Prilikom rje?avanja mnogih matemati?ki problemi, posebno onih koji se javljaju prije 10. razreda, jasno je definiran redoslijed izvo?enja radnji koje ?e dovesti do cilja. Takvi problemi uklju?uju, na primjer, linearne i kvadratne jednad?be, linearne i kvadratne nejedna?ine, razlomke i jedna?ine koje se svode na kvadratne. Princip uspje?nog rje?avanja svakog od navedenih zadataka je sljede?i: potrebno je utvrditi koji tip zadatka se rje?ava, zapamtiti potreban slijed radnji koje ?e dovesti do ?eljenog rezultata, tj. odgovorite i slijedite ove korake.

O?igledno, uspjeh ili neuspjeh u rje?avanju odre?enog problema uglavnom zavisi od toga koliko je ispravno odre?en tip jedna?ine koja se rje?ava, koliko je ispravno reproduciran redoslijed svih faza njenog rje?enja. Naravno, u ovom slu?aju potrebno je imati vje?tine za izvo?enje identi?nih transformacija i prora?una.

Druga?ija situacija se de?ava sa trigonometrijske jedna?ine. Nije te?ko utvrditi ?injenicu da je jedna?ina trigonometrijska. Pote?ko?e nastaju prilikom odre?ivanja redosleda radnji koje bi dovele do ta?nog odgovora.

Ponekad je te?ko odrediti njen tip po izgledu jedna?ine. A bez poznavanja vrste jednad?be, gotovo je nemogu?e izabrati pravu od nekoliko desetina trigonometrijskih formula.

Da bismo rije?ili trigonometrijsku jedna?inu, moramo poku?ati:

1. dovesti sve funkcije uklju?ene u jedna?inu u "iste uglove";
2. dovesti jedna?inu na "iste funkcije";
3. faktorizovati lijevu stranu jedna?ine, itd.

Razmislite osnovne metode za rje?avanje trigonometrijskih jedna?ina.

I. Redukcija na najjednostavnije trigonometrijske jednad?be

Shema rje?enja

Korak 1. Izrazite trigonometrijsku funkciju u terminima poznatih komponenti.

Korak 2 Prona?ite argument funkcije koriste?i formule:

cos x = a; x = ±arccos a + 2pn, n ?Z.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + pn, n ? Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + pn, n ? Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + pn, n ? Z.

Korak 3 Prona?ite nepoznatu varijablu.

Primjer.

2 cos(3x – p/4) = -?2.

Rje?enje.

1) cos(3x - p/4) = -?2/2.

2) 3x – p/4 = ±(p – p/4) + 2pn, n ? Z;

3x – p/4 = ±3p/4 + 2pn, n ? Z.

3) 3x = ±3p/4 + p/4 + 2pn, n? Z;

x = ±3p/12 + p/12 + 2pn/3, n ? Z;

x = ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n ? Z.

Odgovor: ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n ? Z.

II. Zamjena varijable

Shema rje?enja

Korak 1. Dovedite jednad?bu u algebarski oblik u odnosu na jednu od trigonometrijskih funkcija.

Korak 2 Rezultiraju?u funkciju ozna?iti promjenljivom t (ako je potrebno, uvesti ograni?enja na t).

Korak 3 Zapi?ite i rije?ite rezultiraju?u algebarsku jedna?inu.

Korak 4 Napravite obrnutu zamjenu.

Korak 5 Rije?ite najjednostavniju trigonometrijsku jedna?inu.

Primjer.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Rje?enje.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Neka je sin (x/2) = t, gdje je |t| <= 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ili e = -3/2 ne zadovoljava uslov |t| <= 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = p/2 + 2pn, n ? Z;

x = p + 4pn, n ? Z.

Odgovor: x = p + 4pn, n ? Z.

III. Metoda redukcije reda jedna?ina

Shema rje?enja

Korak 1. Zamijenite ovu jedna?inu linearnom koriste?i formule smanjenja snage:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Korak 2 Rije?ite rezultiraju?u jedna?inu koriste?i metode I i II.

Primjer.

cos2x + cos2x = 5/4.

Rje?enje.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±p/3 + 2pn, n ? Z;

x = ±p/6 + pn, n ? Z.

Odgovor: x = ±p/6 + pn, n ? Z.

IV. Homogene jednad?be

Shema rje?enja

Korak 1. Dovedite ovu jedna?inu u formu

a) a sin x + b cos x = 0 (homogena jedna?ina prvog stepena)

ili na pogled

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogena jedna?ina drugog stepena).

Korak 2 Podijelite obje strane jedna?ine sa

a) cos x ? 0;

b) cos 2 x ? 0;

i dobijemo jedna?inu za tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Korak 3 Rije?ite jednad?bu poznatim metodama.

Primjer.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Rje?enje.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin? x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ? 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Neka je onda tg x = t

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ili t = -4, dakle

tg x = 1 ili tg x = -4.

Iz prve jedna?ine x = p/4 + pn, n ? Z; iz druge jedna?ine x = -arctg 4 + pk, k ? Z.

Odgovor: x = p/4 + pn, n ? Z; x \u003d -arctg 4 + pk, k ? Z.

V. Metoda za transformaciju jednad?be pomo?u trigonometrijskih formula

Shema rje?enja

Korak 1. Koriste?i sve vrste trigonometrijskih formula, dovedite ovu jedna?inu u jedna?inu koja se mo?e rije?iti metodama I, II, III, IV.

Korak 2 Rezultuju?u jednad?bu re?ite poznatim metodama.

Primjer.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Rje?enje.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ili 2cos x + 1 = 0;

Iz prve jedna?ine 2x = p/2 + pn, n ? Z; iz druge jednad?be cos x = -1/2.

Imamo x = p/4 + pn/2, n ? Z; iz druge jedna?ine x = ±(p – p/3) + 2pk, k ? Z.

Kao rezultat, x \u003d p / 4 + pn / 2, n ? Z; x = ±2p/3 + 2pk, k ? Z.

Odgovor: x \u003d p / 4 + pn / 2, n ? Z; x = ±2p/3 + 2pk, k ? Z.

Sposobnost i vje?tine rje?avanja trigonometrijskih jedna?ina su vrlo Va?no je da njihov razvoj zahteva znatan trud, kako od strane u?enika tako i od strane nastavnika.

Mnogi problemi stereometrije, fizike itd. povezani su sa rje?avanjem trigonometrijskih jedna?ina.. Proces rje?avanja takvih zadataka, takore?i, sadr?i mnoga znanja i vje?tine koje se stje?u prou?avanjem elemenata trigonometrije.

Trigonometrijske jedna?ine zauzimaju zna?ajno mesto u procesu nastave matematike i razvoja li?nosti uop?te.

Imate bilo kakvih pitanja? Ne znate kako rije?iti trigonometrijske jedna?ine?
Da dobijete pomo? tutora - registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!

stranice, uz potpuno ili djelomi?no kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Jednom sam bio svjedok razgovora izme?u dva kandidata:

– Kada treba dodati 2pn, a kada - pn? Ne mogu da se setim!

- I ja imam isti problem.

Hteo sam da im ka?em: „Nije potrebno zapamtiti, ve? razumeti!“

Ovaj ?lanak je prvenstveno namijenjen srednjo?kolcima i nadam se da ?e im pomo?i s "razumijevanjem" rje?avanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednad?bi:

Broj?ani krug

Uz pojam brojevne prave, postoji i pojam brojevnog kruga. kao sto znamo, u pravougaonom koordinatnom sistemu, kru?nica sa centrom u ta?ki (0; 0) i polupre?nikom 1 naziva se jedini?ni krug. Zamislite brojevnu liniju s tankim koncem i namotajte je oko ovog kruga: referentnu ta?ku (ta?ka 0), pri?vrstite na "desnu" ta?ku jedini?nog kruga, omotajte pozitivnu poluos u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a negativnu poluos u smjer (slika 1). Takav jedini?ni krug naziva se brojevni krug.

Svojstva broj?anog kruga

• Svaki realan broj nalazi se u jednoj ta?ki brojevnog kruga.
• U svakoj ta?ki brojevnog kruga postoji beskona?no mnogo realnih brojeva. Po?to je du?ina jedini?ne kru?nice 2p, razlika izme?u bilo koja dva broja u jednoj ta?ki kru?nice jednaka je jednom od brojeva ±2p; ±4p; ±6p; …

da zaklju?imo: znaju?i jedan od brojeva ta?ke A, mo?emo prona?i sve brojeve ta?ke A.

Nacrtajmo AC pre?nik (slika 2). Po?to je x_0 jedan od brojeva ta?ke A, onda su brojevi x_0±p ; x_0±3p; x_0±5p; … i samo oni ?e biti brojevi ta?ke C. Hajde da izaberemo jedan od ovih brojeva, recimo, x_0+p, i koristimo ga da zapi?emo sve brojeve ta?ke C: x_C=x_0+p+2pk ,k? Z. Imajte na umu da se brojevi u ta?kama A i C mogu kombinovati u jednu formulu: x_(A ; C)=x_0+pk,k?Z (za k = 0; ±2; ±4; ... dobijamo brojeve ta?ka A, a za k = ±1, ±3, ±5, … su brojevi ta?ke C).

da zaklju?imo: znaju?i jedan od brojeva u jednoj od ta?aka A ili C pre?nika AC, mo?emo prona?i sve brojeve na tim ta?kama.

• Dva suprotna broja nalaze se na ta?kama kru?nice koje su simetri?ne oko ose apscise.

Nacrtajmo vertikalnu tetivu AB (slika 2). Po?to su ta?ke A i B simetri?ne oko ose Ox, broj -x_0 se nalazi u ta?ki B i stoga su svi brojevi ta?ke B dati formulom: x_B=-x_0+2pk ,k?Z. Zapisujemo brojeve u ta?kama A i B jednom formulom: x_(A ; B)=±x_0+2pk ,k?Z. Zaklju?imo: poznavaju?i jedan od brojeva u jednoj od ta?aka A ili B okomite tetive AB, mo?emo prona?i sve brojeve u tim ta?kama. Posmatrajmo horizontalnu tetivu AD i prona?imo brojeve ta?ke D (slika 2). Po?to je BD pre?nik i broj -x_0 pripada ta?ki B, tada je -x_0 + p jedan od brojeva ta?ke D i, stoga, svi brojevi ove ta?ke su dati formulom x_D=-x_0+p+2pk ,k?Z. Brojevi u ta?kama A i D se mogu napisati pomo?u jedne formule: x_(A ; D)=(-1)^k?x_0+pk,k?Z. (za k= 0; ±2; ±4; ... dobijamo brojeve ta?ke A, a za k = ±1; ±3; ±5; ... - brojeve ta?ke D).

da zaklju?imo: znaju?i jedan od brojeva u jednoj od ta?aka A ili D horizontalne tetive AD, mo?emo prona?i sve brojeve u tim ta?kama.

?esnaest glavnih ta?aka brojevnog kruga

U praksi je rje?enje ve?ine najjednostavnijih trigonometrijskih jedna?ina povezano sa ?esnaest ta?aka kru?nice (slika 3). ?ta su ove ta?ke? Crvene, plave i zelene ta?ke dijele krug na 12 jednakih dijelova. Po?to je du?ina polukruga p, du?ina luka A1A2 je p/2, du?ina luka A1B1 je p/6, a du?ina luka A1C1 je p/3.

Sada mo?emo odrediti jedan broj na ta?kama:

p/3 na S1 i

Vrhovi narand?astog kvadrata su sredine lukova svake ?etvrtine, pa je du?ina luka A1D1 jednaka p/4, pa je p/4 jedan od brojeva ta?ke D1. Koriste?i svojstva brojevnog kruga, mo?emo zapisati sve brojeve na svim ozna?enim ta?kama na?eg kruga pomo?u formula. Na slici su prikazane i koordinate ovih ta?aka (izostavljamo opis njihovog sticanja).

Nakon ?to smo nau?ili gore navedeno, sada imamo dovoljnu pripremu za rje?avanje posebnih slu?ajeva (za devet vrijednosti broja a) najjednostavnije jedna?ine.

Rije?i jedna?ine

1)sinx=1/(2).

– ?ta se od nas tra?i?

– Prona?ite sve one brojeve x ?iji je sinus 1/2.

Prisjetite se definicije sinusa: sinx - ordinata ta?ke brojevne kru?nice, na kojoj se nalazi broj x. Na kru?nici imamo dvije ta?ke ?ija je ordinata jednaka 1/2. Ovo su krajevi horizontalne tetive B1B2. To zna?i da je zahtjev “rije?i jedna?inu sinx=1/2” ekvivalentan zahtjevu “prona?i sve brojeve u ta?ki B1 i sve brojeve u ta?ki B2”.

2)sinx=-?3/2 .

Moramo prona?i sve brojeve u ta?kama C4 i C3.

3) sinx=1. Na kru?nici imamo samo jednu ta?ku sa ordinatom 1 - ta?ku A2 i stoga moramo prona?i samo sve brojeve ove ta?ke.

Odgovor: x=p/2+2pk , k?Z .

4)sinx=-1 .

Samo ta?ka A_4 ima ordinatu -1. Svi brojevi ove ta?ke bit ?e konji jednad?be.

Odgovor: x=-p/2+2pk , k?Z .

5) sinx=0 .

Na kru?nici imamo dvije ta?ke sa ordinatom 0 - ta?ke A1 i A3. Brojeve na svakoj ta?ki mo?ete specificirati posebno, ali s obzirom na to da su ove ta?ke dijametralno suprotne, bolje ih je kombinovati u jednu formulu: x=pk ,k?Z .

Odgovor: x=pk ,k?Z .

6)cosx=?2/2 .

Prisjetimo se definicije kosinusa: cosx - apscisa ta?ke numeri?ke kru?nice na kojoj se nalazi broj x. Na kru?nici imamo dvije ta?ke sa apscisom ?2/2 - krajevi horizontalne tetive D1D4. Moramo prona?i sve brojeve u ovim ta?kama. Zapisujemo ih tako ?to ih kombinujemo u jednu formulu.

Odgovor: x=±p/4+2pk , k?Z .

7) cosx=-1/2 .

Moramo prona?i brojeve u ta?kama C_2 i C_3.

Odgovor: x=±2p/3+2pk , k?Z .

10) cosx=0 .

Samo ta?ke A2 i A4 imaju apscisu 0, ?to zna?i da ?e svi brojevi u svakoj od ovih ta?aka biti rje?enja jedna?ine.
.

Rje?enja jednad?be sistema su brojevi u ta?kama B_3 i B_4.Nejedna?ina cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Odgovor: x=-5p/6+2pk , k?Z .

Imajte na umu da je za bilo koju dopu?tenu vrijednost x drugi faktor pozitivan i, prema tome, jedna?ina je ekvivalentna sistemu

Rje?enja sistemske jedna?ine su broj ta?aka D_2 i D_3. Brojevi ta?ke D_2 ne zadovoljavaju nejednakost sinx<=0,5, ali brojevi ta?ke D_3 zadovoljavaju.

blog.site, uz potpuno ili djelomi?no kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Trigonometrijske jednad?be nisu najlak?a tema. Bolno, oni su raznoliki.) Na primjer, ovi:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+p /4) = ctg(2x-p /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

itd...

Ali ova (i sva druga) trigonometrijska ?udovi?ta imaju dvije zajedni?ke i obavezne osobine. Prvo - ne?ete vjerovati - u jednad?bama postoje trigonometrijske funkcije.) Drugo: svi izrazi sa x su u okviru ovih istih funkcija. I samo tamo! Ako se negdje pojavi x vani, na primjer, sin2x + 3x = 3, ovo ?e biti jedna?ina mje?ovitog tipa. Takve jedna?ine zahtijevaju individualni pristup. Ovdje ih ne?emo razmatrati.

Ni u ovoj lekciji ne?emo rje?avati zle jedna?ine.) Ovdje ?emo se pozabaviti najjednostavnije trigonometrijske jednad?be. Za?to? Da, jer odluka bilo koji trigonometrijske jednad?be se sastoje od dvije faze. U prvoj fazi, jedna?ina zla se raznim transformacijama svodi na jednostavnu. Na drugom - ova najjednostavnija jedna?ina je rije?ena. Nema drugog na?ina.

Dakle, ako imate problema u drugoj fazi, prva faza nema mnogo smisla.)

Kako izgledaju elementarne trigonometrijske jednad?be?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Evo a ozna?ava bilo koji broj. Bilo koji.

Usput, unutar funkcije mo?da ne postoji ?isti x, ve? neka vrsta izraza, kao ?to je:

cos(3x+p /3) = 1/2

itd. Ovo komplicira ?ivot, ali ne uti?e na metodu rje?avanja trigonometrijske jednad?be.

Kako rije?iti trigonometrijske jednad?be?

Trigonometrijske jednad?be se mogu rije?iti na dva na?ina. Prvi na?in: pomo?u logike i trigonometrijskog kruga. Ovdje ?emo istra?iti ovaj put. Drugi na?in - kori?tenje memorije i formula - razmatrat ?emo u sljede?oj lekciji.

Prvi na?in je jasan, pouzdan i te?ko ga je zaboraviti.) Dobar je za rje?avanje trigonometrijskih jedna?ina, nejedna?ina i svih vrsta lukavih nestandardnih primjera. Logika je ja?a od memorije!

Jedna?ine rje?avamo pomo?u trigonometrijskog kruga.

Uklju?ujemo elementarnu logiku i mogu?nost kori?tenja trigonometrijskog kruga. Zar ne mo?e?!? Me?utim... Bi?e vam te?ko u trigonometriji...) Ali nema veze. Pogledajte lekcije "Trigonometrijski krug ...... ?ta je to?" i "Broj uglova na trigonometrijskom krugu." Tamo je sve jednostavno. Za razliku od ud?benika...)

Ah, zna?!? Pa ?ak i savladao "Prakti?ni rad sa trigonometrijskim krugom"!? Prihvatite ?estitke. Ova tema ?e vam biti bliska i razumljiva.) Ono ?to posebno raduje je da trigonometrijskom krugu nije va?no koju jedna?inu re?avate. Sinus, kosinus, tangent, kotangens - sve mu je isto. Princip rje?enja je isti.

Dakle, uzimamo bilo koju elementarnu trigonometrijsku jedna?inu. barem ovo:

cosx = 0,5

Moram da na?em X. Govore?i ljudskim jezikom, trebate na?i ugao (x) ?iji je kosinus 0,5.

Kako smo ranije koristili krug? Nacrtali smo ugao na njemu. U stepenima ili radijanima. I to odmah vi?eno trigonometrijske funkcije ovog ugla. Sada uradimo suprotno. Nacrtajte kosinus jednak 0,5 na krug i odmah vidit ?emo ugao. Ostaje samo zapisati odgovor.) Da, da!

Nacrtamo krug i ozna?imo kosinus jednak 0,5. Na kosinusnoj osi, naravno. Volim ovo:

Sada nacrtajmo ugao koji nam daje ovaj kosinus. Zadr?ite pokaziva? mi?a preko slike (ili dodirnite sliku na tabletu) i vidi ovaj isti kutak X.

Koji ugao ima kosinus 0,5?

x \u003d p / 3

cos 60°= cos( p /3) = 0,5

Neki ?e skepti?no gun?ati, da... Ka?u, je li se isplatilo ogra?ivati krug, kad je ionako sve jasno... Mo?ete, naravno, gun?ati...) Ali ?injenica je da je ovo gre?ka odgovori. Ili bolje re?eno, neadekvatan. Poznavaoci kruga razumiju da jo? uvijek postoji ?itav niz uglova koji tako?er daju kosinus jednak 0,5.

Ako okrenete pokretnu stranu OA za puni okret, ta?ka A ?e se vratiti u prvobitni polo?aj. Sa istim kosinusom jednakim 0,5. One. ugao ?e se promijeniti 360° ili 2p radijana, i kosinus nije. Novi ugao 60° + 360° = 420° tako?e ?e biti re?enje na?e jedna?ine, jer

Postoji beskona?an broj takvih punih rotacija... I svi ovi novi uglovi bit ?e rje?enja na?e trigonometrijske jedna?ine. I sve ih treba nekako zapisati. Sve. Ina?e, odluka se ne razmatra, da...)

Matematika to mo?e u?initi jednostavno i elegantno. U jednom kratkom odgovoru zapi?ite beskona?an skup rje?enja. Evo kako to izgleda za na?u jedna?inu:

x = p /3 + 2p n, n ? Z

Ja ?u de?ifrovati. Jo? pi?i smisleno ljep?e nego glupo crtati neka misteriozna slova, zar ne?)

p /3 je isti ugao kao i mi vidio na krugu i odlu?an prema tabeli kosinusa.

2p je jedan puni okret u radijanima.

n - ovo je broj kompletnih, tj. cijeli revolucije. To je jasno n mo?e biti 0, ±1, ±2, ±3.... i tako dalje. Kao ?to pokazuje kratki unos:

n ? Z

n pripada ( ? ) na skup cijelih brojeva ( Z ). Usput, umjesto pisma n mogu se koristiti slova k, m, t itd.

Ova notacija zna?i da mo?ete uzeti bilo koji cijeli broj n . Najmanje -3, najmanje 0, najmanje +55. ?ta ?eli?. Ako uklju?ite taj broj u svoj odgovor, dobit ?ete odre?eni ugao, koji ?e sigurno biti rje?enje za na?u o?tru jednad?bu.)

Ili, drugim rije?ima, x \u003d p / 3 je jedini korijen beskona?nog skupa. Da biste dobili sve ostale korijene, dovoljno je dodati bilo koji broj punih zavoja na p / 3 ( n ) u radijanima. One. 2pn radian.

Sve? br. Ja posebno raste?em zadovoljstvo. Da bolje zapamtimo.) Dobili smo samo dio odgovora na na?u jedna?inu. Napisat ?u ovaj prvi dio rje?enja na sljede?i na?in:

x 1 = p /3 + 2p n, n ? Z

x 1 - ne jedan korijen, to je ?itav niz korijena, napisanih u kratkom obliku.

Ali postoje i drugi uglovi koji tako?e daju kosinus jednak 0,5!

Vratimo se na?oj slici prema kojoj smo zapisali odgovor. Evo je:

Pre?ite mi?em preko slike i vidi drugi kutak koji tako?er daje kosinus od 0,5.?ta mislite ?ta je jednako? Trouglovi su isti... Da! On je jednak uglu X , iscrtano samo u negativnom smjeru. Ovo je ugao -X. Ali ve? smo izra?unali x. p /3 ili 60°. Stoga sa sigurno??u mo?emo napisati:

x 2 \u003d - p / 3

I, naravno, dodajemo sve uglove koji se dobiju punim okretima:

x 2 = - p /3 + 2p n, n ? Z

To je sada sve.) U trigonometrijskom krugu, mi vidio(ko razume, naravno)) sve uglovi koji daju kosinus jednak 0,5. I zapisali su ove uglove u kratkom matemati?kom obliku. Odgovor su dvije beskona?ne serije korijena:

x 1 = p /3 + 2p n, n ? Z

x 2 = - p /3 + 2p n, n ? Z

Ovo je ta?an odgovor.

nada, op?ti princip za re?avanje trigonometrijskih jedna?ina uz pomo? kruga je razumljivo. Na kru?nici ozna?imo kosinus (sinus, tangent, kotangens) iz date jedna?ine, nacrtamo odgovaraju?e uglove i zapi?emo odgovor. Naravno, morate shvatiti kakvi smo mi uglovi vidio na krugu. Ponekad to nije tako o?igledno. Pa, kao ?to sam rekao, ovdje je potrebna logika.)

Na primjer, analizirajmo jo? jednu trigonometrijsku jedna?inu:

Imajte na umu da broj 0,5 nije jedini mogu?i broj u jednad?bi!) Samo mi je zgodnije da ga zapi?em od korijena i razlomaka.

Radimo po op?tem principu. Crtamo krug, ozna?avamo (na osi sinusa, naravno!) 0,5. Crtamo odjednom sve uglove koji odgovaraju ovom sinusu. Dobijamo ovu sliku:

Prvo se pozabavimo uglom. X u prvoj ?etvrtini. Prisje?amo se tablice sinusa i odre?ujemo vrijednost ovog ugla. Stvar je jednostavna:

x \u003d p / 6

Pamtimo pune okrete i mirne savjesti zapisujemo prvu seriju odgovora:

x 1 = p /6 + 2p n, n ? Z

Pola posla je obavljeno. Sada treba da defini?emo drugi ugao... Ovo je te?e nego u kosinusima, da... Ali logika ?e nas spasiti! Kako odrediti drugi ugao kroz x? Yes Easy! Trokuti na slici su isti, a crveni ugao X jednaka uglu X . Samo se broji od ugla p u negativnom smjeru. Zato je crvena.) A za odgovor nam je potreban ugao izmjeren ispravno od pozitivne poluose OX, tj. iz ugla od 0 stepeni.

Pre?ite kursorom preko slike i pogledajte sve. Uklonio sam prvi ugao da ne bih komplikovao sliku. Ugao koji nas zanima (nacrtan zelenom bojom) bit ?e jednak:

p - x

x mi to znamo p /6 . Dakle, drugi ugao ?e biti:

p - p /6 = 5p /6

Ponovo se prisje?amo dodavanja punih okretaja i zapisujemo drugu seriju odgovora:

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ? Z

To je sve. Potpuni odgovor sastoji se od dvije serije korijena:

x 1 = p /6 + 2p n, n ? Z

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ? Z

Jedna?ine s tangentom i kotangensom mogu se lako rije?iti kori?tenjem istog op?eg principa za rje?avanje trigonometrijskih jedna?ina. Osim ako, naravno, ne znate kako nacrtati tangentu i kotangens na trigonometrijskom krugu.

U gornjim primjerima koristio sam tabelarne vrijednosti sinusa i kosinusa: 0,5. One. jedno od onih zna?enja koje u?enik zna mora. Sada pro?irimo na?e mogu?nosti na sve druge vrednosti. Odlu?i, pa odlu?i!)

Dakle, recimo da moramo rije?iti sljede?u trigonometrijsku jedna?inu:

Ne postoji takva vrijednost kosinusa u kratkim tablicama. Hladno ignori?emo ovu stra?nu ?injenicu. Nacrtamo krug, ozna?imo 2/3 na osi kosinusa i nacrtamo odgovaraju?e uglove. Dobili smo ovu sliku.

Razumijemo, za po?etak, sa uglom u prvoj ?etvrtini. Da znaju koliko je x jednako, odmah bi zapisali odgovor! Ne znamo... Neuspjeh!? Smiren! Matematika ne ostavlja svoje u nevolji! Ona je izmislila lu?ni kosinus za ovaj slu?aj. Ne znam? Uzalud. Saznajte, mnogo je lak?e nego ?to mislite. Prema ovom linku, ne postoji niti jedna lukava ?arolija o "inverznim trigonometrijskim funkcijama" ... To je suvi?no u ovoj temi.

Ako znate, samo recite sebi: "X je ugao ?iji je kosinus 2/3." I odmah, ?isto po definiciji arkosinusa, mo?emo napisati:

Sje?amo se dodatnih okretaja i mirno zapisujemo prvu seriju korijena na?e trigonometrijske jednad?be:

x 1 = arccos 2/3 + 2p n, n ? Z

Druga serija korijena tako?er se upisuje gotovo automatski, za drugi ugao. Sve je isto, samo ?e x (arccos 2/3) biti sa minusom:

x 2 = - arccos 2/3 + 2p n, n ? Z

I sve stvari! Ovo je ta?an odgovor. ?ak i lak?e nego sa tabelarnim vrijednostima. Ne morate ni?ta pamtiti.) Usput, najpa?ljiviji ?e primijetiti da je ova slika s rje?enjem kroz arc kosinus se su?tinski ne razlikuje od slike za jedna?inu cosx = 0,5.

Upravo! Op?ti princip o tome i generalni! Posebno sam nacrtao dvije skoro identi?ne slike. Krug nam pokazuje ugao X svojim kosinusom. To je tabelarni kosinus, ili ne - krug ne zna. Kakav je ovo ugao, p / 3, ili kakav arc kosinus je na nama da odlu?imo.

Sa sinusom ista pjesma. Na primjer:

Opet nacrtamo krug, ozna?imo sinus jednak 1/3, nacrtamo uglove. Ispada ova slika:

I opet je slika skoro ista kao i za jedna?inu sinx = 0,5. Ponovo kre?emo iz kornera u prvoj ?etvrtini. ?emu je jednako x ako mu je sinus 1/3? Nema problema!

Dakle, prvi paket korijena je spreman:

x 1 = arcsin 1/3 + 2p n, n ? Z

Hajde da pogledamo drugi ugao. U primjeru sa vrijedno??u tablice od 0,5, bio je jednak:

p - x

I ovdje ?e biti potpuno isto! Samo je x razli?it, arcsin 1/3. Pa ?ta!? Mo?ete sigurno napisati drugi paket korijena:

x 2 = p - arcsin 1/3 + 2p n, n ? Z

Ovo je potpuno ta?an odgovor. Iako ne izgleda ba? poznato. Ali to je razumljivo, nadam se.)

Ovako se trigonometrijske jednad?be rje?avaju pomo?u kru?nice. Ovaj put je jasan i razumljiv. On je taj koji ?tedi u trigonometrijskim jednad?bama s odabirom korijena na datom intervalu, u trigonometrijskim nejedna?inama - one se uglavnom rje?avaju gotovo uvijek u krugu. Ukratko, u svim zadacima koji su malo slo?eniji od standardnih.

Prebacivanje znanja u praksu?

Rije?ite trigonometrijske jednad?be:

U po?etku je jednostavnije, direktno na ovoj lekciji.

Sada je te?e.

Savjet: ovdje morate razmi?ljati o krugu. Li?no.)

A sada spolja nepretenciozni ... Nazivaju se i posebnim slu?ajevima.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Nagove?taj: ovdje treba u krugu odgonetnuti gdje su dvije serije odgovora, a gdje jedan... I kako napisati jedan umjesto dva niza odgovora. Da, tako da se ni jedan korijen iz beskona?nog broja ne izgubi!)

Pa sasvim jednostavno):

sinx = 0,3

cosx = p

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Nagove?taj: ovde treba da znate ?ta je arksinus, arkosinus? ?ta je arc tangenta, arc tangenta? Najjednostavnije definicije. Ali ne morate pamtiti nikakve tabelarne vrijednosti!)

Odgovori su, naravno, u neredu):

x 1= arcsin0,3 + 2pn, n ? Z
x 2= p - arcsin0,3 + 2

Nije sve u redu? De?ava se. Pro?itajte lekciju ponovo. Samo zami?ljeno(postoji takva zastarjela rije?...) I pratite linkove. Glavne veze se odnose na krug. Bez toga u trigonometriji - kako pre?i cestu sa povezom preko o?iju. Ponekad uspe.)

Ako vam se svi?a ovaj sajt...

Ina?e, imam jo? par zanimljivih stranica za vas.)

Mo?ete vje?bati rje?avanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. U?enje - sa interesovanjem!)

mo?ete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Va?a privatnost nam je va?na. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo va?e podatke. Molimo pro?itajte na?u politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i kori?tenje li?nih podataka

Li?ni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju odre?ene osobe ili za kontaktiranje s njom.

Od vas se mo?e tra?iti da unesete svoje li?ne podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta li?nih podataka koje mo?emo prikupljati i kako ih mo?emo koristiti.

Koje li?ne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, mo?emo prikupljati razli?ite informacije, uklju?uju?i va?e ime, broj telefona, adresu e-po?te itd.

Kako koristimo va?e li?ne podatke:

• Li?ni podaci koje prikupljamo omogu?avaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim doga?ajima i nadolaze?im doga?ajima.
• S vremena na vrijeme mo?emo koristiti va?e li?ne podatke kako bismo vam poslali va?na obavje?tenja i poruke.
• Li?ne podatke mo?emo koristiti i za interne svrhe, kao ?to su provo?enje revizija, analiza podataka i razli?ita istra?ivanja kako bismo pobolj?ali usluge koje pru?amo i dali vam preporuke u vezi s na?im uslugama.
• Ako u?estvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sli?nom poticaju, mo?emo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje tre?im licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo tre?im licima.

Izuzeci:

• U slu?aju da je to potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva dr?avnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje li?ne podatke. Tako?e mo?emo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provo?enja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
• U slu?aju reorganizacije, spajanja ili prodaje, mo?emo prenijeti li?ne podatke koje prikupimo relevantnom tre?em licu nasljedniku.

Za?tita li?nih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uklju?uju?i administrativne, tehni?ke i fizi?ke - da za?titimo va?e osobne podatke od gubitka, kra?e i zloupotrebe, kao i od neovla?tenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uni?tenja.

Odr?avanje va?e privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su va?i li?ni podaci sigurni, na?im zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

Najjednostavnije trigonometrijske jednad?be obi?no se rje?avaju formulama. Da vas podsjetim da se sljede?e trigonometrijske jednad?be nazivaju najjednostavnijim:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x je ugao koji treba prona?i,
a je bilo koji broj.

A evo i formula pomo?u kojih mo?ete odmah zapisati rje?enja ovih najjednostavnijih jedna?ina.

za sinuse:

za kosinus:

x = ± arccos a + 2p n, n ? Z

za tangentu:

x = arctg a + p n, n ? Z

za kotangens:

x = arcctg a + p n, n ? Z

Zapravo, ovo je teorijski dio rje?avanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednad?bi. I, cijeli!) Ba? ni?ta. Me?utim, broj gre?aka na ovoj temi se samo prebacuje. Pogotovo, uz neznatno odstupanje primjera od ?ablona. Za?to?

Da, jer mnogi ljudi zapisuju ova pisma, a da uop?te ne razumeju njihovo zna?enje! Sa strepnjom zapisuje, ma kako se ne?to dogodilo...) Ovo treba rije?iti. Trigonometrija za ljude, ili ljudi za trigonometriju, ipak!?)

Hajde da to shvatimo?

Jedan ugao ?e biti jednak arccos a, sekunda: -arccos a.

I tako ?e uvijek funkcionirati. Za bilo koje a.

Ako mi ne vjerujete, postavite pokaziva? mi?a preko slike ili dodirnite sliku na tabletu.) Promijenio sam broj a na neke negativne. U svakom slu?aju, imamo jedan ugao arccos a, sekunda: -arccos a.

Stoga se odgovor uvijek mo?e napisati kao dvije serije korijena:

x 1 = arccos a + 2p n, n ? Z

x 2 = - arccos a + 2p n, n ? Z

Kombiniramo ove dvije serije u jednu:

x= ± arccos a + 2p n, n ? Z

I sve stvari. Dobili smo op?u formulu za rje?avanje najjednostavnije trigonometrijske jednad?be s kosinusom.

Ako shvatite da ovo nije neka supernau?na mudrost, ve? samo skra?eni zapis od dvije serije odgovora, vi i zadaci "C" bit ?ete na ramenu. Sa nejednakostima, sa izborom korijena iz zadanog intervala... Tamo se odgovor sa plus/minus ne kotrlja. A ako odgovor tretirate poslovno i razbijete ga na dva odvojena odgovora, sve je odlu?eno.) Zapravo, za to razumijemo. ?ta, kako i gde.

U najjednostavnijoj trigonometrijskoj jednad?bi

sinx = a

tako?er dobiti dvije serije korijena. Uvijek je. I ove dvije serije se tako?er mogu snimiti jedan red. Samo ?e ova linija biti pametnija:

x = (-1) n arcsin a + p n, n ? Z

Ali su?tina ostaje ista. Matemati?ari su jednostavno konstruisali formulu da naprave jedan umesto dva zapisa nizova korena. I to je to!

Hajde da proverimo matemati?are? I to nije dovoljno...)

U prethodnoj lekciji detaljno je analizirano rje?enje (bez ikakvih formula) trigonometrijske jednad?be sa sinusom:

Ispostavilo se da su odgovor dvije serije korijena:

x 1 = p /6 + 2p n, n ? Z

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ? Z

Ako istu jedna?inu rije?imo pomo?u formule, dobi?emo odgovor:

x = (-1) n arcsin 0,5 + p n, n ? Z

Zapravo, ovo je napola gotov odgovor.) U?enik to mora znati arcsin 0,5 = p /6. Potpuni odgovor bi bio:

x = (-1) n p /6+ pn, n ? Z

Ovdje se postavlja zanimljivo pitanje. Odgovorite putem x 1; x 2 (ovo je ta?an odgovor!) i kroz usamljene X (a ovo je ta?an odgovor!) - ista stvar, ili ne? Hajde da saznamo sada.)

Zamjena kao odgovor sa x 1 vrijednosti n =0; jedan; 2; itd., smatramo, dobijamo niz korijena:

x 1 \u003d p / 6; 13p/6; 25p/6 i tako dalje.

Sa istom zamjenom kao odgovor na x 2 , dobijamo:

x 2 \u003d 5p / 6; 17p/6; 29p/6 i tako dalje.

A sada zamjenjujemo vrijednosti n (0; 1; 2; 3; 4...) u op?tu formulu za usamljene X . Odnosno, di?emo minus jedan na nultu potenciju, zatim na prvu, drugu i tako dalje. I, naravno, zamjenjujemo 0 u drugi ?lan; jedan; 2 3; 4 itd. I mislimo. Dobijamo seriju:

x = p/6; 5p/6; 13p/6; 17p/6; 25p/6 i tako dalje.

To je sve ?to mo?ete vidjeti.) Op?ta formula nam daje potpuno isti rezultati?to su dva odvojena odgovora. Sve odjednom, po redu. Matemati?ari nisu varali.)

Formule za rje?avanje trigonometrijskih jedna?ina s tangentom i kotangensom tako?er se mogu provjeriti. Ali nemojmo.) Tako su nepretenciozni.

Namjerno sam slikao svu ovu zamjenu i provjeru. Ovdje je va?no razumjeti jednu jednostavnu stvar: postoje formule za rje?avanje elementarnih trigonometrijskih jedna?ina, samo rezime odgovora. Za ovu kratko?u, morao sam ubaciti plus/minus u kosinusno rje?enje i (-1) n u rje?enje sinusa.

Ovi umetci se ni na koji na?in ne me?aju u zadatke u kojima samo treba da zapi?ete odgovor na elementarnu jedna?inu. Ali ako trebate rije?iti nejednakost, ili onda trebate u?initi ne?to s odgovorom: odabrati korijene na intervalu, provjeriti ODZ, itd., ovi umetci mogu lako uznemiriti osobu.

I ?ta da radim? Da, ili obojite odgovor u dvije serije, ili rije?ite jednad?bu/nejedna?inu u trigonometrijskom krugu. Tada ti umetci nestaju i ?ivot postaje lak?i.)

Mo?ete sumirati.

Za rje?avanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednad?bi postoje gotove formule odgovora. ?etiri komada. Dobre su za trenutno pisanje rje?enja jedna?ine. Na primjer, trebate rije?iti jednad?be:

sinx = 0,3

Lako: x = (-1) n arcsin 0,3 + p n, n ? Z

cosx = 0,2

Nema problema: x = ± arccos 0,2 + 2p n, n ? Z

tgx = 1.2

Lako: x = arctg 1,2 + pn, n ? Z

ctgx = 3.7

jedan ostao: x= arcctg3,7 + pn, n ? Z

cos x = 1,8

Ako ti, blistaju?i znanjem, odmah napi?e? odgovor:

x= ± arccos 1.8 + 2p n, n ? Z

onda ve? blista?, ovo ... ono ... iz lokve.) Ta?an odgovor je: nema rje?enja. Ne razumijem za?to? Pro?itajte ?ta je arkosinus. Osim toga, ako na desnoj strani originalne jednad?be postoje tabli?ne vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta, kotangensa, - 1; 0; ?3; 1/2; ?3/2 itd. - odgovor kroz lukove ?e biti nedovr?en. Lukovi se moraju pretvoriti u radijane.

A ako ve? nai?ete na nejednakost, npr

onda je odgovor:

x pn, n ? Z

postoji rijetka glupost, da ...) Ovdje je potrebno odlu?iti se za trigonometrijski krug. ?ta ?emo raditi u odgovaraju?oj temi.

Za one koji su herojski pro?itali ove redove. Jednostavno ne mogu a da ne cijenim tvoje titanske napore. ti si bonus.)

Bonus:

Kada pi?u formule u anksioznoj borbenoj situaciji, ?ak i okorjeli ?treberi se ?esto zbune gdje pn, I gdje 2pn. Evo jednog jednostavnog trika za vas. U sve formule pn. Osim jedine formule sa arc kosinusom. Stoji tamo 2pn. Dva pien. Klju?na rije? - dva. U istoj jedinstvenoj formuli su dva potpi?ite na po?etku. Plus i minus. tu i tamo - dva.

Dakle, ako ste napisali dva znak ispred arc kosinusa, lak?e je zapamtiti ?ta ?e se dogoditi na kraju dva pien. I obrnuto se de?ava. Presko?i znak ?oveka ± , do?i do kraja, napi?i ispravno dva pien, da, i uhvati ga. Ispred ne?ega dva sign! Osoba ?e se vratiti na po?etak, ali ?e ispraviti gre?ku! Volim ovo.)

Ako vam se svi?a ovaj sajt...

Ina?e, imam jo? par zanimljivih stranica za vas.)

Mo?ete vje?bati rje?avanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. U?enje - sa interesovanjem!)

mo?ete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.