Tangenta je prava linija koja prolazi kroz ta?ku krive i poklapa se s njom u ovoj ta?ki do prvog reda (slika 1).

Druga definicija: ovo je grani?na pozicija sekante na D x->0.

Obja?njenje: Uzmite pravu koja sije?e krivu u dvije ta?ke: ALI i b(vidi sliku). Ovo je sekansa. Rotirati ?emo ga u smjeru kazaljke na satu dok ne bude imala samo jednu zajedni?ku ta?ku sa krivom. Tako da dobijamo tangentu.

Stroga definicija tangente:

Tangenta na graf funkcije f, diferencibilan u jednoj ta?ki xo, je prava koja prolazi kroz ta?ku ( xo; f(xo)) i ima nagib f?( xo).

Nagib ima ravnu liniju y=kx +b. Koeficijent k i je faktor nagiba ovu pravu liniju.

Ugaoni koeficijent jednak je tangenti o?trog ugla koji formira ova prava linija sa x-osom:

Ovdje je ugao a ugao izme?u prave y=kx +b i pozitivan (tj. u smjeru suprotnom od kazaljke na satu) smjer x-ose. To se zove ugao nagiba ravno(Sl.1 i 2).

Ako je ugao nagiba ravan y=kx +b akutna, tada je nagib pozitivan broj. Grafikon se pove?ava (slika 1).

Ako je ugao nagiba ravan y=kx +b tupo, tada je nagib negativan broj. Grafikon se smanjuje (slika 2).

Ako je prava paralelna sa x-osi, tada je nagib prave nula. U ovom slu?aju, nagib prave je tako?er nula (po?to je tangenta nule nula). Jedna?ina prave linije ?e izgledati kao y = b (slika 3).

Ako je ugao nagiba prave linije 90? (p/2), odnosno okomit je na os x, tada je ta prava data jednako??u x=c, gdje c- neki realni broj (slika 4).

Jednad?ba tangente na graf funkcijey = f(x) u ta?ki xo:

Primjer: Na?imo jednad?bu tangente na graf funkcije f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 u ta?ki sa apscisom 2.

Rje?enje .

Pratimo algoritam.

1) To?ka dodira xo jednako 2. Izra?unaj f(xo):

f(xo) = f(2) = 2 3 – 2 ? 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Na?i f?( x). Da bismo to u?inili, koristimo formule diferencijacije navedene u prethodnom odjeljku. Prema ovim formulama, X 2 = 2X, a X 3 = 3X 2. zna?i:

f?( x) = 3X 2 – 2 ? 2X = 3X 2 – 4X.

Sada, koriste?i rezultiraju?u vrijednost f?( x), izra?unati f?( xo):

f?( xo) = f?(2) = 3 ? 2 2 – 4 ? 2 = 12 – 8 = 4.

3) Dakle, imamo sve potrebne podatke: xo = 2, f(xo) = 1, f ?( xo) = 4. Zamjenjujemo ove brojeve u tangentnu jednad?bu i nalazimo kona?no rje?enje:

y= f(xo) + f?( xo) (x – x o) = 1 + 4 ? (x - 2) = 1 + 4x - 8 \u003d -7 + 4x = 4x - 7.

Odgovor: y \u003d 4x - 7.

Primjer 1 Zadata funkcija f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Napi?imo jedna?inu tangente na graf funkcije f(x) u ta?ki grafika sa apscisom x 0 = 1.

Rje?enje. Derivat funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Hajde da ga prona?emo:

= (3x 2 + 4x– 5)? = 6 x + 4.

Onda f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Tangentna jednad?ba ima oblik:

y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Odgovori. y = 10x – 8.

Primjer 2 Zadata funkcija f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Napi?imo jedna?inu tangente na graf funkcije f(x), paralelno sa pravom y = 2x – 11.

Rje?enje. Derivat funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Hajde da ga prona?emo:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)? = 3 x 2 – 6x + 2.

Budu?i da je tangenta na graf funkcije f(x) u ta?ki sa apscisom x 0 je paralelno sa pravom y = 2x– 11, tada je njegov nagib 2, tj. ( x 0) = 2. Na?i ovu apscisu iz uslova da je 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Ova jednakost vrijedi samo za x 0 = 0 i x 0 = 2. Po?to je u oba slu?aja f(x 0) = 5, zatim prava linija y = 2x + b dodiruje graf funkcije ili u ta?ki (0; 5) ili u ta?ki (2; 5).

U prvom slu?aju, numeri?ka jednakost je ta?na 5 = 2x0 + b, gdje b= 5, au drugom slu?aju broj?ana jednakost je ta?na 5 = 2 x 2 + b, gdje b = 1.

Dakle, postoje dvije tangente y = 2x+ 5 i y = 2x+ 1 na graf funkcije f(x) paralelno sa pravom y = 2x – 11.

Odgovori. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

Primjer 3 Zadata funkcija f(x) = x 2 – 6x+ 7. Napi?imo jednad?bu tangente na graf funkcije f(x) prolaze?i kroz ta?ku A (2; –5).

Rje?enje. Jer f(2) –5, zatim ta?ka A ne pripada grafu funkcije f(x). Neka x 0 - apscisa dodirne ta?ke.

Derivat funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Hajde da ga prona?emo:

= (x 2 – 6x+ 1)? = 2 x – 6.

Onda f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. Tangentna jednad?ba ima oblik:

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Od ta?ke A pripada tangenti, tada je numeri?ka jednakost ta?na

–5 = (2x 0 – 6)x2– x+ 7,

gdje x 0 = 0 ili x 0 = 4. To zna?i da kroz ta?ku A mogu?e je nacrtati dvije tangente na graf funkcije f(x).

Ako a x 0 = 0, tada tangentna jednad?ba ima oblik y = –6x+ 7. Ako x 0 = 4, tada tangentna jedna?ina ima oblik y = 2x – 9.

Odgovori. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

Primjer 4 Zadane funkcije f(x) = x 2 – 2x+ 2 i g(x) = –x 2 - 3. Napi?imo jedna?inu zajedni?ke tangente na grafove ovih funkcija.

Rje?enje. Neka x 1 - apscisa ta?ke kontakta ?eljene linije sa grafikom funkcije f(x), a x 2 - apscisa dodirne ta?ke iste prave sa grafikom funkcije g(x).

Derivat funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Hajde da ga prona?emo:

= (x 2 – 2x+ 2)? = 2 x – 2.

Onda f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2. Tangentna jednad?ba ima oblik:

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Na?imo derivaciju funkcije g(x):

= (–x 2 – 3)? = –2 x.

Razmotrite sljede?u sliku:

Prikazuje neku funkciju y = f(x) koja je diferencibilna u ta?ki a. Ozna?ena ta?ka M sa koordinatama (a; f(a)). Kroz proizvoljnu ta?ku P(a + ?x; f(a + ?x)) grafa, crta se sekansa MP.

Ako se sada ta?ka P pomeri du? grafika do ta?ke M, tada ?e prava linija MP rotirati oko ta?ke M. U ovom slu?aju, ?x ?e te?iti nuli. Odavde mo?emo formulirati definiciju tangente na graf funkcije.

Tangenta na graf funkcije

Tangenta na graf funkcije je grani?na pozicija sekansa kada inkrement argumenta te?i nuli. Treba shvatiti da postojanje derivacije funkcije f u ta?ki x0 zna?i da u ovoj ta?ki grafa postoji tangenta za njega.

U ovom slu?aju, nagib tangente ?e biti jednak derivaciji ove funkcije u ovoj ta?ki f’(x0). Ovo je geometrijsko zna?enje izvedenice. Tangenta na graf funkcije f diferencibilne u ta?ki x0 je neka prava linija koja prolazi kroz ta?ku (x0;f(x0)) i ima nagib f’(x0).

Tangentna jednad?ba

Poku?ajmo dobiti jednad?bu tangente na graf neke funkcije f u ta?ki A(x0; f(x0)). Jedna?ina prave linije sa nagibom k ima sljede?i oblik:

Po?to je na? nagib jednak izvodu f'(x0), tada ?e jedna?ina poprimiti sljede?i oblik: y = f'(x0)*x + b.

Sada izra?unajmo vrijednost b. Da bismo to u?inili, koristimo ?injenicu da funkcija prolazi kroz ta?ku A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, odavde izra?avamo b i dobijamo b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Dobivenu vrijednost zamjenjujemo u tangentnu jednad?bu:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

Razmotrite sljede?i primjer: prona?ite jednad?bu tangente na graf funkcije f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 u ta?ki x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Zamijenite dobijene vrijednosti u tangentnu formulu, dobijamo: y = 1 + 4*(x - 2). Otvaraju?i zagrade i donose?i sli?ne ?lanove, dobijamo: y = 4*x - 7.

Odgovor: y = 4*x - 7.

Op?a ?ema za sastavljanje tangentne jedna?ine na graf funkcije y = f(x):

1. Odrediti x0.

2. Izra?unajte f(x0).

3. Izra?unajte f'(x)

Neka je data funkcija f koja u nekoj ta?ki x 0 ima kona?an izvod f (x 0). Tada prava koja prolazi kroz ta?ku (x 0; f (x 0)), koja ima nagib f '(x 0), naziva se tangenta.

Ali ?ta se de?ava ako izvod u ta?ki x 0 ne postoji? Postoje dvije opcije:

1. Tangenta na graf tako?e ne postoji. Klasi?an primjer je funkcija y = |x | u ta?ki (0; 0).
2. Tangenta postaje vertikalna. To vrijedi, na primjer, za funkciju y = arcsin x u ta?ki (1; p /2).

Tangentna jednad?ba

Svaka nevertikalna prava linija je data jedna?inom oblika y = kx + b, gdje je k nagib. Tangenta nije izuzetak, a da bi se sastavila njena jednad?ba u nekoj ta?ki x 0, dovoljno je znati vrijednost funkcije i derivacije u ovoj ta?ki.

Dakle, neka je funkcija data y = f (x), koja ima derivaciju y = f '(x) na segmentu. Tada se u bilo kojoj ta?ki x 0 ? (a; b) mo?e povu?i tangenta na graf ove funkcije, koja je data jednad?bom:

y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Ovdje je f’(x 0) vrijednost derivacije u ta?ki x 0, a f (x 0) je vrijednost same funkcije.

Zadatak. Zadana funkcija y = x 3 . Napi?ite jednad?bu za tangentu na graf ove funkcije u ta?ki x 0 = 2.

Jednad?ba tangente: y = f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Ta?ka x 0 = 2 nam je data, ali ?e se morati izra?unati vrijednosti f (x 0) i f '(x 0).

Prvo, prona?imo vrijednost funkcije. Ovdje je sve lako: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Sada prona?imo izvod: f '(x) = (x 3) ' = 3x 2;
Zamjena u izvodu x 0 = 2: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Tako dobijamo: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Ovo je tangentna jednad?ba.

Zadatak. Sastavite jednad?bu tangente na graf funkcije f (x) \u003d 2sin x + 5 u ta?ki x 0 \u003d p / 2.

Ovaj put ne?emo detaljno opisivati svaku radnju - samo ?emo nazna?iti klju?ne korake. Imamo:

f (x 0) \u003d f (p / 2) = 2sin (p / 2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(p / 2) = 2cos (p / 2) \u003d 0;

Tangentna jednad?ba:

y = 0 (x - p /2) + 7 => y = 7

U potonjem slu?aju, linija se pokazala horizontalnom, jer njegov nagib k = 0. U tome nema ni?ta lo?e - upravo smo nai?li na ta?ku ekstrema.

U sada?njoj fazi razvoja obrazovanja, jedan od njegovih glavnih zadataka je formiranje kreativno misle?e li?nosti. Sposobnost za kreativnost kod u?enika se mo?e razviti samo ako su sistematski uklju?eni u osnove istra?iva?ke aktivnosti. Osnova da u?enici koriste svoje kreativne snage, sposobnosti i talente su formirana punopravna znanja i vje?tine. U tom smislu, problem formiranja sistema osnovnih znanja i vje?tina za svaku temu ?kolskog predmeta matematike je od velikog zna?aja. Istovremeno, potpune vje?tine trebaju biti didakti?ki cilj ne pojedina?nih zadataka, ve? njihovog pa?ljivo osmi?ljenog sistema. U naj?irem smislu, sistem se shvata kao skup me?usobno povezanih elemenata koji imaju integritet i stabilnu strukturu.

Razmotrimo metodologiju za podu?avanje u?enika kako da sastave jednad?bu tangente na graf funkcije. U su?tini, svi zadaci za pronala?enje jedna?ine tangente svode se na potrebu da se iz skupa (snopa, familije) linija izaberu one od njih koje zadovoljavaju odre?eni zahtjev – tangente su na graf odre?ene funkcije. U ovom slu?aju, skup linija iz kojih se vr?i odabir mo?e se specificirati na dva na?ina:

a) ta?ka koja le?i na ravni xOy (centralna olovka pravih);
b) ugaoni koeficijent (paralelni snop linija).

S tim u vezi, prilikom prou?avanja teme "Tangensa na graf funkcije" u cilju izolacije elemenata sistema, identificirali smo dvije vrste zadataka:

1) zadaci na tangentu zadanu ta?kom kroz koju ona prolazi;
2) zadaci na tangentu zadanu njenim nagibom.

U?enje rje?avanja problema na tangenti provedeno je pomo?u algoritma koji je predlo?io A.G. Mordkovich. Njegova temeljna razlika od ve? poznatih je u tome ?to je apscisa tangentne to?ke ozna?ena slovom a (umjesto x0), u vezi s tim jednad?ba tangente ima oblik

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(uporedi sa y = f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Ova metodolo?ka tehnika, po na?em mi?ljenju, omogu?ava studentima da brzo i jednostavno shvate gdje su upisane koordinate trenutne ta?ke u op?toj jedna?ini tangente, i gde su dodirne ta?ke.

Algoritam za sastavljanje jednad?be tangente na graf funkcije y = f(x)

1. Ozna?ite slovom a apscisu dodirne ta?ke.
2. Na?i f(a).
3. Prona?ite f "(x) i f "(a).
4. Zamijenite prona?ene brojeve a, f (a), f "(a) u op?u jednad?bu tangente y = f (a) = f "(a) (x - a).

Ovaj algoritam se mo?e sastaviti na osnovu samostalnog odabira operacija od strane u?enika i redosleda njihovog izvo?enja.

Praksa je pokazala da dosljedno rje?avanje svakog od klju?nih zadataka pomo?u algoritma omogu?ava formiranje sposobnosti pisanja jednad?be tangente na graf funkcije u fazama, a koraci algoritma slu?e kao jake ta?ke za akcije . Ovaj pristup odgovara teoriji postepenog formiranja mentalnih radnji koju je razvio P.Ya. Galperin i N.F. Talyzina.

U prvoj vrsti zadataka identifikovana su dva klju?na zadatka:

• tangenta prolazi kroz ta?ku koja le?i na krivulji (problem 1);
• tangenta prolazi kroz ta?ku koja ne le?i na krivulji (problem 2).

Zadatak 1. Izjedna?iti tangentu na graf funkcije u ta?ki M(3; – 2).

Rje?enje. Ta?ka M(3; – 2) je dodirna ta?ka, po?to

1. a = 3 - apscisa dodirne ta?ke.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 - 4, f "(3) = 5.
y = - 2 + 5 (x - 3), y = 5x - 17 je tangentna jednad?ba.

Zadatak 2. Napi?ite jedna?ine svih tangenti na graf funkcije y = - x 2 - 4x + 2, koja prolazi kroz ta?ku M(- 3; 6).

Rje?enje. Ta?ka M(– 3; 6) nije ta?ka tangente, jer je f(– 3) 6 (slika 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = - 2x - 4, f "(a) = - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - tangentna jednad?ba.

Tangenta prolazi kroz ta?ku M(– 3; 6), pa njene koordinate zadovoljavaju jednad?bu tangente.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Ako je a = – 4, onda je tangentna jednad?ba y = 4x + 18.

Ako je a \u003d - 2, tada tangentna jednad?ba ima oblik y = 6.

U drugoj vrsti klju?ni zadaci ?e biti sljede?i:

• tangenta je paralelna nekoj pravoj liniji (problem 3);
• tangenta prolazi pod nekim uglom na datu pravu (problem 4).

Zadatak 3. Napi?ite jednad?be svih tangenti na graf funkcije y = x 3 - 3x 2 + 3, paralelno s pravom y = 9x + 1.

1. a - apscisa dodirne ta?ke.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x, f "(a) = 3a 2 - 6a.

Ali, s druge strane, f "(a) = 9 (uslov paralelizma). Dakle, moramo rije?iti jedna?inu 3a 2 - 6a = 9. Njeni korijeni a = 1, a = 3 (sl. 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 je tangentna jedna?ina;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x - 3);

y = 9x – 24 je tangentna jedna?ina.

Zadatak 4. Napi?ite jedna?inu tangente na graf funkcije y = 0,5x 2 - 3x + 1, koja prolazi pod uglom od 45° na pravu liniju y = 0 (slika 4).

Rje?enje. Iz uslova f "(a) = tg 45 ° nalazimo a: a - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4.

1. a = 4 - apscisa dodirne ta?ke.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - jednad?ba tangente.

Lako je pokazati da se rje?enje bilo kojeg drugog problema svodi na rje?enje jednog ili vi?e klju?nih problema. Razmotrite sljede?a dva problema kao primjer.

1. Napi?ite jedna?ine tangenti na parabolu y = 2x 2 - 5x - 2, ako se tangente sijeku pod pravim uglom i jedna od njih dodiruje parabolu u ta?ki sa apscisom 3 (slika 5).

Rje?enje. Po?to je data apscisa dodirne ta?ke, prvi dio rje?enja svodi se na klju?ni problem 1.

1. a \u003d 3 - apscisa dodirne to?ke jedne od strana pravog kuta.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x - 5, f "(3) = 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y = 7x - 20 - jednad?ba prve tangente.

Neka je a nagib prve tangente. Po?to su tangente okomite, onda je ugao nagiba druge tangente. Iz jedna?ine y = 7x – 20 prve tangente imamo tg a = 7. Prona?ite

To zna?i da je nagib druge tangente .

Dalje rje?enje se svodi na klju?ni zadatak 3.

Neka je B(c; f(c)) ta?ka tangente druge linije

1. - apscisa druge dodirne ta?ke.
2.
3.
4.
je jednad?ba druge tangente.

Bilje?ka. Ugaoni koeficijent tangente mo?e se lak?e prona?i ako u?enici znaju omjer koeficijenata okomitih pravih k 1 k 2 = - 1.

2. Napi?ite jednad?be svih zajedni?kih tangenti na grafove funkcija

Rje?enje. Zadatak se svodi na pronala?enje apscisa dodirnih ta?aka zajedni?kih tangenti, odnosno na op?enito rje?avanje klju?nog problema 1, sastavljanje sistema jedna?ina i njegovo rje?avanje (slika 6).

1. Neka je a apscisa dodirne ta?ke koja le?i na grafu funkcije y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Neka je c apscisa ta?ke tangente koja le?i na grafu funkcije
2.
3. f "(c) = c.
4.

Po?to su tangente uobi?ajene, onda

Dakle, y = x + 1 i y = - 3x - 3 su zajedni?ke tangente.

Osnovni cilj razmatranih zadataka je priprema u?enika za samoprepoznavanje tipa klju?nog zadatka pri rje?avanju slo?enijih zadataka koji zahtijevaju odre?ene istra?iva?ke vje?tine (sposobnost analize, upore?ivanja, generalizacije, postavljanja hipoteze i sl.). Takvi zadaci uklju?uju svaki zadatak u kojem je klju?ni zadatak uklju?en kao komponenta. Razmotrimo kao primjer problem (inverzan problemu 1) nala?enja funkcije iz porodice njenih tangenta.

3. Za koje su b i c linije y = x i y = - 2x tangente na graf funkcije y = x 2 + bx + c?

Neka je t apscisa ta?ke dodira prave y = x sa parabolom y = x 2 + bx + c; p je apscisa dodirne ta?ke prave y = - 2x sa parabolom y = x 2 + bx + c. Tada ?e jedna?ina tangente y = x poprimiti oblik y = (2t + b)x + c - t 2 , a jedna?ina tangente y = - 2x ?e imati oblik y = (2p + b)x + c - p 2 .

Sastavite i rije?ite sistem jedna?ina

odgovor: