U nastavku razgovora o stepenu nekog broja, logi?no je da se pozabavimo pronala?enjem vrednosti stepena. Ovaj proces je imenovan eksponencijacija. U ovom ?lanku ?emo samo prou?iti kako se izvodi eksponencijacija, dok ?emo se dotaknuti svih mogu?ih eksponenata - prirodnih, cjelobrojnih, racionalnih i iracionalnih. I po tradiciji, detaljno ?emo razmotriti rje?enja primjera podizanja brojeva na razli?ite stupnjeve.

Navigacija po stranici.

?ta zna?i "eksponencijacija"?

Po?nimo s obja?njenjem onoga ?to se zove eksponencijacija. Evo relevantne definicije.

Definicija.

Eksponencijacija je prona?i vrijednost stepena broja.

Dakle, pronala?enje vrijednosti stepena a sa eksponentom r i podizanje broja a na stepen r je ista stvar. Na primjer, ako je zadatak "izra?unaj vrijednost stepena (0,5) 5", onda se mo?e preformulisati na sljede?i na?in: "Podi?i broj 0,5 na stepen 5".

Sada mo?ete i?i direktno na pravila po kojima se izvodi eksponencijacija.

Podizanje broja na prirodni stepen

U praksi se jednakost zasnovana na obi?no primjenjuje u obliku . To jest, kada se broj a podi?e na razlomak m / n, prvo se izdvaja korijen n-tog stepena iz broja a, nakon ?ega se rezultat podi?e na cijeli broj m.

Razmotrimo rje?enja za primjere podizanja na razlomak.

Primjer.

Izra?unajte vrijednost stepena.

Rje?enje.

Prikazujemo dva rje?enja.

Prvi na?in. Po definiciji stepena sa razlomanim eksponentom. Izra?unavamo vrijednost stepena pod znakom korijena, nakon ?ega izvla?imo kubni korijen: .

Drugi na?in. Po definiciji stepena sa frakcijskim eksponentom i na osnovu svojstava korijena, jednakosti su ta?ne . Sada izvadite korijen Kona?no, di?emo na cijeli broj .

O?igledno je da se dobijeni rezultati podizanja na razlomak stepena poklapaju.

odgovor:

Imajte na umu da se razlomak eksponenta mo?e napisati kao decimalni razlomak ili mje?oviti broj, u tim slu?ajevima ga treba zamijeniti odgovaraju?im obi?nim razlomkom, a zatim izvesti eksponencijaciju.

Primjer.

Izra?unaj (44,89) 2,5 .

Rje?enje.

Eksponent pi?emo u obliku obi?nog razlomka (ako je potrebno, pogledajte ?lanak): . Sada izvodimo podizanje na razlomak:

odgovor:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Tako?e treba re?i da je podizanje brojeva na racionalne stepene prili?no naporan proces (posebno kada su brojnik i nazivnik razlomka eksponenta prili?no veliki brojevi), koji se obi?no izvodi pomo?u ra?unarske tehnologije.

U zaklju?ku ovog paragrafa, zadr?a?emo se na konstrukciji broja nula na razlomak. Dali smo sljede?e zna?enje razlomku stepena nule oblika: jer imamo , dok nula na stepen m/n nije definirana. Dakle, nula do pozitivnog razlomka je nula, na primjer, . I nula u razlomku negativnog stepena nema smisla, na primjer, izrazi i 0 -4,3 nemaju smisla.

Uzdizanje na iracionalnu mo?

Ponekad je potrebno saznati vrijednost stepena broja s iracionalnim eksponentom. U ovom slu?aju, u prakti?ne svrhe, obi?no je dovoljno dobiti vrijednost stepena do odre?enog znaka. Odmah napominjemo da se u praksi ova vrijednost izra?unava kori?tenjem elektronske ra?unarske tehnologije, jer ru?no podizanje na iracionalnu snagu zahtijeva veliki broj glomaznih prora?una. Ali ipak ?emo opisati su?tinu akcija op?enito.

Da bi se dobila pribli?na vrijednost eksponenta a sa iracionalnim eksponentom, uzima se neka decimalna aproksimacija eksponenta i izra?unava se vrijednost eksponenta. Ova vrijednost je pribli?na vrijednost stepena broja a sa iracionalnim eksponentom. ?to je ta?nija decimalna aproksimacija broja na po?etku, to ?e ta?nija vrijednost stepena biti na kraju.

Kao primjer, izra?unajmo pribli?nu vrijednost snage 2 1,174367... . Uzmimo sljede?u decimalnu aproksimaciju iracionalnog indikatora: . Sada di?emo 2 na racionalni stepen 1,17 (su?tinu ovog procesa smo opisali u prethodnom paragrafu), dobijamo 2 1,17 ? 2,250116. Na ovaj na?in, 2 1,174367... ?2 1,17 ?2,250116 . Ako uzmemo precizniju decimalnu aproksimaciju iracionalnog eksponenta, na primjer, , tada ?emo dobiti precizniju vrijednost originalnog stepena: 2 1,174367... ?2 1,1743 ?2,256833 .

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Ud?benik matematike Zh za 5 ?elija. obrazovne institucije.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: ud?benik za 7 ?elija. obrazovne institucije.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: ud?benik za 8 ?elija. obrazovne institucije.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: ud?benik za 9 ?elija. obrazovne institucije.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i po?eci analize: ud?benik za 10-11 razred op?teobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priru?nik za kandidate za tehni?ke ?kole).

Stari zapis o priznanici o uplati poreza (“yasaka”). To zna?i iznos od 1232 rublje. 24 kop. Ilustracija iz knjige: Yakov Perelman "Zabavna aritmetika"

Vi?e Richarda Feynmana u "Naravno da se ?alite, gospodine Feynman!" podu?avao nekoliko metoda usmenog brojanja. Iako su ovo vrlo jednostavni trikovi, oni nisu uvijek uklju?eni u ?kolski program.

Na primjer, da biste brzo kvadrirali broj X oko 50 (50 2 = 2500), trebate oduzeti / dodati sto za svaku jedinicu razlike izme?u 50 i X, a zatim dodati razliku na kvadrat. Opis zvu?i mnogo komplikovanije od stvarne ra?unice.

52 2 = 2500 + 200 + 4
47 2 = 2500 – 300 + 9
58 2 = 2500 + 800 + 64

Mladog Feynmana je ovom triku nau?io kolega fizi?ar Hans Bethe, koji je u to vrijeme tako?er radio u Los Alamosu na Projektu Manhattan.

Hans je pokazao jo? nekoliko trikova koje je koristio za brze prora?une. Na primjer, za izra?unavanje kubnih korijena i eksponencijalnosti zgodno je zapamtiti tablicu logaritama. Ovo znanje uvelike pojednostavljuje slo?ene aritmeti?ke operacije. Na primjer, izra?unajte u svom umu pribli?nu vrijednost kubnog korijena od 2,5. Zapravo, kod ovakvih prora?una u va?oj glavi radi svojevrsno klizno pravilo u kojem se sabiranje i dijeljenje brojeva zamjenjuje sabiranjem i oduzimanjem njihovih logaritama. Najpogodnija stvar.

Slide rule

Prije pojave kompjutera i kalkulatora, kliza? se koristio posvuda. Ovo je neka vrsta analognog "ra?unara" koji vam omogu?ava da izvodite nekoliko matemati?kih operacija, uklju?uju?i mno?enje i dijeljenje brojeva, kvadriranje i kocku, izra?unavanje kvadratnog i kubnog korijena, izra?unavanje logaritama, potenciranje, izra?unavanje trigonometrijskih i hiperboli?kih funkcija i neke druge operacije. Ako izra?un podijelite u tri koraka, onda pomo?u kliznog pravila mo?ete podi?i brojeve na bilo koji realni stepen i izvu?i korijen bilo kojeg realnog stepena. Ta?nost prora?una je oko 3 zna?ajne brojke.

Za brzo izvo?enje slo?enih prora?una u svom umu ?ak i bez kliznog pravila, dobra je ideja zapamtiti kvadrate svih brojeva, barem do 25, jednostavno zato ?to se ?esto koriste u prora?unima. A tabela stupnjeva - naj?e??a. Lak?e je zapamtiti nego svaki put ponovo izra?unati da je 5 4 = 625, 3 5 = 243, 2 20 = 1,048,576 i ?3 ? 1,732.

Richard Feynman je pobolj?ao svoje vje?tine i postepeno uo?avao nove zanimljive obrasce i odnose izme?u brojeva. On navodi ovaj primjer: „Ako je neko po?eo dijeliti 1 sa 1,73, mogli biste odmah
odgovorite da ?e to biti 0,577, jer je 1,73 broj blizak kvadratnom korijenu od tri. Dakle, 1/1,73 je otprilike jedna tre?ina kvadratnog korijena od 3."

Ovako napredna mentalna aritmetika mogla bi iznenaditi kolege u danima kada nije bilo kompjutera i kalkulatora. U to su vrijeme apsolutno svi nau?nici mogli dobro ra?unati u mislima, stoga je, da bi se postiglo majstorstvo, bilo potrebno zaroniti dovoljno duboko u svijet brojeva.

Danas ljudi uzimaju kalkulator samo da podijele 76 sa 3. Iznenaditi druge postalo je mnogo lak?e. U Feynmanovo vrijeme, umjesto kalkulatora, postojao je drveni abakus, na kojem je tako?er bilo mogu?e izvoditi slo?ene operacije, uklju?uju?i uzimanje kubnih korijena. Veliki fizi?ar je ve? tada primijetio da uz pomo? takvih alata ljudi uop?e ne moraju pamtiti mnoge aritmeti?ke kombinacije, ve? jednostavno nau?iti kako pravilno kotrljati kuglice. Odnosno, ljudi sa "pro?iriva?ima" mozga ne znaju brojeve. Lo?e rade na zadacima u "offline" na?inu rada.

Evo pet vrlo jednostavnih savjeta za mentalno brojanje koje je preporu?io Yakov Perelman u priru?niku za brzo brojanje iz 1941.

1. Ako se jedan od pomno?enih brojeva razlo?i na faktore, zgodno je mno?iti ih uzastopno.

225 x 6 = 225 x 2 x 3 = 450 x 3
147 x 8 \u003d 147 x 2 x 2 x 2, odnosno udvostru?enje rezultata tri puta

2. Prilikom mno?enja sa 4, dovoljno je udvostru?iti rezultat dva puta. Sli?no, kada se dijeli sa 4 i 8, broj se prepolovi dva ili tri puta.

3. Kada se mno?i sa 5 ili 25, broj se mo?e podijeliti sa 2 ili 4, a zatim se rezultatu mo?e dodati jedna ili dvije nule.

74 x 5 = 37 x 10
72 x 25 = 18 x 100

Ovdje je bolje odmah procijeniti koliko je lak?e. Na primjer, pogodnije je pomno?iti 31 x 25 kao 25 x 31 na standardni na?in, odnosno kao 750 + 25, a ne kao 31 x 25, odnosno 7,75 x 100.

Prilikom mno?enja brojem koji je blizu okruglog broja (98, 103), zgodno je odmah pomno?iti okruglim brojem (100), a zatim oduzeti / dodati proizvod razlike.

37 x 98 = 3700 - 74
37 x 104 = 3700 + 148

4. Da biste kvadrirali broj koji zavr?ava na 5 (na primjer, 85), pomno?ite broj desetica (8) sa njim plus jedan (9) i atribut 25.

8 x 9 = 72, dodijeli 25, dakle 85 2 = 7225

Za?to se ovo pravilo primjenjuje mo?e se vidjeti iz formule:

(10X + 5) 2 = 100X 2 + 100X + 25 = 100X (X+1) + 25

Tehnika se tako?er primjenjuje na decimale koje se zavr?avaju na 5:

8,5 2 = 72,25
14,5 2 = 210,25
0,35 2 = 0,1225

5. Prilikom kvadriranja ne zaboravite na zgodnu formulu

(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
44 2 = 1600 + 16 + 320

Naravno, sve metode se mogu kombinovati jedna s drugom, stvaraju?i prikladnije i u?inkovitije tehnike za specifi?ne situacije.

Razmotrimo sada kvadrat binoma i, primjenjuju?i aritmeti?ku ta?ku gledi?ta, govorit ?emo o kvadratu zbira, tj. (a + b)? i kvadratu razlike dva broja, tj. (a - b)? .

Budu?i da (a + b)? = (a + b) ? (a + b),

tada nalazimo: (a + b) ? (a + b) = a? + ab + ab + b? = a? + 2ab + b?, tj.

(a + b)? = a? + 2ab + b?

Korisno je zapamtiti ovaj rezultat i u obliku gornje jednakosti i rije?ima: kvadrat zbroja dva broja jednak je kvadratu prvog broja plus umno?ak dva na prvi broj i drugi broj, plus kvadrat drugog broja.

Znaju?i ovaj rezultat, mo?emo odmah napisati, na primjer:

(x + y)? = x? + 2xy + y?
(3ab + 1)? = 9a? b? + 6ab + 1

(x n + 4x)? = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

Pogledajmo drugi od ovih primjera. Trebamo kvadrirati zbir dva broja: prvi broj je 3ab, drugi je 1. Trebalo bi da ispadne: 1) kvadrat prvog broja, tj. (3ab)?, koji je jednak 9a?b?; 2) proizvod dva na prvi i drugi broj, tj. 2 ? 3ab ? 1 = 6ab; 3) kvadrat drugog broja, odnosno 1? \u003d 1 - sva ova tri ?lana moraju se sabrati.

Na isti na?in dobijamo formulu za kvadriranje razlike dva broja, odnosno za (a - b)?:

(a - b)? = (a - b) (a - b) = a? - ab - ab + b? = a? - 2ab + b?.

(a - b)? = a? - 2ab + b?,

odnosno kvadrat razlike dva broja jednak je kvadratu prvog broja, umanjenom za proizvod dva na prvi broj i drugi, plus kvadrat drugog broja.

Znaju?i ovaj rezultat, mo?emo odmah izvr?iti kvadriranje binoma koji predstavljaju, sa stanovi?ta aritmetike, razliku dva broja.

(m - n)? = m? - 2mn + n?
(5ab 3 - 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(a n-1 - a) 2 \u003d a 2n-2 - 2a n + a 2, itd.

Hajde da objasnimo 2. primer. Ovdje u zagradama imamo razliku dva broja: prvi broj 5ab 3 i drugi broj 3a 2 b. Rezultat bi trebao biti: 1) kvadrat prvog broja, tj. (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) proizvod dva na 1. i 2. broj, tj. 2 ? 5ab 3 ? 3a 2 b = 30a 3 b 4 i 3) kvadrat drugog broja, tj. (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2; prvi i tre?i ?lan moramo uzeti sa plusom, a drugi sa minusom, dobijamo 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2. Da razjasnimo 4. primjer, samo napominjemo da 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... eksponent se mora pomno?iti sa 2 i 2) proizvod dva sa 1. brojem i sa 2. = 2 ? a n-1 ? a = 2a n .

Ako uzmemo u obzir gledi?te algebre, onda obje jednakosti: 1) (a + b)? = a? + 2ab + b? i 2) (a - b)? = a? - 2ab + b? izra?avaju istu stvar, naime: kvadrat binoma jednak je kvadratu prvog ?lana, plus umno?ak broja (+2) puta prvog ?lana i drugog, plus kvadrat drugog ?lana. Ovo je jasno, jer se na?e jednakosti mogu prepisati kao:

1) (a + b)? = (+a)? + (+2) ? (+a) (+b) + (+b)?
2) (a - b)? = (+a)? + (+2) ? (+a) (-b) + (-b)?

U nekim slu?ajevima je zgodno tuma?iti dobijene jednakosti na ovaj na?in:

(–4a – 3b)? = (–4a)? + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)?

Ovdje je binom na kvadrat, ?iji je prvi ?lan = -4a, a drugi = -3b. Tada dobijamo (-4a)? = 16a?, (+2) (-4a) (-3b) = +24ab, (-3b)? = 9b? i kona?no:

(-4a - 3b)? = 6a? + 24ab + 9b?

Tako?er bi bilo mogu?e dobiti i zapamtiti formulu za kvadriranje trinoma, kvadrinoma i op?enito bilo kojeg polinoma. Me?utim, to ne?emo u?initi, jer rijetko moramo koristiti ove formule, a ako trebamo kvadrirati bilo koji polinom (osim binoma), onda ?emo stvar svesti na mno?enje. Na primjer:

31. Primijeniti dobijene 3 jednakosti i to:

(a + b) (a - b) = a? - b?
(a + b)? = a? + 2ab + b?
(a - b)? = a? - 2ab + b?

na aritmetiku.

Neka bude 41 ? 39. Tada to mo?emo predstaviti u obliku (40 + 1) (40 - 1) i svesti stvar na prvu jednakost - dobijamo 40? - 1 ili 1600 - 1 = 1599. Zahvaljuju?i tome , lako je izvesti mno?enje poput 21 ? 19; 22 ? 18; 31 ? 29; 32 ? 28; 71 ? 69 itd.

Neka je 41 ? 41; isto je kao 41? ili (40 + 1)? = 1600 + 80 + 1 = 1681. Tako?er 35 ? 35 = 35? = (30 + 5)? = 900 + 300 + 25 = 1225. Ako vam treba 37 ? ? onda je jednako (40 - 3)? = 1600 - 240 + 9 = 1369. Takva mno?enja (ili kvadriranje dvocifrenih brojeva) je lako izvesti, uz odre?enu vje?tinu, u umu.

Nekada smo mislili da je izgradnja ku?e dug i skup proces. Ponekad se prote?e godinama, pretvaraju?i se u dugotrajnu gradnju, ispumpavaju?i sva sredstva iz porodi?nog bud?eta. O tome smo pri?ali u materijalu. Ali u ?ivotu postoje situacije kada trebate izgraditi ku?u brzo i za minimalni iznos.

?ini se da je to ili nemogu?e, ili ?e kvalitet gra?evine koja se gradi morati biti ozbiljno ugro?en. Ali na na?em portalu ima puno primjera kada su programeri po?etnici opovrgli ovu izjavu. Glavna stvar je detaljno pristupiti stvari, pripremiti sve za izgradnju ku?e i odabrati pravu i izvodljivu tehnologiju izgradnje za sebe.

Iz ovog ?lanka ?ete nau?iti:

• Koji se novi materijali za ku?u i nove tehnologije naj?e??e koriste za brzu izgradnju seoske ku?e.
• Ku?e od razli?itih materijala, izgra?ene u kratkom roku.
• Materijal za izgradnju ku?e u kratkom roku.
• ?ime polo?iti zidove ku?e. Kako brzo izgraditi kamenu ku?u.
• Koji zid odabrati za individualnu ku?u. Za?to je izgradnja ku?a pomo?u tehnologije okvira toliko popularna?
• Izgradnja ku?e sa savremenim materijalima. Za?to izgradnja SIP panela pojednostavljuje izgradnju vikendice.
• Koje su prednosti ?ipovo-vij?anog temelja i tehnologije fiksne oplate.
• Koji principi ubrzavaju izgradnju konstrukcije.

Materijal za izgradnju ku?e - ?ta odabrati

Izgradnja seoske vikendice, izdr?ljive u skladu sa svim gra?evinskim propisima, mora zapo?eti pa?ljivo osmi?ljenim planom. Potrebno je unaprijed izra?unati procjenu, odabrati tehnologiju izgradnje i najbolji gra?evinski materijal za izgradnju ku?e. Tako?e treba uzeti u obzir klimatske uslove mesta gde ?e se gradnja izvoditi i svojstva tla. Tek nakon prikupljanja svih potrebnih podataka, mo?ete odabrati najracionalnije, najbr?e i najisplativije metode izgradnje.

Materijal za zidove ku?e. ?ta odabrati - drvo, plo?e ili kamen.

?tavi?e, ovaj princip je dvostruko va?an ako je potrebno brzo izgraditi zgradu, jer. svaka gre?ka ili zastoj ?e dovesti do ka?njenja u izgradnji. Ako uzmemo u obzir op?a na?ela odabira tehnologije za ubrzanu izgradnju zgrade, tada se polazi od zajam?enog kvaliteta materijala, strogo definirane geometrije, jednostavnosti i obradivosti prilikom njihove ugradnje, kao i dostupnosti.

Stoga za brzo zidanje biramo tvorni?ki izra?en materijal za zidove ku?e. Specifikacije moraju biti zagarantovane da ispunjavaju navedene zahtjeve. Poku?aj u?tede novca i kori?tenje raznih rukotvorina materijala, tzv. gara?na proizvodnja - lutrija, bez garancija za dobivanje kvalitetnog rezultata.

Izgradnja ku?e - izbor materijalaza samograditelje i gra?evinske kompanije

Ako planirate odabrati najizdr?ljiviji materijal i brzo izgraditi kamenu ku?u punu dostojanstva, onda bi trebali koristiti blokove velikog formata jasne geometrije koji se lako mogu obra?ivati (piljenje, jurenje, bu?enje) na gradili?tu. Takav materijal se lak?e i br?e postavlja.

Drvo kao zidni materijal za privatnu vilu ili seosku ku?u odabiru ljubitelji tehnologije okvira. U ovom slu?aju, jednostavnost rada je na prvom mjestu, ?to podrazumijeva veliku brzinu gradnje, minimiziranje upotrebe gra?evinske opreme (jer mo?ete postaviti i sam drveni okvir), ?iroku dostupnost i ?injenicu da je drvo prili?no jeftin materijal.

Ako je konstrukcija okvira izbor samograditelja koji planiraju individualnu ugradnju kutije kod ku?e ?to je prije mogu?e, onda su trajne monta?ne plo?e velikog formata (SIP, itd.) preferirane od strane programera koji grade zgradu uz pomo? konstrukcije kompanije.

Svaka od ovih metoda ima svoje razli?ite karakteristike, ali o tome kasnije.

Zna?ajke brze izgradnje kamene ku?e

Iskustvo FORUMHOUSE korisnika sugerira da svako ima svoj put do „brze ku?e“, ali postoji nekoliko klju?nih ta?aka koje su zajedni?ke svim individualnim programerima. Prije svega, to je nedostatak vlastitog stanovanja, visoka cijena kvadrata u novim zgradama i nevoljkost da se novac baca iznajmljivanjem stana.

Vladimir Jegorov (nadimak Bobahina)FORUMHOUSE korisnik

Moja porodica je mlada - ja, supruga i dvoje male djece. Nemam svoj stan, pa sam morao da ?ivim u iznajmljenim stanovima. Nekako sam izra?unao da smo za 5 godina "nomadskog" ?ivota potro?ili milion rubalja na stanarinu (u stvari, dali smo ga "ujaku"). Stoga sam nakon sljede?eg poteza donio ?vrstu odluku - prestani lutati, mora? nabaviti svoj kutak.

Smanjuju?i zadu?enje na kredit, Vladimir je izra?unao da bi uzimanjem kredita od 1-1,5 miliona rubalja bilo isplativije graditi ku?u, nego ulagati u hipoteku. Nakon ?to je donesena velika odluka, ostaje da odaberete tehnologiju gradnje koja ?e vam omogu?iti da brzo izgradite vikendicu od "0", spremna za useljenje porodice. Nakon analize „koliko ko?ta izgradnja ku?e“, Vladimir je odlu?io da razbije gradili?te u nekoliko faza i odabere materijal za nose?e zidove koji je najprikladniji za samogradnju.

Gledaju?i unaprijed, recimo da je na? korisnik uspio ispuniti svoj san: in da ?to prije izgradimo ku?u veli?ine 10x7,5 m i pripremiti prvi sprat za stalno stanovanje. ?tovi?e, kao gra?evinski materijal odabran je gazirani beton. Vrijedi napomenuti da je zemlji?te Vladimiru dao njegov otac, ?to je postalo jedan od odlu?uju?ih faktora za uspjeh ove izgradnje.

Tako?er imajte na umu da je kamenu ku?u zapravo izgradila jedna osoba za 6 mjeseci. U slu?aju kori?tenja najamne radne snage - tim od nekoliko ljudi, ovi rokovi bi se mogli smanjiti za 2-3 puta, ali uz pove?anje cijene gra?evine koja se gradi. Stoga, kada razmi?ljate o brzoj gradnji, uvijek morate napraviti kompromis: brzina/procjena, a tako?er i izabrati - potpuno samostalno graditi (potrebno je vremena) ili raditi i kontrolisati gradnju sve ovo vrijeme.

Velika brzina izgradnje ku?e olak?ana je prisustvom svih vrsta potrebnih komunikacija na gradili?tu - svjetlosti i vode, kao i kompetentnim planiranjem svake faze izgradnje i izborom moderne tehnologije.

Prilikom gradnje kamene ku?e moramo nastojati minimizirati "mokre" procese i optimizirati sve tehnolo?ke faze.

Tehnologija konstrukcije okvira

Savremena gra?evinska iskustva sugeriraju da je mogu?e zna?ajno ubrzati proces izgradnje uz pomo? dokazane tehnologije koja je ve? pro?la vrijeme uhodavanja. Pod uslovom da je ovo re?enje efikasno za odre?enu regiju stanovanja. One. odabrani materijal za zidove je uobi?ajen u naselju u kojem ?ivite, i nije ga deficitaran, a gra?evinske ekipe znaju kako se s njim radi i ve? su se „zakucale“. U ovom slu?aju, uz pravilnu kontrolu, mogu?e je garantirati visokokvalitetan rezultat.

Ako trebate brzo izgraditi ku?u i ne propasti, mnogi programeri odlu?uju graditi ku?e koriste?i tehnologiju konstrukcije okvira, kao najracionalniju za samogradnju.

Ufonru FORUMHOUSE korisnik

Imam plac od 6 ari u SNT blizu Sankt Peterburga. Odlu?io sam da na njemu sagradim ku?u. Ostaje odabrati tehnologiju kako biste je mogli izgraditi u slobodno vrijeme, brzo i efikasno. I dr?ite se unutar 400 hiljada rubalja.

Kao rezultat prikupljanja informacija Ufonru opredijelili za "ramove". Na? korisnik uspio je sam, za 80 dana, izgraditi toplu ku?u vrijednu 350 hiljada rubalja, sa potkrovljem i finom zavr?nom obradom, veli?ine 6x10 m.

Prednosti "okvira" mogu se zapisati: mogu?nost izvo?enja gotovo cijele godine, materijal omogu?ava minimum "mokrih" procesa (zahtijeva vrijeme i dobre vremenske uvjete), razvoj tehnologije i velika brzina izgradnje .

To se mora odmah re?i Ufonru pre?ao na stvar do detalja. Da bi se smanjio otpad, dimenzije ku?e su izra?unate na osnovu dimenzija OSB plo?a, plo?a, suhozida, izolacije itd. To je omogu?ilo kori?tenje cijele njihove korisne povr?ine, bez ostataka i u?tedite vrijeme na rezanju materijala.

Kao temelj odabran je plitki trakasti temelj, a za oplatu su odabrane plo?e veli?ine 100x50 mm, koje su potom sve i?le na nosa?e okvira i trake bez naknadnog rezanja. A to je dodatna brzina i u?teda u materijalima.

Koriste?i princip optimizacije, samo je cijena temelja za ovu ku?u smanjena na 65 hiljada rubalja.

Nijanse izgradnje ku?e od SIP panela i vrijeme izgradnje temelja za ?ipove

U potrazi za brzinom izgradnje vikendice, mnogi po?etnici naivno vjeruju da je ku?a kutija zidova s umetnutim prozorima i vratima. U stvari, nije. Mo?ete ?ivjeti u ku?i s minimumom komunikacija - tzv. in?enjeri. To su struja, kanalizacija i voda.

Pogledajte kako samostalno, za ?est mjeseci, izgraditi ku?u od gaziranog betona za stalni boravak. Iz na?eg videa ?ete tako?er saznati o tome

Zamislite da nam operator eksponencijalnosti nije na raspolaganju, tako da ostaje samo da se mno?i. Definisanje stepena sa nenegativnim celobrojnim eksponentom x n omogu?ava vam da izvr?ite prora?un koriste?i n - 1 mno?enja. Ali mno?enje je prili?no skupa operacija (prisjetite se mno?enja u stupcu). Stoga ?emo poku?ati minimizirati broj izvr?enih mno?enja.

Na primjer, ako je eksponent sam po sebi stepen dva, n = 2 m, tada ?e biti potrebno samo m mno?enja, to?nije, kvadriranje: x 2 m = x 2 2 2 ... 2. Ovo korisno zapa?anje mo?e se pro?iriti na op?i slu?aj kori?tenjem o?iglednih jednakosti: x n = x 2 n 2 za paran n , x x 2 n - 1 2 za neparan n . O ovim formulama mo?ete razmi?ljati kao o rekurzivnom na?inu izra?unavanja stepena. Naravno, ove relacije moraju biti dopunjene grani?nim uslovima x 0 = 1, x 1 = x.

Ispada da se broj mno?enja koje treba izvr?iti za podizanje na stepen u skladu sa opisanom rekurzivnom procedurom izra?unava po formuli brojevi n. Ova vrijednost raste izuzetno sporo s rastom n, o ?emu svjedo?i tabela:

Malo je vjerovatno da bismo morali ne?to podi?i na stepen 10000000000, ali ako bismo morali, trebalo bi nam samo ?etrdeset tri mno?enja!

Formula se u potpunosti sla?e sa konkretnim slu?ajem koji je ranije razmatran, kada je n = 2 m i z = m , e = 1 . U op?tem slu?aju, napominjemo da su cifre u binarnom pro?irenju broja jednake ostatcima vi?estrukog dijeljenja ovog broja sa dva. Pojava nulte cifre pokre?e rekurzivni algoritam du? prve (parne) putanje, koja dodaje jedno dodatno mno?enje. Broj jedan bira neparnu granu algoritma, koja zahtijeva dva dodatna mno?enja.

Analizira?emo, pored naivne verzije programa, koja zbog svoje trivijalnosti ne zaslu?uje posebnu raspravu, jo? dve: rekurzivnu i iterativnu. Obje opcije su zasnovane na metodi brzog eksponencijaliranja.

Ranije smo raspravljali o prednostima nerekurzivnih algoritama u odnosu na rekurzivne. Bilo bi primamljivo implementirati brzu eksponencijaciju bez rekurzije, sa jednom petljom. Ovaj zadatak nije tako lak koliko bismo ?eljeli. Trebali bismo se naoru?ati metodom koja bi nam omogu?ila da gradimo cikluse ne kao rezultat bo?anskog otkrivenja (ona nas posje?uje prili?no rijetko), ve? namjerno. Metoda konstruisanja ciklusa pomo?u invarijante je upravo ono ?to nam je sada potrebno.

Svrha svake naredbe u programu je da nas pribli?i rje?avanju problema, odnosno situaciji kada ?e potrebne varijable kona?no dobiti potrebne, ispravno izra?unate vrijednosti. Jedini na?in da se postigne takav cilj je promjena vrijednosti varijabli u nove, to se radi dodjelom. Pogledajmo naredbe koje formiraju tijelo petlje sa ove ta?ke gledi?ta.

Neka program uklju?uje skup varijabli X = x y … z . Nazovimo to status programa. Ciklus se smatra ispravnim ako je kao rezultat njegovog rada ispunjen tra?eni odnos izme?u varijabli. Relacija se shvata kao neka izjava o varijablama. ?ta zna?i afirmacija? Razmotrimo funkciju G X koja ovisi o stanju i uzima logi?ku vrijednost. Jednakost G X = da zna?i da je izjava ta?na, ina?e nije. Funkcija G ?e biti pozvana ciljna funkcija petlje.

Telo petlje se sastoji od naredbi koje dodeljuju nove vrednosti varijablama X F X: X <- F X Tako se gradi rekurentni niz stanja programa. Cilj petlje se posti?e kada funkcija cilja procijeni na istinito, pa se izraz ¬ G X mo?e uzeti kao uvjet petlje: petlja do ¬ G X X <- F X kraj vrijednosti petlje X 0 .

?esto je nezgodno izra?unati uslov zavr?etka ciklusa G X. Zatim, ako budete imali sre?e, mo?ete poku?ati prona?i ja?i uslov Q X (tj. takav da Q X => G X vrijedi za sve X), koji je lak?e izra?unati.

Sav ovaj formalizam ne daje odgovor na pitanja o tome kako prona?i transformaciju F tako da se ciklus zavr?i prije ili kasnije, i kako konstruirati uvjet zavr?etka ciklusa Q X. Metoda invarijantipoma?e da se prona?e i transformacija i stanje.

Klju?nu ulogu u metodi igra ciklus invarijantanje jo? jedna funkcija stanja koja uzima booleove vrijednosti. Funkcija I X naziva se invarijantnom ciklusa ako su ispunjeni sljede?i uslovi:

I X 0 - invarijanta uzima pravu vrijednost u po?etnom stanju;

I X => I F X - istinitost invarijante je sa?uvana tokom prolaska ciklusa;

I X ? Q X => G X - simultana istinitost invarijante i uvjeta zavr?etka ciklusa podrazumijevaju istinitost ciljnog uslova.

Ako se prije ulaska u ciklus pobrinemo za ispunjenje uvjeta I X i izaberemo transformaciju F X koja ?uva istinitost invarijante i ciklus se jednog dana zavr?i, cilj ?e biti postignut na kraju ciklusa .

Vrijeme je da prije?emo sa apstraktnih ideja na konkretne primjere. Konstruirajmo algoritam za naivno izra?unavanje stepena p = x n .

Hajde da obezbedimo skup varijabli X = p x n u programu. Njihove po?etne vrijednosti (prije ulaska u petlju) su X 0 = p 0 x 0 n 0 . Vrijednosti x 0 i n 0 su ulazni parametri algoritma.

Izmislimo ciklus, nakon kojeg ?e varijabla p dobiti vrijednost x 0 n 0 , pa ?emo kao ciljnu funkciju uzeti G p x n = p = x 0 n 0.

Najjednostavniji (ali nikako najbr?i) algoritam svodi problem dizanja na stepen n na problem dizanja na stepen n - 1, tako da ?e se u petlji varijabla n smanjivati za jedan dok ne postane nula . Stoga, Q p x n = n = 0 ?inimo terminskim uslovom.

Sada moramo izabrati invarijantu. Neka se varijablama p x n dodijele nove vrijednosti p ? x ? n ? u tijelu petlje i, kao ?to smo ranije odlu?ili, n ? = n - 1 . Lako je provjeriti da je funkcija I p x n = x 0 n 0 = p x n pogodna za ulogu invarijante.

Zaista, I p 0 x 0 n 0 = x 0 n 0 = p 0 x 0 n 0 je ta?no ako postavimo p 0 = 1 . Drugi uslov koji invarijanta mora da zadovolji je tako?e zadovoljen. Po?to je I p x n => I p ? x ? n ? , tj. x 0 n 0 = p x n => x 0 n 0 = p ? x ? n - 1 , dovoljno je postaviti p = x? ? = x da bi se osigurala invarijantnost. Kona?no, provjeravamo tre?i uslov, I p x n ? Q p x n => Q p x n , tj. x 0 n 0 = p x n ? n = 0 => p = x 0 n 0 . O?igledno, to se radi. Provjeravaju?i uslove, prona?li smo i transformacije koje se de?avaju u tijelu petlje.

Do?li smo do algoritma p <- 1 ciklus dok je n ? 0 p n <- p x n - 1 kraj ciklusa

?italac se mo?da pita za?to je bila potrebna tako slo?ena priprema da bi se dobio tako o?igledan algoritam. Mo?da ?e brza verzija iterativnog algoritma uvjerljivije pokazati snagu invarijantne metode.

Razlika izme?u brzog algoritma i naivnog je u tome ?to se u petlji varijabla n, umjesto da se smanji za jedan, smanjuje za otprilike polovicu. Preciznije, ako je n parno, dijeli se na pola, a ako je neparno, smanjuje se za jedan i zatim dijeli na pola. Jasno je da ?e se vremenom n pretvoriti u nulu, a to ?e postati, kao u naivnom algoritmu, uslov za zavr?etak ciklusa.

Uzmimo invarijantu I p x n = x 0 n 0 = p x n iz naivnog algoritma bez promjena i poku?a?emo posti?i da I p x n => I p ? x ? n ? , gdje je ovaj put = n ? n 2 za paran n , n - 1 2 za neparan n . Tada moramo osigurati da je uvjet x 0 n 0 = p x n => x 0 n 0 = p ? x ? n 2 za paran n , x 0 n 0 = p ? x ? n - 1 2 za neparan n , odnosno p x n = p ? x ? n 2 za paran n , p ? x ? n - 1 2 za neparan n . Da bi ova jednakost vrijedila, dovoljno je staviti p ? = p za paran n , p x za neparan n , x ? = x 2 .

Rezultat na?eg istra?ivanja je algoritam p <- 1 ciklus dok je n ? 0 ako je n mod 2 = 1 p <- p x n <- n - 1 kraj ako je x <- x 2 n <- n 2 kraj ciklusa

Treba priznati da smo prvobitno sastavili ovaj algoritam bez pribjegavanja metodi invarijanti. Program je dobro funkcionirao, ali se, uprkos svojoj kratko?i, pokazao te?kim za razumjeti. Nismo mogli prona?i prave rije?i da to objasnimo ?itaocu i doka?emo njegovu ispravnost. I samo je metoda invarijanti dala i obja?njenje i dokaz.

Ne biste trebali pretpostaviti da metoda invarijanti kreiranje bilo kojeg ciklusa ?ini rutinskim zadatkom. Ima jo? puno prostora za kreativnost. Na primjer, konstrukcija invarijante u mnogim slu?ajevima nije najo?iglednija stvar. Stoga ?emo re?i koja su nas razmatranja dovela do invarijante I p x n = x 0 n 0 = p x n . U potrazi za nepromjenjivim odnosom izme?u programskih varijabli koji ostaje istinit kada se tijelo petlje ponavlja, sastavili smo tablicu vrijednosti za ovaj skup varijabli. Na primjer, odabrali smo dizanje dva na trinaesti stepen: p x n 1 2 13 2 4 6 2 16 3 32 256 1 8192 65536 0

Pravilnost koja se sprovodi u svakom redu tabele brzo je prona?ena: vrednost izraza p x n se pokazala kao ista, i jednaka ta?no 2 13 .

Ispostavilo se da je problem brzog podizanja broja na stepen n usko povezan s ovim problemom. Zamislite ra?unar koji ima samo jedan registar (memorijsku ?eliju) koji mo?e pohraniti nenegativan cijeli broj. Skup instrukcija ove imaginarne ma?ine sadr?i samo dvije instrukcije: D udvostru?uje sadr?aj registra (od rije?i Dvostruko- duplo) i ja pove?avam registar za jedan ( Pove?anje- pove?ati). U po?etku, registar sadr?i nulu. Potrebno je prona?i najkra?i program za ma?inu, nakon ?ega ?e broj n biti u registru. Program je neki kona?an niz instrukcija D i I.

Za bilo koje dato n, postoji beskona?no mnogo programa. Na primjer, program I I I … I je uvijek prikladan (ukupno n instrukcija I). Tako?er, pripisivanje bilo kojeg broja D instrukcija po?etku valjanog programa o?igledno ne mijenja njegovu ispravnost.

Ispada neka vrsta brojevnog sistema: svaki cijeli nenegativan broj mo?e biti povezan s programom za njegovo dobivanje - rije? iznad abecede od dva slova (ili, bolje, brojeva), D i I. Nedostatak ovog brojevnog sistema je njegova dvosmislenost: za svaki broj postoji beskona?no mnogo reprezentacija. Ovaj nedostatak mo?emo poku?ati otkloniti odabirom najkra?eg me?u svim mogu?im reprezentacijama. Ali ni najkra?i uvod nije jedini. Jasno, najkra?i prikaz treba tra?iti me?u onima koji po?inju sa I, jer ako po?inje sa D, mo?e se skratiti ispu?tanjem ovog D. Sada imajte na umu da ako je I I … najkra?a reprezentacija, onda je I D … tako?er najkra?a reprezentacija (pove?avanje jedan po jedan je ekvivalentno udvostru?enju). Za sve ostale vrijednosti registra, udvostru?enje daje ve?i rezultat od dodavanja. Ova jedina preostala nejasno?a se elimini?e dodatnim zahtjevom da reprezentacija ne sadr?i dvije "cifre" I u nizu. Rezultiraju?a reprezentacija ?e biti pozvana kanonski.

Ispostavilo se da se kanonski prikaz mo?e lako dobiti iz binarnog zapisa broja n: trebate zamijeniti svaku nulu „cifrom“ D, a svaku jedinicu „ciframa“ D I. Nakon ?to je to u?injeno, trebali biste odbaciti "cifru" D s po?etka rezultiraju?eg programa, ako se tamo pojavi. Na primjer, za n = 13 = 1101 2 dobija se program I D I D D I. I zaista, 13 = 0 + 1 ? 2 + 1 ? 2 ? 2 + 1 .

Ali kakve sve to veze ima sa brzim eksponencijalnim pove?anjem? Neka postoji neki prikaz eksponenta n. To zna?i da se n dobija od nule kao rezultat uzastopnih pove?anja za jedan ili udvostru?avanja. Ali dodavanje jedan eksponentu je jednako mno?enju cijelog eksponenta sa x, a udvostru?enje eksponenta je kvadriranje eksponenta. Ako imamo na raspolaganju gotovu predstavu eksponenta, dobijamo algoritam p <- 1 ciklus za svaku znamenku d iz reprezentacije n ako je d = I p <- p x ina?e p <- p 2 kraj ako je kraj ciklusa » reprezentacije ?e prvo morati da organizuju jo? jedan ciklus. Bi?e problemati?no kombinovati oba ciklusa, jer su „brojevi“ potrebni redosledom kojim su napisani, odnosno s leva na desno. U isto vrijeme, mnogo ih je lak?e dobiti s desna na lijevo (ba? kao i cifre binarnog zapisa broja). Na?e rje?enje, zbog kojeg smo uzeli metodu invarijanti, zaobilazi ovu pote?ko?u. Ta petlja implicitno prima „cifre“ prikaza eksponenta s desna na lijevo i, ovisno o sljede?oj cifri, izvodi potrebne radnje: petlja while n ? 0 ako je n mod 2 = 1 I n <- n - 1 u suprotnom D n <- n 2 end if loop end Ovdje u slu?aju I treba izvr?iti naredbu p <- p x, au slu?aju D treba izvr?iti naredbu x <- x 2. Naravno, trebate dodijeliti p <- 1 prije petlje. Rezultiraju?i algoritam, kao ?to je lako vidjeti, ekvivalentan je prethodno kreiranom.

Glavna pote?ko?a na?eg zadatka bila je kreiranje algoritma. Sada kada su algoritmi spremni, ne?e biti te?ko prenijeti ih na Perl. S tim u vezi izostavljamo dio "Razvoj" i idemo direktno na gotove programe.