Malo je vjerovatno da mnogi ljudi razmi?ljaju o tome da li je mogu?e izra?unati doga?aje koji su manje-vi?e nasumi?ni. Jednostavno re?eno, da li je realno znati koja ?e strana kockice sljede?a pasti. Upravo su to pitanje postavila dva velika nau?nika, koji su postavili temelje za takvu nauku kao ?to je teorija vjerovatno?e, u kojoj se vjerovatno?a doga?aja prili?no op?irno prou?ava.

Porijeklo

Ako poku?ate da defini?ete takav koncept kao teorija verovatno?e, dobijate slede?e: ovo je jedna od grana matematike koja prou?ava konstantnost slu?ajnih doga?aja. Naravno, ovaj koncept zapravo ne otkriva cijelu su?tinu, pa ga je potrebno detaljnije razmotriti.

?eleo bih da po?nem sa tvorcima teorije. Kao ?to je ve? spomenuto, bilo ih je dvoje, a upravo su oni me?u prvima poku?ali izra?unati ishod nekog doga?aja koriste?i formule i matemati?ke prora?une. U cjelini, po?eci ove nauke javljaju se u srednjem vijeku. Tada su razni mislioci i nau?nici poku?avali da analiziraju kockanje, kao ?to su rulet, craps i tako dalje, utvr?uju?i tako obrazac i procenat ispadanja odre?enog broja. Temelj su postavili u sedamnaestom veku pomenuti nau?nici.

U po?etku se njihov rad nije mogao pripisati velikim dostignu?ima u ovoj oblasti, jer su sve ?to su radili bile samo empirijske ?injenice, a eksperimenti su postavljeni vizuelno, bez upotrebe formula. Vremenom se pokazalo da posti?e odli?ne rezultate, koji su se pojavili kao rezultat posmatranja bacanja kocke. Upravo je ovaj alat pomogao da se izvuku prve razumljive formule.

Ljudi istomi?ljenika

Nemogu?e je ne spomenuti takvu osobu kao ?to je Christian Huygens, u procesu prou?avanja teme koja se zove "teorija vjerovatno?e" (vjerovatno?a doga?aja je pokrivena upravo u ovoj nauci). Ova osoba je veoma interesantna. On je, kao i gore predstavljeni nau?nici, poku?ao da izvede pravilnost slu?ajnih doga?aja u obliku matemati?kih formula. Va?no je napomenuti da to nije radio zajedno sa Pascalom i Fermatom, odnosno da se sva njegova djela ni na koji na?in nisu ukr?tala s tim umovima. Huygens je izveo

Zanimljiva je ?injenica da je njegov rad iza?ao mnogo prije rezultata rada otkriva?a, odnosno dvadeset godina ranije. Me?u nazna?enim konceptima najpoznatiji su:

• koncept vjerovatno?e kao veli?ine slu?aja;
• matemati?ko o?ekivanje za diskretne slu?ajeve;
• teoreme mno?enja i sabiranja vjerovatno?a.

Tako?er je nemogu?e ne sjetiti se ko je tako?er dao zna?ajan doprinos prou?avanju problema. Provode?i sopstvene testove, nezavisno od bilo koga, uspeo je da predstavi dokaz zakona velikih brojeva. Zauzvrat, nau?nici Poisson i Laplace, koji su radili na po?etku devetnaestog veka, uspeli su da doka?u originalne teoreme. Od tog trenutka se teorija vjerovatno?e po?ela koristiti za analizu gre?aka u toku posmatranja. Ovu nauku nisu mogli zaobi?i ni ruski nau?nici, odnosno Markov, ?ebi?ev i Djapunov. Na osnovu rada velikih genija, fiksirali su ovaj predmet kao granu matematike. Ove li?nosti su delovale ve? krajem devetnaestog veka, a zahvaljuju?i njihovom doprinosu, pojavile su se pojave kao ?to su:

• zakon velikih brojeva;
• teorija Markovljevih lanaca;
• centralna grani?na teorema.

Dakle, sa istorijom ra?anja nauke i sa glavnim ljudima koji su na nju uticali, sve je manje-vi?e jasno. Sada je vrijeme da konkretiziramo sve ?injenice.

Osnovni koncepti

Prije nego ?to se dotaknemo zakona i teorema, vrijedi prou?iti osnovne koncepte teorije vjerovatno?e. Doga?aj u tome ima vode?u ulogu. Ova tema je prili?no obimna, ali bez nje ne?e biti mogu?e razumjeti sve ostalo.

Doga?aj u teoriji vjerovatno?e je bilo koji skup ishoda eksperimenta. Nema toliko koncepata ovog fenomena. Dakle, nau?nik Lotman, koji radi u ovoj oblasti, rekao je da u ovom slu?aju govorimo o onome ?to se „dogodilo, iako se mo?da nije dogodilo“.

Slu?ajni doga?aji (teorija vjerovatno?e im posve?uje posebnu pa?nju) je koncept koji podrazumijeva apsolutno svaki fenomen koji ima sposobnost da se dogodi. Ili, obrnuto, ovaj scenario se mo?da ne?e dogoditi kada su ispunjeni mnogi uslovi. Tako?e je vredno znati da su slu?ajni doga?aji ti koji obuhvataju ?itav opseg pojava koje su se dogodile. Teorija vjerovatno?e pokazuje da se svi uvjeti mogu stalno ponavljati. Upravo se njihovo pona?anje zvalo "eksperiment" ili "test".

Odre?eni doga?aj je onaj koji ?e se 100% dogoditi u datom testu. Prema tome, nemogu? doga?aj je onaj koji se ne?e dogoditi.

Kombinacija para radnji (uslovno slu?aj A i slu?aj B) je pojava koja se javlja istovremeno. Oni su ozna?eni kao AB.

Zbir parova doga?aja A i B je C, drugim rije?ima, ako se dogodi barem jedan od njih (A ili B), onda ?e se dobiti C. Formula opisanog fenomena je napisana na sljede?i na?in: C \u003d A + B.

Disjunktni doga?aji u teoriji vjerovatno?e impliciraju da se ova dva slu?aja me?usobno isklju?uju. Nikada se ne mogu dogoditi u isto vrijeme. Zajedni?ki doga?aji u teoriji vjerovatno?e su njihov antipod. Ovo implicira da ako se A dogodilo, onda to ni na koji na?in ne sprje?ava B.

Suprotni doga?aji (teorija vjerovatno?e ih se bavi vrlo detaljno) lako je razumjeti. Najbolje je pozabaviti se njima u pore?enju. Oni su skoro isti kao nekompatibilni doga?aji u teoriji vjerovatno?e. Ali njihova razlika le?i u ?injenici da se jedan od mnogih fenomena u svakom slu?aju mora dogoditi.

Jednako vjerovatni doga?aji su one radnje ?ija je mogu?nost ponavljanja jednaka. Da bi bilo jasnije, mo?emo zamisliti bacanje nov?i?a: gubitak jedne od njegovih strana jednako je vjerovatno da ?e ispasti s druge.

Povoljan doga?aj je lak?e uo?iti na primjeru. Recimo da postoje epizoda B i epizoda A. Prva je bacanje kockice sa pojavom neparnog broja, a druga je pojava broja pet na kockici. Tada se ispostavilo da A favorizuje B.

Nezavisni doga?aji u teoriji vjerovatno?e se projektuju samo na dva ili vi?e slu?ajeva i podrazumijevaju neovisnost bilo koje akcije od drugog. Na primjer, A - ispu?tanje repova prilikom bacanja nov?i?a, i B - dobijanje d?aka iz ?pila. Oni su nezavisni doga?aji u teoriji vjerovatno?e. U ovom trenutku je postalo jasnije.

Zavisni doga?aji u teoriji vjerovatno?e su tako?er prihvatljivi samo za njihov skup. Oni podrazumijevaju ovisnost jednog od drugog, odnosno pojava B mo?e nastati samo ako se A ve? dogodio ili se, naprotiv, nije dogodio kada je to glavni uvjet za B.

Ishod slu?ajnog eksperimenta koji se sastoji od jedne komponente su elementarni doga?aji. Teorija vjerovatno?e obja?njava da se radi o fenomenu koji se dogodio samo jednom.

Osnovne formule

Dakle, gore su razmotreni koncepti "doga?aja", "teorije vjerovatno?e", data je i definicija glavnih pojmova ove nauke. Sada je vrijeme da se direktno upoznate sa va?nim formulama. Ovi izrazi matemati?ki potvr?uju sve glavne koncepte u tako te?kom predmetu kao ?to je teorija vjerojatnosti. Verovatno?a doga?aja tako?e igra veliku ulogu.

Bolje je po?eti s glavnim, a prije nego ?to pre?ete na njih, vrijedi razmisliti o ?emu se radi.

Kombinatorika je prvenstveno grana matematike, bavi se prou?avanjem ogromnog broja cijelih brojeva, kao i raznim permutacijama kako samih brojeva tako i njihovih elemenata, raznih podataka itd., ?to dovodi do pojave niza kombinacija. Pored teorije vjerovatno?e, ova grana je va?na za statistiku, ra?unarstvo i kriptografiju.

Dakle, sada mo?ete prije?i na prezentaciju samih formula i njihove definicije.

Prvi od njih ?e biti izraz za broj permutacija, izgleda ovako:

P_n = n ? (n - 1) ? (n - 2)…3 ? 2 ? 1 = n!

Jedna?ina se primjenjuje samo ako se elementi razlikuju samo po svom redoslijedu.

Sada ?e se uzeti u obzir formula plasmana, ona izgleda ovako:

A_n^m = n ? (n - 1) ? (n-2) ? ... ? (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Ovaj izraz je primjenjiv ne samo na redoslijed elementa, ve? i na njegov sastav.

Tre?a jedna?ina iz kombinatorike, koja je ujedno i posljednja, zove se formula za broj kombinacija:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

Kombinacija se naziva selekcija koja nije naru?ena, odnosno, i ovo pravilo se primjenjuje na njih.

Pokazalo se da je lako shvatiti formule kombinatorike, sada mo?emo prije?i na klasi?nu definiciju vjerovatno?a. Ovaj izraz izgleda ovako:

U ovoj formuli, m je broj uslova pogodnih za doga?aj A, a n je broj apsolutno svih jednako mogu?ih i elementarnih ishoda.

Postoji veliki broj izraza, ?lanak ne?e obuhvatiti sve njih, ali ?e se dotaknuti najva?nijih od njih, kao ?to je, na primjer, vjerovatno?a zbira doga?aja:

P(A + B) = P(A) + P(B) - ova teorema je za dodavanje samo nekompatibilnih doga?aja;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - a ovaj je za dodavanje samo kompatibilnih.

Verovatno?a nastanka doga?aja:

P(A ? B) = P(A) ? P(B) - ova teorema je za nezavisne doga?aje;

(P(A ? B) = P(A) ? P(B|A); P(A ? B) = P(A) ? P(A|B)) - a ovo je za zavisne osobe.

Formula doga?aja ?e zavr?iti listu. Teorija vjerovatno?e nam govori o Bayesovoj teoremi, koja izgleda ovako:

P(H_m|A) = (P(H_m)P(A|H_m)) : (?_(k=1)^n P(H_k)P(A|H_k)),m = 1,..., n

U ovoj formuli, H 1 , H 2 , …, H n je puna grupa hipoteza.

Primjeri

Ako pa?ljivo prou?avate bilo koju granu matematike, ona nije potpuna bez vje?bi i uzoraka rje?enja. Isto tako i teorija vjerovatno?e: doga?aji, primjeri ovdje su sastavna komponenta koja potvr?uje nau?ne prora?une.

Formula za broj permutacija

Recimo da ima trideset karata u ?pilu karata, po?ev?i od jedne nominalne vrijednosti. Sledece pitanje. Koliko postoji na?ina da se ?pil slo?i tako da kartice nominalne vrijednosti jedan i dva ne budu jedna pored druge?

Zadatak je postavljen, a sada idemo na njegovo rje?avanje. Prvo morate odrediti broj permutacija od trideset elemenata, za to uzimamo gornju formulu, ispada P_30 = 30!.

Na osnovu ovog pravila saznat ?emo koliko postoji opcija za preklapanje ?pila na razli?ite na?ine, ali od njih trebamo oduzeti one u kojima su prva i druga karta sljede?e. Da bismo to u?inili, po?nimo s opcijom kada je prva iznad druge. Ispostavilo se da prva karta mo?e zauzeti dvadeset devet mjesta - od prve do dvadeset devete, a druga karta od druge do tridesete, ispada samo dvadeset devet mjesta za par karata. Zauzvrat, ostatak mo?e zauzeti dvadeset osam mjesta, i to bilo kojim redoslijedom. To jest, za permutaciju od dvadeset osam karata, postoji dvadeset osam opcija P_28 = 28!

Kao rezultat, ispada da ako uzmemo u obzir rje?enje kada je prva karta iznad druge, postoji 29 ? 28 dodatnih mogu?nosti! = 29!

Koriste?i istu metodu, morate izra?unati broj suvi?nih opcija za slu?aj kada je prva kartica ispod druge. Ispada i 29 ? 28! = 29!

Iz ovoga proizilazi da postoji 2 ? 29! dodatnih opcija, dok postoji 30 neophodnih na?ina za izgradnju ?pila! - 2 ? 29!. Ostaje samo da se ra?una.

30! = 29! ? 30; 30!- 2 ? 29! = 29! ? (30 - 2) = 29! ? 28

Sada trebate pomno?iti sve brojeve od jedan do dvadeset devet me?u sobom, a zatim na kraju sve pomno?iti sa 28. Odgovor je 2,4757335 ??10?^32

Primjer rje?enja. Formula za broj plasmana

U ovom zadatku morate saznati na koliko na?ina postoji da se petnaest tomova stavi na jednu policu, ali pod uslovom da ima ukupno trideset tomova.

U ovom problemu rje?enje je ne?to jednostavnije nego u prethodnom. Koriste?i ve? poznatu formulu, potrebno je izra?unati ukupan broj aran?mana od trideset svezaka od petnaest.

A_30^15 = 30 ? 29 ? 28?... ? (30 - 15 + 1) = 30 ? 29 ? 28 ? ... ? 16 = 202 843 204 931 727 000

Odgovor ?e, respektivno, biti jednak 202.843.204.931.727.360.000.

Hajdemo sada da malo te?imo zadatak. Morate saznati na koliko na?ina mo?ete rasporediti trideset knjiga na dvije police za knjige, s tim da samo petnaest tomova mo?e biti na jednoj polici.

Prije nego krenem s rje?avanjem, ?elio bih pojasniti da se neki problemi rje?avaju na vi?e na?ina, tako da u ovom postoje dva na?ina, ali se u oba koristi ista formula.

U ovom zadatku mo?ete preuzeti odgovor iz prethodnog, jer smo tamo izra?unali koliko puta mo?ete napuniti policu sa petnaest knjiga na razli?ite na?ine. Ispostavilo se A_30^15 = 30 ? 29 ? 28 ? ... ? (30 - 15 + 1) = 30 ? 29 ? 28 ? ...? 16.

Drugu policu ra?unamo prema formuli permutacije, jer je u nju smje?teno petnaest knjiga, a ostalo je samo petnaest. Koristimo formulu P_15 = 15!.

Ispostavilo se da ?e ukupno biti A_30^15 ? P_15 na?ina, ali, osim toga, proizvod svih brojeva od trideset do ?esnaest morat ?e se pomno?iti s umno?kom brojeva od jedan do petnaest, kao rezultat toga, dobi?e se proizvod svih brojeva od jedan do trideset, odnosno odgovor je 30!

Ali ovaj problem se mo?e rije?iti na druga?iji na?in - lak?e. Da biste to u?inili, mo?ete zamisliti da postoji jedna polica za trideset knjiga. Svi su postavljeni na ovu ravan, ali po?to uvjet zahtijeva da postoje dvije police, jednu duga?ku presije?emo na pola, ispada po dvije po petnaest. Iz ovoga se ispostavlja da opcije postavljanja mogu biti P_30 = 30!.

Primjer rje?enja. Formula za kombinovani broj

Sada ?emo razmotriti varijantu tre?eg problema iz kombinatorike. Morate saznati na koliko na?ina postoji da rasporedite petnaest knjiga, s tim da morate izabrati izme?u trideset potpuno identi?nih.

Za rje?enje ?e se, naravno, primijeniti formula za broj kombinacija. Iz uslova postaje jasno da redosled identi?nih petnaest knjiga nije va?an. Stoga, u po?etku morate saznati ukupan broj kombinacija od trideset knjiga od petnaest.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : petnaest ! = 155 117 520

To je sve. Koriste?i ovu formulu, u najkra?em mogu?em roku bilo je mogu?e rije?iti takav problem, odgovor je 155 117 520.

Primjer rje?enja. Klasi?na definicija vjerovatno?e

Koriste?i gornju formulu, mo?ete prona?i odgovor u jednostavnom zadatku. Ali to ?e pomo?i da se vizualno vidi i prati tijek radnji.

Problem je s obzirom da se u urni nalazi deset apsolutno identi?nih loptica. Od toga, ?etiri su ?ute, a ?est plave. Jedna lopta se uzima iz urne. Morate saznati vjerovatno?u da dobijete plavu boju.

Da bismo rije?ili problem, potrebno je nazna?iti dobijanje plave lopte kao doga?aj A. Ovo iskustvo mo?e imati deset ishoda, koji su, pak, elementarni i jednako vjerovatni. Istovremeno, ?est od deset je povoljno za doga?aj A. Rje?avamo pomo?u formule:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Primjenom ove formule saznali smo da je vjerovatno?a da dobijemo plavu kuglu 0,6.

Primjer rje?enja. Vjerovatno?a zbira doga?aja

Sada ?e biti predstavljena varijanta koja se rje?ava pomo?u formule za vjerovatno?u zbira doga?aja. Dakle, pod uslovom da postoje dvije kutije, prva sadr?i jednu sivu i pet bijelih loptica, a druga osam sivih i ?etiri bijele kuglice. Kao rezultat toga, jedan od njih je uzet iz prve i druge kutije. Potrebno je saznati kolika je ?ansa da izva?ene lopte budu sivo-bijele.

Za rje?avanje ovog problema potrebno je ozna?iti doga?aje.

• Dakle, A - uzmi sivu loptu iz prve kutije: P(A) = 1/6.
• A '- uzeli su bijelu loptu tako?er iz prve kutije: P (A ") \u003d 5/6.
• B - ve? iz druge kutije je izva?ena siva lopta: P(B) = 2/3.
• B' - uzeli su sivu loptu iz druge kutije: P(B") = 1/3.

Prema uslovu zadatka, potrebno je da se javi jedna od pojava: AB 'ili A'B. Koriste?i formulu, dobijamo: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Sada se koristi formula za mno?enje vjerovatno?e. Dalje, da biste saznali odgovor, morate primijeniti jednad?bu za njihovo sabiranje:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Dakle, koriste?i formulu, mo?ete rije?iti sli?ne probleme.

Ishod

?lanak je pru?io informacije na temu "Teorija vjerovatno?e", u kojoj vjerovatno?a doga?aja igra klju?nu ulogu. Naravno, nije sve uzeto u obzir, ali se, na osnovu prikazanog teksta, teoretski mo?e upoznati sa ovim dijelom matematike. Nauka o kojoj je rije? mo?e biti korisna ne samo u profesionalnom radu, ve? iu svakodnevnom ?ivotu. Uz njegovu pomo? mo?ete izra?unati bilo koju mogu?nost bilo kojeg doga?aja.

Tekst se dotakao i zna?ajnih datuma u istoriji formiranja teorije vjerovatno?e kao nauke, te imena ljudi ?iji su radovi u nju ulo?eni. Tako je ljudska radoznalost dovela do ?injenice da su ljudi nau?ili izra?unati ?ak i slu?ajne doga?aje. Nekada ih je to samo zanimalo, a danas ve? svi znaju za to. I niko ne?e re?i ?ta nas ?eka u budu?nosti, koja ?e jo? briljantna otkri?a vezana za teoriju koja se razmatra biti napravljena. Ali jedno je sigurno - istra?ivanje ne stoji mirno!

U privredi, kao iu drugim oblastima ljudske djelatnosti ili u prirodi, stalno se suo?avamo sa doga?ajima koji se ne mogu to?no predvidjeti. Dakle, obim prodaje robe zavisi od potra?nje, koja mo?e zna?ajno da varira, i od niza drugih faktora koje je gotovo nemogu?e uzeti u obzir. Stoga, prilikom organizacije proizvodnje i prodaje, ishod takvih aktivnosti treba predvidjeti na osnovu ili vlastitog prethodnog iskustva, ili sli?nog iskustva drugih ljudi, ili intuicije, koja se tako?er u velikoj mjeri zasniva na eksperimentalnim podacima.

Da bi se na neki na?in vrednovao doga?aj koji se razmatra, potrebno je uzeti u obzir ili posebno organizovati uslove u kojima se ovaj doga?aj snima.

Zove se implementacija odre?enih uslova ili radnji za identifikaciju doti?nog doga?aja iskustvo ili eksperiment.

Doga?aj se zove nasumi?no ako se, kao rezultat eksperimenta, mo?e dogoditi ili ne mora.

Doga?aj se zove pouzdan, ako se nu?no pojavi kao rezultat ovog iskustva, i nemogu?e ako se ne mo?e pojaviti u ovom iskustvu.

Na primjer, snje?ne padavine u Moskvi 30. novembra su slu?ajni doga?aj. Dnevni izlazak sunca mo?e se smatrati odre?enim doga?ajem. Snje?ne padavine na ekvatoru mogu se smatrati nemogu?im doga?ajem.

Jedan od glavnih problema u teoriji vjerovatno?e je problem odre?ivanja kvantitativne mjere mogu?nosti nastanka doga?aja.

Algebra doga?aja

Doga?aji se nazivaju nekompatibilnim ako se ne mogu posmatrati zajedno u istom iskustvu. Dakle, prisustvo dva i tri automobila u jednoj prodavnici u isto vrijeme su dva nespojiva doga?aja.

suma doga?aj je doga?aj koji se sastoji od pojave barem jednog od ovih doga?aja

Primjer zbroja doga?aja je prisustvo barem jednog od dva proizvoda u trgovini.

rad doga?aji se nazivaju doga?aji koji se sastoje od istovremenog nastupa svih ovih doga?aja

Doga?aj koji se sastoji u pojavi dvije robe u isto vrijeme u prodavnici je proizvod doga?aja: - pojavljivanja jednog proizvoda, - pojavljivanja drugog proizvoda.

Doga?aji ?ine kompletnu grupu doga?aja ako se barem jedan od njih nu?no javlja u iskustvu.

Primjer. Luka ima dva veza za brodove. Mogu se smatrati tri doga?aja: - odsustvo plovila na vezovima, - prisustvo jednog plovila na jednom od vezova, - prisustvo dva plovila na dva veza. Ova tri doga?aja ?ine kompletnu grupu doga?aja.

Nasuprot nazivaju se dva jedinstvena mogu?a doga?aja koji ?ine kompletnu grupu.

Ako je jedan od doga?aja koji su suprotni ozna?en sa , tada se suprotni doga?aj obi?no ozna?ava sa .

Klasi?ne i statisti?ke definicije vjerovatno?e doga?aja

Svaki od jednako mogu?ih rezultata ispitivanja (eksperimenata) naziva se elementarni ishod. Obi?no se ozna?avaju slovima. Na primjer, baca se kocka. Prema broju bodova na stranama mo?e biti ?est elementarnih ishoda.

Od elementarnih ishoda mo?ete sastaviti slo?eniji doga?aj. Dakle, doga?aj parnog broja bodova odre?en je sa tri ishoda: 2, 4, 6.

Kvantitativna mjera mogu?nosti nastanka doga?aja koji se razmatra je vjerovatno?a.

Dvije definicije vjerovatno?e doga?aja se naj?e??e koriste: klasi?na i statisti?ki.

Klasi?na definicija vjerovatno?e povezana je sa pojmom povoljnog ishoda.

Egzodus se zove povoljno ovaj doga?aj, ako njegovo pojavljivanje povla?i nastanak ovog doga?aja.

U datom primjeru, doga?aj koji se razmatra je paran broj bodova na oborenoj ivici, ima tri povoljna ishoda. U ovom slu?aju, general
broj mogu?ih ishoda. Dakle, ovdje mo?ete koristiti klasi?nu definiciju vjerovatno?e doga?aja.

Klasi?na definicija jednak je omjeru broja povoljnih ishoda i ukupnog broja mogu?ih ishoda

gdje je vjerovatno?a doga?aja, broj povoljnih ishoda za doga?aj, ukupan broj mogu?ih ishoda.

U razmatranom primjeru

Statisti?ka definicija vjerovatno?e povezana je s konceptom relativne u?estalosti pojavljivanja doga?aja u eksperimentima.

Relativna u?estalost pojavljivanja doga?aja izra?unava se po formuli

gdje je broj pojavljivanja doga?aja u nizu eksperimenata (testova).

Statisti?ka definicija. Vjerovatno?a doga?aja je broj u odnosu na koji se relativna frekvencija stabilizuje (uspostavlja) uz neograni?eno pove?anje broja eksperimenata.

U prakti?nim problemima, relativna u?estalost za dovoljno veliki broj poku?aja uzima se kao vjerovatno?a doga?aja.

Iz ovih definicija vjerovatno?e doga?aja mo?e se vidjeti da nejednakost uvijek vrijedi

Za odre?ivanje vjerovatno?e doga?aja na osnovu formule (1.1), kombinatori?ke formule se ?esto koriste za pronala?enje broja povoljnih ishoda i ukupnog broja mogu?ih ishoda.

U njegovom blogu, prijevod sljede?eg predavanja iz kursa "Principi ravnote?e igre" dizajnera igara Jana Schreibera, koji je radio na projektima kao ?to su Marvel Trading Card Game i Playboy: The Mansion.

Do danas je skoro sve o ?emu smo pri?ali bilo deterministi?ko, a pro?le nedelje smo pobli?e pogledali tranzitivnu mehaniku, razla?u?i je sa onoliko detalja koliko mogu da objasnim. Ali do sada nismo obra?ali pa?nju na druge aspekte mnogih igara, odnosno na nedeterministi?ke momente - drugim rije?ima, na slu?ajnost.

Razumijevanje prirode slu?ajnosti je veoma va?no za dizajnere igara. Mi kreiramo sisteme koji uti?u na korisni?ko iskustvo u datoj igri, tako da moramo znati kako ti sistemi rade. Ako postoji slu?ajnost u sistemu, moramo razumjeti prirodu te slu?ajnosti i znati kako je promijeniti da bismo dobili rezultate koji su nam potrebni.

Dice

Po?nimo s ne?im jednostavnim - bacanjem kockica. Kada ve?ina ljudi pomisli na kocku, pomisli na kockicu sa ?est strana poznata kao d6. Ali ve?ina gejmera je videla mnogo drugih kockica: ?etvorostrane (d4), osmostrane (d8), dvanaestostrane (d12), dvadesetostrane (d20). Ako ste pravi ?treber, mo?da imate negdje kockice od 30 ili 100 zrna.

Ako niste upoznati s ovom terminologijom, d ozna?ava kockicu, a broj iza nje je broj njegovih strana. Ako je broj ispred d, onda on ozna?ava broj kockica prilikom bacanja. Na primjer, u Monopolu bacate 2d6.

Dakle, u ovom slu?aju, izraz "kocka" je konvencionalna oznaka. Postoji ogroman broj drugih generatora slu?ajnih brojeva koji ne izgledaju kao plasti?ne figure, ali obavljaju istu funkciju - generiraju slu?ajni broj od 1 do n. Obi?an nov?i? se tako?e mo?e predstaviti kao diedral d2 kocka.

Vidio sam dva dizajna sedmostrane kocke: jedan je izgledao kao kocka, a drugi vi?e kao sedmostrana drvena olovka. Tetraedarski dreidel, tako?er poznat kao titotum, analog je tetraedarske kosti. Plo?a za igru sa strelicom koja se okre?e u Chutes & Ladders, gdje rezultat mo?e biti od 1 do 6, odgovara kocku sa ?est strana.

Generator slu?ajnih brojeva u ra?unaru mo?e generisati bilo koji broj od 1 do 19 ako dizajner da takvu komandu, iako ra?unar nema kockicu sa 19 strana (op?enito, govorit ?u vi?e o vjerovatno?i dobijanja brojeva na kompjuter slede?e nedelje). Sve ove stavke izgledaju druga?ije, ali u stvari su ekvivalentne: imate jednake ?anse za svaki od nekoliko mogu?ih ishoda.

Kockice imaju neke zanimljive osobine o kojima moramo znati. Prvo, vjerovatno?a da dobijete bilo koje od lica je ista (pretpostavljam da bacate obi?nu geometrijsku kocku). Ako ?elite znati prosje?nu vrijednost bacanja (poznato kao matemati?ko o?ekivanje onima koji vole teoriju vjerojatnosti), zbrojite vrijednosti na svim rubovima i podijelite ovaj broj sa brojem rubova.

Zbir vrijednosti svih lica za standardnu ?estostranu kockicu je 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Podijelite 21 sa brojem lica i dobijete prosje?nu vrijednost bacanja: 21 / 6 = 3,5. Ovo je poseban slu?aj jer pretpostavljamo da su svi ishodi jednako vjerovatni.

?ta ako imate posebne kockice? Na primjer, vidio sam igru sa ?estostranom kockom sa posebnim naljepnicama na licima: 1, 1, 1, 2, 2, 3, tako da se pona?a kao ?udna trostrana kocka, koja ?e vjerovatnije baciti broj 1 nego 2, i ve?a je vjerovatno?a da ?e baciti 2 nego 3. Koja je prosje?na vrijednost bacanja za ovu kockicu? Dakle, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, podijelite sa 6 - dobijete 5/3, ili otprilike 1,66. Dakle, ako imate specijalnu kockicu i igra?i bace tri kockice, a zatim zbrajaju rezultate, znate da ?e njihov ukupan broj biti oko 5, i mo?ete uravnote?iti igru na osnovu te pretpostavke.

Kockice i nezavisnost

Kao ?to sam ve? rekao, polazimo od pretpostavke da je ispadanje svakog lica jednako vjerovatno. Nije va?no koliko kockica bacite ovdje. Svako bacanje kockice je nezavisno, ?to zna?i da prethodna bacanja ne uti?u na rezultate narednih bacanja. Uz dovoljno poku?aja, sigurno ?ete primijetiti niz brojeva - na primjer, bacanje uglavnom vi?ih ili ni?ih vrijednosti - ili druge karakteristike, ali to ne zna?i da su kockice "vru?e" ili "hladne". Pri?a?emo o ovome kasnije.

Ako bacite standardnu ?estostranu kockicu i broj 6 se pojavi dva puta zaredom, vjerovatno?a da ?e rezultat sljede?eg bacanja biti 6 je tako?er 1/6. Vjerovatno?a se ne pove?ava jer se kockica "zagrijala" ". Istovremeno, vjerovatno?a se ne smanjuje: neta?no je tvrditi da je broj 6 ve? ispao dvaput zaredom, ?to zna?i da sada drugo lice mora ispasti.

Naravno, ako bacite kockicu dvadeset puta i svaki put se pojavi broj 6, ?ansa da se 6 pojavi dvadeset i prvi put je prili?no velika: mo?da imate pogre?nu kockicu. Ali ako je kocka ispravna, vjerovatno?a da se dobije svako lice je ista, bez obzira na rezultate drugih bacanja. Tako?er mo?ete zamisliti da svaki put mijenjamo kockicu: ako se broj 6 baci dvaput zaredom, uklonite „vru?u“ kockicu iz igre i zamijenite je novom. ?ao mi je ako je neko od vas ve? znao za ovo, ali morao sam ovo da razjasnim pre nego ?to nastavim dalje.

Kako napraviti manje-vi?e nasumi?no bacanje kockica

Razgovarajmo o tome kako posti?i razli?ite rezultate na razli?itim kockicama. Ako kockicu bacite samo jednom ili nekoliko puta, igra ?e izgledati nasumi?nije kada kockica ima vi?e rubova. ?to ?e??e bacate kockice i ?to vi?e kockica bacate, rezultati se vi?e pribli?avaju prosjeku.

Na primjer, u slu?aju 1d6 + 4 (to jest, ako jednom bacite standardnu ?estostranu kocku i rezultatu dodate 4), prosjek ?e biti broj izme?u 5 i 10. Ako bacite 5d2, prosjek tako?er ?e biti broj izme?u 5 i 10. Rezultat bacanja 5d2 uglavnom ?e biti brojevi 7 i 8, rje?e druge vrijednosti. Ista serija, ?ak ista prosje?na vrijednost (7,5 u oba slu?aja), ali je priroda slu?ajnosti druga?ija.

Sa?ekaj minutu. Nisam li upravo rekao da se kockice ne "zagrevaju" niti "hlade"? A sada ka?em: ako bacite mnogo kockica, rezultati bacanja su bli?i prosje?noj vrijednosti. Za?to?

Dopusti mi da objasnim. Ako bacite samo jednu kockicu, vjerovatno?a da ?e se svako lice pojaviti je ista. To zna?i da ako bacate mnogo kockica tokom vremena, svako lice ?e se pojaviti otprilike isti broj puta. ?to vi?e kockica bacite, to ?e se ukupan rezultat vi?e pribli?iti prosjeku.

To nije zato ?to uba?eni broj "uzrokuje" bacanje drugog broja koji jo? nije uba?en. Jer mali niz bacanja broja 6 (ili 20, ili bilo ?ta drugo) ne?e napraviti veliku razliku na kraju ako bacite kocku jo? deset hiljada puta i to je uglavnom prosjek. Sada ?ete imati nekoliko velikih brojeva, a kasnije nekoliko malih - i vremenom ?e se pribli?iti prosje?noj vrijednosti.

To nije zato ?to prethodna bacanja uti?u na kockice (ozbiljno, kockica je napravljena od plastike, nema mozga da pomisli, "Oh, pro?lo je mnogo vremena od kada se pojavila 2"), ve? zato ?to se to obi?no de?ava sa puno bacanja.igranje kockica.

Tako da je prili?no lako izra?unati za jedno nasumi?no bacanje kockice - barem izra?unajte prosje?nu vrijednost bacanja. Postoje i na?ini da izra?unate "koliko je ne?to slu?ajno" i ka?ete da ?e rezultati bacanja 1d6 + 4 biti "nasumi?niji" od 5d2. Za 5d2, valjani rezultati ?e biti raspore?eni ravnomjernije. Da biste to u?inili, morate izra?unati standardnu devijaciju: ?to je ve?a vrijednost, to ?e rezultati biti nasumi?niji. Ne bih da danas iznosim toliko kalkulacija, kasnije ?u objasniti ovu temu.

Jedina stvar koju ?u vas zamoliti da zapamtite je da, kao op?te pravilo, ?to manje kockica bacite, to je vi?e nasumi?no. A ?to vi?e strana ima kocka, to je vi?e slu?ajnosti, jer postoji vi?e mogu?ih opcija za vrijednost.

Kako izra?unati vjerovatno?u pomo?u brojanja

Mo?da se pitate: kako mo?emo izra?unati ta?nu vjerovatno?u da ?e se odre?eni rezultat pojaviti? U stvari, ovo je veoma va?no za mnoge igre: ako u po?etku bacite kocku, vjerovatno ?e do?i do nekog optimalnog ishoda. Odgovor je: moramo izra?unati dvije vrijednosti. Prvo, ukupan broj ishoda pri bacanju kocke, a drugo, broj povoljnih ishoda. Ako drugu vrijednost podijelite s prvom, dobijate ?eljenu vjerovatno?u. Da biste dobili postotak, pomno?ite rezultat sa 100.

Primjeri

Evo vrlo jednostavnog primjera. ?elite baciti 4 ili vi?e i baciti ?estostrani kockicu jednom. Maksimalan broj ishoda je 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Od toga su 3 ishoda (4, 5, 6) povoljna. Dakle, da bismo izra?unali vjerovatno?u, podijelimo 3 sa 6 i dobijemo 0,5 ili 50%.

Evo primjera koji je malo komplikovaniji. ?elite da bacanje 2d6 dobije paran broj. Maksimalan broj ishoda je 36 (6 opcija za svaku kockicu, jedna kocka ne uti?e na drugu, tako da pomno?imo 6 sa 6 i dobijemo 36). Pote?ko?a s ovom vrstom pitanja je u tome ?to je lako dvaput prebrojati. Na primjer, pri bacanju 2d6, dva su mogu?a ishoda 3: 1+2 i 2+1. Izgledaju isto, ali razlika je u tome koji je broj prikazan na prvoj kocki, a koji na drugoj.

Tako?er mo?ete zamisliti da su kockice razli?itih boja: tako, na primjer, u ovom slu?aju, jedna kockica je crvena, druga plava. Zatim prebrojite broj mogu?ih pojavljivanja parnog broja:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Ispostavilo se da postoji 18 opcija za povoljan ishod od 36 - kao iu prethodnom slu?aju, vjerovatno?a je 0,5 ili 50%. Mo?da neo?ekivano, ali prili?no ta?no.

Monte Carlo simulacija

?ta ako imate previ?e kockica za ovu kalkulaciju? Na primjer, ?elite znati koja je vjerovatno?a da ?e ukupno 15 ili vi?e do?i na bacanje 8d6. Postoji ogroman broj razli?itih ishoda za osam kockica, a njihovo ru?no brojanje bi potrajalo jako dugo - ?ak i kada bismo mogli prona?i neko dobro rje?enje za grupiranje razli?itih serija bacanja kockica.

U ovom slu?aju, najlak?i na?in je da ne ra?unate ru?no, ve? da koristite ra?unar. Postoje dva na?ina izra?unavanja vjerovatno?e na ra?unaru. Prvi na?in mo?e dobiti ta?an odgovor, ali uklju?uje malo programiranja ili skriptiranja. Kompjuter ?e pro?i kroz svaku mogu?nost, procijeniti i izbrojati ukupan broj iteracija i broj iteracija koje odgovaraju ?eljenom rezultatu, a zatim dati odgovore. Va? kod bi mogao izgledati otprilike ovako:

Ako niste programer i ne ?elite ta?an, ve? pribli?an odgovor, ovu situaciju mo?ete simulirati u Excelu, gdje bacite 8d6 nekoliko hiljada puta i dobijete odgovor. Za roll 1d6 u Excelu koristite formulu =FLOOR(RAND()*6)+1.

Postoji naziv za situaciju kada ne znate odgovor i samo poku?avate mnogo puta - Monte Carlo simulacija. Ovo je odli?no rje?enje na koje se mo?ete vratiti kada je prete?ko izra?unati vjerovatno?u. Odli?na stvar je ?to u ovom slu?aju ne moramo razumjeti kako matematika funkcionira, a znamo da ?e odgovor biti "prili?no dobar", jer, kao ?to ve? znamo, ?to vi?e bacanja, to se rezultat vi?e pribli?ava prosje?na vrijednost.

Kako kombinovati nezavisna ispitivanja

Ako pitate o vi?estrukim ponovljenim, ali nezavisnim poku?ajima, onda ishod jednog bacanja ne utje?e na ishod drugih bacanja. Postoji jo? jedno jednostavnije obja?njenje za ovu situaciju.

Kako razlikovati ne?to zavisno i nezavisno? U principu, ako mo?ete izolovati svako bacanje (ili niz bacanja) kocke kao poseban doga?aj, onda je to nezavisno. Na primjer, bacamo 8d6 i ?elimo baciti ukupno 15. Ovaj doga?aj se ne mo?e podijeliti na nekoliko neovisnih bacanja kockica. Da biste dobili rezultat, izra?unate zbir svih vrijednosti, tako da rezultat ba?en na jednoj kockici utje?e na rezultate koji bi trebali baciti na druge.

Evo primjera nezavisnog bacanja: igrate igru kockica i bacate ?estostrane kockice nekoliko puta. Prvo bacanje mora baciti 2 ili vi?e da biste ostali u igri. Za drugu rolnu - 3 ili vi?e. Tre?a zahtijeva 4 ili vi?e, ?etvrta 5 ili vi?e, a peta 6. Ako je svih pet bacanja uspje?nih, pobje?ujete. U ovom slu?aju, sva bacanja su nezavisna. Da, ako jedno bacanje ne uspije, to ?e utjecati na ishod cijele igre, ali jedno bacanje ne utje?e na drugo. Na primjer, ako je va?e drugo bacanje kockica jako dobro, to ne zna?i da ?e sljede?e bacanje biti jednako dobro. Stoga mo?emo razmotriti vjerovatno?u svakog bacanja kocke posebno.

Ako imate nezavisne vjerovatno?e i ?elite da znate kolika je vjerovatno?a da ?e se svi doga?aji dogoditi, odredite svaku pojedina?nu vjerovatno?u i pomno?ite ih. Drugi na?in: ako koristite "i" da opi?ete nekoliko uslova (na primjer, kolika je vjerovatno?a nekog slu?ajnog doga?aja i nekog drugog nezavisnog slu?ajnog doga?aja?) - izra?unajte pojedina?ne vjerovatno?e i pomno?ite ih.

Nije va?no ?ta mislite - nikada ne sabirajte nezavisne verovatno?e. Ovo je uobi?ajena gre?ka. Da biste razumjeli za?to je to pogre?no, zamislite situaciju u kojoj bacate nov?i? i ?elite znati kolika je vjerovatno?a da dobijete glavu dvaput zaredom. Verovatno?a ispadanja sa svake strane je 50%. Ako zbrojite ove dvije vjerovatno?e, dobijate 100% ?anse da dobijete glave, ali znamo da to nije istina, jer bi se mogla pojaviti dva uzastopna repa. Ako umjesto toga pomno?ite dvije vjerovatno?e, dobi?ete 50% * 50% = 25% - ?to je ta?an odgovor za izra?unavanje vjerovatno?e da dobijete glave dva puta zaredom.

Primjer

Vratimo se igri ?estostranih kockica, gdje prvo treba baciti broj ve?i od 2, pa vi?e od 3 - i tako dalje do 6. Koje su ?anse da u datoj seriji od pet bacanja svi da li ?e ishodi biti povoljni?

Kao ?to je ve? spomenuto, ovo su nezavisna ispitivanja, tako da izra?unavamo vjerovatno?u za svako pojedina?no bacanje, a zatim ih mno?imo. Verovatno?a da ?e ishod prvog bacanja biti povoljan je 5/6. Drugi - 4/6. Tre?i - 3/6. ?etvrti - 2/6, peti - 1/6. Sve rezultate pomno?imo jedni s drugima i dobijemo oko 1,5%. Pobjede u ovoj igri su prili?no rijetke, tako da ako dodate ovaj element svojoj igri, trebat ?e vam prili?no veliki d?ekpot.

Negacija

Evo jo? jednog korisnog savjeta: ponekad je te?ko izra?unati vjerovatno?u da ?e se doga?aj dogoditi, ali je lak?e odrediti ?anse da se doga?aj ne?e dogoditi. Na primjer, pretpostavimo da imamo drugu igru: bacate 6d6 i pobje?ujete ako bacite 6 barem jednom. Kolika je vjerovatno?a pobjede?

U ovom slu?aju postoji mnogo opcija koje treba razmotriti. Mogu?e je da ?e jedan broj 6 ispasti, odnosno broj 6 pasti na jednu od kockica, a brojevi od 1 do 5 pasti na ostale, tada postoji 6 opcija koja ?e od kockica imati a 6. Mo?ete dobiti broj 6 na dvije kockice, ili tri, ili ?ak i vi?e, i svaki put ?ete morati napraviti poseban prora?un, tako da se ovdje lako mo?ete zbuniti.

Ali pogledajmo problem s druge strane. Gubite ako nijedna kocka ne baci 6. U ovom slu?aju imamo 6 nezavisnih poku?aja. Vjerovatno?a da ?e svaka kockica baciti broj koji nije 6 je 5/6. Pomno?ite ih - i dobijete oko 33%. Dakle, vjerovatno?a gubitka je jedan prema tri. Stoga je vjerovatno?a pobjede 67% (ili dva do tri).

Iz ovog primjera je o?igledno da ako izra?unavate vjerovatno?u da se neki doga?aj ne?e dogoditi, morate oduzeti rezultat od 100%. Ako je vjerovatno?a pobjede 67%, onda je vjerovatno?a gubitka 100% minus 67%, odnosno 33%, i obrnuto. Ako je te?ko izra?unati jednu vjerovatno?u, ali je lako izra?unati suprotnu, izra?unajte suprotnu, a zatim oduzmite ovaj broj od 100%.

Uslovi povezivanja za jedan nezavisni test

Rekao sam malo ranije da nikada ne treba sabirati vjerovatno?e u nezavisnim ispitivanjima. Postoje li slu?ajevi u kojima je mogu?e sabrati vjerovatno?e? Da, u jednoj konkretnoj situaciji.

Ako ?elite da izra?unate vjerovatno?u vi?e nepovezanih povoljnih ishoda u istom ispitivanju, zbrojite vjerovatno?e svakog povoljnog ishoda. Na primjer, vjerovatno?a bacanja 4, 5 ili 6 na 1d6 jednaka je zbiru vjerovatno?e bacanja 4, vjerovatno?e bacanja 5 i vjerovatno?e bacanja 6. Ova situacija se mo?e predstaviti na sljede?i na?in: ako koristite veznik "ili" u pitanju o vjerovatno?i (na primjer, kolika je vjerovatno?a jednog ili drugog ishoda jednog slu?ajnog doga?aja?) - izra?unajte pojedina?ne vjerovatno?e i zbrojite ih.

Imajte na umu: kada izra?unate sve mogu?e ishode igre, zbir vjerovatno?a njihovog nastupa mora biti jednak 100%, ina?e je va? prora?un pogre?no napravljen. Ovo je dobar na?in da provjerite svoje prora?une. Na primjer, analizirali ste vjerovatno?u da dobijete sve kombinacije u pokeru. Ako zbrojite sve rezultate koje dobijete, trebali biste dobiti to?no 100% (ili barem vrijednost prili?no blizu 100%: ako koristite kalkulator, mo?e do?i do male gre?ke zaokru?ivanja, ali ako zbrajate ta?ne brojke rukom, sve treba da se zbroji. ). Ako se zbir ne zbroji, onda najvjerovatnije niste uzeli u obzir neke kombinacije ili ste pogre?no izra?unali vjerovatno?e nekih kombinacija, te je potrebno izra?une ponovo provjeriti.

Nejednake vjerovatno?e

Do sada smo pretpostavljali da svako lice matrice ispada na istoj frekvenciji, jer matrica tako funkcionira. Ali ponekad se mo?ete susresti sa situacijom u kojoj su mogu?i razli?iti ishodi i razli?ite ?anse za ispad.

Na primjer, u jednom od dodataka karta?koj igri Nuclear War nalazi se polje za igru sa strelicom, koja odre?uje rezultat lansiranja rakete. Naj?e??e nanosi normalnu ?tetu, ve?u ili manju, ali ponekad se ?teta udvostru?i ili utrostru?i, ili raketa eksplodira na lansirnoj rampi i naudi vam, ili se dogodi neki drugi doga?aj. Za razliku od table sa strelicama u Chutes & Ladders ili A Game of Life, rezultati table u Nuklearnom ratu nisu jednako vjerovatni. Neki dijelovi igrali?ta su ve?i i strelica se na njima zaustavlja mnogo ?e??e, dok su drugi dijelovi vrlo mali i strelica se na njima rijetko zaustavlja.

Dakle, na prvi pogled kost izgleda otprilike ovako: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - ve? smo pri?ali o tome, to je ne?to poput ponderisanog 1d3. Dakle, sve ove odsje?ke treba podijeliti na jednake dijelove, prona?i najmanju jedinicu mjere, djelitelj, kojoj je sve vi?estruko, a zatim prikazati situaciju kao d522 (ili neku drugu), gdje ?e skup kockica lica predstavljaju istu situaciju, ali sa vi?e ishoda. Ovo je jedan od na?ina rje?avanja problema, i tehni?ki je izvodljiv, ali postoji lak?a opcija.

Vratimo se na na?e standardne ?estostrane kocke. Rekli smo da da biste izra?unali prosje?nu vrijednost bacanja za normalnu kocku, trebate zbrojiti vrijednosti svih lica i podijeliti ih brojem lica, ali kako se to?no vr?i izra?un? Mo?ete to izraziti druga?ije. Za kocku sa ?est strana, vjerovatno?a da ?e se svako lice pojaviti je ta?no 1/6. Sada pomno?imo ishod svakog aspekta sa vjerovatno?om tog ishoda (u ovom slu?aju 1/6 za svaki aspekt), a zatim zbrojimo rezultiraju?e vrijednosti. Dakle, zbrajanje (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ), dobijamo isti rezultat (3.5) kao u prethodnom prora?unu. Zapravo, izra?unavamo ovo svaki put: svaki ishod mno?imo vjerovatno?om tog ishoda.

Mo?emo li napraviti isti prora?un za strelicu na tabli za igru u Nuklearnom ratu? Naravno da mo?emo. A ako zbrojimo sve prona?ene rezultate, dobi?emo prosje?nu vrijednost. Sve ?to treba da uradimo je da izra?unamo verovatno?u svakog ishoda za strelicu na polju za igru i pomno?imo sa vredno??u ishoda.

Jo? jedan primjer

Pomenuti na?in izra?unavanja prosjeka je tako?er prikladan ako su rezultati jednako vjerovatni, ali imaju razli?ite prednosti - na primjer, ako bacite kockicu i dobijete vi?e na nekim licima od drugih. Na primjer, uzmimo igru koja se de?ava u kazinu: stavite opkladu i bacate 2d6. Ako se pojave tri broja male vrijednosti (2, 3, 4) ili ?etiri velike vrijednosti (9, 10, 11, 12), dobit ?ete iznos jednak va?oj opkladi. Brojevi s najni?om i najve?om vrijedno??u su posebni: ako do?e do 2 ili 12, dobit ?ete dvostruko vi?e od va?e opklade. Ako se pojavi bilo koji drugi broj (5, 6, 7, 8), izgubit ?ete opkladu. Ovo je prili?no jednostavna igra. Ali kolika je vjerovatno?a pobjede?

Po?nimo s brojanjem koliko puta mo?ete pobijediti. Maksimalan broj ishoda na bacanju 2d6 je 36. Koliki je broj povoljnih ishoda?

• Postoji 1 opcija koja baca 2 i 1 opcija koja baca 12.
• Postoje 2 opcije za 3 i 2 opcije za 11.
• Postoje 3 opcije za 4 i 3 opcije za 10.
• Postoje 4 opcije koje bacaju 9.

Sumiraju?i sve opcije, dobijamo 16 povoljnih ishoda od 36. Dakle, u normalnim uslovima ?ete pobediti 16 puta od 36 mogu?ih - verovatno?a pobede je ne?to manja od 50%.

Ali dva puta od tih ?esnaest dobit ?ete duplo vi?e - to je kao da dobijete dva puta. Ako igrate ovu igru 36 puta, klade?i se svaki put po 1$, a svaki od svih mogu?ih ishoda do?e jednom, osvajate ukupno 18$ (u stvari pobje?ujete 16 puta, ali dva se ra?unaju kao dvije pobjede). ). Ako igrate 36 puta i osvojite 18 dolara, ne zna?i li to da su vjerovatno?e jednake?

Uzmi si vremena. Ako izbrojite koliko puta mo?ete izgubiti, dobijate 20, a ne 18. Ako igrate 36 puta, klade?i se svaki put od 1$, dobit ?ete ukupno 18$ kada se sve kvote ispadnu. Ali izgubit ?ete ukupno 20 dolara na svih 20 lo?ih ishoda. Kao rezultat toga, malo ?ete zaostati: gubite u prosjeku 2 USD neto na svakih 36 utakmica (mo?ete re?i i da gubite u prosjeku 1/18 USD dnevno). Sada vidite kako je lako pogrije?iti u ovom slu?aju i pogre?no izra?unati vjerovatno?u.

permutacija

Do sada smo pretpostavljali da redosled kojim se brojevi bacaju nije bitan prilikom bacanja kockica. Bacanje 2 + 4 je isto kao i bacanje 4 + 2. U ve?ini slu?ajeva ru?no brojimo broj povoljnih ishoda, ali ponekad je ova metoda neprakti?na i bolje je koristiti matemati?ku formulu.

Primjer ove situacije je iz igre s kockicama Farkle. Za svaku novu rundu bacate 6d6. Ako imate sre?e i ispadnu svi mogu?i ishodi 1-2-3-4-5-6 (Straight), dobit ?ete veliki bonus. Kolika je vjerovatno?a da ?e se to dogoditi? U ovom slu?aju postoji mnogo opcija za gubitak ove kombinacije.

Rje?enje je sljede?e: na jednoj od kockica (i samo na jednoj) treba da ispadne broj 1. Koliko opcija da broj 1 ispadne na jednoj kocki? Postoji 6 opcija, po?to ima 6 kockica, a broj 1 mo?e pasti na bilo koju od njih. Prema tome, uzmite jednu kocku i ostavite je sa strane. Sada bi na jednu od preostalih kockica trebao pasti broj 2. Za to postoji 5 opcija. Uzmite jo? jednu kocku i ostavite je sa strane. Tada 4 preostale kockice mogu pasti na 3, 3 preostale kockice mogu pasti na 4, a 2 preostale kockice mogu pasti na 5. Kao rezultat, ostaje vam jedna kocka na kojoj je broj 6 bi trebalo da padne (u ovom drugom slu?aju, kocka je samo jedna kost i nema izbora).

Da bismo izbrojali broj povoljnih ishoda za direktnu kombinaciju, mno?imo sve razli?ite nezavisne opcije: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 - ?ini se da postoji prili?no veliki broj opcija za da se pojavi ova kombinacija.

Da bismo izra?unali vjerovatno?u dobivanja prave kombinacije, trebamo podijeliti 720 sa brojem svih mogu?ih ishoda za bacanje 6d6. Koliki je broj svih mogu?ih ishoda? Svaka kocka mo?e baciti 6 lica, tako da mno?imo 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (mnogo ve?i broj od prethodnog). Podijelimo 720 sa 46656 i dobijemo vjerovatno?u jednaku oko 1,5%. Ako ste dizajnirali ovu igru, bilo bi korisno da to znate kako biste mogli kreirati odgovaraju?i sistem bodovanja. Sada razumijemo za?to u Farkleu dobijate tako veliki bonus ako pogodite direktnu kombinaciju: ova situacija je prili?no rijetka.

Rezultat je zanimljiv i iz jo? jednog razloga. Primjer pokazuje kako rijetko u kratkom periodu ispadne rezultat koji odgovara vjerovatno?i. Naravno, ako bismo bacili nekoliko hiljada kockica, razli?ite strane kockice bi se ?esto pojavile. Ali kada bacimo samo ?est kockica, gotovo se nikada ne dogodi da se svaka kockica ispadne. Postaje jasno da je suludo o?ekivati da ?e sada ispasti lice koje jo? nije bilo, jer "broj 6 odavno nismo izbacili". Vidi, tvoj generator slu?ajnih brojeva je pokvaren.

Ovo nas dovodi do uobi?ajene zablude da se svi ishodi javljaju istom brzinom u kratkom vremenskom periodu. Ako bacimo kocku nekoliko puta, u?estalost svakog od lica ne?e biti ista.

Ako ste ikada ranije radili na online igrici sa nekom vrstom generatora slu?ajnih brojeva, onda ste najvjerovatnije nai?li na situaciju da igra? pi?e tehni?koj podr?ci sa pritu?bom da generator slu?ajnih brojeva ne prikazuje slu?ajne brojeve. Do ovog zaklju?ka je do?ao jer je ubio 4 ?udovi?ta zaredom i dobio 4 potpuno iste nagrade, a ove nagrade bi trebale pasti samo 10% vremena, tako da se to o?igledno gotovo nikada ne bi smjelo dogoditi.

Radi? matematiku. Vjerovatno?a je 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, odnosno 1 ishod od 10 hiljada je prili?no rijedak slu?aj. To je ono ?to igra? poku?ava da vam ka?e. Postoji li problem u ovom slu?aju?

Sve zavisi od okolnosti. Koliko igra?a je sada na va?em serveru? Pretpostavimo da imate prili?no popularnu igru i svaki dan je igra 100.000 ljudi. Koliko igra?a ?e ubiti ?etiri ?udovi?ta zaredom? Vjerovatno sve, nekoliko puta dnevno, ali pretpostavimo da polovina njih samo trguje razli?itim predmetima na aukcijama, ?aska na RP serverima ili se bavi drugim igrama - dakle samo polovina njih lovi ?udovi?ta. Kolika je vjerovatno?a da ?e neko dobiti istu nagradu? U ovoj situaciji mo?ete o?ekivati da ?e se to dogoditi barem nekoliko puta dnevno.

Uzgred, zato se ?ini da svakih nekoliko sedmica neko dobije na lutriji, ?ak i ako to nikada niste bili vi ili neko koga poznajete. Ako dovoljno ljudi igra redovno, velike su ?anse da ?e negdje biti barem jedan sretnik. Ali ako sami igrate lutriju, malo je vjerovatno da ?ete dobiti, ve?a je vjerovatno?a da ?ete biti pozvani da radite u Infinity Wardu.

Mape i ovisnost

Razgovarali smo o nezavisnim doga?ajima, kao ?to je bacanje kocke, a sada znamo mnogo mo?nih alata za analizu slu?ajnosti u mnogim igrama. Prora?un vjerovatno?e je malo slo?eniji kada je u pitanju izvla?enje karata iz ?pila, jer svaka karta koju izvadimo uti?e na one koje ostanu u ?pilu.

Ako imate standardni ?pil od 52 karte, izvu?ete 10 srca iz njega i ?elite da znate vjerovatno?u da ?e sljede?a karta biti iste boje - vjerovatno?a se promijenila u odnosu na original jer ste ve? uklonili jednu sr?anu kartu iz paluba. Svaka karta koju uklonite mijenja vjerovatno?u da se sljede?a karta pojavi u ?pilu. U ovom slu?aju, prethodni doga?aj utje?e na sljede?i, pa ga nazivamo zavisnim od vjerovatno?e.

Imajte na umu da kada ka?em "karte" mislim na bilo koju mehani?ku igru koja ima skup objekata i vi uklonite jedan od objekata bez da ga zamijenite. “?pil karata” je u ovom slu?aju analogan vre?i ?ipsa iz koje se vadi jedan ?eton, ili urni iz koje se vade ?arene kuglice (nikada nisam vidio igre sa urnom iz koje bi se vadile ?arene kuglice van, ali nastavnici teorije vjerovatno?e o ?emu je iz nekog razloga ovaj primjer po?eljniji).

Svojstva zavisnosti

?eleo bih da pojasnim da kada su u pitanju karte, pretpostavljam da izvla?ite karte, gledate ih i vadite iz ?pila. Svaka od ovih radnji je va?no svojstvo. Kad bih imao ?pil od, recimo, ?est karata numeriranih od 1 do 6, promije?ao bih ih i izvukao jednu kartu, a zatim ponovo promije?ao svih ?est karata - ovo bi bilo sli?no bacanju ?estostrane kocke, jer jedan rezultat nema utje?e ovdje za sljede?e. A ako izvu?em karte i ne zamijenim ih, onda izvla?enjem 1 karte pove?avam vjerovatno?u da sljede?i put izvu?em kartu sa brojem 6. Vjerovatno?a ?e se pove?avati dok na kraju ne izvu?em ovu kartu ili promije?am ?pil.

Va?na je i ?injenica da gledamo karte. Ako izvadim kartu iz ?pila i ne pogledam je, ne?u imati dodatne informacije i zapravo se vjerovatno?a ne?e promijeniti. Ovo mo?e zvu?ati nelogi?no. Kako jednostavno okretanje karte magi?no mo?e promijeniti ?anse? Ali to je mogu?e jer mo?ete izra?unati vjerovatno?u za nepoznate stavke samo na osnovu onoga ?to znate.

Na primjer, ako promije?ate standardni ?pil karata, otkrijete 51 kartu i nijedna od njih nije kraljica trefa, onda mo?ete biti 100% sigurni da je preostala karta kraljica trefa. Ako promije?ate standardni ?pil karata i izvu?ete 51 kartu ne gledaju?i ih, tada je vjerovatno?a da je preostala karta kraljica trefa i dalje 1/52. Kako otvarate svaku karticu, dobijate vi?e informacija.

Izra?unavanje vjerovatno?e za zavisne doga?aje slijedi iste principe kao i za nezavisne doga?aje, osim ?to je malo slo?enije, jer se vjerovatno?e mijenjaju kada otkrijete karte. Dakle, trebate pomno?iti mnogo razli?itih vrijednosti, umjesto da mno?ite istu vrijednost. U stvari, to zna?i da moramo spojiti sve prora?une koje smo uradili u jednu kombinaciju.

Primjer

Promije?ate standardni ?pil od 52 karte i izvu?ete dvije karte. Kolika je vjerovatno?a da ?ete izvaditi par? Postoji nekoliko na?ina za izra?unavanje ove vjerovatno?e, ali je mo?da najjednostavniji sljede?i: kolika je vjerovatno?a da nakon izvla?enja jedne karte ne?ete mo?i izvu?i par? Ova vjerovatno?a je nula, tako da nije bitno koju ?ete prvu kartu izvu?i, sve dok se poklapa s drugom. Nije bitno koju kartu prvo izvu?emo, jo? uvijek imamo priliku izvu?i par. Stoga je vjerovatno?a va?enja para nakon va?enja prve kartice 100%.

Kolika je vjerovatno?a da ?e druga karta odgovarati prvoj? U ?pilu je ostala 51 karta, a 3 od njih odgovaraju prvoj karti (zapravo bi bilo 4 od 52, ali ste ve? uklonili jednu od odgovaraju?ih karata kada ste izvukli prvu kartu), tako da je vjerovatno?a 1/ 17. Dakle, slede?i put kada momak preko puta vas za stolom igra Texas Hold'em, on ka?e: „Kul, jo? jedan par? Danas imam sre?e“, zna?ete da sa velikom verovatno?om blefira.

?ta ako dodamo dva d?okera, tako da imamo 54 karte u ?pilu i ?elimo da znamo kolika je verovatno?a da izvu?emo par? Prva karta mo?e biti d?oker, a onda ?e u ?pilu biti samo jedna karta koja odgovara, a ne tri. Kako prona?i vjerovatno?u u ovom slu?aju? Dijelimo vjerovatno?e i mno?imo svaku mogu?nost.

Na?a prva karta mo?e biti d?oker ili neka druga karta. Verovatno?a izvla?enja d?okera je 2/54, verovatno?a da se izvu?e neka druga karta je 52/54. Ako je prva karta d?oker (2/54), onda je vjerovatno?a da ?e druga karta odgovarati prvoj iznosi 1/53. Pomno?imo vrijednosti (mo?emo ih pomno?iti jer su to zasebni doga?aji i ?elimo da se oba doga?aja dese) i dobijemo 1/1431 - manje od jedne desetine procenta.

Ako prvo izvu?ete neku drugu kartu (52/54), vjerovatno?a da se poklapa druga karta je 3/53. Pomno?imo vrijednosti i dobijemo 78/1431 (ne?to vi?e od 5,5%). ?ta da radimo sa ova dva rezultata? One se ne seku, a mi ?elimo da znamo verovatno?u svakog od njih, pa sumiramo vrednosti. Dobijamo kona?ni rezultat 79/1431 (jo? uvijek oko 5,5%).

Da smo hteli da budemo sigurni u ta?nost odgovora, mogli bismo izra?unati verovatno?u svih drugih mogu?ih ishoda: izvla?enje d?okera i nepoklapanje druge karte, ili izvla?enje neke druge karte i nepoklapanje druge karte. Sumiraju?i ove vjerovatno?e i vjerovatno?u pobjede, dobili bismo ta?no 100%. Ovdje ne?u iznositi matematiku, ali mo?ete poku?ati s matematikom da provjerite.

Paradoks Monty Halla

Ovo nas dovodi do prili?no dobro poznatog paradoksa koji mnoge zbunjuje, Monty Hall paradoksa. Paradoks je dobio ime po voditelju TV emisije Hajde da se dogovorimo.Za one koji ovu TV emisiju nikada nisu gledali, re?i ?u da je to bilo suprotno od Cijena je prava.

U The Price Is Right, doma?in (ranije ga je vodio Bob Barker, a sada Drew Carey? Nema veze) je va? prijatelj. On ?eli da osvojite novac ili cool nagrade. Poku?ava vam pru?iti svaku priliku za pobjedu, sve dok mo?ete pogoditi koliko sponzorirani predmeti zapravo vrijede.

Monty Hall se pona?ao druga?ije. Bio je kao zli blizanac Boba Barkera. Njegov cilj je bio da izgleda? kao idiot na nacionalnoj televiziji. Ako ste bili u emisiji, on je bio va? protivnik, igrali ste protiv njega i ?anse su bile u njegovu korist. Mo?da sam previ?e o?tar, ali gledaju?i emisiju u koju ?ete vjerovatnije u?i ako nosite smije?an kostim, upravo na to dolazim.

Jedan od najpoznatijih memova emisije bio je ovaj: ispred vas su troja vrata, vrata broj 1, vrata broj 2 i vrata broj 3. Jedna vrata mo?ete izabrati besplatno. Iza jednog od njih je veli?anstvena nagrada - na primjer, novi automobil. Iza druga dva vrata nema nagrada, obje nemaju vrijednost. Oni bi trebali da vas ponize, pa iza njih nije ni?ta, ve? ne?to glupo, na primjer, koza ili ogromna tuba paste za zube - sve samo ne novi auto.

Odabere? jedna od vrata, Monty ?e ih otvoriti kako bi ti rekao da li si pobijedio ili ne... ali ?ekaj. Prije nego saznamo, hajde da pogledamo jedna od onih vrata koja niste odabrali. Monty zna iza kojih vrata je nagrada, i uvijek mo?e otvoriti vrata koja nemaju nagradu iza sebe. “Da li birate vrata broj 3? Onda otvorimo vrata broj 1 da poka?emo da iza njih nema nagrade." A sada vam iz velikodu?nosti nudi mogu?nost da odabrana vrata broj 3 zamijenite za ono ?to se nalazi iza vrata broj 2.

U ovom trenutku postavlja se pitanje vjerovatno?e: da li ova prilika pove?ava va?u vjerovatno?u za pobjedu ili je smanjuje ili ostaje nepromijenjena? ?ta ti misli??

Ta?an odgovor: mogu?nost odabira drugih vrata pove?ava ?ansu za pobjedu sa 1/3 na 2/3. Ovo je nelogi?no. Ako se do sada niste susreli s ovim paradoksom, onda najvjerovatnije razmi?ljate: ?ekajte, kako je: otvaranjem jednih vrata magi?no smo promijenili vjerovatno?u? Kao ?to smo vidjeli na primjeru mapa, upravo to se doga?a kada dobijemo vi?e informacija. O?igledno, kada odaberete prvi put, vjerovatno?a pobjede je 1/3. Kada se jedna vrata otvore, to uop?e ne mijenja vjerovatno?u pobjede za prvi izbor: vjerovatno?a je i dalje 1/3. Ali vjerovatno?a da su druga vrata ispravna je sada 2/3.

Pogledajmo ovaj primjer s druge strane. Vi birate vrata. Vjerovatno?a za pobjedu je 1/3. Predla?em da promijenite druga dva vrata, ?to Monty Hall radi. Naravno, on otvara jedna od vrata da poka?e da iza toga nema nagrade, ali to uvijek mo?e, tako da to zapravo ni?ta ne mijenja. Naravno, po?ele?ete da izaberete druga?ija vrata.

Ako ne razumijete pitanje i trebate uvjerljivije obja?njenje, kliknite na ovaj link da biste oti?li na sjajnu malu Flash aplikaciju koja ?e vam omogu?iti da detaljnije istra?ite ovaj paradoks. Mo?ete po?eti sa oko 10 vrata, a zatim postepeno prelaziti na igru sa troje vrata. Tu je i simulator u kojem mo?ete igrati sa bilo kojim brojem vrata od 3 do 50 ili pokrenuti nekoliko hiljada simulacija i vidjeti koliko biste puta pobijedili da ste igrali.

Odaberite jedno od tri vrata - vjerovatno?a pobjede je 1/3. Sada imate dvije strategije: promijeniti izbor nakon otvaranja pogre?nih vrata ili ne. Ako ne promijenite svoj izbor, tada ?e vjerovatno?a ostati 1/3, jer je izbor samo u prvoj fazi i morate odmah pogoditi. Ako se promijeni?, onda mo?e? pobijediti ako prvo izabere? pogre?na vrata (onda otvore jo? jedna pogre?na, ostaje prava - promijeni? odluku, samo je uzme?). Vjerovatno?a da na po?etku odaberete pogre?na vrata je 2/3 - pa ispada da promjenom odluke udvostru?ujete vjerovatno?u pobjede.

Primjedba nastavnika vi?e matematike i stru?njaka za balans igre Maxima Soldatova - naravno, Schreiber je nije imao, ali bez nje je prili?no te?ko razumjeti ovu magi?nu transformaciju

Ponovno razmatranje Monty Hall paradoksa

?to se ti?e same emisije, ?ak i ako Monty Hallovi rivali nisu bili dobri u matematici, on je bio dobar u tome. Evo ?ta je uradio da malo promeni igru. Ako ste izabrali vrata iza kojih je bila nagrada, sa vjerovatno?om od 1/3, on vam je uvijek nudio opciju da odaberete druga vrata. Odabere? auto i onda ga zameni? za kozu i izgleda? prili?no glupo - ?to je upravo ono ?to ti treba, jer je Hall na neki na?in zao tip.

Ali ako odaberete vrata koja nemaju nagradu, on ?e vam ponuditi samo jo? jednu polovinu vremena, ili ?e vam samo pokazati va?u novu kozu i vi ?ete napustiti pozornicu. Hajde da analiziramo ovu novu igru u kojoj Monty Hall mo?e odlu?iti ho?e li vam ponuditi priliku da odaberete druga vrata ili ne.

Pretpostavimo da on slijedi ovaj algoritam: ako odaberete vrata s nagradom, on vam uvijek nudi mogu?nost da odaberete druga vrata, u suprotnom ?e vam jednako vjerovatno ponuditi da odaberete druga vrata ili vam dati kozu. Kolika je vjerovatno?a da dobijete?

U jednoj od tri opcije odmah birate vrata iza kojih se nalazi nagrada, a doma?in vas poziva da odaberete drugu.

Od preostale dvije opcije od tri (u po?etku birate vrata bez nagrade), u polovini slu?ajeva doma?in ?e vam ponuditi da promijenite odluku, au drugoj polovini slu?ajeva ne?e.

Pola od 2/3 je 1/3, odnosno u jednom od tri ?ete dobiti kozu, u jednom od tri ?ete izabrati pogre?na vrata i doma?in ?e vam ponuditi da odaberete druga, a u jedan slu?aj od tri izabra?e? ispravna vrata, ali on opet nudi druga.

Ako voditelj ponudi da odaberemo druga vrata, ve? znamo da se jedan od tri slu?aja kada nam da kozu i mi odemo nije dogodio. Ovo je korisna informacija: to zna?i da su se na?e ?anse za pobjedu promijenile. Dva od tri slu?aja u kojima imamo izbor: u jednom slu?aju to zna?i da smo ta?no pogodili, a u drugom slu?aju da smo pogre?no pogodili, pa ako nam je uop?te ponu?en izbor, onda je verovatno?a da dobijemo 1 /2 , a matemati?ki je svejedno da li ?ete ostati pri svom izboru ili odabrati druga vrata.

Kao i poker, to je psiholo?ka igra, a ne matemati?ka. Za?to ti je Monty ponudio izbor? Misli li da si ti prostakluk koji ne zna da je odabir drugih vrata “prava” odluka i da ?e se tvrdoglavo dr?ati svog izbora (uostalom, psiholo?ki je situacija slo?enija kada izabere? auto pa ga izgubi? )?

Ili ti on, odlu?iv?i da si pametan i izabere? druga vrata, nudi ovu ?ansu, jer zna da si u po?etku dobro pogodio i padao na udicu? Ili je mo?da neuobi?ajeno ljubazan i tjera vas da u?inite ne?to korisno za vas, jer dugo nije donirao automobile, a proizvo?a?i ka?u da je publici dosadno, pa bi bilo bolje da uskoro date veliku nagradu pa da je rejting pao?

Tako Monty ponekad uspeva da ponudi izbor, dok ukupna verovatno?a pobede ostaje jednaka 1/3. Zapamtite da je vjerovatno?a da ?ete odmah izgubiti 1/3. Postoji 1/3 ?anse da ?ete pogoditi odmah, a 50% tih puta ?ete pobijediti (1/3 x 1/2 = 1/6).

Vjerovatno?a da ?ete u po?etku pogre?no pogoditi, ali onda imati priliku da odaberete druga vrata je 1/3, au polovini ovih slu?ajeva ?ete pobijediti (tako?er 1/6). Zbrojite dvije nezavisne mogu?nosti pobjede i dobi?ete vjerovatno?u od 1/3, tako da nije va?no da li ?ete ostati na svom izboru ili odabrati druga vrata - ukupna vjerovatno?a va?e pobjede u igri je 1/3.

Vjerovatno?a ne postaje ve?a nego u situaciji kada ste pogodili vrata, a doma?in vam jednostavno pokazao ?ta je iza njih, a da vam nije ponudio da odaberete druga. Poenta prijedloga nije da se promijeni vjerovatno?a, ve? da se proces dono?enja odluka u?ini zabavnijim za gledanje televizije.

Ina?e, ovo je jedan od razloga za?to poker mo?e biti tako zanimljiv: u ve?ini formata izme?u rundi, kada se oklade (na primjer, flop, turn i river u Texas Hold'emu), karte se postepeno otkrivaju, i ako na po?etku igre imate jednu ?ansu za pobjedu, onda se nakon svake runde kla?enja, kada se otvori vi?e karata, ova vjerovatno?a se mijenja.

Paradoks dje?aka i djevoj?ice

Ovo nas dovodi do jo? jednog dobro poznatog paradoksa koji ima tendenciju da zbuni sve, paradoksa dje?aka i djevoj?ice. Jedina stvar o kojoj danas pi?em nije direktno vezana za igre (mada pretpostavljam da vas samo moram potaknuti da kreirate odgovaraju?u mehaniku igre). Ovo je vi?e zagonetka, ali zanimljiva, a da biste je rije?ili, morate razumjeti uslovnu vjerovatno?u o kojoj smo gore govorili.

Zadatak: Imam drugaricu sa dvoje djece, barem jedno od njih je djevoj?ica. Kolika je vjerovatno?a da je i drugo dijete djevoj?ica? Pretpostavimo da su u svakoj porodici ?anse da se dobiju devoj?ica i de?ak 50/50, a to va?i za svako dete.

U stvari, neki mu?karci imaju vi?e sperme sa X hromozomom ili Y hromozomom u spermi, tako da izgledi malo variraju. Ako znate da je jedno dijete djevoj?ica, ?ansa da dobijete drugu djevoj?icu je ne?to ve?a, a postoje i druga stanja, poput hermafroditizma. Ali da bismo rije?ili ovaj problem, ne?emo to uzeti u obzir i pretpostaviti da je ro?enje djeteta samostalan doga?aj i da su ro?enje dje?aka i djevoj?ice podjednako vjerojatni.

Po?to govorimo o ?ansi 1/2, intuitivno o?ekujemo da ?e odgovor biti 1/2 ili 1/4, ili neki drugi vi?ekratnik od dva u nazivniku. Ali odgovor je 1/3. Za?to?

Pote?ko?a u ovom slu?aju je ?to informacije kojima raspola?emo smanjuju broj mogu?nosti. Pretpostavimo da su roditelji obo?avatelji Ulice Sezam i bez obzira na pol djece nazvali su im A i B. U normalnim uslovima, postoje ?etiri jednako vjerovatne mogu?nosti: A i B su dva dje?aka, A i B su dvije djevoj?ice, A je dje?ak i B je djevoj?ica, A je djevoj?ica i B je dje?ak. Po?to znamo da je barem jedno dijete djevoj?ica, mo?emo isklju?iti mogu?nost da su A i B dva dje?aka. Dakle, preostale su nam tri mogu?nosti - i dalje jednako vjerovatne. Ako su sve mogu?nosti podjednako vjerovatne i postoje tri, onda je vjerovatno?a svake od njih 1/3. Samo u jednoj od ove tri opcije su obe dece devoj?ice, tako da je odgovor 1/3.

I opet o paradoksu dje?aka i djevoj?ice

Rje?enje problema postaje jo? nelogi?nije. Zamislite da moj prijatelj ima dvoje djece, a jedno od njih je djevoj?ica koja je ro?ena u utorak. Pretpostavimo da je pod normalnim uslovima podjednako verovatno da ?e se dete roditi svakog od sedam dana u nedelji. Kolika je vjerovatno?a da je i drugo dijete djevoj?ica?

Mo?da mislite da bi odgovor i dalje bio 1/3: ?ta zna?i utorak? Ali u ovom slu?aju, intuicija nas iznevjerava. Odgovor je 13/27, ?to ne samo da nije intuitivno, ve? je vrlo ?udno. ?ta je u ovom slu?aju?

Zapravo, utorak mijenja vjerovatno?u jer ne znamo koja je beba ro?ena u utorak, ili su mo?da oboje ro?ene u utorak. U ovom slu?aju koristimo se istom logikom: ra?unamo sve mogu?e kombinacije kada je barem jedno dijete djevoj?ica koja je ro?ena u utorak. Kao u prethodnom primjeru, pretpostavimo da se djeca zovu A i B. Kombinacije izgledaju ovako:

• A je djevoj?ica koja je ro?ena u utorak, B je dje?ak (u ovoj situaciji postoji 7 mogu?nosti, po jedna za svaki dan u sedmici kada je dje?ak mogao biti ro?en).
• B - devoj?ica ro?ena u utorak, A - de?ak (tako?e 7 mogu?nosti).
• A je djevoj?ica koja je ro?ena u utorak, B je djevoj?ica koja je ro?ena drugog dana u sedmici (6 mogu?nosti).
• B - djevoj?ica koja je ro?ena u utorak, A - djevoj?ica koja nije ro?ena u utorak (tako?e 6 vjerovatno?a).
• A i B su dvije djevoj?ice koje su ro?ene u utorak (1 mogu?nost, na ovo treba obratiti pa?nju da ne bi brojali dva puta).

Sumiramo i dobijemo 27 razli?itih podjednako mogu?ih kombinacija ra?anja djece i dana sa barem jednom mogu?no??u da se djevoj?ica rodi u utorak. Od toga je 13 mogu?nosti kada se rode dvije djevoj?ice. Tako?er izgleda potpuno nelogi?no - ?ini se da je ovaj zadatak izmi?ljen samo da izazove glavobolju. Ako ste jo? uvijek zbunjeni, web stranica teoreti?ara igara Jespera Juhla ima dobro obja?njenje za ovo.

Ako trenutno radite na igrici

Ako postoji slu?ajnost u igri koju dizajnirate, ovo je odli?na prilika da je analizirate. Odaberite bilo koji element koji ?elite analizirati. Prvo se zapitajte kakva je vjerovatno?a da ?e dati element biti u kontekstu igre.

Na primjer, ako pravite RPG i razmi?ljate o tome kolika je vjerovatno?a da ?e igra? pobijediti ?udovi?te u borbi, zapitajte se koji postotak pobjede vam odgovara. Obi?no, u slu?aju RPG-ova za konzole, igra?i se jako uznemire kada izgube, pa je bolje da gube rijetko - 10% vremena ili manje. Ako ste RPG dizajner, vjerojatno znate bolje od mene, ali morate imati osnovnu ideju o tome kolika bi vjerovatno?a trebala biti.

Zatim se zapitajte da li su va?e vjerovatno?e zavisne (kao kod karata) ili nezavisne (kao kod kockica). Razgovarajte o svim mogu?im ishodima i njihovim vjerovatno?ama. Uvjerite se da je zbir svih vjerovatno?a 100%. I, naravno, uporedite svoje rezultate sa va?im o?ekivanjima. Da li je mogu?e bacati kockice ili izvla?iti karte kako ste namjeravali, ili je jasno da vrijednosti treba podesiti. I, naravno, ako prona?ete nedostatke, mo?ete koristiti iste prora?une da odredite koliko vam je potrebno da promijenite vrijednosti.

Zada?a

Va? "doma?i zadatak" ove sedmice ?e vam pomo?i da usavr?ite svoje vje?tine vjerovatno?e. Ovdje su dvije igre s kockicama i karta?ka igra koju morate analizirati kori?tenjem vjerovatno?e, kao i ?udna mehanika igre koju sam jednom razvio - na njenom primjeru ?ete testirati Monte Carlo metodu.

Igra #1 - Zmajeve kosti

Ovo je igra s kockicama koju smo moje kolege i ja jednom smislili (zahvaljuju?i Jebu Havensu i Jesse Kingu) - ona namjerno oduva ljude svojim vjerovatno?ama. Ovo je jednostavna kazino igra pod nazivom "Dragon Dice" i to je takmi?enje kockarskih kockica izme?u igra?a i ustanove.

Dobijate redovnu kockicu 1d6. Cilj igre je baciti broj ve?i od broja ku?e. Tomu se daje nestandardni 1d6 - isti kao i tvoj, ali na jednom od njegovih lica umjesto jednog - lik zmaja (dakle, kazino ima kockicu zmaja-2-3-4-5-6). Ako institucija dobije zmaja, automatski pobje?uje, a vi gubite. Ako oba dobiju isti broj, nerije?eno je i ponovo bacate kockice. Onaj ko ubaci najve?i broj pobje?uje.

Naravno, nije sve u potpunosti u korist igra?a, jer kazino ima prednost u vidu lica zmaja. Ali da li je zaista tako? To je ono ?to morate izra?unati. Ali prvo provjerite svoju intuiciju.

Recimo da je pobjeda 2 prema 1. Dakle, ako pobijedite, zadr?avate svoju opkladu i dobijate dupli iznos. Na primjer, ako se kladite na 1$ i pobijedite, zadr?avate taj dolar i dobijate jo? 2$ na vrhu, za ukupno 3$. Ako izgubite, gubite samo svoju opkladu. Da li bi igrao? Da li intuitivno osje?ate da je vjerovatno?a ve?a od 2 prema 1 ili jo? uvijek mislite da je manja? Drugim rije?ima, u prosjeku u 3 utakmice, da li o?ekujete pobjedu vi?e od jednom, manje ili jednom?

Kada maknete intuiciju s puta, primijenite matematiku. Postoji samo 36 mogu?ih pozicija za obje kockice, tako da ih mo?ete lako prebrojati. Ako niste sigurni u vezi ove ponude 2 prema 1, razmislite o ovome: Recimo da ste igrali igru 36 puta (kladite se 1 USD svaki put). Za svaku pobedu dobijate 2$, za svaki gubitak gubite 1$, a remi ni?ta ne menja. Izbrojite sve svoje vjerovatne pobjede i poraze i odlu?ite ho?ete li izgubiti neki dolar ili dobiti. Zatim se zapitajte koliko se va?a intuicija pokazala ispravnom. I onda shvati kakav sam negativac.

I, da, ako ste ve? razmi?ljali o ovom pitanju - namjerno vas zbunjujem iskrivljavaju?i stvarnu mehaniku igre kockicama, ali sam siguran da ovu prepreku mo?ete prevladati samo dobrim razmi?ljanjem. Poku?ajte sami rije?iti ovaj problem.

Igra #2 - Roll of Luck

Ovo je igra s kockicama koja se zove Roll of Luck (tako?er Birdcage, jer se ponekad kockice ne bacaju ve? stavljaju u veliki ?i?ani kavez, koji podsje?a na Bingo kavez). Igra je jednostavna, u osnovi se svodi na ovo: Kladite se, recimo, na 1 $ na broj izme?u 1 i 6. Zatim bacate 3d6. Za svaku kocku koja pogodi va? broj, dobijate 1 dolar (i zadr?avate svoju originalnu opkladu). Ako va? broj ne padne ni na jednu kocku, kazino ?e dobiti va? dolar, a vi ni?ta. Dakle, ako se kladite na 1 i dobijete 1 na lice tri puta, dobijate 3$.

Intuitivno se ?ini da su u ovoj utakmici ?anse izjedna?ene. Svaka kockica je pojedina?na ?ansa za pobjedu 1 prema 6, tako da su va?e ?anse za pobjedu 3 prema 6 na tri bacanja. Me?utim, imajte na umu, naravno, da sla?ete tri odvojene kocke i da vam je dozvoljeno dodati samo ako smo mi govore?i o odvojenim dobitnim kombinacijama istih kockica. Ne?to ?to ?ete morati umno?iti.

Nakon ?to izra?unate sve mogu?e ishode (vjerovatno je lak?e napraviti u Excelu nego ru?no, ima ih 216), igra na prvi pogled i dalje izgleda parno-neparno. U stvari, kazino je i dalje vjerojatnije da ?e pobijediti – koliko vi?e? Konkretno, koliko novca o?ekujete da ?ete izgubiti u prosjeku po rundi igre?

Sve ?to trebate u?initi je sabrati pobjede i poraze svih 216 rezultata, a zatim podijeliti sa 216, ?to bi trebalo biti prili?no lako. Ali kao ?to vidite, postoji nekoliko zamki u koje mo?ete upasti, zbog ?ega vam ka?em da ako mislite da postoji jednaka ?ansa za pobjedu u ovoj igri, pogre?no ste razumjeli.

Igra #3 - 5 Card Stud

Ako ste se ve? zagrijali za prethodne igre, hajde da proverimo ?ta znamo o uslovnoj verovatno?i koriste?i ovu karta?ku igru kao primer. Zamislimo poker sa ?pilom od 52 karte. Zamislimo i stud sa 5 karata gdje svaki igra? dobije samo 5 karata. Ne mo?ete odbaciti kartu, ne mo?ete izvu?i novu, nema uobi?ajenog ?pila - dobijate samo 5 karata.

Royal flush je 10-J-Q-K-A u jednoj ruci, ukupno ?etiri, tako da postoje ?etiri mogu?a na?ina da dobijete royal flush. Izra?unajte vjerovatno?u da ?ete dobiti jednu od ovih kombinacija.

Moram vas upozoriti na jednu stvar: zapamtite da ovih pet karata mo?ete izvu?i bilo kojim redoslijedom. Odnosno, u po?etku mo?ete izvu?i keca ili desetku, nije va?no. Dakle, kada radite svoje kalkulacije, imajte na umu da zapravo postoji vi?e od ?etiri na?ina da dobijete royal flush, pod pretpostavkom da su karte podijeljene po redu.

Igra #4 - MMF lutrija

?etvrti zadatak ne?e biti tako lako rije?iti metodama o kojima smo danas govorili, ali mo?ete lako simulirati situaciju pomo?u programiranja ili Excela. Upravo na primjeru ovog problema mo?ete razraditi metodu Monte Carlo.

Ranije sam spomenuo igru Chron X na kojoj sam nekada radio, a postojala je i jedna vrlo zanimljiva karta - lutrija MMF-a. Evo kako je to funkcioniralo: koristili ste ga u igrici. Nakon zavr?etka runde, karte su preraspodijeljene, a postojala je 10% ?ansa da karta bude van igre i da ?e nasumi?ni igra? dobiti 5 jedinica svake vrste resursa koji je bio prisutan na toj kartici. Karta je stavljena u igru bez ijednog ?etona, ali svaki put kada je ostala u igri na po?etku sljede?e runde, dobijala je jedan ?eton.

Dakle, postojala je ?ansa od 10% da ?ete ga staviti u igru, runda ?e se zavr?iti, karta ?e napustiti igru i niko ne?e dobiti ni?ta. Ako ne bude (sa 90% ?anse), postoji 10% ?anse (u stvari 9%, po?to je to 10% od 90%) da ?e ona napustiti igru u sljede?em krugu i neko ?e dobiti 5 resursa. Ako karta iza?e iz igre nakon jedne runde (10% od 81% dostupnih, dakle vjerovatno?a je 8,1%), neko ?e dobiti 10 jedinica, drugu rundu - 15, jo? 20 i tako dalje. Pitanje: koja je o?ekivana vrijednost broja resursa koje ?ete dobiti od ove kartice kada kona?no iza?e iz igre?

Obi?no bismo poku?ali rije?iti ovaj problem izra?unavanjem vjerovatno?e svakog ishoda i mno?enjem sa brojem svih ishoda. Postoji 10% ?anse da ?ete dobiti 0 (0,1 * 0 = 0). 9% da ?ete dobiti 5 jedinica resursa (9% * 5 = 0,45 resursa). 8,1% onoga ?to dobijete je 10 (8,1% * 10 = 0,81 resursa - op?enito, o?ekivana vrijednost). I tako dalje. A onda bismo sve sumirali.

I sada vam je problem o?igledan: uvijek postoji ?ansa da karta ne iza?e iz igre, mo?e ostati u igri zauvijek, beskona?an broj rundi, tako da ne postoji na?in da se izra?una bilo kakva vjerovatno?a. Metode koje smo danas nau?ili ne dozvoljavaju nam da izra?unamo beskona?nu rekurziju, pa ?emo je morati stvoriti umjetno.

Ako ste dovoljno dobri u programiranju, napi?ite program koji ?e simulirati ovu karticu. Trebali biste imati vremensku petlju koja dovodi varijablu na po?etnu poziciju nule, pokazuje nasumi?ni broj i sa 10% ?anse da varijabla iza?e iz petlje. U suprotnom, dodaje se 5 varijabli i petlja se ponavlja. Kada kona?no iza?e iz petlje, pove?ajte ukupan broj probnih izvo?enja za 1 i ukupan broj resursa (za koliko ovisi o tome gdje se varijabla zaustavila). Zatim resetirajte varijablu i po?nite ispo?etka.

Pokrenite program nekoliko hiljada puta. Na kraju, podijelite ukupne resurse sa ukupnim brojem tr?anja - to ?e biti va?a o?ekivana vrijednost Monte Carlo metode. Pokrenite program nekoliko puta kako biste bili sigurni da su brojevi koje dobijete otprilike isti. Ako je ?irenje jo? uvijek veliko, pove?ajte broj ponavljanja u vanjskoj petlji dok ne po?nete dobivati podudaranja. Mo?ete biti sigurni da ?e sve brojke koje zavr?ite biti pribli?no ta?ne.

Ako ste novi u programiranju (?ak i ako jeste), evo male vje?be za testiranje va?ih Excel vje?tina. Ako ste dizajner igara, ove vje?tine nikada ne?e biti suvi?ne.

Sada ?e vam funkcije if i rand biti vrlo korisne. Rand ne zahtijeva vrijednosti, on samo proizvodi nasumi?ni decimalni broj izme?u 0 i 1. Obi?no ga kombiniramo s podom i plusima i minusima da simuliramo bacanje kocke, ?to sam ranije spomenuo. Me?utim, u ovom slu?aju ostavljamo samo 10% ?anse da ?e kartica napustiti igru, tako da mo?emo samo provjeriti da li je rand manji od 0,1 i vi?e ne brinuti o tome.

Ako ima tri vrijednosti. Redom, uslov koji je ta?an ili ne, zatim vrednost koja se vra?a ako je uslov ta?an i vrednost koja se vra?a ako je uslov neta?an. Dakle, sljede?a funkcija ?e vratiti 5% vremena, a 0 ostalih 90% vremena: =IF(RAND()<0.1,5,0) .

Postoji mnogo na?ina za postavljanje ove naredbe, ali ja bih koristio ovu formulu za ?eliju koja predstavlja prvi krug, recimo da je to ?elija A1: =IF(RAND()<0.1,0,-1) .

Ovdje koristim negativnu varijablu ?to zna?i "ova kartica nije napustila igru i jo? uvijek nije dala nikakve resurse". Dakle, ako je prva runda zavr?ena i karta nije u igri, A1 je 0; ina?e je -1.

Za sljede?u ?eliju koja predstavlja drugi krug: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1)) . Dakle, ako se prva runda zavr?i i karta odmah napusti igru, A1 je 0 (broj resursa) i ova ?elija ?e jednostavno kopirati tu vrijednost. Ina?e, A1 je -1 (karta jo? nije iza?la iz igre), a ova ?elija nastavlja da se nasumi?no kre?e: 10% vremena vra?a 5 jedinica resursa, ostatak vremena ?e njena vrijednost i dalje biti - 1. Ako ovu formulu primijenimo na dodatne ?elije, dobit ?emo dodatne runde, a s kojom god ?eliju zavr?ite, dobit ?ete kona?ni rezultat (ili -1 ako karta nije iza?la iz igre nakon svih odigranih rundi).

Uzmite ovaj red ?elija, koji je jedini krug sa ovom karticom, i kopirajte i zalijepite nekoliko stotina (ili hiljada) redova. Mo?da ne?emo mo?i da uradimo beskona?an test za Excel (postoji ograni?en broj ?elija u tabeli), ali barem mo?emo pokriti ve?inu slu?ajeva. Zatim odaberite jednu ?eliju u koju ?ete staviti prosjek rezultata svih rundi - Excel ljubazno pru?a funkciju prosjek() za to.

Na Windows-u, barem mo?ete pritisnuti F9 da ponovo izra?unate sve nasumi?ne brojeve. Kao i prije, uradite ovo nekoliko puta i provjerite da li ?ete dobiti iste vrijednosti. Ako je ?irina prevelika, udvostru?ite broj tr?anja i poku?ajte ponovo.

Nerije?eni problemi

Ako ste slu?ajno diplomirani iz teorije vjerovatno?e i navedeni problemi vam se ?ine previ?e laki - evo dva problema o kojima se godinama ?e?kam po glavi, ali, na?alost, nisam toliko dobar u matematici da bih ih rije?io.

Nerije?en problem #1: Lutrija MMF-a

Prvi nerije?eni problem je prethodni doma?i zadatak. Lako mogu koristiti Monte Carlo metodu (koriste?i C++ ili Excel) i biti siguran u odgovor na pitanje "koliko resursa ?e igra? dobiti", ali ne znam ta?no kako da dam ta?an matemati?ki dokaziv odgovor (ovo je beskona?an niz).

Nerije?en problem #2: Sekvence oblika

Ovaj zadatak (tako?e daleko prevazilazi zadatke koji se rje?avaju na ovom blogu) mi je bacio poznati igra? prije vi?e od deset godina. Dok je igrao blackjack u Vegasu, primijetio je jednu zanimljivu osobinu: izvla?e?i karte iz cipela od 8 ?pilova, vidio je deset komada u nizu (karta za komad ili lice je 10, Joker, King ili Queen, tako da ih ima ukupno 16 u standardni ?pil od 52 karte ili 128 u cipeli od 416 karata).

Kolika je vjerovatno?a da ova cipela sadr?i najmanje jednu sekvencu od deset ili vi?e komada? Pretpostavimo da su prome?ani iskreno, slu?ajnim redosledom. Ili, ako ?elite, kolika je vjerovatno?a da nigdje ne postoji niz od deset ili vi?e oblika?

Mo?emo pojednostaviti zadatak. Evo niza od 416 dijelova. Svaki dio je 0 ili 1. Postoji 128 jedinica i 288 nula nasumi?no razbacanih po nizu. Koliko postoji na?ina za nasumi?no preplitanje 128 jedinica sa 288 nula, i koliko puta ?e postojati barem jedna grupa od deset ili vi?e jedinica na ove na?ine?

Kad god sam krenuo u rje?avanje ovog problema, ?inilo mi se lako i o?igledno, ali ?im sam u?ao u detalje, odjednom se raspao i ?inio se jednostavno nemogu?im.

Zato uzmite si vremena izgovaraju?i odgovor: sjedite, dobro razmislite, prou?ite uslove, poku?ajte uklju?iti realne brojeve, jer su svi ljudi s kojima sam razgovarao o ovom problemu (uklju?uju?i nekoliko diplomiranih studenata koji rade u ovoj oblasti) reagovali otprilike isto na?in: "Potpuno je o?igledno... oh ne, ?ekaj, uop?e nije o?igledno." To je slu?aj kada nemam metodu za izra?unavanje svih opcija. Naravno, mogao bih grubo forsirati problem preko kompjuterskog algoritma, ali bi bilo mnogo zanimljivije saznati matemati?ki na?in za njegovo rje?avanje.

U po?etku, kao samo zbirka informacija i empirijskih zapa?anja o igri kockica, teorija vjerovatno?e je postala solidna nauka. Fermat i Pascal su prvi dali matemati?ki okvir.

Od razmi?ljanja o vje?nom do teorije vjerovatno?e

Dva pojedinca kojima teorija vjerovatno?e duguje mnoge fundamentalne formule, Blaise Pascal i Thomas Bayes, poznati su kao duboko religiozni ljudi, potonji je bio prezbiterijanski sve?tenik. O?igledno je ?elja ove dvojice nau?nika da doka?u pogre?no mi?ljenje o odre?enoj Fortuni, daju?i sre?u njenim miljenicima, dala podsticaj istra?ivanjima u ovoj oblasti. Uostalom, svaka igra na sre?u, sa svojim pobjedama i porazima, samo je simfonija matemati?kih principa.

Zahvaljuju?i uzbu?enju Chevalier de Merea, koji je bio podjednako kockar i osoba koja nije bila ravnodu?na prema nauci, Pascal je bio primoran da prona?e na?in da izra?una vjerovatno?u. De Merea je zanimalo ovo pitanje: "Koliko puta trebate baciti dvije kockice u paru da bi vjerovatno?a da dobijete 12 poena ve?a od 50%?". Drugo pitanje koje je gospodina izuzetno zanimalo: "Kako podijeliti opkladu izme?u u?esnika u nedovr?enoj igri?" Naravno, Pascal je uspje?no odgovorio na oba pitanja de Merea, koji je postao nesvjesni inicijator razvoja teorije vjerovatno?e. Zanimljivo je da je li?nost de Merea ostala poznata na ovim prostorima, a ne u literaturi.

Ranije nijedan matemati?ar jo? nije poku?ao izra?unati vjerovatno?e doga?aja, jer se vjerovalo da je to samo rje?enje za naga?anje. Blaise Pascal je dao prvu definiciju vjerovatno?e doga?aja i pokazao da je to specifi?na brojka koja se mo?e matemati?ki opravdati. Teorija vjerovatno?e je postala osnova za statistiku i ?iroko se koristi u modernoj nauci.

?ta je slu?ajnost

Ako uzmemo u obzir test koji se mo?e ponoviti beskona?an broj puta, onda mo?emo definirati slu?ajni doga?aj. Ovo je jedan od mogu?ih ishoda iskustva.

Iskustvo je izvo?enje odre?enih radnji u stalnim uslovima.

Da bi se moglo raditi s rezultatima iskustva, doga?aji se obi?no ozna?avaju slovima A, B, C, D, E...

Vjerovatno?a slu?ajnog doga?aja

Da bismo mogli da pre?emo na matemati?ki deo verovatno?e, potrebno je definisati sve njene komponente.

Vjerovatno?a doga?aja je numeri?ka mjera mogu?nosti nastanka nekog doga?aja (A ili B) kao rezultat nekog iskustva. Vjerovatno?a se ozna?ava kao P(A) ili P(B).

Teorija vjerovatno?e je:

• pouzdan zagarantovano je da ?e se doga?aj desiti kao rezultat eksperimenta R(O) = 1;
• nemogu?e doga?aj se nikada ne mo?e dogoditi R(?) = 0;
• nasumi?no doga?aj se nalazi izme?u sigurnog i nemogu?eg, odnosno vjerovatno?a njegovog nastanka je mogu?a, ali nije zagarantovana (vjerovatno?a slu?ajnog doga?aja je uvijek unutar 0<=P(A)<=1).

Odnosi izme?u doga?aja

I jedan i zbir doga?aja A + B se uzimaju u obzir kada se doga?aj ra?una u implementaciji najmanje jedne od komponenti, A ili B, ili oboje - A i B.

U me?usobnoj vezi doga?aji mogu biti:

• Jednako mogu?e.
• kompatibilan.
• Nekompatibilno.
• Suprotnost (me?usobno isklju?iva).
• Zavisni.

Ako se dva doga?aja mogu dogoditi sa jednakom vjerovatno?om, onda oni podjednako mogu?e.

Ako pojava doga?aja A ne poni?ti vjerovatno?u pojave doga?aja B, onda oni kompatibilan.

Ako se doga?aji A i B nikada ne dogode u isto vrijeme u istom eksperimentu, onda se oni nazivaju nekompatibilno. Bacanje nov?i?a je dobar primjer: podizanje repa automatski nije podizanje glave.

Vjerovatno?a za zbir takvih nekompatibilnih doga?aja sastoji se od zbira vjerovatno?a svakog od doga?aja:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ako pojava jednog doga?aja onemogu?ava nastanak drugog, onda se oni nazivaju suprotnim. Tada se jedan od njih ozna?ava kao A, a drugi - ? (?ita se kao "ne A"). Pojava doga?aja A zna?i da se ? nije dogodilo. Ova dva doga?aja ?ine kompletnu grupu sa zbirom vjerovatno?a jednakim 1.

Zavisni doga?aji imaju me?usobni uticaj, smanjuju?i ili pove?avaju?i jedni druge verovatno?e.

Odnosi izme?u doga?aja. Primjeri

Mnogo je lak?e razumjeti principe teorije vjerovatno?e i kombinacije doga?aja koriste?i primjere.

Eksperiment koji ?e se izvoditi je izvla?enje loptica iz kutije, a rezultat svakog eksperimenta je elementaran ishod.

Doga?aj je jedan od mogu?ih ishoda iskustva - crvena lopta, plava lopta, lopta sa brojem ?est, itd.

Test broj 1. Ima 6 loptica, od kojih su tri plave sa neparnim brojevima, a ostale tri crvene sa parnim brojevima.

Test broj 2. Postoji 6 plavih loptica sa brojevima od jedan do ?est.

Na osnovu ovog primjera mo?emo imenovati kombinacije:

• Pouzdan doga?aj. Na ?panskom Pod br. 2, doga?aj "dobi plavu loptu" je pouzdan, jer je vjerovatno?a njegovog nastanka 1, po?to su sve kuglice plave i ne mo?e biti proma?aja. Dok je doga?aj "dobiti loptu sa brojem 1" slu?ajan.
• Nemogu? doga?aj. Na ?panskom Broj 1 sa plavim i crvenim kuglicama, doga?aj "dobiti ljubi?astu kuglu" je nemogu?, jer je vjerovatno?a njegovog nastanka 0.
• Ekvivalentni doga?aji. Na ?panskom Broj 1, podjednako su verovatni doga?aji „dobi loptu brojem 2” i „dobi loptu brojem 3”, a doga?aji „dobi loptu sa parnim brojem” i „uzmi loptu brojem 2” ” imaju razli?ite vjerovatno?e.
• Kompatibilni doga?aji. Dobivanje ?estice u procesu bacanja kocke dvaput zaredom su kompatibilni doga?aji.
• Nekompatibilni doga?aji. Na istom ?panskom Doga?aji br. 1 "dobi crvenu loptu" i "dobi loptu sa neparnim brojem" ne mogu se kombinovati u istom iskustvu.
• suprotnih doga?aja. Najupe?atljiviji primjer ovoga je bacanje nov?i?a, gdje je crtanje glave isto ?to i ne izvla?enje repa, a zbir njihovih vjerovatno?a je uvijek 1 (puna grupa).
• Zavisni doga?aji. Dakle, na ?panskom Broj 1, mo?ete sebi postaviti cilj da dvaput zaredom izvu?ete crvenu loptu. Ekstrahovanje ili ne izdvajanje prvi put uti?e na verovatno?u da se izvu?e drugi put.

Vidi se da prvi doga?aj zna?ajno uti?e na vjerovatno?u drugog (40% i 60%).

Formula vjerovatno?e doga?aja

Prelazak sa proricanja sudbine na ta?ne podatke se de?ava preno?enjem teme na matemati?ku ravan. Odnosno, prosudbe o slu?ajnom doga?aju poput "velike vjerovatno?e" ili "minimalne vjerovatno?e" mogu se prevesti u specifi?ne numeri?ke podatke. Ve? je dozvoljeno procjenjivati, upore?ivati i uvoditi takav materijal u slo?enije prora?une.

Sa stanovi?ta prora?una, definicija vjerovatno?e doga?aja je omjer broja elementarnih pozitivnih ishoda i broja svih mogu?ih ishoda iskustva u odnosu na odre?eni doga?aj. Vjerovatno?a je ozna?ena sa P (A), gdje P zna?i rije? "vjerovatno?a", ?to je s francuskog prevedeno kao "vjerovatno?a".

Dakle, formula za vjerovatno?u doga?aja je:

Gdje je m broj povoljnih ishoda za doga?aj A, n je zbir svih mogu?ih ishoda za ovo iskustvo. Vjerovatno?a doga?aja je uvijek izme?u 0 i 1:

0 <= P(A) <= 1.

Prora?un vjerovatno?e doga?aja. Primjer

Uzmimo ?panski. Br. 1 sa loptama, ?to je ranije opisano: 3 plave kuglice sa brojevima 1/3/5 i 3 crvene kuglice sa brojevima 2/4/6.

Na osnovu ovog testa mo?e se razmotriti nekoliko razli?itih zadataka:

• A - ispu?tanje crvene lopte. Postoje 3 crvene kuglice, a ukupno ima 6 varijanti Ovo je najjednostavniji primjer u kojem je vjerovatno?a doga?aja P(A)=3/6=0,5.
• B - ispu?tanje parnog broja. Ukupno ima 3 (2,4,6) parna broja, a ukupan broj mogu?ih numeri?kih opcija je 6. Vjerovatno?a ovog doga?aja je P(B)=3/6=0,5.
• C - gubitak broja ve?eg od 2. Postoje 4 takve opcije (3,4,5,6) od ukupnog broja mogu?ih ishoda 6. Vjerovatno?a doga?aja C je P(C)=4/6= 0,67.

Kao ?to se mo?e vidjeti iz prora?una, doga?aj C ima ve?u vjerovatno?u, jer je broj mogu?ih pozitivnih ishoda ve?i nego u A i B.

Nekompatibilni doga?aji

Takvi doga?aji ne mogu se pojaviti istovremeno u istom iskustvu. Kao na ?panskom Broj 1, nemogu?e je dobiti plavu i crvenu loptu u isto vrijeme. Odnosno, mo?ete dobiti ili plavu ili crvenu loptu. Na isti na?in, paran i neparan broj se ne mogu pojaviti u kockici u isto vrijeme.

Vjerovatno?a dva doga?aja se smatra vjerovatno?om njihovog zbira ili proizvoda. Zbir takvih doga?aja A + B smatra se doga?ajem koji se sastoji u pojavi doga?aja A ili B, a proizvod njihovog AB - u pojavi oba. Na primjer, pojavljivanje dvije ?estice odjednom na stranama dvije kocke u jednom bacanju.

Zbir nekoliko doga?aja je doga?aj koji podrazumijeva pojavu barem jednog od njih. Proizvod nekoliko doga?aja je zajedni?ka pojava svih njih.

U teoriji vjerovatno?e, po pravilu, upotreba unije "i" ozna?ava zbir, unija "ili" - mno?enje. Formule s primjerima pomo?i ?e vam da shvatite logiku sabiranja i mno?enja u teoriji vjerojatnosti.

Vjerovatno?a zbira nespojivih doga?aja

Ako se uzme u obzir vjerovatno?a nekompatibilnih doga?aja, tada je vjerovatno?a zbira doga?aja jednaka zbroju njihovih vjerovatno?a:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Na primjer: izra?unavamo vjerovatno?u da na ?panskom. Broj 1 sa plavim i crvenim kuglicama ispusti?e broj izme?u 1 i 4. Ra?una?emo ne u jednoj akciji, ve? zbirom verovatno?a elementarnih komponenti. Dakle, u takvom eksperimentu postoji samo 6 kuglica ili 6 od svih mogu?ih ishoda. Brojevi koji zadovoljavaju uslov su 2 i 3. Verovatno?a da se dobije broj 2 je 1/6, verovatno?a broja 3 je tako?e 1/6. Vjerovatno?a da dobijete broj izme?u 1 i 4 je:

Vjerovatno?a zbira nekompatibilnih doga?aja cijele grupe je 1.

Dakle, ako u eksperimentu s kockom zbrojimo vjerovatno?e da dobijemo sve brojeve, onda kao rezultat dobijemo jedan.

To vrijedi i za suprotne doga?aje, na primjer, u eksperimentu s nov?i?em, gdje je jedna od njegovih strana doga?aj A, a druga je suprotan doga?aj ?, kao ?to je poznato,

R(A) + R(?) = 1

Vjerovatno?a stvaranja nekompatibilnih doga?aja

Mno?enje vjerovatno?a se koristi kada se razmatra pojava dva ili vi?e nekompatibilnih doga?aja u jednom posmatranju. Vjerovatno?a da ?e se doga?aji A i B u njemu pojaviti u isto vrijeme jednaka je proizvodu njihovih vjerovatno?a, ili:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Na primjer, vjerovatno?a da u Broj 1 kao rezultat dva poku?aja, dva puta ?e se pojaviti plava lopta, jednaka

Odnosno, vjerovatno?a da se dogodi doga?aj kada ?e se, kao rezultat dva poku?aja va?enja loptica, izvu?i samo plave kuglice, iznosi 25%. Vrlo je lako napraviti prakti?ne eksperimente na ovom problemu i vidjeti da li je to zaista slu?aj.

Zajedni?ki doga?aji

Doga?aji se smatraju zajedni?kim kada se pojava jednog od njih mo?e poklopiti s pojavom drugog. Uprkos ?injenici da su zajedni?ki, razmatra se vjerovatno?a nezavisnih doga?aja. Na primjer, bacanje dvije kocke mo?e dati rezultat kada na obje padne broj 6. Iako su se doga?aji poklopili i pojavili istovremeno, oni su nezavisni jedan od drugog - samo jedna ?estica mo?e ispasti, druga kockica na to nema utjecaja. .

Vjerovatno?a zajedni?kih doga?aja smatra se vjerovatno?om njihovog zbira.

Vjerovatno?a zbira zajedni?kih doga?aja. Primjer

Vjerovatno?a zbira doga?aja A i B, koji su me?usobno povezani, jednaka je zbroju vjerovatno?a doga?aja minus vjerovatno?a njihovog proizvoda (tj. njihove zajedni?ke implementacije):

R zglob. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Pretpostavimo da je vjerovatno?a da ?ete pogoditi metu jednim udarcem 0,4. Zatim doga?aj A - poga?anje mete u prvom poku?aju, B - u drugom. Ovi doga?aji su zajedni?ki, jer je mogu?e da je mogu?e pogoditi metu i iz prvog i iz drugog hica. Ali doga?aji nisu zavisni. Kolika je vjerovatno?a da ?ete pogoditi metu sa dva hica (najmanje jednim)? prema formuli:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Odgovor na pitanje je: "Vjerovatno?a poga?anja mete sa dva hica je 64%".

Ova formula za vjerovatno?u doga?aja mo?e se primijeniti i na nekompatibilne doga?aje, gdje je vjerovatno?a zajedni?kog nastupa doga?aja P(AB) = 0. To zna?i da se vjerovatno?a zbira nekompatibilnih doga?aja mo?e smatrati posebnim slu?ajem. predlo?ene formule.

Geometrija vjerovatno?e radi jasno?e

Zanimljivo je da se vjerovatno?a zbira zajedni?kih doga?aja mo?e predstaviti kao dvije oblasti A i B koje se me?usobno seku. Kao ?to mo?ete vidjeti sa slike, povr?ina njihovog spoja jednaka je ukupnoj povr?ini minus povr?ina njihovog sjeci?ta. Ovo geometrijsko obja?njenje ?ini naizgled nelogi?nu formulu razumljivijom. Imajte na umu da geometrijska rje?enja nisu neuobi?ajena u teoriji vjerojatnosti.

Definicija vjerovatno?e zbira skupa (vi?e od dva) zajedni?kih doga?aja je prili?no glomazna. Da biste ga izra?unali, morate koristiti formule koje su predvi?ene za ove slu?ajeve.

Zavisni doga?aji

Zavisni doga?aji se nazivaju ako pojava jednog (A) od njih uti?e na vjerovatno?u pojave drugog (B). ?tavi?e, uzima se u obzir uticaj i pojave doga?aja A i njegovog nenastupanja. Iako se doga?aji po definiciji nazivaju zavisnim, samo jedan od njih je zavisan (B). Uobi?ajena vjerovatno?a je ozna?ena kao P(B) ili vjerovatno?a nezavisnih doga?aja. U slu?aju zavisnih uvodi se novi koncept - uslovna verovatno?a P A (B), koja je verovatno?a zavisnog doga?aja B pod uslovom da se dogodio doga?aj A (hipoteza), od kojeg zavisi.

Ali doga?aj A je tako?e slu?ajan, tako da ima i vjerovatno?u koja se mora i mo?e uzeti u obzir u prora?unima. Sljede?i primjer ?e pokazati kako raditi sa zavisnim doga?ajima i hipotezom.

Primjer izra?unavanja vjerovatno?e zavisnih doga?aja

Dobar primjer za izra?unavanje zavisnih doga?aja je standardni ?pil karata.

Na primjeru ?pila od 36 karata, razmotrite zavisne doga?aje. Potrebno je odrediti vjerovatno?u da ?e druga izvu?ena karta iz ?pila biti dijamantska boja, ako je prva izvu?ena karta:

1. Tambura.
2. Drugo odijelo.

O?igledno, vjerovatno?a drugog doga?aja B zavisi od prvog A. Dakle, ako je ta?na prva opcija, a to je 1 karta (35) i 1 romb (8) manje u ?pilu, vjerovatno?a doga?aja B:

P A (B) \u003d 8 / 35 = 0,23

Ako je druga opcija ta?na, tada u ?pilu ima 35 karata, a ukupan broj tambura (9) je i dalje sa?uvan, tada je vjerovatno?a sljede?eg doga?aja B:

P A (B) = 9/35 = 0,26.

Mo?e se vidjeti da ako je doga?aj A uvjetovan ?injenicom da je prva karta dijamant, onda se vjerovatno?a doga?aja B smanjuje, i obrnuto.

Mno?enje zavisnih doga?aja

Na osnovu prethodnog poglavlja, prihvatamo prvi doga?aj (A) kao ?injenicu, ali u su?tini ima slu?ajan karakter. Vjerovatno?a ovog doga?aja, odnosno va?enja tambure iz ?pila karata, jednaka je:

P(A) = 9/36=1/4

Budu?i da teorija ne postoji sama po sebi, ve? je pozvana da slu?i prakti?nim svrhama, po?teno je napomenuti da je naj?e??e potrebna vjerovatno?a proizvodnje zavisnih doga?aja.

Prema teoremi o proizvodu vjerovatno?a zavisnih doga?aja, vjerovatno?a pojave zajedni?ki zavisnih doga?aja A i B jednaka je vjerovatno?i jednog doga?aja A pomno?enoj sa uslovnom vjerovatno?om doga?aja B (u zavisnosti od A):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Zatim u primjeru sa ?pilom, vjerovatno?a da se izvuku dvije karte s odijelom dijamanata je:

9/36*8/35=0,0571 ili 5,7%

A vjerovatno?a da se prvo ne izvade dijamanti, a zatim dijamanti, jednaka je:

27/36*9/35=0,19 ili 19%

Mo?e se vidjeti da je vjerovatno?a nastanka doga?aja B ve?a, pod uslovom da se prva izvu?e karta druge boje osim dijamanta. Ovaj rezultat je sasvim logi?an i razumljiv.

Ukupna vjerovatno?a doga?aja

Kada problem sa uslovnim verovatno?ama postane vi?estruk, ne mo?e se izra?unati konvencionalnim metodama. Kada postoji vi?e od dvije hipoteze, odnosno A1, A2, ..., A n , .. formira kompletnu grupu doga?aja pod uslovom:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ? A j =?,i?j.
• S k A k =O.

Dakle, formula za ukupnu vjerovatno?u za doga?aj B sa kompletnom grupom slu?ajnih doga?aja A1, A2, ..., A n je:

Pogled u budu?nost

Vjerovatno?a slu?ajnog doga?aja je bitna u mnogim oblastima nauke: ekonometriji, statistici, fizici itd. Po?to se neki procesi ne mogu opisati deterministi?ki, budu?i da su sami po sebi vjerovatnostni, potrebne su posebne metode rada. Teorija vjerovatno?e doga?aja mo?e se koristiti u bilo kojoj tehnolo?koj oblasti kao na?in da se odredi mogu?nost gre?ke ili kvara.

Mo?e se re?i da, prepoznaju?i vjerovatno?u, na neki na?in ?inimo teorijski korak u budu?nost, gledaju?i je kroz prizmu formula.

Do danas je predstavljen u otvorenoj banci matemati?kih zadataka USE (mathege.ru), ?ije se rje?enje zasniva samo na jednoj formuli, koja je klasi?na definicija vjerovatno?e.

Najlak?i na?in za razumijevanje formule je pomo?u primjera.
Primjer 1 U ko?u se nalazi 9 crvenih i 3 plave loptice. Lopte se razlikuju samo po boji. Nasumi?no (bez gledanja) dobijamo jednu od njih. Kolika je vjerovatno?a da tako odabrana lopta bude plava?

Komentar. U problemima u teoriji vjerovatno?e de?ava se ne?to (u ovom slu?aju na?a akcija povla?enja lopte) ?to mo?e imati druga?iji rezultat – ishod. Treba napomenuti da se rezultat mo?e posmatrati na razli?ite na?ine. "Izvukli smo loptu" je tako?e rezultat. "Izvukli smo plavu loptu" rezultat je. "Izvukli smo ovu konkretnu loptu od svih mogu?ih lopti" - ovaj najmanje generalizovan pogled na rezultat naziva se elementarni ishod. U formuli za izra?unavanje vjerovatno?e podrazumijevaju se elementarni ishodi.

Rje?enje. Sada izra?unavamo vjerovatno?u odabira plave lopte.
Doga?aj A: "odabrana lopta je ispala plava"
Ukupan broj svih mogu?ih ishoda: 9+3=12 (broj svih loptica koje smo mogli izvu?i)
Broj povoljnih ishoda za doga?aj A: 3 (broj takvih ishoda u kojima se dogodio doga?aj A - odnosno broj plavih loptica)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Odgovor: 0,25

Izra?unajmo za isti problem vjerovatno?u izbora crvene lopte.
Ukupan broj mogu?ih ishoda ?e ostati isti, 12. Broj povoljnih ishoda: 9. ?eljena vjerovatno?a: 9/12=3/4=0,75

Vjerovatno?a bilo kojeg doga?aja uvijek je izme?u 0 i 1.
Ponekad se u svakodnevnom govoru (ali ne u teoriji vjerovatno?e!) vjerovatno?a doga?aja procjenjuje kao postotak. Prijelaz izme?u matemati?ke i konverzacijske procjene se vr?i mno?enjem (ili dijeljenjem) sa 100%.
dakle,
U ovom slu?aju, vjerovatno?a je nula za doga?aje koji se ne mogu dogoditi - malo vjerovatno. Na primjer, u na?em primjeru, to bi bila vjerovatno?a izvla?enja zelene lopte iz ko?a. (Broj povoljnih ishoda je 0, P(A)=0/12=0 ako se ra?una po formuli)
Vjerovatno?a 1 ima doga?aje koji ?e se apsolutno sigurno dogoditi, bez opcija. Na primjer, vjerovatno?a da ?e "odabrana lopta biti ili crvena ili plava" je za na? problem. (Broj povoljnih ishoda: 12, P(A)=12/12=1)

Pogledali smo klasi?an primjer koji ilustruje definiciju vjerovatno?e. Svi sli?ni USE problemi u teoriji vjerojatnosti rje?avaju se pomo?u ove formule.
Umjesto crvenih i plavih loptica mogu biti jabuke i kru?ke, dje?aci i djevoj?ice, nau?ene i nenau?ene tikete, karte koje sadr?e i ne sadr?e pitanje na odre?enu temu (prototipovi, ), neispravne i kvalitetne torbe ili vrtne pumpe (prototipovi , ) - princip ostaje isti.

Oni se neznatno razlikuju u formulaciji problema teorije vjerovatno?e USE, gdje je potrebno izra?unati vjerovatno?u da ?e se doga?aj dogoditi odre?enog dana. ( , ) Kao iu prethodnim zadacima, potrebno je odrediti ?to je elementarni ishod, a zatim primijeniti istu formulu.

Primjer 2 Konferencija traje tri dana. Prvog i drugog dana po 15 govornika, tre?eg dana 20. Kolika je vjerovatno?a da ?e izvje?taj profesora M. pasti tre?eg dana, ako se redoslijed izvje?taja odre?uje ?rijebom?

?ta je ovde osnovni ishod? - Dodjeljivanje izvje?taja profesora jednom od svih mogu?ih serijskih brojeva za govor. U izvla?enju u?estvuje 15+15+20=50 ljudi. Dakle, izvje?taj profesora M. mo?e dobiti jedan od 50 brojeva. To zna?i da postoji samo 50 elementarnih ishoda.
Koji su povoljni ishodi? - One u kojima se ispostavi da ?e profesor govoriti tre?i dan. Odnosno, zadnjih 20 brojeva.
Prema formuli, vjerovatno?a P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Odgovor: 0.4

Izvla?enje ?rijeba je uspostavljanje slu?ajne korespondencije izme?u ljudi i naru?enih mjesta. U primjeru 2, uparivanje je razmatrano u smislu na koje od mjesta odre?ena osoba mo?e zauzeti. Istoj situaciji mo?ete pristupiti i s druge strane: koji bi od ljudi s kojom vjerovatno?om mogao do?i do odre?enog mjesta (prototipovi , , , ):

Primjer 3 U ?rijebu u?estvuje 5 Nijemaca, 8 Francuza i 3 Estonca. Kolika je verovatno?a da prvi (/drugi/sedmi/poslednji - nije bitno) bude Francuz.

Broj elementarnih ishoda je broj svih mogu?ih ljudi koji bi ?rijebom mogli do?i do odre?enog mjesta. 5+8+3=16 osoba.
Povoljni ishodi - Francuzi. 8 osoba.
?eljena vjerovatno?a: 8/16=1/2=0,5
Odgovor: 0,5

Prototip je malo druga?iji. Postoje zadaci o nov?i?ima () i kockicama () koji su ne?to kreativniji. Rje?enja za ove probleme mogu se na?i na stranicama prototipa.

Evo nekoliko primjera bacanja nov?i?a ili kockica.

Primjer 4 Kada bacimo nov?i?, kolika je vjerovatno?a da ?emo dobiti repove?
Ishod 2 - glava ili rep. (veruje se da nov?i? nikada ne pada na ivicu) Povoljan ishod - repovi, 1.
Vjerovatno?a 1/2=0,5
Odgovor: 0,5.

Primjer 5?ta ako dvaput bacimo nov?i?? Kolika je vjerovatno?a da ?e se oba puta pojaviti?
Glavna stvar je odrediti koje ?emo elementarne ishode uzeti u obzir prilikom bacanja dva nov?i?a. Nakon bacanja dva nov?i?a, mo?e se dogoditi jedan od sljede?ih rezultata:
1) PP - oba puta je do?lo do repova
2) PO - prvi put repovi, drugi put glave
3) OP - prvi put glava, drugi put rep
4) OO - glava gore oba puta
Nema drugih opcija. To zna?i da postoje 4 elementarna ishoda, samo je prvi povoljan, 1.
Vjerovatno?a: 1/4=0,25
Odgovor: 0,25

Kolika je vjerovatno?a da ?e dva bacanja nov?i?a pasti na rep?
Broj elementarnih ishoda je isti, 4. Povoljni ishodi su drugi i tre?i, 2.
Verovatno?a dobijanja jednog repa: 2/4=0,5

U takvim problemima mo?e dobro do?i jo? jedna formula.
Ako pri jednom bacanju nov?i?a imamo 2 mogu?a ishoda, tada ?e za dva bacanja rezultata biti 2 2=2 2 =4 (kao u primjeru 5), za tri bacanja 2 2 2=2 3 =8, za ?etiri : 2·2·2·2=2 4 =16, … za N bacanja mogu?ih ishoda bit ?e 2·2·...·2=2 N .

Dakle, mo?ete prona?i vjerovatno?u da dobijete 5 repova od 5 bacanja nov?i?a.
Ukupan broj elementarnih ishoda: 2 5 =32.
Povoljni ishodi: 1. (RRRRRR - svih 5 puta rep)
Verovatno?a: 1/32=0,03125

Isto va?i i za kockice. Sa jednim bacanjem ima 6 mogu?ih rezultata.Dakle, za dva bacanja: 6 6=36, za tri 6 6 6=216 itd.

Primjer 6 Bacamo kocku. Kolika je vjerovatno?a da dobijete paran broj?

Ukupni ishodi: 6, prema broju lica.
Povoljno: 3 ishoda. (2, 4, 6)
Vjerovatno?a: 3/6=0,5

Primjer 7 Baci dve kocke. Kolika je vjerovatno?a da se ukupno baca 10? (zaokru?iti na stotinke)

Postoji 6 mogu?ih ishoda za jednu kocku. Dakle, za dva, prema gornjem pravilu, 6·6=36.
Koji ?e ishodi biti povoljni da ukupno 10 ispadne?
10 se mora razlo?iti u zbir dva broja od 1 do 6. To se mo?e u?initi na dva na?ina: 10=6+4 i 10=5+5. Dakle, za kocke su mogu?e opcije:
(6 na prvom i 4 na drugom)
(4 na prvom i 6 na drugom)
(5 na prvom i 5 na drugom)
Ukupno 3 opcije. ?eljena vjerovatno?a: 3/36=1/12=0,08
Odgovor: 0.08

Ostale vrste B6 problema ?e se raspravljati u jednom od sljede?ih ?lanaka "Kako rije?iti".