U ovom ?lanku metoda se razmatra kao na?in rje?avanja sistema linearnih jedna?ina (SLAE). Metoda je analiti?ka, odnosno omogu?ava vam da upi?ete algoritam rje?enja op?ti pogled, a zatim tamo zamijenite vrijednosti iz konkretnih primjera. Za razliku od matri?ne metode ili Cramerovih formula, pri rje?avanju sistema linearnih jednad?bi pomo?u Gaussove metode mo?ete raditi i sa onima koje imaju beskona?no mnogo rje?enja. Ili ga uop?te nemaju.

?ta zna?i Gauss?

Prvo treba da zapi?ete na? sistem jedna?ina u To izgleda ovako. Sistem se uzima:

Koeficijenti su upisani u obliku tabele, a desno u posebnoj koloni - slobodni ?lanovi. Stupac sa slobodnim ?lanovima je odvojen radi prakti?nosti.Matrica koja uklju?uje ovaj stupac naziva se pro?irena.

Nadalje, glavna matrica s koeficijentima mora se svesti na gornji trokutast oblik. Ovo je glavna ta?ka rje?avanja sistema Gaussovom metodom. Jednostavno, nakon odre?enih manipulacija, matrica bi trebala izgledati ovako, tako da u njenom donjem lijevom dijelu postoje samo nule:

Zatim, ako novu matricu ponovo napi?ete kao sistem jedna?ina, primijetit ?ete da posljednji red ve? sadr?i vrijednost jednog od korijena, koji se zatim zamjenjuje u gornju jedna?inu, pronalazi se drugi korijen i tako dalje.

Ovo je opis rje?enja Gaussovom metodom u najop?tijim terminima. A ?ta se de?ava ako sistem odjednom nema re?enje? Ili ih ima beskona?an broj? Da bismo odgovorili na ova i mnoga druga pitanja, potrebno je posebno razmotriti sve elemente kori?tene u rje?enju Gaussovom metodom.

Matrice, njihova svojstva

U matrici nema skrivenog zna?enja. To je samo zgodan na?in za snimanje podataka za kasnije operacije. Ni ?kolarci ih se ne bi trebali bojati.

Matrica je uvijek pravokutna, jer je pogodnija. ?ak i kod Gaussove metode, gdje se sve svodi na izgradnju trouglaste matrice, u unosu se pojavljuje pravougaonik, samo sa nulama na mjestu gdje nema brojeva. Nule se mogu izostaviti, ali se podrazumijevaju.

Matrica ima veli?inu. Njegova "?irina" je broj redova (m), njegova "du?ina" je broj kolona (n). Tada ?e se veli?ina matrice A (za njihovo ozna?avanje obi?no koriste velika latini?na slova) biti ozna?ena kao A mxn . Ako je m=n, onda je ova matrica kvadratna, a m=n je njen red. Prema tome, bilo koji element matrice A mo?e se ozna?iti brojem njegovog reda i stupca: a xy ; x - broj reda, promjene, y - broj kolone, promjene.

B nije glavna poenta rje?enja. U principu, sve operacije se mogu izvoditi direktno sa samim jednad?bama, ali ?e se notacija pokazati mnogo glomaznijom i bit ?e mnogo lak?e zabuniti se u njoj.

Odrednica

Matrica tako?e ima determinantu. Ovo je veoma va?na karakteristika. Sada se ne isplati saznati njegovo zna?enje, mo?ete jednostavno pokazati kako se izra?unava, a zatim re?i koja svojstva matrice odre?uje. Najlak?i na?in za pronala?enje determinante je dijagonala. Imaginarne dijagonale su nacrtane u matrici; elementi koji se nalaze na svakom od njih se mno?e, a zatim se dodaju rezultiraju?i proizvodi: dijagonale s nagibom udesno - sa znakom "plus", s nagibom ulijevo - sa znakom "minus".

Izuzetno je va?no napomenuti da se determinanta mo?e izra?unati samo za kvadratnu matricu. Za pravougaonu matricu mo?ete u?initi sljede?e: odabrati najmanji od broja redova i broja stupaca (neka bude k), a zatim nasumi?no ozna?iti k kolona i k redova u matrici. Elementi koji se nalaze na sjeci?tu odabranih stupaca i redova formirat ?e novu kvadratnu matricu. Ako je determinanta takve matrice broj razli?it od nule, onda se naziva bazni minor originalne pravokutne matrice.

Prije nego ?to pre?emo na rje?avanje sistema jedna?ina Gaussovom metodom, ne ?kodi izra?unavanje determinante. Ako se poka?e da je nula, onda mo?emo odmah re?i da matrica ima ili beskona?an broj rje?enja, ili ih uop?e nema. U ovako tu?nom slu?aju, morate i?i dalje i saznati o rangu matrice.

Klasifikacija sistema

Postoji takva stvar kao ?to je rang matrice. Ovo je maksimalni red njene determinante koja nije nula (sjetimo se baznog minora, mo?emo re?i da je rang matrice red baznog minora).

Prema tome kako stoje stvari sa rangom, SLAE se mo?e podijeliti na:

• Joint. At zajedni?kih sistema, rang glavne matrice (koja se sastoji samo od koeficijenata) poklapa se sa rangom pro?irene (sa kolonom slobodnih ?lanova). Takvi sistemi imaju rje?enje, ali ne nu?no jedno, stoga se zglobni sistemi dodatno dijele na:
• - siguran- ima jedinstveno rje?enje. U odre?enim sistemima, rang matrice i broj nepoznatih (ili broj kolona, ?to je ista stvar) su jednaki;
• - neodre?eno - sa beskona?nim brojem rje?enja. Rang matrica za takve sisteme je manji od broja nepoznatih.
• Nekompatibilno. At u takvim sistemima, rangovi glavne i pro?irene matrice se ne poklapaju. Nekompatibilni sistemi nemaju rje?enja.

Gaussova metoda je dobra po tome ?to omogu?ava da se dobije ili nedvosmislen dokaz nekonzistentnosti sistema (bez izra?unavanja determinanti velikih matrica) ili op?te re?enje za sistem sa beskona?nim brojem re?enja tokom re?avanja.

Elementarne transformacije

Pre nego ?to pre?ete direktno na re?enje sistema, mogu?e ga je u?initi manje glomaznim i pogodnijim za prora?une. To se posti?e elementarnim transformacijama - tako da njihova implementacija ni na koji na?in ne mijenja kona?ni odgovor. Treba napomenuti da neke od navedenih elementarnih transformacija vrijede samo za matrice ?iji je izvor bio upravo SLAE. Evo liste ovih transformacija:

1. Permutacija nizova. O?igledno je da ako promijenimo redoslijed jedna?ina u zapisu sistema, onda to ni na koji na?in ne?e utjecati na rje?enje. Posljedi?no, tako?er je mogu?e zamijeniti redove u matrici ovog sistema, ne zaboravljaju?i, naravno, na kolonu slobodnih ?lanova.
2. Mno?enje svih elemenata niza nekim faktorom. Veoma korisno! Pomo?u njega mo?ete smanjiti velike brojeve u matrici ili ukloniti nule. Skup rje?enja, kao i obi?no, ne?e se mijenjati, a postat ?e prikladnije za izvo?enje daljnjih operacija. Glavna stvar je da koeficijent nije jednak nuli.
3. Izbri?ite redove sa proporcionalnim koeficijentima. Ovo djelimi?no proizilazi iz prethodnog stava. Ako dva ili vi?e reda u matrici imaju proporcionalne koeficijente, tada se pri mno?enju / dijeljenju jednog od reda s koeficijentom proporcionalnosti dobivaju dva (ili, opet, vi?e) apsolutno identi?na reda, a mo?ete ukloniti dodatne, ostavljaju?i samo jedan.
4. Uklanjanje nulte linije. Ako se u toku transformacije negdje dobije niz u kojem su svi elementi, uklju?uju?i i slobodni ?lan, jednaki nuli, onda se takav niz mo?e nazvati nula i izbaciti iz matrice.
5. Dodavanje elementima jednog reda elemenata drugog (u odgovaraju?im kolonama), pomno?eno odre?enim koeficijentom. Najnejasnija i najva?nija transformacija od svih. Vrijedi se detaljnije zadr?ati na tome.

Dodavanje niza pomno?enog faktorom

Radi lak?eg razumijevanja, vrijedno je rastaviti ovaj proces korak po korak. Dva reda su uzeta iz matrice:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Pretpostavimo da morate prvo dodati drugom, pomno?eno sa koeficijentom "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 x a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 x a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 x a 1n

Zatim se u matrici drugi red zamjenjuje novim, a prvi ostaje nepromijenjen.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Treba napomenuti da se faktor mno?enja mo?e odabrati na na?in da, kao rezultat sabiranja dva niza, jedan od elemenata novog niza bude jednak nuli. Stoga je mogu?e dobiti jedna?inu u sistemu, gdje ?e biti jedna nepoznata manje. A ako dobijete dvije takve jednad?be, onda se operacija mo?e ponoviti i dobiti jedna?inu koja ?e ve? sadr?avati dvije manje nepoznanice. A ako svaki put okrenemo nulu jedan koeficijent za sve redove koji su ni?i od originalnog, onda se mo?emo, poput koraka, spustiti do samog dna matrice i dobiti jednad?bu s jednom nepoznatom. Ovo se zove rje?avanje sistema kori?tenjem Gausove metode.

Uglavnom

Neka postoji sistem. Ima m jedna?ina i n nepoznatih korijena. Mo?ete to zapisati ovako:

Glavna matrica je sastavljena od koeficijenata sistema. Stupac slobodnih ?lanova se dodaje pro?irenoj matrici i odvaja pre?kom radi prakti?nosti.

• prvi red matrice se mno?i sa koeficijentom k = (-a 21 / a 11);
• prvi modificirani red i drugi red matrice se dodaju;
• umjesto drugog reda u matricu se ubacuje rezultat dodavanja iz prethodnog stava;
• sada je prvi koeficijent u novom drugom redu a 11 x (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Sada se izvodi ista serija transformacija, samo prvi i tre?i red su uklju?eni. Prema tome, u svakom koraku algoritma, element a 21 se zamjenjuje sa 31 . Zatim se sve ponavlja za 41, ... a m1. Rezultat je matrica u kojoj je prvi element u redovima jednak nuli. Sada moramo zaboraviti na red broj jedan i izvr?iti isti algoritam po?ev?i od drugog reda:

• koeficijent k \u003d (-a 32 / a 22);
• drugi modifikovani red se dodaje u "trenutni" red;
• rezultat sabiranja se zamjenjuje u tre?em, ?etvrtom i tako daljem redu, dok prvi i drugi ostaju nepromijenjeni;
• u redovima matrice, prva dva elementa su ve? jednaka nuli.

Algoritam se mora ponavljati dok se ne pojavi koeficijent k = (-a m,m-1 /a mm). To zna?i da je algoritam posljednji put pokrenut samo za ni?u jedna?inu. Sada matrica izgleda kao trokut ili ima stepenasti oblik. Donja linija sadr?i jednakost a mn x x n = b m . Koeficijent i slobodni ?lan su poznati, a korijen se izra?ava kroz njih: x n = b m /a mn. Dobijeni korijen se zamjenjuje u gornji red kako bi se prona?lo x n-1 = (b m-1 - a m-1,n x(b m /a mn))?a m-1,n-1 . I tako dalje po analogiji: u svakom sljede?em redu nalazi se novi korijen, a kada ste dosegnuli "vrh" sistema, mo?ete prona?i mnoga rje?enja. To ?e biti jedini.

Kad nema rje?enja

Ako su u jednom od redova matrice svi elementi, osim slobodnog ?lana, jednaki nuli, tada jedna?ina koja odgovara ovom redu izgleda kao 0 = b. Nema rje?enja. A po?to je takva jedna?ina uklju?ena u sistem, onda je skup rje?enja cijelog sistema prazan, odnosno degenerisan.

Kada postoji beskona?an broj rje?enja

Mo?e se ispostaviti da u reduciranoj trokutastoj matrici nema reda sa jednim elementom - koeficijentom jedna?ine, i jednim - slobodnim ?lanom. Postoje samo nizovi koji bi, kada se ponovo napi?u, izgledali kao jednad?ba sa dvije ili vi?e varijabli. To zna?i da sistem ima beskona?an broj rje?enja. U ovom slu?aju, odgovor se mo?e dati u obliku generalnog rje?enja. Kako uraditi?

Sve varijable u matrici su podijeljene na osnovne i slobodne. Osnovni - to su oni koji stoje "na rubu" redova u stepenastoj matrici. Ostalo je besplatno. U op?tem re?enju osnovne varijable su zapisane u terminima slobodnih.

Radi prakti?nosti, matrica se prvo prepisuje nazad u sistem jedna?ina. Zatim u posljednjem od njih, gdje je ostala samo jedna osnovna varijabla, ona ostaje na jednoj strani, a sve ostalo se prenosi na drugu. Ovo se radi za svaku jedna?inu sa jednom osnovnom varijablom. Zatim se u ostalim jedna?inama, gdje je to mogu?e, umjesto osnovne varijable, zamjenjuje dobijeni izraz za nju. Ako se kao rezultat toga ponovo pojavi izraz koji sadr?i samo jednu osnovnu varijablu, on se ponovo izra?ava odatle, i tako dalje, sve dok se svaka osnovna varijabla ne zapi?e kao izraz sa slobodnim varijablama. Ovo je op?te re?enje SLAE.

Mo?ete prona?i i osnovno rje?enje sistema - dajte slobodnim varijablama bilo koje vrijednosti, a zatim za ovaj konkretan slu?aj izra?unajte vrijednosti osnovnih varijabli. Postoji beskona?no mnogo konkretnih rje?enja.

Rje?enje sa konkretnim primjerima

Evo sistema jedna?ina.

Radi prakti?nosti, bolje je odmah kreirati njegovu matricu

Poznato je da ?e pri rje?avanju Gaussovom metodom jedna?ina koja odgovara prvom redu ostati nepromijenjena na kraju transformacija. Stoga ?e biti isplativije ako je gornji lijevi element matrice najmanji - tada ?e se prvi elementi preostalih redova nakon operacija okrenuti na nulu. To zna?i da ?e u kompajliranoj matrici biti korisno staviti drugi umjesto prvog reda.

drugi red: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k x a 11 \u003d 3 + (-3) x 1 = 0

a" 22 \u003d a 22 + k x a 12 = -1 + (-3) x 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + kxa 13 = 1 + (-3)x4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k x b 1 = 12 + (-3) x 12 = -24

tre?i red: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + kxa 11 = 5 + (-5)x1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + kxa 12 = 1 + (-5)x2 = -9

a" 3 3 = a 33 + kxa 13 = 2 + (-5)x4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k x b 1 = 3 + (-5) x 12 = -57

Sada, da ne bi do?lo do zabune, potrebno je zapisati matricu sa me?urezultatima transformacija.

O?igledno je da se takva matrica mo?e u?initi pogodnijom za percepciju uz pomo? nekih operacija. Na primjer, mo?ete ukloniti sve "minuse" iz drugog reda mno?enjem svakog elementa sa "-1".

Tako?er je vrijedno napomenuti da su u tre?em redu svi elementi vi?estruki od tri. Zatim mo?ete smanjiti niz za ovaj broj, mno?e?i svaki element sa "-1/3" (minus - istovremeno da uklonite negativne vrijednosti).

Izgleda mnogo lep?e. Sada moramo ostaviti na miru prvu liniju i raditi sa drugom i tre?om. Zadatak je dodati drugi red tre?em redu, pomno?en sa takvim koeficijentom da element a 32 postane jednak nuli.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 razlomaka, a tek onda, kada se dobiju odgovori, odlu?ite ho?ete li zaokru?iti i prevesti u drugi oblik zapisa)

a" 32 = a 32 + k x a 22 = 3 + (-3/7) x 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k x a 23 = 6 + (-3/7) x 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k x b 2 = 19 + (-3/7) x 24 \u003d -61/7

Matrica se ponovo upisuje s novim vrijednostima.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Kao ?to vidite, rezultiraju?a matrica ve? ima stepenasti oblik. Stoga nisu potrebne dalje transformacije sistema Gaussovom metodom. Ono ?to se ovdje mo?e u?initi je ukloniti ukupni koeficijent "-1/7" iz tre?eg reda.

Sada je sve prelepo. Poenta je mala - ponovo napi?ite matricu u obliku sistema jedna?ina i izra?unajte korijene

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritam po kojem ?e se korijeni sada prona?i naziva se obrnuti potez u Gaussovom metodu. Jedna?ina (3) sadr?i vrijednost z:

y = (24 - 11x(61/9))/7 = -65/9

I prva jednad?ba vam omogu?ava da prona?ete x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Imamo pravo da takav sistem nazivamo zajedni?kim, pa ?ak i definitivnim, odnosno da ima jedinstveno rje?enje. Odgovor je napisan u sljede?em obliku:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Primjer neodre?enog sistema

Analizirana je varijanta rje?avanja odre?enog sistema Gaussovom metodom, sada je potrebno razmotriti slu?aj da je sistem neodre?en, odnosno da se za njega mo?e na?i beskona?no mnogo rje?enja.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Sam oblik sistema je ve? alarmantan, jer je broj nepoznatih n = 5, a rang matrice sistema je ve? ta?no manji od ovog broja, jer je broj redova m = 4, tj. najve?i red kvadratne determinante je 4. To zna?i da postoji beskona?an broj rje?enja i potrebno je tra?iti njen op?i oblik. Gaussova metoda za linearne jedna?ine to omogu?ava.

Prvo, kao i obi?no, kompajlira se pro?irena matrica.

Drugi red: koeficijent k = (-a 21 / a 11) = -3. U tre?em redu, prvi element je prije transformacija, tako da ne morate ni?ta dirati, morate ostaviti kako jeste. ?etvrti red: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Mno?enjem elemenata prvog reda svakim od njihovih koeficijenata naizmjence i dodavanjem ?eljenih redova, dobivamo matricu sljede?eg oblika:

Kao ?to vidite, drugi, tre?i i ?etvrti red se sastoje od elemenata koji su me?usobno proporcionalni. Drugi i ?etvrti su uglavnom isti, tako da se jedan od njih mo?e odmah ukloniti, a ostatak pomno?iti sa koeficijentom "-1" i dobiti red broj 3. I opet ostaviti jednu od dvije identi?ne linije.

Ispostavilo se da je takva matrica. Sistem jo? nije zapisan, ovdje je potrebno odrediti osnovne varijable - stoje na koeficijentima a 11 = 1 i a 22 = 1, a slobodno - sve ostalo.

Druga jedna?ina ima samo jednu osnovnu varijablu - x 2 . Dakle, odatle se mo?e izraziti pisanjem kroz varijable x 3 , x 4 , x 5 , koje su slobodne.

Dobijeni izraz zamjenjujemo u prvu jedna?inu.

Ispostavila se jedna?ina u kojoj je jedina osnovna varijabla x 1. Uradimo s njim isto kao i sa x 2 .

Sve osnovne varijable, kojih ima dvije, izra?ene su u terminima tri slobodne, sada mo?ete napisati odgovor u op?tem obliku.

Tako?er mo?ete odrediti jedno od posebnih rje?enja sistema. U takvim slu?ajevima, u pravilu, nule se biraju kao vrijednosti za slobodne varijable. Tada ?e odgovor biti:

16, 23, 0, 0, 0.

Primjer nekompatibilnog sistema

Najbr?e je rje?enje nekonzistentnih sistema jedna?ina Gaussovom metodom. Zavr?ava se ?im se u jednoj od faza dobije jedna?ina koja nema rje?enja. Odnosno, faza sa izra?unavanjem korijena, koja je prili?no duga i turobna, nestaje. Razmatra se slede?i sistem:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Kao i obi?no, matrica se sastavlja:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

I svodi se na stepenasti oblik:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Nakon prve transformacije, tre?i red sadr?i jedna?inu oblika

bez rje?enja. Dakle, sistem je nekonzistentan, a odgovor je prazan skup.

Prednosti i nedostaci metode

Ako odaberete metodu rje?avanja SLAE na papiru olovkom, onda metoda koja je razmatrana u ovom ?lanku izgleda najatraktivnije. U elementarnim transformacijama mnogo je te?e do?i do zabune nego ?to se to de?ava ako morate ru?no tra?iti determinantu ili neku lukavu inverznu matricu. Me?utim, ako koristite programe za rad s podacima ove vrste, na primjer, prora?unske tablice, onda se ispostavlja da takvi programi ve? sadr?e algoritme za izra?unavanje glavnih parametara matrica - determinante, minore, inverzne i tako dalje. A ako ste sigurni da ?e ma?ina sama izra?unati ove vrijednosti i da ne?e pogrije?iti, svrsishodnije je koristiti matri?nu metodu ili Cramerove formule, jer njihova primjena po?inje i zavr?ava izra?unavanjem determinanti i inverznih matrica.

Aplikacija

Budu?i da je Gausovo rje?enje algoritam, a matrica je, u stvari, dvodimenzionalni niz, mo?e se koristiti u programiranju. Ali budu?i da se ?lanak pozicionira kao vodi? "za lutke", treba re?i da je najlak?e mjesto za postavljanje metode prora?unske tablice, na primjer, Excel. Opet, bilo koji SLAE unesen u tabelu u obliku matrice Excel ?e smatrati dvodimenzionalnim nizom. A za operacije s njima postoji mnogo lijepih naredbi: zbrajanje (mo?ete dodati samo matrice iste veli?ine!), mno?enje brojem, mno?enje matrice (tako?er uz odre?ena ograni?enja), pronala?enje inverzne i transponirane matrice i, ?to je najva?nije , izra?unavanje determinante. Ako se ovaj dugotrajni zadatak zamijeni jednom naredbom, mnogo je br?e odrediti rang matrice i, prema tome, utvrditi njenu kompatibilnost ili nedosljednost.

Obrazovna ustanova „Beloruska dr?ava

Poljoprivredna akademija"

Odsjek za vi?u matematiku

Smjernice

za prou?avanje teme „Gausova metoda za rje?avanje sistema linearnih

Jedna?ine” studenata Ra?unovodstvenog fakulteta dopisnog oblika obrazovanja (NISPO)

Gorki, 2013

Gausova metoda za rje?avanje sistema linearnih jedna?ina

Ekvivalentni sistemi jedna?ina

Dva sistema linearnih jednad?bi nazivaju se ekvivalentnima ako je svako rje?enje jednog od njih rje?enje drugog. Proces rje?avanja sistema linearnih jedna?ina sastoji se u njegovoj sukcesivnoj transformaciji u ekvivalentan sistem kori?tenjem tzv. elementarne transformacije , koji su:

1) permutacija bilo koje dve jedna?ine sistema;

2) mno?enje oba dela bilo koje jedna?ine sistema brojem koji nije nula;

3) dodavanje bilo kojoj jedna?ini druge jedna?ine, pomno?ene bilo kojim brojem;

4) brisanje jedna?ine koja se sastoji od nula, tj. jedna?ine tipa.

Gaussova eliminacija

Razmotrite sistem m linearne jedna?ine sa n nepoznato:

Su?tina Gaussove metode ili metode sukcesivnog isklju?ivanja nepoznatih je sljede?a.

Prvo, uz pomo? elementarnih transformacija, nepoznata se isklju?uje iz svih jedna?ina sistema, osim iz prve. Takve transformacije sistema se nazivaju Gausov korak eliminacije . Nepoznato se zove rje?avanje varijable na prvom koraku transformacije. Koeficijent se zove faktor rezolucije , prva jedna?ina se zove rje?avanje jednad?be , i stupac koeficijenata at omogu?i kolonu .

Prilikom izvo?enja jednog koraka Gaussove eliminacije, moraju se koristiti sljede?a pravila:

1) koeficijenti i slobodni ?lan jedna?ine koja se re?ava ostaju nepromenjeni;

2) koeficijenti kolone razlu?ivanja, koja se nalazi ispod koeficijenta razlu?ivanja, okre?u se na nulu;

3) svi ostali koeficijenti i slobodni termini u prvom koraku se ra?unaju po pravilu pravokutnika:

, gdje i=2,3,…,m; j=2,3,…,n.

Sli?ne transformacije izvodimo i na drugoj jedna?ini sistema. Ovo ?e dovesti do sistema u kojem ?e nepoznata biti isklju?ena iz svih jedna?ina, osim u prve dvije. Kao rezultat ovakvih transformacija nad svakom od jedna?ina sistema (direktan tok Gaussove metode), originalni sistem se svodi na ekvivalentni stepenasti sistem jednog od sljede?ih tipova.

Reverzna Gaussova metoda

Step sistem

ima trouglasti oblik i sve (i=1,2,…,n). Takav sistem ima jedinstveno rje?enje. Nepoznate se odre?uju po?ev?i od posljednje jedna?ine (obrnuto od Gaussove metode).

Sistem koraka ima formu

gdje , tj. broj sistemskih jedna?ina je manji ili jednak broju nepoznatih. Ovaj sistem nema rje?enja, jer posljednja jedna?ina ne?e vrijediti ni za jednu vrijednost varijable.

Sistem stepenastog pogleda

ima beskona?an broj rje?enja. Iz posljednje jedna?ine, nepoznato se izra?ava u terminima nepoznanica . Tada se, umjesto nepoznatog, njegov izraz u terminima nepoznatih zamjenjuje u pretposljednju jedna?inu . Nastavljaju?i obrnuti tok Gaussove metode, nepoznanice mo?e se izraziti u terminima nepoznatih . U ovom slu?aju, nepoznato pozvao besplatno i mo?e imati bilo koju vrijednost i nepoznatu osnovni.

Prilikom rje?avanja sistema u praksi, zgodno je sve transformacije izvoditi ne sa sistemom jedna?ina, ve? sa pro?irenom matricom sistema, koja se sastoji od koeficijenata nepoznanica i stupca slobodnih ?lanova.

Primjer 1. Rije?ite sistem jedna?ina

Rje?enje. Hajde da sastavimo pro?irenu matricu sistema i izvr?imo elementarne transformacije:

.

U pro?irenoj matrici sistema, broj 3 (ozna?en) je faktor rezolucije, prvi red je red rezolucije, a prvi stupac je kolona rezolucije. Prilikom prelaska na sljede?u matricu, red za razrje?enje se ne mijenja, svi elementi kolone za razrje?enje ispod elementa za razrje?enje zamjenjuju se nulama. A svi ostali elementi matrice se prera?unavaju prema pravilu ?etverougla. Umjesto elementa 4 u drugom redu pi?emo , umjesto elementa -3 u drugom redu ?e biti napisano itd. Tako ?e se dobiti druga matrica. Ova matrica ?e imati razlu?uju?i element broj 18 u drugom redu. Da bismo formirali sljede?u (tre?u matricu), ostavljamo drugi red nepromijenjen, upisujemo nulu u stupac ispod elementa za razrje?enje i prera?unavamo preostala dva elementa: umjesto broja 1, pi?emo , a umjesto broja 16 pi?emo .

Kao rezultat toga, originalni sistem je sveden na ekvivalentan sistem

Iz tre?e jedna?ine nalazimo . Zamijenite ovu vrijednost u drugu jedna?inu: y=3. Zamijenite prona?ene vrijednosti u prvu jedna?inu y i z: , x=2.

Dakle, rje?enje ovog sistema jedna?ina je x=2, y=3, .

Primjer 2. Rije?ite sistem jedna?ina

Rje?enje. Izvr?imo elementarne transformacije na pro?irenoj matrici sistema:

U drugoj matrici, svaki element tre?eg reda je podijeljen sa 2.

U ?etvrtoj matrici, svaki element tre?eg i ?etvrtog reda podijeljen je sa 11.

. Rezultiraju?a matrica odgovara sistemu jedna?ina

Rje?avaju?i ovaj sistem, nalazimo , , .

Primjer 3. Rije?ite sistem jedna?ina

Rje?enje. Napi?imo pro?irenu matricu sistema i izvr?imo elementarne transformacije:

.

U drugoj matrici, svaki element drugog, tre?eg i ?etvrtog reda podijeljen je sa 7.

Kao rezultat, sistem jedna?ina

ekvivalentno originalu.

Po?to su dvije jedna?ine manje od nepoznanica, onda iz druge jedna?ine . Zamijenite izraz za u prvu jedna?inu: , .

Dakle formule dati op?te re?enje ovog sistema jedna?ina. Nepoznati su i besplatni su i mogu imati bilo koju vrijednost.

Neka, na primjer, Onda i . Rje?enje je jedno od posebnih rje?enja sistema, kojih ima bezbroj.

Pitanja za samokontrolu znanja

1) Koje transformacije linearnih sistema se nazivaju elementarnim?

2) Koje transformacije sistema se nazivaju Gausovim korakom eliminacije?

3) ?ta je rezoluciona varijabla, rezolucioni faktor, rezoluciona kolona?

4) Koja pravila treba koristiti pri izvo?enju jednog koraka Gausove eliminacije?

Neka je dat sistem linearnih algebarskih jednad?bi, koji se moraju rije?iti (na?i takve vrijednosti nepoznanica hi da svaku jedna?inu sistema pretvaraju u jednakost).

Znamo da sistem linearnih algebarskih jednad?bi mo?e:

1) Nemati rje?enja (biti nekompatibilno).
2) Imati beskona?no mnogo rje?enja.
3) Imati jedinstveno rje?enje.

Kao ?to se sje?amo, Cramerovo pravilo i matri?na metoda su neprikladni u slu?ajevima kada sistem ima beskona?no mnogo rje?enja ili je nekonzistentan. Gaussova metoda – najmo?niji i najsvestraniji alat za pronala?enje rje?enja za bilo koji sistem linearnih jedna?ina, ?to je u svakom slu?aju dovedi nas do odgovora! Algoritam metode u sva tri slu?aja radi na isti na?in. Ako Cramer i matri?ne metode zahtijevaju poznavanje determinanti, onda primjena Gaussove metode zahtijeva poznavanje samo aritmeti?kih operacija, ?to je ?ini dostupnom ?ak i u?enicima osnovnih ?kola.

Pro?irene matri?ne transformacije ( ovo je matrica sistema - matrica sastavljena samo od koeficijenata nepoznatih, plus kolona slobodnih termina) sistemi linearnih algebarskih jednad?bi u Gaussovom metodu:

1) With troky matrice mogu preurediti mjesta.

2) ako postoje (ili postoje) proporcionalni (kao poseban slu?aj - identi?ni) redovi u matrici, onda slijedi izbrisati iz matrice, svi ovi redovi osim jednog.

3) ako se nulti red pojavio u matrici tokom transformacija, onda i on slijedi izbrisati.

4) red matrice mo?e pomno?iti (podijeliti) na bilo koji broj osim nule.

5) do reda matrice, mo?ete dodajte jo? jedan niz pomno?en brojem, razli?ito od nule.

U Gauss metodi, elementarne transformacije ne mijenjaju rje?enje sistema jedna?ina.

Gaussova metoda se sastoji od dvije faze:

1. "Direktan potez" - koriste?i elementarne transformacije, dovedite pro?irenu matricu sistema linearnih algebarskih jednad?bi u "trokutasti" stepenasti oblik: elementi pro?irene matrice koji se nalaze ispod glavne dijagonale jednaki su nuli (pomak odozgo prema dolje ). Na primjer, na ovu vrstu:

Da biste to u?inili, izvr?ite sljede?e korake:

1) Razmotrimo prvu jedna?inu sistema linearnih algebarskih jedna?ina i koeficijent na x 1 je jednak K. Druga, tre?a itd. transformiramo jednad?be na sljede?i na?in: svaku jedna?inu (koeficijente za nepoznate, uklju?uju?i slobodne ?lanove) podijelimo sa koeficijentom za nepoznato x 1, koji se nalazi u svakoj jednad?bi, i pomno?imo sa K. Nakon toga, oduzmimo prvu od druge jedna?ine ( koeficijenti za nepoznate i slobodne termine). Kod x 1 u drugoj jedna?ini dobijamo koeficijent 0. Od tre?e transformisane jedna?ine oduzimamo prvu, tako da sve jedna?ine osim prve, sa nepoznatim x 1, ne?e imati koeficijent 0.

2) Prije?ite na sljede?u jedna?inu. Neka je ovo druga jednad?ba i koeficijent na x 2 je jednak M. Sa svim "podre?enim" jednad?bama nastavljamo kako je gore opisano. Dakle, "ispod" nepoznatog x 2 u svim jedna?inama ?e biti nule.

3) Prelazimo na sljede?u jedna?inu i tako sve dok ne ostane posljednji nepoznati i transformirani slobodni ?lan.

1. "Obrnuti potez" Gaussove metode je dobivanje rje?enja za sistem linearnih algebarskih jedna?ina (pomak "odozdo prema gore"). Iz posljednje "ni?e" jedna?ine dobijamo jedno prvo rje?enje - nepoznato x n. Da bismo to u?inili, rje?avamo elementarnu jednad?bu A * x n = B. U gornjem primjeru, x 3 = 4. Prona?enu vrijednost zamjenjujemo u „gornju“ sljede?u jedna?inu i rje?avamo je u odnosu na sljede?u nepoznatu. Na primjer, x 2 - 4 \u003d 1, tj. x 2 \u003d 5. I tako dalje dok ne prona?emo sve nepoznanice.

Primjer.

Sistem linearnih jednad?bi rje?avamo Gaussovom metodom, kako savjetuju neki autori:

Pi?emo pro?irenu matricu sistema i, koriste?i elementarne transformacije, dovodimo je do oblika koraka:

Gledamo gornji levi "stupak". Tamo bi trebali imati jedinicu. Problem je ?to ih u prvoj koloni uop?te nema, pa se preure?ivanjem redova ni?ta ne mo?e rije?iti. U takvim slu?ajevima, jedinica mora biti organizirana pomo?u elementarne transformacije. To se obi?no mo?e u?initi na nekoliko na?ina. Uradimo to ovako:
1 korak . Prvom redu dodajemo drugi red, pomno?en sa -1. Odnosno, mentalno smo pomno?ili drugi red sa -1 i izvr?ili sabiranje prvog i drugog reda, dok se drugi red nije promijenio.

Sada gore lijevo "minus jedan", ?to nam savr?eno odgovara. Ko ?eli dobiti +1 mo?e izvr?iti dodatnu radnju: pomno?iti prvi red sa -1 (promijeniti njegov predznak).

2 korak . Prvi red pomno?en sa 5 dodat je drugom redu, a prvi red pomno?en sa 3 dodan je tre?em redu.

3 korak . Prvi red je pomno?en sa -1, u principu, ovo je za lepotu. Predznak tre?eg reda je tako?er promijenjen i pomjeren na drugo mjesto, tako da smo na drugom “korak” dobili ?eljenu jedinicu.

4 korak . Tre?em redu dodajte drugi red, pomno?en sa 2.

5 koraka . Tre?i red je podeljen sa 3.

Znak koji ukazuje na gre?ku u prora?unima (rje?e gre?ku u kucanju) je „lo?“ krajnji rezultat. Odnosno, ako smo dobili ne?to poput (0 0 11 | 23) ispod, i, shodno tome, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, onda sa velikim stepenom vjerovatno?e mo?emo re?i da je gre?ka napravljena tokom osnovnog transformacije.

Izvodimo obrnuti potez, u dizajnu primjera ?esto se ne prepisuje sam sistem, a jedna?ine se „preuzimaju direktno iz date matrice“. Obrnuti potez, podsje?am, radi "odozdo prema gore". U ovom primjeru poklon se pokazao:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 = 1, dakle x 1 + 3 - 1 = 1, x 1 \u003d -1

Odgovori:x 1 = -1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Re?imo isti sistem koriste?i predlo?eni algoritam. Dobijamo

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Podijelite drugu jedna?inu sa 5, a tre?u sa 3. Dobijamo:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Pomno?imo drugu i tre?u jedna?inu sa 4, dobi?emo:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Oduzmimo prvu jedna?inu od druge i tre?e jedna?ine, imamo:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Podijelite tre?u jedna?inu sa 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Pomno?ite tre?u jedna?inu sa 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Oduzmite drugu jedna?inu od tre?e jedna?ine, dobi?emo „stepenastu“ pro?irenu matricu:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Dakle, budu?i da se gre?ka nakupila u procesu izra?unavanja, dobijamo x 3 = 0,96, ili pribli?no 1.

x 2 = 3 i x 1 = -1.

Rje?avaju?i na ovaj na?in, nikada se ne?ete zbuniti u prora?unima i, uprkos gre?kama u prora?unu, dobit ?ete rezultat.

Ova metoda rje?avanja sistema linearnih algebarskih jedna?ina je lako programibilna i ne uzima u obzir specifi?nosti koeficijenata za nepoznate, jer se u praksi (u ekonomskim i tehni?kim prora?unima) mora raditi sa necjelobrojnim koeficijentima.

?elim vam uspjeh! Vidimo se na ?asu! Tutor Dmitry Aistrakhanov.

stranice, uz potpuno ili djelomi?no kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Za dva sistema linearnih jedna?ina se ka?e da su ekvivalentna ako je skup svih njihovih rje?enja isti.

Elementarne transformacije sistema jedna?ina su:

1. Brisanje iz sistema trivijalnih jedna?ina, tj. oni za koje su svi koeficijenti jednaki nuli;
2. Mno?enje bilo koje jedna?ine brojem koji nije nula;
3. Dodavanje bilo kojoj i-toj jedna?ini bilo koje j-te jedna?ine, pomno?eno bilo kojim brojem.

Varijabla x i se naziva slobodnom ako ova varijabla nije dozvoljena, a ceo sistem jedna?ina je dozvoljen.

Teorema. Elementarne transformacije transformi?u sistem jedna?ina u ekvivalentan.

Smisao Gaussove metode je transformacija originalnog sistema jedna?ina i dobijanje ekvivalentnog dozvoljenog ili ekvivalentnog nekonzistentnog sistema.

Dakle, Gaussova metoda se sastoji od sljede?ih koraka:

1. Razmotrite prvu jedna?inu. Odaberemo prvi koeficijent razli?it od nule i s njim podijelimo cijelu jedna?inu. Dobijamo jedna?inu u koju neka varijabla x i ulazi sa koeficijentom 1;
2. Oduzmimo ovu jedna?inu od svih ostalih, mno?imo je brojevima tako da su koeficijenti za varijablu x i u preostalim jedna?inama postavljeni na nulu. Dobijamo sistem koji je razrije?en u odnosu na varijablu x i i ekvivalentan je originalnom;
3. Ako se pojave trivijalne jednad?be (rijetko, ali se de?ava; na primjer, 0 = 0), bri?emo ih iz sistema. Kao rezultat, jedna?ine postaju jedna manje;
4. Prethodne korake ponavljamo ne vi?e od n puta, gdje je n broj jedna?ina u sistemu. Svaki put biramo novu varijablu za “obradu”. Ako se pojave konfliktne jedna?ine (na primjer, 0 = 8), sistem je nekonzistentan.

Kao rezultat, nakon nekoliko koraka dobijamo ili dozvoljen sistem (mogu?e sa slobodnim varijablama) ili nekonzistentan. Dozvoljeni sistemi spadaju u dva slu?aja:

1. Broj varijabli jednak je broju jedna?ina. Dakle, sistem je definisan;
2. Broj varijabli je ve?i od broja jedna?ina. Sakupljamo sve slobodne varijable sa desne strane - dobijamo formule za dozvoljene varijable. Ove formule su zapisane u odgovoru.

To je sve! Sistem linearnih jedna?ina je rije?en! Ovo je prili?no jednostavan algoritam, a da biste ga savladali, ne morate kontaktirati nastavnika matematike. Razmotrimo primjer:

Zadatak. Rije?ite sistem jedna?ina:

Opis koraka:

1. Prvu jedna?inu oduzimamo od druge i tre?e - dobijamo dozvoljenu varijablu x 1;
2. Drugu jedna?inu pomno?imo sa (-1), a tre?u podelimo sa (-3) - dobi?emo dve jedna?ine u koje promenljiva x 2 ulazi sa koeficijentom 1;
3. Prvoj dodajemo drugu jedna?inu, a tre?oj oduzimamo. Uzmimo dozvoljenu varijablu x 2 ;
4. Kona?no, oduzimamo tre?u jedna?inu od prve - dobijamo dozvoljenu varijablu x 3 ;
5. Dobili smo ovla?teni sistem, zapisujemo odgovor.

Op?te rje?enje zajedni?kog sistema linearnih jedna?ina je novi sistem, ekvivalentan originalnom, u kojem su sve dozvoljene varijable izra?ene u terminima slobodnih.

Kada bi moglo biti potrebno op?te rje?enje? Ako morate napraviti manje koraka od k (k je koliko jedna?ina ukupno). Me?utim, razlozi za?to se proces zavr?ava u nekom koraku l< k , может быть две:

1. Nakon l -tog koraka dobijamo sistem koji ne sadr?i jedna?inu sa brojem (l + 1). U stvari, ovo je dobro, jer. rije?eni sistem je ipak primljen - ?ak i nekoliko koraka ranije.
2. Nakon l -tog koraka dobija se jedna?ina u kojoj su svi koeficijenti varijabli jednaki nuli, a slobodni koeficijent razli?it od nule. Ovo je nekonzistentna jedna?ina, pa je sistem nedosljedan.

Va?no je shvatiti da je pojava nekonzistentne jedna?ine Gaussovom metodom dovoljan razlog za nekonzistentnost. Istovremeno, napominjemo da kao rezultat l-tog koraka, trivijalne jednad?be ne mogu ostati - sve se bri?u direktno u procesu.

Opis koraka:

1. Oduzmite prvu jedna?inu puta 4 od druge. I tako?e dodajte prvu jedna?inu tre?oj - dobijamo dozvoljenu varijablu x 1;
2. Tre?u jedna?inu, pomno?enu sa 2, oduzimamo od druge - dobijamo kontradiktornu jedna?inu 0 = -5.

Dakle, sistem je nekonzistentan, jer je prona?ena nekonzistentna jedna?ina.

Zadatak. Istra?ite kompatibilnost i prona?ite generalno rje?enje sistema:

Opis koraka:

1. Prvu jedna?inu oduzimamo od druge (nakon mno?enja sa dva) i tre?e - dobijamo dozvoljenu varijablu x 1;
2. Oduzmite drugu jedna?inu od tre?e. Po?to su svi koeficijenti u ovim jedna?inama isti, tre?a jedna?ina postaje trivijalna. Istovremeno, mno?imo drugu jedna?inu sa (-1);
3. Od prve jedna?ine oduzimamo drugu jedna?inu - dobijamo dozvoljenu varijablu x 2. Cijeli sistem jedna?ina je sada tako?er rije?en;
4. Po?to su varijable x 3 i x 4 slobodne, pomeramo ih udesno da izrazimo dozvoljene varijable. Ovo je odgovor.

Dakle, sistem je zajedni?ki i neodre?en, jer postoje dvije dozvoljene varijable (x 1 i x 2) i dvije slobodne (x 3 i x 4).

Gaussova metoda je laka! Za?to? ?uveni njema?ki matemati?ar Johann Carl Friedrich Gauss za ?ivota je dobio priznanje kao najve?i matemati?ar svih vremena, genije, pa ?ak i nadimak "Kralj matematike". A sve je genijalno, kao ?to znate, jednostavno! Ina?e, u novac ne padaju samo naiv?ine, ve? i genijalci - Gausov portret se vijorio na nov?anici od 10 njema?kih maraka (prije uvo?enja eura), a Gauss se i dalje misteriozno smije?i Nijemcima sa obi?nih po?tanskih maraka.

Gaussova metoda je jednostavna po tome ?to je DOVOLJNO ZNANJE U?ENIKA PETOG RAZREDA da njome savlada. Mora biti u stanju sabirati i mno?iti! Nije slu?ajno ?to se metodom sukcesivnog otklanjanja nepoznatih ?esto razmatraju nastavnici na ?kolskim izbornim predmetima iz matematike. To je paradoks, ali Gaussova metoda stvara najve?e pote?ko?e studentima. Ni?ta iznena?uju?e - sve je u pitanju metodologija, a ja ?u poku?ati u pristupa?nom obliku ispri?ati o algoritmu metode.

Prvo ?emo malo sistematizirati znanje o sistemima linearnih jedna?ina. Sistem linearnih jedna?ina mo?e:

1) Imati jedinstveno rje?enje.
2) Imati beskona?no mnogo rje?enja.
3) Nemati rje?enja (biti nekompatibilno).

Gaussova metoda je najmo?niji i najsvestraniji alat za pronala?enje rje?enja bilo koji sistemi linearnih jedna?ina. Kao ?to se se?amo Cramerovo pravilo i matri?na metoda su neprikladni u slu?ajevima kada sistem ima beskona?no mnogo rje?enja ili je nekonzistentan. Metoda sukcesivnog uklanjanja nepoznatih u svakom slu?aju dovedi nas do odgovora! U ovoj lekciji ?emo ponovo razmotriti Gaussovu metodu za slu?aj br. 1 (jedino re?enje sistema), ?lanak je rezervisan za situacije ta?aka br. 2-3. Napominjem da sam algoritam metode radi na isti na?in u sva tri slu?aja.

Vratimo se na najjednostavniji sistem iz lekcije Kako rije?iti sistem linearnih jedna?ina?
i rije?iti ga Gaussovom metodom.

Prvi korak je pisanje pro?ireni matri?ni sistem:
. Po kom principu se bilje?e koeficijenti, mislim da svi mogu vidjeti. Vertikalna linija unutar matrice nema nikakvo matemati?ko zna?enje - to je samo precrtano radi lak?eg dizajna.

Referenca :Preporu?ujem da zapamtite uslovi linearna algebra. System Matrix je matrica sastavljena samo od koeficijenata za nepoznate, u ovom primjeru, matrica sistema: . Pro?irena sistemska matrica je ista matrica sistema plus kolona slobodnih pojmova, u ovom slu?aju: . Bilo koja od matrica se mo?e nazvati jednostavno matricom radi kratko?e.

Nakon ?to je pro?irena matrica sistema napisana, potrebno je sa njom izvr?iti neke radnje koje se jo? nazivaju elementarne transformacije.

Postoje sljede?e elementarne transformacije:

1) Strings matrice mogu preurediti mjesta. Na primjer, u matrici koja se razmatra, mo?ete sigurno preurediti prvi i drugi red:

2) Ako postoje (ili se pojavljuju) proporcionalni (kao poseban slu?aj - identi?ni) redovi u matrici, onda slijedi izbrisati iz matrice, svi ovi redovi osim jednog. Razmotrimo, na primjer, matricu . U ovoj matrici zadnja tri reda su proporcionalna, pa je dovoljno ostaviti samo jedan od njih: .

3) Ako se nulti red pojavio u matrici tokom transformacije, onda i on slijedi izbrisati. Ne?u crtati, naravno, nulta linija je linija u kojoj samo nule.

4) Red matrice mo?e biti pomno?iti (podijeliti) za bilo koji broj ne-nula. Razmotrimo, na primjer, matricu. Ovdje je preporu?ljivo prvi red podijeliti sa -3, a drugi red pomno?iti sa 2: . Ova akcija je vrlo korisna, jer pojednostavljuje dalje transformacije matrice.

5) Ova transformacija izaziva najvi?e pote?ko?a, ali u stvari ni nema ni?ta komplikovano. Do reda matrice, mo?ete dodajte jo? jedan niz pomno?en brojem, razli?ito od nule. Razmotrimo na?u matricu iz prakti?nog primjera: . Prvo ?u detaljno opisati transformaciju. Pomno?ite prvi red sa -2: , i drugom redu dodajemo prvi red pomno?en sa -2: . Sada se prvi red mo?e podijeliti "nazad" sa -2: . Kao ?to vidite, linija koja je DODANA LI – nije se promijenilo. Uvijek je promijenjena je linija KOJOJ JE DODAT UT.

U praksi, naravno, ne slikaju tako detaljno, ve? pi?u kra?e:

Jo? jednom: u drugi red dodao prvi red pomno?en sa -2. Red se obi?no mno?i usmeno ili na nacrtu, dok je mentalni tok prora?una otprilike ovako:

“Prepisujem matricu i prepisujem prvi red: »

Prva kolona. Ispod treba da dobijem nulu. Stoga pomno?im gornju jedinicu sa -2:, a prvu dodam u drugi red: 2 + (-2) = 0. Rezultat upi?em u drugi red: »

“Sada druga kolona. Iznad -1 puta -2: . Prvo dodajem u drugi red: 1 + 2 = 3. Rezultat upisujem u drugi red: »

“I tre?a kolona. Iznad -5 puta -2: . Prvi red dodajem u drugi red: -7 + 10 = 3. Rezultat upisujem u drugi red: »

Pa?ljivo razmislite o ovom primjeru i razumite algoritam sekvencijalnog prora?una, ako ovo razumijete, onda vam je Gaussova metoda prakti?no "u d?epu". Ali, naravno, jo? uvijek radimo na ovoj transformaciji.

Elementarne transformacije ne mijenjaju rje?enje sistema jedna?ina

! PA?NJA: razmatrane manipulacije ne mogu koristiti, ako vam se ponudi zadatak u kojem su matrice zadane "sama po sebi". Na primjer, sa "klasi?nim" matrice ni u kom slu?aju ne treba preure?ivati ne?to unutar matrica!

Vratimo se na?em sistemu. Prakti?no je razbijena na komade.

Napi?imo pro?irenu matricu sistema i, koriste?i elementarne transformacije, svedemo je na stepenasti pogled:

(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomno?en sa -2. I opet: za?to prvi red mno?imo sa -2? Da biste dobili nulu na dnu, ?to zna?i da se rije?ite jedne varijable u drugom redu.

(2) Drugi red podijelite sa 3.

Svrha elementarnih transformacija – pretvoriti matricu u oblik koraka: . U dizajnu zadatka, jednostavnom olovkom direktno izvla?e "ljestve", a tako?er zaokru?uju brojeve koji se nalaze na "stepenicama". Sam izraz "stepeni pogled" nije sasvim teorijski, u nau?noj i obrazovnoj literaturi ?esto se naziva trapezoidni pogled ili trouglasti pogled.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobili smo ekvivalentno originalni sistem jednad?bi:

Sada sistem treba "odvrnuti" u suprotnom smjeru - odozdo prema gore, ovaj proces se zove reverzna Gaussova metoda.

U donjoj jednad?bi ve? imamo gotov rezultat: .

Razmotrimo prvu jedna?inu sistema i u nju ubacimo ve? poznatu vrijednost "y":

Razmotrimo naj?e??u situaciju kada je Gaussova metoda potrebna za rje?avanje sistema od tri linearne jednad?be sa tri nepoznate.

Primjer 1

Re?ite sistem jedna?ina Gaussovom metodom:

Napi?imo pro?irenu matricu sistema:

Sada ?u odmah izvu?i rezultat do kojeg ?emo do?i u toku rje?enja:

I ponavljam, na? cilj je da matricu dovedemo u stepenasti oblik koriste?i elementarne transformacije. Odakle zapo?eti akciju?

Prvo pogledajte gornji lijevi broj:

Gotovo uvijek bi trebao biti ovdje jedinica. Uop?teno govore?i, -1 (a ponekad i drugi brojevi) ?e tako?e odgovarati, ali nekako se tradicionalno de?avalo da se tu obi?no postavlja jedinica. Kako organizovati jedinicu? Gledamo prvu kolonu - imamo gotovu jedinicu! Transformacija prva: zamijenite prvi i tre?i red:

Sada ?e prva linija ostati nepromijenjena do kraja rje?enja. Sada dobro.

Jedinica u gornjem lijevom kutu je organizirana. Sada morate dobiti nule na ovim mjestima:

Nule se dobijaju samo uz pomo? "te?ke" transformacije. Prvo se bavimo drugom linijom (2, -1, 3, 13). ?ta je potrebno u?initi da bi se nula na prvoj poziciji? Need u drugi red dodajte prvi red pomno?en sa -2. Mentalno ili na nacrtu, prvi red mno?imo sa -2: (-2, -4, 2, -18). I mi dosljedno provodimo (opet mentalno ili na nacrtu) dodavanje, drugom redu dodajemo prvi red, ve? pomno?en sa -2:

Rezultat je upisan u drugom redu:

Sli?no se bavimo i tre?om linijom (3, 2, -5, -1). Da biste dobili nulu na prvoj poziciji, trebate u tre?i red dodajte prvi red pomno?en sa -3. Mentalno ili na nacrtu, prvi red mno?imo sa -3: (-3, -6, 3, -27). I tre?em redu dodajemo prvi red pomno?en sa -3:

Rezultat je napisan u tre?em redu:

U praksi se ove radnje obi?no izvode usmeno i zapisuju u jednom koraku:

Nema potrebe da brojite sve odjednom i istovremeno. Redoslijed izra?unavanja i "ubacivanja" rezultata dosljedan i obi?no ovako: prvo prepi?emo prvi red, i tiho se puhnemo - DOSTOJNO i PA?LJIVO:


I ve? sam gore razmotrio mentalni tok samih prora?una.

U ovom primjeru, to je lako u?initi, drugi red podijelimo sa -5 (po?to su svi brojevi djeljivi sa 5 bez ostatka). Istovremeno, tre?i red dijelimo sa -2, jer ?to je manji broj, to je rje?enje jednostavnije:

U zavr?noj fazi elementarnih transformacija, ovdje se mora dobiti jo? jedna nula:

Za ovo tre?em redu dodajemo drugi red, pomno?en sa -2:


Poku?ajte sami ra??laniti ovu radnju - mentalno pomno?ite drugi red sa -2 i izvr?ite zbrajanje.

Posljednja izvr?ena radnja je frizura rezultata, podijelite tre?u liniju sa 3.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobijen je ekvivalentan po?etni sistem linearnih jedna?ina:

Cool.

Sada dolazi u obzir obrnuti tok Gausove metode. Jedna?ine se "odmotaju" odozdo prema gore.

U tre?oj jedna?ini ve? imamo gotov rezultat:

Pogledajmo drugu jedna?inu: . Zna?enje "z" je ve? poznato, dakle:

I na kraju, prva jednad?ba: . "Y" i "Z" su poznati, stvar je mala:

Odgovori:

Kao ?to je vi?e puta napomenuto, za bilo koji sistem jedna?ina mogu?e je i potrebno provjeriti prona?eno rje?enje, na sre?u, to nije te?ko i brzo.

Primjer 2

Ovo je primjer za samostalno rje?avanje, uzorak dorade i odgovor na kraju lekcije.

Treba napomenuti da va? tok akcije mo?da se ne poklapa sa mojim pravcem akcije, a ovo je karakteristika Gaussove metode. Ali odgovori moraju biti isti!

Primjer 3

Rije?ite sistem linearnih jednad?bi Gaussovom metodom

Pi?emo pro?irenu matricu sistema i, koriste?i elementarne transformacije, dovodimo je do oblika koraka:

Gledamo gornji levi "stupak". Tamo bi trebali imati jedinicu. Problem je ?to ih u prvoj koloni uop?te nema, pa se preure?ivanjem redova ni?ta ne mo?e rije?iti. U takvim slu?ajevima, jedinica mora biti organizirana pomo?u elementarne transformacije. To se obi?no mo?e u?initi na nekoliko na?ina. uradio sam ovo:
(1) Prvom redu dodajemo drugi red, pomno?en sa -1. Odnosno, mentalno smo pomno?ili drugi red sa -1 i izvr?ili sabiranje prvog i drugog reda, dok se drugi red nije promijenio.

Sada gore lijevo "minus jedan", ?to nam savr?eno odgovara. Ko ?eli da dobije +1 mo?e da izvede dodatni pokret: pomno?i prvi red sa -1 (promeni njegov predznak).

(2) Prvi red pomno?en sa 5 dodat je drugom redu, a prvi red pomno?en sa 3 dodan je tre?em redu.

(3) Prvi red je pomno?en sa -1, u principu, ovo je za ljepotu. Predznak tre?eg reda je tako?er promijenjen i pomjeren na drugo mjesto, tako da smo na drugom “korak” dobili ?eljenu jedinicu.

(4) Drugi red pomno?en sa 2 dodan je tre?em redu.

(5) Tre?i red je podijeljen sa 3.

Lo? znak koji ukazuje na gre?ku u prora?unu (rje?e gre?ku u kucanju) je „lo?“ krajnji rezultat. Odnosno, ako imamo ne?to kao ispod, i, shodno tome, , onda se sa velikim stepenom verovatno?e mo?e tvrditi da je u toku elementarnih transformacija napravljena gre?ka.

Napla?ujemo obrnuti potez, u dizajnu primjera sam sistem se ?esto ne prepisuje, a jedna?ine su „preuzete direktno iz date matrice“. Obrnuti potez, podsje?am, radi odozdo prema gore. Da, evo poklona:

Odgovori: .

Primjer 4

Rije?ite sistem linearnih jednad?bi Gaussovom metodom

Ovo je primjer za nezavisno rje?enje, ne?to je slo?enije. U redu je ako se neko zbuni. Kompletno rje?enje i uzorak dizajna na kraju lekcije. Va?e rje?enje se mo?e razlikovati od mog.

U posljednjem dijelu razmatramo neke karakteristike Gaussovog algoritma.
Prva karakteristika je da ponekad neke varijable nedostaju u jednad?bama sistema, na primjer:

Kako ispravno napisati pro?irenu matricu sistema? Ve? sam govorio o ovom trenutku u lekciji. Cramerovo pravilo. Matri?na metoda. U pro?irenu matricu sistema stavljamo nule umjesto varijabli koje nedostaju:

Usput, ovo je prili?no jednostavan primjer, jer ve? postoji jedna nula u prvom stupcu, a potrebno je izvesti manje elementarnih transformacija.

Druga karakteristika je ovo. U svim razmatranim primjerima na „stepenice“ smo stavili ili –1 ili +1. Mogu li postojati drugi brojevi? U nekim slu?ajevima mogu. Razmotrite sistem: .

Ovdje na gornjoj lijevoj "stepenici" imamo dvojku. Ali primje?ujemo ?injenicu da su svi brojevi u prvom stupcu djeljivi sa 2 bez ostatka - i jo? dva i ?est. I dvojka u gornjem lijevom kutu ?e nam odgovarati! U prvom koraku potrebno je izvr?iti sljede?e transformacije: drugom redu dodati prvi red pomno?en sa -1; u tre?i red dodajte prvi red pomno?en sa -3. Tako ?emo u prvom stupcu dobiti ?eljene nule.

Ili jo? jedan hipoteti?ki primjer: . Ovdje nam odgovara i trojka na drugoj "pre?agi", jer je 12 (mjesto gdje trebamo dobiti nulu) djeljivo sa 3 bez ostatka. Potrebno je izvr?iti sljede?u transformaciju: u tre?i red dodati drugi red, pomno?en sa -4, kao rezultat ?e se dobiti nula koja nam je potrebna.

Gaussova metoda je univerzalna, ali postoji jedna posebnost. Mo?ete sa sigurno??u nau?iti kako rje?avati sisteme drugim metodama (Cramerova metoda, matri?na metoda) doslovno od prvog puta - postoji vrlo krut algoritam. Ali da biste se osje?ali sigurni u Gaussovu metodu, trebali biste “napuniti ruku” i rije?iti barem 5-10 sistema. Stoga u po?etku mo?e do?i do zabune, gre?aka u prora?unima i u tome nema ni?eg neobi?nog ili tragi?nog.

Ki?no jesenje vrijeme izvan prozora .... Stoga, za sve, slo?eniji primjer za samostalno rje?enje:

Primjer 5

Re?iti sistem od ?etiri linearne jedna?ine sa ?etiri nepoznate Gaussovom metodom.

Takav zadatak u praksi nije tako rijedak. Mislim da ?ak i ?ajnik koji je detaljno prou?io ovu stranicu razumije algoritam za rje?avanje takvog sistema intuitivno. U osnovi isto - samo vi?e akcije.

Slu?ajevi u kojima sistem nema rje?enja (nekonzistentan) ili ima beskona?no mnogo rje?enja razmatraju se u lekciji Nekompatibilni sistemi i sistemi sa op?im rje?enjem. Tamo mo?ete popraviti razmatrani algoritam Gaussove metode.

?elim vam uspjeh!

Rje?enja i odgovori:

Primjer 2: Rje?enje : Zapi?emo pro?irenu matricu sistema i, koriste?i elementarne transformacije, dovedemo je u stepenasti oblik.


Izvr?ene elementarne transformacije:
(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomno?en sa -2. Prvi red je dodat tre?em redu, pomno?en sa -1. Pa?nja! Ovdje mo?e biti primamljivo oduzeti prvi od tre?eg reda, nikako ne preporu?ujem oduzimanje - rizik od gre?ke se uvelike pove?ava. Samo odustajemo!
(2) Predznak drugog reda je promijenjen (pomno?en sa -1). Drugi i tre?i red su zamijenjeni. Bilje?ka da smo na „stepenicama“ zadovoljni ne samo sa jednim, ve? i sa -1, ?to je jo? zgodnije.
(3) Tre?em redu dodajte drugi red, pomno?en sa 5.
(4) Predznak drugog reda je promijenjen (pomno?en sa -1). Tre?i red je podeljen sa 14.

Obrnuti potez:

Odgovori: .

Primjer 4: Rje?enje : Pi?emo pro?irenu matricu sistema i, koriste?i elementarne transformacije, dovodimo je do oblika koraka:

Izvr?ene konverzije:
(1) Drugi red je dodan prvom redu. Dakle, ?eljena jedinica je organizirana na gornjem lijevom “stupanju”.
(2) Prvi red pomno?en sa 7 dodat je drugom redu, a prvi red pomno?en sa 6 dodan je tre?em redu.

Sa drugim "korakom" sve je gore , "kandidati" za to su brojevi 17 i 23, a treba nam ili jedan ili -1. Transformacije (3) i (4) ?e imati za cilj dobijanje ?eljene jedinice

(3) Drugi red je dodat tre?em redu, pomno?en sa -1.
(4) Tre?i red, pomno?en sa -3, dodat je drugom redu.
(3) Drugi red pomno?en sa 4 dodat je tre?em redu, a drugi red pomno?en sa -1 dodan je ?etvrtom redu.
(4) Predznak drugog reda je promijenjen. ?etvrti red je podijeljen sa 3 i postavljen umjesto tre?eg reda.
(5) Tre?i red je dodat ?etvrtom redu, pomno?en sa -5.

Obrnuti potez: