v?po?et logaritm?. Skl?d? se ze t?? krok?:

1. Vyj?d?ete z?klad a a argument x jako mocninu s minim?ln?m mo?n?m z?kladem v?t??m ne? jedna. Po cest? je lep?? se zbavit desetinn?ch m?st;
2. ?e?te rovnici pro prom?nnou b: x = a b ;
3. V?sledn? ??slo b bude odpov?d?.

To je v?e! Pokud se logaritmus uk??e jako iracion?ln?, bude to vid?t ji? v prvn?m kroku. Po?adavek, aby byl z?klad v?t?? ne? jedna, je velmi d?le?it?: sni?uje se t?m pravd?podobnost chyby a v?razn? se zjednodu?uj? v?po?ty. Je to stejn? jako s desetinn?mi zlomky: pokud je okam?it? p?evedete na oby?ejn?, bude mnohem m?n? chyb.

Pod?vejme se, jak toto sch?ma funguje na konkr?tn?ch p??kladech:

?kol. Vypo??tejte logaritmus: log 5 25

1. P?edstavme si z?klad a argument jako mocninu p?ti: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Vytvo?me a vy?e?me rovnici:
log 5 25 = b =>(5 1) b = 5 2 =>5 b = 5 2 => b = 2;

2. Dostali jsme odpov??: 2.

?kol. Vypo??tejte logaritmus:

?kol. Vypo??tejte logaritmus: log 4 64

1. P?edstavme si z?klad a argument jako mocninu dvou: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Vytvo?me a vy?e?me rovnici:
   log 4 64 = b =>(2 2) b = 2 6 =>2 2b = 2 6 =>2b = 6 => b = 3;
3. Dostali jsme odpov??: 3.

?kol. Vypo??tejte logaritmus: log 16 1

1. P?edstavme si z?klad a argument jako mocninu dvou: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Vytvo?me a vy?e?me rovnici:
   log 16 1 = b =>(2 4) b = 2 0 =>2 4b = 2 0 =>4b = 0 => b = 0;
3. Dostali jsme odpov??: 0.

?kol. Vypo??tejte logaritmus: log 7 14

1. P?edstavme si z?klad a argument jako mocninu sedmi: 7 = 7 1 ; 14 nelze reprezentovat jako mocninu sedmi, proto?e 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Z p?edchoz?ho odstavce vypl?v?, ?e logaritmus se nepo??t?;
3. Odpov?? je ??dn? zm?na: log 7 14.

Mal? pozn?mka k posledn?mu p??kladu. Jak si m??ete b?t jisti, ?e ??slo nen? p?esnou mocninou jin?ho ??sla? Je to velmi jednoduch? – sta?? to zapo??tat do hlavn?ch faktor?. Pokud m? expanze alespo? dva r?zn? faktory, ??slo nen? p?esnou mocninou.

?kol. Zjist?te, zda jsou ??sla p?esn? mocniny: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - p?esn? stupe?, proto?e existuje pouze jeden n?sobitel;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nen? p?esn? mocnina, proto?e existuj? dva faktory: 3 a 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - p?esn? stupe?;
35 = 7 · 5 - op?t nen? p?esn? mocnina;
14 = 7 · 2 - op?t nen? p?esn? stupe?;

V?imn?te si tak?, ?e prvo??sla sama o sob? jsou v?dy p?esn? mocniny sam?ch sebe.

Desetinn? logaritmus

N?kter? logaritmy jsou tak b??n?, ?e maj? speci?ln? n?zev a symbol.

argumentu x je logaritmus se z?kladem 10, tj. Mocnina, na kterou mus? b?t umocn?no ??slo 10, aby z?skalo ??slo x. Ozna?en?: lg x.

Nap??klad log 10 = 1; Ig100 = 2; lg 1000 = 3 - atd.

A? se od t?to chv?le v u?ebnici objev? fr?ze jako „Naj?t lg 0,01“, v?zte, ?e to nen? p?eklep. Toto je dekadick? logaritmus. Pokud v?ak tento z?pis nezn?te, m??ete jej v?dy p?epsat:
log x = log 10 x

V?e, co plat? pro b??n? logaritmy, plat? tak? pro dekadick? logaritmy.

P?irozen? logaritmus

Existuje dal?? logaritmus, kter? m? sv? vlastn? ozna?en?. V n?kter?ch ohledech je dokonce d?le?it?j?? ne? des?tkov?. Mluv?me o p?irozen?m logaritmu.

argumentu x je logaritmus se z?kladem e, tj. mocnina, na kterou je t?eba zv??it ??slo e, aby se z?skalo ??slo x. Ozna?en?: ln x.

Mnoho lid? se bude pt?t: jak? je ??slo e? Toto je iracion?ln? ??slo, jeho p?esnou hodnotu nelze naj?t a zapsat. Uvedu pouze prvn? ??sla:
e = 2,718281828459…

Nebudeme se podrobn? zab?vat t?m, co toto ??slo je a pro? je pot?eba. Pamatujte, ?e e je z?kladem p?irozen?ho logaritmu:
ln x = log e x

Tedy ln e = 1; lne2 = 2; ln e 16 = 16 - atd. Na druhou stranu, ln 2 je iracion?ln? ??slo. Obecn? plat?, ?e p?irozen? logaritmus jak?hokoli racion?ln?ho ??sla je iracion?ln?. Samoz?ejm? krom? jednoho: ln 1 = 0.

Pro p?irozen? logaritmy plat? v?echna pravidla, kter? plat? pro b??n? logaritmy.

Viz tak?:

Logaritmus. Vlastnosti logaritmu (mocnost logaritmu).

Jak zn?zornit ??slo jako logaritmus?

Pou??v?me definici logaritmu.

Logaritmus je exponent, na kter? mus? b?t z?klad zv??en, aby se z?skalo ??slo pod logaritmick?m znam?nkem.

Chcete-li tedy reprezentovat ur?it? ??slo c jako logaritmus k z?kladu a, mus?te pod znam?nko logaritmu um?stit mocninu se stejn?m z?kladem, jako je z?klad logaritmu, a zapsat toto ??slo c jako exponent:

Absolutn? jak?koli ??slo m??e b?t reprezentov?no jako logaritmus - kladn?, z?porn?, cel? ??slo, zlomkov?, racion?ln?, iracion?ln?:

Aby nedo?lo k z?m?n? p?smen a a c ve stresov?ch podm?nk?ch testu nebo zkou?ky, m??ete pou??t n?sleduj?c? pravidlo zapamatov?n?:

co je dole, jde dol?, co je naho?e, jde nahoru.

Nap??klad pot?ebujete reprezentovat ??slo 2 jako logaritmus se z?kladem 3.

M?me dv? ??sla - 2 a 3. Tato ??sla jsou z?klad a exponent, kter? zap??eme pod znam?nko logaritmu. Zb?v? ur?it, kter? z t?chto ??sel se m? zapsat k mocnin? a kter? nahoru k exponentu.

Z?klad 3 v z?pisu logaritmu je dole, co? znamen?, ?e kdy? reprezentujeme dvojku jako logaritmus k z?kladu 3, zap??eme i 3 k z?kladu.

2 je vy??? ne? t?i. A v z?pisu stupn? dva p??eme nad t?i, tedy jako exponent:

Logaritmy. Prvn? ?rove?.

Logaritmy

Logaritmus kladn? ??slo b na z?klad? A, Kde a > 0, a ? 1, se naz?v? exponent, na kter? mus? b?t ??slo zv??eno A, Z?skat b.

Definice logaritmu lze stru?n? napsat takto:

Tato rovnost plat? pro b > 0, a > 0, a ? 1. Obvykle se to naz?v? logaritmick? identita.
Zavol? se akce nalezen? logaritmu ??sla logaritmicky.

Vlastnosti logaritm?:

Logaritmus produktu:

Logaritmus pod?lu:

V?m?na logaritmick?ho z?kladu:

Logaritmus stupn?:

Logaritmus ko?ene:

Logaritmus s v?konovou z?kladnou:

Desetinn? a p?irozen? logaritmy.

Desetinn? logaritmus??sla volaj? logaritmus tohoto ??sla na z?klad 10 a zapisuj?   lg b
P?irozen? logaritmus??sla se naz?vaj? logaritmus tohoto ??sla k z?kladu E, Kde E- iracion?ln? ??slo p?ibli?n? rovn? 2,7. Z?rove? p??? ln b.

Dal?? pozn?mky k algeb?e a geometrii

Z?kladn? vlastnosti logaritm?

Z?kladn? vlastnosti logaritm?

Logaritmy, stejn? jako v?echna ??sla, lze s??tat, ode??tat a transformovat v?emi zp?soby. Proto?e ale logaritmy nejsou ?pln? oby?ejn? ??sla, existuj? zde pravidla, kter? se naz?vaj? hlavn? vlastnosti.

Tato pravidla rozhodn? mus?te zn?t – bez nich nelze vy?e?it jedin? v??n? logaritmick? probl?m. Nav?c je jich velmi m?lo – v?e se d? nau?it za jeden den. Poj?me tedy za??t.

S??t?n? a od??t?n? logaritm?

Uva?ujme dva logaritmy se stejn?mi z?klady: log a x a log a y. Pot? je lze s??tat a ode??tat a:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

Tak?e sou?et logaritm? se rovn? logaritmu sou?inu a rozd?l se rovn? logaritmu kvocientu. Pozn?mka: zde je kl??ov? bod identick? d?vody. Pokud jsou d?vody jin?, tato pravidla nefunguj?!

Tyto vzorce v?m pomohou vypo??tat logaritmick? v?raz, i kdy? nejsou uva?ov?ny jeho jednotliv? ??sti (viz lekce „Co je to logaritmus“). Pod?vejte se na p??klady a uvid?te:

Log 6 4 + log 6 9.

Proto?e logaritmy maj? stejn? z?klady, pou?ijeme sou?tov? vzorec:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

?kol. Najd?te hodnotu v?razu: log 2 48 - log 2 3.

Z?klady jsou stejn?, pou?ijeme rozd?lov? vzorec:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

?kol. Najd?te hodnotu v?razu: log 3 135 - log 3 5.

Z?klady jsou op?t stejn?, tak?e m?me:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Jak vid?te, p?vodn? v?razy jsou tvo?eny „?patn?mi“ logaritmy, kter? nejsou po??t?ny samostatn?. Ale po transformac?ch se z?skaj? zcela norm?ln? ??sla. Mnoho test? je zalo?eno na t?to skute?nosti. Ano, v?razy podobn? testu jsou na Jednotn? st?tn? zkou?ce nab?zeny se v?? v??nost? (n?kdy prakticky beze zm?n).

Extrahov?n? exponentu z logaritmu

Nyn? si ?kol trochu zkomplikujeme. Co kdy? je z?kladem nebo argumentem logaritmu mocnina? Potom lze exponent tohoto stupn? vyjmout ze znam?nka logaritmu podle n?sleduj?c?ch pravidel:

Je snadn? vid?t, ?e posledn? pravidlo n?sleduje prvn? dv?. Ale stejn? je lep?? si to pamatovat - v n?kter?ch p??padech to v?razn? sn??? mno?stv? v?po?t?.

V?echna tato pravidla maj? samoz?ejm? smysl, pokud je dodr?ena ODZ logaritmu: a > 0, a ? 1, x > 0. A je?t? n?co: nau?te se aplikovat v?echny vzorce nejen zleva doprava, ale i naopak , tj. ??sla p?ed logaritmick?m znam?nkem m??ete zadat do samotn?ho logaritmu.

Jak ?e?it logaritmy

To je nej?ast?ji vy?adov?no.

?kol. Najd?te hodnotu v?razu: log 7 49 6 .

Zbavme se stupn? v argumentu pomoc? prvn?ho vzorce:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

?kol. Najd?te v?znam v?razu:

V?imn?te si, ?e jmenovatel obsahuje logaritmus, jeho? z?kladem a argumentem jsou p?esn? mocniny: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. My m?me:

Mysl?m, ?e posledn? p??klad vy?aduje ur?it? objasn?n?. Kam zmizely logaritmy? Do posledn? chv?le pracujeme pouze se jmenovatelem. P?edlo?ili jsme z?klad a argument tam stoj?c?ho logaritmu ve form? mocnin a vyjmuli exponenty - dostali jsme „t??patrov?“ zlomek.

Nyn? se pod?vejme na hlavn? zlomek. ?itatel i jmenovatel obsahuj? stejn? ??slo: log 2 7. Proto?e log 2 7 ? 0, m??eme zlomek zmen?it - 2/4 z?stanou ve jmenovateli. Podle pravidel aritmetiky lze ?ty?i p?ev?st do ?itatele, co? se tak? stalo. V?sledkem byla odpov??: 2.

P?echod na nov? z?klad

Kdy? mluv?me o pravidlech pro s??t?n? a ode??t?n? logaritm?, konkr?tn? jsem zd?raznil, ?e pracuj? pouze se stejn?mi z?klady. Co kdy? jsou d?vody jin?? Co kdy? to nejsou p?esn? mocniny stejn?ho ??sla?

Na pomoc p?ich?zej? vzorce pro p?echod na nov? z?klad. Formulujme je ve form? v?ty:

Nech? je d?n logaritmus log a x. Pak pro libovoln? ??slo c takov?, ?e c > 0 a c ? 1 plat? rovnost:

Konkr?tn?, pokud nastav?me c = x, dostaneme:

Z druh?ho vzorce vypl?v?, ?e z?klad a argument logaritmu lze prohodit, ale v tomto p??pad? je cel? v?raz „p?evr?cen“, tzn. logaritmus se objev? ve jmenovateli.

Tyto vzorce se z??dka vyskytuj? v b??n?ch ??seln?ch v?razech. Jejich v?hodnost lze vyhodnotit pouze p?i ?e?en? logaritmick?ch rovnic a nerovnic.

Existuj? v?ak probl?my, kter? se nedaj? vy?e?it v?bec jinak ne? p?est?hov?n?m do nov? z?kladny. Pod?vejme se na n?kolik z nich:

?kol. Najd?te hodnotu v?razu: log 5 16 log 2 25.

V?imn?te si, ?e argumenty obou logaritm? obsahuj? p?esn? mocniny. Vyjmeme ukazatele: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Nyn? „obr?t?me“ druh? logaritmus:

Vzhledem k tomu, ?e se sou?in p?i p?eskupov?n? faktor? nem?n?, v klidu jsme vyn?sobili ?ty?i a dv? a pak jsme se zab?vali logaritmy.

?kol. Najd?te hodnotu v?razu: log 9 100 lg 3.

Z?kladem a argumentem prvn?ho logaritmu jsou p?esn? mocniny. Poj?me si to zapsat a zbavit se indik?tor?:

Nyn? se zbavme desetinn?ho logaritmu p?echodem na nov? z?klad:

Z?kladn? logaritmick? identita

?asto je v procesu ?e?en? nutn? reprezentovat ??slo jako logaritmus k dan?mu z?kladu.

V tomto p??pad? n?m pomohou n?sleduj?c? vzorce:

V prvn?m p??pad? se ??slo n stane exponentem v argumentu. ??slo n m??e b?t naprosto cokoliv, proto?e je to jen logaritmick? hodnota.

Druh? vzorec je vlastn? parafr?zovan? definice. Tak se tomu ??k?: .

Co se vlastn? stane, kdy? ??slo b umocn?me takovou mocninu, ?e ??slo b t?to mocnin? d? ??slo a? Spr?vn?: v?sledkem je stejn? ??slo a. P?e?t?te si tento odstavec je?t? jednou pozorn? – mnoho lid? se na n?m zasekne.

Stejn? jako vzorce pro p?esun na novou z?kladnu je z?kladn? logaritmick? identita n?kdy jedin?m mo?n?m ?e?en?m.

?kol. Najd?te v?znam v?razu:

V?imn?te si, ?e log 25 64 = log 5 8 - jednodu?e jsme vzali druhou mocninu ze z?kladu a argumentu logaritmu. Vezmeme-li v ?vahu pravidla pro n?soben? mocnin se stejn?m z?kladem, dostaneme:

Pokud n?kdo nev?, tohle byl skute?n? ?kol z jednotn? st?tn? zkou?ky :)

Logaritmick? jednotka a logaritmick? nula

Na z?v?r uvedu dv? identity, kter? lze jen st??? nazvat vlastnostmi – sp??e jsou to d?sledky definice logaritmu. Neust?le se objevuj? v probl?mech a kupodivu d?laj? probl?my i „pokro?il?m“ student?m.

1. log a a = 1 je. Pamatujte si jednou prov?dy: logaritmus k libovoln?mu z?kladu a t?to z?kladny samotn? je roven jedn?.
2. log a 1 = 0 je. B?ze a m??e b?t cokoliv, ale pokud argument obsahuje jedni?ku, logaritmus je roven nule! Proto?e a 0 = 1 je p??m?m d?sledkem definice.

To jsou v?echny vlastnosti. Nezapome?te si je procvi?it v praxi! St?hn?te si cheat sheet na za??tku lekce, vytiskn?te si ho a vy?e?te probl?my.

Logaritmick? rovnice je rovnice, ve kter? nezn?m? (x) a v?razy s n? jsou pod znam?nkem logaritmick? funkce. ?e?en? logaritmick?ch rovnic p?edpokl?d?, ?e ji? zn?te a .
Jak ?e?it logaritmick? rovnice?

Nejjednodu??? rovnice je log a x = b, kde a a b jsou n?jak? ??sla, x je nezn?m?.
?e?en? logaritmick? rovnice je x = a b za p?edpokladu: a > 0, a 1.

Je t?eba poznamenat, ?e pokud je x n?kde mimo logaritmus, nap??klad log 2 x = x-2, pak se takov? rovnice ji? naz?v? sm??en? a k jej?mu ?e?en? je pot?eba speci?ln? p??stup.

Ide?ln? p??pad je, kdy? naraz?te na rovnici, ve kter? jsou pod logaritmick?m znam?nkem pouze ??sla, nap??klad x+2 = log 2 2. Zde k ?e?en? sta?? zn?t vlastnosti logaritm?. Takov? ?t?st? se ale nest?v? ?asto, tak?e se p?ipravte na slo?it?j?? v?ci.

Nejprve ale za?n?me jednoduch?mi rovnicemi. Pro jejich vy?e?en? je vhodn? m?t velmi obecn? pochopen? logaritmu.

?e?en? jednoduch?ch logaritmick?ch rovnic

Pat?? sem rovnice typu log 2 x = log 2 16. Pouh?m okem je vid?t, ?e vynech?n?m znam?nka logaritmu dostaneme x = 16.

K ?e?en? slo?it?j?? logaritmick? rovnice se obvykle redukuje na ?e?en? oby?ejn? algebraick? rovnice nebo na ?e?en? jednoduch? logaritmick? rovnice log a x = b. V nejjednodu???ch rovnic?ch se to d?je jedn?m pohybem, proto se naz?vaj? nejjednodu???.

V??e uveden? metoda vypou?t?n? logaritm? je jedn?m z hlavn?ch zp?sob? ?e?en? logaritmick?ch rovnic a nerovnic. V matematice se tato operace naz?v? potenciace. Pro tento typ operace plat? ur?it? pravidla nebo omezen?:

• logaritmy maj? stejn? ??seln? z?klady
• Logaritmy na obou stran?ch rovnice jsou libovoln?, tzn. bez jak?chkoli koeficient? nebo jin?ch r?zn?ch druh? v?raz?.

?ekn?me v rovnici log 2 x = 2log 2 (1 - x) potenciace nen? pou?iteln? - koeficient 2 vpravo to neumo??uje. V n?sleduj?c?m p??kladu log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) tak? nespl?uje jedno z omezen? – vlevo jsou dva logaritmy. Kdyby byl jen jeden, byla by to ?pln? jin? v?c!

Obecn? lze logaritmy odstranit pouze v p??pad?, ?e rovnice m? tvar:

log a (...) = log a (...)

Do hranat?ch z?vorek lze um?stit absolutn? libovoln? v?razy; A po odstran?n? logaritm? z?stane jednodu??? rovnice - line?rn?, kvadratick?, exponenci?ln? atd., kterou, douf?m, u? v?te, jak ji vy?e?it.

Vezm?me si dal?? p??klad:

log 3 (2x-5) = log 3x

Aplikujeme potenciaci, dostaneme:

log 3 (2x-1) = 2

Na z?klad? definice logaritmu, toti?, ?e logaritmus je ??slo, na kter? mus? b?t umocn?n z?klad, aby se z?skal v?raz, kter? je pod logaritmick?m znam?nkem, tzn. (4x-1), dostaneme:

Op?t jsme dostali kr?snou odpov??. Zde jsme se obe?li bez eliminace logaritm?, ale i zde je potenciace pou?iteln?, proto?e logaritmus lze vytvo?it z libovoln?ho ??sla a p?esn? z toho, kter? pot?ebujeme. Tato metoda je velmi n?pomocn? p?i ?e?en? logaritmick?ch rovnic a zejm?na nerovnic.

Vy?e?me na?i logaritmickou rovnici log 3 (2x-1) = 2 pomoc? potenciace:

P?edstavme si ??slo 2 jako logaritmus, nap??klad tento log 3 9, proto?e 3 2 =9.

Pak log 3 (2x-1) = log 3 9 a op?t dostaneme stejnou rovnici 2x-1 = 9. Douf?m, ?e je v?e jasn?.

Pod?vali jsme se tedy na to, jak ?e?it nejjednodu??? logaritmick? rovnice, kter? jsou ve skute?nosti velmi d?le?it?, proto?e ?e?en? logaritmick?ch rovnic, dokonce i ty nejstra?n?j?? a zvr?cen?, nakonec v?dy dojde k ?e?en? t?ch nejjednodu???ch rovnic.

Ve v?em, co jsme ud?lali v??e, jsme ztratili ze z?etele jeden velmi d?le?it? bod, kter? bude hr?t v budoucnu rozhoduj?c? roli. Faktem je, ?e ?e?en? jak?koli logaritmick? rovnice, i t? nejelement?rn?j??, se skl?d? ze dvou stejn?ch ??st?. Prvn?m je ?e?en? samotn? rovnice, druh?m je pr?ce s rozsahem p??pustn?ch hodnot (APV). Toto je p?esn? prvn? ??st, kterou jsme zvl?dli. Ve v??e uveden?ch p??kladech ODZ nijak neovliv?uje odpov??, proto jsme ji nezva?ovali.

Vezm?me si dal?? p??klad:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Navenek se tato rovnice neli?? od element?rn?, kterou lze velmi ?sp??n? vy?e?it. Ale nen? tomu tak. Ne, samoz?ejm? to vy?e??me, ale nejsp?? ?patn?, proto?e obsahuje malou p?epaden?, do kter? okam?it? spadnou jak studenti C-?ka, tak i v?born? studenti. Poj?me se na to bl??e pod?vat.

?ekn?me, ?e pot?ebujete naj?t ko?en rovnice nebo sou?et ko?en?, pokud jich je n?kolik:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Pou??v?me potenciaci, tady je to p?ijateln?. V?sledkem je oby?ejn? kvadratick? rovnice.

Hled?n? ko?en? rovnice:

Uk?zalo se, ?e dva ko?eny.

Odpov??: 3 a -1

Na prvn? pohled je v?e spr?vn?. Ale zkontrolujme v?sledek a dosa?te jej do p?vodn? rovnice.

Za?n?me s x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Kontrola byla ?sp??n?, nyn? je fronta x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Dob?e, p?esta?! Navenek je v?e dokonal?. Jedna v?c - neexistuj? ??dn? logaritmy ze z?porn?ch ??sel! To znamen?, ?e ko?en x = -1 nen? vhodn? pro ?e?en? na?? rovnice. A proto spr?vn? odpov?? bude 3, nikoli 2, jak jsme psali.

Zde sehr?l ODZ svou osudovou roli, na kterou jsme zapomn?li.

Dovolte mi p?ipomenout, ?e rozsah p?ijateln?ch hodnot zahrnuje ty hodnoty x, kter? jsou povoleny nebo d?vaj? smysl pro p?vodn? p??klad.

Bez ODZ se jak?koli ?e?en?, by? naprosto spr?vn?, jak?koli rovnice prom?n? v loterii - 50/50.

Jak bychom se mohli p?istihnout p?i ?e?en? zd?nliv? element?rn?ho p??kladu? Ale pr?v? v okam?iku potenciace. Logaritmy zmizely as nimi i v?echna omezen?.

Co d?lat v tomto p??pad?? Odm?tnete odstranit logaritmy? A ?pln? odm?tnout ?e?it tuto rovnici?

Ne, jen to jako skute?n? hrdinov? z jedn? slavn? p?sn? ud?l?me oklikou!

Ne? za?neme ?e?it jakoukoli logaritmickou rovnici, zap??eme si ODZ. Ale pot? m??ete s na?? rovnic? d?lat, co si va?e srdce p?eje. Po obdr?en? odpov?di jednodu?e vyhod?me ty ko?eny, kter? nejsou zahrnuty v na?em ODZ, a zap??eme kone?nou verzi.

Nyn? se rozhodneme, jak zaznamenat ODZ. K tomu pe?liv? prozkoum?me p?vodn? rovnici a hled?me v n? podez?el? m?sta, jako je d?len? x, dokonce odmocnina atd. Dokud rovnici nevy?e??me, nev?me, ?emu se x rovn?, ale s jistotou v?me, ?e ta x, kter? po dosazen? d?vaj? d?len? nulou nebo odmocninu ze z?porn?ho ??sla, zjevn? nejsou vhodn? jako Odpov?d?t. Proto jsou takov? x nep?ijateln?, zat?mco zbytek bude tvo?it ODZ.

Pou?ijeme znovu stejnou rovnici:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Jak vid?te, neexistuje d?len? 0, neexistuj? ani odmocniny, ale v t?le logaritmu jsou v?razy s x. Okam?it? si p?ipome?me, ?e v?raz uvnit? logaritmu mus? b?t v?dy >0. Tuto podm?nku zapisujeme ve tvaru ODZ:

Tito. Zat?m jsme nic nevy?e?ili, ale u? jsme zapsali povinnou podm?nku pro cel? sublogaritmick? v?raz. Slo?en? z?vorka znamen?, ?e tyto podm?nky mus? b?t spln?ny sou?asn?.

ODZ se zapisuje, ale je pot?eba vy?e?it i v?sledn? syst?m nerovnost?, co? ud?l?me. Dostaneme odpov?? x > v3. Te? u? s jistotou v?me, kter? x n?m nebude vyhovovat. A pak za?neme ?e?it samotnou logaritmickou rovnici, co? jsme ud?lali v??e.

Po obdr?en? odpov?d? x 1 = 3 a x 2 = -1 je snadn? vid?t, ?e n?m vyhovuje pouze x1 = 3, a zap??eme to jako kone?nou odpov??.

Pro budoucnost je velmi d?le?it? m?t na pam?ti n?sleduj?c?: jakoukoli logaritmickou rovnici ?e??me ve 2 f?z?ch. Prvn?m je ?e?en? samotn? rovnice, druh?m ?e?en? podm?nky ODZ. Ob? etapy se prov?d?j? nez?visle na sob? a porovn?vaj? se a? p?i psan? odpov?di, tzn. vyho?te v?e nepot?ebn? a zapi?te spr?vnou odpov??.

Pro pos?len? materi?lu d?razn? doporu?ujeme zhl?dnout video:

Video ukazuje dal?? p??klady ?e?en? log. rovnic a procvi?ov?n? intervalov? metody v praxi.

Na tuto ot?zku, jak ?e?it logaritmick? rovnice To je prozat?m v?e. Pokud o n??em rozhoduje log. rovnice z?st?vaj? nejasn? nebo nesrozumiteln?, sv? dotazy pi?te do koment???.

Pozn?mka: Akademie soci?ln?ho vzd?l?v?n? (ASE) je p?ipravena p?ij?mat nov? studenty.

Zachov?n? va?eho soukrom? je pro n?s d?le?it?. Z tohoto d?vodu jsme vyvinuli Z?sady ochrany osobn?ch ?daj?, kter? popisuj?, jak pou??v?me a uchov?v?me va?e informace. P?e?t?te si pros?m na?e z?sady ochrany osobn?ch ?daj? a dejte n?m v?d?t, pokud m?te n?jak? dotazy.

Shroma??ov?n? a pou??v?n? osobn?ch ?daj?

Osobn? ?daje jsou ?daje, kter? lze pou??t k identifikaci nebo kontaktov?n? konkr?tn? osoby.

Kdykoli n?s budete kontaktovat, m??ete b?t po??d?ni o poskytnut? sv?ch osobn?ch ?daj?.

N??e jsou uvedeny n?kter? p??klady typ? osobn?ch ?daj?, kter? m??eme shroma??ovat, a jak takov? informace m??eme pou??vat.

Jak? osobn? ?daje shroma??ujeme:

• Kdy? ode?lete ??dost na str?nce, m??eme shroma??ovat r?zn? informace, v?etn? va?eho jm?na, telefonn?ho ??sla, e-mailov? adresy atd.

Jak pou??v?me va?e osobn? ?daje:

• Osobn? ?daje, kter? shroma??ujeme, n?m umo??uj? kontaktovat v?s s jedine?n?mi nab?dkami, akcemi a dal??mi ud?lostmi a nadch?zej?c?mi ud?lostmi.
• ?as od ?asu m??eme pou??t va?e osobn? ?daje k zas?l?n? d?le?it?ch ozn?men? a sd?len?.
• Osobn? ?daje m??eme tak? pou??vat pro intern? ??ely, jako je prov?d?n? audit?, anal?zy dat a r?zn? v?zkumy, abychom zlep?ili slu?by, kter? poskytujeme, a abychom v?m poskytli doporu?en? t?kaj?c? se na?ich slu?eb.
• Pokud se ??astn?te slosov?n? o ceny, sout??e nebo podobn? propaga?n? akce, m??eme v?mi poskytnut? informace pou??t ke spr?v? takov?ch program?.

Zp??stupn?n? informac? t?et?m stran?m

Informace, kter? od v?s obdr??me, nesd?lujeme t?et?m stran?m.

V?jimky:

• Je-li to nutn? – v souladu se z?konem, soudn?m postupem, v soudn?m ??zen? a/nebo na z?klad? ve?ejn?ch ??dost? nebo ??dost? st?tn?ch org?n? na ?zem? Rusk? federace – zve?ejnit va?e osobn? ?daje. M??eme tak? zve?ejnit informace o v?s, pokud usoud?me, ?e takov? zve?ejn?n? je nezbytn? nebo vhodn? pro ??ely bezpe?nosti, vym?h?n? pr?va nebo jin? ve?ejn? d?le?it? ??ely.
• V p??pad? reorganizace, f?ze nebo prodeje m??eme osobn? ?daje, kter? shroma??ujeme, p?edat p??slu?n? n?stupnick? t?et? stran?.

Ochrana osobn?ch ?daj?

P?ij?m?me opat?en? – v?etn? administrativn?ch, technick?ch a fyzick?ch – k ochran? va?ich osobn?ch ?daj? p?ed ztr?tou, kr?de?? a zneu?it?m, jako? i neopr?vn?n?m p??stupem, zve?ejn?n?m, pozm?n?n?m a zni?en?m.

Respektov?n? va?eho soukrom? na ?rovni spole?nosti

Abychom zajistili, ?e jsou va?e osobn? ?daje v bezpe??, sd?lujeme na?im zam?stnanc?m standardy ochrany soukrom? a zabezpe?en? a p??sn? prosazujeme postupy ochrany osobn?ch ?daj?.