>>Математика 7 клас. Пълни уроци >>Геометрия: Отлагане на отсечки и ъгли. Пълни уроци

Полагане на линии и ъгли

Фигурата показва как да използвате владетелина полуправата a с начална точка A можете да начертаете отсечка с дължина 3 cm.

Тази фигура показва как да използвате транспортиротделете от полуправата a към горната равнина ъгъл с градусна мярка 60 °


Нека формулираме основните свойства на отлагането на сегменти и ъгли:

1. на всяка полуправа от нейната начална точка може да се начертае сегмент с дадена дължина и само един;
2. от която и да е полуправа към дадена полуравнина можете да отделите ъгъл с дадена градусна мярка, по-малка от 180°.

Пример за решение на проблем.

На лъч AB е начертана отсечка AC, по-малка от отсечката AB. Коя от трите точки A, B, C се намира между другите две?

Решение.
Тъй като точките B и C лежат на една и съща полуправа с началната точка A, това означава, че те не са разделени от точка A, тоест точката A не лежи между точките B и C.

Ако точка B се намира между точки A и C, тогава равенството ще бъде вярно: AB+BC=AC. Това е невъзможно, тъй като отсечката AC е по-малка от отсечката AB по условието. Следователно точка C не лежи между точки A и C.

От трите точки A, B, C само една лежи между другите две. В нашия случай: точка C се намира между точки A и B.

Рей.

Начертайте права a и отбележете точка O върху нея (фиг. 11).

Тази точка разделя линията на две части, всяка от които се нарича лъч, излизащ от точка O (на фигура 11 един от лъчите е маркиран с удебелена линия). Точка O се нарича начало на всеки от лъчите. Обикновено лъчът се обозначава или с малка латинска буква (например лъч h на фигура 12, а), или с две големи латински букви, първата от които показва началото на лъча, а втората - някаква точка на лъчът (например лъч OA на фигура 12, b).

Ъгъл.

Припомнете си, че ъгълъте геометрична фигура, която се състои от точка и два лъча, излизащи от тази точка. Лъчите се наричат страни на ъгъла, а общото им начало е върхът на ъгъла. Фигура 13 показва ъгъл с връх O и страни h и k. На страните са отбелязани точки A и B. Този ъгъл се означава по следния начин: hk, или AOB, или O.

Ъгълът се нарича ъгълако двете страни лежат на една права. Можем да кажем, че всяка страна на развития ъгъл е продължение на другата страна. Фигура 14 показва изправен ъгъл с връх C и страни p и q.

Всеки ъгъл разделя равнината на две части. Ако ъгълът не е развит, тогава се нарича една от частите вътрешни, и другият външенплощта на този ъгъл (фиг. 15, а). Фигура 15b показва разгънат ъгъл. Точки A, B, C лежат вътре в този ъгъл (т.е. във вътрешната област на ъгъла), точките D и E лежат отстрани на ъгъла, а точките P и Q лежат извън ъгъла (т.е. във външната област на ъгъла). Ако ъгълът е развит, тогава всяка от двете части, на които той разделя равнината, може да се счита за вътрешността на ъгъла. Фигура, състояща се от ъгъл и неговата вътрешност, се нарича още ъгъл.

Ако лъч идва от върха на незавъртян ъгъл и минава вътре в ъгъла, тогава той разделя този ъгъл на два ъгъла. На фигура (16, а) лъчът OS разделя ъгъла AOB на два ъгъла: AOC и COB. Ако ъгълът AOB е развит, тогава всеки лъч OS, който не съвпада с лъчите OA и OB, разделя този ъгъл на два ъгъла: AOC и COB (фиг. 16, b).


Сравнение на отсечки и ъгли.

Фигура 20, а показва два сегмента. За да установим дали са равни или не, нека насложим един сегмент върху друг, така че краят на един сегмент да е подравнен с края на другия (фиг. 20, b). Ако в същото време другите два края също са съвместими, тогава сегментите са напълно съвместими и следователно са равни. Ако другите два края не съвпадат, тогава сегментът, който е част от другия, се счита за по-малък. На фигура 20 сегмент AC е част от сегмент AB, следователно сегмент AC е по-малък от сегмент AB (записан така: AC<АВ).

Точката на отсечката, която я разделя наполовина, тоест на две равни отсечки, се нарича среда на отсечката. На фигура 21 точка C е средата на отсечката AB.

Фигура 22, a показва разгънати ъгли 1 и 2. За да установим дали са равни или не, налагаме единия ъгъл върху другия, така че страната на единия ъгъл да е подравнена със страната на другия, а другите два да са от една и съща страна на подравнените страни (фиг. 22, б). Ако другите две страни също са еднакви, тогава ъглите са напълно еднакви и следователно са равни. Ако тези страни не съвпадат, тогава по-малкият ъгъл се счита за този, който е част от другия. На фигура (22,b) ъгъл 1 е част от ъгъл 2, така че 1<2.

Разгънат ъгъле част от разгърнатите(фиг. 23), така че разгънатият ъгъл е по-голям от неразвития. Всеки два прави ъгъла очевидно са равни.

Лъч, който излиза от върха на ъгъл и го разделя на два равни ъгъла, се нарича ъглополовящаъгъл. На фигура 24 лъч л- ъглополовяща на ъгъла hk.

Въпроси:

1. Колко градуса е ъгълът?
2. Какво е ъглополовяща?
3. За какво е транспортер?

Списък на използваните източници:

1. П. И. Алтинов, Геометрия 7-9 клас. Москва. Издателство "Дрофа", 2005г.
2. Програми на образователни институции. Геометрия 7-9 клас. Съставител: S.A. Бурмистров. Москва. "Просвета", 2009 г.
3. Вестник "Математика" бр.19, 2000г.
4. Атанасян, Геометрия 7-9 клас.
5. Павлов А. Н. Геометрия: Планиметрия в тези и решения.
6. Редактирано и изпратено от Potunak S.A.

Работихте върху урока:

Потурнак С.А.

Геометрия

Основните свойства на най-простите геометрични фигури

Определение. Аксиоми

Геометрияе наука за свойствата на геометричните фигури.
Моля, обърнете внимание: геометрична фигура е не само триъгълник, кръг, пирамида и т.н., но и всякакъв набор от точки.
Планиметрияе клон на геометрията, който изучава фигури в равнина.
Точкаи правса основните понятия на планиметрията. Това означава, че това понятие не може да бъде точно дефинирано. Те могат само да се представят, разчитайки на опита и изброявайки свойствата им.
Наричат се твърдения, чиято валидност се приема без доказателство аксиоми. Те съдържат формулировки на основните свойства на най-простите фигури.
Твърденията, които доказват, се наричат теореми.
Определение- това е обяснение на концепция, която се основава или на основни понятия, или на понятия, които са били предварително дефинирани.
Обозначения: точките се обозначават с главни латински букви; прави линии - с малки латински букви или две големи латински букви (ако на правата линия са посочени две точки).
Точки на фигурата А, б, ° С, н,Ми директно аи b. директен аможе да се нарече стрейт MN(или NM).

Записът означава, че точката Млежи на права линия а. Записът означава, че точката ОТне лежи на права линия а.
Трябва да се разбере, че директен аи bна фигурата се пресичат, въпреки че не виждаме, в точка.

Основни свойства (аксиоми) на принадлежност на точки и прави в равнината

Аксиома I.
1. Каквато и да е правата, има точки, които принадлежат на тази права, и точки, които не й принадлежат.
2. Права може да бъде начертана през всякакви две точки и само една. (Трябва да се разбере, че тук има две твърдения: първо, съществуването на такава линия и второ, нейната уникалност.)
Аксиома II. От трите точки на една права една и само една лежи между другите две.
сегментНарича се частта от правата, която се състои от всички точки на тази права, лежащи между две дадени точки от нея. Тези точки се наричат краищата на сегмента. Фигурата показва сегмент AB(отсечка се отбелязва с изписване на края й).

Основни свойства (аксиоми) измерване на сегменти

Аксиома III.
1. Всеки сегмент има определена дължина, по-голяма от нула.
2. Дължината на една отсечка е равна на сумата от дължините на частите, на които тя е разделена от някоя от точките си.

Основното свойство на поставяне на точки спрямо права линия в равнина

Аксиома IV. Правата разделя равнината на две полуравнини.
Това разделение има следното свойство: ако краищата на който и да е сегмент принадлежат на една и съща равнина, тогава сегментът не пресича правата; ако крайните точки на сегмент принадлежат към различни p?vplanes, тогава сегментът пресича линията.
Pivdirect, или лъч, се нарича част от права, която се състои от всички точки на тази права, лежащи от едната страна на дадена точка от нея. Тази точка се нарича начална точка на лъча. Наричат се различни линии на една права с обща начална точка допълнителен.
Фигурата показва лъчите AB(известен още като AC), DA(или Д.Б., DC), пр.н.е, CB(или CA, CD), BA(или BD), AD.

Лъчи ABи от н.е., пр.н.еи BD- допълнителен. Лъчи BDи ACне се допълват, защото имат различни отправни точки.
Ъгъле фигура, която се състои от точка - ъглови върхове- и две различни pіv линии, излизащи от тази точка, - ъглови страни.
Ъгълът, показан на фигурата, може да бъде означен по следния начин: , , .

Ако страните на ъгъла са допълващи се прави, ъгълът се нарича разгърнати:

Казват, че лъч минава между страните на ъгъл, ако идва от неговия връх и пресича някакъв сегмент с краища отстрани. За прав ъгъл приемаме, че всеки лъч, който излиза от неговия връх и е различен от неговите страни, минава между страните на ъгъла.

Основни свойства на измерването на ъгли

Аксиома V
1. Всеки ъгъл има определена градусна мярка, по-голяма от нула. Разгънатият ъгъл е .
2. Градусната мярка на ъгъл е равна на сбора от градусните мерки на ъглите, на които той е разделен от всеки лъч, минаващ между страните му.

Основни свойства на полагащите линии и ъгли

Аксиома VI. На всяка линия от началната й точка може да се начертае отсечка с дадена дължина и то само една.
Аксиома VII. От всяка линия в дадена линия можете да отделите ъгъл с дадена градусна мярка, по-малка от , и само една.
триъгълникФигура се нарича фигура, която се състои от три точки, които не лежат на една права линия, и три сегмента, свързващи тези точки по двойки. Точките се наричат триъгълни върхове, а сегментите са неговите партии.
Триъгълникът на фигурата може да бъде означен по следния начин: или и т.н.

Основни елементи за изобразяване на горния триъгълник: страни AB, AC, пр.н.е(или а, b, ° С); ъгли (или ), , . и - в непосредствена близост до страната AC. - обратната страна AC.
Триъгълниците се наричат равенако съответните им страни са равни и съответните ъгли са равни. В този случай съответните ъгли трябва да лежат срещу съответните страни.
Записът означава (вижте фигурата), че:
; ;
; ;
; .

Основното свойство на съществуването на равни триъгълници

Аксиома VIII. Какъвто и да е триъгълникът, има триъгълник, равен на него в дадено местоположение по отношение на даден pіvstraya.
Правите се наричат паралеленако не се пресичат.
Успоредните прави, показани на фигурата, могат да бъдат означени по следния начин: или.

Аксиома за успоредни прави

Аксиома IX. През точка, която не лежи на дадена права, може да се прекара най-много една права в равнината, успоредна на дадената права.
Обърнете внимание, че аксиомата потвърждава уникалността на такава линия, но не потвърждава нейното съществуване.

Взаимно разположение на прави в равнина

Две прави в една равнина могат:
съвпада;
да са успоредни (т.е. да не се пресичат);
имат една обща точка.
(Наистина, ако две прави могат да имат поне две общи точки, тогава две различни прави ще минават през тези две точки, което противоречи на аксиома II, т. 2).

Системата на преподаване, която сега използвам в уроците си, се основава на принципа: позицията на учителя не е с отговор на класа (готови знания, умения и способности), а с въпрос, позицията на ученика е да знае свят. Създаването на условия в класната стая за формиране на интелектуални умения и когнитивни умения, които са в основата на мисленето, развитието на творческите способности и самостоятелната дейност на учениците, формирането на ключови компетентности е добре съчетано с проблемно-търсещия подход в обучението. Именно на основата на „ученето чрез откриване“ се опитвам да изградя всичките си уроци. Още от първите уроци по геометрия в 7 клас уча децата търпеливо и съзнателно, по метода „проба-грешка” да усвояват непознати знания. Проблемни въпроси, противоречиви факти, взаимно изключващи се гледни точки или отговори на учениците, практически задачи, които водят до търсене на неизвестни знания, се превръщат в средство за контролиране на мисленето. Искам да предложа няколко презентации на уроци по геометрия в 7 клас, които са изградени на горните принципи.

Изтегли:

Преглед:

За да използвате визуализацията на презентации, създайте акаунт в Google (акаунт) и влезте: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Основни свойства на полагащите линии и ъгли

1. Начертайте права линия (хоризонтално), отбележете на нея точки O и B. 2. На лъча OB от началната му точка отделете отсечка, равна на 5 cm. 3. От лъча OB към долната полуравнина отделете ъгъл BOA, равен на 50 ° Въпроси: Колко отсечки с дадена дължина могат да бъдат отложени на полуправа от началната й точка? Колко отсечки с дадена дължина могат да бъдат начертани от дадена точка на дадена права? Колко ъгли с дадена стойност (градусна мярка) могат да бъдат начертани от полуправа в дадена полуравнина? Колко ъгъла с дадена градусна мярка могат да бъдат начертани от дадена полуправа?

O H C OS = 5 cm B O A 50° ? B O A = 50 ° O B C C "OS = 5 cm O B A B" 50 ° 50 ° ? B O A = 50 ° ? B ‘ OA = 50 °

VI. На всяка полуправа от началната й точка можете да отложите сегмент с дадена дължина и само един. VII. От всяка полуправа до дадена полуравнина може да се отложи ъгъл с дадена градусна мярка, по-малка от 180°, и то само един.

ТЕМА "Основни свойства на сегмент"

Като пример за използването на електронен учебник в уроците по геометрия в 7 клас ще анализираме как се въвежда понятието „Основни свойства на сегмента“.

Този избор се дължи на следните съображения:

1. Това е една от най-важните концепции както за началните, така и за систематичните курсове по геометрия;

2. Отсечката, за разлика например от лъч или права линия, има метрична характеристика - дължина.

Настоящата програма по математика дава следните препоръки:

1. Изучаването на материала се организира въз основа на житейския опит на учениците, техните практически умения;

2. Характерните свойства на сегмента се забелязват в хода на решаване на задачи и извършване на конструкции;

3. Основно внимание се обръща на формирането на умения за измерване и конструиране на отсечки с линийка.

В резултат на изучаването на геометричен материал в съответствие с текущата програма, учениците трябва да знаят:

1. Че има една отсечка, свързваща две точки от равнината;

2. Отсечката е ограничена от двете страни и е част от права линия;

3. Определяне на равни отсечки;

4. Свойството на дължината на отсечката - дължината на сбора от отсечките е равна на сбора от дължините на сбора на отсечките.

Студентите трябва да могат да:

1. Разпознава сегменти, включително включени в различни геометрични фигури;

2. Изграждане на сегменти, обозначаване и измерване;

3. Сравнете сегменти.

В традиционното представяне изследването на този материал се извършва в съответствие със следната схема:

1. Построяване на сегмент;

2. Обозначение на сегмента;

3. Дължината на сегмента, единици за дължина;

4. Свойства на отлагане на сегменти;

5. Намиране на дължината на сбора от отсечки.

Упражненията, съдържащи се в различни съвременни учебници и учебни помагала, могат да бъдат класифицирани в следните видове:

а) изграждане на сегменти;

б) обозначение на сегменти;

в) измерване и сравнение на сегменти;

г) намиране на дължина на начупена линия или периметър на многоъгълник;

д) намиране на дължината на сбора от отсечки.

По този начин понятието "сегмент" е пряко свързано с неговата дължина. Разглеждането на концепцията за "сегмент" ще започне с разпределението на характерни свойства, които не са свързани с измерването. Това са свойства, които ви позволяват да установите сходството на сегмент с други геометрични фигури, неговата разлика от тях, тоест да включите идеята за сегмент в съществуващата система от геометрични изображения на учениците.

Основните свойства на сегмента - праволинейност и ограниченост в две посоки - се разкриват, когато се сравнява с права линия или лъч.

Тези свойства ви позволяват да измерите сегмент, тоест да сравните дължината му със стандарт за дължина.

Наистина дължината на права линия и лъч не могат да бъдат измерени поради тяхната неограниченост. За крива линия директното измерване на дължината е трудно поради произволната й форма. Въпреки това, дори ако дължината на кривата е известна, това число не казва нищо за нейната форма, тъй като има безкраен брой извити линии с дадена дължина. Дължината на една отсечка еднозначно я определя като геометрична фигура.

В тази статия се предлага да се проучи понятието "сегмент" в съответствие със следната схема:

1. изграждане на сегмент;

2. обозначение на сегмента;

3. основни неметрични свойства на сегмента;

4. основното свойство на отлагане на сегмента;

5. дължина на сегмента, единици за дължина;

6. равни отсечки, сравнение на отсечки по дължина;

7. намиране на дължината на сумата от отсечки.

Един час е отделен за запознаване с темата „Сегментът и неговите свойства“.

УРОК "Основни свойства на сегментите."

Целта на урока: формирането на идеи на учениците за сегмента като ограничена праволинейна геометрична фигура и взаимното разположение на точките в равнината.

I. Подготовка за изучаване на нов материал.

Учениците са запознати с сегмента, неговата конструкция и измерване от началното училище. Ето защо в началото на урока учениците си спомнят различните начини за конструиране на сегмент с линийка и нейното обозначение.

повторение:

Метод 1: С помощта на линийка изграждаме права линия, маркираме върху нея две точки A и B, които определят отсечката AB.

Отсечка AB - част от права линия,

А Бограничени от точки.

Линеен сегмент AB

Метод 2: На равнината маркираме две точки A и B. Свързваме ги по линийка, която не надхвърля точките A и B.

Отсечката AB се състои от всички точки

права линия между точките

НО AT A и B, както и самите точки.

Линеен сегмент AB

Учениците запомнят всичко, което знаят за отсечката: 1) отсечката е плоска фигура (лежи върху равнина); 2) тя е част от права линия; 3) сегментът се състои от безкраен набор от точки; 4) ограничен е от двете страни; 5) всяка точка от отсечката лежи между две дадени точки, наречени краища на отсечката.

Всичко това учениците запомнят на базата на електронния учебник, като отворят страницата „сегмент“. (фиг. 8)

Фигура 8

Представяне на нов материал. Използване на страницата на EUP "Планиметрия": "Основни свойства на сегмента"

След като учениците си спомнят и повторят това, което знаят за отсечката, учителят казва: че краищата на отсечката се наричат гранични точки, а всички лежащи между тях са вътрешни точки на отсечката.

След това учителят моли децата да се обърнат към електронния учебник, който показва чертеж и обяснение, което води учениците до основните свойства на измерване и отлагане на сегмент.

II. Анкериране

Студентите са поканени да изпълнят няколко задачи за принадлежност на точки към отсечки, отсечки към прави линии и лъчи, както и тяхното конструиране, от вида:

1. Отбележете в тетрадката си точки К и М. Построете с линийка отсечка КМ. Отбележете на тази отсечка точки P и T. Назовете отсечките, на които тези точки разделят отсечката KM. На какви отсечки точка Т разделя отсечката KM?

2. Коя от точките, посочени на фиг. принадлежат към сегмент CD и кои от тях не?

Въпроси за консолидация:

1. Как се обозначават точките и линиите?

2. Кои отбелязани точки на фигурата лежат на правата a, кои точки на правата c? В коя точка се пресичат правите a и b?

3. Формулирайте основните свойства на отлагането на сегменти.

4. Формулирайте основното свойство на измервателните сегменти.