Jedna?ina (10.2) uspostavlja vezu izme?u potencijala elektrostati?kog polja i ja?ine ovog polja. Iz ove jedna?ine mo?e se dobiti odnos izme?u potencijala i gustine naelektrisanja. Da biste to u?inili, morate formirati divergenciju oba dijela ove jednad?be, a zatim koristiti formulu (6.5):

Prema pravilima vektorske analize [vidi. jednad?ba (40]

pa se jedna?ina (11.1) mo?e napisati kao:

Ova diferencijalna jedna?ina se zove Poissonova jedna?ina. U onim dijelovima polja gdje nema elektri?nih naboja

Ova jedna?ina se pretvara u sljede?e:

Ovaj poseban oblik Poissonove jedna?ine naziva se Laplaceova jedna?ina.

Poissonova jednad?ba omogu?ava odre?ivanje potencijala polja prostornih naboja ako je poznata lokacija ovih naboja. Rje?enje (integral) ove diferencijalne jednad?be (pod odre?enim grani?nim uvjetima) o?ito se mora poklapati sa formulom (8.8) koju smo ranije izveli:

U nastavku ?emo to dokazati direktnim prora?unom. Za sada napominjemo da je za rje?avanje nekih problema zgodnije po?i ne od integrala (8.8), ve? direktno od diferencijalne jedna?ine (11.3).

Primjer. Odredite gustinu termionske struje izme?u dve beskona?ne ravne elektrode u vakuumu. Ovaj primjer primjene Poissonove jednad?be nije preuzet iz elektrostatike, ve? iz teorije struje i od velike je va?nosti za teoriju katodnih (poja?avaju?ih) lampi.

Poznato je da zagrijani metali emituju struju slobodnih elektrona sa svoje povr?ine u okolni prostor. Ako se odre?ena razlika potencijala primijeni na dvije metalne elektrode i negativna elektroda (katoda) se zagrije, tada ?e elektroni koje neprekidno emituje zagrijana katoda biti privu?eni na povr?inu pozitivne elektrode (anode). Protok elektrona koji se kre?e od katode do anode je ekvivalentan elektri?noj struji. Ova struja se naziva termoionska.

Osi kartezijanskih koordinata biramo tako da im je ishodi?te na katodi, a os x okomita na ravan elektroda i usmjerena prema anodi. Katodni potencijal uzimamo jednak nuli, a anodni potencijal jednak Iz razmatranja simetrije, jasno je da su ekvipotencijalne povr?ine paralelne s elektrodama, stoga Poissonova jedna?ina u prostoru izme?u elektroda ima oblik

Ako ozna?imo brojem elektrona po jedinici volumena u prostoru izme?u elektroda na udaljenosti x od katode i apsolutnom vrijedno??u naboja elektrona, tada je gustina naboja po

ova udaljenost ?e biti:

Pretpostavimo radi jednostavnosti da elektroni koje emituje katoda nemaju nikakvu po?etnu brzinu kada napu?taju njenu povr?inu. Na putu od katode do anode, sile elektri?nog polja izvr?it ?e rad na elektronima naboja - koji ?e se o?ito pretvoriti u kineti?ku energiju elektrona. Ozna?avaju?i kroz brzinu elektrona na udaljenosti x od katode, i kroz potencijal na istoj udaljenosti, dobijamo

gdje je 771 masa elektrona. Kona?no, gustina elektri?ne struje, tj. naboj koji te?e u jedinici vremena kroz podru?je okomito na struju (tj. povr?ina okomita na osu u je o?igledno jednaka:

jer postoji broj elektrona koji u jedinici vremena prolaze kroz ovu oblast. Za razliku od gustine struje, to je konstantna vrijednost koja ne ovisi o x, jer po dolasku u stacionarno stanje, o?igledno, isti broj elektrona prolazi kroz bilo koju ravan paralelnu elektrodama.

Isklju?imo iz jedna?ine (11.5) sve nepoznate funkcije x, osim Prvog

Ali iz (11.6) to slijedi

to je,

Uvode?i oznaku A - dobijamo

Lako je provjeriti zamjenom, iz rje?enja ove diferencijalne jednad?be, koja, prema uvjetu zadatka, nestaje na katodi i, osim toga, zadovoljava uvjet

Ako udaljenost od anode do katode ozna?imo kroz I, tada bi se potencijal trebao pretvoriti u Dakle,

Dakle, gustina termoelektri?ne struje ne po?tuje Ohmov zakon, ve? raste proporcionalno 3/2 snage napona primijenjenog na elektrode i obrnuto kao kvadrat udaljenosti izme?u njih. Ova razlika izme?u zakona termoionske struje i zakona struje u metalima nastala je iz dvije vrste razloga. Najprije se elektroni u metalima sudaraju s pozitivnim ionima, koji ?ine ?vrsti kostur metala, te zbog toga do?ivljavaju otpor svom kretanju, koji izostaje pri kretanju u vakuumu 1). Drugo, sa termoionskom strujom u prostoru izme?u elektroda postoje samo slobodni elektroni, ?iji se naboj ne kompenzuje nabojem pozitivnih jona, kao ?to je slu?aj u metalima, usled ?ega se polje ovog tzv. nazvan "prostorni naboj" iskrivljuje polje elektroda.

Imajte na umu da formula (11.9) prestaje da va?i za velike gustine struje 2). Sa pove?anjem anodnog potencijala, dolazi trenutak kada se svi elektroni koje otpu?ta katoda odmah privla?e na anodu. Dalje pove?anje anodnog potencijala o?ito ne mo?e dovesti do pove?anja gustine struje, koja na taj na?in dosti?e konstantnu vrijednost (struja zasi?enja).

Zadatak 10. Neka je udaljenost date ta?ke u prostoru od neke proizvoljno odabrane po?etne ta?ke. Poka?ite da je skalar

zadovoljava Laplaceovu jedna?inu

Ta?ka se ne razmatra.

Zadatak 11. Beskona?na ravna plo?a debljine 2a ravnomjerno je nabijena elektricitetom zapreminske gustine.Osa x je okomita na plo?u, ishodi?te koordinata nalazi se u sredi?njoj ravni, jednako udaljeno od obje povr?ine plo?e. Poka?ite da je potencijal polja unutar i izvan plo?e jednak, redom:

a vektor je usmjeren du? x-ose od sredi?nje ravni i numeri?ki je jednak:

Uporedite ovaj slu?aj sa grani?nim slu?ajem beskona?ne nabijene ravni (§ 4).

Zadatak 12. Odrediti potencijal polja kuglice jednoliko nabijene po svom volumenu [formula (8.12)], na osnovu Poissonove jedna?ine u sfernim koordinatama.

Postoji veliki broj slu?ajeva u kojima se smatra da je najpogodnija metoda za odre?ivanje ja?ine polja rje?enje diferencijalne jednad?be za potencijal. Nakon ?to ga dobijemo, kao osnovu primjenjujemo Ostrogradsky-Gaussovu teoremu u diferencijalnom obliku:

gdje je r gustina raspodjele naboja, e 0 je elektri?na konstanta, d i v E -> = ? -> E -> = ? E x ? x + ? E y ? y + ? E z ? z je divergencija vektora snage i izraz koji se odnosi na ja?inu polja i potencijal.

Napravimo zamjenu (2) u (1):

Uzimaju?i u obzir da je d i v g r a d f = ? 2 f = ? 2 f ? x 2 + ? 2 f ? y 2 + ? 2 f ? z 2 , gdje je ? = ? 2 oblik e: Laplasov (3) operator kvaliteta

Izraz (4) se naziva Poissonova jedna?ina za vakuum. Bez naboja, bi?e zapisano kao Laplaceova jedna?ina:

Nakon pronala?enja potencijala, prelazimo na prora?un intenziteta pomo?u (2) . Rje?enja Poissonove jedna?ine moraju zadovoljiti zahtjeve:

• potencijalna vrijednost kao kontinuirana funkcija;
• potencijal mora biti kona?na funkcija;
• derivacije potencijala kao funkcije koordinata moraju biti kona?ne.

U prisustvu koncentrisanih naboja u zapremini V, rje?enje jednad?be (4) ?e biti izra?eno za potencijal oblika:

Definicija 1

Op?ti problem elektrostatike svodi se na pronala?enje rje?enja diferencijalne jedna?ine, odnosno Poissonove jedna?ine koja zadovoljava gore navedene zahtjeve. Teorijski prora?uni su poznati za mali broj posebnih slu?ajeva. Ako je mogu?e odabrati funkciju f koja zadovoljava uvjete, onda je to jedino rje?enje.

U takvim problemima nije uvijek potrebno specificirati naboje ili potencijale u cijelom prostoru. Za pronala?enje elektri?nog polja u ?upljini okru?enoj provodljivim omota?em, dovoljno je izra?unati polje tijela unutar njega.

Bilo koje rje?enje Poissonove jednad?be ograni?ene povr?ine mo?e se odrediti grani?nim uvjetima koji su nametnuti pona?anju rje?enja. Granice prelaska iz jednog okru?enja u drugo imaju uslove koji moraju biti ispunjeni:

E 2 n - E 1 n = 4 p s , ili ? f 1 ? n - ? f 2 ? n = 0 .

E 1 t = E 2 t .

gdje je s povr?inska ?upljina slobodnih naboja, n je jedini?ni vektor normale na me?upovr?inu povu?en od sredine 1 do 2, t je jedini?ni vektor tangente na su?elje.

Ove jednad?be izra?avaju skok u normalnim komponentama vektora ja?ine i kontinuitet tangente vektora jakosti elektri?nog polja pri prolasku kroz bilo koju nabijenu povr?inu, bez obzira na njen oblik i prisustvo ili odsustvo naelektrisanja izvan nje.

Poissonova jednad?ba u sfernim, polarnim i cilindri?nim koordinatama

Jedna?ina se mo?e napisati koriste?i kartezijanske koordinate, kao i sferne, cilindri?ne, polarne.

U prisustvu sfernih r, th, y, Poissonova jedna?ina ?e biti napisana kao:

1 r 2 ? ? r r 2 ? f ? r + 1 r 2 sin th ? th sin th ? f ? th + ? 2 f r 2 sin 2 th ? r e = f.

U polarnom r, th:

1 r ? ? r r ? f ? r + ? 2 f r 2 ? th 2 = - 1 e 0 r .

U cilindri?nom r, y, z:

1 r ? ? r r ? f ? r + ? 2 f ? z 2 + ? 2 f r 2 ? y 2 = - 1 e 0 r .

Primjer 1

Prona?ite polje izme?u koaksijalnih cilindara polupre?nika r 1 i r 2 i sa raspolo?ivom potencijalnom razlikom ? U = f 1 - f 2 .

Slika 1

Rje?enje

Potrebno je popraviti Laplaceovu jedna?inu sa cilindri?nim koordinatama, uzimaju?i u obzir aksijalnu simetriju:

1 r ? ? r r ? f ? r = 0 .

Rje?enje ima oblik f = - A ln (r) + B . Da biste to u?inili, odaberite nulti potencijal na ?eljenom cilindru, a zatim:

f (r 2) \u003d 0 \u003d - A ln r 2 + B, dakle

f (r 1) = ? U = - A ln r 1 + B , dobijamo:

A = ? U ln r 2 r 1 .

Nakon konverzije:

f (r) = - ? U ln r 2 r 1 ln (r) + ? U ln r 2 r 1 ln r 2 .

odgovor: polje sa dva koaksijalna cilindra mo?e se dati funkcijom f (r) = - ? U ln r 2 r 1 ln (r) + ? U ln r 2 r 1 ln r 2 .

Primjer 2

Prona?ite potencijal polja koje stvara beskona?no okrugli cilindar polupre?nika R i zapreminske gustine naboja r. Koristite Poissonovu jedna?inu.

Rje?enje

Potrebno je usmjeriti os Z du? ose cilindra. Mo?e se vidjeti da je cilindri?na raspodjela naboja aksijalno simetri?na, potencijal ima istu simetriju, drugim rije?ima, smatra se funkcijom f (r) pri ?emu je r udaljenost od ose cilindra. Rje?enje koristi cilindri?ni koordinatni sistem. Poissonova jedna?ina u njoj ?e biti napisana kao:

f 2 = C 2 ln r + C " 2 .

C 1 , C " 1 , C 2 , C " 2 su konstante integracije. Imamo da potencijal u svim ta?kama mora biti kona?an, a l i m r -> 0 ln r = ? . Iz toga slijedi da je C 1 = 0 . Zatim je potrebno normalizirati potencijal koriste?i uvjet f 1 (0) = 0 . Dobijamo C" 1 = 0.

Nema povr?inskih naelektrisanja, tako da je ja?ina elektri?nog polja na povr?ini lopte neprekidna. Stoga je i derivacija potencijala kontinuirana za r = R, ba? kao i sam potencijal. Na osnovu uslova mo?ete prona?i C 2, C " 2:

C 2 ln R + C " 2 = - 1 4 r e 0 R 2 .

C 2 R = - 1 2 r e 0 R .

Dakle, rezultiraju?i izrazi se zapisuju kao:

odgovor: potencijal polja je:

Ako primijetite gre?ku u tekstu, ozna?ite je i pritisnite Ctrl+Enter

Gaussova teorema je primjenjiva samo za tijela jednostavne konfiguracije. Poisson-Laplaceova jednad?ba omogu?ava rje?avanje mnogo slo?enijih problema, te se jednad?be koriste u svim stacionarnim poljima, kako elektri?nim tako i magnetskim.

Izbacimo znak "-" za znak divergencije:

.

Zamenimo div i grad na :

.

je Poissonova jedna?ina;

– Laplaceova jedna?ina;

- Laplace.

U kartezijanskom koordinatnom sistemu:

– Laplaceova jedna?ina;

je Poissonova jedna?ina.

Ako a zavisi samo od 1. koordinate, tada se problem rje?ava 2-strukom integracijom preko ove koordinate, sa 2 ili vi?e koordinata, postoje posebne metode za rje?avanje jedna?ine: metoda mre?e, numeri?ka metoda prora?una.

Teorema jedinstvenosti rje?enja

Poisson-Laplaceova jednad?ba koja opisuje elektri?no polje je parcijalna diferencijalna jedna?ina. Stoga postoji mnogo rje?enja neovisnih jedno o drugom.

Za rje?enje postoji teorema jedinstvenosti:

Od ?itavog skupa funkcija koje zadovoljavaju Poisson-Laplaceovu jedna?inu, postoji samo jedna koja zadovoljava grani?ne uslove.

Postoje dvije posljedice toga:

Polje u nekom dijelu prostora ne?e se promijeniti ako se naboji preraspodijele s druge strane me?usklopa izme?u dva medija tako da se grani?ni uvjeti ne mijenjaju

Ekvipotencijalna povr?ina mo?e se zamijeniti metalnom, daju?i joj odre?eni potencijal.

Metoda zrcalne slike

Ako se elektri?ni naboji nalaze blizu granice dva razli?ita medija, tada se vektor polja mo?e odrediti primjenom metode umjetnog prora?una, koja se zove metoda zrcalne slike.

Ideja metode je da se umjesto nehomogenog medija razmatra homogena sredina, dok se utjecaj nehomogenosti uzima u obzir uvo?enjem fiktivnih naboja, zapisuju se grani?ni uvjeti glavnog problema i koriste?i ih se tra?eni vektori polja su prona?eni. Ova metoda je najpogodnija za izra?unavanje me?uprostora izme?u dva medija pravilnog oblika.

Prora?un na su?elju izme?u dva medija

Polje nabijene ose koja se nalazi u blizini provodne ravni

(dielektrik - provodnik)

Nabijena os se nalazi u dielektriku paralelno s povr?inom provodnog medija. Potrebno je odrediti prirodu polja u gornjoj poluravni (dielektrik).

Kao rezultat elektrostati?ke indukcije, na povr?ini provodnog tijela pojavljuju se naboji. Njihova gustina se mijenja s promjenom koordinata x. Ovi naboji uti?u na polje i njihov uticaj se mora uzeti u obzir. Vrlo je te?ko uzeti u obzir utjecaj naelektrisanja koji su nastali na povr?ini provodnog tijela uslijed elektrostati?ke indukcije, jer je potrebno poznavati zakon njihove raspodjele po povr?ini provodnog tijela. Ovaj problem se lako mo?e rije?iti kori?tenjem metode zrcalne slike. Prema metodi, utjecaj naboja koji se nalaze na povr?ini provodnog tijela se uzima u obzir uvo?enjem fiktivnog koncentriranog naboja smje?tenog u zrcalnoj refleksiji u odnosu na granicu, dok se pretpostavlja da je cijeli prostor ispunjen dielektrikom. . Fiktivni naboj je po apsolutnoj vrijednosti jednak stvarnom i ima suprotan predznak.

Doka?imo to. Ja?ina polja od dva punjenja
i
u bilo kojoj ta?ki polja ima samo komponentu normalnu na granicu (grani?ni uslov
). Potencijal svake od osi zadovoljava Laplaceovu jedna?inu
(izvo?enje ra?una. Bessonov TOE str. 42 (formula za potencijal naelektrisane ose je zamenjena u Laplasovu jedna?inu u cilindri?nom koordinatnom sistemu)). Na osnovu teoreme jedinstvenosti za rje?enje, rezultiraju?e rje?enje je istinito.

Nabijena os se nalazi u dielektriku paralelno s povr?inom provodnog medija. Potrebno je odrediti ja?inu elektrostati?kog polja i potencijal u ta?ki A.

Primjenjujemo metodu zrcalnih slika. I prona?i ?emo ja?inu polja i potencijal u ta?ki A koriste?i metodu superpozicije

;

;

;
.

za poen
:
.

Odredite silu privla?enja ?ice na vodljivu povr?inu:

.

Polje nabijene ose koja se nalazi u blizini ravne granice izme?u dva dielektrika razli?ite permitivnosti

(Dielektrik - Dielektrik)

U ovom slu?aju, nekompenzovana vezana naelektrisanja indukovana na interfejsu uti?u na polje u obe sfere; za njih se uvode dva fiktivna naelektrisanja. U ovom problemu moraju biti zadovoljena dva grani?na uslova.

a) Ako su realna ?ica i ta?ka koja se prou?avaju u istom mediju, tada se polje izra?unava iz dva naboja: realnog , cijeli prostor je ispunjen dielektrikom, u kojem se nalazi ta?ka koja se prou?ava.

b) Ako su stvarna ?ica i ta?ka koja se prou?avaju u razli?itim medijima, tada se polje u bilo kojoj ta?ki donjeg poluprostora definira kao polje nekog dodatnog naboja . ?itav prostor je ispunjen dielektrikom medija u kojem se nalazi ta?ka koja se prou?ava.

Iz uslova jednakosti tangencijalnih komponenti ja?ine polja:

.

Iz uslova jednakosti normalnih komponenti vektora elektri?nog pomaka:

.

.

Zajedni?kim re?avanjem dobijamo:

;

;
.

Potpi?i ?e se podudarati sa ako
.

Potpi?i uvek ?e biti kao .

Nabijena os se nalazi u dielektriku paralelno s povr?inom drugog dielektrika. Potrebno je odrediti ja?inu elektrostati?kog polja i potencijal u ta?ki A i B. Neka
.

Razmotrite ta?ku A. Le?i u istoj sredini sa naelektrisanom osom. Koristimo metodu ogledala. Sve punimo medijumom sa dielektri?nom konstantom . Polje se izra?unava iz dva naboja: realnog i preslikana fiktivna optu?ba . Primjenjujemo metodu zrcalnih slika. Ja?inu polja i potencijal u ta?ki A nalazimo metodom superpozicije:

;

;

;
.

Uzmimo ta?ku sa nultim potencijalom na interfejsu ispod jedne od ?ica

.

Razmotrite ta?ku B. Le?i u razli?itim medijima sa nabijenom osom. Koristimo metodu ogledala. Sve punimo medijumom sa dielektri?nom konstantom . Polje se izra?unava iz fiktivne naplate , koji se nalazi na istoj ta?ki gdje je bio pravi naboj .

;

.

Napomena: ako to?ka koja se prou?ava le?i na povr?ini ?ice, tada je udaljenost od ?ice do to?ke koja se prou?ava jednaka polumjeru ?ice.

Ta?kasto punjenje blizu granice

Dielektrik - Provodnik i Dielektrik - Dielektrik

Ako polje nije stvoreno nabijenom osom, ve? to?kastim nabojem, tada je cijeli postupak prora?una sa?uvan.

Ta?kasti naboj le?i u blizini su?elja dielektrik-vodi?. Prona?ite ja?inu polja i potencijal u ta?ki A.

U obrazovne svrhe, ?elio bih govoriti o jedna?inama koje su kori?tene u izvo?enju Debye-H?ckelove jedna?ine. Ovo je Poissonova jedna?ina i Boltzmannova raspodjela.

Poissonova jednad?ba

Otkrili smo da je plazma kvazineutralna u ravnote?nom stanju i da se pod djelovanjem elektri?nog polja iz pokretnih naboja nabijene ?estice pomjeraju za Debajevu du?inu i polje opada unutar te du?ine. U elektrostatici, interakcija naelektrisanih ?estica opisuje se Kulonovom jedna?inom:

Gdje su vrijednosti me?udjeluju?ih ta?kastih naboja, je kvadrat udaljenosti izme?u naboja. Koeficijent k je konstanta. Ako koristimo sistem u CGS elektrostati?kim jedinicama, ozna?enim CGSEq, tada je k = 1. Ako se koristi SI sistem, onda je , gdje je dielektri?na konstanta medija u kojem se nalaze naelektrisanja, elektri?na konstanta jednaka 8,86 ? .

U fizici se sila ne koristi direktno, ve? se uvodi koncept elektrostati?kog polja raspore?enih naelektrisanja i polje se meri veli?inom ja?ina elektri?nog polja. Da biste to u?inili, mentalno postavite jedno probno naelektrisanje u svaku ta?ku polja i izmjerite silu kojom polje naboja djeluje na probni naboj:

Dakle, ako zamenimo Kulonovu silu u ovu jedna?inu, dobi?emo:
Ali fizi?ari nisu ograni?eni ni na ovo, kako bi u potpunosti opisali elektri?no polje. Zamislite jedini?no naelektrisanje postavljeno u elektrostati?ko polje. Polje obavlja posao pomicanja ovog naboja za elementarnu udaljenost ds od ta?ke P1 do ta?ke P2:
Vrijednost se naziva razlika potencijala ili napon. Napon se mjeri u voltima. Znak minus nam govori da samo polje radi da nosi jedinicu pozitivnog naboja. Sile koje pokre?u naboje su konzervativne, budu?i da je rad na zatvorenoj putanji uvijek jednak nuli, bez obzira po kojoj se putanji naboj kre?e.

Iz ovoga slijedi duboko zna?enje razlike potencijala. Ako fiksiramo ta?ku P1 i premjestimo naboj u promjenjivu ta?ku P2, tada rad ovisi samo o polo?aju druge to?ke P2. Tako mo?emo uvesti koncept potencijala. Potencijal je funkcija sile koja pokazuje koliko rada polje treba da uradi da bi pomerilo naelektrisanje od beskona?nosti do date ta?ke P2, gde se potencijal u beskona?nosti uslovno uzima kao nula.

Da biste razumjeli Poissonovu jedna?inu, morate razumjeti "specijalnu" vektorsku matematiku. Ukratko ?u govoriti o konceptima kao ?to su gradijent polja i divergencija (pretpostavlja se da je ?italac upoznat sa matemati?kom analizom)
Neka je f(x,y,z) neka kontinuirana diferencijabilna funkcija koordinata. Poznavaju?i njegove parcijalne izvode u svakoj ta?ki u prostoru, mo?ete konstruirati vektor ?ije su komponente x, y, z jednake odgovaraju?im parcijalnim derivacijama:

gdje su jedini?ni vektori odgovaraju?ih osa x, y, z. Ikona se ?ita "nabla" i predstavlja diferencijalni operator
Ovaj operator je u matematiku uveo Hamilton. Pomo?u nabla mo?ete izvoditi uobi?ajene matemati?ke operacije kao ?to su zajedni?ki proizvod, ta?kasti proizvod, unakrsni proizvod i tako dalje.

Sada se vratimo na elektrostati?ko polje E. S jedne strane, promjena potencijala pri kretanju iz jedne ta?ke u drugu ima sljede?i oblik:

S druge strane, prema formuli (*)
Primjenom koncepta gradijenta koji je upravo uveden, ova formula se transformira u:
Sada se pozabavimo takvim konceptom kao ?to je divergencija polja. Razmotrimo kona?ni zatvoreni volumen V proizvoljnog oblika (vidi sliku ispod). Ozna?imo povr?inu ove povr?ine S. Ukupan protok vektora F koji izlazi iz ovog volumena je, po definiciji, jednak
, gdje je da beskona?no mali vektor, ?ija je veli?ina jednaka povr?ini malog elementa povr?ine S, a smjer se poklapa s vanjskom normalom na ovaj element.
Uzmimo ovaj tok vektora F i podijelimo ga sa zapreminom i na?emo granicu kako te?i nuli, tj. skupit ?emo volumen na beskona?no malu ta?ku.

Do?li smo do koncepta divergencije. Divergencija je ozna?ena simbolom div i predstavlja odnos protoka vektora F i zapremine V, pri ?emu V te?i nuli.

Prije nego ?to poka?emo kako se dobija Poissonova jedna?ina, va?no je poznavati Gaussov zakon i Gaussovu teoremu. Zamislite sferu sa nabojem q unutra. Naelektrisanje stvara oko sebe elektri?no polje intenziteta E. Uzmimo tok vektora E

gdje je S povr?ina na?e sfere jednaka . Shodno tome
Ovo je Gaussov zakon, koji ka?e da je protok elektri?nog polja E kroz bilo koju zatvorenu povr?inu jednak proizvodu ukupnog naboja pokrivenog povr?inom:
gdje je gustina prostornog naboja, tj. vrijednost elektri?nog naboja po jedinici volumena, i elementarni volumen dodijeljen unutar na?eg zatvorenog volumena.

Gaussova teorema (pun naziv je Gauss-Ostrogradski teorem) je ?isto matemati?ka teorema divergencije. Prepi?imo ukupni tok vektora F na sljede?i na?in:

U granici, kada je N -> ?, ->0, vrijednost u zagradama postaje divergencija i zbir prelazi u integral volumena:
Ovo je Gaussov teorem i zaista je najva?nija formula teorije polja. Primijenimo ovu teoremu na elektrostati?ko polje. S jedne strane, prema Gaussovom zakonu
A s druge strane, prema Gaussovom teoremu (samo nemojte brkati teoremu s Gaussovim zakonom):
Kombinacijom posljednje dvije jedna?ine dobijamo:
Prisjetite se formule (**) i zamijenite ovdje umjesto E potencijal polja
Gradijentna divergencija je novi operator, koji se u matematici naziva Laplasov operator, ili skra?eno Laplasov. Laplasov je ozna?en ikonom nabla na sljede?i na?in i jednak je
Prepi?imo prethodnu formulu u obliku Laplasijana:
Kona?no, imamo Poissonovu jedna?inu. U prvom ?lanku ova je jednad?ba bila u malo druga?ijem obliku, uzimaju?i u obzir dielektri?nu konstantu medija. Setite se Kulonove sile u SI sistemu, postoji konstanta. Prema tome, u Gaussovom zakonu ne?e postojati koeficijent. Tako dobijamo Poissonovu jedna?inu u obliku predstavljenom u prethodnom ?lanku
Dakle, u su?tini, Poissonova jedna?ina je Coulombov zakon (ili bolje re?eno, Gaussov zakon) prepisan u druga?ijem obliku, u notaciji vektorske diferencijalne analize.

U nastavku ?emo analizirati va?nu distribuciju iz matemati?ke statistike - Boltzmannovu raspodjelu.

Tagovi:

• fizike
• elektrostatika

Dodaj oznake

Poissonove i Laplaceove jedna?ine su osnovne jedna?ine elektrostatike. Oni slijede iz Gaussove teoreme u diferencijalnom obliku. Zaista, to je poznato E = - grad j. Istovremeno, prema Gaussovoj teoremi

Zamjena u (11.22) E iz (11.7). Get

.

Uzmimo minus iz znaka divergencije

.

Umjesto pisanja gradj, pi?emo njegov ekvivalent ?j. Napi?imo ? umjesto div. Onda

Jedna?ina (11.27) se naziva Poissonova jedna?ina. Odre?eni oblik Poissonove jedna?ine, kada je r svb =0, naziva se Laplaceova jedna?ina. Laplaceova jednad?ba se pi?e na sljede?i na?in:

Operator se naziva Laplasov operator ili Laplasov i ponekad je tako?e ozna?en simbolom D. Stoga ponekad mo?ete prona?i ovaj oblik pisanja Poissonove jedna?ine:

Otvorimo ga u kartezijanskom koordinatnom sistemu. U tu svrhu zapisujemo proizvod dva faktora ? i to u pro?irenom obliku

Izvodimo mno?enje ?lan po ?lan i dobijemo

.

Dakle, Poissonova jedna?ina u Dekartovom koordinatnom sistemu bi?e napisana na slede?i na?in:

. (11.29)

Laplaceova jednad?ba u kartezijanskim koordinatama

. (11.30)

Dajemo bez izvo?enja izraz ? 2 j u cilindri?nom koordinatnom sistemu

, (11.31)

u sfernim koordinatama (11.32)

Poissonova jednad?ba daje odnos izme?u parcijalnih izvoda drugog reda j u bilo kojoj ta?ki polja i zapreminsku gustinu slobodnih naelektrisanja u ovoj ta?ki polja. Istovremeno, potencijal j u bilo kojoj ta?ki polja zavisi, naravno, od svih naelektrisanja koje stvaraju polje, a ne samo od veli?ine slobodnog naboja koji se nalazi u datoj ta?ki.

Laplaceova jednad?ba (1780) prvobitno je primijenjena za opisivanje potencijalnih polja u nebeskoj mehanici, a kasnije je kori?tena za opisivanje elektri?nih polja. Poissonova jedna?ina se primjenjuje na prou?avanje potencijalnih polja (elektri?nih i magnetskih) od 1820. godine.

Razmotrimo pitanje kako se rje?enje Poissonove jednad?be mo?e napisati u op?enitom obliku. Pustite u volumen V postoje zapreminski (r), povr?inski (s) i linearni (t) naboji. Ove naknade predstavljamo kao skupove bodovnih naknada rdv, sds, tdl; dV- element zapremine, ds- nabijeni povr?inski element, dl- du?inski element nabijene ose. Potencijalna komponenta dj u nekoj ta?ki svemira daleko od rdV na daljinu R, u skladu sa formulom (11.20) je jednako

Komponente potencijala iz povr?inskog i linearnog naelektrisanja, smatraju?i ih ta?kastim, defini?emo na sli?an na?in:

Puno zna?enje j definira se kao zbir (integral) komponenti potencijala iz svih naboja u polju:

. (11.33)

U formuli (11.33) r,s i t postoje funkcije radijusa R. U praksi se formula (11.33) rijetko koristi, od distribucije s na povr?ini t u du?ini i r zapremina na slo?en na?in zavisi od konfiguracije elektroda i, po pravilu, nije poznata pre prora?una. Drugim rije?ima, nepoznato je kako r, s i t zavisi od radijusa R.

Grani?ni uslovi

Grani?ni uvjeti se podrazumijevaju kao uvjeti kojima se polje pokorava na su?eljima izme?u medija s razli?itim elektri?nim svojstvima. U prou?avanju odjeljka "prijelazni procesi" pitanje po?etnih uslova i zakona komutacije bilo je od izuzetnog zna?aja. Po?etni uslovi i zakoni prebacivanja omogu?ili su odre?ivanje konstanti integracije u rje?avanju problema klasi?nom metodom. U klasi?noj metodi kori?teni su eksplicitno, u operatorskoj metodi kori?teni su u skrivenom obliku. Bez njihove upotrebe nemogu?e je rije?iti bilo koji zadatak za prolazne procese.

Mo?e se povu?i paralela izme?u uloge grani?nih uslova u elektri?nom (i u bilo kom drugom) polju i uloge po?etnih uslova i zakona prebacivanja u prelaznim procesima. Prilikom integracije Laplaceove (ili Poissonove) jedna?ine, integracijske konstante ?e u?i u rje?enje. Oni se odre?uju na osnovu grani?nih uslova. Prije nego ?to pre?emo na detaljnu raspravu o grani?nim uvjetima, razmotrimo pitanje polja unutar provodnog tijela u elektrostati?kim uvjetima.