ladybe.ru
Bo?ne strane pravilne piramide su. Piramida. Formule i svojstva piramide
- apothem- visina bo?ne strane pravilne piramide, koja je povu?ena sa njenog vrha (osim toga, apotema je du?ina okomice, koja je spu?tena od sredine pravilnog mnogougla na 1 od njegovih stranica);
- bo?ne strane (ASB, BSC, CSD, DSA) - trouglovi koji konvergiraju na vrhu;
- bo?na rebra ( AS , BS , CS , D.S. ) - zajedni?ke strane bo?nih strana;
- vrh piramide (v. S) - ta?ka koja spaja bo?ne ivice i koja ne le?i u ravni osnove;
- visina ( SO ) - segment okomice, koji je povu?en kroz vrh piramide do ravni njene osnove (krajevi takvog segmenta bit ?e vrh piramide i osnova okomice);
- dijagonalni presjek piramide- presek piramide, koji prolazi kroz vrh i dijagonalu osnove;
- baza (A B C D) je poligon kojem ne pripada vrh piramide.
svojstva piramide.
1. Kada su sve bo?ne ivice iste veli?ine, tada:
- blizu osnove piramide lako je opisati krug, dok ?e vrh piramide biti projektovan u centar ovog kruga;
- bo?na rebra formiraju jednake uglove sa osnovnom ravninom;
- osim toga vrijedi i obrnuto, tj. kada bo?ne ivice formiraju jednake uglove sa ravni osnove, ili kada se krug mo?e opisati blizu osnove piramide i vrh piramide ?e biti projektovan u centar ove kru?nice, tada sve bo?ne ivice piramide imaju iste veli?ine.
2. Kada bo?ne strane imaju ugao nagiba prema ravni osnove iste vrijednosti, tada:
- blizu osnove piramide, lako je opisati krug, dok ?e vrh piramide biti projektovan u centar ovog kruga;
- visine bo?nih strana su jednake du?ine;
- povr?ina bo?ne povr?ine jednaka je 1/2 umno?ka opsega baze i visine bo?ne povr?ine.
3. Sfera se mo?e opisati u blizini piramide ako je osnova piramide poligon oko kojeg se mo?e opisati krug (nu?an i dovoljan uslov). Sredi?te sfere ?e biti ta?ka presjeka ravnina koje prolaze kroz sredine ivica piramide okomitih na njih. Iz ove teoreme zaklju?ujemo da se sfera mo?e opisati i oko bilo koje trouglaste i oko bilo koje pravilne piramide.
4. Sfera se mo?e upisati u piramidu ako se simetralne ravni unutra?njih diedarskih uglova piramide seku u 1. ta?ki (neophodan i dovoljan uslov). Ova ta?ka ?e postati centar sfere.
Najjednostavnija piramida.
Prema broju uglova osnove piramide dijele se na trokutaste, ?etverokutne i tako dalje.
Piramida ?e trouglasti, ?etvorougaona, i tako dalje, kada je osnova piramide trokut, ?etverougao i tako dalje. Trouglasta piramida je tetraedar - tetraedar. ?etverougaoni - pentaedar i tako dalje.
Definicija. Bo?no lice- ovo je trokut u kojem jedan ugao le?i na vrhu piramide, a njegova suprotna strana se poklapa sa stranom baze (poligona).
Definicija. Bo?na rebra su zajedni?ke strane bo?nih strana. Piramida ima onoliko ivica koliko ima uglova u poligonu.
Definicija. visina piramide je okomica spu?tena od vrha do osnove piramide.
Definicija. Apothem- ovo je okomita bo?na strana piramide, spu?tena sa vrha piramide na stranu osnove.
Definicija. Dijagonalni presjek- ovo je presjek piramide ravninom koja prolazi kroz vrh piramide i dijagonalu baze.
Definicija. Ispravna piramida- Ovo je piramida u kojoj je osnova pravilan poligon, a visina se spu?ta do centra baze.
Zapremina i povr?ina piramide
Formula. zapremina piramide kroz povr?inu osnove i visinu:
svojstva piramide
Ako su sve bo?ne ivice jednake, tada se oko osnove piramide mo?e opisati krug, a sredi?te baze se poklapa sa sredi?tem kru?nice. Tako?er, okomica spu?tena s vrha prolazi kroz centar baze (krug).
Ako su sva bo?na rebra jednaka, onda su nagnuta prema ravni osnove pod istim uglovima.
Bo?na rebra su jednaka kada formiraju jednake uglove sa ravninom osnove ili ako se oko osnove piramide mo?e opisati krug.
Ako su bo?ne strane nagnute prema ravni osnove pod jednim uglom, tada se u bazu piramide mo?e upisati krug, a vrh piramide se projektuje u njeno sredi?te.
Ako su bo?ne strane nagnute u odnosu na osnovnu ravninu pod jednim uglom, tada su apoteme bo?nih strana jednake.
Svojstva pravilne piramide
1. Vrh piramide je jednako udaljen od svih uglova baze.
2. Sve bo?ne ivice su jednake.
3. Sva bo?na rebra su nagnuta pod istim uglovima u odnosu na bazu.
4. Apoteme svih bo?nih strana su jednake.
5. Povr?ine svih bo?nih strana su jednake.
6. Sva lica imaju iste diedarske (ravne) uglove.
7. Oko piramide se mo?e opisati sfera. Sredi?te opisane sfere bit ?e presje?na to?ka okomica koje prolaze kroz sredinu ivica.
8. Sfera se mo?e upisati u piramidu. Sredi?te upisane sfere bit ?e presje?na ta?ka simetrala koje izlaze iz ugla izme?u ivice i baze.
9. Ako se centar upisane sfere poklapa sa centrom opisane sfere, tada je zbir ravnih uglova na vrhu jednak p ili obrnuto, jedan ugao je jednak p / n, gde je n broj uglova u osnovi piramide.
Veza piramide sa sferom
Sfera se mo?e opisati oko piramide kada u osnovi piramide le?i poliedar oko kojeg se mo?e opisati kru?nica (neophodan i dovoljan uslov). Sredi?te sfere ?e biti ta?ka preseka ravnina koje prolaze okomito kroz sredine bo?nih ivica piramide.
Sfera se uvijek mo?e opisati oko bilo koje trouglaste ili pravilne piramide.
Sfera se mo?e upisati u piramidu ako se simetralne ravni unutra?njih diedarskih uglova piramide seku u jednoj ta?ki (neophodan i dovoljan uslov). Ova ta?ka ?e biti centar sfere.
Veza piramide sa konusom
Konus se naziva upisanim u piramidu ako im se vrhovi poklapaju i ako je osnova konusa upisana u bazu piramide.
Konus se mo?e upisati u piramidu ako su apotemi piramide jednaki.
Konus se naziva opisanim oko piramide ako im se vrhovi poklapaju i ako je osnova konusa opisana oko osnove piramide.
Konus se mo?e opisati oko piramide ako su sve bo?ne ivice piramide jednake jedna drugoj.
Veza piramide sa cilindrom
Za piramidu se ka?e da je upisana u cilindar ako vrh piramide le?i na jednoj osnovi cilindra, a osnova piramide upisana u drugu bazu cilindra.
Cilindar se mo?e opisati oko piramide ako se krug mo?e opisati oko osnove piramide.
Tetraedar ima ?etiri lica i ?etiri vrha i ?est ivica, pri ?emu bilo koje dvije ivice nemaju zajedni?ki vrh ali se ne dodiruju.
Svaki vrh se sastoji od tri lica i ivica koje se formiraju triedarski ugao.
Segment koji povezuje vrh tetraedra sa centrom suprotnog lica naziva se medijana tetraedra(GM).
Bimedian naziva se segment koji povezuje sredine suprotnih ivica koje se ne dodiruju (KL).
Svi bimedijani i medijani tetraedra seku se u jednoj ta?ki (S). U ovom slu?aju, bimedijane su podijeljene na pola, a medijane u omjeru 3:1 po?ev?i od vrha.
Definicija. Piramida sa o?trim uglom je piramida u kojoj je apotema vi?e od polovine du?ine stranice baze.
Definicija. tupa piramida je piramida u kojoj je apotema manja od polovine du?ine stranice baze.
Definicija. pravilni tetraedar Tetraedar ?ija su ?etiri lica jednakostrani?ni trouglovi. To je jedan od pet pravilnih poligona. U pravilnom tetraedru, svi diedarski uglovi (izme?u lica) i triedarski uglovi (u vrhu) su jednaki.
Definicija. Pravougaoni tetraedar naziva se tetraedar koji ima pravi ugao izme?u tri ivice na vrhu (ivice su okomite). Formiraju se tri lica pravougaoni trougaoni ugao a lica su pravougli trougao, a osnova je proizvoljan trougao. Apotema bilo kojeg lica jednaka je polovini stranice baze na koju apotema pada.
Definicija. Izoedarski tetraedar Tetraedar se naziva u kojem su bo?ne strane jednake jedna drugoj, a osnova je pravilan trokut. Lica takvog tetraedra su jednakokraki trouglovi.
Definicija. Ortocentri?ni tetraedar tetraedar se naziva u kojem se sve visine (okomice) koje se spu?taju od vrha do suprotne strane sijeku u jednoj ta?ki.
Definicija. zvezdana piramida Poliedar ?ija je osnova zvijezda naziva se.
Uvod
Kada smo po?eli da prou?avamo stereometrijske figure, dotakli smo se teme "Piramida". Ova tema nam se dopala jer se piramida vrlo ?esto koristi u arhitekturi. A budu?i da je na?a budu?a profesija arhitekta, inspirisana ovom figurom, mislimo da ?e ona mo?i da nas pogura u velike projekte.
Snaga arhitektonskih objekata, njihov najva?niji kvalitet. Povezuju?i snagu, prvo, s materijalima od kojih su izra?eni, i, drugo, sa karakteristikama dizajnerskih rje?enja, ispada da je ?vrsto?a konstrukcije direktno povezana s geometrijskim oblikom koji je za nju osnovni.
Drugim rije?ima, rije? je o geometrijskoj figuri koja se mo?e smatrati modelom odgovaraju?e arhitektonske forme. Ispada da geometrijski oblik tako?er odre?uje snagu arhitektonske strukture.
Egipatske piramide dugo su se smatrale najtrajnijim arhitektonskim objektom. Kao ?to znate, imaju oblik pravilnih ?etverokutnih piramida.
Upravo ovaj geometrijski oblik pru?a najve?u stabilnost zbog velike povr?ine baze. S druge strane, oblik piramide osigurava da se masa smanjuje kako se visina iznad tla pove?ava. Upravo ta dva svojstva ?ine piramidu stabilnom, a samim tim i jakom u uslovima gravitacije.
Cilj projekta: nau?ite ne?to novo o piramidama, produbite znanje i prona?ite prakti?ne primjene.
Za postizanje ovog cilja bilo je potrebno rije?iti sljede?e zadatke:
Saznajte istorijske informacije o piramidi
Zamislite piramidu kao geometrijsku figuru
Prona?ite primjenu u ?ivotu i arhitekturi
Prona?ite sli?nosti i razlike izme?u piramida koje se nalaze u razli?itim dijelovima svijeta
Teorijski dio
Istorijski podaci
Po?etak geometrije piramide polo?en je u starom Egiptu i Babilonu, ali se aktivno razvijao u staroj Gr?koj. Prvi koji je ustanovio koliki je volumen piramide bio je Demokrit, a Eudoks iz Knida je to dokazao. Drevni gr?ki matemati?ar Euklid je sistematizirao znanje o piramidi u XII tomu svojih "Po?etaka", a tako?er je iznio prvu definiciju piramide: tjelesnu figuru ome?enu ravninama koje se u jednoj ta?ki konvergiraju iz jedne ravni.
Grobnice egipatskih faraona. Najve?e od njih - Keopsove, Kefrenove i Mikerinove piramide u El Gizi u anti?ko doba smatrane su jednim od sedam svjetskih ?uda. Podizanje piramide, u kojoj su Grci i Rimljani ve? vidjeli spomenik nevi?enom ponosu kraljeva i okrutnosti, koja je osudila cijeli narod Egipta na besmislenu gradnju, bio je najva?niji kultni ?in i trebao je, po svemu sude?i, izraziti, misti?ni identitet zemlje i njenog vladara. Stanovni?tvo zemlje radilo je na izgradnji grobnice u dijelu godine bez poljoprivrednih radova. Brojni tekstovi svjedo?e o pa?nji i brizi koju su sami kraljevi (iako kasnijeg vremena) poklanjali izgradnji svog groba i njegovih graditelja. Poznato je i o posebnim kultnim po?astima za koje se ispostavilo da je sama piramida.
Osnovni koncepti
Piramida Zove se poliedar ?ija je osnova poligon, a preostale strane su trouglovi koji imaju zajedni?ki vrh.
Apothem- visina bo?ne strane pravilne piramide, povu?ena od njenog vrha;
Bo?ne strane- trokuti koji konvergiraju na vrhu;
Bo?na rebra- zajedni?ke strane bo?nih strana;
vrh piramide- ta?ka koja spaja bo?ne ivice, a ne le?i u ravni osnove;
Visina- segment okomice povu?en kroz vrh piramide na ravan njene osnove (krajevi ovog segmenta su vrh piramide i osnova okomice);
Dijagonalni presjek piramide- presek piramide koji prolazi kroz vrh i dijagonalu osnove;
Baza- poligon koji ne pripada vrhu piramide.
Glavna svojstva ispravne piramide
Bo?ne ivice, bo?ne strane i apoteme su jednake.
Diedarski uglovi u osnovi su jednaki.
Diedarski uglovi na bo?nim ivicama su jednaki.
Svaka ta?ka visine je jednako udaljena od svih osnovnih vrhova.
Svaka ta?ka visine je jednako udaljena od svih bo?nih strana.
Osnovne piramidalne formule
Povr?ina bo?ne i pune povr?ine piramide.
Povr?ina bo?ne povr?ine piramide (puna i skra?ena) je zbir povr?ina svih njenih bo?nih strana, ukupna povr?ina je zbir povr?ina svih njenih strana.
Teorema: Povr?ina bo?ne povr?ine pravilne piramide jednaka je polovini umno?ka opsega osnove i apoteme piramide.
str- perimetar osnove;
h- apotema.
Podru?je bo?ne i pune povr?ine krnje piramide.
p1, str 2 - perimetri baze;
h- apotema.
R- ukupna povr?ina pravilne skra?ene piramide;
S strana- povr?ina bo?ne povr?ine pravilne skra?ene piramide;
S1 + S2- bazna povr?ina
Volumen piramide
Forma Skala volumena se koristi za piramide bilo koje vrste.
H je visina piramide.
Uglovi piramide
Uglovi koje formiraju bo?na strana i osnova piramide nazivaju se diedarski uglovi u osnovi piramide.
Diedarski ugao formiraju dvije okomice.
Da biste odredili ovaj ugao, ?esto morate koristiti teoremu o tri okomice.
Uglovi koje formira bo?na ivica i njena projekcija na ravan osnove nazivaju se uglovi izme?u bo?ne ivice i ravni baze.
Ugao koji ?ine dvije bo?ne strane naziva se diedarski ugao na bo?noj ivici piramide.
Ugao, koji formiraju dvije bo?ne ivice jedne strane piramide, naziva se ugao na vrhu piramide.
Sekcije piramide
Povr?ina piramide je povr?ina poliedra. Svako njeno lice je ravan, tako da je presek piramide dat sekantnom ravninom izlomljena linija koja se sastoji od odvojenih pravih linija.
Dijagonalni presjek
Presjek piramide ravninom koja prolazi kroz dvije bo?ne ivice koje ne le?e na istoj povr?ini naziva se dijagonalni presjek piramide.
Paralelne sekcije
Teorema:
Ako piramidu prelazi ravan paralelna bazi, tada su bo?ne ivice i visine piramide podijeljene ovom ravninom na proporcionalne dijelove;
Presek ove ravni je poligon sli?an bazi;
Povr?ine presjeka i baze su me?usobno povezane kao kvadrati njihovih udaljenosti od vrha.
Vrste piramida
Ispravna piramida- piramida ?ija je osnova pravilan poligon, a vrh piramide je projektovan u centar osnove.
Na pravoj piramidi:
1. bo?na rebra su jednaka
2. bo?ne strane su jednake
3. apoteme su jednake
4. Diedarski uglovi u osnovi su jednaki
5. Diedarski uglovi na bo?nim ivicama su jednaki
6. svaka visinska ta?ka je jednako udaljena od svih osnovnih vrhova
7. svaka visinska ta?ka je jednako udaljena od svih bo?nih strana
Krnja piramida- dio piramide zatvoren izme?u njene osnove i rezne ravni paralelne s bazom.
Osnova i odgovaraju?i presjek krnje piramide nazivaju se osnove krnje piramide.
Zove se okomita povu?ena iz bilo koje ta?ke jedne baze na ravan druge visina krnje piramide.
Zadaci
br. 1. U pravilnoj ?etvorougaonoj piramidi ta?ka O je centar osnove, SO=8 cm, BD=30 cm.Na?i bo?nu ivicu SA.
Rje?avanje problema
br. 1. U pravilnoj piramidi, sva lica i ivice su jednake.
Razmotrimo OSB: OSB-pravougaoni pravougaonik, jer.
SB 2 \u003d SO 2 + OB 2
SB2=64+225=289
Piramida u arhitekturi
Piramida - monumentalna gra?evina u obliku obi?ne pravilne geometrijske piramide, u kojoj se stranice konvergiraju u jednoj ta?ki. Prema funkcionalnoj namjeni, piramide su u anti?ko doba bile mjesto sahrane ili bogomolja. Osnova piramide mo?e biti trouglasta, ?etvorougaona ili poligonalna sa proizvoljnim brojem vrhova, ali naj?e??a verzija je ?etvorougaona osnova.
Poznat je znatan broj piramida koje su gradile razli?ite kulture anti?kog svijeta, uglavnom kao hramovi ili spomenici. Najve?e piramide su egipatske.
?irom Zemlje mo?ete vidjeti arhitektonske strukture u obliku piramida. Piramidalne zgrade podsje?aju na anti?ko doba i izgledaju veoma lijepo.
Egipatske piramide su najve?i arhitektonski spomenici starog Egipta, me?u kojima je jedno od "sedam svjetskih ?uda" Keopsova piramida. Od podno?ja do vrha dosti?e 137,3 m, a prije nego ?to je izgubio vrh, visina mu je bila 146,7 m.
Zgrada radio stanice u glavnom gradu Slova?ke, koja li?i na obrnutu piramidu, izgra?ena je 1983. godine. Pored kancelarijskih i uslu?nih prostorija, unutar volumena se nalazi prili?no prostrana koncertna dvorana, koja ima jedne od najve?ih orgulja u Slova?koj. .
Luvr, koji je "tih i veli?anstven kao piramida", pretrpeo je mnoge promene tokom vekova pre nego ?to je postao najve?i muzej na svetu. Nastao je kao tvr?ava koju je podigao Filip August 1190. godine, a koja se ubrzo pretvorila u kraljevsku rezidenciju. Godine 1793. pala?a je postala muzej. Kolekcije se oboga?uju zavje?tanjem ili kupovinom.
Koncept piramide
Definicija 1
Geometrijska figura koju ?ine poligon i ta?ka koja ne le?i u ravni koja sadr?i ovaj poligon, povezana sa svim vrhovima poligona, naziva se piramida (slika 1).
Poligon od kojeg je sastavljena piramida naziva se osnova piramide, trokuti dobijeni spajanjem sa ta?kom su bo?ne strane piramide, stranice trokuta su stranice piramide, a ta?ka zajedni?ka svima trouglovi je vrh piramide.
Vrste piramida
U zavisnosti od broja uglova u osnovi piramide, mo?e se nazvati trouglastim, ?etvorougaonim i tako dalje (slika 2).
Slika 2.
Druga vrsta piramide je redovna piramida.
Hajde da uvedemo i doka?emo svojstvo pravilne piramide.
Teorema 1
Sve bo?ne strane pravilne piramide su jednakokraki trouglovi koji su me?usobno jednaki.
Dokaz.
Razmotrimo pravilnu $n-$gonalnu piramidu sa vrhom $S$ visine $h=SO$. Opi?imo krug oko baze (slika 4).
Slika 4
Razmotrimo trougao $SOA$. Po Pitagorinoj teoremi, dobijamo
O?igledno, svaka bo?na ivica ?e biti definirana na ovaj na?in. Stoga su sve bo?ne ivice jednake jedna drugoj, odnosno sve bo?ne strane su jednakokraki trouglovi. Doka?imo da su oni me?usobno jednaki. Po?to je osnova pravilan mnogougao, osnove svih bo?nih strana su jedna drugoj. Prema tome, sve bo?ne strane su jednake prema III znaku jednakosti trouglova.
Teorema je dokazana.
Sada uvodimo sljede?u definiciju koja se odnosi na koncept pravilne piramide.
Definicija 3
Apotem pravilne piramide je visina njene bo?ne strane.
O?igledno, prema teoremi 1, sve apoteme su jednake.
Teorema 2
Povr?ina bo?ne povr?ine pravilne piramide definira se kao proizvod poluperimetra osnove i apoteme.
Dokaz.
Ozna?imo stranu osnove $n-$piramide uglja sa $a$, a apotemu sa $d$. Dakle, povr?ina bo?ne strane je jednaka
Po?to su, prema teoremi 1, sve strane jednake, onda
Teorema je dokazana.
Druga vrsta piramide je skra?ena piramida.
Definicija 4
Ako se kroz obi?nu piramidu povu?e ravan paralelna njenoj osnovici, onda se lik formiran izme?u ove ravni i ravni baze naziva skra?enom piramidom (slika 5).
Slika 5. Krnja piramida
Bo?ne strane krnje piramide su trapezi.
Teorema 3
Povr?ina bo?ne povr?ine pravilne skra?ene piramide definira se kao proizvod zbira poluperimetara osnova i apoteme.
Dokaz.
Ozna?imo stranice osnova piramide $n-$uglja sa $a\ i\ b$, respektivno, a apotemu sa $d$. Dakle, povr?ina bo?ne strane je jednaka
Po?to su sve strane jednake, onda
Teorema je dokazana.
Primjer zadatka
Primjer 1
Na?ite povr?inu bo?ne povr?ine skra?ene trokutaste piramide ako se dobije iz pravilne piramide sa osnovnom stranom 4 i apotemom 5 odsijecanjem ravninom koja prolazi kroz srednju liniju bo?nih strana.
Rje?enje.
Prema teoremi srednje linije, dobijamo da je gornja osnova skra?ene piramide jednaka $4\cdot \frac(1)(2)=2$, a apotema jednaka $5\cdot \frac(1)( 2)=2,5$.
Tada, prema teoremi 3, dobijamo
hipoteza: vjerujemo da je savr?enstvo oblika piramide posljedica matemati?kih zakona ugra?enih u njen oblik.
Cilj: prou?avaju?i piramidu kao geometrijsko tijelo, da objasni savr?enstvo njenog oblika.
Zadaci:
1. Dajte matemati?ku definiciju piramide.
2. Prou?avajte piramidu kao geometrijsko tijelo.
3. Shvatite kakvo su matemati?ko znanje Egip?ani polo?ili u svoje piramide.
Privatna pitanja:
1. ?ta je piramida kao geometrijsko tijelo?
2. Kako se matemati?ki mo?e objasniti jedinstveni oblik piramide?
3. ?ta obja?njava geometrijska ?uda piramide?
4. ?ta obja?njava savr?enstvo oblika piramide?
Definicija piramide.
PIRAMIDA (od gr?kog pyramis, rod n. pyramidos) - poliedar ?ija je osnova poligon, a preostale strane su trouglovi sa zajedni?kim vrhom (slika). Prema broju uglova baze piramide su trokutaste, ?etvorougaone itd.
PIRAMIDA - monumentalna gra?evina koja ima geometrijski oblik piramide (ponekad i stepenasta ili u obliku kule). D?inovske grobnice staroegipatskih faraona iz 3.-2. milenijuma pre nove ere nazivaju se piramidama. e., kao i drevna ameri?ka postolja hramova (u Meksiku, Gvatemali, Hondurasu, Peruu) povezana s kosmolo?kim kultovima.
Mogu?e je da gr?ka rije? "piramida" poti?e od egipatskog izraza per-em-us, odnosno od pojma koji je ozna?avao visinu piramide. Istaknuti ruski egiptolog V. Struve vjerovao je da gr?ko "puram...j" dolazi od staroegipatskog "p"-mr.
Iz istorije. Prou?iv?i materijal u ud?beniku "Geometrija" autora Atanasyana. Butuzova i drugih, saznali smo da: Poliedar sastavljen od n-ugla A1A2A3 ... An i n trouglova RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 naziva se piramida. Poligon A1A2A3 ... An je osnova piramide, a trouglovi RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 su bo?ne strane piramide, P je vrh piramide, segmenti RA1, RA2, .... ., RAn su bo?ne ivice.
Me?utim, takva definicija piramide nije uvijek postojala. Na primjer, starogr?ki matemati?ar, autor teorijskih rasprava o matematici koji su do nas do?li, Euklid, definira piramidu kao ?vrstu figuru ome?enu ravninama koje konvergiraju iz jedne ravni u jednu ta?ku.
Ali ova definicija je kritizirana ve? u antici. Tako je Heron predlo?io sljede?u definiciju piramide: “Ovo je lik ome?en trouglovima koji se konvergiraju u jednoj ta?ki i ?ija je osnova poligon.”
Na?a grupa je, upore?uju?i ove definicije, do?la do zaklju?ka da one nemaju jasnu formulaciju pojma „temelj“.
Prou?avali smo ove definicije i prona?li definiciju Adriena Marie Legendrea, koji je 1794. godine u svom djelu “Elementi geometrije” definirao piramidu na sljede?i na?in: “Piramida je tjelesna figura formirana od trokuta koji se konvergiraju u jednoj ta?ki i zavr?avaju na razli?itim stranama ravna baza.”
?ini nam se da posljednja definicija daje jasnu predstavu o piramidi, budu?i da se odnosi na ?injenicu da je osnova ravna. Druga definicija piramide pojavila se u ud?beniku iz 19. veka: „piramida je ?vrst ugao prese?en ravninom“.
Piramida kao geometrijsko tijelo.
To. Piramida je poliedar, ?ija je jedna strana (osnova) poligon, a preostale strane (stranice) su trouglovi koji imaju jedan zajedni?ki vrh (vrh piramide).
Zove se okomito povu?eno od vrha piramide do ravni baze visinah piramide.
Pored proizvoljne piramide, postoje desna piramida, u ?ijoj se osnovi nalazi pravilan poligon i krnje piramide.
Na slici - piramida PABCD, ABCD - njena osnova, PO - visina.
Puna povr?ina Piramidom se naziva zbir povr?ina svih njenih lica.
Puno = Sside + Sbase, gdje Sside je zbir povr?ina bo?nih strana.
zapremina piramide nalazi se prema formuli:
V=1/3Sbase h, gdje je Sosn. - bazna povr?ina h- visina.
 |
|
Apotema ST - visina bo?ne strane pravilne piramide.
Povr?ina bo?ne strane pravilne piramide izra?ava se na sljede?i na?in: Sside. =1/2P h, gdje je P obim baze, h- visina bo?ne strane (apotema pravilne piramide). Ako piramidu preseca ravan A'B'C'D' paralelna sa bazom, tada:
1) bo?ne ivice i visina su podeljene ovom ravni na proporcionalne delove;
2) u preseku se dobija poligon A'B'C'D', sli?an osnovi;
https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">
Osnove krnje piramide su sli?ni poligoni ABCD i A`B`C`D`, bo?ne strane su trapezi.
Visina skra?ena piramida - udaljenost izme?u baza.
Skra?eni volumen piramida se nalazi po formuli:
V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Bo?na povr?ina pravilne skra?ene piramide se izra?ava na sljede?i na?in: bo?na strana = 1/2 (P+P') h, gdje su P i P' perimetri baza, h- visina bo?ne strane (apotema pravilne skra?ene gozbama
Sekcije piramide.
Presjeci piramide ravninama koje prolaze kroz njen vrh su trouglovi.
Odsjek koji prolazi kroz dvije nesusjedne bo?ne ivice piramide naziva se dijagonalni presjek.
Ako presjek prolazi kroz ta?ku na bo?noj ivici i strani baze, tada ?e ova strana biti njen trag na ravni osnove piramide.
Presjek koji prolazi kroz ta?ku koja le?i na licu piramide i dati trag presjeka na ravni baze, tada konstrukciju treba izvesti na sljede?i na?in:
prona?i presje?nu to?ku ravnine datog lica i traga presjeka piramide i ozna?iti je;
izgraditi pravu liniju koja prolazi kroz datu ta?ku i rezultuju?u ta?ku preseka;
· Ponovite ove korake za sljede?a lica.
, ?to odgovara omjeru kateta pravokutnog trokuta 4:3. Ovaj odnos krakova odgovara dobro poznatom pravouglom trouglu sa stranicama 3:4:5, koji se naziva "savr?en", "sveti" ili "egipatski" trougao. Prema istori?arima, "egipatskom" trouglu je dato magi?no zna?enje. Plutarh je napisao da su Egip?ani upore?ivali prirodu univerzuma sa "svetim" trouglom; oni su vertikalnu nogu simboli?no uporedili sa mu?em, bazu sa ?enom, a hipotenuzu sa onim ?to se ra?a iz oboje.
Za trougao 3:4:5 ta?na je jednakost: 32 + 42 = 52, ?to izra?ava Pitagorinu teoremu. Nije li tu teoremu egipatski sve?tenici hteli da ovjekovje?e podizanjem piramide na osnovu trougla 3:4:5? Te?ko je prona?i bolji primjer za ilustraciju Pitagorine teoreme, koja je bila poznata Egip?anima mnogo prije nego ?to je Pitagora otkrila.
Tako su genijalni tvorci egipatskih piramida nastojali da impresioniraju daleke potomke dubinom svog znanja, a to su postigli odabirom kao "glavnu geometrijsku ideju" za Keopsovu piramidu - "zlatni" pravokutni trokut i za Khafreovu piramidu - "sveti" ili "egipatski" trougao.
Vrlo ?esto u svojim istra?ivanjima nau?nici koriste svojstva piramida sa proporcijama zlatnog preseka.
U matemati?kom enciklopedijskom rje?niku data je sljede?a definicija zlatnog presjeka - ovo je harmonijska podjela, podjela u ekstremnom i prosje?nom omjeru - podjela segmenta AB na dva dijela na na?in da ve?i dio njegovog AC predstavlja prosjek proporcionalan izme?u cijelog segmenta AB i njegovog manjeg dijela CB.
Algebarsko nala?enje zlatnog presjeka segmenta AB = a svodi na rje?avanje jedna?ine a: x = x: (a - x), odakle je x pribli?no jednako 0,62a. X odnos se mo?e izraziti kao razlomci 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, gde su 2, 3, 5, 8, 13, 21 Fibona?ijevi brojevi.
Geometrijska konstrukcija zlatnog presjeka segmenta AB izvodi se na sljede?i na?in: u ta?ki B se vra?a okomita na AB, na nju se pola?e segment BE = 1/2 AB, A i E su povezani, DE \ u003d BE se odga?a i, kona?no, AC = AD, tada je jednakost AB ispunjena: CB = 2: 3.
Zlatni rez se ?esto koristi u umjetni?kim djelima, arhitekturi i nalazi se u prirodi. ?ivopisni primjeri su skulptura Apolona Belvedere, Partenon. Prilikom izgradnje Partenona kori??en je odnos visine objekta prema njegovoj du?ini i taj odnos je 0,618. Objekti oko nas tako?er pru?aju primjere zlatnog omjera, na primjer, povezi mnogih knjiga imaju omjer ?irine i du?ine blizu 0,618. S obzirom na raspored listova na zajedni?koj stabljici biljaka, mo?e se uo?iti da se izme?u svaka dva para listova, tre?i nalazi na mjestu zlatnog omjera (slajdovi). Svako od nas "nosi" zlatni omjer sa sobom "u rukama" - to je omjer falangi prstiju.
Zahvaljuju?i otkri?u nekoliko matemati?kih papirusa, egiptolozi su nau?ili ne?to o drevnim egipatskim sistemima ra?una i mjera. Zadatke sadr?ane u njima rje?avali su pisari. Jedan od najpoznatijih je Rhind matemati?ki papirus. Prou?avaju?i ove zagonetke, egiptolozi su nau?ili kako su se stari Egip?ani nosili s razli?itim veli?inama koje su nastajale prilikom izra?unavanja mjera te?ine, du?ine i zapremine, koje su ?esto koristile razlomke, kao i kako su se bavili uglovima.
Stari Egip?ani su koristili metodu izra?unavanja uglova zasnovanu na omjeru visine i osnovice pravokutnog trokuta. Oni su izra?avali bilo koji ugao jezikom gradijenta. Gradijent nagiba je izra?en kao omjer cijelog broja, nazvan "seked". U Matematici u doba faraona, Richard Pillins obja?njava: „Seked pravilne piramide je nagib bilo kojeg od ?etiri trokutasta lica prema ravni osnove, mjeren n-tim brojem horizontalnih jedinica po vertikalnoj jedinici nadmorske visine. . Dakle, ova jedinica mjere je ekvivalentna na?em modernom kotangensu ugla nagiba. Stoga je egipatska rije? "seked" povezana s na?om modernom rije?i "gradijent".
Numeri?ki klju? za piramide le?i u omjeru njihove visine i baze. U prakti?nom smislu, ovo je najlak?i na?in za izradu ?ablona potrebnih za stalnu provjeru ispravnog ugla nagiba tokom cijele konstrukcije piramide.
Egiptolozi bi nas rado uvjerili da je svaki faraon ?elio izraziti svoju individualnost, otuda i razlike u uglovima nagiba svake piramide. Ali mo?e postojati i drugi razlog. Mo?da su svi htjeli utjeloviti razli?ite simboli?ke asocijacije skrivene u razli?itim proporcijama. Me?utim, ugao Khafreove piramide (zasnovan na trouglu (3:4:5) pojavljuje se u tri problema predstavljena piramidama u Rhindovom matemati?kom papirusu). Dakle, ovaj stav je bio dobro poznat starim Egip?anima.
Da budemo po?teni prema egiptolozima koji tvrde da stari Egip?ani nisu poznavali trougao 3:4:5, recimo da du?ina hipotenuze 5 nikada nije spomenuta. Ali matemati?ki problemi koji se odnose na piramide uvijek se rje?avaju na osnovu tra?enog ugla - omjera visine i osnove. Kako du?ina hipotenuze nikada nije spomenuta, zaklju?eno je da Egip?ani nikada nisu izra?unali du?inu tre?e strane.
Omjer visine i osnove kori?ten u piramidama u Gizi bez sumnje je bio poznat starim Egip?anima. Mogu?e je da su ovi omjeri za svaku piramidu odabrani proizvoljno. Me?utim, to je u suprotnosti sa zna?ajem koji se pridaje numeri?kom simbolizmu u svim vrstama egipatske likovne umjetnosti. Vrlo je vjerovatno da su takvi odnosi bili od velikog zna?aja, jer su izra?avali specifi?ne vjerske ideje. Drugim rije?ima, cijeli kompleks Gize bio je podvrgnut koherentnom dizajnu, dizajniranom da odra?ava neku vrstu bo?anske teme. Ovo bi objasnilo za?to su dizajneri odabrali razli?ite uglove za tri piramide.
U Tajni Oriona Bauval i Gilbert su iznijeli uvjerljive dokaze o povezanosti piramida u Gizi sa sazvije??em Oriona, posebno sa zvijezdama Orionovog pojasa.Isto sazvije??e je prisutno iu mitu o Izidi i Ozirisu, a tamo je razlog da se svaka piramida smatra slikom jednog od tri glavna bo?anstva - Ozirisa, Izide i Horusa.
?UDA "GEOMETRIJSKA".
Me?u grandioznim egipatskim piramidama, posebno mjesto zauzimaju Velika piramida faraona Keopsa (Khufu). Prije nego ?to pre?emo na analizu oblika i veli?ine Keopsove piramide, treba se sjetiti koji su sistem mjera Egip?ani koristili. Egip?ani su imali tri jedinice du?ine: "lakat" (466 mm), jednak sedam "palmi" (66,5 mm), ?to je zauzvrat bilo jednako ?etiri "prsta" (16,6 mm).
Analizirajmo veli?inu Keopsove piramide (slika 2), prate?i rezonovanje dato u divnoj knjizi ukrajinskog nau?nika Nikolaja Vasjutinskog "Zlatna proporcija" (1990).
Ve?ina istra?iva?a se sla?e da je du?ina stranice osnove piramide, na primjer, GF je jednako L\u003d 233,16 m. Ova vrijednost odgovara gotovo to?no 500 "lakata". Potpuna uskla?enost sa 500 "lakata" bit ?e ako se smatra da je du?ina "lakata" jednaka 0,4663 m.
Visina piramide ( H) istra?iva?i razli?ito procjenjuju od 146,6 do 148,2 m. I u zavisnosti od prihva?ene visine piramide, mijenjaju se svi odnosi njenih geometrijskih elemenata. Koji je razlog razlika u procjeni visine piramide? ?injenica je da je, strogo govore?i, Keopsova piramida skra?ena. Njena gornja platforma danas je veli?ine oko 10?10 m, a prije jednog stolje?a bila je 6? 6 m. O?igledno je da je vrh piramide demontiran, a ne odgovara originalnom.
Procjenjuju?i visinu piramide, potrebno je uzeti u obzir takav fizi?ki faktor kao ?to je "nacrt" konstrukcije. Dugo vremena, pod uticajem kolosalnog pritiska (dosegav?i 500 tona po 1 m2 donje povr?ine), visina piramide se smanjivala u odnosu na prvobitnu visinu.
Koja je bila prvobitna visina piramide? Ova visina se mo?e ponovo stvoriti ako prona?ete osnovnu "geometrijsku ideju" piramide.
Slika 2.
Godine 1837. engleski pukovnik G. Wise izmjerio je ugao nagiba lica piramide: ispostavilo se da je jednak a= 51°51". Ovu vrijednost i danas priznaje ve?ina istra?iva?a. Navedena vrijednost ugla odgovara tangenti (tg a), jednako 1,27306. Ova vrijednost odgovara omjeru visine piramide AC do polovine svoje osnove CB(Sl.2), tj. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.
I ovdje je istra?iva?e ?ekalo veliko iznena?enje!.png" width="25" height="24">= 1.272. Upore?uju?i ovu vrijednost sa tg vrijedno??u a= 1,27306, vidimo da su ove vrijednosti vrlo blizu jedna drugoj. Ako uzmemo ugao a\u003d 51 ° 50", odnosno da ga smanjite za samo jednu lu?nu minutu, a zatim vrijednost a postat ?e jednak 1,272, odnosno poklopit ?e se sa vrijedno??u . Treba napomenuti da je 1840. G. Wise ponovio svoja mjerenja i razjasnio da je vrijednost ugla a=51°50".
Ova mjerenja dovela su istra?iva?e do sljede?e vrlo zanimljive hipoteze: trougao ASV Keopsove piramide bio je zasnovan na relaciji AC / CB = = 1,272!
Razmotrimo sada pravougli trougao ABC, u kojem je omjer nogu AC / CB= (Sl.2). Ako sada du?ine stranica pravougaonika ABC ozna?iti sa x, y, z, a tako?e uzeti u obzir da omjer y/x= , zatim, u skladu sa Pitagorinom teoremom, du?ina z mo?e se izra?unati po formuli:
Ako prihvatite x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">
Slika 3"Zlatni" pravougaoni trougao.
Pravokutni trokut u kojem su stranice povezane kao t:zlatni" pravougli trougao.
Zatim, ako kao osnovu uzmemo hipotezu da je glavna "geometrijska ideja" Keopsove piramide "zlatni" pravougaoni trokut, onda je odavde lako izra?unati "dizajn" visinu Keopsove piramide. To je jednako:
H \u003d (L / 2) ? \u003d 148,28 m.
Izvedemo sada neke druge relacije za Keopsovu piramidu, koje slijede iz "zlatne" hipoteze. Konkretno, nalazimo omjer vanjske povr?ine piramide i povr?ine njene osnove. Da bismo to u?inili, uzimamo du?inu noge CB po jedinici, odnosno: CB= 1. Ali onda du?ina stranice osnove piramide GF= 2, i povr?ina baze EFGH?e biti jednako SEFGH = 4.
Izra?unajmo sada povr?inu bo?ne strane Keopsove piramide SD. Zbog visine AB trougao AEF je jednako t, tada ?e povr?ina bo?ne strane biti jednaka SD = t. Tada ?e ukupna povr?ina sve ?etiri bo?ne strane piramide biti jednaka 4 t, a omjer ukupne vanjske povr?ine piramide i povr?ine baze bit ?e jednak zlatnom rezu! to je ono - glavna geometrijska tajna Keopsove piramide!
Grupa "geometrijskih ?uda" Keopsove piramide uklju?uje stvarna i izmi?ljena svojstva odnosa izme?u razli?itih dimenzija u piramidi.
Po pravilu se dobijaju u potrazi za nekom "konstantom", posebno brojem "pi" (Ludolfov broj), jednak 3,14159...; osnovice prirodnih logaritama "e" (Napierov broj) jednako 2,71828...; broj "F", broj "zlatnog preseka", jednak, na primjer, 0,618 ... itd.
Mo?ete imenovati, na primjer: 1) Svojstvo Herodota: (visina) 2 = 0,5 st. main x Apothem; 2) Vlasni?tvo V. Cijena: Visina: 0,5 st. osn \u003d Kvadratni korijen od "F"; 3) Svojstvo M. Eista: Perimetar osnove: 2 Visina = "Pi"; u druga?ijem tuma?enju - 2 ?lice. main : Visina = "Pi"; 4) Svojstvo G. Rebera: Polupre?nik upisane kru?nice: 0,5 st. main = "F"; 5) Vlasni?tvo K. Kleppish: (st. glavna.) 2: 2 (st. glavna. x Apothem) = (st. main. W. Apothem) = 2 (st. main. x Apothem) : (( 2. glavna X Apotema) + (st. glavna) 2). itd. Mo?ete smisliti mnogo takvih svojstava, posebno ako pove?ete dvije susjedne piramide. Na primjer, kao "Svojstva A. Arefieva" mo?e se spomenuti da je razlika izme?u zapremina Keopsove piramide i Kefreove piramide jednaka dvostrukom volumenu Menkaureove piramide...
Mnoge zanimljive odredbe, posebno o izgradnji piramida prema "zlatnom preseku" su izlo?ene u knjigama D. Hambidgea "Dinami?ka simetrija u arhitekturi" i M. Geeka "Estetika proporcija u prirodi i umetnosti". Podsjetimo da je "zlatni presjek" podjela segmenta u takvom omjeru, kada je dio A isto toliko puta ve?i od dijela B, koliko puta je A manji od cijelog segmenta A + B. Omjer A/B je jednak broju "F" == 1.618... Upotreba "zlatnog preseka" je nazna?ena ne samo u pojedina?nim piramidama, ve? u ?itavom kompleksu piramida u Gizi.
Najzanimljivije je, me?utim, da jedna te ista Keopsova piramida jednostavno "ne mo?e" sadr?avati toliko divnih svojstava. Uzimaju?i jedno po jedno odre?eno svojstvo, mo?ete ga "podesiti", ali odjednom se ne uklapaju - ne poklapaju se, kontradiktorne su jedna drugoj. Stoga, ako se, na primjer, prilikom provjere svih svojstava u po?etku uzme jedna te ista strana osnove piramide (233 m), tada ?e i visine piramida s razli?itim svojstvima biti razli?ite. Drugim rije?ima, postoji odre?ena "porodica" piramida, spolja sli?nih Keopsovim, ali odgovaraju razli?itim svojstvima. Imajte na umu da nema ni?eg posebno ?udesnog u "geometrijskim" svojstvima - mnogo toga proizlazi ?isto automatski, iz svojstava same figure. "?udom" treba smatrati samo ne?to o?igledno nemogu?e za stare Egip?ane. To uklju?uje, posebno, "kosmi?ka" ?uda, u kojima se mjere Keopsove piramide ili kompleksa piramide u Gizi upore?uju s nekim astronomskim mjerenjima i navode se "parni" brojevi: milion puta, milijardu puta manje, itd. . Hajde da razmotrimo neke "kosmi?ke" odnose.
Jedna od tvrdnji je ova: "ako podijelimo stranu osnove piramide ta?nom du?inom godine, dobi?emo ta?no 10 milioniti dio Zemljine ose." Izra?unajte: podijelite 233 sa 365, dobijemo 0,638. Polupre?nik Zemlje je 6378 km.
Druga izjava je zapravo suprotna prethodnoj. F. Noetling je istakao da ako koristite "egipatski lakat" koji je on izmislio, tada ?e stranica piramide odgovarati "najta?nijem trajanju solarne godine, izra?eno na najbli?i milijarditi dio dana" - 365.540.903.777 .
Izjava P. Smitha: "Visina piramide je ta?no jedna milijarda udaljenosti od Zemlje do Sunca." Iako se obi?no uzima visina od 146,6 m, Smith ju je uzeo kao 148,2 m. Prema savremenim radarskim mjerenjima, velika poluosa Zemljine orbite iznosi 149.597.870 + 1.6 km. Ovo je prosje?na udaljenost od Zemlje do Sunca, ali u perihelu je 5.000.000 kilometara manja nego u afelu.
Poslednja zanimljiva izjava:
"Kako objasniti da su mase Keopsovih, Kefreovih i Menkaureovih piramida povezane jedna s drugom, kao ?to su mase planeta Zemlje, Venere, Marsa?" Hajde da izra?unamo. Mase tri piramide su povezane kao: Khafre - 0,835; Keops - 1.000; Mikerin - 0,0915. Odnosi masa tri planete: Venera - 0,815; Zemlji?te - 1.000; Mars - 0,108.
Dakle, uprkos skepticizmu, zapazimo dobro poznatu harmoniju konstrukcije iskaza: 1) visina piramide, kao linija koja "ide u svemir" - odgovara udaljenosti od Zemlje do Sunca; 2) strana osnove piramide najbli?a "podlozi", odnosno Zemlji, odgovorna je za polupre?nik Zemlje i Zemljinu cirkulaciju; 3) zapremine piramide (?itaj - mase) odgovaraju omjeru masa planeta najbli?ih Zemlji. Sli?na "?ifra" mo?e se pratiti, na primjer, u p?elinjem jeziku, koju je analizirao Karl von Frisch. Me?utim, za sada se suzdr?avamo od komentara o ovome.
OBLIK PIRAMIDA
?uveni tetraedarski oblik piramida nije se pojavio odmah. Skiti su pravili ukope u obliku zemljanih brda - humki. Egip?ani su gradili "brda" od kamena - piramide. To se prvi put dogodilo nakon ujedinjenja Gornjeg i Donjeg Egipta, u 28. veku pre nove ere, kada se osniva? III dinastije, faraon D?oser (Zoser), suo?io sa zadatkom ja?anja jedinstva zemlje.
I ovdje je, prema istori?arima, "novi koncept obo?enja" cara odigrao va?nu ulogu u ja?anju centralne vlasti. Iako su se kraljevski ukopi odlikovali ve?im sjajem, nisu se na?elno razlikovali od grobova dvorskih plemi?a, radilo se o istim gra?evinama - mastabama. Iznad komore sa sarkofagom u kojem se nalazi mumija izlivena je pravougaona brda od sitnog kamenja, gdje je potom postavljena mala gra?evina od velikih kamenih blokova - "mastaba" (na arapskom - "klupa"). Na mjestu mastabe svog prethodnika, Sanakhta, faraon D?oser je podigao prvu piramidu. Bio je stepenasti i bio je vidljiva prelazna faza iz jednog arhitektonskog oblika u drugi, od mastabe do piramide.
Na taj na?in je faraona "podigao" mudrac i arhitekta Imhotep, koji je kasnije smatran magi?arom i kojeg su Grci poistove?ivali sa bogom Asklepijem. Kao da je postavljeno ?est mastaba u nizu. ?tavi?e, prva piramida zauzimala je povr?inu od 1125 x 115 metara, sa procijenjenom visinom od 66 metara (prema egipatskim mjerama - 1000 "palmi"). U po?etku je arhitekt planirao da izgradi mastabu, ali ne duguljastu, ve? kvadratnu tlocrtu. Kasnije je pro?iren, ali kako je pro?irenje spu?teno, tako su se formirale dvije stepenice.
Ova situacija nije zadovoljila arhitektu, pa je na gornju platformu ogromne ravne mastabe Imhotep postavio jo? tri, postepeno se spu?taju?i prema vrhu. Grobnica je bila ispod piramide.
Poznato je jo? nekoliko stepenastih piramida, ali su kasnije graditelji pre?li na izgradnju poznatijih tetraedarskih piramida. Za?to, me?utim, ne trouglasti ili, recimo, osmougaoni? Indirektan odgovor daje ?injenica da su skoro sve piramide savr?eno orijentisane na ?etiri kardinalne ta?ke, pa stoga imaju ?etiri strane. Osim toga, piramida je bila "ku?a", ?koljka ?etvorougaone grobne komore.
Ali ?ta je uzrokovalo ugao nagiba lica? U knjizi "Na?elo proporcija" tome je posve?eno cijelo poglavlje: "?ta bi moglo odrediti uglove piramida". Posebno je nazna?eno da je „slika kojoj gravitiraju velike piramide Starog kraljevstva trokut sa pravim uglom na vrhu.
U svemiru je to poluoktaedar: piramida u kojoj su ivice i stranice osnove jednake, lica su jednakostrani?ni trouglovi.Odre?ena razmatranja o ovoj temi daju se u knjigama Hambidgea, Geeka i drugih.
Koja je prednost ugla semioktaedra? Prema opisima arheologa i istori?ara, neke su se piramide sru?ile pod svojom te?inom. Ono ?to je bilo potrebno je bio "ugao izdr?ljivosti", ugao koji je bio energetski najpouzdaniji. ?isto empirijski, ovaj ugao se mo?e uzeti iz ugla vrha u gomili suvog peska koji se mrvi. Ali da biste dobili ta?ne podatke, morate koristiti model. Uzimaju?i ?etiri ?vrsto fiksirane lopte, morate staviti petu na njih i izmjeriti uglove nagiba. Me?utim, ovdje mo?ete pogrije?iti, stoga poma?e teoretski prora?un: treba da pove?ete sredi?ta loptica linijama (mentalno). U osnovi dobijate kvadrat sa stranom jednakom dvostrukom polumjeru. Kvadrat ?e biti samo osnova piramide, ?ija ?e du?ina ivica tako?er biti jednaka dvostrukom polumjeru.
Tako ?e nam gusto pakovanje loptica tipa 1:4 dati pravilan poluoktaedar.
Me?utim, za?to mnoge piramide, koje gravitiraju sli?nom obliku, ipak ga ne zadr?avaju? Vjerovatno piramide stare. Suprotno poznatoj izreci:
„Sve na svetu se boji vremena, a vreme se boji piramida“, zgrade piramida moraju da stare, u njima mogu i treba da se odvijaju ne samo procesi spolja?njeg tro?enja, ve? i procesi unutra?njeg „skupljanje“ , od ?ega piramide mogu postati ni?e. Skupljanje je mogu?e i zbog toga ?to su, kako su saznali radovi D. Davidovitsa, stari Egip?ani koristili tehnologiju izrade blokova od kre?njaka, odnosno od "betona". Upravo bi ti procesi mogli objasniti razlog uni?tenja piramide Medum, koja se nalazi 50 km ju?no od Kaira. Stara je 4600 godina, dimenzije osnove su 146 x 146 m, visina 118 m. „Za?to je tako osaka?en?“, pita se V. Zamarovsky. „Uobi?ajene reference na destruktivne efekte vremena i „upotrebu kamena za druge gra?evine“ ovde se ne uklapaju.
Uostalom, ve?ina njegovih blokova i oblo?nih plo?a i dalje je ostala na svom mjestu, u ru?evinama u njenom podno?ju. "Kao ?to ?emo vidjeti, niz odredbi navodi na pomisao da se i ?uvena Keopsova piramida "smanjila". U svakom slu?aju , na svim drevnim slikama, piramide su ?iljaste...
Oblik piramida mogao bi se stvoriti i imitacijom: neki prirodni uzorci, "?udesno savr?enstvo", recimo, neki kristali u obliku oktaedra.
Takvi kristali mogu biti dijamantski i zlatni kristali. Karakteristi?an je veliki broj znakova koji se "ukr?taju" za koncepte kao ?to su faraon, sunce, zlato, dijamant. Svugdje - plemenito, briljantno (briljantno), sjajno, besprijekorno i tako dalje. Sli?nosti nisu slu?ajne.
Solarni kult, kao ?to znate, bio je va?an dio religije starog Egipta. „Bez obzira kako prevodimo ime najve?e piramide“, ka?e jedan od savremenih ud?benika, „Sky Khufu“ ili „Sky Khufu“, to je zna?ilo da je kralj sunce. Ako je Khufu, u sjaju svoje mo?i, zami?ljao sebe kao drugo sunce, onda je njegov sin Jedef-Ra postao prvi od egipatskih kraljeva koji je sebe po?eo nazivati "sinom Ra", odnosno sinom Ned. Sunce su gotovo svi narodi simbolizirali kao "solarni metal", zlato. "Veliki disk od sjajnog zlata" - tako su Egip?ani nazivali na?u dnevnu svjetlost. Egip?ani su jako dobro poznavali zlato, poznavali su njegove izvorne oblike, gdje se zlatni kristali mogu pojaviti u obliku oktaedra.
Kao "uzorak oblika" ovdje je zanimljiv i "sun?ev kamen" - dijamant. Ime dijamanta do?lo je upravo iz arapskog svijeta, "almas" - najtvr?i, najtvr?i, neuni?tivi. Stari Egip?ani su poznavali dijamant i njegova svojstva su prili?no dobra. Prema nekim autorima, za bu?enje su koristili ?ak i bronzane cijevi sa dijamantskim reza?ima.
Ju?na Afrika je sada glavni dobavlja? dijamanata, ali zapadna Afrika je tako?er bogata dijamantima. Teritorija Republike Mali tamo se ?ak naziva i "Dijamantska zemlja". U me?uvremenu, na teritoriji Malija ?ive Dogoni, sa kojima pristalice hipoteze o paleovizitu pola?u mnoge nade (vidi dole). Dijamanti nisu mogli biti razlog za kontakte starih Egip?ana sa ovim krajem. Me?utim, na ovaj ili onaj na?in, mogu?e je da su upravo kopiranjem oktaedra dijamanata i zlatnih kristala stari Egip?ani obogotvorili faraone, “neuni?tive” poput dijamanta i “sjajne” poput zlata, sinove Sunca, uporedive samo sa najdivnijim kreacijama prirode.
zaklju?ak:
Prou?avaju?i piramidu kao geometrijsko tijelo, upoznaju?i se s njenim elementima i svojstvima, uvjerili smo se u opravdanost mi?ljenja o ljepoti oblika piramide.
Kao rezultat na?eg istra?ivanja, do?li smo do zaklju?ka da su ga Egip?ani, prikupiv?i najvrednije matemati?ko znanje, utjelovili u piramidu. Stoga je piramida zaista najsavr?enija kreacija prirode i ?ovjeka.
BIBLIOGRAFIJA
„Geometrija: Proc. za 7 - 9 ?elija. op?te obrazovanje institucije \ itd. - 9. izd. - M.: Obrazovanje, 1999
Istorija matematike u ?koli, M: "Prosvjeta", 1982
Geometrija 10-11 razred, M: "Prosvjeta", 2000
Peter Tompkins "Tajne Velike Keopsove piramide", M: "Centropoligraph", 2005.
Internet resursi
http://veka-i-mig. *****/
http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm
http://www. *****/enc/54373.html
