Najve?i zajedni?ki djelitelj i najmanji zajedni?ki vi?ekratnik su klju?ni aritmeti?ki koncepti koji vam omogu?avaju da lako radite s obi?nim razlomcima. LCM i naj?e??e se koriste za pronala?enje zajedni?kog nazivnika nekoliko razlomaka.

Osnovni koncepti

Delitelj cijelog broja X je drugi cijeli broj Y kojim je X djeljiv bez ostatka. Na primjer, djelitelj broja 4 je 2, a 36 je 4, 6, 9. Vi?ekratnik cijelog broja X je broj Y koji je djeljiv sa X bez ostatka. Na primjer, 3 je vi?ekratnik od 15, a 6 je vi?ekratnik od 12.

Za bilo koji par brojeva mo?emo prona?i njihove zajedni?ke djelitelje i vi?ekratnike. Na primjer, za 6 i 9, zajedni?ki djelitelj je 18, a zajedni?ki djelitelj je 3. O?igledno, parovi mogu imati nekoliko djelitelja i vi?ekratnika, tako da se u prora?unima koriste najve?i djelitelj GCD-a i najmanji djelitelj LCM-a. .

Najmanji djelitelj nema smisla, jer je za bilo koji broj uvijek jedan. Najve?i umno?ak je tako?e besmislen, jer niz vi?ekratnika te?i beskona?nosti.

Pronala?enje GCD

Postoji mnogo metoda za pronala?enje najve?eg zajedni?kog djelitelja, od kojih su najpoznatije:

• sekvencijalno nabrajanje djelitelja, odabir zajedni?kih za par i tra?enje najve?eg od njih;
• dekompozicija brojeva na nedjeljive faktore;
• Euklidov algoritam;
• binarni algoritam.

Danas su u obrazovnim institucijama najpopularnije metode dekompozicije na proste faktore i Euklidov algoritam. Potonji se, pak, koristi u rje?avanju Diofantovih jednad?bi: tra?enje GCD-a je potrebno da bi se provjerila mogu?nost rje?avanja jednad?be u cijelim brojevima.

Pronala?enje NOC-a

Najmanji zajedni?ki vi?ekratnik je tako?er ta?no odre?en iterativnim nabrajanjem ili faktorizacijom na nedjeljive faktore. Osim toga, lako je prona?i LCM ako je najve?i djelitelj ve? odre?en. Za brojeve X i Y, LCM i GCD su povezani sljede?om relacijom:

LCM(X,Y) = X x Y / GCM(X,Y).

Na primjer, ako je gcd(15,18) = 3, onda je LCM(15,18) = 15 x 18 / 3 = 90. Najo?iglednija upotreba LCM je da se prona?e zajedni?ki nazivnik, koji je najmanji zajedni?ki vi?ekratnik dati razlomci.

Koprosti brojevi

Ako par brojeva nema zajedni?kih djelitelja, onda se takav par naziva koprostor. GCM za takve parove je uvijek jednak jedan, a na osnovu veze djelitelja i umno?aka, GCM za koprime jednak je njihovom proizvodu. Na primjer, brojevi 25 i 28 su me?usobno prosti, jer nemaju zajedni?kih djelitelja, a LCM(25, 28) = 700, ?to odgovara njihovom proizvodu. Bilo koja dva nedjeljiva broja uvijek ?e biti koprosta.

Zajedni?ki djelitelj i vi?estruki kalkulator

Pomo?u na?eg kalkulatora mo?ete izra?unati GCD i LCM za bilo koji broj brojeva koje mo?ete izabrati. Zadaci za izra?unavanje zajedni?kih djelitelja i vi?ekratnika nalaze se u aritmetici 5. i 6. razreda, me?utim, GCD i LCM su klju?ni pojmovi matematike i koriste se u teoriji brojeva, planimetriji i komunikativnoj algebri.

Primjeri iz stvarnog ?ivota

Zajedni?ki nazivnik razlomaka

Najmanji zajedni?ki vi?ekratnik se koristi kada se prona?e zajedni?ki nazivnik nekoliko razlomaka. Pretpostavimo da je u aritmeti?kom zadatku potrebno zbrojiti 5 razlomaka:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Za dodavanje razlomaka, izraz se mora svesti na zajedni?ki nazivnik, ?to se svodi na problem pronala?enja LCM. Da biste to u?inili, odaberite 5 brojeva u kalkulatoru i unesite vrijednosti nazivnika u odgovaraju?e ?elije. Program ?e izra?unati LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Sada morate izra?unati dodatne faktore za svaki razlomak, koji su definisani kao omjer LCM i nazivnika. Dakle, dodatni mno?itelji bi izgledali ovako:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Nakon toga, pomno?imo sve razlomke odgovaraju?im dodatnim faktorom i dobijemo:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Lako mo?emo sabrati takve razlomke i dobiti rezultat u obliku 159/360. Smanjujemo razlomak za 3 i vidimo kona?an odgovor - 53/120.

Rje?enje linearnih Diofantovih jednad?bi

Linearne Diofantove jednad?be su izrazi oblika ax + by = d. Ako je omjer d/gcd(a, b) cijeli broj, onda je jednad?ba rje?iva u cijelim brojevima. Provjerimo nekoliko jedna?ina za mogu?nost cjelobrojnog rje?enja. Prvo provjerite jedna?inu 150x + 8y = 37. Koriste?i kalkulator, nalazimo gcd (150,8) = 2. Podijelite 37/2 = 18,5. Broj nije cijeli broj, dakle, jednad?ba nema cjelobrojne korijene.

Provjerimo jedna?inu 1320x + 1760y = 10120. Koristite kalkulator da na?ete gcd(1320, 1760) = 440. Podijelite 10120/440 = 23. Kao rezultat, dobijamo cijeli broj, stoga je Diofantov koeficijent u ekvalici .

Zaklju?ak

GCD i LCM igraju va?nu ulogu u teoriji brojeva, a sami koncepti se ?iroko koriste u razli?itim oblastima matematike. Koristite na? kalkulator za izra?unavanje najve?ih djelitelja i najmanjih umno?aka bilo kojeg broja brojeva.

Da biste razumjeli kako izra?unati LCM, prvo biste trebali odrediti zna?enje pojma "vi?estruko".

Vi?ekratnik A je prirodan broj koji je bez ostatka djeljiv sa A. Dakle, 15, 20, 25 i tako dalje se mogu smatrati vi?ekratnicima broja 5.

Mo?e postojati ograni?en broj djelitelja odre?enog broja, ali postoji beskona?an broj vi?ekratnika.

Zajedni?ki vi?ekratnik prirodnih brojeva je broj koji je djeljiv s njima bez ostatka.

Kako prona?i najmanji zajedni?ki vi?ekratnik brojeva

Najmanji zajedni?ki vi?ekratnik (LCM) brojeva (dva, tri ili vi?e) je najmanji prirodni broj koji je jednako djeljiv sa svim ovim brojevima.

Da biste prona?li NOC, mo?ete koristiti nekoliko metoda.

Za male brojeve zgodno je ispisati u red sve vi?ekratnike ovih brojeva dok se me?u njima ne prona?e zajedni?ki. Vi?estruki se u zapisu ozna?avaju velikim slovom K.

Na primjer, vi?ekratnici od 4 mogu se napisati ovako:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Dakle, mo?ete vidjeti da je najmanji zajedni?ki vi?ekratnik brojeva 4 i 6 broj 24. Ovaj unos se izvodi na sljede?i na?in:

LCM(4, 6) = 24

Ako su brojevi veliki, prona?ite zajedni?ki vi?ekratnik tri ili vi?e brojeva, onda je bolje koristiti drugi na?in za izra?unavanje LCM.

Za izvr?enje zadatka potrebno je predlo?ene brojeve rastaviti na proste faktore.

Prvo morate napisati pro?irenje najve?eg broja u redu, a ispod njega - ostatak.

U pro?irenju svakog broja mo?e postojati razli?it broj faktora.

Na primjer, razlo?imo brojeve 50 i 20 u proste faktore.

U pro?irenju manjeg broja treba podvu?i faktore koji nedostaju u pro?irenju prvog najve?eg broja, a zatim im ih dodati. U prikazanom primjeru nedostaje dvojka.

Sada mo?emo izra?unati najmanji zajedni?ki vi?ekratnik 20 i 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Tako ?e proizvod prostih faktora ve?eg broja i faktora drugog broja, koji nisu uklju?eni u dekompoziciju ve?eg broja, biti najmanji zajedni?ki vi?ekratnik.

Da biste prona?li LCM od tri ili vi?e brojeva, sve ih treba razlo?iti na proste faktore, kao u prethodnom slu?aju.

Kao primjer, mo?ete prona?i najmanji zajedni?ki vi?ekratnik brojeva 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Dakle, samo dvije dvojke iz dekompozicije ?esnaest (jedna je u dekompoziciji dvadeset ?etiri) nisu u?le u faktorizaciju ve?eg broja.

Stoga ih je potrebno dodati u dekompoziciju ve?eg broja.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Postoje posebni slu?ajevi odre?ivanja najmanjeg zajedni?kog vi?ekratnika. Dakle, ako se jedan od brojeva mo?e podijeliti bez ostatka s drugim, tada ?e ve?i od ovih brojeva biti najmanji zajedni?ki vi?ekratnik.

Na primjer, NOC od dvanaest i dvadeset ?etiri bi bili dvadeset ?etiri.

Ako je potrebno prona?i najmanji zajedni?ki vi?ekratnik koprostih brojeva koji nemaju iste djelitelje, tada ?e njihov LCM biti jednak njihovom proizvodu.

Na primjer, LCM(10, 11) = 110.

Najmanji zajedni?ki vi?ekratnik dva broja direktno je povezan sa najve?im zajedni?kim djeliteljem tih brojeva. Ovo veza izme?u GCD i NOC je definirana sljede?om teoremom.

Teorema.

Najmanji zajedni?ki vi?ekratnik dva pozitivna cijela broja a i b jednak je umno?ku brojeva a i b podijeljenih najve?im zajedni?kim djeliteljem brojeva a i b, tj. LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).

Dokaz.

Neka M je neki vi?ekratnik brojeva a i b. To jest, M je deljivo sa a, a prema definiciji deljivosti, postoji neki ceo broj k takav da je jednakost M=a·k ta?na. Ali M je tako?e deljivo sa b, tada je a k deljivo sa b.

Ozna?imo gcd(a, b) kao d. Tada mo?emo zapisati jednakosti a=a 1 ·d i b=b 1 ·d, a a 1 =a:d i b 1 =b:d ?e biti me?usobno prosti brojevi. Dakle, uslov dobijen u prethodnom paragrafu da je a k deljivo sa b mo?e se preformulisati na slede?i na?in: a 1 d k je deljivo sa b 1 d , a to je, zbog svojstava deljivosti, ekvivalentno uslovu da je a 1 k je djeljiv sa b jedan .

Tako?e moramo da zapi?emo dve va?ne posledice iz razmatrane teoreme.

Zajedni?ki vi?ekratnici dva broja isti su kao vi?ekratnici njihovog najmanjeg zajedni?kog vi?ekratnika.

To je ta?no, budu?i da je svaki zajedni?ki vi?ekratnik M brojeva a i b definiran jednako??u M=LCM(a, b) t za neku cjelobrojnu vrijednost t .

Najmanji zajedni?ki vi?ekratnik me?usobno prostih pozitivnih brojeva a i b jednak je njihovom proizvodu.

Obrazlo?enje ove ?injenice je sasvim o?igledno. Po?to su a i b me?usobno prosti, onda je gcd(a, b)=1, dakle, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Najmanji zajedni?ki vi?ekratnik tri ili vi?e brojeva

Pronala?enje najmanjeg zajedni?kog vi?ekratnika tri ili vi?e brojeva mo?e se svesti na sukcesivno pronala?enje LCM dva broja. Kako se to radi prikazano je u sljede?oj teoremi: a 1 , a 2 , ..., a k se poklapaju sa zajedni?kim vi?ekratnicima brojeva m k-1 i a k , dakle, poklapaju se sa vi?ekratnicima m k . A po?to je najmanji pozitivni vi?ekratnik broja m k sam broj m k, onda je najmanji zajedni?ki vi?ekratnik brojeva a 1, a 2, …, a k m k.

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya. itd. Matematika. 6. razred: ud?benik za obrazovne ustanove.
• Vinogradov I.M. Osnove teorije brojeva.
• Mikhelovich Sh.Kh. Teorija brojeva.
• Kulikov L.Ya. i dr. Zbirka zadataka iz algebre i teorije brojeva: Ud?benik za studente fiz.-mat. specijalnosti pedago?kih instituta.

Definicija. Naziva se najve?i prirodni broj kojim su brojevi a i b djeljivi bez ostatka najve?i zajedni?ki djelitelj (gcd) ovi brojevi.

Na?imo najve?i zajedni?ki djelitelj brojeva 24 i 35.
Delitelji 24 ?e biti brojevi 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, a djelitelji 35 ?e biti brojevi 1, 5, 7, 35.
Vidimo da brojevi 24 i 35 imaju samo jedan zajedni?ki djelitelj - broj 1. Takvi brojevi se nazivaju coprime.

Definicija. Prirodni brojevi se nazivaju coprime ako je njihov najve?i zajedni?ki djelitelj (gcd) 1.

Najve?i zajedni?ki djelitelj (GCD) mo?e se na?i bez ispisivanja svih djelitelja datih brojeva.

Rastavljaju?i na faktore brojeve 48 i 36, dobijamo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Iz faktora uklju?enih u pro?irenje prvog od ovih brojeva bri?emo one koji nisu uklju?eni u pro?irenje drugog broja (tj. dvije dvojke).
Ostaju ?inioci 2 * 2 * 3. Njihov proizvod je 12. Ovaj broj je najve?i zajedni?ki djelitelj brojeva 48 i 36. Prona?en je i najve?i zajedni?ki djelitelj tri ili vi?e brojeva.

Na?i najve?i zajedni?ki djelitelj

2) iz faktora uklju?enih u pro?irenje jednog od ovih brojeva precrtati one koji nisu uklju?eni u pro?irenje drugih brojeva;
3) na?i proizvod preostalih faktora.

Ako su svi dati brojevi djeljivi sa jednim od njih, onda je i ovaj broj najve?i zajedni?ki djelitelj date brojeve.
Na primjer, najve?i zajedni?ki djelitelj 15, 45, 75 i 180 je 15, jer dijeli sve ostale brojeve: 45, 75 i 180.

Najmanji zajedni?ki vi?ekratnik (LCM)

Definicija. Najmanji zajedni?ki vi?ekratnik (LCM) prirodni brojevi a i b su najmanji prirodni broj koji je vi?ekratnik i a i b. Najmanji zajedni?ki vi?ekratnik (LCM) brojeva 75 i 60 mo?e se prona?i bez pisanja vi?ekratnika ovih brojeva u nizu. Da bismo to u?inili, razla?emo 75 i 60 na jednostavne faktore: 75 = 3 * 5 * 5 i 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Napi?imo faktore uklju?ene u pro?irenje prvog od ovih brojeva i dodajmo im faktore koji nedostaju 2 i 2 iz pro?irenja drugog broja (tj. kombinujemo faktore).
Dobijamo pet faktora 2 * 2 * 3 * 5 * 5, ?iji je proizvod 300. Ovaj broj je najmanji zajedni?ki vi?ekratnik brojeva 75 i 60.

Tako?er prona?ite najmanji zajedni?ki vi?ekratnik tri ili vi?e brojeva.

To prona?ite najmanji zajedni?ki vi?ekratnik nekoliko prirodnih brojeva, potrebno je:
1) razlo?iti ih na proste faktore;
2) ispisati faktore uklju?ene u pro?irenje jednog od brojeva;
3) dodati im faktore koji nedostaju iz pro?irenja preostalih brojeva;
4) na?i proizvod rezultuju?ih faktora.

Imajte na umu da ako je jedan od ovih brojeva djeljiv sa svim ostalim brojevima, onda je ovaj broj najmanji zajedni?ki vi?ekratnik ovih brojeva.
Na primjer, najmanji zajedni?ki vi?ekratnik od 12, 15, 20 i 60 bi bio 60, jer je djeljiv sa svim datim brojevima.

Pitagora (VI vek pne) i njegovi u?enici prou?avali su pitanje deljivosti brojeva. Broj jednak zbroju svih njegovih djelitelja (bez samog broja), nazvali su savr?enim brojem. Na primjer, brojevi 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) su savr?eni. Sljede?i savr?eni brojevi su 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejci su poznavali samo prva tri savr?ena broja. ?etvrti - 8128 - postao je poznat u 1. vijeku. n. e. Peti - 33 550 336 - prona?en je u 15. vijeku. Do 1983. ve? je bilo poznato 27 savr?enih brojeva. Ali do sada nau?nici ne znaju da li postoje neparni savr?eni brojevi, da li postoji najve?i savr?eni broj.
Interes drevnih matemati?ara za proste brojeve je zbog ?injenice da je bilo koji broj ili prost ili se mo?e predstaviti kao proizvod prostih brojeva, odnosno prosti brojevi su kao cigle od kojih su izgra?eni ostali prirodni brojevi.
Vjerovatno ste primijetili da se prosti brojevi u nizu prirodnih brojeva javljaju neravnomjerno – u nekim dijelovima niza ih ima vi?e, u drugim – manje. Ali ?to se dalje kre?emo du? niza brojeva, prosti brojevi su rje?i. Postavlja se pitanje: postoji li posljednji (najve?i) prost broj? Drevni gr?ki matemati?ar Euklid (3. vek p.n.e.), u svojoj knjizi „Po?eci“, koja je dve hiljade godina bila glavni ud?benik matematike, dokazao je da postoji beskona?no mnogo prostih brojeva, odnosno da iza svakog prostog broja stoji paran broj. ve?i prost broj.
Za pronala?enje prostih brojeva, drugi gr?ki matemati?ar iz istog vremena, Eratosten, smislio je takvu metodu. Zapisao je sve brojeve od 1 do nekog broja, a zatim precrtao jedinicu, koja nije ni prost ni slo?eni broj, zatim kroz jedan precrtao sve brojeve iza 2 (brojeve koji su vi?estruki od 2, tj. 4, 6, 8, itd.). Prvi preostali broj nakon 2 bio je 3. Zatim, nakon dva, svi brojevi iza 3 su precrtani (brojevi koji su vi?estruki od 3, tj. 6, 9, 12, itd.). na kraju su ostali neprecrtani samo prosti brojevi.

Tema "Vi?e brojeva" se izu?ava u 5. razredu srednje ?kole. Njegov cilj je pobolj?ati pismene i usmene vje?tine matemati?kih prora?una. U ovoj lekciji se uvode novi pojmovi - "vi?e brojeva" i "djelitelja", tehnika pronala?enja djelitelja i vi?ekratnika prirodnog broja, razra?uje se sposobnost pronala?enja LCM na razli?ite na?ine.

Ova tema je veoma va?na. Znanje o tome mo?e se primijeniti pri rje?avanju primjera s razlomcima. Da biste to u?inili, morate prona?i zajedni?ki nazivnik izra?unavanjem najmanjeg zajedni?kog vi?ekratnika (LCM).

Vi?ekratnik A je cijeli broj koji je djeljiv sa A bez ostatka.

Svaki prirodan broj ima beskona?an broj vi?ekratnika. Smatra se da je to najmanje. Vi?ekratnik ne mo?e biti manji od samog broja.

Potrebno je dokazati da je broj 125 vi?ekratnik broja 5. Da biste to u?inili, trebate podijeliti prvi broj drugim. Ako je 125 djeljivo sa 5 bez ostatka, onda je odgovor da.

Ova metoda je primjenjiva za male brojeve.

Prilikom izra?unavanja LCM-a postoje posebni slu?ajevi.

1. Ako trebate prona?i zajedni?ki vi?ekratnik za 2 broja (na primjer, 80 i 20), pri ?emu je jedan od njih (80) djeljiv bez ostatka s drugim (20), tada je ovaj broj (80) najmanji vi?estruki od ova dva broja.

LCM (80, 20) = 80.

2. Ako dva nemaju zajedni?ki djelitelj, onda mo?emo re?i da je njihov LCM proizvod ova dva broja.

LCM (6, 7) = 42.

Razmotrimo posljednji primjer. 6 i 7 u odnosu na 42 su djelitelji. Oni dijele vi?ekratnik bez ostatka.

U ovom primjeru, 6 i 7 su djelitelji parova. Njihov proizvod je jednak najvi?em broju (42).

Broj se naziva prostim ako je djeljiv samo sa sobom ili sa 1 (3:1=3; 3:3=1). Ostalo se naziva kompozitnim.

U drugom primjeru, trebate odrediti da li je 9 djelitelj u odnosu na 42.

42:9=4 (ostatak 6)

Odgovor: 9 nije djelitelj broja 42 jer odgovor ima ostatak.

Delitelj se razlikuje od vi?ekratnika po tome ?to je djelitelj broj kojim se dijele prirodni brojevi, a umno?ak je sam djeljiv tim brojem.

Najve?i zajedni?ki djelitelj brojeva a i b, pomno?eno njihovim najmanjim vi?ekratnikom, dat ?e proizvod samih brojeva a i b.

Naime: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Uobi?ajeni vi?ekratnici za slo?enije brojeve nalaze se na sljede?i na?in.

Na primjer, prona?ite LCM za 168, 180, 3024.

Ove brojeve rastavljamo na proste faktore, zapisujemo ih kao proizvod potencija:

168=2?x3?x7?

2?h3?h5?h7?=15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.