Рассмотрим прямой брус постоянного сечения длиной (рис. 1.5), заделанный одним концом и на­груженный на другом конце растягивающей силой Р. Под действием силы Р брус удлиняется на некото­рую величину , которая называется полным (или абсолютным) удлинением (абсолютной продольной деформацией).

Рис. 1.5. Деформация бруса

В любых точках рассматриваемого бруса имеется одинаковое напряжённое состояние и, следова­тельно, линейные деформации для всех его точек одинаковы. По­этому значение е можно определить как отношение абсолютного удлинения к первоначальной длине бруса , т.е.

Брусья из различных материалов удлиняются различно. Для случаев, когда напряжения в брусе не превышают предела пропорциональности, опытом установлена следующая зависимость:

где N- продольная сила в поперечных сечениях бруса; F- площадь поперечного сечения бруса; Е- ко­эффициент, зависящий от физических свойств материала.

Учитывая, что нормальное напряжение в поперечном сечении бруса s = N/F, получаем e = s/Е. От­куда s = eЕ.

Абсолютное удлинение бруса выражается формулой

Более общей является следующая формулировка закона Гука: относительная продольная деформа­ция прямо пропорциональна нормальному напряжению. В такой формулировке закон Гука использует­ся не только при изучении растяжения и сжатия брусьев, но и в других разделах курса.

Величина Е называется модулем упругости первого рода. Это физическая постоянная материала, характеризующая его жёсткость. Чем больше значение Е, тем меньше при прочих равных условиях продольная деформация. Модуль упругости выражается в тех же единицах, что и напряжение, т.е. в пас­калях (Па) (сталь Е=2* 10 5 МПа, медь Е= 1 * 10 5 МПа).

Произведение EF называется жёсткостью поперечного сечения бруса при растяжении и сжатии.

Кроме продольной деформации при действии на брус сжимающей или растягивающей силы наблю­дается также поперечная деформация. При сжатии бруса поперечные размеры его увеличиваются, а при растяжении - уменьшаются. Если поперечный размер бруса до приложения к нему сжимающих сил Р обозначить В, а после приложения этих сил В - ?В, то величина ?В будет обозначать абсолютную по­перечную деформацию бруса.

Отношение является относительной поперечной деформацией.

Опыт показывает, что при напряжениях, не превышающих предела упругости, относительная попе­речная деформация прямо пропорциональна относительной продольной деформации, но имеет обрат­ный знак:

Коэффициент пропорциональности ц зависит от материала бруса. Он называется коэффициентом поперечной деформации (или коэффициентом Пуассона ) и представляет собой отношение относитель­ной поперечной деформации к продольной, взятое по абсолютной величине, т.е. коэффициент Пуассона наряду с модулем упругости Е характеризует упругие свойства материала.

Коэффициент Пуассона определяется экспериментально. Для различных материалов он имеет зна­чения от нуля (для пробки) до величины, близкой к 0,50 (для резины и парафина). Для стали коэффици­ент Пуассона равен 0,25...0,30; для ряда других металлов (чугуна, цинка, бронзы, меди) он

имеет значе­ния от 0,23 до 0,36.

Рис. 1.6. Брус переменного поперечного сечения

Определение величины поперечного сечения стержня выполняется на основании условия прочно­сти

где [s] - допускаемое напряжение.

Определим продольное перемещение d а точки а оси бруса, растянутого си­лой Р( рис. 1.6).

Оно равно абсолютной деформации части бруса ad, заключённой между заделкой и сечением, проведённым через точку d, т.е. продольная деформация бруса определяется по формуле

Эта формула применима лишь, когда в пределах всего участка длиной продольные силы N и жёсткости EF попе­речных сечений бруса постоянны. В рассматриваемом случае на участке ab продольная сила N равна нулю (собственный вес бруса не учитываем), а на участке bd она равна Р, кроме того, площадь поперечного сечения бруса на участке ас отличается от площади сечения на участке cd. Поэтому продольную деформацию участка ad следует определять как сумму продольных деформаций трёх участков ab, Ьс и cd, для каждого из которых значения N и EF постоянны по всей его длине:

Продольные силы на рассматриваемых участках бруса

Следовательно,

Аналогично можно определить перемещения d любых точек оси бруса, а по их значениям построить эпюру продольных перемещений (эпюруd), т.е. график, изображающий изменение этих перемещений по длине оси бруса.

4.2.3. Условия прочности. Расчет на жёсткость.

При проверке напряжений площади поперечных сечений F и продольные силы известны и расчёт заключается в вычислении расчётных (фактических) напряжений s в характерных сечениях элементов. Полученное при этом наибольшее напряжение сравнивают затем с допускаемым:

При подборе сечений определяют требуемые площади [F] поперечных сечений элемента (по из­вестным продольным силам N и допускаемому напряжению [s]). Принимаемые площади сечений F должны удовлетворять условию прочности, выраженному в следующем виде:

При определении грузоподъёмности по известным значениям F и допускаемому напряжению [s] вычисляют допускаемые величины [N] продольных сил:

По полученным значениям [N] за­тем определяются допускаемые величины внешних нагрузок [P ].

Для этого случая условие прочности имеет вид

Величины нормативных коэффициентов запаса прочности устанавливаются нормами. Они зависят от класса конструкции (капитальная, временная и т.п.), намечаемого срока её эксплуатации, нагрузки (статическая, циклическая и т.п.), возможной неоднородности изготовления материалов (например, бе­тона), от вида деформации (растяжение, сжатие, изгиб и т.д.) и других факторов. В ряде случаев прихо­дится снижать коэффициент запаса в целях уменьшения веса конструкции, а иногда увеличивать коэф­фициент запаса - при необходимости учитывать износ трущихся частей машин, коррозию и загнивание материала.

Величины нормативных коэффициентов запаса для различных материалов, сооружений и нагрузок имеют в большинстве случаев значения: - 2,5...5 и - 1,5...2,5.

Под проверкой жёсткости элемента конструкции, находящегося в состоянии чистого растяжения - сжатия, понимается поиск ответа на вопрос: достаточны ли значения жёсткостных характеристик эле­мента (модуля упругости материала Е и площади поперечного сечения F), чтобы максимальное из всех значений перемещений точек элемента, вызванных внешними силами, u max не превысило некоторого заданного предельного значения [u]. Считается, что при нарушении неравенства u max < [u] конструкция переходит в предельное состояние.

План лекции

1. Деформации, закон Гука при центральном растяжении-сжатии стержней.

2. Механические характеристики материалов при центральном растяжении и сжатии.

Рассмотрим стержневой элемент конструкции в двух состояниях (см. рисунок 25):

Внешняя продольная сила F отсутствует, начальная длина стержня и его поперечный размер равны соответственно l и b , площадь сечения А одинакова по всей длине l (внешний контур стержня показан сплошными линиями);

Внешняя продольная растягивающая сила, направленная вдоль центральной оси, равна F , длина стержня получила приращение Dl , при этом его поперечный размер уменьшился на величину Db (внешний контур стержня в деформированном положении показан пунктирными линиями).

l Dl

Рисунок 25. Продольно-поперечная деформация стержня при его центральном растяжении.

Приращение длины стержня Dl называется его абсолютной продольной деформацией, величина Db – абсолютной поперечной деформацией. Величина Dl может трактоваться как продольное перемещение (вдоль оси z) концевого поперечного сечения стержня. Единицы измерения Dl и Db те же, что и начальные размеры l и b (м, мм, см). В инженерных расчетах применяется следующее правило знаков для Dl : при растяжении участка стержня происходит увеличение его длины и величина Dl положительна; если же на участке стержня с начальной длиной l возникает внутренняя сжимающая сила N , то величина Dl отрицательна, т. к. происходит отрицательное приращение длины участка.

Если абсолютные деформации Dl и Db отнести к начальным размерам l и b , то получим относительные деформации:

– относительная продольная деформация;

– относительная поперечная деформация.

Относительные деформации и являются безразмерными (как правило,

очень малыми) величинами, их именуют обычно е. о. д. – единицами относительных деформаций (например, e = 5,24;10 -5 е. о. д.).

Абсолютное значение отношения относительной продольной деформации к относительной поперечной деформации является очень важной константой материала, называемой коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона (по фамилии французского ученого)

Как видно коэффициент Пуассона количественно характеризует соотношение между величинами относительной поперечной деформацией и относительной продольной деформацией материала стержня при приложении внешних сил вдоль одной оси. Значения коэффициента Пуассона определяются экспериментально и для различных материалов приводятся в справочниках. Для всех изотропных материалов значения лежит в пределах от 0 до 0,5 (для пробки близко к 0, для каучука и резины близко к 0,5). В частности, для прокатных сталей и алюминиевых сплавов в инженерных расчетах обычно принимается , для бетона .

Зная значение продольной деформации e (например, в результате замеров при проведении экспериментов) и коэффициент Пуассона для конкретного материала (который можно взять из справочника) можно вычислить значение относительной поперечной деформации

где знак минус свидетельствует о том, что продольные и поперечные деформации всегда имеют противоположные алгебраические знаки (если стержень удлиняется на величину Dl растягивающей силой, то продольная деформация положительна, т. к. длина стержня получает положительное приращение, но при этом поперечный размер b уменьшается, т. е. получает отрицательное приращение Db и поперечная деформация отрицательна; если же стержень будет сжиматься силой F , то, наоборот, продольная деформация станет отрицательной, а поперечная – положительной).

Внутренние усилия и деформации, возникающие в элементах конструкций под действием внешних нагрузок, представляют собой единый процесс, в котором все факторы взаимосвязаны между собой. Прежде всего, нас интересует взаимосвязь между внутренними усилиями и деформациями, в частности, при центральном растяжении-сжатии стержневых элементов конструкций. При этом, как и выше, будем руководствоваться принципом Сен-Венана: распределение внутренних усилий существенно зависит от способа приложения внешних сил к стержню лишь вблизи места нагружения (в частности, при приложении сил к стержню через малую площадку), а в частях, достаточно удаленных от мест

приложения сил распределение внутренних усилий зависит только от статического эквивалента этих сил, т. е. при действии растягивающих или сжимающих сосредоточенных сил будем считать, что в большей части объема стержня распределение внутренних сил будет равномерным (это подтверждается многочисленными экспериментами и опытом эксплуатации конструкций).

Английским ученым Робертом Гуком еще в 17-м веке была установлена прямая пропорциональная (линейная) зависимость (закон Гука) абсолютной продольной деформации Dl от растягивающей (или сжимающей) силы F . В 19-м веке английским ученым Томасом Юнгом сформулирована идея о том, что для каждого материала существует постоянная величина (названная им модулем упругости материала), характеризующая его способность сопротивляться деформированию при действии внешних сил. При этом Юнг первый указал на то, что линейный закон Гука справедлив только в определенной области деформирования материала, а именно – при упругих его деформациях .

В современном представлении применительно к одноосному центральному растяжению-сжатию стержней закон Гука используется в двух видах.

1) Нормальное напряжение в поперечном сечении стержня при центральном растяжении прямо пропорционально его относительной продольной деформации

, (1-й вид закона Гука),

где Е – модуль упругости материала при продольных деформациях, значения которого для различных материалов определены экспериментальным путем и занесены в справочники, которыми технические специалисты пользуются при проведении различных инженерных расчетов; так, для прокатных углеродистых сталей, широко применяемых в строительстве и машиностроении ; для алюминиевых сплавов ; для меди ; для других материалов значение Е всегда можно найти в справочниках (см., например, «Справочник по сопротивлению материалов» авторов Писаренко Г.С. и др.). Единицы измерения модуля упругости Е те же, что и единицы измерения нормальных напряжений, т. е. Па , МПа , Н/мм 2 и др.

2) Если в записанном выше 1-м виде закона Гука нормальное напряжение в сечении s выразить через внутреннюю продольную силу N и площадь поперечного сечения стержня А , т. е. , а относительную продольную деформацию – через начальную длину стержня l и абсолютную продольную деформацию Dl , т. е. , то после простых преобразований получим формулу для практических расчетов (продольная деформация прямо пропорциональна внутренней продольной силе)

(2-й вид закона Гука). (18)

Из этой формулы следует, что с увеличением значения модуля упругости материала Е абсолютная продольная деформация стержня Dl уменьшается. Таким образом, сопротивляемость элементов конструкций деформациям (их жесткость) можно увеличить путем применения для них материалов с более высокими значениями модуля упругости Е . Среди широко применяемых в строительстве и машиностроении конструкционных материалов высоким значением модуля упругости Е обладают стали. Диапазон изменения величины Е для разных марок сталей небольшой: (1,92?2,12);10 5 МПа . У алюминиевых сплавов, например, величина Е примерно в три раза меньше, чем у сталей. Поэтому для

конструкций, к жесткости которых предъявляются повышенные требования, предпочтительными материалами являются стали.

Произведение называют параметром жесткости (или просто жесткостью) сечения стержня при его продольных деформациях (единицы измерения продольной жесткости сечения – Н , кН, МН ). Величина с = Е;А/l называется продольной жесткостью стержня длиной l (единицы измерения продольной жесткости стержня с – Н/м , кН/м ).

Если стержень имеет несколько участков (n ) с переменной продольной жесткостью и сложной продольной нагрузкой (функция внутренней продольной силы от координаты z сечения стержня), то суммарная абсолютная продольная деформация стержня определится по более общей формуле

где интегрирование проводится в пределах каждого участка стержня длиной , а дискретное суммирование – по всем участкам стержня от i = 1 до i = n .

Закон Гука широко применяется в инженерных расчетах конструкций, поскольку большинство конструкционных материалов в процессе эксплуатации могут воспринимать весьма значительные напряжения, не разрушаясь в пределах упругих деформаций.

При неупругих (пластических или упруго-пластических) деформациях материала стержня прямое применение закона Гука неправомерно и, следовательно, вышеприведенные формулы использовать нельзя. В этих случаях следует применять другие расчетные зависимости, которые рассматриваются в специальных разделах курсов «Сопротивление материалов», «Строительная механика», «Механика твердого деформируемого тела», а также в курсе «Теория пластичности».

Рассмотрим прямой стержень постоянного поперечного сечения, жестко закрепленный сверху. Пусть стержень имеет длину и нагружен растягивающей силой F . От действия этой силы длина стержня увеличивается на некоторую величину D (рис.9.7,а).

При сжатии стержня такой же силой F длина стержня сократится на такую же величину D (рис.9.7,б).

Величина D , равная разности между длинами стержня после деформации и до деформации, называется абсолютной линейной деформацией (удлинением или укорочением) стержня при его растяжении или сжатии.

Отношение абсолютной линейной деформации D к первоначальной длине стержня называется относительной линейной деформацией и обозначается буквой e илиe x ( где индекс x указывает направление деформации). При растяжении или сжатии стержня величину e просто называют относительной продольной деформацией стержня. Она определяется по формуле:

Многократные исследования процесса деформирования растянутого или сжатого стержня в упругой стадии, подтвердили существование прямой пропорциональной зависимости между нормальным напряжением и относительной продольной деформацией. Эта зависимость называется законом Гука и имеет вид:

Величина E называется модулем продольной упругости или модулем первого рода. Она является физической постоянной (константой) для каждого вида материала стержня и характеризует его жесткость. Чем больше величина E , тем меньше будет продольная деформация стержня. Величина E измеряется в тех же единицах, что и напряжение, то есть в Па , МПа , и тому подобное. Величины модуля упругости содержатся в таблицах справочной и учебной литературы. Например, величина модуля продольной упругости стали принимается равной E = 2?10 5 МПа , а древесины

E = 0,8?10 5 МПа.

При расчете стержней на растяжение или сжатие, часто возникает необходимость определения величины абсолютной продольной деформации , если известна величина продольной силы, площадь поперечного сечения и материал стержня. Из формулы (9.8) найдем: . Заменим в этом выражении e его значением из формулы (9.9). В результате получим = . Если использовать формулу нормального напряжения , тополучим окончательную формулу для определения абсолютной продольной деформации:

Произведение модуля продольной упругости на площадь поперечного сечения стержня называется его жесткостью при растяжении или сжатии.

Анализируя формулу (9.10) сделаем существенный вывод: абсолютная продольная деформация стержня при растяжении (сжатия) прямо пропорциональная произведению продольной силы на длину стержня и обратно пропорциональная его жесткости .

Заметим, что формула (9.10) может быть использована в том случае, когда поперечное сечение стержня и продольная сила имеют постоянные значения по всей его длине. В общем случае, когда стержень имеет ступенчато переменную жесткость и загружен по длине несколькими силами, нужно разделить его на участки и определить абсолютные деформации каждого из них по формуле (9.10).

Алгебраическая сумма абсолютных деформаций каждого участка будет равняться абсолютной деформации всего стержня, то есть:

Продольные деформации стержня от действия равномерно распределенной нагрузки вдоль его оси (например, от действия собственного веса), определяется следующей формулой, которую приводим без доказательства:

В случае растяжения или сжатия стержня, кроме продольных деформаций возникают также поперечные деформации, как абсолютные, так и относительные. Обозначим через b размер поперечного сечения стержня до деформации. При растяжении стержня силой F этот размер уменьшится на величину Db , которая является абсолютной поперечной деформацией стержня. Эта величина имеет отрицательный знак.При сжатии, напротив, абсолютная поперечная деформация будет иметь положительный знак (рис. 9.8).

Иметь представление о продольных и поперечных деформациях и их связи.

Знать закон Гука, зависимости и формулы для расчета напря­жений и перемещений.

Уметь проводить расчеты на прочность и жесткость стати­чески определимых брусьев при растяжении и сжатии.

Деформации при растяжении и сжатии

Рассмотрим деформацию бруса под действием продольной силы F (рис. 21.1).

В сопротивлении материалов принято рассчитывать деформа­ции в относительных единицах:

Между продольной и поперечной деформациями существует за­висимость

где m - коэффициент поперечной деформации, или коэффициент Пуассона, -характеристика пластичности материала.

Закон Гука

В пределах упругих деформаций деформации прямо пропорци­ональны нагрузке:

- коэффициент. В современной форме:

Получим зависимость

Где Е - модуль упругости, ха­рактеризует жесткость материала.

В пределах упругости нормальные напряжения пропорциональ­ны относительному удлинению.

Значение Е для сталей в пределах (2 – 2,1) 10 5 МПа. При прочих равных условиях, чем жестче материал, тем меньше он деформируется:

Формулы для расчета перемещений поперечных сечений бруса при растяжении и сжатии

Используем известные формулы.

Относительное удлинение

В результате получим зависимость между нагрузкой, размерами бруса и возникающей деформацией:

Dl - абсолютное удлинение, мм;

s - нормальное напряжение, МПа;

l - начальная длина, мм;

Е - модуль упругости материала, МПа;

N - продольная сила, Н;

А - площадь поперечного сечения, мм 2 ;

Произведение АЕ называют жесткостью сечения.

Выводы

1. Абсолютное удлинение бруса прямо пропорционально вели­чине продольной силы в сечении, длине бруса и обратно пропорцио­нально площади поперечного сечения и модулю упругости.

2. Связь между продольной и поперечной деформациями зави­сит от свойств материала, связь определяется коэффициентом Пуас­сона, называемом коэффициентом поперечной деформации.

Коэффициент Пуассона: у стали m от 0,25 до 0,3; у пробки m = 0; у резины m = 0,5.

3. Поперечные деформации меньше продольных и редко влияют на работоспособность детали; при необходимости поперечная дефор­мация рассчитывается через продольную.

где Dа - поперечное сужение, мм;

а о - начальный поперечный раз­мер, мм.

4. Закон Гука выполняется в зоне упругих деформаций, которая определяется при испытаниях на растяжение по диаграмме растяже­ния (рис. 21.2).

При работе пластические деформации не должны возни­кать, упругие деформации малы по сравнению с геометрическими размерами тела. Основные расче­ты в сопротивлении материалов проводятся в зоне упругих де­формаций, где действует закон Гука.

На диаграмме (рис. 21.2) закон Гука действует от точки 0 до точки 1 .

5. Определение деформации бруса под нагрузкой и сравнение ее с допускаемой (не нарушающей работоспособности бруса) называют расчетом на жесткость.

Примеры решения задач

Пример 1. Дана схема нагружения и размеры бруса до деформации (рис. 21.3). Брус защемлен, определить перемещение свободного конца.

Решение

1. Брус ступенчатый, по­этому следует построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Делим брус на участки нагружения, определяем продольные силы, строим эпюру продольных сил.

2. Определяем величины нор­мальных напряжений по сечениям с учетом изменений площади поперечного сечения.

Строим эпюру нормальных напряжений.

3. На каждом участке опре­деляем абсолютное удлинение. Результаты алгебраически сумми­руем.

Примечание. Балка за­щемлена, в заделке возникает неизвестная реакция в опоре, поэтому расчет начинаем со сво­бодного конца (справа).

1. Два участка нагружения:

участок 1:

растянут;

участок 2:

Три участка по напряжениям:

Пример 2. Для заданного ступенчатого бруса (рис. 2.9, а) построить эпюры продольных сил и нормаль­ных напряжений по его длине, а также определить пере­мещения свободного конца и сечения С, где приложена сила Р 2 . Модуль продольной упругости материала Е = 2,1 10 5 Н/"мм 3 .

Решение

1. Заданный брус имеет пять участков /, //, III, IV, V (рис. 2.9, а). Эпюра продольных сил показана на рис. 2.9, б.

2. Вычислим напряжения в поперечных сечениях каж­дого участка:

для первого

для второго

для третьего

для четвертого

для пятого

Эпюра нормальных напряжений построена на рис. 2.9, в.

3. Перейдем к определению перемещений поперечных сечений. Перемещение свободного конца бруса опреде­ляется как алгебраическая сумма удлинений (укорочений) всех его участков:

Подставляя числовые значения, получаем

4. Перемещение сечения С, в котором приложена сила Р 2 , определяется как алгебраическая сумма удлинений (уко­рочений) участков ///, IV, V:

Подставляя значения из предыдущего расчета, полу­чаем

Таким образом, свободный правый конец бруса пере­мещается вправо, а сечение, где приложена сила Р 2 , - влево.

5. Вычисленные выше значения перемещений можно полу­чить и другим путем, пользуясь принципом независимости действия сил, т. е. определяя перемещения от действия каждой из сил Р 1 ; Р 2; Р 3 в отдельности и суммируя ре­зультаты. Рекомендуем учащемуся проделать это само­стоятельно.

Пример 3. Определить, какое напряжение возни­кает в стальном стержне длиной l = 200 мм, если после приложения к нему растягивающих сил его длина стала l 1 = 200,2 мм. Е = 2,1*10 6 Н/мм 2 .

Решение

Абсолютное удлинение стержня

Продольная деформация стержня

Согласно закону Гука

Пример 4. Стенной кронштейн (рис. 2.10, а ) со­стоит из стальной тяги АВ и деревянного подкоса ВС. Площадь поперечного сечения тяги F 1 = 1 см 2 , площадь сечения подкоса F 2 = 25 см 2 . Определить горизонтальное и вертикальное перемещения точки В, если в ней под­вешен груз Q = 20 кН. Модули продольной упругости стали E ст = 2,1*10 5 Н/мм 2 , дерева Е д = 1,0*10 4 Н/мм 2 .

Решение

1. Для определения продольных усилий в стерж­нях АВ и ВС вырезаем узел В. Предполагая, что стерж­ни АВ и ВС растянуты, направляем возникающие в них усилия N 1 и N 2 от узла (рис. 2.10, 6 ). Составляем уравнения равновесия:

Усилие N 2 получилось со знаком минус. Это указы­вает на то, что первоначальное предположение о направ­лении усилия неверно - фактически этот стержень сжат.

2. Вычислим удлинение стальной тяги Dl 1 и укорочение подкоса Dl 2:

Тяга АВ удлиняется на Dl 1 = 2,2 мм; подкос ВС уко­рачивается на Dl 1 = 7,4 мм.

3. Для определения перемещения точки В мысленно разъединим стержни в этом шарнире и отметим их новые длины. Новое положение точки В определится, если де­формированные стержни АВ 1 и В 2 С свести вместе путем их вращения вокруг точек А и С (рис. 2.10, в). Точки В 1 и В 2 при этом будут перемещаться по дугам, которые вследствие их малости могут быть заменены отрезками прямых В 1 В" и В 2 В", соответственно перпендикулярными к АВ 1 и СВ 2 . Пересечение этих перпендикуляров (точка В") дает новое положение точки (шарнира) В.

4. На рис. 2.10, г диаграмма перемещений точки В изо­бражена в более крупном масштабе.

5. Горизонтальное пере­мещение точки В

Вертикальное

где составляющие отрезки определяются из рис. 2.10, г;

Подставляя числовые значения, окончательно получаем

При вычислении перемещений в формулы подстав­ляются абсолютные значения удлинений (укорочений) стержней.

Контрольные вопросы и задания

1. Стальной стержень длиной 1,5 м вытянулся под нагрузкой на 3 мм. Чему равно относительное удлинение? Чему равно относительное сужение? (m = 0,25.)

2. Что характеризует коэффициент поперечной деформации?

3. Сформулируйте закон Гука в современной форме при растяжении и сжатии.

4. Что характеризует модуль упругости материала? Какова единица измерения модуля упругости?

5. Запишите формулы для определения удлинения бруса. Что характеризует произведение АЕ и как оно называется?

6. Как определяют абсолютное удлинение ступенчатого бруса, нагруженного несколькими силами?

7. Ответьте на вопросы тестового задания.

Пусть в результате деформации первоначальная длина стержня l станет равной. l 1. Изменение длины

называется абсолютным удлинением стержня.

Отношение абсолютного удлинения стержня к его первоначальной длине называется относительным удлинением (– эпсилон) или продольной деформацией. Продольная деформация – это безразмерная величина. Формула безразмерной деформации:

При растяжении продольная деформация считается положительной, а при сжатии – отрицательной.

Поперечные размеры стержня в результате деформирования также изменяются, при этом при растяжении они уменьшаются, а при сжатии – увеличиваются. Если материал является изотропным, то его поперечные деформации равны между собой:

Опытным путем установлено, что при растяжении (сжатии) в пределах упругих деформаций отношение поперечной деформации к продольной является постоянной для данного материала величиной. Модуль отношения поперечной деформации к продольной, называемый коэффициентом Пуассона или коэффициентом поперечной деформации, вычисляется по формуле:

Для различных материалов коэффициент Пуассона изменяется в пределах . Например, для пробки , для каучука , для стали , для золота .

Продольные и поперечные деформации. Коэффициент Пуассона. Закон Гука

При действии растягивающих сил по оси бруса длина его увеличивается, а по­перечные размеры уменьшаются. При действии сжимающих усилий происходит обратное явление. На рис. 6 показан брус, растягиваемый двумя силами Р. В результате рас­тяжения брус удлинился на величину Dl , которая называется абсолютным удлинением, и получим абсолютное поперечное сужение Dа.

Отношение величины абсолютного удлинения и укорочения к первоначальной длине или ширине бруса называется относительной деформацией . В данном случае относительная деформация называется продольной деформацией , а — относительной поперечной деформацией . Отношение относительной поперечной деформации к относительной продольной деформации называется коэффициентом Пуассона : (3.1)

Коэффициент Пуассона для каждого материала как упругая константа определяется опытным путем и находится в пределах: ; для стали .

В пределах упругих деформаций установлено, что нормальное напряжение прямо пропорционально относительной продольной деформации. Эта зависимость называется законом Гука:

, (3.2)

где Е — коэффициент пропорциональности, называемый модулем нормальной упругости .

Если мы в формулу закона Гука подставим выражение и , тo получим формулу для определения удлинения или укорочения при растяжении и сжатии:

, (3.3)

где произведение ЕF называется жесткостью при растяжении, сжатии.

Продольные и поперечные деформации. Закон Гука

Иметь представление о продольных и поперечных деформациях и их связи.

Знать закон Гука, зависимости и формулы для расчета на­пряжений и перемещений.

Уметь проводить расчеты на прочность и жесткость ста­тически определимых брусьев при растяжении и сжатии.

Деформации при растяжении и сжатии

Рассмотрим деформацию бруса под действием продольной силы F (рис. 4.13).

Начальные размеры бруса: - начальная длина, - начальная ширина. Брус удлиняется на величину Dl; D1 - абсолютное удлинение. При растя­жении поперечные размеры уменьшают­ся, D а - абсолютное сужение; D1 > 0; D а 0.

В сопротивлении материалов приня­то рассчитывать деформации в относи­тельных единицах: рис.4.13

— относительное удлинение;

Относительное сужение.

Между продольной и поперечной деформациями существует зависимость e?=me, где m – коэффициент поперечной деформации, или коэффициент Пуассона, — характеристика пластичности материала.

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и.

Деформация продольная при растяжении (сжатии)

Экспериментально установлено, что отношение поперечной деформации ej. к продольной деформации е при растяжении (сжатии) до предела пропорциональности для данного материала - величина постоянная. Обозначив абсолютную величину данного отношения (X, получим

Опытами установлено, что относительная поперечная деформация ео при растяжении (сжатии) составляет некоторую часть продольной деформации е, т. е.

Отношение поперечной деформации к продольной при растяжении (сжатии), взятое ио абсолютной величине.

В предыдущих главах сопротивления материалов были рассмотрены простые виды деформации бруса - растяжение (сжатие), сдвиг, кручение, прямой изгиб, характерные тем, что в поперечных сечениях бруса возникает лишь один внутренний силовой фактор при растяжении (сжатии) - продольная сила, при сдвиге - поперечная сила, при кручении - крутящий момент, при чистом прямом изгибе - изгибающий момент в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей поперечного сечения бруса. При прямом поперечном изгибе возникает два внутренних силовых фактора- изгибающий момент и поперечная сила, но этот вид деформации бруса относят к простым, так как при расчетах на прочность совместное влияние указанных силовых факторов не учитывают.

При растяжении (сжатии) изменяются также и поперечные размеры. Отношение относительной поперечной деформации е к относительной продольной деформации е является физической константой материала и называется коэффициентом Пуассона V = е /е.

При растяжении (сжатии) бруса его продольные и поперечные размеры получают изменения, характеризуемые деформациями продольной прод (бг) и поперечной (е, е). которые связаны соотношением

Как показывает опыт, при растяжении (сжатии) бруса его объем несколько изменяется при увеличении длины бруса на величину Аг каждая сторона его сечения уменьшается на Будем называть относительной продольной деформацией величину

Продольные и поперечные упругие деформации, возникающие при растяжении или сжатии, связаны друг с другом зависимостью

Итак, рассмотрим брус из изотропного материала. Гипотеза плоских сечений устанавливает такую геометрию деформаций при растяжении сжатии, что все продольные волокна бруса имеют одинаковую деформацию х, независимо от их положения в поперечном сечении F, т.е.

Экспериментальное исследование объемных деформаций проводилось при растяжении и сжатии образцов стеклопластиков при одновременной регистрации на осциллографе К-12-21 изменения продольных, поперечных деформаций материала и усилия при нагружении (на испытательной машине ЦД-10). Испытание до достижения максимальной нагрузки проводилось практически при постоянных скоростях нагружения, что обеспечивалось специальным регулятором, которым снабжена машина.

Как показывают опыты, отношение поперечной деформации ь к продольной деформации е при растяжении или сжатии для данного материала в пределах применения закона Гука есть величина постоянная. Это отношение, взятое по абсолютной величине, называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона

Здесь /р(сж) - продольная деформация при растяжении (сжатии) /и - поперечная деформация при изгибе I - длина деформируемого бруса Р - площадь его поперечного сечения / - момент Инерции площади поперечного сечения образца относительно нейтральной оси - полярный момент инерции Р - приложенное усилие -момент кручения - коэффициент, учи-

Деформация стержня при растяжении или сжатии заключается в изменении его длины и поперечного сечения. Относительные продольная и поперечная деформации определяются соответственно по формулам

Отношение высоты боковых пластин (стенок бака) к ширине в аккумуляторах значительных габаритов, как правило, больше двух, что позволяет рассчитывать стенки бака по формулам цилиндрического изгиба пластин. Крышка бака не имеет жесткого скрепления со стенками и не может помешать их выпучиванию. Пренебрегая влиянием дна, можно свести расчет бака при действии на него горизонтальных усилий к расчету замкнутой статически неопределимой рамки-полоски, выделенной из бака двумя горизонтальными сечениями. Модуль нормальной упругости стеклопласта сравнительно мал, поэтому конструкции из этого материала чувствительны к продольному изгибу. Пределы прочности стеклопласта при растяжении, сжатии и изгибе различны. Сопоставление расчетных напряжений с предельными должно производиться для той деформации, которая является преобладающей.

Введем обозначения, используемые в алгоритме величины с индексами 1,1-1 относятся к текущей и предыдущей итерации на временном этапе т - Ат, т и 2 - соответственно скорость продольной (осевой) деформации при растяжении (i > > 0) и сжатии (2 деформации связаны соотношением

Зависимости (4.21) и (4.31) были проверены на большом числе материалов и при различных условиях нагружения. Испытания были проведены при растяжении-сжатии с частотой около одного цикла в минуту и одного цикла за 10 мин в широком интервале температур. Для измерений деформаций использовались как продольные, так и поперечные деформометры. При этом были испытаны сплошные (цилиндрические и корсетные) и трубчатые образцы из котельной стали 22к (при температурах 20-450 С и асимметриях - 1, -0,9 -0,7 и -0,3, кроме того, образцы сварные и с надрезом), теплоустойчивой стали ТС (при температурах 20-550° С и асимметриях -1 -0,9 -0,7 и -0,3), жаропрочного никелевого сплава ЭИ-437Б (при 700° С), стали 16ГНМА, ЧСН, Х18Н10Т, сталь 45, алюминиевого сплава АД-33 (при асимметриях -1 0 -Ь0,5) и др. Все материалы испытывались в состоянии поставки.

Коэффициент пропорциональности Е, связывающ.и нормальное напряжение и продольную деформацию, на зывается модулем упругости при растяжении-сжатий материала. Этот коэффициент имеет и другие названия модуль упругости 1-го рода, модуль Юнга. Модуль упругости Е является одной из важнейших физических постоянных, характеризующих способность материала сопротивляться упругому деформированию. Чем больше эта величина, тем менее растягивается или сжимается брус при приложении одной и той же силы Р.

Если считать, что на рис. 2-20, а вал О является ведущим, а валы О1 и О2 ведомыми, то при отключении разъединителя тяги ЛЛ1 и Л1Л2 будут работать на сжатие, а при включении - на растяжение. Пока расстояния между осями валов О, 0 и О2 невелики (до 2000 мм), разница между деформацией тяги при растяжении и при сжатии (продольный изгиб) не сказывается на работе синхронной передачи. В разъединителе на 150 кВ расстояние между полюсами 2800 мм, на 330 кВ- 3500 мм, на 750 кВ- 10 000 мм. При таких больших расстояниях между центрами валов и значительных нагрузках, которые они должны передавать, мол / > d. Такая длина выбирается из сообралсений большей устойчивости, так как длинный образец помимо сжатия может испытывать деформацию продольного изгиба, о котором пойдет речь во второй части курса. Образцы из строительных материалов изготовляются в форме куба с размерами 100 X ЮО X ЮО или 150 X X 150 X 150 мм. При испытании на сжатие цилиндрический образец принимает первоначально бочкообразную форму. Если он изготовлен из пластичного материала, то дальнейшее нагружение приводит к расплющиванию образца, если материал хрупкий, то образец внезапно растрескивается.

В любых точках рассматриваемого бруса имеется одинаковое напряженное состояние и, следовательно, линейные деформации (см. 1.5) для всех его тo eк одинаковы. Поэтому значение можно определить как отношение абсолютного удлинения А/ к первоначальной длине бруса /, т. е. е, = А///. Линейную деформацию при растяжении или сжатии брустев называют обычно относительным удлинением (и ли относительной продольной деформацией) и обозначают е.

Смотреть страницы где упоминается термин Деформация продольная при растяжении (сжатии) : Технический справочник железнодорожника Том 2 (1951) — [ c.11 ]

Продольные и поперечные деформации при растяжении - сжатии. Закон Гука

При приложении к стержню растягивающих нагрузок его первоначальная длина / увеличивается (рис. 2.8). Обозначим приращение длины через А/. Отношение приращения длины стержня к его первоначальной длине называется относительным удлинением или продольной деформацией и обозначается через г:

Относительное удлинение - величина безразмерная, в некоторых случаях ее принято выражать в процентах:

При растяжении изменяются размеры стержня не только в продольном направлении, но и в поперечном - происходит сужение стержня.

Рис. 2.8. Деформация стержня при растяжении

Отношение изменения А а размера поперечного сечения к его первоначальному размеру называется относительным поперечным сужением или поперечной деформацией’.

Опытным путем установлено, что между продольной и поперечной деформациями существует зависимость

где р называется коэффициентом Пуассона и являются постоянной величиной для данного материала.

Коэффициент Пуассона представляет собой, как это видно из приведенной формулы, отношение поперечной деформации к продольной:

Для различных материалов значения коэффициента Пуассона лежат в пределах от 0 до 0,5.

В среднем для металлов и сплавов коэффициент Пуассона приблизительно равен 0,3 (табл. 2.1).

Значение коэффициента Пуассона

При сжатии происходит обратная картина, т.е. в поперечном направлении первоначальные размеры уменьшаются, а в поперечном - увеличиваются.

Многочисленные опыты показывают, что до определенных пределов нагружения для большинства материалов напряжения, возникающие при растяжении или сжатии стержня, находятся в определенной зависимости от продольной деформации. Эта зависимость носит название закона Гука , который может быть сформулирован следующим образом.

В известных пределах нагружения между продольной деформацией и соответствующим нормальным напряжением существует прямо пропорциональная зависимость

Коэффициент пропорциональности Е называется модулем продольной упругости. Он имеет ту же размерность, что и напряжение, т.е. измеряется в Па, МПа.

Модуль продольной упругости - физическая постоянная данного материала, характеризующая способность материала сопротивляться упругим деформациям. Для данного материала величина модуля упругости колеблется в узких пределах. Так, для стали разных марок Е= (1,9. 2,15) 10 5 МПа.

Для наиболее часто применяемых материалов модуль упругости имеет следующие значения в МПа (табл. 2.2).

Значение модуля упругости для наиболее часто применяемых материалов

• Нравственное и патриотическое воспитание может стать элементом образовательного процесса Разработаны меры по обеспечению патриотического и нравственного воспитания детей и молодежи. Соответствующий законопроект 1 внесен в Госдуму членом Совета Федерации Сергеем […]
• Как оформить иждивение? Вопросы необходимости оформления иждивения возникают не часто, поскольку большая часть иждивенцев являются таковыми в силу закона, и проблема установления факта иждивения отпадает сама по себе. Вместе с тем, в ряде случаев необходимость оформления […]
• Срочное оформление и получение загранпаспорта Никто не застрахован от ситуации, когда резко возникает необходимость быстро оформить загранпаспорт в Москве или любом другом российском городе. Что делать? Куда обращаться? И во сколько обойдётся подобная услуга? Необходимо […]
• Налоги в Швеции и перспективы развития бизнеса Прежде чем отправиться в Швецию в качестве бизнес-эмигранта, нелишним будет узнать больше о налоговой системе страны. Налоги в Швеции – это сложная, и, как сказали бы наши соотечественники, мудрёная система. Некоторых она […]
• Налог на выигрыш: размер в 2017 году За предыдущие годы можно четко проследить тенденцию, которой придерживаются государственные органы власти. Принимаются все более жесткие меры по контролю доходов игрового бизнеса, а также населения, получающего выигрыши. Так, в 2014 […]
• Уточнение исковых требований После принятия судом иска и даже в процессу судебного разбирательства истец имеет право заявить уточнение исковых требований. В порядке уточнений можно указать новые обстоятельства или дополнить старые, увеличить или уменьшить сумму иска, […]
• Как правильно удалять программы с компьютера? Казалось бы, что сложного в удалении программ с компьютера? Но я знаю, что множество начинающих пользователей испытывают с этим проблемы. Вот, например, выдержка из одного письма, которое я получил: «…У меня к Вам такой вопрос: […]
• ЧТО ВАЖНО ЗНАТЬ О НОВОМ ЗАКОНОПРОЕКТЕ О ПЕНСИЯХ С 01.01.2002 трудовые пенсии назначаются и выплачиваются в соответствии с Федеральным законом «О трудовых пенсиях в Российской Федерации» от 17.12.2001 № 173-ФЗ. При установлении размера трудовой пенсии согласно названному […]