Boltzmannova konstanta (k (\displaystyle k) ili k B (\displaystyle k_(\rm (B)))) - fizi?ka konstanta koja odre?uje odnos izme?u temperature i energije. Ime je dobio po austrijskom fizi?aru Ludwigu Boltzmannu, koji je dao veliki doprinos statisti?koj fizici, u kojoj ova konstanta igra klju?nu ulogu. Njegova eksperimentalna vrijednost u Me?unarodnom sistemu jedinica (SI) je:

Brojevi u zagradama ozna?avaju standardnu gre?ku u posljednjim znamenkama vrijednosti.

Enciklopedijski YouTube

1 / 3

? Toplotno zra?enje. Stefan-Boltzmannov zakon

? Boltzmannov model distribucije.

? Fizika. MKT: Mendeljejev-Klapejronova jedna?ina za idealni gas. Foxford Online Learning Center

Titlovi

Odnos izme?u temperature i energije

U homogenom idealnom gasu na apsolutnoj temperaturi T (\displaystyle T), energija koja se mo?e pripisati svakom translacionom stepenu slobode je, kako slijedi iz Maxwellove raspodjele, kT / 2 (\displaystyle kT/2). Na sobnoj temperaturi (300°C), ova energija je 2 , 07 x 10 - 21 (\displaystyle 2(,)07\puta 10^(-21)) J, ili 0,013 eV. U monoatomskom idealnom gasu, svaki atom ima tri stepena slobode koji odgovaraju tri prostorne ose, ?to zna?i da svaki atom ima energiju u 3 2 k T (\displaystyle (\frac (3)(2))kT).

Poznavaju?i toplinsku energiju, mo?e se izra?unati srednja kvadratna brzina atoma, koja je obrnuto proporcionalna kvadratnom korijenu atomske mase. Srednja kvadratna brzina na sobnoj temperaturi varira od 1370 m/s za helijum do 240 m/s za ksenon. U slu?aju molekularnog plina situacija postaje slo?enija, na primjer, dvoatomski plin ima pet stupnjeva slobode (na niskim temperaturama, kada se ne pobu?uju vibracije atoma u molekulu).

Definicija entropije

Entropija termodinami?kog sistema je definisana kao prirodni logaritam broja razli?itih mikrostanja Z (\displaystyle Z) koje odgovara datom makroskopskom stanju (na primjer, stanju sa datom ukupnom energijom).

Faktor proporcionalnosti k (\displaystyle k) i je Boltzmannova konstanta. Ovo je izraz koji definira odnos izme?u mikroskopskih ( Z (\displaystyle Z)) i makroskopska stanja ( S (\displaystyle S)), izra?ava sredi?nju ideju statisti?ke mehanike.

Popravak pretpostavljene vrijednosti

XXIV Generalna konferencija o mjerama i tegovima, odr?ana 17-21. oktobra 2011. godine, usvojila je rezoluciju u kojoj je, posebno, predlo?eno da se budu?a revizija Me?unarodnog sistema jedinica izvr?i na na?in da se popravi vrijednost Boltzmannove konstante, nakon ?ega ?e se smatrati sigurnom upravo. Kao rezultat, pokrenut ?e se ta?no jednakost k=1,380 6X?10 -23 J/K, gdje X zamjenjuje jednu ili vi?e zna?ajnih cifara koje ?e se odrediti u budu?nosti na osnovu najboljih preporuka CODATA. Takva navodna fiksacija povezana je sa ?eljom da se redefinira jedinica termodinami?ke temperature, kelvin, povezuju?i njenu vrijednost sa vrijedno??u Boltzmannove konstante.

Boltzmann Ludwig (1844-1906)- veliki austrijski fizi?ar, jedan od osniva?a molekularne kineti?ke teorije. U djelima Boltzmanna, molekularno-kineti?ka teorija se prvi put pojavila kao logi?ki koherentna, konzistentna fizi?ka teorija. Boltzmann je dao statisti?ku interpretaciju drugog zakona termodinamike. U?inio je mnogo za razvoj i popularizaciju Maxwellove teorije elektromagnetnog polja. Borac po prirodi, Boltzmann je strastveno branio potrebu za molekularnom interpretacijom termalnih fenomena i preuzeo na sebe glavni teret borbe protiv nau?nika koji su poricali postojanje molekula.

Jedna?ina (4.5.3) uklju?uje omjer univerzalne plinske konstante R na Avogadrovu konstantu N A . Ovaj odnos je isti za sve supstance. Zove se Boltzmannova konstanta, u ?ast L. Boltzmanna, jednog od osniva?a molekularne kineti?ke teorije.

Boltzmanova konstanta je:

(4.5.4)

Jedna?ina (4.5.3), uzimaju?i u obzir Boltzmannu konstantu, zapisuje se na sljede?i na?in:

(4.5.5)

Fizi?ko zna?enje Boltzmannove konstante

Istorijski gledano, temperatura je prvo uvedena kao termodinami?ka veli?ina, a za nju je uspostavljena mjerna jedinica - stepen (vidi § 3.2). Nakon uspostavljanja veze izme?u temperature i prosje?ne kineti?ke energije molekula, postalo je o?igledno da se temperatura mo?e definirati kao prosje?na kineti?ka energija molekula i izraziti u d?ulima ili ergovima, tj. T unesite vrijednost T* tako da

Tako odre?ena temperatura povezana je sa temperaturom izra?enom u stepenima na sljede?i na?in:

Stoga se Boltzmannova konstanta mo?e smatrati veli?inom koja povezuje temperaturu, izra?enu u energetskim jedinicama, sa temperaturom izra?enom u stepenima.

Ovisnost tlaka plina o koncentraciji njegovih molekula i temperaturi

Izra?avanje E iz relacije (4.5.5) i zamenom u formulu (4.4.10) dobijamo izraz koji pokazuje zavisnost pritiska gasa od koncentracije molekula i temperature:

(4.5.6)

Iz formule (4.5.6) slijedi da je pri istim pritiscima i temperaturama koncentracija molekula u svim plinovima ista.

Ovo implicira Avogadrov zakon: jednake zapremine gasova pri istim temperaturama i pritiscima sadr?e isti broj molekula.

Prosje?na kineti?ka energija translacijskog kretanja molekula je direktno proporcionalna apsolutnoj temperaturi. Faktor proporcionalnosti- Boltzmannova konstantak \u003d 10 -23 J / K - treba zapamtiti.

§ 4.6. Maxwellova distribucija

U velikom broju slu?ajeva samo poznavanje prosje?nih vrijednosti fizi?kih veli?ina nije dovoljno. Na primjer, poznavanje prosje?ne visine ljudi ne dozvoljava planiranje proizvodnje odje?e razli?itih veli?ina. Morate znati pribli?an broj ljudi ?ija visina le?i u odre?enom intervalu. Sli?no tome, va?no je znati brojeve molekula koji imaju brzine razli?ite od prosjeka. Maxwell je prvi otkrio kako se ovi brojevi mogu odrediti.

Vjerovatno?a slu?ajnog doga?aja

U §4.1 smo ve? spomenuli da je J. Maxwell uveo koncept vjerovatno?e da bi opisao pona?anje velikog skupa molekula.

Kao ?to je vi?e puta nagla?eno, u principu je nemogu?e pratiti promjenu brzine (ili momenta) jednog molekula u du?em vremenskom intervalu. Tako?er je nemogu?e precizno odrediti brzinu svih molekula plina u datom trenutku. Iz makroskopskih uslova u kojima se gas nalazi (odre?ena zapremina i temperatura) ne proizilaze nu?no odre?ene vrednosti brzina molekula. Brzina molekula mo?e se smatrati slu?ajnom varijablom, koja pod datim makroskopskim uslovima mo?e poprimiti razli?ite vrijednosti, kao ?to pri bacanju kocke mo?e pasti bilo koji broj bodova od 1 do 6 (broj lica kocke je ?est). van. Nemogu?e je predvidjeti koji ?e broj bodova ispasti u datom bacanju kockice. Ali vjerovatno?a da se kotrlja, recimo, pet poena je odbranjiva.

Kolika je vjerovatno?a da ?e se desiti slu?ajni doga?aj? Neka se proizvede veoma veliki broj N testovi (N je broj bacanja kockice). Istovremeno, u N" slu?ajevima, do?lo je do povoljnog ishoda testova (tj. gubitak pet). Tada je vjerovatno?a ovog doga?aja jednaka omjeru broja slu?ajeva sa povoljnim ishodom i ukupnog broja su?enja, pod uslovom da je taj broj proizvoljno velik:

(4.6.1)

Za simetri?nu kocku, vjerovatno?a bilo kojeg odabranog broja bodova od 1 do 6 je .

Vidimo da se na pozadini mnogih slu?ajnih doga?aja otkriva odre?eni kvantitativni obrazac, pojavljuje se broj. Ovaj broj - vjerovatno?a - omogu?ava vam da izra?unate prosjek. Dakle, ako napravite 300 bacanja kocke, tada ?e prosje?an broj bacanja petice, kao ?to slijedi iz formule (4.6.1), biti jednak: 300 = 50, a potpuno je ravnodu?no bacati istu kocku 300 puta ili istovremeno 300 identi?nih kockica.

Nesumnjivo je da je pona?anje molekula plina u posudi mnogo slo?enije od kretanja ba?ene kocke. Ali i ovdje se mo?e nadati otkrivanju odre?enih kvantitativnih pravilnosti koje omogu?avaju izra?unavanje statisti?kih prosjeka, samo ako se problem postavi na isti na?in kao u teoriji igara, a ne kao u klasi?noj mehanici. Moramo napustiti nerje?ivi problem odre?ivanja ta?ne vrijednosti brzine molekula u datom trenutku i poku?ati prona?i vjerovatno?u da brzina ima odre?enu vrijednost.

Leptiri, naravno, ne znaju ni?ta o zmijama. Ali ptice koje love leptire znaju za njih. Ptice koje ne prepoznaju zmije ?e??e ?e...

Prema Stefan-Boltzmann zakonu, gustina integralnog hemisfernog zra?enja E0 zavisi samo od temperature i varira proporcionalno ?etvrtom stepenu apsolutne temperature T:

Stefan - Boltzmannova konstanta s 0 je fizi?ka konstanta uklju?ena u zakon koja odre?uje volumetrijsku gustinu ravnote?nog toplotnog zra?enja crnog tijela:

Istorijski gledano, Stefan-Boltzmannov zakon je formulisan pre Planckovog zakona zra?enja, iz ?ega sledi kao posledica. Plankov zakon utvr?uje zavisnost spektralne gustine fluksa zra?enja E 0 na talasnoj du?ini l i temperaturi T:

gdje je l talasna du?ina, m; With\u003d 2,998 10 8 m / s - brzina svjetlosti u vakuumu; T– tjelesna temperatura, K;
h\u003d 6,625 x 10 -34 J x s - Planckova konstanta.

Fizi?ka konstanta k jednak omjeru univerzalne plinske konstante R\u003d 8314J / (kg x K) na Avogadrov broj N / A\u003d 6,022 x 10 26 1 / (kg x mol):

Broj razli?itih konfiguracija sistema od N?estice za dati skup brojeva n i(broj ?estica u i-stanje kojem odgovara energija e i) proporcionalno je vrijednosti:

Vrijednost W postoji nekoliko na?ina za distribuciju N?estice po energetskim nivoima. Ako je relacija (6) va?e?a, onda se smatra da originalni sistem po?tuje Boltzmannu statistiku. Skup brojeva n i, na kojem je broj W maksimum, javlja se naj?e??e i odgovara najvjerovatnijoj distribuciji.

Fizi?ka kinetika– mikroskopska teorija procesa u statisti?ki neravnote?nim sistemima.

Opis velikog broja ?estica mo?e se uspje?no provesti probabilisti?kim metodama. Za jednoatomni plin, stanje skupa molekula odre?eno je njihovim koordinatama i vrijednostima projekcija brzina na odgovaraju?e koordinatne osi. Matemati?ki, ovo je opisano funkcijom distribucije koja karakterizira vjerovatno?u da ?e ?estica biti u datom stanju:

je o?ekivani broj molekula u zapremini d d , ?ije su koordinate u rasponu od do +d , a ?ije su brzine u rasponu od do +d.

Ako se vremenski prosje?na potencijalna energija interakcije molekula mo?e zanemariti u usporedbi s njihovom kineti?kom energijom, tada se plin naziva idealnim. Idealan plin naziva se Boltzmannov plin ako je omjer du?ine putanje molekula u tom plinu i karakteristi?ne veli?ine toka L naravno, tj.

jer du?ina vo?nje je obrnuto proporcionalna nd 2(n je gustina broja 1/m3, d je pre?nik molekula, m).

vrijednost

pozvao H- Boltzmannova funkcija za jedinicu zapremine, koja je povezana sa verovatno?om detekcije sistema molekula gasa u datom stanju. Svako stanje odgovara odre?enim brojem zauzetosti ?estodimenzionalnih ?elija prostorne brzine, na koje se mo?e podijeliti fazni prostor razmatranih molekula. Ozna?ite W vjerovatno?a da ?e u prvoj ?eliji prostora koji se razmatra biti N 1 molekula, u drugoj ?eliji N 2, itd.

Do konstante koja odre?uje porijeklo vjerovatno?e vrijedi sljede?a relacija:

,

gdje – H-funkcija podru?ja prostora ALI okupirani gasom. Iz (9) se vidi da W i H me?usobno povezani, tj. promjena vjerovatno?e stanja dovodi do odgovaraju?e evolucije H funkcije.

Boltzmannov princip uspostavlja vezu izme?u entropije S fizi?ki sistem i termodinami?ka vjerovatno?a W njen status:

(?tampano prema publikaciji: Kogan M.N. Dinamika razrije?enog plina. - M.: Nauka, 1967.)

Op?ti pogled na CUBE:

gdje je tjelesna sila zbog prisustva razli?itih polja (gravitacijskih, elektri?nih, magnetskih) koja djeluju na molekulu; J je kolizioni integral. Ovaj ?lan Boltzmannove jednad?be uzima u obzir sudare molekula me?usobno i odgovaraju?e promjene u brzinama ?estica u interakciji. Integral sudara je petodimenzionalni integral i ima sljede?u strukturu:

Jedna?ina (12) sa integralom (13) dobijena je za sudar molekula, u kojem ne postoje tangencijalne sile, tj. Pretpostavlja se da su ?estice koje se sudaraju savr?eno glatke.

U procesu interakcije unutra?nja energija molekula se ne mijenja, tj. pretpostavlja se da su ovi molekuli idealno elasti?ni. Razmatraju se dvije grupe molekula koje imaju brzine i , respektivno, prije sudara (sudara) jedna s drugom (slika 1), a nakon sudara, respektivno, brzine i . Razlika u brzinama naziva se relativna brzina, tj. . Jasno je da za glatki elasti?ni sudar . Funkcije distribucije f 1 ", f", f 1 ,f opisuju molekule odgovaraju?ih grupa nakon i prije sudara, tj. ; ; ; .

Rice. 1. Sudar dvaju molekula.

Jedna?ina (13) uklju?uje dva parametra koji karakteriziraju lokaciju sudaraju?ih molekula u odnosu jedan prema drugom: b i e; b- ni?anska daljina, tj. najmanja udaljenost kojoj bi se molekuli pribli?ili u odsustvu interakcije (slika 2); e se naziva parametar ugaone kolizije (slika 3). Integracija je zavr?ena b od 0 do ? i od 0 do 2p (dva vanjska integrala u (12)) pokriva cijelu ravan interakcije sila okomitu na vektor

Rice. 2. Trajektorija kretanja molekula.

Rice. 3. Razmatranje interakcije molekula u cilindri?nom koordinatnom sistemu: z, b, e

Boltzmannova kineti?ka jedna?ina je izvedena pod sljede?im pretpostavkama i pretpostavkama.

1. Smatra se da uglavnom dolazi do sudara dvaju molekula, tj. uloga sudara tri ili vi?e molekula istovremeno je bezna?ajna. Ova pretpostavka omogu?ava da se za analizu koristi funkcija raspodjele jedne ?estice, koja je gore jednostavno nazvana funkcija raspodjele. Uzimanje u obzir sudara tri molekula dovodi do potrebe da se u istra?ivanju koristi funkcija raspodjele s dvije ?estice. Shodno tome, analiza postaje mnogo komplikovanija.

2. Pretpostavka molekularnog haosa. Izra?ava se u ?injenici da su vjerovatno?e detekcije ?estice 1 u faznoj ta?ki i ?estice 2 u faznoj ta?ki nezavisne jedna od druge.

3. Jednako vjerovatni sudari molekula na bilo kojoj udaljenosti udara, tj. funkcija distribucije se ne mijenja na pre?niku interakcije. Treba napomenuti da analizirani element mora biti mali da bi mogao f unutar ovog elementa se ne mijenja, ali u isto vrijeme, tako da relativna fluktuacija ~ nije velika. Interakcioni potencijali koji se koriste u prora?unu sudarskog integrala su sferno simetri?ni, tj. .

Maxwell-Boltzmannova distribucija

Stanje ravnote?e gasa opisuje se apsolutnom Maksvelovskom raspodelom, koja je ta?no re?enje Bolcmanove kineti?ke jedna?ine:

gdje je m masa molekula, kg.

Op?a lokalno-Maxwellova raspodjela se ina?e naziva Maxwell-Boltzmannova distribucija:

u slu?aju kada se gas kao celina kre?e brzinom i varijable n, T zavise od koordinata
i vrijeme t.

U Zemljinom gravitacionom polju, ta?no re?enje Bolcmanove jedna?ine pokazuje:

gdje n 0 = gustina blizu povr?ine Zemlje, 1/m 3 ; g- ubrzanje gravitacije, m/s 2; h je visina, m. Formula (16) je ta?no rje?enje Boltzmannove kineti?ke jedna?ine bilo u beskona?nom prostoru ili u prisustvu granica koje ne naru?avaju ovu distribuciju, a temperatura tako?er mora ostati konstantna.

Ovu stranicu je dizajnirao Puzina Yu.Yu. uz podr?ku Ruske fondacije za osnovna istra?ivanja - projekat br. 08-08-00638.

Boltzmannova konstanta (k (\displaystyle k) ili k B (\displaystyle k_(\rm (B)))) je fizi?ka konstanta koja odre?uje odnos izme?u temperature i energije. Ime je dobio po austrijskom fizi?aru Ludwigu Boltzmannu, koji je dao veliki doprinos statisti?koj fizici, u kojoj ova konstanta igra klju?nu ulogu. Njegova vrijednost u Me?unarodnom sistemu jedinica SI prema promjeni definicija osnovnih SI jedinica (2018) je ta?no jednaka

Odnos izme?u temperature i energije

U homogenom idealnom gasu na apsolutnoj temperaturi T (\displaystyle T), energija po translacionom stepenu slobode je, kao ?to sledi iz Maksvelove raspodele, kT / 2 (\displaystyle kT/2). Na sobnoj temperaturi (300°C), ova energija je 2 , 07 x 10 - 21 (\displaystyle 2(,)07\puta 10^(-21)) J, ili 0,013 eV. U monoatomskom idealnom gasu, svaki atom ima tri stepena slobode koji odgovaraju tri prostorne ose, ?to zna?i da svaki atom ima energiju u 3 2 k T (\displaystyle (\frac (3)(2))kT).

Poznavaju?i toplinsku energiju, mo?e se izra?unati srednja kvadratna brzina atoma, koja je obrnuto proporcionalna kvadratnom korijenu atomske mase. Srednja kvadratna brzina na sobnoj temperaturi varira od 1370 m/s za helijum do 240 m/s za ksenon. U slu?aju molekularnog plina, situacija postaje slo?enija, na primjer, dvoatomski plin ima 5 stupnjeva slobode - 3 translacijska i 2 rotiraju?a (na niskim temperaturama, kada se ne pobu?uju vibracije atoma u molekuli i dodatni stupnjevi sloboda se ne dodaju).

Definicija entropije

Entropija termodinami?kog sistema je definisana kao prirodni logaritam broja razli?itih mikrostanja Z (\displaystyle Z) koje odgovara datom makroskopskom stanju (na primjer, stanju sa datom ukupnom energijom).

Faktor proporcionalnosti k (\displaystyle k) i je Boltzmannova konstanta. Ovo je izraz koji definira odnos izme?u mikroskopskih ( Z (\displaystyle Z)) i makroskopska stanja ( S (\displaystyle S)), izra?ava sredi?nju ideju statisti?ke mehanike.