Sistem linearnih jedna?ina je unija od n linearnih jedna?ina, od kojih svaka sadr?i k varijabli. Napisano je ovako:

Mnogi, kada se prvi put suo?e s vi?om algebrom, pogre?no vjeruju da se broj jedna?ina nu?no mora podudarati s brojem varijabli. U ?kolskoj algebri to je obi?no slu?aj, ali za vi?u algebru to, op?enito govore?i, nije istina.

Rje?enje sistema jedna?ina je niz brojeva (k 1 , k 2 , ..., k n ), koji je rje?enje svake jedna?ine sistema, tj. pri zamjeni u ovu jedna?inu umjesto varijabli x 1 , x 2 , ..., x n daje ta?nu numeri?ku jednakost.

Prema tome, rije?iti sistem jedna?ina zna?i prona?i skup svih njegovih rje?enja ili dokazati da je ovaj skup prazan. Budu?i da broj jedna?ina i broj nepoznatih mo?da nisu isti, mogu?a su tri slu?aja:

1. Sistem je nekonzistentan, tj. skup svih rje?enja je prazan. Prili?no rijedak slu?aj koji se lako otkriva bez obzira na to kojom metodom se sistem rje?ava.
2. Sistem je konzistentan i definisan, tj. ima ta?no jedno re?enje. Klasi?na verzija, poznata jo? od ?kole.
3. Sistem je konzistentan i nedefinisan, tj. ima beskona?no mnogo rje?enja. Ovo je najte?a opcija. Nije dovoljno re?i da "sistem ima beskona?an skup rje?enja" - potrebno je opisati kako je taj skup ure?en.

Varijabla x i se naziva dozvoljenom ako je uklju?ena u samo jednu jedna?inu sistema, i to sa koeficijentom 1. Drugim rije?ima, u preostalim jedna?inama koeficijent za varijablu x i mora biti jednak nuli.

Ako u svakoj jedna?ini odaberemo jednu dozvoljenu varijablu, dobi?emo skup dozvoljenih varijabli za cijeli sistem jedna?ina. Sam sistem, napisan u ovom obliku, tako?e ?e se zvati dozvoljenim. Uop?teno govore?i, jedan te isti po?etni sistem mo?e se svesti na razli?ite dozvoljene sisteme, ali nas to sada ne zanima. Evo primjera dozvoljenih sistema:

Oba sistema su dozvoljena u odnosu na varijable x 1 , x 3 i x 4 . Me?utim, sa istim uspjehom mo?e se tvrditi da je drugi sistem dozvoljen u odnosu na x 1 , x 3 i x 5 . Dovoljno je prepisati najnoviju jedna?inu u obliku x 5 = x 4 .

Sada razmotrite op?tiji slu?aj. Pretpostavimo da imamo k varijabli ukupno, od kojih je r dozvoljeno. Tada su mogu?a dva slu?aja:

1. Broj dozvoljenih varijabli r jednak je ukupnom broju varijabli k: r = k. Dobijamo sistem od k jedna?ina u kojem je r = k dozvoljenih varijabli. Takav sistem je kolaborativan i odre?en, jer x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k \u003d b k;
2. Broj dozvoljenih varijabli r manji je od ukupnog broja varijabli k : r< k . Остальные (k - r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Dakle, u gornjim sistemima varijable x 2 , x 5 , x 6 (za prvi sistem) i x 2 , x 5 (za drugi) su slobodne. Slu?aj kada postoje slobodne varijable bolje je formulirati kao teorem:

Imajte na umu: ovo je veoma va?na ta?ka! U zavisnosti od toga kako pi?ete rezultuju?i sistem, ista varijabla mo?e biti i dozvoljena i slobodna. Ve?ina naprednih nastavnika matematike preporu?uje ispisivanje varijabli leksikografskim redoslijedom, tj. rastu?i indeks. Me?utim, ne morate uop?e slijediti ovaj savjet.

Teorema. Ako su u sistemu od n jedna?ina varijable x 1 , x 2 , ..., x r dozvoljene, a x r + 1 , x r + 2 , ..., x k su slobodne, tada:

1. Ako postavimo vrijednosti slobodnih varijabli (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), a zatim prona?emo vrijednosti x 1 , x 2 , . .., x r , dobijamo jedno od rje?enja.
2. Ako su vrijednosti slobodnih varijabli u dva rje?enja iste, onda su i vrijednosti dozvoljenih varijabli iste, tj. rje?enja su jednaka.

?ta je zna?enje ove teoreme? Da bi se dobila sva rje?enja dozvoljenog sistema jedna?ina, dovoljno je izdvojiti slobodne varijable. Tada ?emo, dodjeljuju?i razli?ite vrijednosti slobodnim varijablama, dobiti gotova rje?enja. To je sve - na ovaj na?in mo?ete dobiti sva rje?enja sistema. Drugih rje?enja nema.

Zaklju?ak: dozvoljeni sistem jedna?ina je uvijek kompatibilan. Ako je broj jedna?ina u dozvoljenom sistemu jednak broju varijabli, sistem ?e biti definitivan; ako je manji, bi?e neodre?en.

I sve bi bilo u redu, ali postavlja se pitanje: kako iz originalnog sistema jedna?ina dobiti rije?eno? Za ovo postoji

Va?a privatnost nam je va?na. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo va?e podatke. Molimo pro?itajte na?u politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i kori?tenje li?nih podataka

Li?ni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju odre?ene osobe ili za kontaktiranje s njom.

Od vas se mo?e tra?iti da unesete svoje li?ne podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta li?nih podataka koje mo?emo prikupljati i kako ih mo?emo koristiti.

Koje li?ne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, mo?emo prikupljati razli?ite informacije, uklju?uju?i va?e ime, broj telefona, adresu e-po?te itd.

Kako koristimo va?e li?ne podatke:

• Li?ni podaci koje prikupljamo omogu?avaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim doga?ajima i nadolaze?im doga?ajima.
• S vremena na vrijeme mo?emo koristiti va?e li?ne podatke kako bismo vam poslali va?na obavje?tenja i komunikacije.
• Li?ne podatke mo?emo koristiti i za interne svrhe, kao ?to su provo?enje revizija, analiza podataka i razli?ita istra?ivanja kako bismo pobolj?ali usluge koje pru?amo i dali vam preporuke u vezi s na?im uslugama.
• Ako u?estvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sli?nom poticaju, mo?emo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje tre?im licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo tre?im licima.

Izuzeci:

• U slu?aju da je to potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva dr?avnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje li?ne podatke. Tako?e mo?emo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno u svrhe sigurnosti, provo?enja zakona ili u druge svrhe od javnog interesa.
• U slu?aju reorganizacije, spajanja ili prodaje, mo?emo prenijeti li?ne podatke koje prikupimo relevantnom tre?em licu nasljedniku.

Za?tita li?nih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uklju?uju?i administrativne, tehni?ke i fizi?ke - da za?titimo va?e osobne podatke od gubitka, kra?e i zloupotrebe, kao i od neovla?tenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uni?tenja.

Odr?avanje va?e privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su va?i li?ni podaci sigurni, na?im zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

Pouzdaniji od grafi?ke metode o kojoj smo govorili u prethodnom paragrafu.

Metoda zamjene

Ovu metodu smo koristili u 7. razredu za rje?avanje sistema linearnih jedna?ina. Algoritam koji je razvijen u 7. razredu je sasvim pogodan za rje?avanje sistema bilo koje dvije jedna?ine (ne nu?no linearne) sa dvije varijable x i y (naravno, varijable se mogu ozna?iti i drugim slovima, ?to nije bitno). U stvari, koristili smo ovaj algoritam u prethodnom pasusu, kada je problem dvocifrenog broja doveo do matemati?kog modela, koji je sistem jedna?ina. Ovaj sistem jedna?ina smo rije?ili gore metodom zamjene (vidi primjer 1 iz § 4).

Algoritam za kori?tenje metode zamjene pri rje?avanju sistema od dvije jedna?ine sa dvije varijable x, y.

1. Izraziti y preko x iz jedne jedna?ine sistema.
2. Zamijenite rezultiraju?i izraz umjesto y u drugu jedna?inu sistema.
3. Rije?i rezultiraju?u jedna?inu za x.
4. Zamijenite redom svaki od korijena jednad?be prona?ene u tre?em koraku umjesto x u izraz y kroz x dobiven u prvom koraku.
5. Zapi?ite odgovor u obliku parova vrijednosti (x; y), koji su prona?eni u tre?em i ?etvrtom koraku.

4) Zamijenite zauzvrat svaku od prona?enih vrijednosti y u formulu x \u003d 5 - Zy. Ako onda
5) Parovi (2; 1) i rje?enja datog sistema jedna?ina.

Odgovor: (2; 1);

Metoda algebarskog sabiranja

Ova metoda, kao i metoda zamjene, poznata vam je iz predmeta algebra 7. razreda, gdje je kori?tena za rje?avanje sistema linearnih jedna?ina. Podsje?amo na su?tinu metode u sljede?em primjeru.

Primjer 2 Rije?ite sistem jedna?ina

Sve ?lanove prve jedna?ine sistema mno?imo sa 3, a drugu jedna?inu ostavljamo nepromenjenom:
Oduzmi drugu jedna?inu sistema od prve jedna?ine:

Kao rezultat algebarskog sabiranja dvije jedna?ine originalnog sistema, dobijena je jedna?ina koja je jednostavnija od prve i druge jedna?ine datog sistema. Ovom jednostavnijom jedna?inom imamo pravo zamijeniti bilo koju jedna?inu datog sistema, na primjer, drugu. Tada ?e dati sistem jedna?ina biti zamijenjen jednostavnijim sistemom:

Ovaj sistem se mo?e rije?iti metodom zamjene. Iz druge jedna?ine nalazimo Zamjenom ovog izraza umjesto y u prvu jedna?inu sistema, dobijamo

Ostaje zamijeniti prona?ene vrijednosti x u formulu

Ako je x = 2 onda

Tako smo prona?li dva rje?enja za sistem:

Metoda za uvo?enje novih varijabli

Sa metodom uvo?enja nove varijable pri rje?avanju racionalnih jedna?ina sa jednom varijablom upoznali ste se u predmetu algebra 8. razreda. Su?tina ove metode za rje?avanje sistema jedna?ina je ista, ali sa tehni?ke ta?ke gledi?ta postoje neke karakteristike o kojima ?emo govoriti u sljede?im primjerima.

Primjer 3 Rije?ite sistem jedna?ina

Hajde da uvedemo novu promenljivu. Tada se prva jedna?ina sistema mo?e prepisati u jednostavnijem obliku: Re?imo ovu jedna?inu u odnosu na promenljivu t:

Obje ove vrijednosti zadovoljavaju uvjet i stoga su korijeni racionalne jednad?be s varijablom t. Ali to zna?i ili odakle nalazimo da je x = 2y, ili
Tako smo, uz pomo? metode uvo?enja nove varijable, uspjeli, takore?i, prvu jedna?inu sistema, koja je po izgledu prili?no slo?ena, “stratifikovati” u dvije jednostavnije jedna?ine:

x = 2 y; y - 2x.

?ta je slede?e? A onda se svaka od dvije dobivene jednostavne jednad?be mora razmatrati redom u sistemu s jednad?bom x 2 - y 2 \u003d 3, koje se jo? nismo sjetili. Drugim rije?ima, problem se svodi na rje?avanje dva sistema jedna?ina:

Potrebno je prona?i rje?enja za prvi sistem, drugi sistem i uklju?iti sve rezultiraju?e parove vrijednosti u odgovor. Re?imo prvi sistem jedna?ina:

Upotrijebimo metodu zamjene, pogotovo jer je ovdje sve spremno za to: zamjenjujemo izraz 2y umjesto x u drugu jedna?inu sistema. Get

Po?to je x = 2y, nalazimo x 1 = 2, x 2 = 2. Tako se dobijaju dva rje?enja za dati sistem: (2; 1) i (-2; -1). Re?imo drugi sistem jedna?ina:

Koristimo ponovo metodu zamjene: zamjenjujemo izraz 2x umjesto y u drugoj jedna?ini sistema. Get

Ova jedna?ina nema korijen, ?to zna?i da sistem jedna?ina nema rje?enja. Dakle, u odgovor treba uklju?iti samo rje?enja prvog sistema.

Odgovor: (2; 1); (-2;-1).

Metoda uvo?enja novih varijabli u rje?avanje sistema dvije jedna?ine sa dvije varijable koristi se u dvije verzije. Prva opcija: jedna nova varijabla se uvodi i koristi u samo jednoj jedna?ini sistema. Upravo to se dogodilo u primjeru 3. Druga opcija: dvije nove varijable se uvode i koriste istovremeno u obje jedna?ine sistema. To ?e biti slu?aj u primjeru 4.

Primjer 4 Rije?ite sistem jedna?ina

Hajde da predstavimo dve nove varijable:

Onda to nau?imo

Ovo ?e nam omogu?iti da prepi?emo dati sistem u mnogo jednostavnijem obliku, ali s obzirom na nove varijable a i b:

Budu?i da je a = 1, onda iz jedna?ine a + 6 = 2 nalazimo: 1 + 6 = 2; 6=1. Tako smo za varijable a i b dobili jedno rje?enje:

Vra?aju?i se na varijable x i y, dobijamo sistem jedna?ina

Za rje?avanje ovog sistema primjenjujemo algebarsku metodu sabiranja:

Od tada iz jedna?ine 2x + y = 3 nalazimo:
Tako smo za varijable x i y dobili jedno rje?enje:

Zavr?imo ovaj dio kratkom, ali prili?no ozbiljnom teorijskom raspravom. Ve? ste stekli odre?eno iskustvo u rje?avanju raznih jedna?ina: linearnih, kvadratnih, racionalnih, iracionalnih. Znate da je glavna ideja rje?avanja jednad?be postepeno prelazak od jedne jednad?be do druge, jednostavnije, ali ekvivalentne datoj. U prethodnom odeljku uveli smo pojam ekvivalencije za jedna?ine sa dve varijable. Ovaj koncept se tako?e koristi za sisteme jedna?ina.

Definicija.

Za dva sistema jedna?ina sa varijablama x i y se ka?e da su ekvivalentna ako imaju ista rje?enja ili ako oba sistema nemaju rje?enja.

Sve tri metode (zamjena, algebarsko sabiranje i uvo?enje novih varijabli) o kojima smo raspravljali u ovom dijelu su apsolutno ispravne sa stanovi?ta ekvivalencije. Drugim rije?ima, koriste?i ove metode, zamjenjujemo jedan sistem jedna?ina drugim, jednostavnijim, ali ekvivalentnim originalnom sistemu.

Grafi?ka metoda za rje?avanje sistema jedna?ina

Ve? smo nau?ili kako rje?avati sisteme jedna?ina na uobi?ajene i pouzdane na?ine kao ?to su metoda zamjene, algebarsko sabiranje i uvo?enje novih varijabli. A sada se prisjetimo metode koju ste ve? u?ili u prethodnoj lekciji. Odnosno, hajde da ponovimo ono ?to znate o metodi grafi?kog re?enja.

Metoda grafi?kog rje?avanja sistema jednad?bi je konstrukcija grafa za svaku od specifi?nih jedna?ina koje su uklju?ene u ovaj sistem i nalaze se u istoj koordinatnoj ravni, a tako?er i gdje je potrebno prona?i sjeci?te ta?aka ovih grafova. . Za rje?avanje ovog sistema jedna?ina su koordinate ove ta?ke (x; y).

Treba imati na umu da je za grafi?ki sistem jedna?ina uobi?ajeno da ima ili jedno jedino ispravno rje?enje, ili beskona?an broj rje?enja, ili da uop?e nema rje?enja.

Sada pogledajmo pobli?e svako od ovih rje?enja. Dakle, sistem jedna?ina mo?e imati jedinstveno rje?enje ako se prave, koje su grafovi jedna?ina sistema, sijeku. Ako su ove prave paralelne, onda takav sistem jedna?ina nema apsolutno nikakva rje?enja. U slu?aju podudarnosti direktnih grafova jednad?bi sistema, tada vam takav sistem omogu?ava da prona?ete mnoga rje?enja.

Pa, sada pogledajmo algoritam za rje?avanje sistema od dvije jednad?be sa 2 nepoznate pomo?u grafi?ke metode:

Prvo, prvo gradimo graf 1. jedna?ine;
Drugi korak ?e biti crtanje grafikona koji se odnosi na drugu jedna?inu;
Tre?e, moramo prona?i ta?ke preseka grafova.
I kao rezultat, dobijamo koordinate svake ta?ke preseka, ?to ?e biti re?enje sistema jedna?ina.

Pogledajmo ovu metodu detaljnije na primjeru. Dat nam je sistem jedna?ina koje treba rije?iti:

Rje?avanje jedna?ina

1. Prvo ?emo napraviti graf ove jedna?ine: x2+y2=9.

Ali treba napomenuti da ?e ovaj graf jednad?bi biti kru?nica sa sredi?tem u po?etku, a njegov radijus ?e biti jednak tri.

2. Na? sljede?i korak ?e biti da nacrtamo jedna?inu kao ?to je: y = x - 3.

U ovom slu?aju, moramo izgraditi pravu i prona?i ta?ke (0;-3) i (3;0).

3. Da vidimo ?ta imamo. Vidimo da prava se?e kru?nicu u dve njene ta?ke A i B.

Sada tra?imo koordinate ovih ta?aka. Vidimo da koordinate (3;0) odgovaraju ta?ki A, a koordinate (0;-3) ta?ki B.

I ?ta dobijamo kao rezultat?

Brojevi (3;0) i (0;-3) dobijeni na preseku prave sa kru?nicom su upravo re?enja obe jedna?ine sistema. A iz ovoga proizilazi da su i ovi brojevi rje?enja ovog sistema jedna?ina.

Odnosno, odgovor ovog rje?enja su brojevi: (3;0) i (0;-3).

Rje?avanje sistema linearnih algebarskih jedna?ina (SLAE) je nesumnjivo najva?nija tema kursa linearne algebre. Ogroman broj zadataka iz svih grana matematike svodi se na rje?avanje sistema linearnih jedna?ina. Ovi faktori obja?njavaju razlog za kreiranje ovog ?lanka. Materijal ?lanka je odabran i strukturiran tako da uz njegovu pomo? mo?ete

• odabrati optimalnu metodu za rje?avanje va?eg sistema linearnih algebarskih jednad?bi,
• prou?avati teoriju odabrane metode,
• rije?ite svoj sistem linearnih jedna?ina, detaljno razmotriv?i rje?enja tipi?nih primjera i zadataka.

Kratak opis materijala ?lanka.

Prvo dajemo sve potrebne definicije, koncepte i uvodimo neke oznake.

Zatim se razmatraju metode za rje?avanje sistema linearnih algebarskih jednad?bi u kojima je broj jedna?ina jednak broju nepoznatih varijabli i koje imaju jedinstveno rje?enje. Prvo, hajde da se fokusiramo na Cramerovu metodu, drugo, pokaza?emo matri?nu metodu za re?avanje ovakvih sistema jedna?ina, i tre?e, analizira?emo Gaussov metod (metoda sukcesivnog eliminisanja nepoznatih varijabli). Da bismo konsolidirali teoriju, svakako ?emo rije?iti nekoliko SLAE na razli?ite na?ine.

Nakon toga prelazimo na rje?avanje sistema linearnih algebarskih jednad?bi op?teg oblika, u kojima se broj jedna?ina ne poklapa sa brojem nepoznatih varijabli ili je glavna matrica sistema degenerisana. Formuliramo Kronecker-Capelli teorem, koji nam omogu?ava da utvrdimo kompatibilnost SLAE. Analizirajmo rje?enja sistema (u slu?aju njihove kompatibilnosti) koriste?i koncept baznog minora matrice. Tako?er ?emo razmotriti Gaussovu metodu i detaljno opisati rje?enja primjera.

Obavezno se zadr?ite na strukturi op?teg rje?enja homogenih i nehomogenih sistema linearnih algebarskih jedna?ina. Hajde da damo koncept fundamentalnog sistema re?enja i poka?imo kako se op?te re?enje SLAE pi?e pomo?u vektora fundamentalnog sistema re?enja. Za bolje razumijevanje, pogledajmo nekoliko primjera.

U zaklju?ku razmatramo sisteme jedna?ina koji se svode na linearne, kao i razli?ite probleme u ?ijem rje?avanju nastaju SLAE.

Navigacija po stranici.

Definicije, koncepti, oznake.

Razmotri?emo sisteme p linearnih algebarskih jednad?bi sa n nepoznatih varijabli (p mo?e biti jednako n) oblika

Nepoznate varijable, - koeficijenti (neki realni ili kompleksni brojevi), - slobodni ?lanovi (tako?er realni ili kompleksni brojevi).

Ovaj oblik SLAE se zove koordinata.

AT matri?ni oblik ovaj sistem jedna?ina ima oblik ,
gdje - glavna matrica sistema, - matrica-kolona nepoznatih varijabli, - matrica-kolona slobodnih ?lanova.

Ako matrici A kao (n + 1)-ti stupac dodamo matricu-kolona slobodnih termina, onda dobijamo tzv. pro?irena matrica sistemi linearnih jedna?ina. Obi?no se pro?irena matrica ozna?ava slovom T, a stupac slobodnih ?lanova odvojen je okomitom linijom od ostalih kolona, tj.

Rje?avanjem sistema linearnih algebarskih jedna?ina naziva skup vrijednosti nepoznatih varijabli, koji pretvara sve jednad?be sistema u identitete. Matri?na jednad?ba za date vrijednosti nepoznatih varijabli tako?er se pretvara u identitet.

Ako sistem jedna?ina ima barem jedno rje?enje, onda se zove joint.

Ako sistem jedna?ina nema rje?enja, onda se zove nekompatibilno.

Ako SLAE ima jedinstveno rje?enje, onda se ono zove siguran; ako postoji vi?e od jednog rje?enja, onda - neizvjesno.

Ako su slobodni ?lanovi svih jedna?ina sistema jednaki nuli , tada se sistem poziva homogena, ina?e - heterogena.

Rje?enje elementarnih sistema linearnih algebarskih jedna?ina.

Ako je broj sistemskih jedna?ina jednak broju nepoznatih varijabli i determinanta njegove glavne matrice nije jednaka nuli, tada ?emo takve SLAE zvati osnovno. Takvi sistemi jedna?ina imaju jedinstveno rje?enje, au slu?aju homogenog sistema, sve nepoznate varijable su jednake nuli.

Takve SLAE smo po?eli u?iti u srednjoj ?koli. Prilikom njihovog rje?avanja, uzeli smo jednu jedna?inu, izrazili jednu nepoznatu varijablu kroz druge i zamijenili je u preostale jedna?ine, zatim uzeli sljede?u jedna?inu, izrazili sljede?u nepoznatu varijablu i zamijenili je u druge jedna?ine, itd. Ili su koristili metodu sabiranja, odnosno dodali su dvije ili vi?e jednad?bi kako bi eliminirali neke nepoznate varijable. Ne?emo se detaljnije zadr?avati na ovim metodama, jer su one u su?tini modifikacije Gaussove metode.

Glavne metode za rje?avanje elementarnih sistema linearnih jedna?ina su Cramerova metoda, matri?na metoda i Gaussova metoda. Hajde da ih sredimo.

Rje?avanje sistema linearnih jedna?ina Cramerovom metodom.

Hajde da re?imo sistem linearnih algebarskih jedna?ina

u kojoj je broj jedna?ina jednak broju nepoznatih varijabli, a determinanta glavne matrice sistema je razli?ita od nule, tj.

Neka je determinanta glavne matrice sistema, i su determinante matrica koje se dobivaju iz A zamjenom 1., 2., …, n-ti kolonu odnosno kolonu slobodnih ?lanova:

Uz takvu notaciju, nepoznate varijable se izra?unavaju po formulama Cramerove metode kao . Ovako se Cramerovom metodom pronalazi rje?enje sistema linearnih algebarskih jednad?bi.

Primjer.

Cramer metoda .

Rje?enje.

Glavna matrica sistema ima oblik . Izra?unajte njegovu determinantu (ako je potrebno, pogledajte ?lanak):

Po?to je determinanta glavne matrice sistema razli?ita od nule, sistem ima jedinstveno re?enje koje se mo?e na?i Cramerovom metodom.

Sastavite i izra?unajte potrebne determinante (determinanta se dobije zamjenom prvog stupca u matrici A kolonom slobodnih ?lanova, determinanta - zamjenom drugog stupca stupcem slobodnih ?lanova, - zamjenom tre?e kolone matrice A stupcem slobodnih ?lanova ):

Pronala?enje nepoznatih varijabli pomo?u formula :

odgovor:

Glavni nedostatak Cramerove metode (ako se to mo?e nazvati nedostatkom) je slo?enost izra?unavanja determinanti kada je broj sistemskih jedna?ina ve?i od tri.

Rje?avanje sistema linearnih algebarskih jednad?bi matri?nom metodom (pomo?u inverzne matrice).

Neka je sistem linearnih algebarskih jednad?bi zadan u matri?nom obliku, pri ?emu matrica A ima dimenziju n sa n i njena determinanta je razli?ita od nule.

Budu?i da je , tada je matrica A invertibilna, odnosno postoji inverzna matrica . Ako oba dijela jednakosti pomno?imo sa lijevo, onda ?emo dobiti formulu za pronala?enje matrice stupaca nepoznatih varijabli. Tako smo dobili rje?enje sistema linearnih algebarskih jednad?bi matri?nom metodom.

Primjer.

Rije?i sistem linearnih jedna?ina matri?na metoda.

Rje?enje.

Prepi?imo sistem jedna?ina u matri?nom obliku:

Jer

tada se SLAE mo?e rije?iti matri?nom metodom. Koriste?i inverznu matricu, rje?enje ovog sistema se mo?e na?i kao .

Napravimo inverznu matricu koriste?i matricu algebarskih komplemenata elemenata matrice A (ako je potrebno, pogledajte ?lanak):

Ostaje izra?unati - matricu nepoznatih varijabli mno?enjem inverzne matrice na matrici-koloni slobodnih ?lanova (ako je potrebno, pogledajte ?lanak):

odgovor:

ili u drugoj notaciji x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Glavni problem u pronala?enju rje?enja sistema linearnih algebarskih jednad?bi matri?nom metodom je slo?enost nala?enja inverzne matrice, posebno za kvadratne matrice reda ve?eg od tre?eg.

Rje?avanje sistema linearnih jednad?bi Gaussovom metodom.

Pretpostavimo da treba da na?emo re?enje za sistem od n linearnih jedna?ina sa n nepoznatih varijabli
determinanta glavne matrice koja je razli?ita od nule.

Su?tina Gaussove metode sastoji se u sukcesivnom isklju?enju nepoznatih varijabli: prvo, x 1 se isklju?uje iz svih jedna?ina sistema, po?ev?i od druge, zatim se x 2 isklju?uje iz svih jedna?ina, po?ev?i od tre?e, i tako dalje, sve dok se ne pojavi samo nepoznata varijabla x n ostaje u posljednjoj jedna?ini. Takav proces transformacije jednad?bi sistema za uzastopno eliminisanje nepoznatih varijabli naziva se direktna Gaussova metoda. Nakon ?to je napredovanje Gaussove metode zavr?eno, x n se nalazi iz posljednje jedna?ine, x n-1 se izra?unava iz pretposljednje jedna?ine koriste?i ovu vrijednost, i tako dalje, x 1 se nalazi iz prve jedna?ine. Proces izra?unavanja nepoznatih varijabli pri prelasku sa zadnje jednad?be sistema na prvu naziva se reverzna Gaussova metoda.

Hajde da ukratko opi?emo algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.

Pretpostavit ?emo da , budu?i da to uvijek mo?emo posti?i preure?ivanjem jedna?ina sistema. Nepoznatu varijablu x 1 izuzimamo iz svih jedna?ina sistema, po?ev?i od druge. Da biste to uradili, dodajte prvu jedna?inu pomno?enu sa drugoj jedna?ini sistema, dodajte prvu pomno?enu sa tre?oj jedna?ini, i tako dalje, dodajte prvu pomno?enu sa n-toj jedna?ini. Sistem jedna?ina nakon takvih transformacija ?e poprimiti oblik

gdje , a .

Do istog rezultata bismo do?li ako bismo izrazili x 1 u terminima drugih nepoznatih varijabli u prvoj jedna?ini sistema i zamenili rezultuju?i izraz u sve ostale jedna?ine. Dakle, varijabla x 1 je isklju?ena iz svih jedna?ina, po?ev?i od druge.

Zatim postupamo sli?no, ali samo s dijelom rezultiraju?eg sistema koji je ozna?en na slici

Da biste to uradili, dodajte drugo pomno?eno sa tre?oj jedna?ini sistema, dodajte drugo pomno?eno sa ?etvrtoj jedna?ini, i tako dalje, dodajte drugo pomno?eno sa n-toj jedna?ini. Sistem jedna?ina nakon takvih transformacija ?e poprimiti oblik

gdje , a . Dakle, varijabla x 2 je isklju?ena iz svih jedna?ina, po?ev?i od tre?e.

Zatim prelazimo na eliminaciju nepoznatog x 3, postupaju?i na sli?an na?in sa dijelom sistema ozna?enim na slici

Dakle, nastavljamo direktni tok Gaussove metode sve dok sistem ne poprimi oblik

Od ovog trenutka po?injemo obrnutim tokom Gaussove metode: izra?unavamo x n iz posljednje jedna?ine kao , koriste?i dobivenu vrijednost x n nalazimo x n-1 iz pretposljednje jedna?ine, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prva jedna?ina.

Primjer.

Rije?i sistem linearnih jedna?ina Gaussova metoda.

Rje?enje.

Isklju?imo nepoznatu varijablu x 1 iz druge i tre?e jedna?ine sistema. Da bismo to u?inili, oba dijela druge i tre?e jedna?ine dodajemo odgovaraju?e dijelove prve jedna?ine, pomno?ene sa i sa:

Sada isklju?ujemo x 2 iz tre?e jedna?ine dodavanjem lijevog i desnog dijela druge jednad?be, pomno?enih sa:

Na ovome je zavr?en kurs naprijed Gaussove metode, po?injemo obrnuti kurs.

Iz posljednje jednad?be rezultiraju?eg sistema jedna?ina nalazimo x 3:

Iz druge jedna?ine dobijamo .

Iz prve jednad?be nalazimo preostalu nepoznatu varijablu i time zavr?avamo obrnuti tok Gaussove metode.

odgovor:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Rje?avanje sistema linearnih algebarskih jedna?ina op?teg oblika.

U op?tem slu?aju, broj jedna?ina sistema p ne poklapa se sa brojem nepoznatih varijabli n:

Takvi SLAE mo?da nemaju rje?enja, imaju jedno rje?enje ili imaju beskona?no mnogo rje?enja. Ova izjava se tako?er odnosi na sisteme jedna?ina ?ija je glavna matrica kvadratna i degenerirana.

Kronecker-Capelli teorem.

Prije pronala?enja rje?enja za sistem linearnih jedna?ina, potrebno je utvrditi njegovu kompatibilnost. Daje se odgovor na pitanje kada je SLAE kompatibilan, a kada nekompatibilan Kronecker–Capelli teorem:
da bi sistem od p jedna?ina sa n nepoznatih (p mo?e biti jednako n ) bio konzistentan potrebno je i dovoljno da rang glavne matrice sistema bude jednak rangu pro?irene matrice, odnosno Rank( A)=Rang(T) .

Razmotrimo kao primjer primjenu Kronecker-Cappellijeve teoreme za odre?ivanje kompatibilnosti sistema linearnih jedna?ina.

Primjer.

Saznajte da li sistem linearnih jedna?ina ima rje?enja.

Rje?enje.

. Koristimo se metodom grani?enja maloljetnika. Minor drugog reda razli?ito od nule. Idemo preko maloletnika tre?eg reda koji ga okru?uju:

Po?to su svi grani?ni minori tre?eg reda jednaki nuli, rang glavne matrice je dva.

Zauzvrat, rang pro?irene matrice je jednako tri, po?to je minor tre?eg reda

razli?ito od nule.

Na ovaj na?in, Rang(A) , dakle, prema Kronecker-Capellijevoj teoremi, mo?emo zaklju?iti da je originalni sistem linearnih jedna?ina nekonzistentan.

odgovor:

Ne postoji sistem rje?enja.

Dakle, nau?ili smo utvrditi nekonzistentnost sistema koriste?i Kronecker-Capelli teorem.

Ali kako prona?i rje?enje SLAE ako je uspostavljena njegova kompatibilnost?

Da bismo to u?inili, potreban nam je koncept baznog minora matrice i teorema o rangu matrice.

Zove se minor najvi?eg reda matrice A, osim nule osnovni.

Iz definicije baznog minora slijedi da je njegov red jednak rangu matrice. Za nenultu matricu A mo?e postojati nekoliko osnovnih minora; uvijek postoji jedan osnovni minor.

Na primjer, razmotrite matricu .

Svi minori tre?eg reda ove matrice jednaki su nuli, jer su elementi tre?eg reda ove matrice zbir odgovaraju?ih elemenata prvog i drugog reda.

Sljede?i minori drugog reda su osnovni, jer su razli?iti od nule

Maloljetnici nisu osnovne, jer su jednake nuli.

Teorema o rangu matrice.

Ako je rang matrice reda p prema n r, tada se svi elementi redova (i stupaca) matrice koji ne ?ine odabrani bazni minor linearno izra?avaju u terminima odgovaraju?ih elemenata redova (i stupaca) ) koji ?ine osnovni mol.

?ta nam daje teorema o rangu matrice?

Ako smo Kronecker-Capellijevom teoremom utvrdili kompatibilnost sistema, tada biramo bilo koji osnovni minor glavne matrice sistema (njegov red je jednak r), a iz sistema isklju?ujemo sve jedna?ine koje ne odgovaraju formiraju izabrani osnovni mol. Ovako dobijena SLAE bit ?e ekvivalentna originalnoj, budu?i da su odba?ene jednad?be i dalje suvi?ne (prema teoremi o rangu matrice, one su linearna kombinacija preostalih jedna?ina).

Kao rezultat, nakon odbacivanja prekomjernih jedna?ina sistema mogu?a su dva slu?aja.

Ako je broj jedna?ina r u rezultiraju?em sistemu jednak broju nepoznatih varijabli, onda ?e ona biti definitivna i jedino rje?enje se mo?e na?i Cramerovom metodom, matri?nom metodom ili Gaussovom metodom.

Primjer.

.

Rje?enje.

Rang glavne matrice sistema je jednako dva, po?to je minor drugog reda razli?ito od nule. Pro?ireni matri?ni rang je tako?e jednako dva, po?to je jedini minor tre?eg reda jednak nuli

a minor drugog reda razmatranog iznad je razli?it od nule. Na osnovu Kronecker-Capelli teoreme, mo?e se tvrditi kompatibilnost originalnog sistema linearnih jedna?ina, budu?i da je Rank(A)=Rank(T)=2.

Kao base minor uzimamo . Formira se koeficijentima prve i druge jedna?ine:


Tre?a jedna?ina sistema ne u?estvuje u formiranju osnovnog minora, pa je isklju?ujemo iz sistema na osnovu teoreme o rangu matrice:


Tako smo dobili elementarni sistem linearnih algebarskih jedna?ina. Hajde da to rije?imo Cramerovom metodom:


odgovor:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ako je broj jedna?ina r u rezultiraju?em SLAE manji od broja nepoznatih varijabli n, onda ostavljamo ?lanove koji ?ine osnovni minor u lijevom dijelu jedna?ine, a preostale ?lanove prenosimo u desne dijelove jedna?ina sistem sa suprotnim predznakom.

Nepoznate varijable (ima ih r) koje ostaju na lijevoj strani jednad?be nazivaju se main.

Nepoznate varijable (ima ih n - r) koje su zavr?ile na desnoj strani se pozivaju besplatno.

Sada pretpostavljamo da slobodne nepoznate varijable mogu imati proizvoljne vrijednosti, dok ?e r glavnih nepoznatih varijabli biti izra?ene u terminima slobodnih nepoznatih varijabli na jedinstven na?in. Njihov izraz se mo?e na?i rje?avanjem rezultiraju?e SLAE Cramer metodom, matri?nom metodom ili Gaussovom metodom.

Uzmimo primjer.

Primjer.

Rije?iti sistem linearnih algebarskih jednad?bi .

Rje?enje.

Prona?ite rang glavne matrice sistema metodom grani?nih maloljetnika. Uzmimo 1 1 = 1 kao minor prvog reda koji nije nula. Po?nimo tra?iti minor drugog reda razli?it od nule koji okru?uje ovaj minor:


Tako smo prona?li minor koji nije nula drugog reda. Po?nimo tra?iti grani?ni minor koji nije nula tre?eg reda:


Dakle, rang glavne matrice je tri. Rang pro?irene matrice je tako?e jednak tri, odnosno sistem je konzistentan.

Prona?eni minor tre?eg reda razli?it od nule ?e se uzeti kao osnovni.

Radi jasno?e, prikazujemo elemente koji ?ine osnovni minor:


?lanove koji u?estvuju u osnovnom molu ostavljamo na lijevoj strani jednad?be sistema, a ostale sa suprotnim predznacima prenosimo na desnu stranu:


Dajemo slobodne nepoznate varijable x 2 i x 5 proizvoljne vrijednosti, odnosno uzimamo , gdje su proizvoljni brojevi. U ovom slu?aju, SLAE ima oblik


Dobijeni elementarni sistem linearnih algebarskih jednad?bi rje?avamo Cramerovom metodom:


Shodno tome, .

U odgovoru ne zaboravite navesti slobodne nepoznate varijable.

odgovor:

Gdje su proizvoljni brojevi.

Sa?mite.

Da bismo rije?ili sistem linearnih algebarskih jednad?bi op?teg oblika, prvo saznajemo njegovu kompatibilnost koriste?i Kronecker-Capelli teorem. Ako rang glavne matrice nije jednak rangu pro?irene matrice, onda zaklju?ujemo da je sistem nekonzistentan.

Ako je rang glavne matrice jednak rangu pro?irene matrice, tada biramo osnovni minor i odbacujemo jednad?be sistema koje ne u?estvuju u formiranju odabranog osnovnog minora.

Ako je red baznog minora jednak broju nepoznatih varijabli, tada SLAE ima jedinstveno rje?enje, koje se mo?e na?i bilo kojom metodom koja nam je poznata.

Ako je red baznog minora manji od broja nepoznatih varijabli, tada na lijevoj strani jednad?bi sistema ostavljamo ?lanove sa glavnim nepoznatim varijablama, preostale ?lanove prenosimo na desne strane i dodjeljujemo proizvoljne vrijednosti na slobodne nepoznate varijable. Iz rezultuju?eg sistema linearnih jedna?ina nalazimo glavne nepoznate varijable Cramerovom metodom, matri?nom metodom ili Gaussovom metodom.

Gaussova metoda za rje?avanje sistema linearnih algebarskih jedna?ina op?teg oblika.

Koriste?i Gaussovu metodu, mo?e se rije?iti sistem linearnih algebarskih jedna?ina bilo koje vrste bez njihovog preliminarnog ispitivanja kompatibilnosti. Proces uzastopne eliminacije nepoznatih varijabli omogu?ava da se izvede zaklju?ak i o kompatibilnosti i o nekonzistentnosti SLAE, a ako rje?enje postoji, omogu?ava ga i pronala?enje.

Sa stanovi?ta ra?unskog rada, Gausova metoda je po?eljnija.

Njen detaljan opis i analizirane primjere pogledajte u ?lanku Gausova metoda za rje?avanje sistema linearnih algebarskih jedna?ina op?teg oblika.

Snimanje op?teg re?enja homogenih i nehomogenih linearnih algebarskih sistema kori??enjem vektora osnovnog sistema re?enja.

U ovom dijelu ?emo se fokusirati na zajedni?ke homogene i nehomogene sisteme linearnih algebarskih jednad?bi koje imaju beskona?an broj rje?enja.

Hajdemo prvo da se pozabavimo homogenim sistemima.

Fundamentalni sistem odlu?ivanja Homogeni sistem p linearnih algebarskih jedna?ina sa n nepoznatih varijabli je skup (n – r) linearno nezavisnih rje?enja ovog sistema, gdje je r red baznog minora glavne matrice sistema.

Ako linearno nezavisna rje?enja homogene SLAE ozna?imo kao X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) su matrice stupaca dimenzije n sa 1 ) , onda je op?te re?enje ovog homogenog sistema predstavljeno kao linearna kombinacija vektora osnovnog sistema re?enja sa proizvoljnim konstantnim koeficijentima S 1 , S 2 , …, S (n-r), odnosno .

?ta zna?i pojam op?te rje?enje homogenog sistema linearnih algebarskih jedna?ina (oroslau)?

Zna?enje je jednostavno: formula definira sva mogu?a rje?enja originalnog SLAE, drugim rije?ima, uzimaju?i bilo koji skup vrijednosti proizvoljnih konstanti C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , prema formuli koju ?e dobiti jedno od rje?enja originalne homogene SLAE.

Dakle, ako prona?emo fundamentalni sistem rje?enja, onda mo?emo postaviti sva rje?enja ovog homogenog SLAE kao .

Poka?imo proces konstruisanja fundamentalnog sistema rje?enja za homogenu SLAE.

Biramo osnovni minor originalnog sistema linearnih jednad?bi, isklju?ujemo sve ostale jedna?ine iz sistema i prenosimo na desnu stranu jedna?ina sistema suprotnih predznaka sve ?lanove koji sadr?e slobodne nepoznate varijable. Dajmo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti 1,0,0,…,0 i izra?unajmo glavne nepoznanice rje?avanjem rezultiraju?eg elementarnog sistema linearnih jednad?bi na bilo koji na?in, na primjer, Cramerovom metodom. Tako ?e se dobiti X (1) – prvo rje?enje fundamentalnog sistema. Ako slobodnim nepoznanicama damo vrijednosti 0,1,0,0,…,0 i izra?unamo glavne nepoznate, onda ?emo dobiti X (2) . I tako dalje. Ako slobodnim nepoznatim varijablama damo vrijednosti 0,0,…,0,1 i izra?unamo glavne nepoznate, onda ?emo dobiti X (n-r) . Tako ?e se konstruisati osnovni sistem re?enja homogene SLAE i njegovo op?te re?enje se mo?e zapisati u obliku .

Za nehomogene sisteme linearnih algebarskih jednad?bi, op?te re?enje je predstavljeno kao

Pogledajmo primjere.

Primjer.

Prona?ite osnovni sistem rje?enja i op?te rje?enje homogenog sistema linearnih algebarskih jednad?bi .

Rje?enje.

Rang glavne matrice homogenih sistema linearnih jedna?ina je uvek jednak rangu pro?irene matrice. Na?imo rang glavne matrice metodom rubnih minora. Kao nenulti minor prvog reda, uzimamo element a 1 1 = 9 glavne matrice sistema. Prona?ite grani?ni minor drugog reda koji nije nula:

Prona?en je minor drugog reda, razli?it od nule. Pro?imo kroz minore tre?eg reda koji se grani?e s njim u potrazi za nenultom jedinicom:

Svi grani?ni minori tre?eg reda jednaki su nuli, stoga je rang glavne i pro?irene matrice dva. Uzmimo osnovni mol. Radi jasno?e, napominjemo elemente sistema koji ga ?ine:

Tre?a jedna?ina originalne SLAE ne sudjeluje u formiranju osnovnog mola, stoga se mo?e isklju?iti:

Ostavljamo ?lanove koji sadr?e glavne nepoznanice na desnim stranama jednad?be, a ?lanove sa slobodnim nepoznanicama prenosimo na desne strane:

Konstruirajmo fundamentalni sistem rje?enja originalnog homogenog sistema linearnih jedna?ina. Osnovni sistem rje?enja ovog SLAE sastoji se od dva rje?enja, budu?i da originalni SLAE sadr?i ?etiri nepoznate varijable, a red njegovog osnovnog minora je dva. Da bismo prona?li X (1), dajemo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, a zatim prona?emo glavne nepoznanice iz sistema jedna?ina
.

U ovoj lekciji ?emo razmotriti metode za rje?avanje sistema linearnih jedna?ina. U toku vi?e matematike sisteme linearnih jednad?bi potrebno je rje?avati kako u obliku zasebnih zadataka, na primjer, "Rje?iti sistem pomo?u Cramerovih formula", tako i u toku rje?avanja drugih zadataka. Mora se baviti sistemima linearnih jedna?ina u skoro svim granama vi?e matematike.

Prvo, malo teorije. ?ta u ovom slu?aju zna?i matemati?ka rije? "linearno"? To zna?i da u jedna?inama sistema sve varijable su uklju?ene na prvom stepenu: nema fensi stvari poput itd., od kojih su odu?evljeni samo u?esnici matemati?kih olimpijada.

U vi?oj matematici za ozna?avanje varijabli ne koriste se samo slova poznata iz djetinjstva.
Prili?no popularna opcija su varijable s indeksima: .
Ili po?etna slova latinice, mala i velika:
Nije tako retko prona?i gr?ka slova: - mnogima dobro poznata "alfa, beta, gama". I tako?er skup s indeksima, recimo, sa slovom "mu":

Upotreba jednog ili drugog skupa slova zavisi od grane vi?e matematike u kojoj se suo?avamo sa sistemom linearnih jedna?ina. Tako, na primjer, u sistemima linearnih jednad?bi koje se susre?u u rje?avanju integrala, diferencijalnih jednad?bi, tradicionalno je uobi?ajeno koristiti notaciju

Ali bez obzira na to kako su varijable ozna?ene, principi, metode i metode za rje?avanje sistema linearnih jedna?ina se od ovoga ne mijenjaju. Stoga, ako nai?ete na ne?to stra?no, nemojte ?uriti da u strahu zatvorite knjigu zadataka, na kraju krajeva, umjesto toga mo?ete nacrtati sunce, umjesto toga - pticu, a umjesto toga - lice (u?itelja). I, ?to je ?udno, sistem linearnih jedna?ina sa ovim notacijama tako?e se mo?e re?iti.

Ne?to imam takav predosje?aj da ?e ?lanak ispasti dosta duga?ak, dakle mali sadr?aj. Dakle, sekvencijalni "debrifing" ?e biti sljede?i:

– Rje?avanje sistema linearnih jedna?ina metodom zamjene („?kolska metoda“);
– Rje?enje sistema metodom sabiranja (oduzimanja) jedna?ina sistema po ?lanu;
– Rje?enje sistema po Cramerovim formulama;
– Rje?enje sistema pomo?u inverzne matrice;
– Rje?enje sistema Gaussovom metodom.

Svi su upoznati sa sistemima linearnih jedna?ina iz ?kolskog predmeta matematike. U stvari, po?injemo s ponavljanjem.

Rje?avanje sistema linearnih jedna?ina metodom zamjene

Ova metoda se mo?e nazvati i "?kolskom metodom" ili metodom eliminacije nepoznanica. Slikovito re?eno, mo?e se nazvati i "poluzavr?ena Gaussova metoda".

Primjer 1

Ovdje imamo sistem od dvije jedna?ine sa dvije nepoznate. Imajte na umu da se slobodni ?lanovi (brojevi 5 i 7) nalaze na lijevoj strani jedna?ine. Uop?teno govore?i, nije bitno gdje se nalaze, lijevo ili desno, samo se u problemima iz vi?e matematike ?esto nalaze na taj na?in. I takav zapis ne bi trebao biti zbunjuju?i, ako je potrebno, sistem se uvijek mo?e napisati "kao i obi?no":. Ne zaboravite da prilikom prijenosa pojma iz dijela u dio morate promijeniti njegov znak.

?ta zna?i rije?iti sistem linearnih jedna?ina? Rje?avanje sistema jedna?ina zna?i pronala?enje skupa njegovih rje?enja. Rje?enje sistema je skup vrijednosti svih varijabli uklju?enih u njega, ?to SVAKU jedna?inu sistema pretvara u pravu jednakost. Osim toga, sistem mo?e biti nekompatibilno (nema rje?enja).Ne stidite se, ovo je op?ta definicija =) Ima?emo samo jednu vrednost "x" i jednu vrednost "y", koje zadovoljavaju svaku jedna?inu sa-mi.

Postoji grafi?ka metoda za rje?avanje sistema, koja se mo?e na?i u lekciji. Najjednostavniji problemi sa pravom linijom. Tamo sam pri?ao o tome geometrijskog smisla sisteme dve linearne jedna?ine sa dve nepoznate. Ali sada je u dvori?tu era algebre, i brojeva-brojeva, akcija-akcija.

Mi odlu?ujemo: iz prve jedna?ine izra?avamo:
Dobijeni izraz zamjenjujemo u drugu jedna?inu:

Otvaramo zagrade, dajemo sli?ne pojmove i pronalazimo vrijednost:

Zatim se prisje?amo iz ?ega su plesali:
Ve? znamo vrijednost, ostaje da se prona?e:

Odgovori:

Nakon ?to je BILO KOJI sistem jedna?ina rije?en na BILO KOJI na?in, toplo preporu?ujem provjeru (usmeno, na nacrtu ili kalkulatoru). Na sre?u, to se radi brzo i jednostavno.

1) Zamijenite prona?eni odgovor u prvu jedna?inu:

- dobija se ta?na jednakost.

2) Prona?eni odgovor zamjenjujemo u drugu jedna?inu:

- dobija se ta?na jednakost.

Ili, jednostavnije re?eno, "sve se poklopilo"

Razmatrana metoda rje?enja nije jedina; iz prve jedna?ine je bilo mogu?e izraziti , ali ne.
Mo?ete i obrnuto - izraziti ne?to iz druge jedna?ine i zamijeniti to prvom jedna?inom. Usput, imajte na umu da je najnepovoljniji od ?etiri na?ina izra?avanje iz druge jedna?ine:

Dobijaju se razlomci, ali za?to? Postoji racionalnije re?enje.

Me?utim, u nekim slu?ajevima, razlomci su jo? uvijek neophodni. S tim u vezi, skre?em vam pa?nju na to KAKO sam napisao izraz. Ne ovako: i nikako ovako: .

Ako se u vi?oj matematici bavite razlomcima, poku?ajte sve prora?une izvesti u obi?nim nepravilnim razlomcima.

Ta?no, ne ili!

Zarez se mo?e koristiti samo povremeno, posebno ako je - ovo kona?an odgovor na neki problem i s ovim brojem nije potrebno vr?iti dalje radnje.

Vjerovatno su mnogi ?itaoci pomislili “za?to tako detaljno obja?njenje, kao za popravni ?as, i sve je jasno”. Ni?ta od toga, ?ini se da je to tako jednostavan ?kolski primjer, ali koliko JAKO va?nih zaklju?aka! evo jo? jednog:

Svaki zadatak treba nastojati da bude zavr?en na najracionalniji na?in.. Makar samo zato ?to ?tedi vrijeme i ?ivce, a tako?er smanjuje vjerovatno?u da napravite gre?ku.

Ako u zadatku iz vi?e matematike nai?ete na sistem od dvije linearne jednad?be sa dvije nepoznate, onda uvijek mo?ete koristiti metodu zamjene (osim ako je nazna?eno da sistem treba rije?iti drugom metodom)".
?tovi?e, u nekim slu?ajevima je preporu?ljivo koristiti metodu zamjene s ve?im brojem varijabli.

Primjer 2

Rije?iti sistem linearnih jedna?ina sa tri nepoznate

Sli?an sistem jednad?bi se ?esto javlja kada se koristi tzv. metoda neodre?enih koeficijenata, kada prona?emo integral racionalne frakcijske funkcije. Doti?ni sistem sam preuzeo odatle.

Prilikom pronala?enja integrala - cilj brzo prona?i vrijednosti koeficijenata, a ne biti sofisticiran s Cramerovim formulama, metodom inverzne matrice itd. Stoga je u ovom slu?aju odgovaraju?a metoda zamjene.

Kada se daje bilo koji sistem jedna?ina, prije svega je po?eljno saznati, ali da li je mogu?e to ODMAH nekako pojednostaviti? Analiziraju?i jedna?ine sistema, uo?avamo da se druga jedna?ina sistema mo?e podeliti sa 2, ?to i radimo:

referenca: matemati?ki simbol zna?i "iz ovoga slijedi ovo", ?esto se koristi u toku rje?avanja problema.

Sada analiziramo jedna?ine, trebamo izraziti neku varijablu kroz ostatak. Koju jedna?inu odabrati? Verovatno ste ve? pogodili da je najlak?i na?in za ovu svrhu uzeti prvu jedna?inu sistema:

Ovdje nije va?no koju varijablu izraziti, mo?e se isto tako izraziti ili .

Zatim zamjenjujemo izraz za u drugu i tre?u jedna?inu sistema:

Otvorite zagrade i dodajte sli?ne pojmove:

Tre?u jedna?inu dijelimo sa 2:

Iz druge jedna?ine izra?avamo i zamjenjujemo u tre?u jedna?inu:

Gotovo sve je spremno, iz tre?e jedna?ine nalazimo:
Iz druge jedna?ine:
Iz prve jednad?be:

Provjera: Zamijenite prona?ene vrijednosti varijabli na lijevoj strani svake jedna?ine sistema:

1)
2)
3)

Dobivaju se odgovaraju?e desne strane jednad?bi, tako da je rje?enje prona?eno ispravno.

Primjer 3

Rije?iti sistem linearnih jedna?ina sa 4 nepoznate

Ovo je primjer za samostalno rje?avanje (odgovor na kraju lekcije).

Rje?enje sistema sabiranjem (oduzimanjem) jedna?ina sistema po ?lanu

U toku rje?avanja sistema linearnih jedna?ina treba poku?ati koristiti ne „?kolsku metodu“, ve? metodu sabiranja (oduzimanja) jedna?ina sistema po ?lanu. Za?to? Ovo ?tedi vrijeme i pojednostavljuje prora?une, me?utim, sada ?e to postati jasnije.

Primjer 4

Rije?ite sistem linearnih jedna?ina:

Uzeo sam isti sistem kao i prvi primjer.
Analiziraju?i sistem jedna?ina, uo?avamo da su koeficijenti varijable identi?ni po apsolutnoj vrijednosti i suprotni po predznaku (–1 i 1). U ovoj situaciji, jedna?ine se mogu dodavati pojam po ?lan:

Radnje zaokru?ene crvenom bojom se izvode MENTALNO.
Kao ?to vidite, kao rezultat zbrajanja termina, izgubili smo varijablu . Ovo, u stvari, jeste Su?tina metode je da se rije?i jedne od varijabli.