Слайд 19

монотонно намаляваща на R. Оста x е хоризонтална асимптота, монотонно нарастваща на R 8. За всякакви реални стойности на x и y; a>0, a?1; b>0, b?1. 7. Асимптота 6. Екстремуми 5. Монотонност 4. Четност, нечетност 3. Интервали на сравнение на стойности на функция с единица 2. Диапазон от стойности на функция няма екстремуми Функцията не е нито четна, нито нечетна (общ функция).

Слайд 20

Експоненциални неравенства, техните видове и методи за решаване Задача номер 1 Намерете областта на функцията

слайд 21

Експоненциални неравенства, техните видове и методи за решение Задача номер 2 Определете стойностите

слайд 22

Експоненциални неравенства, техните видове и методи за решаване Задача № 3 Определете вида на функцията нарастваща намаляваща нарастваща намаляваща

слайд 23

Въвеждане на нови знания

слайд 24

Показателни неравенства, техните видове и методи за решаване ОПРЕДЕЛЕНИЕ на най-простите показателни неравенства: Нека a е дадено положително число, различно от единица и b е дадено реално число. Тогава неравенствата ax>b (ax>=b) и ax

Слайд 25

Експоненциални неравенства, техните видове и методи за решаване Решението на неравенство с неизвестно x е числото x0, при заместването му в неравенството се получава истинско числово неравенство.

слайд 26

Показателни неравенства, техните видове и методи за решаване КАКВО ОЗНАЧАВА да се реши неравенство? Да решиш неравенство означава да намериш всички негови решения или да покажеш, че няма такива.

Слайд 27

Разгледайте относителната позиция на графиката на функцията y=ax, a>0, a?1 и правата линия y=b Експоненциални неравенства, техните видове и методи за решаване y x y x y=b, b 0 y=b, b> 0 0 1 0 1 x0 x0

Слайд 28

Експоненциални неравенства, техните видове и методи за решаване се намира под кривата y=ax, така че неравенствата ax>b(ax>=b) са валидни за xR, а неравенствата ax

Слайд 29

ИЗВОД №2: y x 0 x0 x1 y=b, b>0 x2 Експоненциални неравенства, техните видове и методи за решение Ако a>1 и b > 0, тогава за всеки x1 x0- под линията y=b. 1 За b> 0 правата y = b пресича графиката на функцията y= ax в една точка, чиято абциса е x0 = logab

слайд 30

ИЗВОД №2: y x 0 x0 x1 y=b, b>0 1 Експоненциални неравенства, техните видове и методи за решаване на всяко x2 0, правата y = b пресича графиката на функцията y= ax в една точка , чиято абциса е x0 = logab x2

Слайд 31

Най-простите показателни неравенства Експоненциални неравенства, техните видове и методи за решаване

слайд 32

Експоненциални неравенства, техните видове и методи за решаване Пример № 1.1 Отговор: нараства в цялата област на дефиниция, Решение:

Слайд 33

Експоненциални неравенства, техните видове и методи за решаване Пример № 1.2 Решение: Отговор: намалява в цялата област на дефиниция,

слайд 34

Експоненциални неравенства, техните видове и методи за решаване Пример № 1.3 Решение: Отговор: нараства в цялата област на дефиниране,

Слайд 35

Експоненциални неравенства, техните видове и методи за решаване. Видове експоненциални неравенства и методи за решаването им

слайд 36

Експоненциални неравенства, техните видове и методи за решаване Пример № 1.4 Решение: нараства в цялата област на дефиниция, Отговор:

Слайд 37

Експоненциални неравенства, техните видове и методи за решаване

Слайд 38

Експоненциални неравенства, техните видове и методи за решаване Видове експоненциални неравенства и методи за решаването им 2) Експоненциални неравенства, които се свеждат до квадратни неравенства

Слайд 39

Показателни неравенства, техните видове и методи за решаване Видове показателни неравенства и методи за решаването им 3) Еднородни показателни неравенства от първа и втора степен. Хомогенни експоненциални неравенства от първа степен Пример № 1 нараства по цялата област на дефиниция Отговор: Решение:

Показателни неравенства, техните видове и методи за решаване Видове показателни неравенства и методи за решаването им 4) Показателни неравенства, които се свеждат до рационални неравенства.

слайд 43

Показателни неравенства, техните видове и методи за решаване Видове показателни неравенства и методи за решаването им 5) Експоненциални нестандартни неравенства Примерно решение: Нека решим всяко твърдение от множеството поотделно. Неравенството е равно на съвкупност

Слайд 44

Показателни неравенства, техните видове и методи за решаване Видове показателни неравенства и методи за решаването им не е решение на уравнението. Така,

Слайд 45

Затвърдяване на знанията

Кои неравенства се наричат експоненциални? Кога едно експоненциално неравенство има решение за всякакви стойности на x? Кога едно експоненциално неравенство няма решения? Какви видове неравенства научихте в този урок? Как се решават прости неравенства? Как се решават неравенствата, сведени до квадратни? Как се решават еднородните неравенства? Как се решават неравенствата, редуцирани до рационални?

Слайд 46

Обобщение на урока

Разберете какво са научили учениците в този урок Дайте оценки на учениците за работа в урока с подробен коментар

Слайд 47

Домашна работа

Учебник за 10 клас "Алгебра и началото на анализа" Автор С. М. Николски За изучаване на параграфи 6.4 и 6.6, № 6.31-6.35 и № 6.45-6.50 решаване

Слайд 48

Експоненциални неравенства, техните видове и методи за решаване

Алгебра и началото на математическия анализ. 10 клас. Учебник. Николски С.М. и т.н.

Основно и профилно ниво

8-мо изд. - М.: Просвещение, 2009. - 430 с.

Учебникът е съобразен с федералните компоненти на държавния стандарт за общообразователна подготовка по математика и съдържа материал както за основно, така и за специализирано ниво. Можете да работите по него независимо от това, по какви учебници са учили учениците през предходните години.

Учебникът е насочен към подготовка на учениците за прием във ВУЗ.

формат: djvu

Размерът: 15,2 MB

Гледайте, изтеглете:drive.google ; Rghost

формат: pdf

Размерът: 42,3 MB

Гледайте, изтеглете:drive.google ; Rghost

Забележка:В PDF качеството е по-добро, почти отлично. Изработено от същото сканиране, 150 dpi, цветно. Но в DJVU се оказва малко по-зле. Това е един от случаите, когато размерът има значение.

СЪДЪРЖАНИЕ
ГЛАВА I. КОРЕНИ, СТЕПЕНИ, ЛОГАРИТИ
§ 1. Реални числа 3
1.1. Концепцията за реално число 3
1.2. Набори от числа. Свойства на реалните числа. ... десет
1,3*. Метод на математическата индукция 16
1.4. Пермутации 22
1.5. Настаняване 25
1.6. Комбинации 27
1,7*. Доказателство на числови неравенства 30
1,8*. Делимост на цели числа 35
1,9*. Сравнения по модул m 38
1.10*. Задачи с цели неизвестни 40
§ 2. Рационални уравнения и неравенства 44
2.1. Рационални изрази 44
2.2. Биномни формули на Нютон, суми и разлики в степени. . 48
2.3*. Деление на полиноми с остатък. Алгоритъмът на Евклид... 53
2,4*. Теорема на Безу 57
2,5*. Корен от полином 60
2.6. Рационални уравнения 65
2.7. Системи рационални уравнения 70
2.8. Метод на интервалите за решаване на неравенства 75
2.9. Рационални неравенства 79
2.10. Нестроги неравенства 84
2.11. Системи рационални неравенства 88
§ 3. Корен от степен n 93
3.1. Понятие за функция и нейната графика 93
3.2. Функция y \u003d x "96
3.3. Концепцията за корена на степен n 100
3.4. Корени на четни и нечетни степени 102
3.5. Аритметичен корен 106
3.6. Свойства на корените от степен l 111
3,7*. Функция y \u003d nx (x\u003e 0) 114
3,8*. Функция y = nVx 117
3,9*. Корен n-ти от естественото число 119
§ 4. Степен на положително число 122
4.1. Степен с рационален показател 122
4.2. Степенни свойства с рационален показател 125
4.3. Концепцията за границата на редица 131
4,4*. Свойства на ограничение 134
4.5. Безкрайно намаляваща геометрична прогресия. . . 137
4.6. Номер е 140
4.7. Концепцията за степен с ирационален показател .... 142
4.8. експоненциална функция 144
§ 5. Логаритми 148
5.1. Понятието логаритъм 148
5.2. Свойства на логаритмите 151
5.3. Логаритмична функция 155
5,4*. Десетични логаритми 157
5,5*. Степенни функции 159
§ 6. Показателни и логаритмични уравнения и неравенства. . 164
6.1. Най-простите експоненциални уравнения 164
6.2. Най-простите логаритмични уравнения 166
6.3. Уравнения, намалени до най-простите чрез промяна на неизвестното 169
6.4. Най-простите експоненциални неравенства 173
6.5. Най-простите логаритмични неравенства 178
6.6. Неравенства, свеждащи се до най-простото заместване на неизвестното 182
Историческа справка 187
ГЛАВА II. ТРИГОНОМЕТРИЧНА ФОРМУЛА. ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ФУНКЦИИ
§ 7. Синус и косинус на ъгъл 193
7.1. Концепцията за ъгъл 193
7.2. Радианна мярка за ъгъл 200
7.3. Определяне на синус и косинус на ъгъл 203
7.4. Основни формули за sin a и cos a 211
7.5. Арксинус 216
7.6. Арккосинус 221
7,7*. Примери за използване на арксинус и аркосинус .... 225
7,8*. Формули за арксинус и аркосинус 231
§ 8. Тангенс и котангенс на ъгъл 233
8.1. Определяне на тангенса и котангенса на ъгъл 233
8.2. Основни формули за tg a и ctg a 239
8.3. Арктангенс 243
8,4*. Арка допирателна 246
8,5*. Примери за използване на арктангенс и арктангенс. . 249
8,6*. Формули за аркутангенс и аркутангенс 255
§ 9. Формули за събиране 258
9.1. Косинус от разликата и косинус от сбора на два ъгъла 258
9.2. Формули за допълнителни ъгли 262
9.3. Синус от сумата и синус от разликата на два ъгъла 264
9.4. Сбор и разлика от синуси и косинуси 266
9.5. Формули за двоен и половин ъгъл 268
9,6*. Произведение от синуси и косинуси 273
9,7*. Формули за допирателни 275
§ 10. Тригонометрични функции на числен аргумент 280
10.1. Функция y \u003d sin x 281
10.2. Функция y \u003d cos x 285
10.3. Функция y = tg * 288
10.4. Функция y = ctg x 292
§ 11. Тригонометрични уравнения и неравенства 295
11.1. Най-простите тригонометрични уравнения 295
11.2. Редуциране на уравнения до най-простите чрез замяна на неизвестното 299
11.3. Приложение на основни тригонометрични формули за решаване на уравнения 303
11.4. Хомогенни уравнения 307
11,5*. Най-простите неравенства за синус и косинус .... 310
11,6*. Най-простите неравенства за тангенс и котангенс. . . 315
11.7*. Неравенства, свеждащи се до най-простото заместване на неизвестното 319
11,8*. Въвеждане на спомагателния ъгъл 322
11,9*. Замяна на неизвестното t \u003d sin x + cos x 327
Историческа информация 330
ГЛАВА III. ЕЛЕМЕНТИ НА ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ
§ 12. Вероятност за събитие 333
12.1. Концепцията за вероятността от събитие 333
12.2. Свойства на вероятностите за събития 338
§ 13*. Честота. Условна вероятност 342
13.1*. Относителна честота на събитието 342
13.2*. Условна вероятност. Независими събития 344
§ четиринадесет*. Очаквана стойност. Закон за големите числа 348
14.1*. Математическо очакване 348
14.2*. Трудно преживяване 353
14.3*. Формула на Бернули. Закон за големите числа 355
Историческа справка 359
ПРЕГЛЕД 362
Индекс 407
Отговори 410

Тема 6. Показателни и логаритмични уравнения и неравенства (11 часа)
Тема на урока. Неравенства, които се свеждат до най-простите чрез замяна на неизвестното.
Целта на урока: Да се формират умения за решаване на експоненциални и логаритмични неравенства, чрез свеждане до най-простите, чрез заместване на неизвестното.
Задачи:
Образователни: повторете и консолидирайте знанията по темата "решаване на най-простите експоненциални и логаритмични неравенства", научете как да решавате логаритмични и експоненциални неравенства чрез метода на заместване.
Развитие: формиране на способността на ученика да разграничава два вида неравенства и да определя начини за решаването им (логическо и интуитивно мислене, обосноваване на преценки, класификация, сравнение), формиране на умения за самоконтрол и самоанализ, способност за движение по зададен алгоритъм оценява и коригира резултата.
Образователни: да продължи формирането на такива качества на учениците като: способността да се изслушват един друг; способността за упражняване на взаимен контрол и самооценка.
Тип урок: комбиниран.
Учебник Алгебра 10 клас С.М. Николски, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин
По време на часовете
Организиране на времето.
Проверка на домашните.
Актуализиране на основни знания.
Фронтален:
1. Какви неравенства се наричат най-простите показателни неравенства?
2. Обяснете какво е значението на решаването на най-простите показателни неравенства.
3. Какви неравенства се наричат най-простите логаритмични неравенства?
4. Обяснете какво е значението на решаването на най-простите логаритмични неравенства.
С бележка на дъската (по 1 ученик):
Решете неравенства
2x<1160,3х<103log2x>5log15x>-2 Обяснение на новия материал и постепенното му затвърдяване.
1.1. Обяснение на нов материал.
1. Решете неравенството:
2x2-3x<14Пусть х2-3х=t, тогда
2т<142t<2-2т. к. основание 2>1, тогава
T<-2Обратная замена:
х2-3х<-2х2-3х+2<0Нахдим его корни: x1=1, x2=2Отмечаем эти точки на координатной прямой и выясняем знак выражения x2-3x+2 на каждом из полученных интервалов.
Интересуваме се от знака "--". Тогава получаваме
Отговор: x?(1;2)
2. Решете неравенството

1.2. Стъпка по стъпка укрепване.
№ 6.49 (a, c).
№ 6.52 (e).
а) 74x2-9x+6>74x2-9x+6>14x2-9x+5>0x1=5/4x2=1
Отговор: -?; 1?54; + ?v) (13) 5x2-4x-3> 95x2-4x-3<-25х2-4х-1<0x1=-15 x2=1
Отговор: -15; 1д) log5x2-2x-3<1
log5x2-2x-3 00<х2-2х-3<5х2-2х-3<5х2-2х-3>0 x2-2x-8<0х2-2х-3>0

Отговор: -2;-1?3;42.1. Обяснение на нов материал.
3. Решете неравенството

Тогава 1 неравенство има смисъл за всички х, а второто

2.2. Стъпка по стъпка укрепване.
Решете неравенство #6.56(c)
3.1. Обяснение на нов материал.
4. Решете неравенството

3.2. Стъпка по стъпка укрепване.
Решете неравенство #6.60(a)
Обобщаване на урока.
Отражение.
Домашна работа.
С. 6.6
№ 6.49 (b, d)
№ 6.52 (a, b)
№ 6.56 (e)
№ 6.60 (b)

Прикачени файлове

Много хора смятат, че експоненциалните неравенства са нещо толкова сложно и неразбираемо. И че да се научиш да ги решаваш е почти велико изкуство, което само Избраните могат да проумеят...

Пълни глупости! Експоненциалните неравенства са лесни. И винаги са лесни за решаване. Е, почти винаги. :)

Днес ще анализираме тази тема надлъж и нашир. Този урок ще бъде много полезен за тези, които тепърва започват да разбират този раздел от училищната математика. Нека започнем с прости задачи и да преминем към по-сложни проблеми. Днес няма да има суровост, но това, което ще прочетете, ще е достатъчно за решаване на голяма част от неравностите във всички видове контролни и самостоятелни работи. И на този изпит също.

Както винаги, нека започнем с определение. Експоненциално неравенство е всяко неравенство, което съдържа експоненциална функция. С други думи, винаги може да се сведе до неравенство на формата

\[((a)^(x)) \gt b\]

Където ролята на $b$ може да бъде обикновено число или може би нещо по-трудно. Примери? Да моля:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ четворка ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(х))). \\\край (подравняване)\]

Мисля, че смисълът е ясен: има експоненциална функция $((a)^(x))$, тя се сравнява с нещо и след това се иска да се намери $x$. В особено клинични случаи, вместо променливата $x$, те могат да поставят някаква функция $f\left(x \right)$ и по този начин да усложнят малко неравенството. :)

Разбира се, в някои случаи неравенството може да изглежда по-сериозно. Например:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Или дори това:

Като цяло сложността на такива неравенства може да бъде много различна, но в крайна сметка те все пак се свеждат до проста конструкция $((a)^(x)) \gt b$. И ние по някакъв начин ще се справим с такъв дизайн (в особено клинични случаи, когато нищо не идва на ум, логаритмите ще ни помогнат). Затова сега ще научим как да решаваме такива прости конструкции.

Решение на най-простите експоненциални неравенства

Нека да разгледаме нещо много просто. Ето го например:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Очевидно числото отдясно може да бъде пренаписано като степен на две: $4=((2)^(2))$. Така първоначалното неравенство се пренаписва в много удобна форма:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

И сега ни сърбят ръцете да "задраскам" двойките, стоящи в основите на градусите, за да получим отговора $x \gt 2$. Но преди да зачеркнем нещо, нека си припомним силите на две:

\[((2)^(1))=2;\квад ((2)^(2))=4;\квад ((2)^(3))=8;\квад ((2)^( 4))=16;...\]

Както можете да видите, колкото по-голямо е числото в степента, толкова по-голямо е изходното число. „Благодаря, Кап!“ – ще възкликне един от учениците. Случва ли се иначе? За съжаление се случва. Например:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ дясно))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Тук също всичко е логично: колкото по-голяма е степента, толкова повече пъти числото 0,5 се умножава по себе си (т.е. дели се наполовина). Така получената последователност от числа намалява, а разликата между първата и втората последователност е само в основата:

• Ако основата на степен $a \gt 1$, тогава с нарастването на степента $n$ числото $((a)^(n))$ също ще расте;
• Обратно, ако $0 \lt a \lt 1$, тогава с нарастването на показателя $n$ числото $((a)^(n))$ ще намалява.

Обобщавайки тези факти, получаваме най-важното твърдение, на което се основава цялото решение на експоненциалните неравенства:

Ако $a \gt 1$, тогава неравенството $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ е еквивалентно на неравенството $x \gt n$. Ако $0 \lt a \lt 1$, тогава неравенството $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ е еквивалентно на неравенството $x \lt n$.

С други думи, ако основата е по-голяма от единица, можете просто да я премахнете - знакът за неравенство няма да се промени. И ако основата е по-малка от единица, тогава тя също може да бъде премахната, но знакът на неравенството също ще трябва да се промени.

Имайте предвид, че не сме разгледали опциите $a=1$ и $a\le 0$. Защото в тези случаи има несигурност. Да предположим как се решава неравенство от вида $((1)^(x)) \gt 3$? Едно на всяка степен отново ще даде единица - никога няма да получим три или повече. Тези. няма решения.

С отрицателните основи е още по-интересно. Помислете например за следното неравенство:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

На пръв поглед всичко е просто:

Правилно? Но не! Достатъчно е да замените няколко четни и няколко нечетни числа вместо $x$, за да сте сигурни, че решението е грешно. Погледни:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Стрелка надясно ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Стрелка надясно ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Стрелка надясно ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Както можете да видите, знаците се редуват. Но все още има дробни градуси и други калай. Как, например, бихте наредили да преброите $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (минус две, повдигнато до корен от седем)? Няма начин!

Следователно, за определеност приемаме, че във всички експоненциални неравенства (и уравнения, между другото също) $1\ne a \gt 0$. И тогава всичко се решава много просто:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]

Като цяло, запомнете още веднъж основното правило: ако основата в експоненциалното уравнение е по-голяма от единица, можете просто да я премахнете; и ако основата е по-малка от единица, тя също може да бъде премахната, но това ще промени знака за неравенство.

Примери за решения

Така че, разгледайте няколко прости експоненциални неравенства:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\край (подравняване)\]

Основната задача е една и съща във всички случаи: да се намалят неравенствата до най-простата форма $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Ето какво ще направим сега с всяко неравенство и в същото време ще повторим свойствата на степените и показателната функция. Така че да тръгваме!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Какво може да се направи тук? Е, отляво вече имаме демонстративен израз - нищо не трябва да се променя. Но отдясно има някакви глупости: дроб и дори корен в знаменателя!

Запомнете обаче правилата за работа с дроби и степени:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\край (подравняване)\]

Какво означава? Първо, можем лесно да се отървем от дробта, като я превърнем в отрицателен показател. И второ, тъй като знаменателят е коренът, би било хубаво да го превърнем в степен - този път с дробен показател.

Нека приложим тези действия последователно към дясната страна на неравенството и да видим какво ще се случи:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Не забравяйте, че при повдигане на степен на степен експонентите на тези степени се събират. И като цяло, когато работите с експоненциални уравнения и неравенства, е абсолютно необходимо да знаете поне най-простите правила за работа със степени:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\край (подравняване)\]

Всъщност току-що приложихме последното правило. Следователно нашето първоначално неравенство ще бъде пренаписано както следва:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Сега се отърваваме от двойката в основата. Тъй като 2 > 1, знакът за неравенство остава същият:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Това е цялото решение! Основната трудност изобщо не е в експоненциалната функция, а в компетентната трансформация на оригиналния израз: трябва внимателно и възможно най-бързо да го доведете до най-простата му форма.

Разгледайте второто неравенство:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Добре добре. Тук чакаме десетични дроби. Както много пъти съм казвал, във всички изрази със степени трябва да се отървете от десетичните дроби - често това е единственият начин да видите бързо и лесно решение. Ето от какво ще се отървем:

\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ надясно))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Дясна стрелка ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\край (подравняване)\]

Пред нас отново е най-простото неравенство и дори с основа 1/10, т.е. по-малко от едно. Е, премахваме основите, като едновременно с това променяме знака от "по-малко" на "по-голямо" и получаваме:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\край (подравняване)\]

Получихме окончателния отговор: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Моля, обърнете внимание, че отговорът е точно множеството и в никакъв случай не е конструкцията на формата $x \lt -1$. Защото формално такава конструкция изобщо не е множество, а неравенство по отношение на променливата $x$. Да, много е просто, но не е отговорът!

Важна забележка. Това неравенство може да се реши и по друг начин - чрез редуциране на двете части на степен с основа, по-голяма от единица. Погледни:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Дясна стрелка ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

След такава трансформация отново получаваме експоненциално неравенство, но с основа 10 > 1. И това означава, че можете просто да зачеркнете десетката - знакът за неравенство няма да се промени. Получаваме:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\край (подравняване)\]

Както можете да видите, отговорът е абсолютно същият. В същото време се спасихме от необходимостта да сменяме табелата и като цяло да запомним някои правила там. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Нека обаче това не ви плаши. Каквото и да има в индикаторите, технологията за решаване на самото неравенство остава същата. Следователно първо отбелязваме, че 16 = 2 4 . Нека пренапишем първоначалното неравенство, като вземем предвид този факт:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Ура! Получихме обичайното квадратно неравенство! Знакът не се е променил никъде, тъй като основата е двойка - число, по-голямо от едно.

Функционални нули на числовата ос

Подреждаме знаците на функцията $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - очевидно нейната графика ще бъде парабола с клонове нагоре, така че ще има „плюсове ” отстрани. Интересуваме се от областта, където функцията е по-малка от нула, т.е. $x\in \left(2;5 \right)$ е отговорът на първоначалния проблем.

И накрая, разгледайте друго неравенство:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Отново виждаме експоненциална функция с десетична дроб в основата. Нека преобразуваме тази дроб в обикновена дроб:

\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2)^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

В този случай се възползвахме от забележката, направена по-рано - намалихме основата до числото 5\u003e 1, за да опростим нашето по-нататъшно решение. Нека направим същото с дясната страна:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ надясно))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Нека пренапишем първоначалното неравенство, като вземем предвид и двете трансформации:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]

Основите от двете страни са еднакви и по-големи от единица. Няма други термини отдясно и отляво, така че просто „задраскваме“ петиците и получаваме много прост израз:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Тук трябва да внимавате. Много студенти обичат просто да вземат квадратен корен от двете страни на неравенството и да напишат нещо като $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Никога не трябва да правите това, тъй като коренът на точния квадрат е модулът, а не оригиналната променлива:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\надясно|\]

Работата с модули обаче не е най-приятното изживяване, нали? Така че няма да работим. Вместо това просто преместваме всички членове наляво и решаваме обичайното неравенство, като използваме интервалния метод:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\край (подравняване)$

Отново маркираме получените точки на числовата линия и гледаме знаците:

Тъй като решавахме нестрого неравенство, всички точки на графиката са защриховани. Следователно отговорът ще бъде: $x\in \left[ -1;1 \right]$ не е интервал, а сегмент.

Като цяло бих искал да отбележа, че в експоненциалните неравенства няма нищо сложно. Смисълът на всички трансформации, които извършихме днес, се свежда до прост алгоритъм:

• Намерете основата, към която ще намалим всички степени;
• Внимателно извършете трансформации, за да получите неравенство от вида $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Разбира се, вместо променливите $x$ и $n$ може да има много по-сложни функции, но това не променя смисъла;
• Зачертайте основите на степените. В този случай знакът за неравенство може да се промени, ако основата $a \lt 1$.

Всъщност това е универсален алгоритъм за решаване на всички подобни неравенства. И всичко останало, което ще ви бъде казано по тази тема, са само конкретни трикове и трикове за опростяване и ускоряване на трансформацията. Ето един от тези трикове, за които ще говорим сега. :)

метод на рационализация

Помислете за друга група неравенства:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\текст( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Е, какво им е толкова специалното? Освен това са леки. Въпреки това, спри! Пи повдигнато ли е на степен? Що за глупости?

И как да повдигна числото $2\sqrt(3)-3$ на степен? Или $3-2\sqrt(2)$? Съставителите на задачите явно са прекалили с "Глог", преди да седнат на работа. :)

Всъщност в тези задачи няма нищо лошо. Нека ви напомня: експоненциалната функция е израз във формата $((a)^(x))$, където основата $a$ е всяко положително число, с изключение на едно. Числото p е положително - вече знаем това. Числата $2\sqrt(3)-3$ и $3-2\sqrt(2)$ също са положителни - това лесно се вижда, ако ги сравним с нула.

Оказва се, че всички тези „ужасяващи“ неравенства не се различават от простите, обсъдени по-горе? И го правят по същия начин? Да, абсолютно точно. Въпреки това, използвайки техния пример, бих искал да разгледам един трик, който спестява много време за самостоятелна работа и изпити. Ще говорим за метода на рационализация. Така че внимание:

Всяко експоненциално неравенство от формата $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ е еквивалентно на неравенството $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ дясно) \gt 0 $.

Това е целият метод :) Мислехте ли, че ще има някаква следваща игра? Нищо подобно! Но този прост факт, написан буквално в един ред, значително ще опрости нашата работа. Погледни:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Тук няма повече експоненциални функции! И не е нужно да помните дали знакът се променя или не. Но възниква нов проблем: какво да правим със шибания множител \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Не знаем каква е точната стойност на пи. Капитанът обаче сякаш намеква за очевидното:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\приблизително 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

Като цяло, точната стойност на p не ни притеснява много - важно е само да разберем, че във всеки случай $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, т.е. е положителна константа и можем да разделим двете страни на неравенството на нея:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Както виждате, в определен момент трябваше да разделим на минус едно и знакът за неравенство се промени. Накрая разширих квадратния трином според теоремата на Виета - очевидно е, че корените са равни на $((x)_(1))=5$ и $((x)_(2))=- 1$. Тогава всичко се решава по класическия метод на интервалите:

Всички точки са пробити, защото първоначалното неравенство е строго. Интересуваме се от областта с отрицателни стойности, така че отговорът е $x\in \left(-1;5 \right)$. Това е решението. :)

Да преминем към следващата задача:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Тук всичко е просто, защото отдясно има единица. И помним, че единица е всяко число, повдигнато на степен нула. Дори това число да е ирационален израз, стоящ в основата отляво:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3\right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\\край (подравняване)\]

Така че нека рационализираме:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Остава само да се справим със знаците. Множителят $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ не съдържа променливата $x$ - това е просто константа и ние трябва да намерим нейния знак. За да направите това, имайте предвид следното:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matrix)\]

Оказва се, че вторият фактор не е просто константа, а отрицателна константа! И при разделяне на него знакът на първоначалното неравенство ще се промени на обратното:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Сега всичко става съвсем очевидно. Корените на квадратния трином отдясно са $((x)_(1))=0$ и $((x)_(2))=2$. Маркираме ги на числовата ос и разглеждаме знаците на функцията $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Интересуват ни интервалите, отбелязани със знак плюс. Остава само да напишем отговора:

Да преминем към следващия пример:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ надясно))^(16-x))\]

Е, тук всичко е съвсем очевидно: основите са степени на едно и също число. Затова ще напиша всичко накратко:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrix)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ ляво (16-x\дясно))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Както можете да видите, в процеса на трансформации трябваше да умножим по отрицателно число, така че знакът за неравенство се промени. В самия край отново приложих теоремата на Виета, за да факторизирам квадратен тричлен. В резултат на това отговорът ще бъде следният: $x\in \left(-8;4 \right)$ - желаещите могат да се уверят в това, като начертаят числова права, маркират точки и преброят знаци. Междувременно ще преминем към последното неравенство от нашия „набор“:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Както можете да видите, основата отново е ирационално число и единицата отново е отдясно. Следователно пренаписваме нашето експоненциално неравенство, както следва:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ надясно))^(0))\]

Нека рационализираме:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Съвсем очевидно е обаче, че $1-\sqrt(2) \lt 0$, тъй като $\sqrt(2)\приблизително 1,4... \gt 1$. Следователно вторият фактор отново е отрицателна константа, на която могат да се разделят и двете части на неравенството:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\край (матрица)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Смяна на друга база

Отделен проблем при решаването на експоненциални неравенства е търсенето на „правилната“ основа. За съжаление, на пръв поглед върху задачата, далеч не винаги е очевидно какво да вземем за основа и какво да направим като степен на тази основа.

Но не се притеснявайте: тук няма магия и "тайни" технологии. В математиката всяко умение, което не може да бъде алгоритмизирано, може лесно да се развие чрез практика. Но за това ще трябва да решавате проблеми с различни нива на сложност. Например това са:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ край (подравняване)\]

Труден? Страшен? Да, по-лесно е от пиле на асфалта! Да опитаме. Първо неравенство:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Е, мисля, че тук всичко е ясно:

Пренаписваме първоначалното неравенство, като свеждаме всичко до основата "две":

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Да, да, разбрахте правилно: току-що приложих метода на рационализация, описан по-горе. Сега трябва да работим внимателно: имаме дробно-рационално неравенство (това е такова, което има променлива в знаменателя), така че преди да приравните нещо на нула, трябва да намалите всичко до общ знаменател и да се отървете от постоянния фактор .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Сега използваме метода на стандартния интервал. Нули в числителя: $x=\pm 4$. Знаменателят отива на нула само когато $x=0$. Общо има три точки, които трябва да бъдат маркирани на числовата ос (всички точки са изчертани, тъй като знакът за неравенство е строг). Получаваме:

Както може би се досещате, щриховката маркира интервалите, при които изразът отляво приема отрицателни стойности. Следователно два интервала ще влязат в крайния отговор наведнъж:

Краищата на интервалите не са включени в отговора, тъй като първоначалното неравенство е строго. Не се изисква допълнително потвърждаване на този отговор. В това отношение експоненциалните неравенства са много по-прости от логаритмичните: няма DPV, няма ограничения и т.н.

Да преминем към следващата задача:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Тук също няма проблеми, тъй като вече знаем, че $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, така че цялото неравенство може да се пренапише така:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\наляво(-2\надясно)\надясно. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Моля, обърнете внимание: в третия ред реших да не губя време за дреболии и веднага да разделя всичко на (-2). Minul влезе в първата скоба (сега има плюсове навсякъде), а двойката беше намалена с постоянен множител. Точно това трябва да правите, когато правите реални изчисления за самостоятелна и контролна работа - не е необходимо да рисувате директно всяко действие и трансформация.

След това влиза в действие познатият метод на интервалите. Нули на числителя: но ги няма. Тъй като дискриминантът ще бъде отрицателен. На свой ред, знаменателят е настроен на нула само когато $x=0$ — точно както последния път. Е, ясно е, че дробта ще приема положителни стойности отдясно на $x=0$ и отрицателни отляво. Тъй като се интересуваме само от отрицателни стойности, крайният отговор е $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

А какво трябва да се прави с десетичните дроби в експоненциалните неравенства? Точно така: отървете се от тях, като ги превърнете в обикновени. Тук превеждаме:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)(4) \right))^(x)). \\\край (подравняване)\]

Е, какво получихме в основата на експоненциалните функции? И имаме две взаимно реципрочни числа:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ дясно))^(x))=((\ляво(((\ляво(\frac(4)(25) \дясно))^(-1)) \дясно))^(x))=((\ ляво(\frac(4)(25) \дясно))^(-x))\]

Така първоначалното неравенство може да бъде пренаписано, както следва:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\край (подравняване)\]

Разбира се, при умножаване на степени с една и съща основа, техните показатели се сумират, което се случи във втория ред. Освен това сме представили единицата отдясно, също като степен в основата 4/25. Остава само да се рационализира:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Обърнете внимание, че $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, т.е. вторият фактор е отрицателна константа и когато се раздели на него, знакът за неравенство ще се промени:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

И накрая, последното неравенство от текущия "набор":

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

По принцип идеята за решение тук също е ясна: всички експоненциални функции, които съставляват неравенството, трябва да бъдат намалени до основата "3". Но за това трябва да побърквате малко с корени и степени:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\квад 81=((3)^(4)). \\\край (подравняване)\]

Предвид тези факти, първоначалното неравенство може да бъде пренаписано, както следва:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2)) \right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\край (подравняване)\]

Обърнете внимание на 2-ри и 3-ти ред на изчисления: преди да направите нещо с неравенство, не забравяйте да го доведете до формата, за която говорихме от самото начало на урока: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Стига да имате леви или десни леви множители, допълнителни константи и т.н., не може да се извършва осмисляне и "зачеркване" на основанията! Безброй задачи са изпълнени погрешно поради неразбиране на този прост факт. Аз самият постоянно наблюдавам този проблем с моите ученици, когато току-що започваме да анализираме експоненциални и логаритмични неравенства.

Но да се върнем към нашата задача. Нека се опитаме този път да минем без рационализация. Припомняме: основата на степента е по-голяма от една, така че тройките могат просто да бъдат зачеркнати - знакът за неравенство няма да се промени. Получаваме:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\край (подравняване)\]

Това е всичко. Окончателен отговор: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Маркиране на стабилен израз и замяна на променлива

В заключение предлагам да решим още четири експоненциални неравенства, които вече са доста трудни за неподготвени ученици. За да се справите с тях, трябва да запомните правилата за работа със степени. По-специално, поставяне на общи фактори извън скоби.

Но най-важното е да се научите да разбирате: какво точно може да бъде поставено в скоби. Такъв израз се нарича стабилен - той може да бъде обозначен с нова променлива и по този начин да се отърве от експоненциалната функция. И така, нека да разгледаме задачите:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Да започнем с първия ред. Нека напишем това неравенство отделно:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Обърнете внимание, че $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, така че дясната страна може да се пренапише:

Обърнете внимание, че в неравенството няма други експоненциални функции освен $((5)^(x+1))$. И като цяло, променливата $x$ не се среща никъде другаде, така че нека въведем нова променлива: $((5)^(x+1))=t$. Получаваме следната конструкция:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\край (подравняване)\]

Връщаме се към първоначалната променлива ($t=((5)^(x+1))$ и в същото време помним, че 1=5 0 . Ние имаме:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\край (подравняване)\]

Това е цялото решение! Отговор: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Да преминем към второто неравенство:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Тук всичко е същото. Обърнете внимание, че $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Тогава лявата страна може да бъде пренаписана:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \надясно. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Стрелка надясно ((3)^(x))\ge 9\Стрелка надясно ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Стрелка надясно x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\край (подравняване)\]

Приблизително така трябва да съставите решение за реален контрол и самостоятелна работа.

Е, нека опитаме нещо по-трудно. Ето например едно неравенство:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Какъв е проблемът тук? Първо, основите на експоненциалните функции отляво са различни: 5 и 25. Въпреки това, 25 \u003d 5 2, така че първият член може да се трансформира:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Както можете да видите, отначало доведохме всичко до една и съща основа, а след това забелязахме, че първият член лесно се свежда до втория - достатъчно е просто да разширим експонентата. Сега можем спокойно да въведем нова променлива: $((5)^(2x+2))=t$ и цялото неравенство ще бъде пренаписано по следния начин:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\край (подравняване)\]

Отново няма проблем! Краен отговор: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Преминаваме към последното неравенство в днешния урок:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Първото нещо, на което трябва да обърнете внимание, е, разбира се, десетичната дроб в основата на първа степен. Необходимо е да се отървете от него и в същото време да приведете всички експоненциални функции към една и съща основа - числото "2":

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Стрелка надясно ((16)^(x+1,5))=((\ляво(((2)^(4)) \дясно))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Страхотно, направихме първата стъпка - всичко доведе до една и съща основа. Сега трябва да подчертаем стабилния израз. Обърнете внимание, че $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Ако въведем нова променлива $((2)^(4x+6))=t$, тогава първоначалното неравенство може да бъде пренаписано както следва:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\край (подравняване)\]

Естествено може да възникне въпросът: как разбрахме, че 256 = 2 8 ? За съжаление, тук просто трябва да знаете правомощията на две (и в същото време правомощията на три и пет). Е, или разделяме 256 на 2 (можете да разделите, тъй като 256 е четно число), докато получим резултата. Ще изглежда нещо подобно:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Същото е и с тройката (числата 9, 27, 81 и 243 са нейните мощности) и със седемте (числата 49 и 343 също би било хубаво да запомните). Е, петте също имат „красиви“ степени, които трябва да знаете:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\край (подравняване)\]

Разбира се, всички тези числа, ако желаете, могат да бъдат възстановени в ума, просто чрез последователното им умножаване един с друг. Когато обаче трябва да решите няколко експоненциални неравенства и всяко следващо е по-трудно от предишното, тогава последното нещо, за което искате да мислите, са степените на някои числа там. И в този смисъл тези задачи са по-сложни от "класическите" неравенства, които се решават по интервалния метод.

Надявам се, че този урок ви е помогнал да овладеете тази тема. Ако нещо не е ясно, попитайте в коментарите. И ще се видим в следващите уроци. :)