Koncept diedralnog ugla

Da bismo uveli pojam diedralnog ugla, prvo se prisjetimo jednog od aksioma stereometrije.

Bilo koja ravan se mo?e podijeliti na dvije poluravnine prave $a$ koja le?i u ovoj ravni. U ovom slu?aju, ta?ke koje le?e u istoj poluravni nalaze se na istoj strani prave $a$, a ta?ke koje le?e u razli?itim poluravni su na suprotnim stranama prave $a$ (slika 1. ).

Slika 1.

Princip konstruisanja diedralnog ugla zasniva se na ovom aksiomu.

Definicija 1

Figura se zove diedarski ugao ako se sastoji od prave i dvije poluravnine ove prave koje ne pripadaju istoj ravni.

U ovom slu?aju se nazivaju poluravnine diedralnog ugla lica, i prava linija koja razdvaja poluravnine - diedralni rub(Sl. 1).

Slika 2. Diedarski ugao

Mera stepena diedarskog ugla

Definicija 2

Biramo proizvoljnu ta?ku $A$ na ivici. Ugao izme?u dvije prave koje le?e u razli?itim poluravninama, okomito na ivicu i sijeku se u ta?ki $A$ naziva se linearni ugao diedarski ugao(Sl. 3).

Slika 3

O?igledno, svaki diedarski ugao ima beskona?an broj linearnih uglova.

Teorema 1

Svi linearni uglovi jednog diedarskog ugla su me?usobno jednaki.

Dokaz.

Razmotrimo dva linearna ugla $AOB$ i $A_1(OB)_1$ (slika 4).

Slika 4

Budu?i da zrake $OA$ i $(OA)_1$ le?e u istoj poluravni $\alpha $ i okomite su na jednu pravu liniju, one su kosmjerne. Po?to zrake $OB$ i $(OB)_1$ le?e u istoj poluravni $\beta $ i okomite su na jednu pravu liniju, one su kosmjerne. Shodno tome

\[\ugao AOB=\ugao A_1(OB)_1\]

Zbog proizvoljnosti izbora linearnih uglova. Svi linearni uglovi jednog diedarskog ugla su me?usobno jednaki.

Teorema je dokazana.

Definicija 3

Mera stepena diedarskog ugla je stepenska mera linearnog ugla diedarskog ugla.

Primjeri zadataka

Primjer 1

Neka su nam date dvije neoprave ravni $\alpha $ i $\beta $ koje se sijeku du? prave $m$. Ta?ka $A$ pripada ravni $\beta $. $AB$ je okomita na pravu $m$. $AC$ je okomita na ravan $\alpha $ (ta?ka $C$ pripada $\alpha $). Dokazati da je ugao $ABC$ linearan ugao diedarskog ugla.

Dokaz.

Nacrtajmo sliku prema stanju zadatka (slika 5).

Slika 5

Da bismo to dokazali, prisjetimo se sljede?e teoreme

Teorema 2: Prava linija koja prolazi kroz bazu kosog, okomita na nju, okomita je na njegovu projekciju.

Po?to je $AC$ okomita na ravninu $\alpha $, tada je ta?ka $C$ projekcija ta?ke $A$ na ravan $\alpha $. Stoga je $BC$ projekcija kosog $AB$. Prema teoremi 2, $BC$ je okomito na ivicu diedralnog ugla.

Tada ugao $ABC$ zadovoljava sve zahtjeve za definiranje linearnog ugla diedralnog ugla.

Primjer 2

Diedarski ugao je $30^\circ$. Na jednoj od strana nalazi se ta?ka $A$, koja je udaljena $4$ cm od druge strane.Na?ite rastojanje od ta?ke $A$ do ivice diedralnog ugla.

Rje?enje.

Pogledajmo sliku 5.

Prema pretpostavci, imamo $AC=4\ cm$.

Po definiciji stepena mjere diedralnog ugla, imamo da je ugao $ABC$ jednak $30^\circ$.

Trougao $ABC$ je pravougli trokut. Po definiciji sinusa o?trog ugla

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

Diedarski ugao. Linearni ugao diedralnog ugla. Diedarski ugao je figura koju ?ine dvije poluravnine koje ne pripadaju istoj ravni i imaju zajedni?ku granicu - pravu a. Poluravnine koje formiraju diedarski ugao nazivaju se njegove strane, a zajedni?ka granica ovih poluravnina naziva se ivica diedarskog ugla. Linearni ugao diedarskog ugla je ugao ?ije su stranice zrake du? kojih se seku lica diedarskog ugla sa ravninom koja je okomita na ivicu diedarskog ugla. Svaki diedarski ugao ima onoliko linearnih uglova koliko ?eli: kroz svaku ta?ku ivice mo?e se povu?i ravan okomita na ovu ivicu; zrake du? kojih ova ravan sije?e lica diedralnog ugla i formiraju linearne uglove.

Svi linearni uglovi diedarskog ugla su me?usobno jednaki. Doka?imo da ako su diedarski uglovi koje formira ravan osnove piramide KABC i ravnine njenih bo?nih strana jednaki, onda je osnova okomice povu?ene iz temena K centar kru?nice upisane u trokut ABC.

Dokaz. Prije svega, konstruiramo linearne uglove jednakih diedarskih uglova. Po definiciji, ravan linearnog ugla mora biti okomita na ivicu diedarskog ugla. Stoga ivica diedarskog ugla mora biti okomita na stranice linearnog ugla. Ako je KO okomit na ravan baze, onda mo?emo nacrtati OP okomit na AC, OR okomit na CB, OQ na okomicu AB, a zatim povezati ta?ke P, Q, R sa ta?kom K. Tako ?emo konstruisati projekciju kosih RK, QK, RK tako da su ivice AC, CB, AB okomite na ove projekcije. Posljedi?no, ove ivice su tako?er okomite na nagnute. I stoga su ravni trouglova ROK, QOK, ROK okomite na odgovaraju?e ivice diedralnog ugla i formiraju one jednake linearne uglove, koji su navedeni u uslovu. Pravougli trouglovi ROK, QOK, ROK su jednaki (po?to imaju zajedni?ku krak OK i uglovi naspram ove katete su jednaki). Prema tome, OR = OR = OQ. Ako nacrtamo kru?nicu sa centrom O i polupre?nikom OP, tada su stranice trougla ABC okomite na polupre?nike OP, OR i OQ i stoga su tangente na ovu kru?nicu.

Okomitost ravni. Ravnine alfa i beta nazivaju se okomiti ako je linearni ugao jednog od diedarskih uglova formiranih u njihovom preseku 90". Znakovi okomitosti dve ravni Ako jedna od dve ravni prolazi kroz pravu koja je okomita na drugu ravninu, tada ove ravni su okomite.

Na slici je prikazan pravougaoni paralelepiped. Njegove osnove su pravokutnici ABCD i A1B1C1D1. A bo?ne ivice AA1 BB1, CC1, DD1 su okomite na baze. Iz toga slijedi da je AA1 okomita na AB, tj. bo?na strana je pravougaonik. Dakle, mogu?e je potkrijepiti svojstva kvadra: U kvadru, svih ?est lica su pravokutnici. U kvadru, svih ?est lica su pravokutnici. Svi diedarski uglovi kvadra su pravi uglovi. Svi diedarski uglovi kvadra su pravi uglovi.

Teorema Kvadrat dijagonale pravokutnog paralelepipeda jednak je zbiru kvadrata njegove tri dimenzije. Vratimo se ponovo na sliku, I dokazat ?emo da je AC12 = AB2 + AD2 + AA12 Budu?i da je rub CC1 okomit na bazu ABCD, onda je kut AC1 pravi. Iz pravouglog trougla ACC1, prema Pitagorinoj teoremi, dobijamo AC12=AC2+CC12. Ali AC je dijagonala pravougaonika ABCD, tako da je AC2 = AB2+AD2. Tako?e, CC1 = AA1. Dakle, AC12=AB2+AD2+AA12 Teorema je dokazana.

Ova lekcija je namijenjena samostalnom prou?avanju teme "Dihedralni ugao". Tokom ovog ?asa u?enici ?e se upoznati sa jednim od najva?nijih geometrijskih oblika, diedralnim uglom. Tako?e u lekciji moramo nau?iti kako odrediti linearni ugao geometrijske figure koja se razmatra i koliki je diedarski ugao u osnovi figure.

Ponovimo ?ta je ugao na ravni i kako se meri.

Rice. 1. Avion

Razmotrimo ravan a (slika 1). Od ta?ke O izlaze dvije grede OV i OA.

Definicija. Figura koju ?ine dvije zrake koje izlaze iz iste ta?ke naziva se ugao.

Ugao se mjeri u stepenima i radijanima.

Prisjetimo se ?ta je radijan.

Rice. 2. Radian

Ako imamo centralni ugao ?ija je du?ina luka jednaka polupre?niku, onda se takav centralni ugao naziva ugao od 1 radijana. , ? AOB= 1 rad (slika 2).

Odnos izme?u radijana i stupnjeva.

drago.

Shvatili smo, sretni. (). onda,

Definicija. diedarski ugao naziva se figura koju formira prava linija a i dvije poluravnine sa zajedni?kom granicom a ne pripadaju istoj ravni.

Rice. 3. Poluravni

Razmotrimo dvije poluravnine a i v (slika 3). Njihova zajedni?ka granica je a. Ova figura se naziva diedarski ugao.

Terminologija

Poluravnine a i v su lica diedralnog ugla.

Pravo a je ivica diedralnog ugla.

Na zajedni?koj ivici a diedarski ugao izaberite proizvoljnu ta?ku O(Sl. 4). U poluravni a iz ta?ke O vratiti okomicu OA na pravu liniju a. Iz iste ta?ke O u drugoj poluravni v konstrui?emo okomicu OV do rebra a. Imam ugao AOB, koji se naziva linearni ugao diedralnog ugla.

Rice. 4. Mjerenje diedarskog ugla

Doka?imo jednakost svih linearnih uglova za dati diedarski ugao.

Neka imamo diedarski ugao (slika 5). Izaberite ta?ku O i ta?ka Oko 1 na pravoj liniji a. Konstruirajmo linearni ugao koji odgovara ta?ki O, tj. nacrtamo dvije okomice OA i OV u ravninama a i v do ivice a. Dobijamo ugao AOB je linearni ugao diedralnog ugla.

Rice. 5. Ilustracija dokaza

Od ta?ke Oko 1 nacrtati dvije okomice OA 1 i OB 1 do rebra a u ravnima a i v, respektivno, i dobijamo drugi linearni ugao A 1 O 1 B 1.

Rays O 1 A 1 i OA kosmjerne, jer le?e u istoj poluravni i paralelne su jedna s drugom kao dvije okomite na istu pravu a.

Isto tako, zraci Otprilike 1 u 1 i OV uskla?eni, ?to zna?i ? AOB =? A 1 O 1 B 1 kao uglovi sa kosmjernim stranicama, ?to je trebalo dokazati.

Ravan linearnog ugla je okomita na ivicu diedralnog ugla.

Dokazati: a ? AOW.

Rice. 6. Ilustracija dokaza

Dokaz:

OA ? a po izgradnji, OV ? a po konstrukciji (slika 6).

Shvatili smo tu liniju a okomito na dve prave koje se seku OA i OV van aviona AOB, ?to zna?i ravno a okomito na ravan OAB, ?to je trebalo dokazati.

Diedarski ugao se mjeri njegovim linearnim uglom. To zna?i da je onoliko stepeni radijana sadr?ano u linearnom uglu, toliko stepeni radijana je sadr?ano u njegovom diedralnom uglu. U skladu s tim razlikuju se sljede?e vrste diedarskih uglova.

O?tar (sl. 6)

Diedarski ugao je o?tar ako je njegov linearni ugao o?tar, tj. .

Ravno (sl. 7)

Diedarski ugao je pravi kada mu je linearni ugao 90° - tup (sl. 8)

Diedarski ugao je tup kada je njegov linearni ugao tup, tj. .

Rice. 7. Pravi ugao

Rice. 8. Tupi ugao

Primjeri konstruiranja linearnih uglova u realnim figurama

ABCD- tetraedar.

1. Konstruirajte linearni ugao diedarskog ugla sa ivicom AB.

Rice. 9. Ilustracija za problem

Zgrada:

Govorimo o diedralnom uglu, koji je formiran ivicom AB i lica ABD i ABC(Sl. 9).

Hajde da nacrtamo pravu liniju DH okomito na ravan ABC, H je osnova okomice. Nacrtajmo koso DM okomito na liniju AB,M- nagnuta baza. Teoremom o tri okomice zaklju?ujemo da je projekcija kose NM tako?e okomito na pravu AB.

Odnosno, sa ta?ke gledi?ta M obnovljene dvije okomice na ivicu AB na dvije strane ABD i ABC. Imamo linearni ugao DMN.

primeti, to AB, ivica diedarskog ugla, okomita na ravan linearnog ugla, tj. DMN. Problem rije?en.

Komentar. Diedarski ugao se mo?e ozna?iti na sljede?i na?in: DABC, gdje

AB- ivica i ta?ke D i OD le?e na razli?itim stranama ugla.

2. Konstruisati linearni ugao diedarskog ugla sa ivicom AC.

Nacrtajmo okomicu DH u avion ABC i kosi DN okomito na liniju AS. Po teoremi o tri okomice, dobijamo to HN- kosa projekcija DN u avion ABC, tako?e okomito na pravu AS.DNH- linearni ugao diedarskog ugla sa rebrom AC.

u tetraedru DABC sve ivice su jednake. Dot M- sredina rebra AC. Doka?i da je ugao DMV- linearni ugao diedralnog ugla TID, tj. diedarski ugao sa ivicom AC. Jedna od njegovih ivica je ACD, sekunda - DIA(Sl. 10).

Rice. 10. Ilustracija za problem

Rje?enje:

Trougao ADC- jednakostrani?an, DM je medijana, a time i visina. zna?i, DM ? AS. Isto tako, trougao AATC- jednakostrani?an, ATM je medijan, a time i visina. zna?i, VM ? AS.

Dakle, sa ta?ke gledi?ta M rebra AC diedarski ugao restaurira dvije okomice DM i VM na ovu ivicu u licima diedarskog ugla.

Dakle ? DMAT je linearni ugao diedralnog ugla, ?to je trebalo dokazati.

Dakle, definisali smo diedarski ugao, linearni ugao diedarskog ugla.

U sljede?oj lekciji ?emo razmotriti okomitost pravih i ravnina, zatim ?emo nau?iti ?ta je diedarski ugao u osnovi figura.

Reference na temu "Diedarski ugao", "Diedarski ugao u osnovi geometrijskih figura"

1. Geometrija. 10-11 razred: ud?benik za op?teobrazovne ustanove / Sharygin I. F. - M.: Drfa, 1999. - 208 str.: ilustr.
2. Geometrija. 10. razred: ud?benik za op?teobrazovne ustanove sa dubljim i profilnim prou?avanjem matematike / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. izdanje, stereotip. - M.: Drfa, 2008. - 233 str.: ilustr.

1. Yaklass.ru ().
2. e-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().
4. Tutoronline.ru ().

Doma?a zada?a na temu "Dedarski ugao", odre?ivanje diedarskog ugla u osnovi figura

Geometrija. 10-11 razred: ud?benik za u?enike obrazovnih institucija (osnovni i profilni nivoi) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdanje, ispravljeno i dopunjeno - M.: Mnemozina, 2008. - 288 str.: ilustr.

Zadaci 2, 3 str.67.

Koliki je linearni ugao diedarskog ugla? Kako ga izgraditi?

ABCD- tetraedar. Konstruiraj linearni ugao diedarskog ugla sa ivicom:

a) ATD b) DOD.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - kocka Iscrtajte linearni ugao diedralnog ugla A 1 ABC sa rebrom AB. Odredite njegovu mjeru stepena.

TEKST OBJA?NJENJE ?ASA:

U planimetriji, glavni objekti su linije, segmenti, zrake i ta?ke. Zrake koje izlaze iz jedne ta?ke formiraju jedan od svojih geometrijskih oblika - ugao.

Znamo da se linearni ugao mjeri u stepenima i radijanima.

U stereometriji se objektima dodaje ravan. Figura koju ?ine prava linija a i dvije poluravnine sa zajedni?kom granicom a koje u geometriji ne pripadaju istoj ravni naziva se diedarski ugao. Poluravnine su lica diedralnog ugla. Prava linija a je ivica diedralnog ugla.

Diedarski ugao, kao i linearni ugao, mo?e se imenovati, izmjeriti, izgraditi. To je ono ?to ?emo saznati u ovoj lekciji.

Prona?ite diedarski ugao na modelu ABCD tetraedra.

Diedarski ugao sa ivicom AB naziva se CABD, gde ta?ke C i D pripadaju razli?itim stranama ugla, a ivica AB se naziva sredinom

Oko nas postoji mnogo objekata sa elementima u obliku diedralnog ugla.

U mnogim gradovima u parkovima su postavljene posebne klupe za pomirenje. Klupa je napravljena u obliku dvije nagnute ravni koje se konvergiraju prema centru.

U izgradnji ku?a ?esto se koristi takozvani zabatni krov. Krov ove ku?e je napravljen u obliku dvodelnog ugla od 90 stepeni.

Diedarski ugao se tako?er mjeri u stepenima ili radijanima, ali kako ga izmjeriti.

Zanimljivo je da krovovi ku?a le?e na rogovima. A sanduk rogova formira dva krovna nagiba pod odre?enim uglom.

Prebacimo sliku na crte?. Na crte?u, za pronala?enje diedarskog ugla, na njegovoj ivici je ozna?ena ta?ka B. Iz te ta?ke su povu?ene dve grede BA i BC okomito na ivicu ugla. Ugao ABC koji formiraju ove zrake naziva se linearni ugao diedralnog ugla.

Mera stepena diedarskog ugla jednaka je stepenu mere njegovog linearnog ugla.

Izmjerimo ugao AOB.

Mera stepena datog diedralnog ugla je ?ezdeset stepeni.

Linearni uglovi za diedarski ugao mogu se nacrtati u beskona?nom broju, va?no je znati da su svi jednaki.

Razmotrimo dva linearna ugla AOB i A1O1B1. Zrake OA i O1A1 le?e na istoj strani i okomite su na pravu liniju OO1, pa su kousmjerene. Zraci OB i O1B1 su tako?er kousmjereni. Dakle, ugao AOB jednak je uglu A1O1B1 kao uglovi sa kosmernim stranicama.

Dakle, diedarski ugao karakteri?e linearni ugao, a linearni uglovi su o?tar, tupi i pravi. Razmotrimo modele diedralnih uglova.

Tupi ugao je onaj ?iji je linearni ugao izme?u 90 i 180 stepeni.

Pravi ugao ako je njegov linearni ugao 90 stepeni.

O?tar ugao, ako je njegov linearni ugao izme?u 0 i 90 stepeni.

Doka?imo jedno od va?nih svojstava linearnog ugla.

Ravan linearnog ugla je okomita na ivicu diedralnog ugla.

Neka je ugao AOB linearni ugao datog diedarskog ugla. Po konstrukciji, zrake AO i OB su okomite na pravu a.

Ravan AOB prolazi kroz dvije prave AO i OB koje se ukr?taju prema teoremi: Ravan prolazi kroz dvije prave koje se seku i, osim toga, samo jednu.

Prava a je okomita na dvije prave koje se ukr?taju koje le?e u ovoj ravni, ?to zna?i da je po predznaku okomitosti prave i ravni prava a okomita na ravan AOB.

Za rje?avanje problema va?no je biti u stanju izgraditi linearni ugao zadanog diedralnog ugla. Konstruisati linearni ugao diedarskog ugla sa ivicom AB za tetraedar ABCD.

Rije? je o diedralnom kutu, koji formira, prvo, ivica AB, jedna faseta ABD, druga faseta ABC.

Evo jednog na?ina za izgradnju.

Nacrtajmo okomicu iz ta?ke D na ravan ABC, ozna?imo ta?ku M kao osnovu okomice. Podsjetimo da se u tetraedru osnova okomice poklapa sa sredi?tem upisane kru?nice u osnovi tetraedra.

Nacrtajte nagib od ta?ke D okomito na ivicu AB, ozna?ite ta?ku N kao osnovu nagiba.

U trouglu DMN, segment NM ?e biti projekcije kosog DN na ravan ABC. Prema teoremi o tri okomice, ivica AB ?e biti okomita na projekciju NM.

To zna?i da su stranice ugla DNM okomite na ivicu AB, ?to zna?i da je konstruisani ugao DNM tra?eni linearni ugao.

Razmotrimo primjer rje?avanja problema izra?unavanja diedralnog ugla.

Jednakokraki trougao ABC i pravilan trougao ADB ne le?e u istoj ravni. Segment CD je okomit na ravan ADB. Na?i diedarski ugao DABC ako je AC=CB=2cm, AB=4cm.

Diedarski ugao DABC jednak je njegovom linearnom uglu. Hajde da napravimo ovaj kutak.

Nacrtajmo kosi SM okomit na ivicu AB, po?to je trougao ACB jednakokrak, tada ?e se ta?ka M poklopiti sa sredi?tem ivice AB.

Prava CD je okomita na ravan ADB, ?to zna?i da je okomita na pravu DM koja le?i u ovoj ravni. A segment MD je projekcija kosog SM na ravan ADB.

Prava AB je po konstrukciji okomita na kosi CM, ?to zna?i da je po teoremi o tri okomice okomita na projekciju MD.

Dakle, dvije okomice CM i DM nalaze se na ivicu AB. Dakle, oni formiraju linearni ugao SMD od diedralnog ugla DABC. I ostaje nam da ga prona?emo iz pravouglog trougla SDM.

Kako je segment SM medijan i visina jednakokra?nog trougla ASV, onda je prema Pitagorinoj teoremi krak SM 4 cm.

Iz pravouglog trougla DMB, prema Pitagorinoj teoremi, krak DM jednak je dvama korijenima od tri.

Kosinus ugla iz pravokutnog trokuta jednak je omjeru susjednog kraka MD prema hipotenuzi CM i jednak je tri korijena od tri po dva. Dakle, ugao CMD je 30 stepeni.

Za kori?tenje pregleda prezentacija, kreirajte Google ra?un (nalog) i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

DVOSTRUKI UGAO Nastavnik matematike GOU srednje ?kole №10 Eremenko M.A.

Glavni ciljevi lekcije: Upoznavanje sa pojmom diedarskog ugla i njegovog linearnog ugla Razmotriti zadatke za primenu ovih pojmova

Definicija: Diedarski ugao je figura koju ?ine dvije poluravnine sa zajedni?kom grani?nom linijom.

Vrijednost diedralnog ugla je vrijednost njegovog linearnog ugla. AF ? CD BF ? CD AFB je linearni ugao diedralnog ugla ACD B

Doka?imo da su svi linearni uglovi diedarskog ugla me?usobno jednaki. Razmotrimo dva linearna ugla AOB i A 1 OB 1 . Zrake OA i OA 1 le?e na istoj strani i okomite su na OO 1, pa su kousmjerene. Zraci OB i OB 1 su tako?er kousmjereni. Dakle, ? AOB = ? A 1 OB 1 (kao uglovi sa kosmernim stranicama).

Primjeri diedarskih uglova:

Definicija: Ugao izme?u dvije ravnine koje se sijeku je najmanji od diedarskih uglova koje formiraju ove ravni.

Zadatak 1: U kocki A ... D 1 prona?ite ugao izme?u ravnina ABC i CDD 1 . Odgovor: 90o.

Zadatak 2: U kocki A ... D 1 prona?ite ugao izme?u ravnina ABC i CDA 1 . Odgovor: 45o.

Zadatak 3: U kocki A ... D 1 prona?ite ugao izme?u ravnina ABC i BDD 1 . Odgovor: 90o.

Zadatak 4: U kocki A ... D 1 prona?ite ugao izme?u ravnina ACC 1 i BDD 1 . Odgovor: 90o.

Zadatak 5: U kocki A ... D 1 prona?ite ugao izme?u ravnina BC 1 D i BA 1 D . Rje?enje: Neka je O sredi?te B D. A 1 OC 1 je linearni ugao diedralnog ugla A 1 B D C 1 .

Problem 6: U tetraedru DABC sve ivice su jednake, ta?ka M je sredi?te ivice AC. Doka?ite da je ? DMB linearni ugao diedralnog ugla BACD.

Rje?enje: Trouglovi ABC i ADC su pravilni, pa je BM ? AC i DM ? AC i stoga je ? DMB linearni ugao diedralnog ugla DACB .

Zadatak 7: Iz temena B trougla ABC, ?ija stranica AC le?i u ravni a, povu?ena je okomita BB 1 na ovu ravan. Odrediti rastojanje od ta?ke B do prave AC i do ravni a ako je AB=2, ?BAC=150 0 i diedarski ugao BACB 1 je 45 0 .

Rje?enje: ABC je tupokutni trokut sa tupim uglom A, pa osnova visine BK le?i na produ?etku stranice AC. VC je udaljenost od ta?ke B do AC. BB 1 - udaljenost od ta?ke B do ravni a

2) Po?to je AS ?VK, onda je AS?KV 1 (po teoremi obrnutoj teoremi o tri okomice). Dakle, ?VKV 1 je linearni ugao diedralnog ugla BACB 1 i ?VKV 1 =45 0 . 3) ?VAK: ?A=30 0 , VK=VA sin 30 0 , VK =1. ?VKV 1: VV 1 = VK sin 45 0, VV 1 \u003d