U vezi sa

mo?e se postaviti zadatak pronala?enja bilo kojeg od tri broja od druga dva data. Dato je a, a zatim se N nalazi eksponencijacijom. Ako je zadano N, a onda se a na?e izvla?enjem korijena stepena x (ili eksponencijacije). Sada razmotrite slu?aj kada je, dato a i N, potrebno prona?i x.

Neka je broj N pozitivan: broj a je pozitivan i nije jednak jedinici: .

Definicija. Logaritam broja N prema bazi a je eksponent na koji trebate podi?i a da biste dobili broj N; logaritam je ozna?en sa

Tako se u jednakosti (26.1) eksponent nalazi kao logaritam od N bazi a. Unose

imaju isto zna?enje. Jednakost (26.1) se ponekad naziva osnovnim identitetom teorije logaritama; u stvari, izra?ava definiciju koncepta logaritma. Prema ovoj definiciji, baza logaritma a je uvijek pozitivna i razli?ita od jedinice; logaritamski broj N je pozitivan. Negativni brojevi i nula nemaju logaritme. Mo?e se dokazati da bilo koji broj sa datom bazom ima dobro definiran logaritam. Stoga jednakost podrazumijeva . Imajte na umu da je uvjet ovdje bitan, ina?e zaklju?ak ne bi bio opravdan, jer je jednakost istinita za sve vrijednosti x i y.

Primjer 1. Prona?ite

Rje?enje. Da biste dobili broj, morate podi?i bazu 2 na stepen.

Prilikom rje?avanja takvih primjera mo?ete snimati u sljede?em obliku:

Primjer 2. Prona?ite .

Rje?enje. Imamo

U primjerima 1 i 2 lako smo prona?li ?eljeni logaritam predstavljaju?i logaritamski broj kao stepen baze s racionalnim eksponentom. U op?tem slu?aju, na primjer, za itd., to se ne mo?e u?initi, jer logaritam ima iracionalnu vrijednost. Obratimo pa?nju na jedno pitanje vezano za ovu izjavu. U § 12 dali smo koncept mogu?nosti odre?ivanja bilo koje realne snage datog pozitivnog broja. To je bilo neophodno za uvo?enje logaritama, koji generalno mogu biti iracionalni brojevi.

Razmotrimo neka svojstva logaritama.

Svojstvo 1. Ako su broj i baza jednaki, onda je logaritam jednak jedinici, i obrnuto, ako je logaritam jednak jedinici, tada su broj i baza jednaki.

Dokaz. Neka Po definiciji logaritma imamo i odakle

Obrnuto, neka Onda po definiciji

Svojstvo 2. Logaritam jedinice bilo koje baze jednak je nuli.

Dokaz. Po definiciji logaritma (nulta snaga bilo koje pozitivne baze jednaka je jedan, vidi (10.1)). Odavde

Q.E.D.

Obrnuti iskaz je tako?er istinit: ako je , tada je N = 1. Zaista, imamo .

Prije nego ?to navedemo sljede?e svojstvo logaritama, sla?emo se da ka?emo da dva broja a i b le?e na istoj strani tre?eg broja c ako su oba ili ve?a od c ili manja od c. Ako je jedan od ovih brojeva ve?i od c, a drugi manji od c, onda ka?emo da le?e na suprotnim stranama od c.

Svojstvo 3. Ako broj i baza le?e na istoj strani jedinice, onda je logaritam pozitivan; ako broj i baza le?e na suprotnim stranama jedinice, tada je logaritam negativan.

Dokaz svojstva 3 zasniva se na ?injenici da je stepen a ve?i od jedan ako je baza ve?a od jedan, a eksponent pozitivan, ili je baza manja od jedan, a eksponent negativan. Stepen je manji od jedan ako je baza ve?a od jedan, a eksponent negativan, ili je baza manja od jedan, a eksponent pozitivan.

Postoje ?etiri slu?aja koja treba razmotriti:

Ograni?avamo se na analizu prvog od njih, ostalo ?e ?italac razmotriti sam.

Neka onda eksponent u jednakosti nije ni negativan ni jednak nuli, dakle pozitivan je, tj., ?to je trebalo dokazati.

Primjer 3. Saznajte koji su od sljede?ih logaritama pozitivni, a koji negativni:

Re?enje, a) po?to se broj 15 i osnova 12 nalaze na istoj strani jedinice;

b) , budu?i da se 1000 i 2 nalaze na istoj strani jedinice; istovremeno, nije bitno da je baza ve?a od logaritamskog broja;

c), po?to 3.1 i 0.8 le?e na suprotnim stranama jedinice;

G) ; za?to?

e) ; za?to?

Sljede?a svojstva 4-6 ?esto se nazivaju pravilima logaritma: ona omogu?avaju, znaju?i logaritme nekih brojeva, da se prona?u logaritmi njihovog proizvoda, koli?nika, stepena svakog od njih.

Svojstvo 4 (pravilo za logaritam proizvoda). Logaritam proizvoda nekoliko pozitivnih brojeva u datoj bazi jednak je zbroju logaritama ovih brojeva u istoj bazi.

Dokaz. Neka su dati pozitivni brojevi.

Za logaritam njihovog proizvoda zapisujemo jednakost (26.1) koja definira logaritam:

Odavde nalazimo

Upore?uju?i eksponente prvog i posljednjeg izraza, dobijamo tra?enu jednakost:

Imajte na umu da je uslov bitan; logaritam proizvoda dva negativna broja ima smisla, ali u ovom slu?aju dobijamo

Op?enito, ako je proizvod vi?e faktora pozitivan, onda je njegov logaritam jednak zbiru logaritama modula ovih faktora.

Svojstvo 5 (pravilo kvocijentnog logaritma). Logaritam koli?nika pozitivnih brojeva jednak je razlici izme?u logaritama dividende i djelitelja uzetih u istoj bazi. Dokaz. Konzistentno prona?ite

Q.E.D.

Svojstvo 6 (pravilo logaritma stepena). Logaritam stepena bilo kojeg pozitivnog broja jednak je logaritmu tog broja pomno?enog sa eksponentom.

Dokaz. Ponovo pi?emo glavni identitet (26.1) za broj:

Q.E.D.

Posljedica. Logaritam korijena pozitivnog broja jednak je logaritmu korijenskog broja podijeljenom sa eksponentom korijena:

Mo?emo dokazati valjanost ove posljedice tako ?to ?emo predstaviti kako i koriste?i svojstvo 6.

Primjer 4. Logaritam na osnovu a:

a) (pretpostavlja se da su sve vrijednosti b, c, d, e pozitivne);

b) (pretpostavlja se da ).

Rje?enje, a) Zgodno je ovaj izraz prije?i na razlomke:

Na osnovu jednakosti (26.5)-(26.7) sada mo?emo napisati:

Primje?ujemo da se nad logaritmima brojeva izvode jednostavnije operacije nego nad samim brojevima: pri mno?enju brojeva se sabiraju njihovi logaritmi, pri dijeljenju oduzimaju itd.

Zbog toga su logaritmi kori??eni u ra?unarskoj praksi (videti odeljak 29).

Radnja inverzna logaritmu naziva se potenciranje, naime: potenciranje je radnja kojom se sam taj broj pronalazi datim logaritmom broja. U su?tini, potenciranje nije neka posebna radnja: ona se svodi na podizanje baze na stepen (jednak logaritmu broja). Termin "potenciranje" mo?e se smatrati sinonimom za izraz "potenciranje".

Prilikom potenciranja potrebno je koristiti pravila koja su inverzna pravilima logaritma: zamijeniti zbir logaritama logaritmom umno?ka, razliku logaritama logaritmom koli?nika, itd. Posebno, ako postoji bilo koji faktor ispred predznaka logaritma, onda se tokom potenciranja mora prenijeti na indikatorske stupnjeve ispod predznaka logaritma.

Primjer 5. Na?i N ako je to poznato

Rje?enje. U vezi sa upravo navedenim pravilom potenciranja, faktori 2/3 i 1/3, koji se nalaze ispred predznaka logaritama na desnoj strani ove jednakosti, bi?e preba?eni u eksponente pod predznacima ovih logaritama; dobijamo

Sada zamjenjujemo razliku logaritama sa logaritmom koli?nika:

da bismo dobili posljednji razlomak u ovom lancu jednakosti, oslobodili smo prethodni razlomak od iracionalnosti u nazivniku (odjeljak 25).

Svojstvo 7. Ako je baza ve?a od jedan, tada ve?i broj ima ve?i logaritam (a manji manji), ako je baza manja od jedan, onda ve?i broj ima manji logaritam (i manji jedan ima ve?i).

Ovo svojstvo je tako?er formulirano kao pravilo za logaritam nejedna?ina, ?ija su oba dijela pozitivna:

Prilikom uzimanja logaritma nejednakosti na bazu ve?u od jedan, ?uva se znak nejednakosti, a kada se logaritam uzima na bazu manju od jedan, predznak nejednakosti se obr?e (vidi i ta?ku 80).

Dokaz se zasniva na svojstvima 5 i 3. Razmotrimo slu?aj kada Ako , onda i, uzimaju?i logaritam, dobijamo

(a i N/M le?e na istoj strani jedinice). Odavde

Slu?aj a slijedi, ?italac ?e to sam shvatiti.

Va?a privatnost nam je va?na. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo va?e podatke. Molimo pro?itajte na?u politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i kori?tenje li?nih podataka

Li?ni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje odre?ene osobe.

Od vas se mo?e tra?iti da unesete svoje li?ne podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta li?nih podataka koje mo?emo prikupljati i kako ih mo?emo koristiti.

Koje li?ne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, mo?emo prikupljati razli?ite informacije, uklju?uju?i va?e ime, broj telefona, adresu e-po?te itd.

Kako koristimo va?e li?ne podatke:

• Li?ni podaci koje prikupljamo omogu?avaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim doga?ajima i nadolaze?im doga?ajima.
• S vremena na vrijeme mo?emo koristiti va?e li?ne podatke kako bismo vam poslali va?na obavje?tenja i poruke.
• Li?ne podatke mo?emo koristiti i za interne svrhe, kao ?to su provo?enje revizija, analiza podataka i razli?ita istra?ivanja kako bismo pobolj?ali usluge koje pru?amo i dali vam preporuke u vezi s na?im uslugama.
• Ako u?estvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sli?nom poticaju, mo?emo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje tre?im licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo tre?im licima.

Izuzeci:

• U slu?aju da je to potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva dr?avnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje li?ne podatke. Tako?e mo?emo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provo?enja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
• U slu?aju reorganizacije, spajanja ili prodaje, mo?emo prenijeti li?ne podatke koje prikupimo relevantnom tre?em licu nasljedniku.

Za?tita li?nih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uklju?uju?i administrativne, tehni?ke i fizi?ke - da za?titimo va?e osobne podatke od gubitka, kra?e i zloupotrebe, kao i od neovla?tenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uni?tenja.

Odr?avanje va?e privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su va?i li?ni podaci sigurni, na?im zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

Logaritam od b (b > 0) do baze a (a > 0, a ? 1) je eksponent na koji trebate podi?i broj a da dobijete b.

Logaritam od 10 od b mo?e se zapisati kao dnevnik(b), i logaritam na osnovu e (prirodni logaritam) - ln(b).

?esto se koristi pri rje?avanju problema s logaritmima:

Svojstva logaritama

Postoje ?etiri glavna svojstva logaritama.

Neka je a > 0, a ? 1, x > 0 i y > 0.

Svojstvo 1. Logaritam proizvoda

Logaritam proizvoda jednak je zbiru logaritama:

log a (x ? y) = log a x + log a y

Svojstvo 2. Logaritam koli?nika

Logaritam koli?nika jednaka je razlici logaritama:

log a (x / y) = log a x – log a y

Svojstvo 3. Logaritam stepena

Logaritam stepena jednak je proizvodu stepena i logaritma:

Ako je osnova logaritma u eksponentu, tada se primjenjuje druga formula:

Svojstvo 4. Logaritam korijena

Ovo svojstvo se mo?e dobiti iz svojstva logaritma stepena, po?to je koren n-tog stepena jednak stepenu 1/n:

Formula za prelazak sa logaritma u jednoj bazi na logaritam u drugoj bazi

Ova formula se tako?er ?esto koristi pri rje?avanju razli?itih zadataka za logaritme:

poseban slu?aj:

Pore?enje logaritama (nejednakosti)

Pretpostavimo da imamo 2 funkcije f(x) i g(x) pod logaritmima sa istim bazama i izme?u njih postoji znak nejednakosti:

Da biste ih uporedili, prvo morate pogledati bazu logaritama a:

• Ako je a > 0, onda je f(x) > g(x) > 0
• Ako je 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Kako rije?iti probleme s logaritmima: primjeri

Zadaci sa logaritmima uklju?eni u ESU iz matematike za 11. razred u zadatku 5 i zadatku 7, zadatke sa rje?enjima mo?ete prona?i na na?oj web stranici u odgovaraju?im odjeljcima. Tako?e, zadaci sa logaritmima se nalaze u banci zadataka iz matematike. Sve primjere mo?ete prona?i pretra?ivanjem stranice.

?ta je logaritam

Logaritmi su oduvijek smatrani te?kom temom u ?kolskom kursu matematike. Postoji mnogo razli?itih definicija logaritma, ali iz nekog razloga ve?ina ud?benika koristi najslo?eniju i najnesretniju od njih.

Logaritam ?emo definirati jednostavno i jasno. Kreirajmo tabelu za ovo:

Dakle, imamo mo?i dvojke.

Logaritmi - svojstva, formule, kako rije?iti

Ako uzmete broj iz donje linije, onda lako mo?ete prona?i stepen na koji morate podi?i dvojku da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podi?i dva na ?etvrti stepen. A da biste dobili 64, trebate podi?i dva na ?esti stepen. To se vidi iz tabele.

A sada - u stvari, definicija logaritma:

baza a argumenta x je stepen na koji se broj a mora podi?i da bi se dobio broj x.

Notacija: log a x = b, gdje je a baza, x je argument, b je zapravo ono ?emu je jednak logaritam.

Na primjer, 2 3 = 8 => log 2 8 = 3 (osnovni 2 logaritam od 8 je tri jer je 2 3 = 8). Mo?e i logirati 2 64 = 6, jer je 2 6 = 64.

Operacija pronala?enja logaritma broja prema datoj bazi se zove. Dakle, dodajmo novi red u na?u tabelu:

Na?alost, svi logaritmi se ne razmatraju tako lako. Na primjer, poku?ajte prona?i log 2 5. Broj 5 nije u tabeli, ali logika nala?e da ?e logaritam le?ati negdje na segmentu. Jer 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takvi brojevi se nazivaju iracionalni: brojevi iza decimalnog zareza mogu se pisati neograni?eno i nikada se ne ponavljaju. Ako se ispostavi da je logaritam iracionalan, bolje je ostaviti ga ovako: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Va?no je shvatiti da je logaritam izraz sa dvije varijable (bazom i argumentom). U po?etku, mnogi ljudi brkaju gdje je osnova i gdje je argument. Da biste izbjegli dosadne nesporazume, samo pogledajte sliku:

Pred nama nije ni?ta drugo do definicija logaritma. Zapamtite: logaritam je snaga, na koju morate podi?i bazu da biste dobili argument. To je baza koja je podignuta na stepen - na slici je istaknuta crvenom bojom. Ispostavilo se da je baza uvijek na dnu! Ovo divno pravilo govorim svojim u?enicima ve? na prvom ?asu - i nema zabune.

Kako brojati logaritme

Shvatili smo definiciju - ostaje da nau?imo kako ra?unati logaritme, tj. rije?ite se znaka "log". Za po?etak, napominjemo da iz definicije proizlaze dvije va?ne ?injenice:

1. Argument i baza uvijek moraju biti ve?i od nule. Ovo proizilazi iz definicije stepena pomo?u racionalnog eksponenta, na koji se svodi definicija logaritma.
2. Baza mora biti razli?ita od jedinice, budu?i da je jedinica za bilo koju snagu i dalje jedinica. Zbog toga je besmisleno pitanje „na koju snagu se mora podi?i da bi se dobilo dva“. Ne postoji takva diploma!

Takva ograni?enja se nazivaju va?e?i raspon(ODZ). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x = b => x > 0, a > 0, a ? 1.

Imajte na umu da nema ograni?enja na broj b (vrijednost logaritma) nije nametnuta. Na primjer, logaritam mo?e biti negativan: log 2 0,5 = -1, jer 0,5 = 2 -1 .

Me?utim, sada razmatramo samo numeri?ke izraze, gdje nije potrebno znati ODZ logaritma. Sastavlja?i problema su ve? uzeli u obzir sva ograni?enja. Ali kada logaritamske jedna?ine i nejednakosti u?u u igru, DHS zahtjevi ?e postati obavezni. Zaista, u osnovi i argumentu mogu postojati vrlo jake konstrukcije koje nu?no ne odgovaraju gornjim ograni?enjima.

Sada razmotrite op?u ?emu za izra?unavanje logaritama. Sastoji se od tri koraka:

1. Izrazite bazu a i argument x kao stepen sa najmanjom mogu?om bazom ve?om od jedan. Usput, bolje je rije?iti se decimalnih razlomaka;
2. Rije?ite jedna?inu za varijablu b: x = a b ;
3. Rezultiraju?i broj b ?e biti odgovor.

To je sve! Ako se poka?e da je logaritam iracionalan, to ?e se vidjeti ve? na prvom koraku. Zahtjev da baza bude ve?a od jedan je vrlo relevantan: to smanjuje vjerovatno?u gre?ke i uvelike pojednostavljuje prora?une. Sli?no i s decimalnim razlomcima: ako ih odmah pretvorite u obi?ne, bit ?e vi?estruko manje gre?aka.

Pogledajmo kako ova shema funkcionira na konkretnim primjerima:

Zadatak. Izra?unajte logaritam: log 5 25

1. Predstavimo bazu i argument kao stepen petice: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Napravimo i rije?imo jedna?inu:
log 5 25 = b =>(5 1) b = 5 2 =>5 b = 5 2 => b = 2;

2. Dobio odgovor: 2.

Zadatak. Izra?unaj logaritam:

Zadatak. Izra?unajte logaritam: log 4 64

1. Predstavimo bazu i argument kao stepen dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Napravimo i rije?imo jedna?inu:
   log 4 64 = b =>(2 2) b = 2 6 =>2 2b = 2 6 =>2b = 6 => b = 3;
3. Dobio odgovor: 3.

Zadatak. Izra?unajte logaritam: log 16 1

1. Predstavimo bazu i argument kao stepen dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Napravimo i rije?imo jedna?inu:
   log 16 1 = b =>(2 4) b = 2 0 =>2 4b = 2 0 =>4b = 0 => b = 0;
3. Dobio odgovor: 0.

Zadatak. Izra?unajte logaritam: log 7 14

1. Predstavimo bazu i argument kao stepen od sedam: 7 = 7 1 ; 14 nije predstavljeno kao stepen sedam, jer 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iz prethodnog stava proizilazi da se logaritam ne uzima u obzir;
3. Odgovor je bez promjene: dnevnik 7 14.

Mala napomena o posljednjem primjeru. Kako se uvjeriti da broj nije ta?an stepen drugog broja? Vrlo jednostavno - samo ga razlo?ite na osnovne faktore. Ako postoje najmanje dva razli?ita faktora u ekspanziji, broj nije to?na snaga.

Zadatak. Saznajte da li su ta?ne potencije broja: 8; 48; 81; 35; ?etrnaest.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - ta?an stepen, jer postoji samo jedan mno?itelj;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nije ta?an stepen jer postoje dva faktora: 3 i 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - ta?an stepen;
35 = 7 5 - opet nije ta?an stepen;
14 \u003d 7 2 - opet nije ta?an stepen;

Imajte na umu da su sami prosti brojevi uvijek ta?ni potenci sami za sebe.

Decimalni logaritam

Neki logaritmi su toliko ?esti da imaju poseban naziv i oznaku.

argumenta x je logaritam osnove 10, tj. snaga na koju se 10 mora podi?i da bi se dobio x. Oznaka: lgx.

Na primjer, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od sada, kada se u ud?beniku pojavi fraza poput „Prona?i lg 0,01“, znajte da ovo nije gre?ka u kucanju. Ovo je decimalni logaritam. Me?utim, ako niste navikli na takvu oznaku, uvijek je mo?ete prepisati:
log x = log 10 x

Sve ?to vrijedi za obi?ne logaritme vrijedi i za decimale.

prirodni logaritam

Postoji jo? jedan logaritam koji ima svoju notaciju. U odre?enom smislu, to je ?ak i va?nije od decimalnog. Ovo je prirodni logaritam.

argumenta x je logaritam bazi e, tj. stepen na koji se broj e mora podi?i da bi se dobio broj x. Oznaka: lnx.

Mnogi ?e se zapitati: koji je broj e? Ovo je iracionalan broj, njegova ta?na vrijednost se ne mo?e prona?i i zapisati. Evo samo prvih brojeva:
e = 2,718281828459…

Ne?emo se upu?tati u to ?ta je ovaj broj i za?to je potreban. Samo zapamtite da je e baza prirodnog logaritma:
ln x = log e x

Tako je ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Op?enito, prirodni logaritam bilo kojeg racionalnog broja je iracionalan. Osim, naravno, jedinice: ln 1 = 0.

Za prirodne logaritme vrijede sva pravila koja vrijede za obi?ne logaritme.

Vidi tako?er:

Logaritam. Svojstva logaritma (snaga logaritma).

Kako predstaviti broj kao logaritam?

Koristimo definiciju logaritma.

Logaritam je pokazatelj snage na koju se baza mora podi?i da bi se dobio broj pod znakom logaritma.

Dakle, da biste odre?eni broj c predstavili kao logaritam bazi a, potrebno je pod znak logaritma staviti stepen sa istom osnovom kao i baza logaritma, a ovaj broj c upisati u eksponent:

U obliku logaritma mo?ete predstaviti apsolutno bilo koji broj - pozitivan, negativan, cijeli, razlomak, racionalan, iracionalan:

Kako ne biste pobrkali a i c u stresnim uvjetima testa ili ispita, mo?ete zapamtiti sljede?e pravilo:

ono ?to je dole ide dole, ono ?to je gore ide gore.

Na primjer, ?elite da broj 2 predstavite kao logaritam bazi 3.

Imamo dva broja - 2 i 3. Ovi brojevi su baza i eksponent, koje ?emo zapisati pod znakom logaritma. Ostaje da odredimo koji od ovih brojeva treba zapisati, u bazi stepena, a koji - gore, u eksponentu.

Osnova 3 u zapisu logaritma je na dnu, ?to zna?i da kada predstavljamo dvojku kao logaritam na osnovu 3, tako?e ?emo zapisati 3 na osnovu.

2 je ve?e od 3. A u zapisu stepena pi?emo dva iznad tri, odnosno u eksponentu:

Logaritmi. Prvi nivo.

Logaritmi

logaritam pozitivan broj b razumom a, gdje a > 0, a ? 1, je eksponent na koji se broj mora podi?i. a, Za dobijanje b.

Definicija logaritma mo?e se ukratko napisati ovako:

Ova jednakost va?i za b > 0, a > 0, a ? 1. Obi?no ga zovu logaritamski identitet.
Akcija pronala?enja logaritma broja se zove logaritam.

Svojstva logaritama:

Logaritam proizvoda:

Logaritam koli?nika iz dijeljenja:

Zamjena baze logaritma:

Logaritam stepena:

korijenski logaritam:

Logaritam sa bazom stepena:

Decimalni i prirodni logaritmi.

Decimalni logaritam brojevi pozivaju logaritam sa bazom 10 tog broja i pi?u   lg b
prirodni logaritam brojevi pozivaju logaritam ovog broja u bazu e, gdje e je iracionalan broj, pribli?no jednak 2,7. Istovremeno, pi?u ln b.

Ostale napomene o algebri i geometriji

Osnovna svojstva logaritama

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi, kao i svaki broj, mogu se sabirati, oduzimati i pretvarati na sve mogu?e na?ine. Ali po?to logaritmi nisu sasvim obi?ni brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju osnovna svojstva.

Ova pravila moraju biti poznata – nijedan ozbiljan logaritamski problem ne mo?e se rije?iti bez njih. Osim toga, vrlo ih je malo - sve se mo?e nau?iti u jednom danu. Pa po?nimo.

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma sa istom osnovom: log a x i log a y. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

Dakle, zbir logaritama je jednak logaritmu proizvoda, a razlika je logaritam koli?nika. Imajte na umu: klju?na stvar ovdje je - iste osnove. Ako su osnove razli?ite, ova pravila ne funkcioni?u!

Ove formule ?e pomo?i u izra?unavanju logaritamskog izraza ?ak i kada se njegovi pojedina?ni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju "?ta je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

log 6 4 + log 6 9.

Po?to su baze logaritama iste, koristimo formulu sume:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadatak. Prona?ite vrijednost izraza: log 2 48 - log 2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadatak. Prona?ite vrijednost izraza: log 3 135 - log 3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kao ?to vidite, originalni izrazi su sastavljeni od "lo?ih" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Mnogi testovi su zasnovani na ovoj ?injenici. Da, kontrola - sli?ni izrazi u punoj ozbiljnosti (ponekad - bez izmjena) se nude na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Sada da malo zakomplikujemo zadatak. ?ta ako postoji stepen u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stepena mo?e izvaditi iz predznaka logaritma prema sljede?im pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slu?ajevima to ?e zna?ajno smanjiti koli?inu prora?una.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se po?tuje ODZ logaritam: a > 0, a ? 1, x > 0. I jo? ne?to: nau?ite primjenjivati sve formule ne samo s lijeva na desno, ve? i obrnuto, tj. mo?ete unijeti brojeve ispred znaka logaritma u sam logaritam.

Kako rije?iti logaritme

To je ono ?to se naj?e??e tra?i.

Zadatak. Prona?ite vrijednost izraza: log 7 49 6 .

Oslobodimo se stepena u argumentu prema prvoj formuli:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Prona?ite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je imenilac logaritam ?ija su osnova i argument ta?ni potenci: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem. Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili su u obliku stepeni i izvadili indikatore - dobili su razlomak od tri sprata.

Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac imaju isti broj: log 2 7. Po?to je log 2 7 ? 0, mo?emo smanjiti razlomak - 2/4 ?e ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, ?etvorka se mo?e prenijeti u brojilac, ?to je i u?injeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prelazak na novu osnovu

Govore?i o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. ?ta ako su baze razli?ite? ?ta ako nisu ta?ne snage istog broja?

Formule za prelazak na novu bazu dolaze u pomo?. Formuliramo ih u obliku teoreme:

Neka je dat logaritam log a x. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ? 1 ta?na jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobijamo:

Iz druge formule proizilazi da je mogu?e zamijeniti bazu i argument logaritma, ali se u ovom slu?aju cijeli izraz „obr?e“, tj. logaritam je u nazivniku.

Ove formule se rijetko nalaze u obi?nim numeri?kim izrazima. Koliko su zgodne mogu?e je procijeniti samo pri rje?avanju logaritamskih jedna?ina i nejedna?ina.

Me?utim, postoje zadaci koji se nikako ne mogu rije?iti osim prelaskom na novu osnovu. Razmotrimo nekoliko od ovih:

Zadatak. Prona?ite vrijednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma ta?ni eksponenti. Izvadimo indikatore: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budu?i da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomno?ili ?etiri i dva, a zatim izra?unali logaritme.

Zadatak. Prona?ite vrijednost izraza: log 9 100 lg 3.

Osnova i argument prvog logaritma su ta?ni potenci. Hajde da to zapi?emo i rije?imo se indikatora:

Sada se rije?imo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

?esto se u procesu rje?avanja tra?i da se broj predstavi kao logaritam na datu bazu.

U ovom slu?aju, formule ?e nam pomo?i:

U prvom slu?aju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n mo?e biti apsolutno bilo koji, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Zaista, ?ta ?e se dogoditi ako se broj b podigne na takav stepen da broj b u ovom stepenu daje broj a? Tako je: ovo je isti broj a. Pa?ljivo pro?itajte ovaj odlomak jo? jednom - mnogi ljudi ga "zaka?e".

Kao i nove formule osnovne konverzije, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino mogu?e rje?enje.

Zadatak. Prona?ite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log 25 64 = log 5 8 - upravo je izba?en kvadrat iz baze i argument logaritma. S obzirom na pravila za mno?enje potencija sa istom osnovom, dobijamo:

Ako neko nije upoznat, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog dr?avnog ispita ?

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaklju?ku ?u dati dva identiteta koja je te?ko nazvati svojstvima – radije, to su posljedice iz definicije logaritma. Stalno se nalaze u problemima i, iznena?uju?e, stvaraju probleme ?ak i "naprednim" u?enicima.

1. log a a = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a iz same ove baze jednak je jedan.
2. log a 1 = 0 je. Baza a mo?e biti bilo koja, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Zato ?to je 0 = 1 direktna posljedica definicije.

To je sva imovina. Obavezno vje?bajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na po?etku lekcije, od?tampajte ga i rije?ite probleme.

log a r b r =log a b ili log a b= log a r b r

Vrijednost logaritma se ne mijenja ako se baza logaritma i broj pod znakom logaritma podignu na isti stepen.

Pod znakom logaritma mogu biti samo pozitivni brojevi, a osnova logaritma nije jednaka jedinici.

Primjeri.

1) Uporedite log 3 9 i log 9 81.

log 3 9=2 jer je 3 2 =9;

log 9 81=2 jer je 9 2 =81.

Dakle, log 3 9=log 9 81.

Imajte na umu da je osnova drugog logaritma jednaka kvadratu osnove prvog logaritma: 9=3 2 , a broj pod znakom drugog logaritma jednak je kvadratu broja pod znakom prvog logaritam: 81=9 2 . Ispada da su i broj i baza prvog logaritma log 3 9 podignuti na drugi stepen, a vrijednost logaritma se nije promijenila iz ovoga:

Nadalje, od va?enja korijena n stepena iz me?u a je konstrukcija broja a do stepena ( 1/n), tada iz log 9 81 mo?ete dobiti log 3 9 uzimaju?i kvadratni korijen broja i osnovicu logaritma:

2) Provjerite jednakost: log 4 25=log 0,5 0,2.

Razmotrimo prvi logaritam. Uzmite kvadratni korijen baze 4 i iz redova 25 ; dobijamo: log 4 25=log 2 5.

Razmotrimo drugi logaritam. Baza logaritma: 0,5= 1/2. Broj pod znakom ovog logaritma: 0,2= 1/5. Podignimo svaki od ovih brojeva na minus prvi stepen:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Dakle, log 0,5 0,2=log 2 5. Zaklju?ak: ova jednakost je ta?na.

Rije?ite jedna?inu:

log 4 x 4 + log 16 81=log 2 (5x+2). Donosimo logaritme s lijeve strane na bazu 2 .

log 2 x 2 + log 2 3=log 2 (5x+2). Uzeli smo kvadratni korijen broja i iz baze prvog logaritma. Uzeli smo ?etvrti korijen broja i osnovu drugog logaritma.

log 2 (3x 2)=log 2 (5x+2). Pretvorite zbir logaritama u logaritam proizvoda.

3x2=5x+2. Primljeno nakon potenciranja.

3x2-5x-2=0. Kvadratnu jedna?inu rje?avamo koriste?i op?u formulu za kompletnu kvadratnu jedna?inu:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4?3?(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 prava korena.

Ispitivanje.

x=2.

log 4 2 4 + log 16 81=log 2 (5?2+2);

log 2 2 2 + log 2 3=log 2 12;

log 2 (4?3)=log 2 12;

log 2 12=log 2 12;

log a n b=(1/ n)? log a b

Logaritam broja b razumom a n jednak proizvodu razlomka 1/ n na logaritam broja b razumom a.

Na?i:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3?log 125 2 ako se to zna log 2 3=b,log 5 2=c.

Rje?enje.

Rije?ite jedna?ine:

1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.

Rje?enje.

Ove logaritme dovodimo do baze 2. Primijenite formulu: log a n b=(1/ n)? log a b

log 2 x+( 1/2 ) log 2 x+( 1/4 ) log 2 x=5,25;

log2x+0,5log2x+0,25log2x=5,25. Evo sli?nih pojmova:

(1+0,5+0,25) log 2 x=5,25;

1,75 log 2 x=5,25 |:1,75

log 2x=3. Po definiciji logaritma:

2) 0,5log 4 (x-2)+log 16 (x-3)=0,25.

Rje?enje. Uzmite logaritam baze 16 u bazu 4.

0,5log 4 (x-2)+0,5log 4 (x-3)=0,25 |:0,5

log4(x-2)+log4(x-3)=0,5. Pretvorite zbir logaritama u logaritam proizvoda.

log 4 ((x-2)(x-3))=0,5;

log 4 (x 2 -2x-3x+6)=0,5;

log 4 (x 2 -5x+6)=0,5. Po definiciji logaritma:

x 2 -5x+4=0. Prema Vietovoj teoremi:

x 1 =1; x2=4. Prva vrijednost x ne?e raditi, jer za x = 1 logaritmi ove jednakosti ne postoje, jer samo pozitivni brojevi mogu biti pod znakom logaritma.

Provjerimo ovu jedna?inu za x=4.

Ispitivanje.

0,5log 4 (4-2)+log 16 (4-3)=0,25

0,5log 4 2+log 16 1=0,25

0,5?0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Logaritam broja b razumom a jednak je logaritmu broja b na novoj osnovi With podijeljeno logaritmom stare baze a na novoj osnovi With.

primjeri:

1) log 2 3=log3/log2;

2) log 8 7=ln7/ln8.

Izra?unati:

1) dnevnik 5 7 ako se to zna lg7?0,8451; lg5?0,6990.

c b / log c a.

log 5 7=log7/log5?0,8451:0,6990?1,2090.

odgovor: dnevnik 5 7?1,209 0?1,209 .

2) log 5 7 ako se to zna ln7?1,9459; ln5?1,6094.

Rje?enje. Primijenite formulu: log a b =log c b / log c a.

log 5 7=ln7/ln5?1.9459:1.6094?1.2091.

odgovor: dnevnik 5 7?1,209 1?1,209 .

Na?i x:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

Koristimo formulu: log c b / log c a = log a b . Dobijamo:

log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;

log 3 x=log 3 (4?6?8);

log 3 x=log 3 192;

x=192 .

2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.

Koristimo formulu: log c b / log c a = log a b . Dobijamo:

log 7 x=lg143-lg11-lg13;

log 7 x=lg143- (lg11+lg13);

log 7 x=log143-log(11?13);

log 7 x=lg143-lg143;

x=1.

Stranica 1 od 1 1

Logaritamski izrazi, rje?enje primjera. U ovom ?lanku ?emo razmotriti probleme vezane za rje?avanje logaritama. Zadaci postavljaju pitanje pronala?enja vrijednosti izraza. Treba napomenuti da se koncept logaritma koristi u mnogim zadacima i izuzetno je va?no razumjeti njegovo zna?enje. ?to se ti?e USE, logaritam se koristi u rje?avanju jedna?ina, u primijenjenim problemima, kao i u zadacima vezanim za prou?avanje funkcija.

Evo primjera za razumijevanje samog zna?enja logaritma:

Osnovni logaritamski identitet:

Svojstva logaritama koje morate uvijek zapamtiti:

*Logaritam proizvoda jednak je zbiru logaritama faktora.

* * *

* Logaritam koli?nika (razlomka) jednak je razlici logaritama faktora.

* * *

* Logaritam stepena jednak je proizvodu eksponenta i logaritma njegove baze.

* * *

*Prelazak na novu bazu

* * *

Vi?e nekretnina:

* * *

Izra?unavanje logaritama je usko povezano s kori?tenjem svojstava eksponenata.

Navodimo neke od njih:

Su?tina ovog svojstva je da se prilikom prijenosa brojnika na nazivnik i obrnuto, predznak eksponenta mijenja u suprotan. Na primjer:

Posljedica ove imovine:

* * *

Kada se stepen di?e na stepen, baza ostaje ista, ali se eksponenti mno?e.

* * *

Kao ?to vidite, sam koncept logaritma je jednostavan. Glavna stvar je da je potrebna dobra praksa koja daje odre?enu vje?tinu. Svakako je poznavanje formula obavezno. Ako se ne formira vje?tina pretvaranja elementarnih logaritama, tada se pri rje?avanju jednostavnih zadataka lako mo?e pogrije?iti.

Vje?bajte, rije?ite prvo najjednostavnije primjere iz matematike, a zatim pre?ite na slo?enije. U budu?nosti ?u svakako pokazati kako se rje?avaju "ru?ni" logaritmi, takvih ne?e biti na ispitu, ali su interesantni, nemojte propustiti!

To je sve! Sretno ti!

S po?tovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Bio bih vam zahvalan ako ka?ete o stranici na dru?tvenim mre?ama.