Mnogi u?enici se zaglave u jednad?bi ove vrste. Istovremeno, sami zadaci nikako nisu slo?eni - dovoljno je samo izvr?iti kompetentnu zamjenu varijable, za koju biste trebali nau?iti kako izolirati stabilne izraze.

Uz ovu lekciju, na?i ?ete prili?no obimni samostalni rad, koji se sastoji od dvije opcije sa po 6 zadataka.

Metoda grupisanja

Danas ?emo analizirati dvije logaritamske jednad?be, od kojih se jedna ne mo?e rije?iti "u cijelosti" i zahtijeva posebne transformacije, a druga ... me?utim, ne?u re?i sve odjednom. Pogledajte video, preuzmite samostalni rad - i nau?ite kako rije?iti slo?ene probleme.

Dakle, grupisanje i uzimanje zajedni?kih faktora iz zagrade. Uz to, re?i ?u vam koje zamke nosi domen definicije logaritama i kako male primjedbe na domenu definicija mogu zna?ajno promijeniti i korijene i cijelo rje?enje.

Po?nimo sa grupisanjem. Moramo rije?iti sljede?u logaritamsku jedna?inu:

log 2 x log 2 (x - 3) + 1 = log 2 (x 2 - 3x )

Prije svega, primje?ujemo da se x 2 - 3x mo?e faktorizirati:

log 2 x (x - 3)

Tada se prisje?amo divne formule:

log a fg = log a f + log a g

Odmah mala napomena: ova formula radi dobro kada su a, f i g obi?ni brojevi. Ali kada umjesto njih postoje funkcije, ti izrazi prestaju biti jednaki u pravima. Zamislite ovu hipoteti?ku situaciju:

f< 0; g < 0

U ovom slu?aju, proizvod fg ?e biti pozitivan, dakle log a ( fg ) ?e postojati, ali log a f i log a g ne?e postojati odvojeno i ne mo?emo izvr?iti takvu transformaciju.

Ignoriranje ove ?injenice ?e dovesti do su?avanja domena definicije i, kao rezultat, do gubitka korijena. Stoga, prije izvo?enja takve transformacije, potrebno je unaprijed osigurati da su funkcije f i g pozitivne.

U na?em slu?aju, sve je jednostavno. Po?to postoji funkcija log 2 x u originalnoj jedna?ini, onda je x > 0 (na kraju krajeva, varijabla x je u argumentu). Postoji i log 2 (x - 3), pa je x - 3 > 0.

Stoga ?e u log funkciji 2 x (x - 3) svaki faktor biti ve?i od nule. Dakle, proizvod mo?emo sa sigurno??u rastaviti u zbroj:

log 2 x log 2 (x - 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x - 3)

log 2 x log 2 (x - 3) + 1 - log 2 x - log 2 (x - 3) = 0

Na prvi pogled mo?e izgledati da nije postalo lak?e. Naprotiv: broj termina se samo pove?avao! Da bismo razumjeli kako dalje, uvodimo nove varijable:

log 2 x = a

log 2 (x - 3) = b

a b + 1 - a - b = 0

A sada grupi?emo tre?i pojam sa prvim:

(a b - a) + (1 - b) = 0

a (1 b - 1) + (1 - b ) = 0

Imajte na umu da i prva i druga zagrada sadr?e b - 1 (u drugom slu?aju, mora?ete da izvadite „minus“ iz zagrade). Faktorizirajmo na?u konstrukciju:

a (1 b - 1) - (b - 1) = 0

(b - 1)(a 1 - 1) = 0

A sada se prisje?amo na?eg divnog pravila: proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli:

b - 1 = 0 => b = 1;

a - 1 = 0 => a = 1.

Prisjetimo se ?ta su b i a. Dobijamo dvije jednostavne logaritamske jednad?be u kojima ostaje samo da se rije?imo znakova log i izjedna?imo argumente:

log 2 x = 1 => log 2 x = log 2 2 => x 1 =2;

log 2 (x - 3) = 1 => log 2 (x - 3) = log 2 2 => x 2 = 5

Dobili smo dva korijena, ali ovo nije rje?enje originalne logaritamske jednad?be, ve? samo kandidati za odgovor. Sada provjerimo domenu. Za prvi argument:

x > 0

Oba korijena zadovoljavaju prvi zahtjev. Pre?imo na drugi argument:

x - 3 > 0 => x > 3

Ali ovdje nas ve? x = 2 ne zadovoljava, ali nam x = 5 sasvim odgovara. Dakle, jedini odgovor je x = 5.

Prelazimo na drugu logaritamsku jedna?inu. Na prvi pogled je mnogo jednostavnije. Me?utim, u procesu rje?avanja razmotrit ?emo suptilne ta?ke vezane za domen definicije, ?ije nepoznavanje zna?ajno ote?ava ?ivot studenata po?etnika.

log 0,7 (x 2 - 6x + 2) = log 0,7 (7 - 2x)

Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednad?be. Ne morate ni?ta pretvarati - ?ak su i baze iste. Stoga, jednostavno izjedna?avamo argumente:

x 2 - 6x + 2 = 7 - 2x

x 2 - 6x + 2 - 7 + 2x = 0

x 2 - 4x - 5 = 0

Pred nama je data kvadratna jednad?ba, koja se lako rje?ava kori?tenjem Vieta formula:

(x - 5) (x + 1) = 0;

x - 5 = 0 => x = 5;

x + 1 = 0 => x = -1.

Ali ovi korijeni jo? nisu kona?ni odgovori. Neophodno je prona?i domen definicije, po?to u originalnoj jedna?ini postoje dva logaritma, tj. striktno je neophodno uzeti u obzir domen definicije.

Dakle, hajde da napi?emo domen definicije. S jedne strane, argument prvog logaritma mora biti ve?i od nule:

x 2 - 6x + 2 > 0

S druge strane, drugi argument tako?er mora biti ve?i od nule:

7 - 2x > 0

Ovi zahtjevi moraju biti ispunjeni u isto vrijeme. I tu po?inje ono najzanimljivije. Naravno, svaku od ovih nejednakosti mo?emo rije?iti, zatim ih presje?i i prona?i domenu cijele jedna?ine. Ali za?to sebi ote?avati ?ivot?

Primetimo jednu suptilnost. Osloba?aju?i se znakova dnevnika, izjedna?avamo argumente. To implicira da su zahtjevi x 2 - 6x + 2 > 0 i 7 - 2x > 0 ekvivalentni. Kao posljedica toga, bilo koja od dvije nejednakosti mo?e biti precrtana. Precrtajmo najte?e, a uobi?ajenu linearnu nejednakost ostavimo za sebe:

-2x > -7

x< 3,5

Kako smo obje strane dijelili negativnim brojem, predznak nejednakosti se promijenio.

Dakle, na?li smo ODZ bez ikakvih kvadratnih nejednakosti, diskriminanata i ukr?tanja. Sada ostaje samo odabrati korijene koji le?e na ovom intervalu. O?igledno ?e nam odgovarati samo x = -1, jer je x = 5 > 3.5.

Mo?ete zapisati odgovor: x = 1 je jedino rje?enje originalne logaritamske jednad?be.

Zaklju?ci iz ove logaritamske jednad?be su sljede?i:

1. Nemojte se pla?iti da ?inite logaritme, a zatim ?inite zbir logaritama. Me?utim, zapamtite da razbijanjem proizvoda na zbir dva logaritma, time su?avate domen definicije. Stoga, prije izvo?enja takve konverzije, obavezno provjerite koji su zahtjevi za opseg. Naj?e??e ne nastaju nikakvi problemi, ali ne ?kodi jo? jednom igrati na sigurno.
2. Kada se rije?ite kanonskog oblika, poku?ajte optimizirati prora?une. Konkretno, ako se od nas tra?i da je f > 0 i g > 0, ali u samoj jednad?bi f = g , tada hrabro precrtavamo jednu od nejedna?ina, ostavljaju?i samo najjednostavniju za sebe. U ovom slu?aju, domen definicije i odgovora ne?e ni na koji na?in patiti, ali ?e se koli?ina prora?una zna?ajno smanjiti.

To je, zapravo, sve ?to sam hteo da ka?em o grupisanju. :)

Tipi?ne gre?ke u rje?avanju

Danas ?emo analizirati dvije tipi?ne logaritamske jedna?ine o koje se mnogi u?enici spoti?u. Na primjeru ovih jedna?ina vidjet ?emo koje gre?ke se naj?e??e prave u procesu rje?avanja i transformacije izvornih izraza.

Frakcijsko-racionalne jednad?be sa logaritmima

Odmah treba napomenuti da je ovo prili?no podmukla vrsta jednad?be, u kojoj razlomak s logaritmom negdje u nazivniku nije uvijek odmah prisutan. Me?utim, u procesu transformacije, takav razlomak ?e se nu?no pojaviti.

Istovremeno, budite oprezni: u procesu transformacija, po?etni domen definicije logaritama mo?e se zna?ajno promijeniti!

Okre?emo se jo? rigidnijim logaritamskim jednad?bama koje sadr?e razlomke i promjenjive baze. Da bih uradio vi?e u jednoj kratkoj lekciji, ne?u govoriti o elementarnoj teoriji. Idemo direktno na zadatke:

4 log 25 (x - 1) - log 3 27 + 2 log x - 1 5 = 1

Gledaju?i ovu jedna?inu, neko ?e se zapitati: „Kakve veze ima racionalna jedna?ina sa razlomcima? Gdje je razlomak u ovoj jednad?bi? Nemojmo ?uriti i pogledajmo pobli?e svaki termin.

Prvi ?lan: 4 log 25 (x - 1). Osnova logaritma je broj, ali argument je funkcija od x. Ne mo?emo jo? ni?ta u?initi po ovom pitanju. Pomakni se.

Sljede?i ?lan je log 3 27. Podsjetimo da je 27 = 3 3 . Dakle, cijeli logaritam mo?emo prepisati na sljede?i na?in:

log 3 27 = 3 3 = 3

Dakle, drugi mandat je samo trojka. Tre?i ?lan: 2 log x - 1 5. Ni ovdje nije sve jednostavno: baza je funkcija, argument je obi?an broj. Predla?em da okrenemo cijeli logaritam prema sljede?oj formuli:

log a b = 1/log b a

Takva transformacija se mo?e izvesti samo ako je b ? 1. U suprotnom, logaritam koji ?e se dobiti u nazivniku drugog razlomka jednostavno ne?e postojati. U na?em slu?aju, b = 5, tako da je sve u redu:

2 log x - 1 5 = 2/log 5 (x - 1)

Prepi?imo originalnu jedna?inu uzimaju?i u obzir dobijene transformacije:

4 log 25 (x - 1) - 3 + 2/ log 5 (x - 1) = 1

Imamo log 5 (x - 1) u nazivniku razlomka, a log 25 (x - 1) u prvom ?lanu. Ali 25 = 5 2, tako da vadimo kvadrat iz baze logaritma prema pravilu:

Drugim rije?ima, eksponent na bazi logaritma postaje razlomak na prednjoj strani. I izraz ?e biti prepisan ovako:

4 1/2 log 5 (x - 1) - 3 + 2/ log 5 (x - 1) - 1 = 0

Na kraju smo dobili duga?ku jednad?bu s gomilom identi?nih logaritama. Hajde da predstavimo novu varijablu:

log 5 (x - 1) = t;

2t - 4 + 2/t = 0;

Ali ovo je ve? frakciono-racionalna jednad?ba, koja se rje?ava pomo?u algebre razreda 8-9. Prvo, podijelimo to na dva:

t - 2 + 1/t = 0;

(t 2 - 2t + 1)/t = 0

Ta?an kvadrat je u zagradama. Zamotajmo ga:

(t - 1) 2 /t = 0

Razlomak je nula kada mu je brojilac nula, a imenilac razli?it od nule. Nikada ne zaboravite ovu ?injenicu:

(t - 1) 2 = 0

t=1

t ? 0

Prisjetimo se ?ta je t:

log 5 (x - 1) = 1

log 5 (x - 1) = log 5 5

Rije?imo se znakova dnevnika, izjedna?avamo njihove argumente i dobijamo:

x - 1 = 5 => x = 6

Sve. Problem rije?en. No, vratimo se na prvobitnu jedna?inu i zapamtimo da su postojala dva logaritma s promjenljivom x odjednom. Stoga morate napisati domen definicije. Po?to je x - 1 u argumentu logaritma, ovaj izraz mora biti ve?i od nule:

x - 1 > 0

S druge strane, isti x - 1 je tako?er prisutan u bazi, tako da se mora razlikovati od jedinice:

x - 1 ? 1

Stoga zaklju?ujemo:

x > 1; x ? 2

Ovi zahtjevi moraju biti ispunjeni u isto vrijeme. Vrijednost x = 6 zadovoljava oba zahtjeva, pa je x = 6 kona?no rje?enje logaritamske jedna?ine.

Pre?imo na drugi zadatak:

Opet, nemojmo ?uriti i pogledajmo svaki pojam:

log 4 (x + 1) - u osnovi je ?etvorka. Uobi?ajeni broj, i ne mo?ete ga dirati. Ali pro?li put smo nai?li na ta?an kvadrat u osnovi, koji je trebalo izvaditi ispod znaka logaritma. Uradimo isto sada:

log 4 (x + 1) = 1/2 log 2 (x + 1)

Trik je u tome ?to ve? imamo logaritam s promjenljivom x, iako u bazi - to je inverzno od logaritma koji smo upravo prona?li:

8 log x + 1 2 = 8 (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)

Sljede?i ?lan je log 2 8. Ovo je konstanta, jer su i argument i baza obi?ni brojevi. Na?imo vrijednost:

log 2 8 = log 2 2 3 = 3

Isto mo?emo u?initi i sa zadnjim logaritmom:

Sada prepi?imo originalnu jedna?inu:

1/2 log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) - 3 - 1 = 0;

log 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) - 4 = 0

Hajde da sve dovedemo do zajedni?kog imenioca:

Pred nama je opet frakciono-racionalna jednad?ba. Hajde da predstavimo novu varijablu:

t = log 2 (x + 1)

Prepi?imo jedna?inu uzimaju?i u obzir novu varijablu:

Budite oprezni: u ovom koraku sam zamenio uslove. Brojnik razlomka je kvadrat razlike:

Kao i pro?li put, razlomak je nula kada mu je brojilac nula, a imenilac razli?it od nule:

(t - 4) 2 = 0 => t = 4;

t ? 0

Dobili smo jedan korijen koji zadovoljava sve zahtjeve, pa se vra?amo na x varijablu:

log 2 (x + 1) = 4;

log 2 (x + 1) = log 2 2 4;

x + 1 = 16;

x=15

To je to, rije?ili smo jedna?inu. Ali po?to je u originalnoj jednad?bi bilo nekoliko logaritama, potrebno je ispisati domen definicije.

Dakle, izraz x + 1 je u argumentu logaritma. Dakle, x + 1 > 0. S druge strane, x + 1 je tako?e prisutan u bazi, tj. x + 1 ? 1. Ukupno:

0 ? x > -1

Da li prona?eni korijen zadovoljava ove zahtjeve? Bez sumnje. Dakle, x = 15 je rje?enje originalne logaritamske jednad?be.

Na kraju, ?elio bih re?i sljede?e: ako pogledate jedna?inu i shvatite da morate rije?iti ne?to slo?eno i nestandardno, poku?ajte istaknuti stabilne strukture, koje ?e kasnije biti ozna?ene drugom varijablom. Ako neki pojmovi uop?e ne sadr?e varijablu x, ?esto se mogu jednostavno izra?unati.

To je sve o ?emu sam danas ?elio razgovarati. Nadam se da ?e vam ova lekcija pomo?i u rje?avanju slo?enih logaritamskih jednad?bi. Pogledajte ostale video tutorijale, preuzmite i rije?ite samostalni rad, pa se vidimo u sljede?em videu!

Logaritamska jednad?ba naziva se jednad?ba u kojoj su nepoznata (x) i izrazi s njom pod znakom logaritamske funkcije. Rje?avanje logaritamskih jednad?bi pretpostavlja da ste ve? upoznati sa i .
Kako rije?iti logaritamske jednad?be?

Najjednostavnija jedna?ina je log a x = b, gdje su a i b neki brojevi, x je nepoznanica.
Rje?avanje logaritamske jednad?be je x = a b pod uslovom: a > 0, a 1.

Treba napomenuti da ako je x negdje izvan logaritma, na primjer log 2 x \u003d x-2, tada se takva jednad?ba ve? naziva mje?ovitom i potreban je poseban pristup za njezino rje?avanje.

Idealan slu?aj je kada nai?ete na jednad?bu u kojoj su samo brojevi pod znakom logaritma, na primjer x + 2 = log 2 2. Ovdje je dovoljno znati svojstva logaritma da biste je rije?ili. Ali takva sre?a se ne de?ava ?esto, pa se pripremite za te?e stvari.

Ali prvo, nakon svega, po?nimo s jednostavnim jednad?bama. Za njihovo rje?avanje po?eljno je imati najop?tiju ideju logaritma.

Rje?avanje jednostavnih logaritamskih jednad?bi

To uklju?uje jednad?be poput log 2 x \u003d log 2 16. Mo?e se vidjeti golim okom da izostavljanjem znaka logaritma dobivamo x \u003d 16.

Da bi se rije?ila slo?enija logaritamska jednad?ba, obi?no se vodi do rje?enja obi?ne algebarske jedna?ine ili do rje?enja najjednostavnije logaritamske jedna?ine log a x = b. U najjednostavnijim jedna?inama to se doga?a u jednom kretanju, zbog ?ega se nazivaju najjednostavnijim.

Navedena metoda ispu?tanja logaritama jedan je od glavnih na?ina rje?avanja logaritamskih jedna?ina i nejedna?ina. U matematici se ova operacija naziva potenciranje. Postoje odre?ena pravila ili ograni?enja za ovu vrstu operacija:

• logaritmi imaju iste numeri?ke baze
• logaritmi u oba dijela jedna?ine su slobodni, tj. bez ikakvih koeficijenata i drugih raznih vrsta izraza.

Recimo u jednad?bi log 2 x = 2log 2 (1- x), potenciranje nije primjenjivo - koeficijent 2 s desne strane ne dopu?ta. U sljede?em primjeru, log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) jedno od ograni?enja tako?er nije zadovoljeno - lijevo su dva logaritma. To bi bila jedna - sasvim druga stvar!

Op?enito, logaritme mo?ete ukloniti samo ako jednad?ba ima oblik:

log a(...) = log a(...)

Apsolutno bilo koji izrazi mogu biti u zagradama, to apsolutno ne utje?e na operaciju potenciranja. A nakon eliminacije logaritama ostat ?e jednostavnija jedna?ina - linearna, kvadratna, eksponencijalna itd., koju ve?, nadam se, znate rije?iti.

Uzmimo jo? jedan primjer:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Primjenom potenciranja dobijamo:

log 3 (2x-1) = 2

Na osnovu definicije logaritma, naime, da je logaritam broj na koji se baza mora podi?i da bi se dobio izraz koji je pod znakom logaritma, tj. (4x-1), dobijamo:

Opet, dobili smo lep odgovor. Ovdje smo pro?li bez eliminacije logaritama, ali potenciranje je primjenjivo i ovdje, jer se logaritam mo?e napraviti od bilo kojeg broja, i to upravo onog koji nam je potreban. Ova metoda je od velike pomo?i u rje?avanju logaritamskih jednad?bi, a posebno nejedna?ina.

Re?imo na?u logaritamsku jedna?inu log 3 (2x-1) = 2 koriste?i potenciranje:

Predstavimo broj 2 kao logaritam, na primjer, takav log 3 9, jer je 3 2 =9.

Zatim log 3 (2x-1) = log 3 9 i opet dobijamo istu jedna?inu 2x-1 = 9. Nadam se da je sve jasno.

Pa smo pogledali kako rije?iti najjednostavnije logaritamske jednad?be, koje su zapravo vrlo va?ne, jer rje?enje logaritamskih jednad?bi, ?ak i oni najstra?niji i najizvrnutiji, na kraju se uvijek svode na rje?avanje najjednostavnijih jedna?ina.

U svemu ?to smo gore uradili, prevideli smo jednu veoma va?nu ta?ku, koja ?e igrati odlu?uju?u ulogu u budu?nosti. ?injenica je da se rje?enje bilo koje logaritamske jedna?ine, ?ak i one najelementarnije, sastoji od dva ekvivalentna dijela. Prvo je rje?enje same jednad?be, drugo je rad s povr?inom dozvoljenih vrijednosti (ODV). To je samo prvi dio koji smo savladali. U gornjim primjerima, ODD ni na koji na?in ne uti?e na odgovor, tako da ga nismo razmatrali.

Uzmimo jo? jedan primjer:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Spolja, ova jedna?ina se ne razlikuje od elementarne, koja se vrlo uspje?no rje?ava. Ali nije tako. Ne, naravno da ?emo to rije?iti, ali ?e najvjerovatnije biti pogre?no, jer je u tome mala zasjeda u koju odmah upadaju i C i odli?ni u?enici. Pogledajmo to izbliza.

Pretpostavimo da trebate prona?i korijen jednad?be ili zbroj korijena, ako ih ima nekoliko:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Primjenjujemo potenciranje, ovdje je to dozvoljeno. Kao rezultat, dobijamo uobi?ajenu kvadratnu jedna?inu.

Pronalazimo korijene jednad?be:

Postoje dva korijena.

Odgovor: 3 i -1

Na prvi pogled, sve je ta?no. Ali hajde da proverimo rezultat i zamenimo ga u originalnu jedna?inu.

Po?nimo sa x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Provjera je bila uspje?na, sada je red x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Da, stani! Spolja je sve savr?eno. Trenutak - nema logaritama od negativnih brojeva! A to zna?i da korijen x \u003d -1 nije prikladan za rje?avanje na?e jednad?be. I stoga ?e ta?an odgovor biti 3, a ne 2, kako smo napisali.

Tu je ODZ odigrao svoju kobnu ulogu, na koju smo zaboravili.

Da vas podsjetim da se pod podru?jem dopustivih vrijednosti prihvataju one vrijednosti x koje su dozvoljene ili imaju smisla za originalni primjer.

Bez ODZ-a, svako rje?enje, ?ak i apsolutno ispravno, bilo koje jednad?be pretvara se u lutriju - 50/50.

Kako bismo mogli biti uhva?eni dok rje?avamo naizgled elementaran primjer? I evo ga u trenutku potenciranja. Logaritmi su nestali, a s njima i sva ograni?enja.

?ta u?initi u takvom slu?aju? Odbiti eliminirati logaritme? I potpuno napustiti rje?enje ove jednad?be?

Ne, samo ?emo, kao pravi junaci iz jedne poznate pesme, obi?i!

Prije nego ?to nastavimo s rje?avanjem bilo koje logaritamske jednad?be, zapisa?emo ODZ. Ali nakon toga, mo?ete raditi ?ta god vam srce po?eli sa na?om jedna?inom. Dobiv?i odgovor, jednostavno izbacimo one korijene koji nisu uklju?eni u na? ODZ i zapi?emo kona?nu verziju.

Sada odlu?imo kako napisati ODZ. Da bismo to u?inili, pa?ljivo ispitujemo originalnu jednad?bu i tra?imo sumnjiva mjesta u njoj, kao ?to je podjela sa x, korijen parnog stepena itd. Dok ne rije?imo jedna?inu, ne znamo ?emu je x jednako, ali sigurno znamo da takav x, koji ?e prilikom zamjene dati dijeljenje sa 0 ili izvla?enje kvadratnog korijena negativnog broja, o?igledno nije prikladan za odgovor. Stoga su takvi x-ovi neprihvatljivi, dok ?e ostatak ?initi ODZ.

Koristimo ponovo istu jedna?inu:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Kao ?to vidite, nema podjele sa 0, nema ni kvadratnog korijena, ali postoje izrazi sa x u tijelu logaritma. Odmah se prisje?amo da izraz unutar logaritma uvijek mora biti > 0. Ovaj uslov je napisan u obliku ODZ:

One. jo? ni?ta nismo rije?ili, ali smo ve? zapisali obavezni uvjet za cijeli podlogaritamski izraz. Viti?asta zagrada zna?i da ovi uslovi moraju biti ispunjeni u isto vrijeme.

ODZ je zapisan, ali je potrebno i rije?iti nastali sistem nejednakosti, ?to ?emo i uraditi. Dobijamo odgovor x > v3. Sada sa sigurno??u znamo koji nam x ne?e odgovarati. I tada po?injemo rje?avati samu logaritamsku jedna?inu, ?to smo i uradili gore.

Nakon ?to smo dobili odgovore x 1 = 3 i x 2 = -1, lako je vidjeti da nam odgovara samo x1 = 3, a mi to zapisujemo kao kona?ni odgovor.

Za budu?nost je vrlo va?no zapamtiti sljede?e: bilo koju logaritamsku jedna?inu rje?avamo u 2 faze. Prvi - rje?avamo samu jedna?inu, drugi - rje?avamo uvjet ODZ-a. Obe etape se izvode nezavisno jedna od druge i upore?uju se samo prilikom pisanja odgovora, tj. odbacujemo sve nepotrebno i zapisujemo ta?an odgovor.

Za konsolidaciju materijala, toplo preporu?ujemo gledanje videa:

U videu, drugi primjeri rje?avanja log. jednad?be i izrada metode intervala u praksi.

Na ovo na tu temu, kako rije?iti logaritamske jednad?be do svega. Ako ne?to po odluci log. jednad?be su ostale nejasne ili nerazumljive, napi?ite svoja pitanja u komentarima.

Napomena: Akademija socijalnog obrazovanja (KSUE) je spremna da primi nove studente.

Uvod

Logaritmi su izmi?ljeni da ubrzaju i pojednostave prora?une. Ideja logaritma, odnosno ideja izra?avanja brojeva kao stepena iste baze, pripada Mihailu Stifelu. Ali u vrijeme Stiefela, matematika nije bila toliko razvijena i ideja logaritma nije na?la svoj razvoj. Logaritme su kasnije istovremeno i nezavisno izmislili ?kotski nau?nik D?on Napier (1550-1617) i ?vajcarac Jobst Burgi (1552-1632).Napier je prvi objavio to delo 1614. godine. pod nazivom "Opis nevjerovatne tablice logaritama", Napierova teorija logaritama data je u prili?no cjelovitom obimu, metoda za izra?unavanje logaritama je data na najjednostavniji na?in, stoga su Napierove zasluge u pronalasku logaritama ve?e od Burgijevih. B?rgi je radio na stolovima u isto vrijeme kada i Napier, ali dugo vremena dr?ao ih u tajnosti i objavio tek 1620. Napier je savladao ideju logaritma oko 1594. iako su tabele objavljene 20 godina kasnije. U po?etku je svoje logaritme nazvao "umjetnim brojevima", a tek onda je predlo?io da se ti "vje?ta?ki brojevi" nazovu jednom rije?ju "logaritam", ?to na gr?kom zna?i "korelirani brojevi", uzeti jedan iz aritmeti?ke progresije, a drugi iz aritmeti?ke progresije. geometrijska progresija posebno odabrana za to. Prve tabele na ruskom jeziku objavljene su 1703. uz u?e??e izuzetnog u?itelja 18. veka. L. F. Magnitsky. U razvoju teorije logaritama veliki zna?aj imao je rad peterbur?kog akademika Leonarda Ojlera. Bio je prvi koji je logaritam smatrao inverzom eksponencijacije, uveo je pojmove "baza logaritma" i "mantisa" Briggs je sastavio tabele logaritama sa bazom 10. Decimalne tabele su pogodnije za prakti?nu upotrebu, njihova teorija je jednostavnija od onaj Napierovih logaritama. Stoga se decimalni logaritmi ponekad nazivaju brigovi. Termin "karakteristika" uveo je Briggs.

U tim dalekim vremenima, kada su mudraci prvi put po?eli razmi?ljati o jednakostima koje sadr?e nepoznate koli?ine, vjerovatno jo? nije bilo kovanica ili nov?anika. Ali s druge strane, postojale su gomile, kao i lonci, korpe, koje su bile savr?ene za ulogu ke?-prodavnica u kojima se nalazio nepoznat broj predmeta. U drevnim matemati?kim problemima Mesopotamije, Indije, Kine, Gr?ke, nepoznate koli?ine izra?avale su broj paunova u vrtu, broj bikova u stadu, ukupnost stvari koje se uzimaju u obzir prilikom podjele imovine. Pisari, slu?benici i sve?enici upu?eni u tajno znanje, dobro obu?eni u nauci brojanja, prili?no su se uspje?no nosili s takvim zadacima.

Izvori koji su do?li do nas ukazuju da su drevni nau?nici posedovali neke op?te metode za re?avanje problema sa nepoznatim koli?inama. Me?utim, niti jedan papirus, niti jedna glinena plo?a ne daje opis ovih tehnika. Autori su svoje numeri?ke prora?une samo povremeno opskrbljivali podlim komentarima poput: "Pogledaj!", "Uradi to!", "Utvrdili ste da je ispravno". U tom smislu izuzetak je "Aritmetika" gr?kog matemati?ara Diofanta Aleksandrijskog (III vek) - zbirka zadataka za sastavljanje jedna?ina sa sistematskim prikazom njihovih re?enja.

Me?utim, rad bagdadskog u?enjaka iz 9. stolje?a postao je prvi priru?nik za rje?avanje problema koji je postao ?iroko poznat. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Rije? "al-jabr" iz arapskog naslova ove rasprave - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Knjiga o restauraciji i kontrastiranju") - vremenom se pretvorila u rije? "algebra" svima dobro poznatu, a sam rad al-Khwarizmija poslu?io je kao polazna ta?ka u razvoju nauke o rje?avanju jedna?ina.

Logaritamske jedna?ine i nejedna?ine

1. Logaritamske jednad?be

Jedna?ina koja sadr?i nepoznatu pod znakom logaritma ili u svojoj osnovi naziva se logaritamska jedna?ina.

Najjednostavnija logaritamska jednad?ba je jednad?ba oblika

log a x = b . (1)

Izjava 1. Ako a > 0, a? 1, jedna?ina (1) za bilo koju realnu b ima jedino re?enje x = a b .

Primjer 1. Rije?ite jedna?ine:

a) dnevnik 2 x= 3, b) log 3 x= -1, c)

Rje?enje. Koriste?i iskaz 1, dobijamo a) x= 2 3 ili x= 8; b) x= 3 -1 ili x= 1/3; c)

ili x = 1.

Predstavljamo glavna svojstva logaritma.

P1. Osnovni logaritamski identitet:

gdje a > 0, a? 1 i b > 0.

R2. Logaritam proizvoda pozitivnih faktora jednak je zbiru logaritama ovih faktora:

log a N jedan · N 2 = log a N 1 + log a N 2 (a > 0, a ? 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Komentar. Ako a N jedan · N 2 > 0, tada svojstvo P2 poprima oblik

log a N jedan · N 2 = log a |N 1 | +log a |N 2 | (a > 0, a ? 1, N jedan · N 2 > 0).

P3. Logaritam koli?nika dva pozitivna broja jednak je razlici izme?u logaritama dividende i djelitelja

(a > 0, a ? 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Komentar. Ako a

, (?to je ekvivalentno N 1 N 2 > 0) tada svojstvo P3 poprima oblik (a > 0, a ? 1, N 1 N 2 > 0).

P4. Logaritam stepena pozitivnog broja jednak je umno?ku eksponenta i logaritma ovog broja:

log a N k = k log a N (a > 0, a ? 1, N > 0).

Komentar. Ako a k- ?ak broj ( k = 2s), onda

log a N 2s = 2s log a |N | (a > 0, a ? 1, N ? 0).

P5. Formula za prelazak u drugu bazu je:

(a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1, N > 0),

posebno ako N = b, dobijamo

(a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1). (2)

Koriste?i svojstva P4 i P5, lako je dobiti sljede?a svojstva

(a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0), (3) (a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0), (4) (a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0), (5)

i ako u (5) c- ?ak broj ( c = 2n), javlja se

(b > 0, a ? 0, |a | ? 1). (6)

Navodimo glavna svojstva logaritamske funkcije f (x) = log a x :

1. Domen logaritamske funkcije je skup pozitivnih brojeva.

2. Opseg vrijednosti logaritamske funkcije je skup realnih brojeva.

3. Kada a> 1 logaritamska funkcija je striktno rastu?a (0< x 1 < x 2 log a x 1 < loga x 2), i na 0< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2 log a x 1 > log a x 2).

4 log a 1 = 0 i log a a = 1 (a > 0, a ? 1).

5. Ako a> 1, tada je logaritamska funkcija negativna za x(0;1) i pozitivan je za x(1;+?), a ako je 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x? (0;1) i negativan je za x (1;+?).

6. Ako a> 1, tada je logaritamska funkcija konveksna prema gore, i ako a(0;1) - konveksno nadole.

Sljede?i iskazi (vidi, na primjer, ) se koriste u rje?avanju logaritamskih jedna?ina.

Ovim videom zapo?injem dugu seriju lekcija o logaritamskim jednad?bama. Sada imate tri primjera odjednom, na osnovu kojih ?emo nau?iti rje?avati najjednostavnije zadatke, koji se zovu tako - protozoa.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Da vas podsjetim da je najjednostavnija logaritamska jednad?ba sljede?a:

log a f(x) = b

Va?no je da je varijabla x prisutna samo unutar argumenta, odnosno samo u funkciji f(x). A brojevi a i b su samo brojevi i ni u kom slu?aju nisu funkcije koje sadr?e varijablu x.

Osnovne metode rje?enja

Postoji mnogo na?ina za rje?avanje takvih struktura. Na primjer, ve?ina nastavnika u ?koli predla?e ovaj na?in: Odmah izrazite funkciju f ( x ) koriste?i formulu f( x ) = a b . Odnosno, kada upoznate najjednostavniju konstrukciju, mo?ete odmah pre?i na rje?enje bez dodatnih radnji i konstrukcija.

Da, naravno, odluka ?e se pokazati ispravnom. Me?utim, problem sa ovom formulom je ?to ve?ina studenata ne razumijem, odakle dolazi i za?to ta?no di?emo slovo a na slovo b.

Kao rezultat toga, ?esto primje?ujem vrlo uvredljive gre?ke, kada se, na primjer, ova slova zamjenjuju. Ovu formulu treba ili razumjeti ili zapamtiti, a druga metoda dovodi do gre?aka u najnepovoljnijim i najpresudnijim trenucima: na ispitima, testovima itd.

Zato svim svojim u?enicima predla?em da napuste standardnu ?kolsku formulu i koriste drugi pristup za rje?avanje logaritamskih jednad?bi, koji se, kao ?to ste vjerovatno iz naziva pogodili, zove kanonski oblik.

Ideja o kanonskom obliku je jednostavna. Pogledajmo ponovo na? zadatak: na lijevoj strani imamo log a , dok slovo a ozna?ava upravo broj, a ni u kom slu?aju funkciju koja sadr?i varijablu x. Dakle, ovo slovo podlije?e svim ograni?enjima koja su nametnuta na osnovu logaritma. naime:

1 ? a > 0

S druge strane, iz iste jednad?be vidimo da logaritam mora biti jednak broju b, a za ovo slovo se ne name?u nikakva ograni?enja, jer mo?e imati bilo koju vrijednost – i pozitivnu i negativnu. Sve ovisi o tome koje vrijednosti zauzima funkcija f(x).

I ovdje se prisje?amo na?eg divnog pravila da bilo koji broj b mo?e biti predstavljen kao logaritam u bazi a od a do stepena b:

b = log a a b

Kako zapamtiti ovu formulu? Da, vrlo jednostavno. Napi?imo sljede?u konstrukciju:

b = b 1 = b log a a

Naravno, u ovom slu?aju nastaju sva ograni?enja koja smo zapisali na po?etku. A sada iskoristimo osnovno svojstvo logaritma i unesite faktor b kao stepen a. Dobijamo:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Kao rezultat toga, originalna jedna?ina ?e biti prepisana u sljede?em obliku:

log a f (x) = log a a b -> f (x) = a b

To je sve. Nova funkcija vi?e ne sadr?i logaritam i rje?ava se standardnim algebarskim tehnikama.

Naravno, neko ?e sada prigovoriti: za?to je uop?e bilo potrebno smi?ljati nekakvu kanonsku formulu, za?to izvoditi dva dodatna nepotrebna koraka, ako je bilo mogu?e odmah i?i od prvobitne konstrukcije do kona?ne formule? Da, makar samo zato ?to ve?ina u?enika ne razumije odakle dolazi ova formula i kao rezultat toga redovno grije?e prilikom primjene.

Ali takav slijed radnji, koji se sastoji od tri koraka, omogu?ava vam da rije?ite originalnu logaritamsku jednad?bu, ?ak i ako ne razumijete odakle dolazi ta kona?na formula. Usput, ovaj unos se zove kanonska formula:

log a f(x) = log a a b

Pogodnost kanonskog oblika je i u ?injenici da se mo?e koristiti za rje?avanje vrlo ?iroke klase logaritamskih jednad?bi, a ne samo onih najjednostavnijih koje danas razmatramo.

Primjeri rje?enja

Pogledajmo sada stvarne primjere. Pa da odlu?imo:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Hajde da to prepi?emo ovako:

log 0,5 (3x - 1) = log 0,5 0,5 -3

Mnogi u?enici ?ure i poku?avaju odmah podi?i broj 0,5 na stepen koji nam je do?ao iz prvobitnog problema. I zaista, kada ste ve? dobro obu?eni za rje?avanje takvih problema, mo?ete odmah izvr?iti ovaj korak.

Me?utim, ako sada tek po?injete prou?avati ovu temu, bolje je ne ?uriti nigdje kako ne biste napravili uvredljive gre?ke. Dakle, imamo kanonski oblik. Imamo:

3x - 1 = 0,5 -3

Ovo vi?e nije logaritamska jednad?ba, ve? linearna u odnosu na varijablu x. Da bismo ga rije?ili, pozabavimo se brojem 0,5 na stepen -3. Imajte na umu da je 0,5 1/2.

(1/2) -3 = (2/1) 3 = 8

Pretvorite sve decimale u razlomke kada rje?avate logaritamsku jednad?bu.

Prepisujemo i dobijamo:

3x - 1 = 8
3x=9
x=3

Sve smo dobili odgovor. Prvi zadatak je rije?en.

Drugi zadatak

Pre?imo na drugi zadatak:

Kao ?to vidite, ova jedna?ina vi?e nije najjednostavnija. Ako samo zato ?to je razlika lijevo, a ni jedan logaritam u jednoj bazi.

Stoga se morate nekako rije?iti ove razlike. U ovom slu?aju, sve je vrlo jednostavno. Pogledajmo pobli?e osnove: na lijevoj strani je broj ispod korijena:

Op?a preporuka: u svim logaritamskim jednad?bama poku?ajte se rije?iti radikala, tj. unosa s korijenima i prije?i na funkcije stepena, jednostavno zato ?to se eksponenti ovih potencija lako izvla?e iz predznaka logaritma i, na kraju, takvi notacija uvelike pojednostavljuje i ubrzava prora?une. Hajde da to napi?emo ovako:

Sada se prisje?amo izvanredne osobine logaritma: iz argumenta, kao i iz baze, mo?ete izvaditi stepene. U slu?aju baza de?ava se sljede?e:

log a k b = 1/k loga b

Drugim rije?ima, broj koji je stajao u stepenu osnove pomi?e se naprijed i istovremeno okre?e, odnosno postaje recipro?an broj. U na?em slu?aju postojao je stepen baze sa indikatorom od 1/2. Stoga ga mo?emo uzeti kao 2/1. Dobijamo:

5 2 log 5 x - log 5 x = 18
10 log 5 x - log 5 x = 18

Imajte na umu: ni u kom slu?aju se ne smijete rije?iti logaritama u ovom koraku. Sjetite se matematike 4-5 razreda i redoslijeda operacija: prvo se vr?i mno?enje, a tek onda sabiranje i oduzimanje. U ovom slu?aju oduzimamo jedan od istih elemenata od 10 elemenata:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Sada na?a jednad?ba izgleda kako bi trebala. Ovo je najjednostavnija konstrukcija, a rje?avamo je koriste?i kanonski oblik:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

To je sve. Drugi problem je rije?en.

Tre?i primjer

Pre?imo na tre?i zadatak:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Prisjetite se sljede?e formule:

log b = log 10 b

Ako ste iz nekog razloga zbunjeni pisanjem lg b, onda kada radite sve prora?une, mo?ete jednostavno napisati log 10 b. Sa decimalnim logaritmima mo?ete raditi na isti na?in kao i sa ostalima: izvadite potencije, sabirajte i predstavite bilo koji broj kao lg 10.

Upravo ova svojstva ?emo sada koristiti za rje?avanje problema, jer nije ono najjednostavnije koje smo zapisali na samom po?etku na?e lekcije.

Za po?etak, imajte na umu da faktor 2 prije lg 5 mo?e biti umetnut i postaje stepen baze 5. Osim toga, slobodni ?lan 3 tako?er se mo?e predstaviti kao logaritam - to je vrlo lako uo?iti iz na?e notacije.

Procijenite sami: bilo koji broj se mo?e predstaviti kao dnevnik na osnovu 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Prepi?imo originalni problem uzimaju?i u obzir primljene promjene:

lg (x - 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x - 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

Pred nama je opet kanonski oblik, a dobili smo ga zaobilaze?i fazu transformacija, odnosno najjednostavnija logaritamska jednad?ba kod nas nije nigdje do?la.

To je ono o ?emu sam govorio na samom po?etku lekcije. Kanonski oblik omogu?ava rje?avanje ?ire klase problema od standardne ?kolske formule, koju daje ve?ina ?kolskih nastavnika.

To je sve, rije?ili smo se predznaka decimalnog logaritma i dobili smo jednostavnu linearnu konstrukciju:

x + 3 = 25.000
x = 24997

Sve! Problem rije?en.

Napomena o obimu

Ovdje bih ?elio dati va?nu napomenu o domenu definicije. Sigurno sada ima u?enika i nastavnika koji ?e re?i: „Kada rje?avamo izraze logaritmima, neophodno je zapamtiti da argument f (x) mora biti ve?i od nule!“ S tim u vezi name?e se logi?no pitanje: za?to ni u jednom od razmatranih problema nismo zahtijevali da ova nejednakost bude zadovoljena?

Ne brini. U ovim slu?ajevima ne?e se pojaviti dodatni korijeni. A ovo je jo? jedan sjajan trik koji vam omogu?ava da ubrzate rje?enje. Samo znajte da ako se u zadatku varijabla x pojavljuje samo na jednom mjestu (ta?nije, u jednom jedinom argumentu jednog jedinog logaritma), a nigdje drugdje u na?em slu?aju ne postoji varijabla x, onda upi?ite domenu nema potrebe jer ?e se pokrenuti automatski.

Procijenite sami: u prvoj jedna?ini dobili smo da je 3x - 1, tj. argument bi trebao biti jednak 8. To automatski zna?i da ?e 3x - 1 biti ve?e od nule.

Sa istim uspjehom mo?emo zapisati da u drugom slu?aju x mora biti jednako 5 2, tj. sigurno je ve?e od nule. I u tre?em slu?aju, gdje je x + 3 = 25.000, tj., opet, o?igledno ve?e od nule. Drugim rije?ima, opseg je automatski, ali samo ako se x pojavljuje samo u argumentu samo jednog logaritma.

To je sve ?to trebate znati da biste rije?ili jednostavne probleme. Samo ovo pravilo, zajedno sa pravilima transformacije, omogu?i?e vam da re?ite veoma ?iroku klasu problema.

Ali budimo iskreni: da bismo kona?no razumjeli ovu tehniku, da bismo nau?ili kako primijeniti kanonski oblik logaritamske jednad?be, nije dovoljno samo pogledati jednu video lekciju. Stoga, odmah preuzmite opcije za samostalno rje?enje koje su prilo?ene ovom video tutorijalu i po?nite rje?avati barem jedan od ova dva samostalna rada.

Trebat ?e vam samo nekoliko minuta. Ali u?inak takvog treninga bit ?e mnogo ve?i u odnosu na da ste upravo pogledali ovaj video tutorijal.

Nadam se da ?e vam ova lekcija pomo?i da razumijete logaritamske jedna?ine. Primijenite kanonski oblik, pojednostavite izraze koriste?i pravila za rad s logaritmima - i ne?ete se bojati nikakvih zadataka. I to je sve ?to imam za danas.

Razmatranje obima

Hajde sada da razgovaramo o domenu logaritamske funkcije, kao io tome kako to uti?e na re?enje logaritamskih jedna?ina. Razmotrite konstrukciju forme

log a f(x) = b

Takav izraz se naziva najjednostavnijim - ima samo jednu funkciju, a brojevi a i b su samo brojevi, a ni u kom slu?aju nisu funkcija koja ovisi o varijabli x. Re?ava se vrlo jednostavno. Samo trebate koristiti formulu:

b = log a a b

Ova formula je jedno od klju?nih svojstava logaritma, a prilikom zamjene u na? originalni izraz dobijamo sljede?e:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

Ovo je ve? poznata formula iz ?kolskih ud?benika. Mnogi studenti ?e vjerovatno imati pitanje: budu?i da je funkcija f ( x ) u originalnom izrazu ispod log znaka, na nju su nametnuta sljede?a ograni?enja:

f(x) > 0

Ovo ograni?enje vrijedi jer logaritam negativnih brojeva ne postoji. Dakle, mo?da bi zbog ovog ograni?enja trebali uvesti provjeru odgovora? Mo?da ih treba zamijeniti u izvoru?

Ne, u najjednostavnijim logaritamskim jedna?inama dodatna provjera nije potrebna. I zato. Pogledajte na?u kona?nu formulu:

f(x) = a b

?injenica je da je broj a u svakom slu?aju ve?i od 0 - ovaj zahtjev name?e i logaritam. Broj a je baza. U ovom slu?aju, nema ograni?enja za broj b. Ali to nije va?no, jer bez obzira na koji stepen podignemo pozitivan broj, na izlazu ?emo i dalje dobiti pozitivan broj. Dakle, zahtjev f (x) > 0 se ispunjava automatski.

Ono ?to zaista vrijedi provjeriti je opseg funkcije ispod znaka dnevnika. Mogu postojati prili?no slo?eni dizajni, a u procesu njihovog rje?avanja, svakako ih morate slijediti. da vidimo.

Prvi zadatak:

Prvi korak: pretvoriti razlomak na desnoj strani. Dobijamo:

Rije?imo se predznaka logaritma i dobivamo uobi?ajenu iracionalnu jedna?inu:

Od dobijenih korijena odgovara nam samo prvi, jer je drugi korijen manji od nule. Jedini odgovor ?e biti broj 9. To je to, problem je rije?en. Nisu potrebne nikakve dodatne provjere da li je izraz pod predznakom logaritma ve?i od 0, jer nije samo ve?i od 0, ve? je po uvjetu jedna?ine jednak 2. Stoga je zahtjev "ve?i od nule" automatski zadovoljan.

Pre?imo na drugi zadatak:

Ovdje je sve isto. Prepisujemo konstrukciju, zamjenjuju?i trojku:

Rije?imo se predznaka logaritma i dobivamo iracionalnu jedna?inu:

Oba dijela kvadriramo, uzimaju?i u obzir ograni?enja, i dobivamo:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 -4 + 6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Rezultuju?u jedna?inu re?avamo preko diskriminanta:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 \u003d -6

Ali x = -6 nam ne odgovara, jer ako ovaj broj zamenimo u na?u nejednakost, dobi?emo:

-6 + 4 = -2 < 0

U na?em slu?aju potrebno je da bude ve?i od 0 ili, u ekstremnim slu?ajevima, jednak. Ali nam odgovara x = -1:

-1 + 4 = 3 > 0

Jedini odgovor u na?em slu?aju je x = -1. To je sve re?enje. Vratimo se na sam po?etak na?ih prora?una.

Glavni zaklju?ak iz ove lekcije je da nije potrebno provjeravati granice za funkciju u najjednostavnijim logaritamskim jednad?bama. Jer u procesu rje?avanja sva ograni?enja se izvr?avaju automatski.

Me?utim, to nikako ne zna?i da mo?ete potpuno zaboraviti na verifikaciju. U procesu rada na logaritamskoj jednad?bi ona se mo?e pretvoriti u iracionalnu, koja ?e imati svoja ograni?enja i zahtjeve za desnu stranu, ?to smo danas vidjeli na dva razli?ita primjera.

Slobodno rje?avajte takve probleme i budite posebno oprezni ako postoji korijen u sva?i.

Logaritamske jednad?be s razli?itim bazama

Nastavljamo s prou?avanjem logaritamskih jednad?bi i analiziramo jo? dva prili?no zanimljiva trika s kojima je moderno rje?avati slo?enije strukture. Ali prvo, sjetimo se kako se rje?avaju najjednostavniji zadaci:

log a f(x) = b

U ovoj notaciji, a i b su samo brojevi, a u funkciji f (x) varijabla x mora biti prisutna i samo tamo, to jest, x mora biti samo u argumentu. Takve logaritamske jednad?be ?emo transformirati koriste?i kanonski oblik. Za ovo, napominjemo da

b = log a a b

A b je samo argument. Prepi?imo ovaj izraz na sljede?i na?in:

log a f(x) = log a a b

Upravo to poku?avamo posti?i, tako da i lijevo i desno bude logaritam osnovice a. U ovom slu?aju mo?emo, figurativno re?eno, precrtati znakove log, a sa stanovi?ta matematike mo?emo re?i da argumente jednostavno izjedna?avamo:

f(x) = a b

Kao rezultat, dobijamo novi izraz koji ?e se mnogo lak?e rije?iti. Primijenimo ovo pravilo na na?e dana?nje zadatke.

Dakle, prvi dizajn:

Prije svega, napominjem da je na desnoj strani razlomak, ?iji je imenilac log. Kada vidite ovakav izraz, vrijedi se sjetiti divnog svojstva logaritama:

Prevedeno na ruski, to zna?i da se bilo koji logaritam mo?e predstaviti kao koli?nik dva logaritma sa bilo kojom osnovom c. Naravno, 0< с ? 1.

Dakle: ova formula ima jedan divan poseban slu?aj kada je varijabla c jednaka varijabli b. U ovom slu?aju dobijamo konstrukciju forme:

Upravo ovu konstrukciju posmatramo iz znaka desno u na?oj jednad?bi. Zamenimo ovu konstrukciju sa log a b, dobi?emo:

Drugim rije?ima, u pore?enju sa originalnim zadatkom, zamijenili smo argument i bazu logaritma. Umjesto toga, morali smo preokrenuti razlomak.

Podsje?amo da se bilo koji stepen mo?e izvaditi iz baze prema sljede?em pravilu:

Drugim rije?ima, koeficijent k, koji je stepen baze, uzima se kao obrnuti razlomak. Izvadimo to kao obrnuti razlomak:

Faktor razlomka se ne mo?e ostaviti ispred, jer u ovom slu?aju ne?emo mo?i da predstavimo ovaj unos kao kanonski oblik (na kraju krajeva, u kanonskom obliku nema dodatnog faktora ispred drugog logaritma). Stoga, stavimo razlomak 1/4 u argument kao stepen:

Sada izjedna?avamo argumente ?ije su baze iste (a zaista imamo iste baze) i pi?emo:

x + 5 = 1

x = -4

To je sve. Dobili smo odgovor na prvu logaritamsku jedna?inu. Obratite pa?nju: u originalnom problemu varijabla x se pojavljuje samo u jednom dnevniku, i nalazi se u njegovom argumentu. Stoga nema potrebe provjeravati domen, a na? broj x = -4 je zaista odgovor.

Sada pre?imo na drugi izraz:

log 56 = log 2 log 2 7 - 3 log (x + 4)

Ovdje ?emo, pored uobi?ajenih logaritama, morati raditi i sa lg f (x). Kako rije?iti takvu jedna?inu? Nespremnom studentu mo?e se ?initi da je ovo nekakva limena, ali zapravo je sve rije?eno elementarno.

Pogledajte pomno termin lg 2 log 2 7. ?ta mo?emo re?i o tome? Osnove i argumenti log i lg su isti, i to bi trebalo dati neke naznake. Prisjetimo se jo? jednom kako se stupnjevi vade ispod znaka logaritma:

log a b n = n log a b

Drugim rije?ima, ono ?to je bila snaga broja b u argumentu postaje faktor ispred samog log. Primijenimo ovu formulu na izraz lg 2 log 2 7. Ne pla?ite se lg 2 - ovo je naj?e??i izraz. Mo?ete ga prepisati ovako:

Za njega vrijede sva pravila koja vrijede za bilo koji drugi logaritam. Konkretno, faktor ispred se mo?e uvesti u snagu argumenta. napi?imo:

U?enici vrlo ?esto ne vide ovu radnju, jer nije dobro u?i u jedan dnevnik pod znakom drugog. U stvari, u tome nema ni?eg kriminalnog. ?tavi?e, dobijamo formulu koju je lako izra?unati ako se sjetite va?nog pravila:

Ova formula se mo?e posmatrati i kao definicija i kao jedno od njenih svojstava. U svakom slu?aju, ako konvertujete logaritamsku jedna?inu, ovu formulu biste trebali znati na isti na?in kao i prikaz bilo kojeg broja u obliku log.

Vra?amo se na?em zadatku. Prepisujemo ga uzimaju?i u obzir ?injenicu da ?e prvi ?lan desno od znaka jednakosti jednostavno biti jednak lg 7. Imamo:

lg 56 = lg 7 - 3lg (x + 4)

Pomjerimo LG 7 ulijevo, dobi?emo:

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

Oduzimamo izraze s lijeve strane jer imaju istu osnovu:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

Sada pogledajmo pobli?e jedna?inu koju imamo. To je prakti?no kanonski oblik, ali na desnoj strani je faktor -3. Stavimo to u pravi lg argument:

lg 8 = lg (x + 4) -3

Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednad?be, pa precrtavamo predznake lg i izjedna?avamo argumente:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

To je sve! Re?ili smo drugu logaritamsku jedna?inu. U ovom slu?aju nisu potrebne dodatne provjere, jer je u originalnom problemu x bio prisutan samo u jednom argumentu.

Dozvolite mi da rezimiram klju?ne ta?ke ove lekcije.

Glavna formula koja se prou?ava u svim lekcijama na ovoj stranici posve?enim rje?avanju logaritamskih jednad?bi je kanonski oblik. I neka vas ne obuzda ?injenica da vas ve?ina ?kolskih ud?benika u?i kako da druga?ije rije?ite ovakve probleme. Ovaj alat radi vrlo efikasno i omogu?ava vam da rije?ite mnogo ?iru klasu problema od onih najjednostavnijih koje smo prou?avali na samom po?etku na?e lekcije.

Osim toga, za rje?avanje logaritamskih jednad?bi bit ?e korisno poznavati osnovna svojstva. naime:

1. Formula za prelazak na jednu bazu i poseban slu?aj kada okre?emo dnevnik (ovo nam je bilo vrlo korisno u prvom zadatku);
2. Formula za uno?enje i uzimanje potencija ispod znaka logaritma. Ovdje se mnogi studenti zaglave i ne vide direktno da oduzeta i dovedena snaga mo?e sama sadr?avati log f (x). Ni?ta lo?e u tome. Mo?emo uvesti jedan log prema predznaku drugog i istovremeno zna?ajno pojednostaviti rje?avanje problema, ?to vidimo u drugom slu?aju.

U zaklju?ku, ?elim da dodam da nije potrebno provjeravati opseg u svakom od ovih slu?ajeva, jer je svuda varijabla x prisutna samo u jednom znaku log, a istovremeno je i u svom argumentu. Kao posljedica toga, svi zahtjevi domena se ispunjavaju automatski.

Problemi sa varijabilnom bazom

Danas ?emo razmatrati logaritamske jednad?be, koje se mnogim studentima ?ine nestandardnim, ako ne i potpuno nerje?ivim. Govorimo o izrazima koji se ne temelje na brojevima, ve? na varijablama, pa ?ak i funkcijama. Takve konstrukcije ?emo rje?avati na?om standardnom tehnikom, odnosno kroz kanonsku formu.

Za po?etak, prisjetimo se kako se rje?avaju najjednostavniji problemi koji se temelje na obi?nim brojevima. Dakle, najjednostavnija konstrukcija se zove

log a f(x) = b

Za rje?avanje takvih problema mo?emo koristiti sljede?u formulu:

b = log a a b

Prepisujemo na? originalni izraz i dobijamo:

log a f(x) = log a a b

Zatim izjedna?avamo argumente, tj. pi?emo:

f(x) = a b

Tako se osloba?amo znaka dnevnika i rje?avamo uobi?ajeni problem. U ovom slu?aju, korijeni dobiveni u rje?enju bit ?e korijeni originalne logaritamske jednad?be. Osim toga, zapis, kada su i lijevo i desno na istom logaritmu sa istom bazom, naziva se kanonski oblik. Na ovaj rekord ?emo poku?ati svesti dana?nje gradnje. Pa idemo.

Prvi zadatak:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

Zamijenite 1 sa log x - 2 (x - 2) 1 . Stepen koji posmatramo u argumentu je, u stvari, broj b, koji je bio desno od znaka jednakosti. Pa hajde da prepi?emo na? izraz. Dobijamo:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

?ta vidimo? Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednad?be, tako da mo?emo sigurno izjedna?iti argumente. Dobijamo:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Ali rje?enje se tu ne zavr?ava, jer ova jednad?ba nije ekvivalentna originalnoj. Na kraju krajeva, rezultiraju?a konstrukcija se sastoji od funkcija koje su definirane na cijeloj brojevnoj pravoj, a na?i originalni logaritmi nisu definirani svugdje i ne uvijek.

Stoga moramo posebno zapisati domen definicije. Nemojmo biti mudriji i prvo zapi?imo sve zahtjeve:

Prvo, argument svakog od logaritama mora biti ve?i od 0:

2x 2 - 13x + 18 > 0

x - 2 > 0

Drugo, baza ne samo da mora biti ve?a od 0, ve? i razli?ita od 1:

x - 2 ? 1

Kao rezultat, dobijamo sistem:

Ali nemojte biti uznemireni: kada se obra?uju logaritamske jedna?ine, takav sistem mo?e biti znatno pojednostavljen.

Procijenite sami: s jedne strane, od nas se tra?i da kvadratna funkcija bude ve?a od nule, a s druge strane, ova kvadratna funkcija je izjedna?ena sa nekim linearnim izrazom, za koji se tako?er tra?i da bude ve?a od nule.

U ovom slu?aju, ako tra?imo da je x - 2 > 0, tada ?e automatski biti zadovoljen zahtjev 2x 2 - 13x + 18 > 0. Stoga mo?emo bezbedno precrtati nejedna?inu koja sadr?i kvadratnu funkciju. Tako ?e se broj izraza sadr?anih u na?em sistemu smanjiti na tri.

Naravno, mogli bismo isto tako precrtati linearnu nejedna?inu, tj. precrtati x - 2 > 0 i zahtijevati da je 2x 2 - 13x + 18 > 0. Ali morate priznati da je rje?avanje najjednostavnije linearne nejednakosti mnogo br?e i lak?e, nego kvadratni, ?ak i ako kao rezultat rje?avanja cijelog ovog sistema dobijemo iste korijene.

Op?enito, poku?ajte optimizirati prora?une kad god je to mogu?e. A u slu?aju logaritamskih jedna?ina precrtajte najte?e nejedna?ine.

Prepi?imo na? sistem:

Evo takvog sistema od tri izraza, od kojih smo dva, zapravo, ve? shvatili. Zapi?imo odvojeno kvadratnu jedna?inu i rije?imo je:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 - 7x + 10 = 0

Pred nama je redukovani kvadratni trinom i stoga mo?emo koristiti Vietine formule. Dobijamo:

(x - 5)(x - 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Sada, da se vratimo na na? sistem, nalazimo da nam x = 2 ne odgovara, jer se od nas tra?i da imamo x striktno ve?e od 2.

Ali x = 5 nam sasvim dobro odgovara: broj 5 je ve?i od 2, a istovremeno 5 nije jednako 3. Stoga ?e jedino rje?enje ovog sistema biti x = 5.

Sve, zadatak je rije?en, uklju?uju?i i ODZ. Pre?imo na drugu jedna?inu. Ovdje nas ?ekaju zanimljiviji i sadr?ajniji prora?uni:

Prvi korak: kao i pro?li put, sve ovo poslovanje dovodimo u kanonski oblik. Da bismo to u?inili, mo?emo napisati broj 9 na sljede?i na?in:

Baza s korijenom se ne mo?e dirati, ali je bolje transformirati argument. Prije?imo s korijena na stepen s racionalnim eksponentom. napi?imo:

Dozvolite mi da ne prepisujem cijelu na?u veliku logaritamsku jedna?inu, ve? samo odmah izjedna?im argumente:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Pred nama je opet reducirani kvadratni trinom, koristit ?emo Vietine formule i napisati:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Dakle, dobili smo korijene, ali nam niko nije garantirao da ?e odgovarati originalnoj logaritamskoj jednad?bi. Na kraju krajeva, log znakovi name?u dodatna ograni?enja (ovdje bismo morali zapisati sistem, ali zbog glomaznosti cijele konstrukcije odlu?io sam da posebno izra?unam domen definicije).

Prije svega, zapamtite da argumenti moraju biti ve?i od 0, naime:

Ovo su zahtjevi koje name?e domen definicije.

Odmah napominjemo da, po?to prva dva izraza sistema izjedna?avamo jedan s drugim, mo?emo precrtati bilo koji od njih. Precrtajmo prvu jer izgleda prijete?e od druge.

Osim toga, imajte na umu da ?e rje?enja druge i tre?e nejedna?ine biti isti skupovi (kocka nekog broja je ve?a od nule, ako je sam ovaj broj ve?i od nule; sli?no s korijenom tre?eg stepena - ove nejedna?ine su potpuno sli?an, pa jedan od njih mo?emo precrtati).

Ali s tre?om nejednako??u to ne?e funkcionirati. Rije?imo se znaka radikala na lijevoj strani, za koji oba dijela podi?emo na kocku. Dobijamo:

Tako dobijamo sljede?e zahtjeve:

-2 ? x > -3

Koji od na?ih korijena: x 1 = -3 ili x 2 = -1 ispunjava ove zahtjeve? O?igledno, samo x = -1, jer x = -3 ne zadovoljava prvu nejednakost (jer je na?a nejednakost stroga). Ukupno, vra?aju?i se na na? problem, dobijamo jedan korijen: x = -1. To je to, problem re?en.

Jo? jednom, klju?ne ta?ke ovog zadatka:

1. Slobodno primijenite i rije?ite logaritamske jednad?be koriste?i kanonski oblik. U?enici koji naprave takav zapis, a ne prelaze direktno sa originalnog problema na konstrukciju kao ?to je log a f ( x ) = b , prave mnogo manje gre?aka od onih koji ?ure negde, preska?u?i me?ukorake prora?una;
2. ?im se promenljiva baza pojavi u logaritmu, problem prestaje biti najjednostavniji. Stoga je pri rje?avanju potrebno voditi ra?una o domenu definicije: argumenti moraju biti ve?i od nule, a baze ne samo da moraju biti ve?e od 0, ve? i ne smiju biti jednake 1.

Posljednje zahtjeve mo?ete nametnuti kona?nim odgovorima na razli?ite na?ine. Na primjer, mogu?e je rije?iti cijeli sistem koji sadr?i sve zahtjeve domena. S druge strane, mo?ete prvo rije?iti sam problem, a zatim se sjetiti domena definicije, razraditi ga zasebno u obliku sistema i primijeniti na dobijene korijene.

Na vama je koji na?in da odaberete prilikom rje?avanja odre?ene logaritamske jednad?be. U svakom slu?aju, odgovor ?e biti isti.

Svima nam su poznate jednad?be iz osnovne ?kole. ?ak smo i tamo nau?ili rje?avati najjednostavnije primjere, a mora se priznati da svoju primjenu nalaze i u vi?oj matematici. Sve je jednostavno sa jednad?bama, uklju?uju?i i kvadratne. Ako imate problema s ovom temom, toplo preporu?ujemo da je poku?ate ponovo.

I logaritmi koje ste vjerovatno ve? polo?ili. Ipak, smatramo va?nim re?i ?ta je to za one koji jo? ne znaju. Logaritam je jednak stepenu na koji se baza mora podi?i da bi se dobio broj desno od predznaka logaritma. Dajemo primjer na osnovu kojeg ?e vam sve postati jasno.

Ako povisite 3 na ?etvrti stepen, dobi?ete 81. Sada zamijenite brojeve po analogiji i kona?no ?ete shvatiti kako se logaritmi rje?avaju. Sada ostaje samo kombinirati dva razmatrana koncepta. U po?etku se situacija ?ini izuzetno te?kom, ali nakon detaljnijeg razmatranja, te?ina dolazi na svoje mjesto. Sigurni smo da nakon ovog kratkog ?lanka ne?ete imati problema u ovom dijelu ispita.

Danas postoji mnogo na?ina za rje?avanje takvih struktura. Govorit ?emo o najjednostavnijim, najefikasnijim i najprimjenjivijim u slu?aju USE zadataka. Rje?avanje logaritamskih jednad?bi trebalo bi po?eti s najjednostavnijim primjerom. Najjednostavnije logaritamske jednad?be se sastoje od funkcije i jedne varijable u njoj.

Va?no je napomenuti da je x unutar argumenta. A i b moraju biti brojevi. U ovom slu?aju, mo?ete jednostavno izraziti funkciju u smislu broja u stepenu. To izgleda ovako.

Naravno, rje?avanje logaritamske jednad?be na ovaj na?in ?e vas dovesti do ta?nog odgovora. Ali problem velike ve?ine studenata u ovom slu?aju je ?to ne razumiju ?ta i odakle dolazi. Kao rezultat toga, morate podnijeti gre?ke i ne dobiti ?eljene bodove. Najuvredljivija gre?ka bit ?e ako pomije?ate slova na mjestima. Da biste na ovaj na?in rije?ili jedna?inu, morate zapamtiti ovu standardnu ?kolsku formulu, jer ju je te?ko razumjeti.

Da biste to olak?ali, mo?ete pribje?i drugoj metodi - kanonskom obliku. Ideja je krajnje jednostavna. Ponovo obratite pa?nju na zadatak. Zapamtite da je slovo a broj, a ne funkcija ili varijabla. A nije jednako jedan i ve?e je od nule. Nema ograni?enja za b. Sada od svih formula, prisje?amo se jedne. B se mo?e izraziti na sljede?i na?in.

Iz ovoga slijedi da se sve originalne jednad?be sa logaritmima mogu predstaviti kao:

Sada mo?emo odbaciti logaritme. Rezultat je jednostavna konstrukcija, koju smo ve? ranije vidjeli.

Pogodnost ove formule le?i u ?injenici da se mo?e koristiti u raznim slu?ajevima, a ne samo za najjednostavnije dizajne.

Ne brinite za OOF!

Mnogi iskusni matemati?ari ?e primijetiti da nismo obratili pa?nju na domen definicije. Pravilo se svodi na ?injenicu da je F(x) nu?no ve?i od 0. Ne, nismo propustili ovaj trenutak. Sada govorimo o jo? jednoj ozbiljnoj prednosti kanonskog oblika.

Ovdje ne?e biti dodatnih korijena. Ako ?e se varijabla pojaviti samo na jednom mjestu, tada opseg nije neophodan. Pokre?e se automatski. Da biste potvrdili ovu prosudbu, razmotrite rje?avanje nekoliko jednostavnih primjera.

Kako rije?iti logaritamske jednad?be sa razli?itim bazama

To su ve? slo?ene logaritamske jednad?be, a pristup njihovom rje?avanju trebao bi biti poseban. Ovdje je rijetko mogu?e ograni?iti se na ozlogla?eni kanonski oblik. Zapo?nimo na?u detaljnu pri?u. Imamo slede?u konstrukciju.

Obratite pa?nju na razlomak. Sadr?i logaritam. Ako to vidite u zadatku, vrijedi zapamtiti jedan zanimljiv trik.

?ta to zna?i? Svaki logaritam se mo?e izraziti kao koli?nik dva logaritma sa pogodnom bazom. I ova formula ima poseban slu?aj koji je primjenjiv na ovaj primjer (mislimo ako je c=b).

Upravo to vidimo u na?em primjeru. Na ovaj na?in.

U stvari, okrenuli su razlomak i dobili zgodniji izraz. Zapamtite ovaj algoritam!

Sada nam je potrebno da logaritamska jednad?ba ne sadr?i razli?ite baze. Predstavimo bazu kao razlomak.

U matematici postoji pravilo na osnovu kojeg se stepen mo?e izvu?i iz baze. Ispada sljede?a konstrukcija.

?ini se, ?ta nas sada spre?ava da svoj izraz pretvorimo u kanonski oblik i elementarno ga rije?imo? Nije tako jednostavno. Prije logaritma ne bi trebalo biti razlomaka. Popravimo ovu situaciju! Razlomak je dozvoljeno uzeti kao stepen.

Odnosno.

Ako su baze iste, mo?emo ukloniti logaritme i izjedna?iti same izraze. Tako ?e situacija postati mnogo puta lak?a nego ?to je bila. Bi?e elementarna jedna?ina koju je svako od nas znao da re?i jo? u 8. ili ?ak 7. razredu. Mo?ete sami da izvr?ite prora?une.

Dobili smo jedini pravi korijen ove logaritamske jednad?be. Primjeri rje?avanja logaritamske jednad?be su prili?no jednostavni, zar ne? Sada ?ete mo?i samostalno da se nosite i sa najte?im zadacima za pripremu i polaganje ispita.

?ta je rezultat?

U slu?aju bilo koje logaritamske jedna?ine, polazimo od jednog vrlo va?nog pravila. Potrebno je djelovati tako da se izraz dovede u najjednostavniji oblik. U tom slu?aju ?ete imati vi?e ?ansi ne samo da ispravno rije?ite problem, ve? i da to u?inite na najjednostavniji i najlogi?niji na?in. Tako matemati?ari uvijek rade.

Izri?ito ne preporu?ujemo da tra?ite te?ke puteve, posebno u ovom slu?aju. Zapamtite nekoliko jednostavnih pravila koja ?e vam omogu?iti da transformi?ete bilo koji izraz. Na primjer, dovedite dva ili tri logaritma na istu bazu, ili uzmite potenciju iz baze i pobijedite na njoj.

Tako?er je vrijedno zapamtiti da u rje?avanju logaritamskih jednad?bi morate stalno trenirati. Postepeno ?ete prelaziti na sve slo?enije strukture, a to ?e vas dovesti do samopouzdanog rje?avanja svih opcija za probleme na ispitu. Pripremite se za ispite unaprijed i sretno!