Neka je dat sistem linearnih algebarskih jednad?bi, koji se moraju rije?iti (na?i takve vrijednosti nepoznanica hi da svaku jedna?inu sistema pretvaraju u jednakost).

Znamo da sistem linearnih algebarskih jednad?bi mo?e:

1) Nemati rje?enja (biti nekompatibilno).
2) Imati beskona?no mnogo rje?enja.
3) Imati jedinstveno rje?enje.

Kao ?to se sje?amo, Cramerovo pravilo i matri?na metoda su neprikladni u slu?ajevima kada sistem ima beskona?no mnogo rje?enja ili je nekonzistentan. Gaussova metoda – najmo?niji i najsvestraniji alat za pronala?enje rje?enja za bilo koji sistem linearnih jedna?ina, ?to je u svakom slu?aju dovedi nas do odgovora! Algoritam metode u sva tri slu?aja radi na isti na?in. Ako Cramer i matri?ne metode zahtijevaju poznavanje determinanti, onda primjena Gaussove metode zahtijeva poznavanje samo aritmeti?kih operacija, ?to je ?ini dostupnom ?ak i u?enicima osnovnih ?kola.

Pro?irene matri?ne transformacije ( ovo je matrica sistema - matrica sastavljena samo od koeficijenata nepoznatih, plus kolona slobodnih termina) sistemi linearnih algebarskih jednad?bi u Gaussovom metodu:

1) With troky matrice mogu preurediti mjesta.

2) ako postoje (ili postoje) proporcionalni (kao poseban slu?aj - identi?ni) redovi u matrici, onda slijedi izbrisati iz matrice, svi ovi redovi osim jednog.

3) ako se nulti red pojavio u matrici tokom transformacija, onda i on slijedi izbrisati.

4) red matrice mo?e pomno?iti (podijeliti) na bilo koji broj osim nule.

5) do reda matrice, mo?ete dodajte jo? jedan niz pomno?en brojem, razli?ito od nule.

U Gauss metodi, elementarne transformacije ne mijenjaju rje?enje sistema jedna?ina.

Gaussova metoda se sastoji od dvije faze:

1. "Direktan potez" - koriste?i elementarne transformacije, dovedite pro?irenu matricu sistema linearnih algebarskih jednad?bi u "trokutasti" stepenasti oblik: elementi pro?irene matrice koji se nalaze ispod glavne dijagonale jednaki su nuli (pomak odozgo prema dolje ). Na primjer, na ovu vrstu:

Da biste to u?inili, izvr?ite sljede?e korake:

1) Razmotrimo prvu jedna?inu sistema linearnih algebarskih jedna?ina i koeficijent na x 1 je jednak K. Druga, tre?a itd. transformiramo jednad?be na sljede?i na?in: svaku jedna?inu (koeficijente za nepoznate, uklju?uju?i slobodne ?lanove) podijelimo sa koeficijentom za nepoznato x 1, koji se nalazi u svakoj jednad?bi, i pomno?imo sa K. Nakon toga, oduzmimo prvu od druge jedna?ine ( koeficijenti za nepoznate i slobodne termine). Kod x 1 u drugoj jedna?ini dobijamo koeficijent 0. Od tre?e transformisane jedna?ine oduzimamo prvu, tako da sve jedna?ine osim prve, sa nepoznatim x 1, ne?e imati koeficijent 0.

2) Prije?ite na sljede?u jedna?inu. Neka je ovo druga jednad?ba i koeficijent na x 2 je jednak M. Sa svim "podre?enim" jednad?bama nastavljamo kako je gore opisano. Dakle, "ispod" nepoznatog x 2 u svim jedna?inama ?e biti nule.

3) Prelazimo na sljede?u jedna?inu i tako sve dok ne ostane posljednji nepoznati i transformirani slobodni ?lan.

1. "Obrnuti potez" Gaussove metode je dobivanje rje?enja za sistem linearnih algebarskih jedna?ina (pomak "odozdo prema gore"). Iz posljednje "ni?e" jedna?ine dobijamo jedno prvo rje?enje - nepoznato x n. Da bismo to u?inili, rje?avamo elementarnu jednad?bu A * x n = B. U gornjem primjeru, x 3 = 4. Prona?enu vrijednost zamjenjujemo u „gornju“ sljede?u jedna?inu i rje?avamo je u odnosu na sljede?u nepoznatu. Na primjer, x 2 - 4 \u003d 1, tj. x 2 \u003d 5. I tako dalje dok ne prona?emo sve nepoznanice.

Primjer.

Sistem linearnih jednad?bi rje?avamo Gaussovom metodom, kako savjetuju neki autori:

Pi?emo pro?irenu matricu sistema i, koriste?i elementarne transformacije, dovodimo je do oblika koraka:

Gledamo gornji levi "stupak". Tamo bi trebali imati jedinicu. Problem je ?to ih u prvoj koloni uop?te nema, pa se preure?ivanjem redova ni?ta ne mo?e rije?iti. U takvim slu?ajevima, jedinica mora biti organizirana pomo?u elementarne transformacije. To se obi?no mo?e u?initi na nekoliko na?ina. Uradimo to ovako:
1 korak . Prvom redu dodajemo drugi red, pomno?en sa -1. Odnosno, mentalno smo pomno?ili drugi red sa -1 i izvr?ili sabiranje prvog i drugog reda, dok se drugi red nije promijenio.

Sada gore lijevo "minus jedan", ?to nam savr?eno odgovara. Ko ?eli dobiti +1 mo?e izvr?iti dodatnu radnju: pomno?iti prvi red sa -1 (promijeniti njegov predznak).

2 korak . Prvi red pomno?en sa 5 dodat je drugom redu, a prvi red pomno?en sa 3 dodan je tre?em redu.

3 korak . Prvi red je pomno?en sa -1, u principu, ovo je za lepotu. Predznak tre?eg reda je tako?er promijenjen i pomjeren na drugo mjesto, tako da smo na drugom “korak” dobili ?eljenu jedinicu.

4 korak . Tre?em redu dodajte drugi red, pomno?en sa 2.

5 koraka . Tre?i red je podeljen sa 3.

Znak koji ukazuje na gre?ku u prora?unima (rje?e gre?ku u kucanju) je „lo?“ krajnji rezultat. Odnosno, ako smo dobili ne?to poput (0 0 11 | 23) ispod, i, shodno tome, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, onda sa velikim stepenom vjerovatno?e mo?emo re?i da je gre?ka napravljena tokom osnovnog transformacije.

Izvodimo obrnuti potez, u dizajnu primjera ?esto se ne prepisuje sam sistem, a jedna?ine se „preuzimaju direktno iz date matrice“. Obrnuti potez, podsje?am, radi "odozdo prema gore". U ovom primjeru poklon se pokazao:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 = 1, dakle x 1 + 3 - 1 = 1, x 1 \u003d -1

Odgovori:x 1 = -1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Re?imo isti sistem koriste?i predlo?eni algoritam. Dobijamo

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Podijelite drugu jedna?inu sa 5, a tre?u sa 3. Dobijamo:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Pomno?imo drugu i tre?u jedna?inu sa 4, dobi?emo:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Oduzmimo prvu jedna?inu od druge i tre?e jedna?ine, imamo:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Podijelite tre?u jedna?inu sa 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Pomno?ite tre?u jedna?inu sa 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Oduzmite drugu jedna?inu od tre?e jedna?ine, dobi?emo „stepenastu“ pro?irenu matricu:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Dakle, budu?i da se gre?ka nakupila u procesu izra?unavanja, dobijamo x 3 = 0,96, ili pribli?no 1.

x 2 = 3 i x 1 = -1.

Rje?avaju?i na ovaj na?in, nikada se ne?ete zbuniti u prora?unima i, uprkos gre?kama u prora?unu, dobit ?ete rezultat.

Ova metoda rje?avanja sistema linearnih algebarskih jedna?ina je lako programibilna i ne uzima u obzir specifi?nosti koeficijenata za nepoznate, jer se u praksi (u ekonomskim i tehni?kim prora?unima) mora raditi sa necjelobrojnim koeficijentima.

?elim vam uspjeh! Vidimo se na ?asu! Tutor Dmitry Aistrakhanov.

stranice, uz potpuno ili djelomi?no kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Obrazovna ustanova „Beloruska dr?ava

Poljoprivredna akademija"

Odsjek za vi?u matematiku

Smjernice

za prou?avanje teme „Gausova metoda za rje?avanje sistema linearnih

Jedna?ine” studenata Ra?unovodstvenog fakulteta dopisnog oblika obrazovanja (NISPO)

Gorki, 2013

Gausova metoda za rje?avanje sistema linearnih jedna?ina

Ekvivalentni sistemi jedna?ina

Dva sistema linearnih jednad?bi nazivaju se ekvivalentnima ako je svako rje?enje jednog od njih rje?enje drugog. Proces rje?avanja sistema linearnih jedna?ina sastoji se u njegovoj sukcesivnoj transformaciji u ekvivalentan sistem kori?tenjem tzv. elementarne transformacije , koji su:

1) permutacija bilo koje dve jedna?ine sistema;

2) mno?enje oba dela bilo koje jedna?ine sistema brojem koji nije nula;

3) dodavanje bilo kojoj jedna?ini druge jedna?ine, pomno?ene bilo kojim brojem;

4) brisanje jedna?ine koja se sastoji od nula, tj. jedna?ine tipa.

Gaussova eliminacija

Razmotrite sistem m linearne jedna?ine sa n nepoznato:

Su?tina Gaussove metode ili metode sukcesivnog isklju?ivanja nepoznatih je sljede?a.

Prvo, uz pomo? elementarnih transformacija, nepoznata se isklju?uje iz svih jedna?ina sistema, osim iz prve. Takve transformacije sistema se nazivaju Gausov korak eliminacije . Nepoznato se zove rje?avanje varijable na prvom koraku transformacije. Koeficijent se zove faktor rezolucije , naziva se prva jedna?ina rje?avanje jednad?be , i stupac koeficijenata at omogu?i kolonu .

Prilikom izvo?enja jednog koraka Gaussove eliminacije, moraju se koristiti sljede?a pravila:

1) koeficijenti i slobodni ?lan jedna?ine koja se re?ava ostaju nepromenjeni;

2) koeficijenti kolone razlu?ivanja, koja se nalazi ispod koeficijenta razlu?ivanja, okre?u se na nulu;

3) svi ostali koeficijenti i slobodni termini u prvom koraku se ra?unaju po pravilu pravokutnika:

, gdje i=2,3,…,m; j=2,3,…,n.

Sli?ne transformacije izvodimo i na drugoj jedna?ini sistema. Ovo ?e dovesti do sistema u kojem ?e nepoznata biti isklju?ena iz svih jedna?ina, osim u prve dvije. Kao rezultat ovakvih transformacija nad svakom od jedna?ina sistema (direktan tok Gaussove metode), originalni sistem se svodi na ekvivalentni stepenasti sistem jednog od sljede?ih tipova.

Reverzna Gaussova metoda

Step sistem

ima trouglasti oblik i sve (i=1,2,…,n). Takav sistem ima jedinstveno rje?enje. Nepoznate se odre?uju po?ev?i od posljednje jedna?ine (obrnuto od Gaussove metode).

Sistem koraka ima formu

gdje , tj. broj sistemskih jedna?ina je manji ili jednak broju nepoznatih. Ovaj sistem nema rje?enja, jer posljednja jedna?ina ne?e vrijediti ni za jednu vrijednost varijable.

Sistem stepenastog pogleda

ima beskona?an broj rje?enja. Iz posljednje jedna?ine, nepoznato se izra?ava u terminima nepoznanica . Tada se, umjesto nepoznatog, njegov izraz u terminima nepoznatih zamjenjuje u pretposljednju jedna?inu . Nastavljaju?i obrnuti tok Gaussove metode, nepoznanice mo?e se izraziti u terminima nepoznatih . U ovom slu?aju, nepoznato pozvao besplatno i mo?e imati bilo koju vrijednost i nepoznatu osnovni.

Prilikom rje?avanja sistema u praksi, zgodno je sve transformacije izvoditi ne sa sistemom jedna?ina, ve? sa pro?irenom matricom sistema, koja se sastoji od koeficijenata nepoznanica i stupca slobodnih ?lanova.

Primjer 1. Rije?ite sistem jedna?ina

Rje?enje. Hajde da sastavimo pro?irenu matricu sistema i izvr?imo elementarne transformacije:

.

U pro?irenoj matrici sistema, broj 3 (ozna?en) je faktor rezolucije, prvi red je red rezolucije, a prvi stupac je kolona rezolucije. Prilikom prelaska na sljede?u matricu, red za razrje?enje se ne mijenja, svi elementi kolone za razrje?enje ispod elementa za razrje?enje zamjenjuju se nulama. A svi ostali elementi matrice se prera?unavaju prema pravilu ?etverougla. Umjesto elementa 4 u drugom redu pi?emo , umjesto elementa -3 u drugom redu ?e biti napisano itd. Tako ?e se dobiti druga matrica. Ova matrica ?e imati razlu?uju?i element broj 18 u drugom redu. Da bismo formirali sljede?u (tre?u matricu), ostavljamo drugi red nepromijenjen, upisujemo nulu u stupac ispod elementa za razrje?avanje i prera?unavamo preostala dva elementa: umjesto broja 1, pi?emo , a umjesto broja 16 pi?emo .

Kao rezultat toga, originalni sistem je sveden na ekvivalentan sistem

Iz tre?e jedna?ine nalazimo . Zamijenite ovu vrijednost u drugu jedna?inu: y=3. Zamijenite prona?ene vrijednosti u prvu jedna?inu y i z: , x=2.

Dakle, rje?enje ovog sistema jedna?ina je x=2, y=3, .

Primjer 2. Rije?ite sistem jedna?ina

Rje?enje. Izvr?imo elementarne transformacije na pro?irenoj matrici sistema:

U drugoj matrici, svaki element tre?eg reda je podijeljen sa 2.

U ?etvrtoj matrici, svaki element tre?eg i ?etvrtog reda podijeljen je sa 11.

. Rezultiraju?a matrica odgovara sistemu jedna?ina

Rje?avaju?i ovaj sistem, nalazimo , , .

Primjer 3. Rije?ite sistem jedna?ina

Rje?enje. Napi?imo pro?irenu matricu sistema i izvr?imo elementarne transformacije:

.

U drugoj matrici, svaki element drugog, tre?eg i ?etvrtog reda podijeljen je sa 7.

Kao rezultat, sistem jedna?ina

ekvivalentno originalu.

Po?to su dvije jedna?ine manje od nepoznanica, onda iz druge jedna?ine . Zamijenite izraz za u prvu jedna?inu: , .

Dakle formule dati op?te re?enje ovog sistema jedna?ina. Nepoznati su i besplatni su i mogu imati bilo koju vrijednost.

Neka, na primjer, Onda i . Rje?enje je jedno od posebnih rje?enja sistema, kojih ima bezbroj.

Pitanja za samokontrolu znanja

1) Koje transformacije linearnih sistema se nazivaju elementarnim?

2) Koje transformacije sistema se nazivaju Gausovim korakom eliminacije?

3) ?ta je rezoluciona varijabla, rezolucioni faktor, rezoluciona kolona?

4) Koja pravila treba koristiti pri izvo?enju jednog koraka Gausove eliminacije?

Rje?avanje sistema linearnih jednad?bi Gaussovom metodom. Pretpostavimo da moramo prona?i rje?enje za sistem iz n linearne jedna?ine sa n nepoznate varijable
determinanta glavne matrice koja je razli?ita od nule.

Su?tina Gaussove metode sastoji se u sukcesivnom isklju?ivanju nepoznatih varijabli: prvo, the x 1 iz svih jedna?ina sistema, po?ev?i od druge, zatim x2 od svih jedna?ina, po?ev?i od tre?e, i tako dalje, sve dok u posljednjoj jedna?ini ne ostane samo nepoznata varijabla x n. Takav proces transformacije jednad?bi sistema za uzastopno eliminisanje nepoznatih varijabli naziva se direktna Gaussova metoda. Nakon zavr?etka pomjeranja naprijed Gaussove metode, iz posljednje jedna?ine nalazimo x n, pomo?u ove vrijednosti iz pretposljednje jednad?be se izra?unava xn-1, i tako dalje, iz prve jedna?ine se nalazi x 1. Proces izra?unavanja nepoznatih varijabli pri prelasku sa zadnje jednad?be sistema na prvu naziva se reverzna Gaussova metoda.

Hajde da ukratko opi?emo algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.

Pretpostavit ?emo da , budu?i da to uvijek mo?emo posti?i preure?ivanjem jedna?ina sistema. Uklonite nepoznatu varijablu x 1 iz svih jedna?ina sistema, po?ev?i od druge. Da biste to uradili, dodajte prvu jedna?inu pomno?enu sa drugoj jedna?ini sistema, dodajte prvu pomno?enu sa tre?oj jedna?ini, i tako dalje, na n-th dodajte prvu jedna?inu, pomno?enu sa . Sistem jedna?ina nakon takvih transformacija ?e poprimiti oblik

gdje , a .

Do?li bismo do istog rezultata kada bismo se izrazili x 1 kroz druge nepoznate varijable u prvoj jedna?ini sistema i rezultiraju?i izraz je zamijenjen u sve ostale jedna?ine. Dakle, varijabla x 1 isklju?eno iz svih jedna?ina, po?ev?i od druge.

Zatim postupamo sli?no, ali samo s dijelom rezultiraju?eg sistema koji je ozna?en na slici

Da biste to uradili, dodajte drugo pomno?eno sa tre?oj jedna?ini sistema, dodajte drugo pomno?eno sa ?etvrtoj jedna?ini, i tako dalje, na n-th dodajte drugu jedna?inu, pomno?enu sa . Sistem jedna?ina nakon takvih transformacija ?e poprimiti oblik

gdje , a . Dakle, varijabla x2 isklju?eno iz svih jedna?ina, po?ev?i od tre?e.

Zatim prelazimo na eliminaciju nepoznatog x 3, dok sli?no postupamo sa dijelom sistema ozna?enim na slici

Dakle, nastavljamo direktni tok Gaussove metode sve dok sistem ne poprimi oblik

Od ovog trenutka po?injemo obrnutim tokom Gaussove metode: ra?unamo x n iz posljednje jednad?be kao , koriste?i dobivenu vrijednost x n na?i xn-1 iz pretposljednje jednad?be, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prve jedna?ine.

Primjer.

Rije?i sistem linearnih jedna?ina Gaussova metoda.

Ovaj online kalkulator pronalazi rje?enje za sistem linearnih jedna?ina (SLE) koriste?i Gaussovu metodu. Dato je detaljno rje?enje. Da biste izra?unali, odaberite broj varijabli i broj jedna?ina. Zatim unesite podatke u ?elije i kliknite na "Izra?unaj".

x 1 +x2 +x 3 x 1 +x2 +x 3 x 1 +x2 +x 3 = = =

Broj?ani prikaz:

Cijeli brojevi i/ili obi?ni razlomci
Cijeli brojevi i/ili decimale

Broj znamenki nakon decimalnog separatora

x

Upozorenje

Obrisati sve ?elije?

Zatvori Clear

Uputstvo za unos podataka. Brojevi se unose kao cijeli brojevi (primjeri: 487, 5, -7623, itd.), decimalni brojevi (npr. 67., 102.54, itd.) ili razlomci. Razlomak se mora upisati u obliku a/b, gdje su a i b (b>0) cijeli ili decimalni brojevi. Primjeri 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, itd.

Gaussova metoda

Gaussova metoda je metoda tranzicije sa originalnog sistema linearnih jedna?ina (koriste?i ekvivalentne transformacije) na sistem koji je lak?e rije?iti od originalnog sistema.

Ekvivalentne transformacije sistema linearnih jedna?ina su:

• zamena dve jedna?ine u sistemu,
• mno?enje bilo koje jedna?ine u sistemu realnim brojem koji nije nula,
• dodaju?i jednoj jedna?ini drugu jedna?inu pomno?enu proizvoljnim brojem.

Razmotrimo sistem linearnih jedna?ina:

(1)

Sistem (1) zapisujemo u matri?nom obliku:

ax=b

(2)

(3)

A naziva se matrica koeficijenata sistema, b- desna strana ograni?enja, x- vektor varijabli koje treba prona?i. Neka rangira ( A)=str.

Ekvivalentne transformacije ne mijenjaju rang matrice koeficijenata i rang pro?irene matrice sistema. Skup rje?enja sistema se tako?er ne mijenja pod ekvivalentnim transformacijama. Su?tina Gaussove metode je da se donese matrica koeficijenata A dijagonalno ili stepenasto.

Hajde da napravimo pro?irenu matricu sistema:

U slede?oj fazi resetujemo sve elemente kolone 2, ispod elementa. Ako je dati element null, onda se ovaj red zamjenjuje redom koji le?i ispod datog reda i ima element koji nije nula u drugom stupcu. Zatim, nuliramo sve elemente kolone 2 ispod vode?eg elementa a 22. Da biste to u?inili, dodajte redove 3, ... m sa redom 2 pomno?enim sa - a 32 /a 22 , ..., -a m2 / a 22, respektivno. Nastavljaju?i postupak, dobijamo matricu dijagonalnog ili stepenastog oblika. Neka rezultiraju?a pro?irena matrica izgleda ovako:

(7)

Jer rankA=rang(A|b), tada je skup rje?enja (7) ( n-p) je sorta. Shodno tome n-p nepoznate se mogu birati proizvoljno. Preostale nepoznanice iz sistema (7) izra?unavaju se na sljede?i na?in. Iz posljednje jedna?ine koju izra?avamo x p kroz ostale varijable i umetnuti u prethodne izraze. Dalje, iz pretposljednje jedna?ine, izra?avamo x p-1 kroz ostale varijable i ubaciti u prethodne izraze, itd. Razmotrimo Gaussovu metodu na konkretnim primjerima.

Primjeri rje?avanja sistema linearnih jedna?ina Gaussovom metodom

Primjer 1. Na?i op?e rje?enje sistema linearnih jednad?bi Gaussovom metodom:

Ozna?iti sa a ij elementi i-ti red i j-th kolona.

a jedanaest . Da biste to u?inili, dodajte redove 2,3 sa redom 1, pomno?ene sa -2/3, -1/2, respektivno:

Tip matri?nog zapisa: ax=b, gdje

Ozna?iti sa a ij elementi i-ti red i j-th kolona.

Isklju?ite elemente 1. stupca matrice ispod elementa a jedanaest . Da biste to u?inili, dodajte redove 2,3 sa redom 1, pomno?ene sa -1/5, -6/5, respektivno:

Svaki red matrice dijelimo odgovaraju?im vode?im elementom (ako vode?i element postoji):

gdje x 3 , x

Zamjenom gornjih izraza u donje, dobivamo rje?enje.

Tada se vektorsko rje?enje mo?e predstaviti na sljede?i na?in:

gdje x 3 , x 4 su proizvoljni realni brojevi.

Neka je sistem zadan, ??0. (jedan)
Gaussova metoda je metoda sukcesivnog uklanjanja nepoznatih.

Su?tina Gaussove metode je transformacija (1) u sistem sa trouglastom matricom, iz koje se zatim sekvencijalno (obrnuto) dobijaju vrijednosti svih nepoznatih. Razmotrimo jednu od ra?unskih shema. Ovo kolo se naziva jednodijelno kolo. Pa pogledajmo ovaj dijagram. Neka 11 ?0 (vode?i element) podijeli sa 11 prvu jedna?inu. Get
(2)
Koriste?i jedna?inu (2), lako je isklju?iti nepoznati x 1 iz preostalih jedna?ina sistema (za to je dovoljno oduzeti jedna?inu (2) od svake jedna?ine preliminarno pomno?enu odgovaraju?im koeficijentom na x 1), tj. , u prvom koraku dobijamo
.
Drugim rije?ima, u koraku 1, svaki element sljede?ih redova, po?ev?i od drugog, jednak je razlici izme?u originalnog elementa i proizvoda njegove “projekcije” na prvi stupac i prvi (transformirani) red.
Nakon toga, ostavljaju?i prvu jedna?inu na miru, izvr?i?emo sli?nu transformaciju nad preostalim jednad?bama sistema dobijenim u prvom koraku: izme?u njih biramo jedna?inu sa vode?im elementom i koristimo je da isklju?imo x 2 iz preostalih jedna?ina (korak 2).
Nakon n koraka, umjesto (1) dobijamo ekvivalentni sistem
(3)
Tako ?emo u prvoj fazi dobiti trouglasti sistem (3). Ovaj korak se zove naprijed.
U drugoj fazi (obrnuti pokret) iz (3) sekvencijalno nalazimo vrijednosti x n , x n -1 , …, x 1 .
Ozna?imo dobijeno rje?enje sa x 0 . Tada je razlika e=b-A x 0 se naziva rezidualnim.
Ako je e=0, tada je prona?eno rje?enje x 0 ta?no.

Prora?uni Gaussovom metodom se izvode u dvije faze:

1. Prva faza se zove direktni tok metode. U prvoj fazi, originalni sistem se pretvara u trouglasti oblik.
2. Druga faza se zove reverzna. U drugoj fazi rje?ava se trouglasti sistem koji je ekvivalentan originalnom.

Koeficijenti a 11, a 22, ..., nazivaju se vode?im elementima.
U svakom koraku se pretpostavljalo da je vode?i element razli?it od nule. Ako to nije slu?aj, onda se bilo koji drugi element mo?e koristiti kao vode?i, kao da preure?uje jedna?ine sistema.

Svrha Gaussove metode

Gaussova metoda je namijenjena za rje?avanje sistema linearnih jedna?ina. Odnosi se na direktne metode rje?enja.

Vrste Gaussove metode

1. Klasi?na Gaussova metoda;
2. Modifikacije Gaussove metode. Jedna od modifikacija Gausove metode je kolo sa izborom glavnog elementa. Karakteristika Gaussove metode sa izborom glavnog elementa je takva permutacija jednad?bi tako da je u k-tom koraku vode?i element najve?i element u k-tom stupcu.
3. Jordan-Gaussova metoda;

Razlika izme?u Jordan-Gaussove metode i klasi?ne Gaussova metoda sastoji se u primjeni pravila pravokutnika kada je smjer tra?enja rje?enja du? glavne dijagonale (transformacija u matricu identiteta). U Gaussovoj metodi, smjer tra?enja rje?enja odvija se du? kolona (transformacija u sistem sa trouglastom matricom).
Ilustrujte razliku Jordan-Gaussova metoda iz Gaussove metode na primjerima.

Primjer Gaussovog rje?enja
Re?imo sistem:

Radi lak?eg izra?unavanja, mijenjamo redove:

Pomno?ite 2. red sa (2). Dodajte 3. red u 2.

Pomno?ite 2. red sa (-1). Dodajte 2. red u prvi

Iz 1. reda izra?avamo x 3:
Iz 2. reda izra?avamo x 2:
Iz tre?eg reda izra?avamo x 1:

Primjer rje?enja po Jordan-Gauss metodi
Isti SLAE ?emo rije?iti kori?tenjem Jordano-Gaussove metode.

Mi ?emo sekvencijalno birati razlu?uju?i element RE, koji le?i na glavnoj dijagonali matrice.
Element omogu?avanja je jednak (1).



NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - omogu?avaju?i element (1), A i B - matri?ni elementi koji formiraju pravougaonik sa elementima STE i RE.
Predstavimo prora?un svakog elementa u obliku tabele:

x 1	x2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Element omogu?avanja je jednak (3).
Umjesto elementa za rje?avanje, dobijamo 1, au samom stupcu upisujemo nule.
Svi ostali elementi matrice, uklju?uju?i elemente kolone B, odre?eni su pravilom pravokutnika.
Da biste to u?inili, odaberite ?etiri broja koji se nalaze na vrhovima pravokutnika i uvijek uklju?uju element koji omogu?ava RE.

x 1	x2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Element omogu?avanja je (-4).
Umjesto elementa za rje?avanje, dobijamo 1, au samom stupcu upisujemo nule.
Svi ostali elementi matrice, uklju?uju?i elemente kolone B, odre?eni su pravilom pravokutnika.
Da biste to u?inili, odaberite ?etiri broja koji se nalaze na vrhovima pravokutnika i uvijek uklju?uju element koji omogu?ava RE.
Predstavimo prora?un svakog elementa u obliku tabele:

x 1	x2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Odgovori: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Implementacija Gaussove metode

Gaussova metoda je implementirana u mnogim programskim jezicima, posebno: Pascal, C++, php, Delphi, a postoji i online implementacija Gaussove metode.

Kori?tenje Gaussove metode

Primjena Gaussove metode u teoriji igara

U teoriji igara, pri pronala?enju maksimalne optimalne strategije igra?a sastavlja se sistem jedna?ina koji se rje?ava Gaussovom metodom.

Primjena Gaussove metode u rje?avanju diferencijalnih jednad?bi

Za tra?enje odre?enog rje?enja diferencijalne jedna?ine, prvo prona?ite izvode odgovaraju?eg stepena za napisano odre?eno rje?enje (y=f(A,B,C,D)), koji se zamjenjuju u originalnu jedna?inu. Dalje, da bi se prona?le varijable A, B, C, D, sastavlja se sistem jedna?ina koji se rje?ava Gaussovom metodom.

Primjena Jordano-Gaussove metode u linearnom programiranju

U linearnom programiranju, posebno u simpleks metodi, za transformaciju simpleks tabele na svakoj iteraciji, koristi se pravilo pravokutnika koje koristi Jordan-Gaussovu metodu.