Какая фигура находится в основании четырехугольной пирамиды. Пирамида. Усеченная пирамида

Гипотеза: мы считаем, что совершенство формы пирамиды обусловлено математическими законами, заложенными в ее форму.

Цель: изучив пирамиду как геометрическое тело, дать объяснение совершенству ее формы.

Задачи:

1. Дать математическое определение пирамиде.

2. Изучить пирамиду как геометрическое тело.

3. Понять, какие математические знания египтяне заложили в своих пирамидах.

Частные вопросы:

1. Что представляет собой пирамида как геометрическое тело?

2. Как можно объяснить уникальность формы пирамиды с математической точки зрения?

3. Чем объясняются геометрические чудеса пирамиды?

4. Чем объясняется совершенство формы пирамиды?

Определение пирамиды.

ПИРАМИДА (от греч. pyramis, род. п. pyramidos) - многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину (рисунок). По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырехугольные и т. д.

ПИРАМИДА - монументальное сооружение, имеющее геометрическую форму пирамиды (иногда также ступенчатую или башнеобразную). Пирамидами называют гигантские гробницы древнеегипетских фараонов 3-2-го тыс. до н. э., а также древнеамериканские постаменты храмов (в Мексике, Гватемале, Гондурасе, Перу), связанные с космологическими культами.

Возможно, что греческое слово “пирамида” происходит от египетского выражения per-em-us т. е. от термина, означавшего высоту пирамиды. Выдающийся русский египтолог В. Струве полагал, что греческое “puram…j” происходит от древнеегипетского “p"-mr” .

Из истории . Изучив материал в учебнике “Геометрия” авторов Атанасяна. Бутузова и др., мы узнали, что: Многогранник, составленный из п - угольника А1А2А3 … Аn и п треугольников РА1А2, РА2А3, …, РАnА1 – называется пирамидой. Многоугольник А1А2А3 … Аn – основание пирамиды, а треугольники РА1А2, РА2А3, …, РАnА1 – боковые грани пирамиды, Р – вершина пирамиды, отрезки РА1, РА2,…, РАn – боковые ребра.

Однако такое определение пирамиды существовало не всегда. Например, древнегреческий математик, автор дошедших до нас теоретических трактатов по математике Евклид, пирамиду определяет как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые от одной плоскости сходятся к одной точке.

Но это определение подвергалось критике уже в древности. Так Герон предложил следующее определение пирамиды: “Это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке и основанием которой служит многоугольник”.

Наша группа, сравнив эти определения, пришла к выводу о том, что в них нет четкой формулировки понятия “основание”.

Мы исследовали эти определения и нашли определение Адриена Мари Лежандра, который в 1794 году в своем труде “Элементы геометрии” пирамиду определяет так: “Пирамида – телесная фигура, образованная треугольниками, сходящимися в одной точке и заканчивающаяся на различных сторонах плоского основания”.

Нам кажется, что последнее определение дает четкое представление о пирамиде, так как в нем идет речь о том, что основание - плоское. В учебнике 19 века фигурировало еще одно определение пирамиды: “пирамида – телесный угол, пересеченный плоскостью”.

Пирамида как геометрическое тело.

Т. о. пирамидой называется многогранник, одна из граней которого(основание) - многоугольник, остальные грани (боковые) - треугольники, имеющие одну общую вершину (вершину пирамиды).

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой h пирамиды.

Помимо произвольной пирамиды, существуют правильная пирамида, в основании которой правильный многоугольник и усеченная пирамида.

На рисунке – пирамида PABCD, ABCD – ее основание, PO – высота.

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней.

Sполн = Sбок + Sосн, где Sбок – сумма площадей боковых граней.

Объём пирамиды находится по формуле:

V=1/3Sосн.h , где Sосн. - площадь основания, h - высота.

Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая её высоту.
Апофема ST - высота боковой грани правильной пирамиды.

Площадь боковой грани правильной пирамиды выражается так: Sбок. =1/2P h , где Р - периметр основания, h - высота боковой грани (апофема правильной пирамиды). Если пирамида пересечена плоскостью A’B’C’D’, параллельной основанию, то:

1) боковые рёбра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные части;

2) в сечении получается многоугольник A’B’C’D’, подобный основанию;

DIV_ADBLOCK914">

Правильная треугольная пирамида называется тетраэдром .

Усечённая пирамида получается отсечением от пирамиды её верхней части плоскостью, параллельной основанию (фигура ABCDD’C’B’A’).

Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники ABCD и A`B`C`D`, боковые грани – трапеции.

Высота усеченной пирамиды – расстояние между основаниями.

Объем усеченной пирамиды находится по формуле:

V=1/3 h (S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды выражается так: Sбок. = 1/2 (P+P’)h , где P и P’- периметры оснований, h - высота боковой грани (апофема правильной усеченной пирами

Сечения пирамиды.

Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через её вершину, представляют собой треугольники.

Сечение, проходящее через два несоседних боковых ребра пирамиды, называется диагональным сечением.

Если сечение проходит через точку на боковом ребре и сторону основания, то его следом на плоскость основания пирамиды будет эта сторона.

Сечение, проходящее через точку, лежащую на грани пирамиды, и заданный след сечения на плоскость основания, то построение надо проводить так:

· находят точку пересечения плоскости данной грани и следа сечения пирамиды и обозначают её;

· строят прямую проходящую через заданную точку и полученную точку пересечения;

· повторяют эти действия и для следующих граней.

, что отвечает отношению катетов прямоугольного треугольника 4:3. Такое отношение катетов соответствует хорошо известному прямоугольному треугольнику со сторонами 3:4:5, который называют "совершенным", "священным" или "египетским" треугольником. По свидетельству историков, "египетскому" треугольнику придавали магический смысл. Плутарх писал, что египтяне сравнивали природу Вселенной со "священным" треугольником; они символически уподобляли вертикальный катет мужу, основание - жене, а гипотенузу - тому, что рождается от обоих.

Для треугольника 3:4:5 справедливо равенство: 32 + 42 = 52, которое выражает теорему Пифагора. Не эту ли теорему хотели увековечить египетские жрецы, возводя пирамиду на основе треугольника 3:4:5? Трудно найти более удачный пример для иллюстрации теоремы Пифагора, которая была известна египтянам задолго до ее открытия Пифагором.

Таким образом, гениальные создатели египетских пирамид стремились поразить далеких потомков глубиной своих знаний, и они достигли этого, выбрав в качестве "главной геометрической идеи" для пирамиды Хеопса - "золотой" прямоугольный треугольник, а для пирамиды Хефрена - "священный" или "египетский" треугольник.

Очень часто в своих исследованиях учёные используют свойства пирамид с пропорциями Золотого сечения.

В математическом энциклопедическом словаре даётся следующее определение Золотого сечения – это гармоническое деление, деление в крайнем и среднем отношении – деление отрезка АВ на две части таким образом, что большая его часть АС является средним пропорциональным между всем отрезком АВ и меньшей его частью СВ.

Алгебраическое нахождение Золотого сечения отрезка АВ = а сводится к решению уравнения а: х = х: (а – х), откуда х приблизительно равно 0,62а. Отношение х можно выразить дробями 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, где 2, 3, 5, 8, 13, 21 – числа Фибоначчи.

Геометрическое построение Золотого сечения отрезка АВ осуществляется так: в точке В восстанавливается перпендикуляр к АВ, на нём откладывают отрезок ВЕ = 1/2 АВ, соединяют А и Е, откладывают ДЕ = ВЕ и, наконец, АС = АД, тогда выполняется равенство АВ: СВ = 2: 3.

Золотое сечение часто применяется в произведениях искусства, архитектуры, встречается в природе. Яркими примерами являются скульптура Аполлона Бельведерского, Парфенон. При строительстве Парфенона использовалось отношение высоты здания к его длине и это отношение равно 0,618. Окружающие нас предметы также дают примеры Золотого сечения, например, переплеты многих книг имеют отношение ширины и длины близкое к 0,618. Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте Золотого сечения (слайды). Каждый из нас “носит” Золотое сечение с собой “в руках” - это отношение фаланг пальцев.

Благодаря находке нескольких математических папирусов, египтологи узнали кое-что о древнеегипетских системах исчисления и мер. Содержавшиеся в них задачи решались писцами. Одним из самых известных является «Риндский математический папирус». Изучая эти задачки, египтологи узнали, как древние египтяне справлялись с различными количествами, возникавшими при вычислении мер веса, длины и объема, в которых часто использовались дроби, а также как они управлялись с углами.

Древние египтяне использовали способ вычисления углов на основе отношения высоты к основанию прямоугольного треугольника. Они выражали любой угол на языке градиента. Градиент склона выражался отношением целого числа, называвшимся «секед». В книге «Математика во времена фараонов» Ричард Пиллинс объясняет: «Секед правильной пирамиды - это наклон любой из четырех треугольных граней к плоскости основания, измеряемый энным числом горизонтальных единиц на одну вертикальную единицу подъема. Таким образом, эта единица измерения эквивалентна нашему современному котангенсу угла наклона. Следовательно, египетское слово «секед» родственно нашему современному слову «градиент»».

Числовой ключ к пирамидам заключен в отношении их высоты к основанию. В практическом плане - это наилегчайший способ изготовления шаблонов, необходимых для постоянной проверки правильности угла наклона на протяжении всего строительства пирамиды.

Египтологи были бы рады убедить нас в том, что каждый фараон жаждал выразить свою индивидуальность, оттого и различия углов наклона для каждой пирамиды. Но могла быть и другая причина. Возможно, все они желали воплотить разные символические ассоциации, скрытые в различных пропорциях. Однако угол пирамиды Хафры (основанный на треугольнике (3: 4: 5) проявляется в трех проблемах представленных пирамидами в «Риндском математическом папирусе»). Так что это отношение было хорошо известно древним египтянам.

Дабы быть справедливыми к египтологам, утверждающим, что древним египтянам не был известен треугольник 3: 4: 5, скажем, что длина гипотенузы 5 никогда не упоминалась. Но математические задачи, касающиеся пирамид, всегда решаются на основе секеда угла - отношения высоты к основанию. Поскольку же длина гипотенузы никогда не упоминалась, был сделан вывод, что египтяне так никогда и не вычислили длину третьей стороны.

Отношения высоты к основанию, использованные в пирамидах Гизы, несомненно, были известны древним египтянам. Возможно, что эти отношения для каждой пирамиды были выбраны произвольно. Однако это противоречит тому значению, которое придавалось числовому символизму во всех видах египетского изобразительного искусства. Весьма вероятно, что такие отношения имели существенное значение, поскольку выражали конкретные религиозные идеи. Иными словами, весь комплекс Гизы подчинялся связному замыслу, призванному отобразить некую божественную тему. Это объяснило бы, почему проектировщики выбрали разные углы наклона трех пирамид.

В «Тайне Ориона» Бьювэл и Джилберт представили убедительные доказательства связи пирамид Гизы с созвездием Ориона, в частности со звездами Пояса Ориона, Это же созвездие присутствует в мифе об Исиде и Осирисе, и есть основания рассматривать каждую пирамиду как изображение одного из трех главных божеств - Осириса, Исиды и Гора.

ЧУДЕСА "ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ".

Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает Великая Пирамида фараона Хеопса (Хуфу) . Прежде чем приступить к анализу формы и размеров пирамиды Хеопса, следует вспомнить, какой системой мер пользовались египтяне. У египтян было три единицы длины: "локоть" (466 мм), равнявшийся семи "ладоням" (66,5 мм), которая, в свою очередь, равнялась четырем "пальцам" (16,6 мм).

Проведем анализ размеров пирамиды Хеопса (Рис.2), следуя рассуждениям, приведенным в замечательной книге украинского ученого Николая Васютинского "Золотая пропорция" (1990 г.).

Большинство исследователей сходятся в том, что длина стороны основания пирамиды, например, GF равна L = 233,16 м. Эта величина отвечает почти точно 500 "локтям". Полное соответствие 500 "локтям" будет, если длину "локтя" считать равной 0,4663 м.

Высота пирамиды (H ) оценивается исследователями различно от 146,6 до 148,2 м. И в зависимости от принятой высоты пирамиды изменяются все отношения ее геометрических элементов. В чем причина различий в оценке высоты пирамиды? Дело в том, что, строго говоря, пирамида Хеопса является усеченной. Ее верхняя площадка в наши дни имеет размер примерно 10 ? 10 м, а столетие назад она была равна 6 ? 6 м. Очевидно, что вершину пирамиды разобрали, и она не отвечает первоначальной.

Оценивая высоту пирамиды, необходимо учитывать такой физический фактор, как "осадка" конструкции. За длительное время под воздействием колоссального давления (достигающего 500 тонн на 1 м2 нижней поверхности) высота пирамиды уменьшилась по сравнению с первоначальной высотой.

Какой же была первоначальная высота пирамиды? Эту высоту можно воссоздать, если найти основную "геометрическую идею" пирамиды.

Рисунок 2.

В 1837 г. Английский полковник Г. Вайз измерил угол наклона граней пирамиды: он оказался равным a = 51°51". Эта величина и сегодня признается большинством исследователей. Указанному значению угла отвечает тангенс (tg a ), равный 1,27306. Эта величина соответствует отношению высоты пирамиды АС к половине ее основания CB (Рис.2), то есть AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L .

И вот здесь исследователей ожидал большой сюрприз!.png" width="25" height="24">= 1,272. Сравнивая эту величину с величиной tg a = 1,27306, мы видим, что эти величины очень близки между собой. Если же принять угол a = 51°50", то есть уменьшить его всего на одну угловую минуту, то величина a станет равной 1,272, то есть совпадет с величиной . Следует отметить, что в 1840 г. Г. Вайз повторил свои измерения и уточнил, что значение угла a =51°50".

Эти измерения привели исследователей к следующей весьма интересной гипотезе: в основу треугольника АСВ пирамиды Хеопса было заложено отношение AC / CB = = 1,272!

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник ABC , в котором отношение катетов AC / CB = (Рис.2). Если теперь длины сторон прямоугольника ABC обозначить через x , y , z , а также учесть, что отношение y /x = , то в соответствии с теоремой Пифагора, длина z может быть вычислена по формуле:

Если принять x = 1, y = https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Рисунок 3. "Золотой" прямоугольный треугольник.

Прямоугольный треугольник, в котором стороны относятся как t :золотым" прямоугольным треугольником.

Тогда, если принять за основу гипотезу о том, что основной "геометрической идеей" пирамиды Хеопса является "золотой" прямоугольный треугольник, то отсюда легко можно вычислить "проектную" высоту пирамиды Хеопса. Она равна:

H = (L/2) ? = 148,28 м.

Выведем теперь некоторые другие отношения для пирамиды Хеопса, вытекающие из "золотой" гипотезы. В частности найдем отношение внешней площади пирамиды к площади ее основания. Для этого примем длину катета CB за единицу, то есть: CB = 1. Но тогда длина стороны основания пирамиды GF = 2, а площадь основания EFGH будет равна SEFGH = 4.

Вычислим теперь площадь боковой грани пирамиды Хеопса SD . Поскольку высота AB треугольника AEF равна t , то площадь боковой грани будет равна SD = t . Тогда суммарная площадь всех четырех боковых граней пирамиды буде равна 4t , а отношение суммарной внешней площади пирамиды к площади основания будет равно золотой пропорции! Это и есть - главная геометрическая тайна пирамиды Хеопса !

В группу "геометрических чудес" пирамиды Хеопса можно отнести реальные и надуманные свойства отношений между различными измерениями в пирамиде.

Как правило, они получены в поисках неких "постоянных", в частности, числа "пи" (лудольфово число), равного 3,14159...; основания натуральных логарифмов "е" (Неперово число), равного 2,71828...; числа "Ф", числа "золотого сечения", равного, например, 0,618... и т. д..

Можно назвать, например: 1) Свойство Геродота: (Высота)2 = 0,5 ст. осн. х Апофема; 2) Свойство В. Прайса: Высота: 0.5 ст. осн = Корень квадратный из "Ф"; 3) Свойство М. Эйста: Периметр основания: 2 Высота = "Пи"; в иной интерпретации - 2 ст. осн. : Высота = "Пи"; 4) Свойство Г. Ребера: Радиус вписанной окружности: 0,5 ст. осн. = "Ф"; 5) Свойство К. Клеппиша: (Ст. осн.)2: 2(ст. осн. х Апофема) = (ст. осн. У. Апофема) = 2(ст. осн. х Апофема) : ((2 ст. осн. X Апофема) + (ст. осн.)2). И - тому подобное. Свойств таких можно придумать множество, особенно если подключить соседние две пирамиды. Например, в качестве "Свойства А. Арефьева" можно упомянуть, что разность объемов пирамиды Хеопса и пирамиды Хефрена равна удвоенному объему пирамиды Микерина...

Многие интересные положения, в частности, о построении пирамид по "золотому сечению" изложены в книгах Д. Хэмбидж "Динамическая симметрия в архитектуре" и М. Гика "Эстетика пропорции в природе и искусстве". Напомним, что "золотым сечением" называется деление отрезка в таком отношении, когда часть А во столько раз больше части В, во сколько раз А меньше всего отрезка А + В. Отношение А/В при этом равно числу "Ф"==1,618... Указывается на использование "золотого сечения" не только в отдельных пирамидах, но и во всем комплексе пирамид в Гизе.

Самое любопытное, однако, то, что одна и та же пирамида Хеопса просто "не может" вместить в себя столько чудесных свойств. Взяв некое свойство поодиночке, его можно "подогнать", но все разом они не подходят - не совпадают, противоречат друг другу. Поэтому, если, например, при проверке всех свойств, брать исходно одну и ту же сторону основания пирамиды (233 м), то высоты пирамид с разными свойствами также будут разными. Иными словами, существует некое "семейство" пирамид, внешне сходных с Хеопсовой, но отвечающих разным свойствам. Заметим, что в "геометрических" свойствах ничего особо чудесного нет - многое возникает чисто автоматически, из свойств самой фигуры. "Чудом" же следует считать лишь что-то явно невозможное для древних египтян. Сюда, в частности, относят "космические" чудеса, в которых измерения пирамиды Хеопса или комплекса пирамид в Гизе сопоставляются с некоторыми астрономическими измерениями и указываются "ровные" числа: в миллион раз, в миллиард раз меньше, и так далее. Рассмотрим некоторые "космические" соотношения.

Одно из утверждений таково: "если разделить сторону основания пирамиды на точную длину года, то получим в точности 10-миллионную долю земной оси". Вычисли: разделим 233 на 365, получим 0,638. Радиус же Земли 6378 км.

Другое утверждение фактически обратно предыдущему. Ф. Ноэтлинг указывал, что если воспользоваться придуманным им самим "египетским локтем", то сторона пирамиды будет соответствовать "самой точной продолжительности солнечного года, выраженной с точностью до одной миллиардной дня" - 365.540.903.777.

Утверждение П. Смита: "Высота пирамиды составляет ровно одну миллиардную долю расстояния от Земли до Солнца". Хотя обычно берется высота 146,6 м, Смит брал ее 148,2 м. По современным же радиолокационным измерениям большая полуось земной орбиты составляет 149,597.870 + 1,6 км. Таково среднее расстояние от Земли до Солнца, но в перигелии оно на 5.000.000 километров меньше, чем в афелии.

Последнее любопытное утверждение:

"Чем объяснить, что массы пирамид Хеопса, Хефрена и Микерина относятся друг к другу, как массы планет Земля, Венера, Марс?" Вычислим. Массы трех пирамид относятся как: Хефрена - 0,835; Хеопса - 1,000; Микерина - 0,0915. Отношения масс трех планет: Венера - 0,815; Земля - 1,000; Марс - 0,108.

Итак, несмотря на скепсис, отметим известную стройность построения утверждений: 1) высота пирамиды, как линия, "уходящая в пространство" - соответствует расстоянию от Земли до Солнца; 2) сторона основания пирамиды, ближайшая "к субстрату", то есть к Земле, отвечает за земной радиус и земное обращение; 3) объемы пирамиды (читай - массы) отвечают отношению масс ближайших к Земле планет. Похожий "шифр" прослеживается, например, в пчелином языке, проанализированном Карлом фон Фришем. Впрочем, воздержимся пока от комментариев по этому поводу.

ФОРМА ПИРАМИД

Знаменитая четырехгранная форма пирамид возникла не сразу. Скифы делали захоронения в виде земляных холмов - курганов. Египтяне ставили "холмы" из камня - пирамиды. Впервые это случилось после объединения Верхнего и Нижнего Египта, в XXVIII веке до нашей эры, когда перед основателем III династии фараоном Джосером (Зосером) стояла задача укрепления единства страны.

И здесь, по мнению историков, важную роль в укреплении центральной власти сыграла "новая концепция обоготворения" царя. Хотя царские погребения и отличались большей пышностью, они в принципе не отличались от гробниц придворных вельмож , представляли собой одни и те же сооружения - мастабы. Над камерой с саркофагом, содержащим мумию, насыпался прямоугольный холм из мелких камней, где ставилось затем небольшое здание из крупных каменных блоков - "мастаба" (по-арабски - "скамья"). На месте мастаба своего предшественника, Санахта, фараон Джосер и поставил первую пирамиду. Была она ступенчатой и являлась зримым переходным этапом от одной архитектурной формы к другой, от мастабы - к пирамиде.

Таким способом "возвысил" фараона мудрец и архитектор Имхотеп, считавшийся впоследствии волшебником и отождествляемый греками с богом Асклепием. Были воздвигнуты как бы шесть мастаб подряд. Причем первая пирамида занимала площадь 1125 х 115 метров, с предположительной высотой 66 метров (по египетским мерам - 1000 "ладоней"). Сперва архитектор замышлял построить мастабу, но не продолговатую, а квадратную в плане. Позже ее расширили, но, поскольку пристройку сделали ниже, образовалось как бы две ступени.

Такая ситуация не удовлетворила архитектора, и на верхней площадке огромной плоской мастабы Имхотеп поставил еще три, постепенно уменьшающихся к верху. Усыпальница находилась под пирамидой.

Известно еще несколько ступенчатых пирамид, но в дальнейшем строители перешли к постройке более привычных для нас четырехгранных пирамид. Почему же, однако, не трехгранных или, скажем, восьмигранных? Косвенный ответ дает тот факт, что практически все пирамиды великолепно сориентированы по четырем сторонам света, поэтому и имеют четыре стороны. К тому же пирамида была "домом", оболочкой четырехугольного погребального помещения.

Но чем был обусловлен угол наклона граней? В книге "Принцип пропорций" этому посвящена целая глава: "Что могло обусловить углы наклонов пирамид". В частности, указывается, что "образ, к которому тяготеют великие пирамиды Древнего царства - треугольник с прямым углом в вершине.

В пространстве это полуоктаэдр: пирамида, в которой ребра и стороны основания равны, грани - равносторонние треугольники". Определенные рассмотрения даны по этому поводу в книгах Хэмбиджа, Гика и других.

Чем выгоден угол полуоктаэдра? Согласно описаниям археологов и историков, некоторые пирамиды обвалились под собственной тяжестью. Нужен был "угол долговечности", угол, наиболее энергетически надежный. Чисто эмпирически этот угол можно взять из вершинного угла в куче осыпающегося сухого песка. Но чтобы получить точные данные, нужно воспользоваться моделью. Взяв четыре прочно закрепленных шара, нужно положить на них пятый и измерить углы наклона. Впрочем, и здесь можно ошибиться, поэтому выручает теоретический расчет: следует соединить линиями центры шаров (мысленно). В основании получится квадрат со стороной, равной удвоенному радиусу. Квадрат будет как раз основанием пирамиды, длина ребер которой также будет равна удвоенному радиусу.

Таким образом плотная упаковка шаров по типу 1: 4 даст нам правильный полуоктаэдр.

Однако, почему же многие пирамиды, тяготея к подобной форме, тем не менее не сохраняют ее? Вероятно, пирамиды стареют. Вопреки знаменитой поговорке:

"Все в мире страшится времени, а время страшится пирамид", постройки пирамид должны стареть, в них могут и должны происходить нс только процессы внешнего выветривания, но и процессы внутренней "усадки", от чего пирамиды, возможно, становятся ниже. Усадка возможна и потому, что, как выяснено работами Д. Давидовица, древние египтяне применяли технологию изготовления блоков из известковой крошки, проще говоря, из "бетона". Именно подобные процессы могли бы объяснить причину разрушения Медумской пирамиды, расположенной в 50 км южнее Каира. Ей 4600 лет, размеры основания 146 х 146 м, высота - 118м. "Отчего она так изуродована? - спрашивает В. Замаровский. - Обычные ссылки на губительное воздействие времени и "использование камня для других построек" тут не подходят.

Ведь большинство ее блоков и облицовочных плит и поныне осталось на месте, в развалинах у ее подножия". Как увидим, ряд положений заставляет задуматься даже над тем, что и знаменитая пирамида Хеопса тоже "усохла". Во всяком случае на всех древних изображениях пирамиды остроконечны...

Форму пирамид могло породить и подражание: неким природным образцам, "нерукотворному совершенству", скажем, неких кристаллов в виде октаэдра.

Подобными кристаллами могли оказаться кристаллы алмаза и золота. Характерно большое количество "пересекающихся" признаков для таких понятий, как Фараон, Солнце, Золото, Алмаз. Везде - благородный, блистающий (блистательный), великий, безупречный и так далее. Сходства не случайны.

Солнечный культ, как известно, составлял важную часть религии Древнего Египта. "Как бы мы ни переводили название величайшей из пирамид, - отмечается в одном из современных пособий - "Небосклон Хуфу" или "Небосклонный Хуфу", оно означало, что царь есть солнце". Если Хуфу в блеске своего могущества возомнил себя вторым солнцем, то его сын Джедеф-Ра стал первым из египетских царей, кто стал именовать себя "сыном Ра", то есть сыном Солнца. Солнце же практически у всех народов символизировалось "солнечным металлом", золотом. "Большой диск яркого золота" - так египтяне называли наше дневное светило. Золото египтяне знали превосходно, знали его самородные формы, где кристаллы золота могут представать в виде октаэдров.

Как "образец форм" интересен здесь и "солнечный камень" - алмаз. Название алмаза пришло как раз из арабского мира, "алмас" - самый твердый, наитвердейший, несокрушимый. Древние египтяне знали алмаз и его свойства весьма неплохо. Согласно некоторым авторам они даже использовали для бурения бронзовые трубки с алмазными резцами.

Ныне основным поставщиком алмазов является Южная Африка, но алмазами богата и Африка Западная. Территорию Республики Мали там именуют даже "Алмазным краем". Меж тем именно на территории Мали проживают догоны, с которыми сторонники гипотезы палеовизита связывают немало надежд (см. далее). Алмазы не могли послужить причиной контактов древних египтян с этим краем. Однако, так или иначе, но, возможно, что именно копируя октаэдры кристаллов алмаза и золота, древние египтяне обожествляли тем самым "несокрушимых" как алмаз и "блистательных" как золото фараонов, сынов Солнца, сравнимых лишь с самыми чудесными творениями природы.

Вывод:

Изучив пирамиду как геометрическое тело, познакомившись с ее элементами и свойствами, мы убедились в справедливости мнения о красоте формы пирамиды.

В результате наших исследований мы пришли к выводу, что египтяне, собрав самые ценные математические знания, воплотили их в пирамиде. Поэтому пирамида поистине – самое совершенное творение природы и человека.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

«Геометрия: Учеб. для 7 – 9 кл. общеобразоват. учреждений \ , и др. – 9-е изд.- М.: Просвещение, 1999

История математики в школе, М: «Просвещение», 1982 г.

Геометрия 10-11 класс, М: «Просвещение», 2000 г.

Питер Томпкинс «Тайны великой пирамиды Хеопса»,М: «Центрополиграф»,2005 г.

Интернет – ресурсы

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Данный видеоурок поможет пользователям получить представление о теме Пирамида. Правильная пирамида. На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение. Рассмотрим, что такое правильная пирамида и какими свойствами она обладает. Затем докажем теорему о боковой поверхности правильной пирамиды.

На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение.

Рассмотрим многоугольник А 1 А 2 ...А n , который лежит в плоскости a, и точку P , которая не лежит в плоскости a (рис. 1). Соединим точку P с вершинами А 1 , А 2 , А 3 , … А n . Получим n треугольников: А 1 А 2 Р , А 2 А 3 Р и так далее.

Определение . Многогранник РА 1 А 2 …А n , составленный из n -угольника А 1 А 2 ...А n и n треугольников РА 1 А 2 , РА 2 А 3 …РА n А n -1 , называется n -угольной пирамидой. Рис. 1.

Рис. 1

Рассмотрим четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 2).

Р - вершина пирамиды.

ABCD - основание пирамиды.

РА - боковое ребро.

АВ - ребро основания.

Из точки Р опустим перпендикуляр РН на плоскость основания АВСD . Проведенный перпендикуляр является высотой пирамиды.

Рис. 2

Полная поверхность пирамиды состоит из поверхности боковой, то есть площади всех боковых граней, и площади основания:

S полн = S бок + S осн

Пирамида называется правильной, если:

ее основание - правильный многоугольник;
отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пояснение на примере правильной четырехугольной пирамиды

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 3).

Р - вершина пирамиды. Основание пирамиды АВСD - правильный четырехугольник, то есть квадрат. Точка О , точка пересечения диагоналей, является центром квадрата. Значит, РО - это высота пирамиды.

Рис. 3

Пояснение : в правильном n -угольнике центр вписанной и центр описанной окружности совпадает. Этот центр и называется центром многоугольника. Иногда говорят, что вершина проектируется в центр.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой и обозначается h а .

1. все боковые ребра правильной пирамиды равны;

2. боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Доказательство этих свойств приведем на примере правильной четырехугольной пирамиды.

Дано : РАВСD - правильная четырехугольная пирамида,

АВСD - квадрат,

РО - высота пирамиды.

Доказать :

1. РА = РВ = РС = РD

2. ?АВР = ?ВCР =?СDР =?DAP См. Рис. 4.

Рис. 4

Доказательство .

РО - высота пирамиды. То есть, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС , а значит, и прямым АО, ВО, СО и DО , лежащим в ней. Значит, треугольники РОА, РОВ, РОС, РОD - прямоугольные.

Рассмотрим квадрат АВСD . Из свойств квадрата следует, что АО = ВО = СО = DО.

Тогда у прямоугольных треугольников РОА, РОВ, РОС, РОD катет РО - общий и катеты АО, ВО, СО и DО равны, значит, эти треугольники равны по двум катетам. Из равенства треугольников вытекает равенство отрезков, РА = РВ = РС = РD. Пункт 1 доказан.

Отрезки АВ и ВС равны, так как являются сторонами одного квадрата, РА = РВ = РС . Значит, треугольники АВР и ВCР - равнобедренные и равны по трем сторонам.

Аналогичным образом получаем, что треугольники АВР, ВCР, СDР, DAP равнобедренны и равны, что и требовалось доказать в пункте 2.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

Для доказательства выберем правильную треугольную пирамиду.

Дано : РАВС - правильная треугольная пирамида.

АВ = ВС = АС.

РО - высота.

Доказать : . См. Рис. 5.

Рис. 5

Доказательство.

РАВС - правильная треугольная пирамида. То есть АВ = АС = ВС . Пусть О - центр треугольника АВС , тогда РО - это высота пирамиды. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник АВС . Заметим, что .

Треугольники РАВ, РВC, РСА - равные равнобедренные треугольники (по свойству). У треугольной пирамиды три боковые грани: РАВ, РВC, РСА . Значит, площадь боковой поверхности пирамиды равна:

S бок = 3S РАВ

Теорема доказана.

Радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м, высота пирамиды равна 4 м. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано : правильная четырехугольная пирамида АВСD ,

АВСD - квадрат,

r = 3 м,

РО - высота пирамиды,

РО = 4 м.

Найти : S бок. См. Рис. 6.

Рис. 6

Решение .

По доказанной теореме, .

Найдем сначала сторону основания АВ . Нам известно, что радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м.

Тогда, м.

Найдем периметр квадрата АВСD со стороной 6 м:

Рассмотрим треугольник BCD . Пусть М - середина стороны DC . Так как О - середина BD , то (м).

Треугольник DPC - равнобедренный. М - середина DC . То есть, РМ - медиана, а значит, и высота в треугольнике DPC . Тогда РМ - апофема пирамиды.

РО - высота пирамиды. Тогда, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС , а значит, и прямой ОМ , лежащей в ней. Найдем апофему РМ из прямоугольного треугольника РОМ .

Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды:

Ответ : 60 м 2 .

Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен м. Площадь боковой поверхности равна 18 м 2 . Найдите длину апофемы.

Дано : АВСP - правильная треугольная пирамиды,

АВ = ВС = СА,

R = м,

S бок = 18 м 2 .

Найти : . См. Рис. 7.

Рис. 7

Решение .

В правильном треугольнике АВС дан радиус описанной окружности. Найдем сторону АВ этого треугольника с помощью теоремы синусов.

Зная сторону правильного треугольника ( м), найдем его периметр.

По теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды , где h а - апофема пирамиды. Тогда:

Ответ : 4 м.

Итак, мы рассмотрели, что такое пирамида, что такое правильная пирамида, доказали теорему о боковой поверхности правильной пирамиды. На следующем уроке мы познакомимся с усечённой пирамидой.

Список литературы

Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е изд., испр. и доп. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 008. - 233 с.: ил.

Интернет портал «Якласс» ()
Интернет портал «Фестиваль педагогических идей «Первое сентября» ()
Интернет портал «Slideshare.net» ()

Домашнее задание

Может ли правильный многоугольник быть основанием неправильной пирамиды?
Докажите, что непересекающиеся ребра правильной пирамиды перпендикулярны.
Найдите величину двугранного угла при стороне основания правильной четырехугольной пирамиды, если апофема пирамиды равна стороне ее основания.
РАВС - правильная треугольная пирамида. Постройте линейный угол двугранного угла при основании пирамиды.

Пирамида. Усеченная пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого многоугольник (основание ), а все остальные грани – треугольники с общей вершиной (боковые грани ) (рис. 15). Пирамида называется правильной , если ее основанием является правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания (рис. 16). Треугольная пирамида, у которой все ребра равны, называется тетраэдром .

Боковым ребром пирамиды называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию Высотой пирамиды называется расстояние от ее вершины до плоскости основания. Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой, все боковые грани – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины, называется апофемой . Диагональным сечением называется сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех боковых граней и основания.

Теоремы

1. Если в пирамиде все боковые ребра равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.

2. Если в пирамиде все боковые ребра имеют равные длины, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.

3. Если в пирамиде все грани равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности вписанной в основание.

Для вычисления объема произвольной пирамиды верна формула:

где V – объем;

S осн – площадь основания;

H – высота пирамиды.

Для правильной пирамиды верны формулы:

где p – периметр основания;

h а – апофема;

H – высота;

S полн

S бок

S осн – площадь основания;

V – объем правильной пирамиды.

Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды (рис. 17). Правильной усеченной пирамидой называется часть правильной пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды.

Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники. Боковые грани – трапеции. Высотой усеченной пирамиды называется расстояние между ее основаниями. Диагональю усеченной пирамиды называется отрезок, соединяющий ее вершины, не лежащие в одной грани. Диагональным сечением называется сечение усеченной пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Для усеченной пирамиды справедливы формулы:

(4)

где S 1 , S 2 – площади верхнего и нижнего оснований;

S полн – площадь полной поверхности;

S бок – площадь боковой поверхности;

H – высота;

V – объем усеченной пирамиды.

Для правильной усеченной пирамиды верна формула:

где p 1 , p 2 – периметры оснований;

h а – апофема правильной усеченной пирамиды.

Пример 1. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен 60?. Найти тангенс угла наклона бокового ребра к плоскости основания.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 18).

Пирамида правильная, значит в основании равносторонний треугольник и все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Двугранный угол при основании – это угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания. Линейным углом будет угол a между двумя перпендикулярами: и т.е. Вершина пирамиды проектируется в центре треугольника (центр описанной окружности и вписанной окружности в треугольник АВС ). Угол наклона бокового ребра (например SB ) – это угол между самим ребром и его проекцией на плоскость основания. Для ребра SB этим углом будет угол SBD . Чтобы найти тангенс необходимо знать катеты SO и OB . Пусть длина отрезка BD равна 3а . Точкой О отрезок BD делится на части: и Из находим SO : Из находим:

Ответ:

Пример 2. Найти объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если диагонали ее оснований равны см и см, а высота 4 см.

Решение. Для нахождения объема усеченной пирамиды воспользуемся формулой (4). Чтобы найти площади оснований необходимо найти стороны квадратов-оснований, зная их диагонали. Стороны оснований равны соответственно 2 см и 8 см. Значит площади оснований и Подставив все данные в формулу, вычислим объем усеченной пирамиды:

Ответ: 112 см 3 .

Пример 3. Найти площадь боковой грани правильной треугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 10 см и 4 см, а высота пирамиды 2 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 19).

Боковая грань данной пирамиды является равнобокая трапеция. Для вычисления площади трапеции необходимо знать основания и высоту. Основания даны по условию, остается неизвестной только высота. Ее найдем из где А 1 Е перпендикуляр из точки А 1 на плоскость нижнего основания, A 1 D – перпендикуляр из А 1 на АС . А 1 Е = 2 см, так как это высота пирамиды. Для нахождения DE сделаем дополнительно рисунок, на котором изобразим вид сверху (рис. 20). Точка О – проекция центров верхнего и нижнего оснований. так как (см. рис. 20) и С другой стороны ОК – радиус вписанной в окружности и ОМ – радиус вписанной в окружности:

MK = DE .

По теореме Пифагора из

Площадь боковой грани:

Ответ:

Пример 4. В основании пирамиды лежит равнобокая трапеция, основания которой а и b (a > b ). Каждая боковая грань образует с плоскостью основания пирамиды угол равный j . Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 21). Площадь полной поверхности пирамиды SABCD равна сумме площадей и площади трапеции ABCD .

Воспользуемся утверждением, что если все грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то вершина проектируется в центр вписанной в основание окружности. Точка О – проекция вершины S на основание пирамиды. Треугольник SOD является ортогональной проекцией треугольника CSD на плоскость основания. По теореме о площади ортогональной проекции плоской фигуры получим:

Аналогично и значит Таким образом задача свелась к нахождению площади трапеции АВСD . Изобразим трапецию ABCD отдельно (рис.22). Точка О – центр вписанной в трапецию окружности.

Так как в трапецию можно вписать окружность, то или Из по теореме Пифагора имеем

Здесь собраны основные сведения о пирамидах и связанных с ней формулах и понятиях. Все они изучаются с репетитором по математике при подготовке к ЕГЭ.

Рассмотрим плоскость , многоугольник , лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Отрезки называются боковыми ребрами. Многоугольник называется основанием, а точка S — вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), птяиугольной (n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды – тетраэдр . Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к плоскости основания.

Пирамида называется правильной, если правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.

Комментарий репетитора :
Не путайте понятие «правильная пирамида» и «правильный тетраэдр». У правильной пирамиды боковые ребра совсем не обязательно равны ребрам основания, а в правильном тетраэдре все 6 ребер ребра равные. Это его определение. Легко доказать, что из равенства следует совпадение центра P многоугольника с основанием высоты, поэтому правильный тетраэдр является правильной пирамидой.

Что такое апофема?
Апофемой пирамиды называется высота ее боковой грани. Если пирамида правильная, то все ее апофемы равны. Обратное неверно.

Репетитор по математике о своей терминологии: работа с пирамидами на 80% строится через два вида треугольников:
1) Содержащий апофему SK и высоту SP
2) Содержащий боковое ребро SA и его проекцию PA

Чтобы упростить ссылки на эти треугольники репетитору по математике удобнее называть первый из них апофемным , а второй реберным . К сожалению, этой терминологии вы не встретите ни в одном из учебников, и преподавателю приходится вводить ее в одностороннем порядке.

Формула объема пирамиды :
1) , где – площадь основания пирамиды, а -высота пирамиды
2) , где – радиус вписанного шара, а – площадь полной поверхности пирамиды.
3) , где MN – расстояние любыми двумя скрещивающимися ребрами, а – площадь параллелограмма, образованного серединами четырех оставшихся ребер.

Свойство основания высоты пирамиды:

Точка P (смотри рисунок) совпадает с центром вписанной окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из следующих условий:
1) Все апофемы равны
2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию
3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды
4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням

Комментарий репетитора по математике : обратите внимание, что все пункты объединяет одно общее свойство: так или иначе везде участвуют боковые грани (апофемы — это их элементы). Поэтому репетитор может предложить менее точную, но более удобную для заучивания формулировку: точка P совпадает с центром вписанной окружности основание пирамиды, если имеется любая равная информация о ее боковых гранях. Для доказательства достаточно показать, что все апофемные треугольники равны.

Точка P совпадает с центром описанной около основания пирамиды окружностью, если верно одно их трех условий:
1) Все боковые ребра равны
2) Все боковые ребра одинаково наклонены к основанию
3) Все боковые ребра одинаково наклонены к высоте

Определение

Пирамида – это многогранник, составленный из многоугольника \(A_1A_2...A_n\) и \(n\) треугольников с общей вершиной \(P\) (не лежащей в плоскости многоугольника) и противолежащими ей сторонами, совпадающими со сторонами многоугольника.
Обозначение: \(PA_1A_2...A_n\) .
Пример: пятиугольная пирамида \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Треугольники \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) и т.д. называются боковыми гранями пирамиды, отрезки \(PA_1, PA_2\) и т.д. – боковыми ребрами , многоугольник \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – основанием , точка \(P\) – вершиной .

Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Пирамида, в основании которой лежит треугольник, называется тетраэдром .

Пирамида называется правильной , если в ее основании лежит правильный многоугольник и выполнено одно из условий:

\((a)\) боковые ребра пирамиды равны;

\((b)\) высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности;

\((c)\) боковые ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.

\((d)\) боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.

Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, все грани которой – равные равносторонние треугольники.

Теорема

Условия \((a), (b), (c), (d)\) эквивалентны.

Доказательство

Проведем высоту пирамиды \(PH\) . Пусть \(\alpha\) – плоскость основания пирамиды.

1) Докажем, что из \((a)\) следует \((b)\) . Пусть \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Т.к. \(PH\perp \alpha\) , то \(PH\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, значит, треугольники – прямоугольные. Значит, эти треугольники равны по общему катету \(PH\) и гипотенузам \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Значит, \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Значит, точки \(A_1, A_2, ..., A_n\) находятся на одинаковом расстоянии от точки \(H\) , следовательно, лежат на одной окружности с радиусом \(A_1H\) . Эта окружность по определению и есть описанная около многоугольника \(A_1A_2...A_n\) .

2) Докажем, что из \((b)\) следует \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) прямоугольные и равны по двум катетам. Значит, равны и их углы, следовательно, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\) .

3) Докажем, что из \((c)\) следует \((a)\) .

Аналогично первому пункту треугольники \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) прямоугольные и по катету и острому углу. Значит, равны и их гипотенузы, то есть \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Докажем, что из \((b)\) следует \((d)\) .

Т.к. в правильном многоугольнике совпадают центры описанной и вписанной окружности (вообще говоря, эта точка называется центром правильного многоугольника), то \(H\) – центр вписанной окружности. Проведем перпендикуляры из точки \(H\) на стороны основания: \(HK_1, HK_2\) и т.д. Это – радиусы вписанной окружности (по определению). Тогда по ТТП (\(PH\) – перпендикуляр на плоскость, \(HK_1, HK_2\) и т.д. – проекции, перпендикулярные сторонам) наклонные \(PK_1, PK_2\) и т.д. перпендикулярны сторонам \(A_1A_2, A_2A_3\) и т.д. соответственно. Значит, по определению \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\) равны углам между боковыми гранями и основанием. Т.к. треугольники \(PK_1H, PK_2H, ...\) равны (как прямоугольные по двум катетам), то и углы \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\) равны.

5) Докажем, что из \((d)\) следует \((b)\) .

Аналогично четвертому пункту треугольники \(PK_1H, PK_2H, ...\) равны (как прямоугольные по катету и острому углу), значит, равны отрезки \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) . Значит, по определению, \(H\) – центр вписанной в основание окружности. Но т.к. у правильных многоугольников центры вписанной и описанной окружности совпадают, то \(H\) – центр описанной окружности. Чтд.

Следствие

Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники.

Определение

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой .
Апофемы всех боковых граней правильной пирамиды равны между собой и являются также медианами и биссектрисами.

Важные замечания

1. Высота правильной треугольной пирамиды падает в точку пересечения высот (или биссектрис, или медиан) основания (основание – правильный треугольник).

2. Высота правильной четырехугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – квадрат).

3. Высота правильной шестиугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – правильный шестиугольник).

4. Высота пирамиды перпендикулярна любой прямой, лежащей в основании.

Определение

Пирамида называется прямоугольной , если одно ее боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Важные замечания

1. У прямоугольной пирамиды ребро, перпендикулярное основанию, является высотой пирамиды. То есть \(SR\) – высота.

2. Т.к. \(SR\) перпендикулярно любой прямой из основания, то \(\triangle SRM, \triangle SRP\) – прямоугольные треугольники.

3. Треугольники \(\triangle SRN, \triangle SRK\) – тоже прямоугольные.
То есть любой треугольник, образованный этим ребром и диагональю, выходящей из вершины этого ребра, лежащей в основании, будет прямоугольным.

\[{\Large{\text{Объем и площадь поверхности пирамиды}}}\]

Теорема

Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту пирамиды: \

Следствия

Пусть \(a\) – сторона основания, \(h\) – высота пирамиды.

1. Объем правильной треугольной пирамиды равен \(V_{\text{прав.треуг.пир.}}=\dfrac{\sqrt3}{12}a^2h\) ,

2. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен \(V_{\text{прав.четыр.пир.}}=\dfrac13a^2h\) .

3. Объем правильной шестиугольной пирамиды равен \(V_{\text{прав.шест.пир.}}=\dfrac{\sqrt3}{2}a^2h\) .

4. Объем правильного тетраэдра равен \(V_{\text{прав.тетр.}}=\dfrac{\sqrt3}{12}a^3\) .

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна полупроизведению периметра основания на апофему.

\[{\Large{\text{Усеченная пирамида}}}\]

Определение

Рассмотрим произвольную пирамиду \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Проведем через некоторую точку, лежащую на боковом ребре пирамиды, плоскость параллельно основанию пирамиды. Данная плоскость разобьет пирамиду на два многогранника, один из которых – пирамида (\(PB_1B_2...B_n\) ), а другой называется усеченная пирамида (\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).