Predmet, uzrast u?enika: geometrija, 9. razred

Svrha lekcije: prou?avanje tipova poligona.

Zadatak u?enja: a?urirati, pro?iriti i generalizirati znanje u?enika o poligonima; formiraju ideju o "komponentama" poligona; provesti studiju broja sastavnih elemenata pravilnih poligona (od trougla do n-ugla);

Razvojni zadatak: razvijati sposobnost analiziranja, upore?ivanja, zaklju?ivanja, razvijanja ra?unskih sposobnosti, usmenog i pismenog matemati?kog govora, pam?enja, kao i samostalnosti u misaonim i nastavnim aktivnostima, sposobnost rada u parovima i grupama; razvijati istra?iva?ke i obrazovne aktivnosti;

Vaspitni zadatak: vaspitavati samostalnost, aktivnost, odgovornost za postavljeni zadatak, istrajnost u postizanju cilja.

Tokom nastave: na tabli je napisan citat

“Priroda govori jezikom matematike, slova ovog jezika... matemati?ke figure.” G. Gallilei

Na po?etku ?asa razred se dijeli na radne grupe (u na?em slu?aju podjela na grupe od po 4 osobe - broj ?lanova grupe je jednak broju grupa pitanja).

1. Faza poziva-

Ciljevi:

a) a?uriranje znanja u?enika o temi;

b) bu?enje interesovanja za temu koja se prou?ava, motivacija svakog u?enika za aktivnosti u?enja.

Prijem: Igra "Vjeruje? li da...", organizacija rada sa tekstom.

Oblici rada: frontalni, grupni.

“Vjeruje? li da…”

1. ... rije? "poligon" ozna?ava da sve figure ove porodice imaju "mnogo uglova"?

2. … trokut pripada velikoj porodici poligona, koji se razlikuje me?u mnogim razli?itim geometrijskim oblicima na ravni?

3. …da li je kvadrat pravilan osmougao (?etiri stranice + ?etiri ugla)?

Danas ?emo u lekciji govoriti o poligonima. Saznajemo da je ova figura ograni?ena zatvorenom izlomljenom linijom, koja zauzvrat mo?e biti jednostavna, zatvorena. Hajde da pri?amo o tome da su poligoni ravni, pravilni, konveksni. Jedan od ravnih poligona je trougao koji vam je ve? dugo poznat (u?enicima mo?ete pokazati postere koji prikazuju poligone, isprekidanu liniju, prikazati njihove razli?ite vrste, mo?ete koristiti i TCO).

2. Faza razumijevanja

Svrha: dobivanje novih informacija, njihovo razumijevanje, odabir.

Prijem: cik-cak.

Oblici rada: individualni->par->grupni.

Svaka grupa dobija tekst na temu nastavnog ?asa, a tekst je osmi?ljen tako da sadr?i kako informacije ve? poznate u?enicima, tako i potpuno nove informacije. Uz tekst u?enici dobijaju pitanja na koja odgovore moraju prona?i u ovom tekstu.

Poligoni. Vrste poligona.

Ko nije ?uo za misteriozni Bermudski trougao, gdje brodovi i avioni nestaju bez traga? Ali trokut koji nam je poznat iz djetinjstva prepun je mnogo zanimljivih i misterioznih stvari.

Pored nama ve? poznatih tipova trokuta, podijeljenih stranicama (skalen, jednakokraki, jednakostrani?ni) i uglovima (o?tri, tupokutni, pravokutni), trokut pripada velikoj porodici poligona, koji se razlikuju me?u mnogo razli?itih geometrijskih oblika na ravni.

Rije? "poligon" ozna?ava da sve figure ove porodice imaju "mnogo uglova". Ali to nije dovoljno za karakterizaciju figure.

Izlomljena linija A 1 A 2 ... A n je figura koja se sastoji od ta?aka A 1, A 2, ... A n i odsje?aka A 1 A 2, A 2 A 3, ... koji ih spajaju. Ta?ke se nazivaju vrhovi polilinije, a segmenti karike polilinije. (sl.1)

Izlomljena linija se naziva jednostavnom ako nema samopresecanja (sl. 2,3).

Izlomljena linija naziva se zatvorena ako joj se krajevi poklapaju. Du?ina izlomljene linije je zbir du?ina njenih karika (slika 4).

Prosta zatvorena izlomljena linija naziva se poligon ako njene susjedne veze ne le?e na istoj pravoj liniji (slika 5).

Zamenite u re? „poligon” umesto dela „mnogo” odre?eni broj, na primer 3. Dobi?ete trougao. Ili 5. Zatim - pentagon. Imajte na umu da uglova ima koliko i stranica, pa bi se ove figure mogle nazvati multilateralnim.

Vrhovi polilinije nazivaju se vrhovi poligona, a veze polilinije se nazivaju stranice poligona.

Poligon deli ravan na dva regiona: unutra?nju i spolja?nju (slika 6).

Ravan poligon ili poligonalna regija je kona?ni dio ravni ome?en poligonom.

Dva vrha poligona koji su krajevi iste stranice nazivaju se susjedima. Vrhovi koji nisu krajevi jedne strane su nesusedni.

Poligon sa n vrhova i stoga n stranica naziva se n-ugao.

Iako je najmanji broj stranica poligona 3. Ali trokuti, spajaju?i se jedan s drugim, mogu formirati druge oblike, koji su zauzvrat tako?er poligoni.

Segmenti koji povezuju nesusedne vrhove poligona nazivaju se dijagonale.

Poligon se naziva konveksan ako le?i u jednoj poluravni u odnosu na bilo koju liniju koja sadr?i njegovu stranu. U ovom slu?aju, smatra se da sama prava linija pripada poluravni.

Ugao konveksnog poligona u datom vrhu je ugao koji formiraju njegove strane koje konvergiraju u tom vrhu.

Doka?imo teoremu (o zbiru uglova konveksnog n-ugla): Zbir uglova konveksnog n-ugla je jednak 180 0 *(n - 2).

Dokaz. U slu?aju n=3 teorema je va?e?a. Neka je A 1 A 2 …A n dati konveksni poligon i n>3. Nacrtajmo dijagonale u njemu (iz jednog vrha). Kako je poligon konveksan, ove dijagonale ga dijele na n - 2 trougla. Zbir uglova poligona je isti kao i zbir uglova svih ovih trouglova. Zbir uglova svakog trokuta je 180 0, a broj ovih trouglova je n - 2. Dakle, zbir uglova konveksnog n - ugla A 1 A 2 ... A n je 180 0 * ( n - 2). Teorema je dokazana.

Vanjski ugao konveksnog poligona u datom vrhu je ugao koji grani?i sa unutra?njim uglom poligona u tom vrhu.

Konveksni poligon se naziva regularnim ako su sve stranice jednake i svi uglovi jednaki.

Dakle, kvadrat se mo?e nazvati druga?ije - pravilan ?etverougao. Jednakostrani?ni trouglovi su tako?e pravilni. Takve figure ve? dugo zanimaju majstore koji su ukra?avali zgrade. Napravili su prekrasne ?are, na primjer, na parketu. Ali ne mogu se svi pravilni poligoni koristiti za formiranje parketa. Parket se ne mo?e formirati od pravilnih osmougaonika. ?injenica je da imaju svaki ugao jednak 135 0. A ako je bilo koja ta?ka vrh dva takva osmokuta, tada ?e imati 270 0, a tre?i osmougao nema gdje da stane: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Ali dovoljno za kvadrat. Stoga je mogu?e presavijati parket od pravilnih osmougaonika i kvadrata.

Zvijezde su ta?ne. Na?a petokraka zvijezda je pravilna petougaona zvijezda. A ako zarotirate kvadrat oko centra za 45 0, dobit ?ete pravilnu osmougaonu zvijezdu.

1 grupa

?ta je isprekidana linija? Objasnite ?ta su vrhovi i veze polilinije.

Koja izlomljena linija se zove jednostavna?

Koja izlomljena linija se naziva zatvorena?

?ta je poligon? Kako se nazivaju vrhovi poligona? Koje su stranice poligona?

2 grupa

?ta je ravan poligon? Navedite primjere poligona.

?ta je n-gon?

Objasnite koji vrhovi poligona su susjedni, a koji nisu.

Kolika je dijagonala poligona?

3 grupa

?ta je konveksni poligon?

Objasni koji su uglovi poligona vanjski, a koji unutra?nji?

?ta je pravilan poligon? Navedite primjere pravilnih poligona.

4 grupa

Koliki je zbir uglova konveksnog n-ugla? Doka?i to.

U?enici rade s tekstom, tra?e odgovore na postavljena pitanja, nakon ?ega se formiraju stru?ne grupe u kojima se radi na istim pitanjima: u?enici isti?u glavnu stvar, sastavljaju prate?i sa?etak, iznose informacije u jednom od grafi?ke forme. Po zavr?etku rada u?enici se vra?aju u svoje radne grupe.

3. Faza refleksije -

a) ocjenjivanje njihovog znanja, izazov za sljede?i korak znanja;

b) razumijevanje i prisvajanje primljenih informacija.

Prijem: istra?iva?ki rad.

Oblici rada: individualni->par->grupni.

Radne grupe su stru?njaci za odgovore na svaki od dijelova predlo?enih pitanja.

Vra?aju?i se u radnu grupu, ekspert upoznaje ostale ?lanove grupe sa odgovorima na njihova pitanja. U grupi se vr?i razmjena informacija svih ?lanova radne grupe. Tako se u svakoj radnoj grupi, zahvaljuju?i radu stru?njaka, formira op?ta ideja o temi koja se prou?ava.

Istra?iva?ki rad u?enika - popunjavanje tabele.

Rje?avanje zanimljivih zadataka na temu lekcije.

• U ?etverokutu nacrtajte liniju tako da je dijeli na tri trokuta.
• Koliko stranica ima pravilan mnogokut, ?iji je svaki unutra?nji ugao jednak 135 0 ?
• U odre?enom poligonu svi unutra?nji uglovi su me?usobno jednaki. Mo?e li zbir unutra?njih uglova ovog poligona biti: 360 0 , 380 0 ?

Sumiranje lekcije. Snimanje doma?e zada?e.

Tema: "Poligoni. Vrste poligona"

9. razred

SL №20

Nastavnik: Kharitonovich T.I. Svrha lekcije: prou?avanje tipova poligona.

Zadatak u?enja: a?urirati, pro?iriti i generalizirati znanja u?enika o poligonima; formiraju ideju o "komponentama" poligona; provesti studiju broja sastavnih elemenata pravilnih poligona (od trougla do n-ugla);

Razvojni zadatak: razvijati sposobnost analize, upore?ivanja, zaklju?ivanja, razvijati ra?unske sposobnosti, usmeni i pismeni matemati?ki govor, pam?enje, kao i samostalnost u razmi?ljanju i aktivnostima u?enja, sposobnost rada u parovima i grupama; razvijati istra?iva?ke i obrazovne aktivnosti;

Edukativni zadatak: negovati samostalnost, aktivnost, odgovornost za postavljeni zadatak, istrajnost u postizanju cilja.

Oprema: interaktivna tabla (prezentacija)

Tokom nastave

Prika?i prezentaciju: "Poligoni"

“Priroda govori jezikom matematike, slova ovog jezika... matemati?ke figure.” G. Gallilei

Na po?etku ?asa razred se dijeli u radne grupe (u na?em slu?aju podjela u 3 grupe)

1. Faza poziva-

a) a?uriranje znanja u?enika o temi;

b) bu?enje interesovanja za temu koja se prou?ava, motivacija svakog u?enika za aktivnosti u?enja.

Prijem: Igra "Vjeruje? li da...", organizacija rada sa tekstom.

Oblici rada: frontalni, grupni.

“Vjeruje? li da…”

1. ... rije? "poligon" ozna?ava da sve figure ove porodice imaju "mnogo uglova"?

2. … da li trokut pripada velikoj porodici poligona koji se razlikuju od raznih geometrijskih oblika na ravni?

3. …da li je kvadrat pravilan osmougao (?etiri stranice + ?etiri ugla)?

Danas ?emo u lekciji govoriti o poligonima. Saznajemo da je ova figura ograni?ena zatvorenom izlomljenom linijom, koja zauzvrat mo?e biti jednostavna, zatvorena. Hajde da pri?amo o tome da su poligoni ravni, pravilni, konveksni. Jedan od ravnih poligona je trougao koji vam je ve? dugo poznat (u?enicima mo?ete pokazati postere koji prikazuju poligone, isprekidanu liniju, prikazati njihove razli?ite vrste, mo?ete koristiti i TCO).

2. Faza razumijevanja

Svrha: dobivanje novih informacija, njihovo razumijevanje, odabir.

Prijem: cik-cak.

Oblici rada: individualni->par->grupni.

Svaka grupa dobija tekst na temu nastavnog ?asa, a tekst je osmi?ljen tako da sadr?i kako informacije ve? poznate u?enicima, tako i potpuno nove informacije. Uz tekst u?enici dobijaju pitanja na koja odgovore moraju prona?i u ovom tekstu.

Poligoni. Vrste poligona.

Ko nije ?uo za misteriozni Bermudski trougao, gdje brodovi i avioni nestaju bez traga? Ali trokut koji nam je poznat iz djetinjstva prepun je mnogo zanimljivih i misterioznih stvari.

Pored nama ve? poznatih tipova trokuta, podijeljenih stranicama (skalen, jednakokraki, jednakostrani?ni) i uglovima (o?tri, tupokutni, pravokutni), trokut pripada velikoj porodici poligona, koji se razlikuju me?u mnogo razli?itih geometrijskih oblika na ravni.

Rije? "poligon" ozna?ava da sve figure ove porodice imaju "mnogo uglova". Ali to nije dovoljno za karakterizaciju figure.

Izlomljena linija A1A2…An je figura koja se sastoji od ta?aka A1,A2,…An i odsje?aka A1A2, A2A3,… koji ih spajaju. Ta?ke se nazivaju vrhovi polilinije, a segmenti karike polilinije. (SLIKA 1)

Izlomljena linija se naziva jednostavnom ako nema samopresecanja (sl. 2,3).

Izlomljena linija naziva se zatvorena ako joj se krajevi poklapaju. Du?ina isprekidane linije je zbir du?ina njenih karika (slika 4)

Prosta zatvorena izlomljena linija naziva se poligon ako njene susjedne veze ne le?e na istoj pravoj liniji (slika 5).

Zamenite u re? „poligon” umesto dela „mnogo” odre?eni broj, na primer 3. Dobi?ete trougao. Ili 5. Zatim - pentagon. Imajte na umu da uglova ima koliko i stranica, pa bi se ove figure mogle nazvati multilateralnim.

Vrhovi polilinije nazivaju se vrhovi poligona, a veze polilinije se nazivaju stranice poligona.

Poligon deli ravan na dva regiona: unutra?nju i spolja?nju (slika 6).

Ravan poligon ili poligonalna regija je kona?ni dio ravni ome?en poligonom.

Dva vrha poligona koji su krajevi iste stranice nazivaju se susjedima. Vrhovi koji nisu krajevi jedne strane su nesusedni.

Poligon sa n vrhova i stoga n stranica naziva se n-ugao.

Iako je najmanji broj stranica poligona 3. Ali trokuti, spajaju?i se jedan s drugim, mogu formirati druge oblike, koji su zauzvrat tako?er poligoni.

Segmenti koji povezuju nesusedne vrhove poligona nazivaju se dijagonale.

Poligon se naziva konveksan ako le?i u jednoj poluravni u odnosu na bilo koju liniju koja sadr?i njegovu stranu. U ovom slu?aju, smatra se da sama linija pripada POLUPANINI

Ugao konveksnog poligona u datom vrhu je ugao koji formiraju njegove strane koje konvergiraju u tom vrhu.

Doka?imo teoremu (o zbiru uglova konveksnog n-ugla): Zbir uglova konveksnog n-ugla je jednak 1800*(n - 2).

Dokaz. U slu?aju n=3 teorema je va?e?a. Neka je A1A2…A n dati konveksni poligon i n>3. Nacrtajmo dijagonale u njemu (iz jednog vrha). Kako je poligon konveksan, ove dijagonale ga dijele na n - 2 trougla. Zbir uglova poligona je isti kao i zbir uglova svih ovih trouglova. Zbir uglova svakog trougla je 1800, a broj ovih trouglova je n - 2. Dakle, zbir uglova konveksnog n - ugla A1A2 ... A n je 1800 * (n - 2). Teorema je dokazana.

Vanjski ugao konveksnog poligona u datom vrhu je ugao koji grani?i sa unutra?njim uglom poligona u tom vrhu.

Konveksni poligon se naziva regularnim ako su sve stranice jednake i svi uglovi jednaki.

Dakle, kvadrat se mo?e nazvati druga?ije - pravilan ?etverougao. Jednakostrani?ni trouglovi su tako?e pravilni. Takve figure ve? dugo zanimaju majstore koji su ukra?avali zgrade. Napravili su prekrasne ?are, na primjer, na parketu. Ali ne mogu se svi pravilni poligoni koristiti za formiranje parketa. Parket se ne mo?e formirati od pravilnih osmougaonika. ?injenica je da svaki njihov ugao ima jednak 1350. A ako je bilo koja ta?ka vrh dva takva osmougla, onda ?e imati 2700, a tre?i osmougao nema gdje da stane: 3600 - 2700 = 900. Ali za kvadrat ovo je dovoljno. Stoga je mogu?e presavijati parket od pravilnih osmougaonika i kvadrata.

Zvijezde su ta?ne. Na?a petokraka zvijezda je pravilna petougaona zvijezda. A ako zarotirate kvadrat oko centra za 450, dobit ?ete pravilnu osmougaonu zvijezdu.

?ta je isprekidana linija? Objasnite ?ta su vrhovi i veze polilinije.

Koja izlomljena linija se zove jednostavna?

Koja izlomljena linija se naziva zatvorena?

?ta je poligon? Kako se nazivaju vrhovi poligona? Koje su stranice poligona?

?ta je ravan poligon? Navedite primjere poligona.

?ta je n-gon?

Objasnite koji vrhovi poligona su susjedni, a koji nisu.

Kolika je dijagonala poligona?

?ta je konveksni poligon?

Objasni koji su uglovi poligona vanjski, a koji unutra?nji?

?ta je pravilan poligon? Navedite primjere pravilnih poligona.

Koliki je zbir uglova konveksnog n-ugla? Doka?i to.

U?enici rade s tekstom, tra?e odgovore na postavljena pitanja, nakon ?ega se formiraju stru?ne grupe u kojima se radi na istim pitanjima: u?enici isti?u glavnu stvar, sastavljaju prate?i sa?etak, iznose informacije u jednom od grafi?ke forme. Po zavr?etku rada u?enici se vra?aju u svoje radne grupe.

3. Faza refleksije -

a) ocjenjivanje njihovog znanja, izazov za sljede?i korak znanja;

b) razumijevanje i prisvajanje primljenih informacija.

Prijem: istra?iva?ki rad.

Oblici rada: individualni->par->grupni.

Radne grupe su stru?njaci za odgovore na svaki od dijelova predlo?enih pitanja.

Vra?aju?i se u radnu grupu, ekspert upoznaje ostale ?lanove grupe sa odgovorima na njihova pitanja. U grupi se vr?i razmjena informacija svih ?lanova radne grupe. Tako se u svakoj radnoj grupi, zahvaljuju?i radu stru?njaka, formira op?ta ideja o temi koja se prou?ava.

Istra?iva?ki rad studenata- popunjavanje tabele.

Pravilni poligoni Crte? Broj strana Broj vrhova Zbir svih unutra?njih uglova Stepen mere unutra?njeg. ugao Stepen mjera vanjskog ugla Broj dijagonala

A) trougao

B) ?etvorougao

B) sa pet rupa

D) heksagon

E) n-ugao

Rje?avanje zanimljivih zadataka na temu lekcije.

1) Koliko stranica ima pravilan mnogougao, ?iji je svaki unutra?nji ugao jednak 1350?

2) U odre?enom poligonu svi unutra?nji uglovi su me?usobno jednaki. Mo?e li zbir unutra?njih uglova ovog poligona biti: 3600, 3800?

3) Da li je mogu?e izgraditi pentagon sa uglovima od 100,103,110,110,116 stepeni?

Sumiranje lekcije.

Snimanje doma?eg zadatka: STR66-72 br. 15,17 I ZADATAK: U ?ETVRTOKUGAONU NACRTAJ DIREKT TAKO DA GA PODELI NA TRI TROUGLA.

Refleksija u obliku testova (na interaktivnoj tabli)

Re?nik medicinskih termina

Obja?njavaju?i re?nik ruskog jezika. D.N. Ushakov

poligon

poligon, m. (mat.). Ravna figura ome?ena trima, ?etirima itd. pravim linijama.

Obja?njavaju?i re?nik ruskog jezika. S.I.Ozhegov, N.Yu.Shvedova.

poligon

A, m. U matematici: geometrijska figura ome?ena zatvorenom izlomljenom linijom.

Novi obja?njavaju?i i derivacioni re?nik ruskog jezika, T. F. Efremova.

poligon

m. Geometrijska figura ome?ena zatvorenom isprekidanom linijom, ?ije veze ?ine vi?e od ?etiri ugla.

Enciklopedijski re?nik, 1998

poligon

POLIGON (na ravni) geometrijska figura ome?ena zatvorenom izlomljenom linijom, ?ije se karike nazivaju stranice poligona, a njihovi krajevi su vrhovi poligona. Po broju vrhova razlikuju se trouglovi, ?etvorouglovi itd. Poligon se naziva konveksan ako u potpunosti le?i na jednoj strani prave linije koja nosi bilo koju od svojih strana, a ina?e nije konveksan. Poligon se naziva pravilnim ako su mu sve stranice i uglovi jednaki.

Poligon

zatvorena izlomljena linija. Detaljnije, M. ? prava koja se dobija ako uzmemo n bilo kojih ta?aka A1, A2, ..., An i svaku od njih pove?emo sa slede?om ravnim segmentom, a poslednju ? sa prvom (vidi sl. pirina?. jedan, a). Ta?ke A1, A2, ..., An nazivaju se vrhovima M., a segmenti A1A2, A2A3, ..., An-1An, AnA1 ? njegove stranice. U nastavku se razmatraju samo ravni M. (tj. pretpostavlja se da M. le?i u jednoj ravni). M. mo?e da se prekrsti (vidi. pirina?. jedan, b), a ta?ke samopresecanja mo?da nisu njegovi vrhovi.

Postoje i druge ta?ke gledi?ta o tome ?ta treba uzeti u obzir M. Poligon se mo?e nazvati povezanim dijelom ravnine, ?ija se cijela granica sastoji od kona?nog broja pravih segmenata, koji se nazivaju stranicama poligona. Masa u ovom smislu mo?e biti i vi?estruko povezani dio ravni (vidi sl. pirina?. jedan, d), tj. takav M. mo?e imati „poligonalne rupe“. Tako?er razmatramo beskona?no M. ? dijelove ravnine ograni?ene kona?nim brojem pravolinijskih segmenata i kona?nim brojem poluprava.

Dalje predstavljanje se zasniva na prvoj definiciji M. datoj gore. Ako se M. ne sije?e (vidi, na primjer, pirina?. jedan, a i b), onda dijeli skup svih ta?aka ravnine koje ne le?e na njoj na dva dijela ? kona?an (unutra?nji) i beskona?an (vanjski) u smislu da ako dvije ta?ke pripadaju jednom od ovih dijelova, onda se mogu me?usobno povezati izlomljenom linijom koja ne sije?e M., a ako su razli?iti dijelovi, onda je to nemogu?e. Uprkos savr?enom dokazu ove okolnosti, njeno rigorozno izvo?enje iz aksioma geometrije je prili?no te?ko (tzv. Jordanova teorema za matematiku). Unutra?nji dio ravni u odnosu na M. ima odre?enu povr?inu. Ako je masa samopresecana, tada ona se?e ravan na odre?eni broj delova, od kojih je jedan beskona?an (koji se naziva spolja?nji u odnosu na masu), a ostali su kona?ni, jednostavno povezani (zvani unutra?nji), a granica svake od njih je neka masa koja se sama ne sije?e, na ?ijim stranicama postoje cijele stranice ili dijelovi stranica, a vrhovi su vrhovi ili to?ke samopresjeka datog M. Ako zadamo pravac svaka strana M., tj. nazna?iti koji od dva vrha koji ga definiraju smatrat ?emo ga po?etkom, a koji ? krajem, i ?tavi?e, na na?in da po?etak svake strane bude kraj prethodne jedan, tada se dobije zatvorena poligonalna putanja, ili orijentisana M. ostaje lijevo od one koja slijedi ovu putanju, a negativna ? ina?e. Neka je M. samopresecan i orijentisan; ako iz ta?ke koja le?i u vanjskom dijelu ravni u odnosu na nju, povu?i odsje?ak prave do ta?ke koja le?i unutar jednog od njenih unutra?njih dijelova, a M. sije?e ovaj segment p puta slijeva nadesno i q puta s desna lijevo, tada broj p ? q (cijelobrojan pozitivan, negativan ili nula) ne ovisi o izboru vanjske ta?ke i naziva se koeficijent ovog komada. Zbir uobi?ajenih povr?ina ovih komada, pomno?en njihovim koeficijentima, smatra se "povr?inom" zatvorene putanje koja se razmatra (orijentisana M.). Ovako definisana "podru?je zatvorene staze" igra va?nu ulogu u teoriji matemati?kih instrumenata (planimetar, itd.); tamo se obi?no dobija u obliku integrala ? (u polarnim koordinatama r, w) ili ? (u Dekartovim koordinatama x, y), pri ?emu kraj radijus vektora r ili ordinata y jednom obi?e ovu putanju.

Zbir unutra?njih uglova bilo kojeg M. koji se ne sije?e sa n strana jednak je (n ? 2)180?. M. se naziva konveksna (vidi. pirina?. jedan, a) ako nijedna strana M., budu?i da je neograni?eno produ?ena, ne sije?e M. na dva dijela. Konveksno M. se tako?e mo?e okarakterisati slede?im svojstvom: pravi segment koji povezuje bilo koje dve ta?ke ravni koje le?e unutar M. ne se?e M. Bilo koji konveksan M. je samodisjunktan, ali ne i obrnuto. Na primjer, na pirina?. jedan, b prikazuje M. koje se ne sije?e, koje nije konveksno, jer segment PQ, povezuju?i neke od njegovih unutra?njih ta?aka, sije?e M.

Najva?niji M.: trouglovi, posebno pravougaoni, jednakokraki, jednakostrani?ni (pravilni); ?etverouglovi, posebno trapezi, paralelogrami, rombovi, pravokutnici, kvadrati. Konveksno M. naziva se regularno ako su mu sve stranice jednake i svi unutra?nji uglovi jednaki. U stara vremena, znali su kako da sagrade ispravan M. na strani ili polupre?niku opisane kru?nice koriste?i ?estar i lenjir samo ako je broj M. strana m = 3 ? 2n, 4 ? 2n, 5 ? 2n , 3 ? 5 ? 2n, gdje je n ? bilo koji pozitivan broj ili nula. Njema?ki matemati?ar K. Gauss je 1801. godine pokazao da je mogu?e konstruirati ispravan M. koriste?i ?estar i ravnalicu kada je broj njegovih stranica: m = 2n ? p1 ? p2 ? ... ? pk, gdje je p1 , p2, ... pk ? razli?iti prosti brojevi oblika ?(s ? pozitivan cijeli broj). Do sada je poznato samo pet takvih p: 3, 5, 17, 257, 65537. Iz Galoisove teorije (vidi Galoisovu teoriju) proizilazi da se nikakvi drugi pravilni metri, osim onih koje je pokazao Gauss, ne mogu konstruirati pomo?u kompasa. i ravnalo. Dakle, konstrukcija je mogu?a sa m = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15 16, 17, 20, 24, 32, 34, ... a nemogu?a sa m = 7, 9, 11 , 13 , 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, ...

Tabela ispod prikazuje polupre?nik opisane kru?nice, polupre?nik upisane kru?nice i povr?inu pravilnog n-ugla (za n = 3, 4, 5, 6, 8, 10) ?ija je stranica jednaka k.

Polupre?nik opisane kru?nice

Radijus upisane kru?nice

Po?ev?i od petougla, postoje i nekonveksni (samopresecaju?i ili zvezdasti) pravilni M., odnosno oni kod kojih su sve strane jednake i svaka slede?a je okrenuta u istom smeru i pod istim uglom sa postovanje prema prethodnom. Svi vrhovi takvog M. tako?er le?e na istoj kru?nici. Takva je, na primjer, zvijezda petokraka. Na pirina?. 2 date su sve regularne (i konveksne i nekonveksne) matrice, od trougla do sedmougla.

Lit. vidi u ?l. Poliedar.

Wikipedia

Poligon

Poligon je geometrijska figura, koja se obi?no definira kao zatvorena izlomljena linija.

Postoje tri razli?ite opcije za definiranje poligona:

• Ravna zatvorena izlomljena linija je najop?tiji slu?aj;
• Ravna zatvorena poligonalna linija bez samopresecanja, ?ije dve susedne karike ne le?e na istoj pravoj liniji;
• Dio ravnine ome?en zatvorenom polilinijom bez samosjecanja - ravni poligon

U svakom slu?aju, vrhovi polilinije se pozivaju vrhovi poligon, i njegovi segmenti - stranke poligon.

Poligon (vi?ezna?na odrednica)

• Poligon u geometriji
• Kameni poligon u permafrostu

Primjeri upotrebe rije?i poligon u literaturi.

Gilmanu je ?ak bilo drago ?to je uronio u sumorni ponor uz uobi?ajenu prigu?enu graju, iako je ?ak i tamo trajala uporna potjera za dva stvorenja koja su izgledala kao nakupina ?arenih mjehuri?a i malog poligon sa stranama koje su se mijenjale kao u kaleidoskopu, izazvalo je posebno akutan osje?aj prijetnje i neobi?no dosadno.

Tmurni, urlaju?i ponori -- zeleni kameni obronci -- terasa koja blista svim duginim bojama -- privla?nost nepoznatih planeta -- crna spirala etra -- crni ?ovek -- prljava traka i ?kripe stepenice -- stara ?arobnica i mali ?upavi stvorenje sa dugim o?njacima -- s plikovim i malim poligon— ?udna opekotina od sunca — rane na ruci — ne?to malo i bezobli?no u rukama starice — noge prekrivene blatom — bajke i strahovi sujevernih stranaca — ?ta je sve ovo kona?no zna?ilo?

Mogu li napraviti pravougaoni okvir za tekst poligon u obliku zvezde?

Poliedar ?ija je osnova poligon, a preostala lica su trouglovi sa zajedni?kim vrhom.

Shodno tome, bilo je potrebno nazna?iti gdje i kako ta?no rasporediti rezerve u zapadnom pravcu, a nepravilno oblikovane poligon Kalinjinov front.

Pred vama - ona pogre?na, koja je naglo krenula na sjever poligon pod nazivom Mand?urija.

Ako je grafi?ki okvir ovalan ili poligon

Ako je okvir teksta ovalan ili poligon, tada ova opcija postaje nedostupna.

Uzimaju se tri ili vi?e predmeta iste mase, postavljeni u vrhove jednakostranice poligon i ubrzavaju do iste ugaone brzine u odnosu na centar njihove ukupne mase.

Gotovo protiv svoje volje, vinuo se preko sumra?nog ponora, prate?i gomilu prelivaju?ih mehuri?a i malog poligon kada je primetio da ivice d?inovskih prizmi koje su bile udaljene od njega formiraju iznena?uju?e pravilne uglove koji se ponavljaju.

Glatko, djevi?ansko, bijelo, na nekim mjestima izobli?eno pokretima, sli?no bezbrojnim poligoni obrubljen crnim prugama otvorene vode.

Oh, da vidim Argusovim okom poligoni koralja i vlakana utkanih u fasete i unutra?njost vlakana.

Ovo su vjetrom ugla?eni glineni takyri, ispucani u bezbroj poligoni glatka kao klizali?te, tvrda kao beton.

Evo fontane fali?ke forme koja se videla ili ispod svoda, ili ispod trijema, sa Neptunom koji stoji na delfinu, kapija sa stubovima nalik na asirske, i opet luk neodre?enog oblika, ne?to kao gomila trouglova i poligoni, a na vrhu svake od njih bila je krunisana figurica ?ivotinje - losa, majmuna, lava.

Slike se mogu nalaziti ne samo u pravokutnim grafi?kim okvirima, ve? iu modificiranim poligoni i ovalne.

U toku geometrije prou?avamo svojstva geo-met-ri-che-sky figura i ve? smo pogledali najjednostavnije od njih: trokutasti-ni-ki i okolinu. Istovremeno, raspravljamo o tome da li i konkretni slu?ajevi ovih figura, kao ?to su pravougaoni, jednako-siroma?ni-ren i pravougli trokut-no-ki. Sada je vrijeme da pri?amo o op?tijim i slo?enijim fi-gu-rah - mnogo-uglja-ne-kah.

Sa privatnim slu?ajem mnogo-uglja-ni-kov ve? znamo - ovo je trougao (vidi sliku 1).

Rice. 1. Trougao-nick

U samom nazivu je ve? ispod-cher-ki-va-et-sya da je fi-gu-ra, neko ima tri ugla. Pored-va-tel-ali, u puno uglja mo?e ih biti mnogo, tj. vi?e od tri. Na primjer, slika peterokutnog nicka (vidi sliku 2), tj. fi-gu-ru sa pet uglova-la-mi.

Rice. 2. Five-coal-nick. Vi-daleko-li-vi?e-ugljen-nadimak

Definicija.Poligon- fi-gu-ra, koji se sastoji od nekoliko ta?aka (vi?e od dvije) i odgovara odgovoru na kov, neko ih je nakon-to-va-tel-ali kombinira-ed-nya-yut. Ove ta?ke su on-zy-va-yut-sya top-shi-on-mi puno uglja-no-ka, ali od-se?e - sto-ro-na-mi. U isto vrijeme, dvije susjedne strane ne le?e na istoj pravoj liniji i dvije nesusjedne strane se ne re-se-ka-yut-sya.

Definicija.Desno naprijed vi?estruki nadimak- ovo je konveksni poli-ugalj-nick, za nekoga-ro-go sve strane i uglovi su jednaki.

Bilo koji poligon de-la-et ravan na dva regiona: unutra?nju i spolja?nju. Unutra?nje podru?je je tako?er od-no-syat do puno uglja.

Drugim rije?ima, na primjer, kada se govori o pet-coal-ni-ke, misli se i na ?itav njen unutra?nji region i na grani?ni tsu. A do unutra?njeg-ren-it regiona od-no-syat-sya i svih ta?aka, neki-ra? le?e unutar puno-uglja-no-ka, tj. ta?ka je tako?e od-ali-sjedi-Xia do pet-uglja-no-ku (vidi sliku 2).

Mnogo-uglja-no-ki se jo? ponekad naziva n-ugalj-no-ka-mi, kako bi se naglasilo da je to uobi?ajen slu?aj-?aj na-ne?to-nepoznatog-od- -broj uglova (n komada).

Definicija. Pe-ri-metar mnogo-uglja-no-ka- zbir du?ina stranica vi?eslojnog uglja-no-ka.

Sada morate znati-da-znati sa pogledima mnogo-uglja-no-kov. Oni de-lyat-xia na ti glomazan i nije glomazan. Na primjer, poli-ugljen nick, prikazan na Sl. 2, is-la-et-sya you-bump-ly, a na Sl. 3 non-bunch-lym.

Rice. 3. Nekonveksni poli-ugalj-nick

2. Konveksni i nekonveksni poligoni

Definiranje lesa 1. Poligon na-zy-va-et-sya ti prdi?, ako je kada je pro-ve-de-nii direktan kroz bilo koju od svojih strana, cjelina poligon nalazi se samo sto-ro-bunar od ove prave linije. Nevy-puk-ly-mi yav-la-yut-sya sve ostalo puno uglja.

Lako je zamisliti da kada pro?irite bilo koju stranu petouglja-no-ka na Sl. 2 on je sav ok-zhet-sya sto-ro-bunar iz ovog ravnog rudnika, tj. on je ispup?en. Ali kada je pro-ve-de-nii ravno u ?etiri-you-rech-coal-no-ke na Sl. 3, ve? vidimo da ga ona dijeli na dva dijela, tj. on nije glomazan.

Ali postoji jo? jedan def-de-le-nie you-pump-lo-sti a lot-of-coal-no-ka.

Opr?-de-le-nie 2. Poligon na-zy-va-et-sya ti prdi?, ako kada odaberete bilo koje dvije njegove unutra?nje to?ke i kada ih pove?ete sa usjeka, sve to?ke iz usjeka su tako?er unutra?nje -no-mi point-ka-mi much-coal-no-ka.

Demonstracija upotrebe ove definicije de-lecije mo?e se vidjeti na primjeru izgradnje iz rezova na Sl. 2 i 3.

Definicija. Dia-go-na-lew mnogo-uglja-no-ka-za-va-et-sya bilo koji od-re-zok, spajaju?i dva, a ne spajaju?i njegove vrhove.

3. Teorema o zbiru unutra?njih uglova konveksnog n-ugla

Da bismo opisali svojstva poligona, postoje dvije va?ne teorije o njihovim uglovima: teo-re-ma o zbiru unutra?njih uglova vi-gomila-lo-go-mnogo-uglja-no-ka i teo-re-ma o zbiru vanjskih uglova. Pogledajmo ih.

Teorema. Na zbir unutra?njih uglova vi-beam-lo-go-many-coal-no-ka (n-ugalj-no-ka).

Gdje je broj njegovih uglova (strana).

Do-for-tel-stvo 1. Slika-ra-zima na Sl. 4 konveksan n-ugao-nadimak.

Rice. 4. You-bump-ly n-angle-nick

Sa vrha pro-mi-dem sve mogu?e dija-go-on-bilo. Oni dijele n-ugao-nick na trougao-no-ka, jer svaka od strana je vi?estruki ugalj-no-ka-ra-zu-et trougao-nick, osim stranica koje se nalaze uz vrh gume. Lako je vidjeti iz ri-sun-ku da ?e zbir uglova svih ovih trouglova biti ta?no jednak zbiru unutra?njih uglova n-ugla-ni-ka. Budu?i da je zbir uglova bilo kojeg trokuta-no-ka -, onda je zbir unutra?njih uglova n-ugla-no-ka:

Do-ka-za-tel-stvo 2. Mogu?e je i jo? jedno do-ka-za-tel-stvo ovog teo-re-mi. Slika analognog n-ugla na sl. 5 i pove?ite bilo koju njegovu unutra?nju ta?ku sa svim vrhovima.

Mi-be-chi-da li raz-bi-e-ne n-ugao-no-ka na n trougao-ni-kov (koliko strana, toliko trouglova-ni-kov ). Zbir svih njihovih uglova jednak je zbiru unutra?njih uglova multi-uglja-none i zbiru uglova u unutra?njoj ta?ki, a to je ugao. Imamo:

Q.E.D.

Prije-za-ali.

Prema do-ka-zan-noy teo-re-me, jasno je da zbir uglova n-coal-no-ka zavisi od broja njegovih stranica (od n). Na primjer, u trokutu-ne-ke, i zbir uglova. U ?etiri-vi-reh-ugalj-ni-ke, i zbir uglova - itd.

4. Teorema o zbiru vanjskih uglova konveksnog n-ugla

Teorema. O zbiru vanjskih uglova vi-beam-lo-go-many-coal-no-ka (n-ugalj-no-ka).

Gdje je broj njegovih uglova (strana), a, ..., su vanjski uglovi.

Dokaz. Slika-ra-zim konveksni n-ugao-nick na Sl. 6 i ozna?avaju njegove unutra?nje i vanjske uglove.

Rice. 6. Vi ste konveksni n-ugalj-nick sa oznakom vanjski-ni-uglovi-la-mi

Jer vanjski ugao je spojen sa unutra?njim uglom kao susjedni, onda je analogno za ostale vanjske uglove. onda:

U toku pre-ob-ra-zo-va-niy, koristili smo-zo-va-lagali smo ve? to-ka-zan-my theo-re-mine o zbiru unutra?njih uglova n-ugla-no-ka .

Prije-za-ali.

Iz pre-ka-zan-noy theo-re-slijedimo in-te-res-ny ?injenicu da je zbir vanjskih uglova konveksnog-lo-th n-ugla-no-ka jednak od ko -li-che- njegovih uglova (strana). Usput, ovisno o zbroju unutra?njih uglova.

Nadalje, radit ?emo vi?e frakcijski s posebnim slu?ajem puno uglja-no-kov - che-you-rekh-coal-no-ka-mi. U sljede?oj lekciji ?emo upoznati takav fi-gu-roj kao ?to je par-ral-le-lo-gram i razgovarati o njegovim svojstvima.

IZVOR

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2

http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-class

https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144